Os conceitos de probabilidade provaram ser muito úteis para descrever o comportamento de um gás constituído por um grande número de moléculas. É impensável tentar realmente determinar a posição e a velocidade de cada uma das 1.022 moléculas! Quando a teoria da probabilidade foi aplicada pela primeira vez a tais fenómenos, ela foi vista simplesmente como uma forma conveniente de trabalhar num ambiente tão complexo. Contudo, acreditamos agora que a probabilidade é essencial para a descrição de vários processos atômicos. De acordo com a mecânica quântica, a teoria matemática das pequenas partículas, há sempre alguma incerteza na determinação da posição de uma partícula e da sua velocidade.
Na melhor das hipóteses, só podemos dizer que existe alguma probabilidade de a partícula estar próxima do ponto x.
Para descrever a localização de uma partícula, podemos introduzir densidades de probabilidade p 1 (x), de modo que p 1 (x)∆x é a probabilidade de a partícula estar em algum lugar entre x e x + ∆x. Se a posição da partícula for suficientemente estabelecida, então uma forma aproximada da função p 1 (x) pode ser ilustrada pelo gráfico mostrado na Fig. 6.10, a. A situação é exatamente a mesma com a velocidade das partículas: também não sabemos exatamente. Com alguma probabilidade p 2 (υ)∆υ, a partícula pode se mover com uma velocidade no intervalo entre υ e υ + ∆υ.
Um dos principais resultados da mecânica quântica é que essas duas densidades p 1 (x) e p 2 (υ) não podem ser escolhidas independentemente, no sentido de que ambas não podem ser arbitrariamente estreitas. Se tomarmos as “meias larguras” das curvas p 1 (x) e p 2 (υ) e denotá-las [∆x] e [∆υ] respectivamente (ver Fig. 6.10), então a natureza exige que o produto de essas duas meias larguras não sejam menores que h/m, onde m é a massa da partícula e h é alguma constante física fundamental chamada constante de Planck. Essa relação é escrita da seguinte forma:
e é chamado de princípio da incerteza de Heisenberg.
Para que esta relação se mantenha, a partícula deve comportar-se de uma forma muito estranha. Você vê que o lado direito da relação (6.22) é constante, o que significa que se tentarmos “fixar” uma partícula em algum lugar específico, então essa tentativa terminará no fato de que não seremos capazes de adivinhar onde ela está voando e em que velocidade. Da mesma forma, se tentarmos fazer com que uma partícula se mova muito lentamente ou a uma determinada velocidade, ela ficará “borrada” e não seremos capazes de identificar exatamente onde ela está.
O princípio da incerteza expressa a ambiguidade que deve existir em qualquer tentativa de descrever a natureza. A descrição mais precisa e completa da natureza deveria ser apenas probabilística. No entanto, alguns físicos não gostam deste método de descrição. Parece-lhes que só podemos falar sobre o comportamento real de uma partícula quando os momentos e as coordenadas são dados simultaneamente. Ao mesmo tempo, no início do desenvolvimento da mecânica quântica, esse problema preocupava muito Einstein. Ele frequentemente balançava a cabeça e dizia: “Mas Deus não adivinha “cara ou coroa” para decidir para onde o elétron deve se mover!” Essa questão o incomodou por muito tempo, e até o fim de seus dias ele aparentemente não conseguiu aceitar o fato de que uma descrição probabilística da natureza é o máximo que ainda somos capazes. Existem físicos que sentem intuitivamente que o nosso mundo pode ser descrito de alguma forma diferente, que essas incertezas no comportamento das partículas podem ser eliminadas. Eles continuam a trabalhar neste problema, mas até agora nenhum deles obteve resultados significativos.
Esta incerteza inerente ao mundo na determinação da posição de uma partícula é a característica mais importante da descrição da estrutura dos átomos. No átomo de hidrogênio, por exemplo, que consiste em um único próton formando o núcleo e um elétron localizado em algum lugar fora dele, a incerteza na localização do elétron é igual ao tamanho do próprio átomo! Portanto, não podemos dizer com certeza onde, em que parte do átomo está localizado o nosso elétron e, claro, não se pode falar de quaisquer “órbitas”. Podemos falar com confiança apenas sobre a probabilidade p(r)∆V de detectar um elétron em um elemento de volume ∆V a uma distância r do próton. A mecânica quântica permite, neste caso, calcular a densidade de probabilidade p(r), que para um átomo de hidrogênio não perturbado é igual a Ae -r2/a2. Esta é uma função em forma de sino como a mostrada na FIG. 6.8, e o número a representa o valor característico do raio, após o qual a função diminui muito rapidamente. Embora exista uma probabilidade (embora pequena) de encontrar um elétron a uma distância maior que a do núcleo, chamamos essa quantidade de “raio atômico”. Tem aproximadamente 10 -10 m.
Se você quiser imaginar de alguma forma um átomo de hidrogênio, imagine uma espécie de “nuvem”, cuja densidade é proporcional à densidade de probabilidade. Um exemplo de tal nuvem é mostrado na Fig. 6.11. Esta imagem visual é talvez a mais próxima da verdade, embora devamos lembrar imediatamente que esta não é uma verdadeira “nuvem de elétrons”, mas apenas uma “nuvem de probabilidades”. Há um elétron em algum lugar dentro dele, mas a natureza nos permite apenas adivinhar onde exatamente ele está.
Na sua busca para aprender o máximo possível sobre a natureza das coisas, a física moderna descobriu que há coisas que nunca será capaz de saber com certeza. Muito do nosso conhecimento está destinado a permanecer para sempre incerto. Nos é dado conhecer apenas probabilidades.
Os princípios da incerteza de Heisenberg são um dos problemas da mecânica quântica, mas primeiro nos voltamos para o desenvolvimento da ciência física como um todo. No final do século XVII, Isaac Newton lançou as bases para a mecânica clássica moderna. Foi ele quem formulou e descreveu suas leis básicas, com as quais se pode prever o comportamento dos corpos que nos rodeiam. No final do século XIX, estas disposições pareciam invioláveis e aplicáveis a todas as leis da natureza. Os problemas da física como ciência pareciam ter sido resolvidos.
Violação das leis de Newton e o nascimento da mecânica quânticaMas, como se viu, naquela época sabia-se muito menos sobre as propriedades do Universo do que parecia. A primeira pedra que perturbou a harmonia da mecânica clássica foi a sua desobediência às leis de propagação das ondas de luz. Assim, a ainda jovem ciência da eletrodinâmica da época foi forçada a desenvolver um conjunto de regras completamente diferente. Mas para os físicos teóricos surgiu um problema: como trazer dois sistemas a um denominador comum. Aliás, a ciência ainda está trabalhando em uma solução para esse problema.
O mito da mecânica newtoniana abrangente foi finalmente destruído com um estudo mais profundo da estrutura dos átomos. O britânico Ernest Rutherford descobriu que o átomo não é uma partícula indivisível, como se pensava anteriormente, mas contém nêutrons, prótons e elétrons. Além disso, o seu comportamento também era completamente inconsistente com os postulados da mecânica clássica. Se no macromundo a gravidade determina em grande parte a natureza das coisas, então no mundo das partículas quânticas ela é uma força de interação extremamente pequena. Assim, foram lançadas as bases da mecânica quântica, que também possuía axiomas próprios. Uma das diferenças significativas entre estes sistemas mais pequenos e o mundo a que estamos habituados é o princípio da incerteza de Heisenberg. Ele demonstrou claramente a necessidade de uma abordagem diferente para esses sistemas.
Princípio da Incerteza de Heisenberg
No primeiro quartel do século XX, a mecânica quântica deu os primeiros passos, e os físicos de todo o mundo apenas perceberam o que se segue das suas disposições para nós e que perspectivas ela abre. O físico teórico alemão Werner Heisenberg formulou seus famosos princípios em 1927. Os princípios de Heisenberg consistem no fato de que é impossível calcular a posição espacial e a velocidade de um objeto quântico ao mesmo tempo. A principal razão para isto é o facto de que quando medimos, já influenciamos o sistema que está a ser medido, perturbando-o. Se no macrocosmo que conhecemos avaliamos um objeto, mesmo quando olhamos para ele, vemos o reflexo da luz dele.
Mas o princípio da incerteza de Heisenberg diz que embora no macrocosmo a luz não tenha efeito sobre o objeto medido, no caso das partículas quânticas os fótons (ou quaisquer outras medições derivadas) têm uma influência significativa sobre a partícula. Ao mesmo tempo, é interessante notar que a física quântica é perfeitamente capaz de medir separadamente a velocidade ou posição de um corpo no espaço. Mas quanto mais precisas forem as nossas leituras de velocidade, menos saberemos sobre a nossa posição espacial. E vice versa. Ou seja, o princípio da incerteza de Heisenberg cria certas dificuldades na previsão do comportamento das partículas quânticas. Literalmente é assim: eles mudam de comportamento quando tentamos observá-los.
O princípio da incerteza reside no plano da mecânica quântica, mas para analisá-lo plenamente, voltemos ao desenvolvimento da física como um todo. e Albert Einstein, talvez, na história da humanidade. O primeiro, no final do século XVII, formulou as leis da mecânica clássica, às quais todos os corpos que nos rodeiam, os planetas, estão sujeitos à inércia e à gravidade. O desenvolvimento das leis da mecânica clássica levou o mundo científico, no final do século XIX, à opinião de que todas as leis básicas da natureza já foram descobertas e que o homem pode explicar qualquer fenômeno no Universo.
Teoria da relatividade de Einstein
Acontece que naquela época apenas a ponta do iceberg foi descoberta; novas pesquisas deram aos cientistas fatos novos e completamente incríveis; Assim, no início do século XX, descobriu-se que a propagação da luz (que tem velocidade final de 300.000 km/s) não obedece às leis da mecânica newtoniana. De acordo com as fórmulas de Isaac Newton, se um corpo ou onda for emitido por uma fonte em movimento, sua velocidade será igual à soma da velocidade da fonte e da sua própria. No entanto, as propriedades ondulatórias das partículas eram de natureza diferente. Numerosos experimentos com eles demonstraram que na eletrodinâmica, uma ciência jovem na época, funcionava um conjunto de regras completamente diferente. Já então, Albert Einstein, juntamente com o físico teórico alemão Max Planck, introduziram a sua famosa teoria da relatividade, que descreve o comportamento dos fotões. No entanto, o que importa agora para nós não é tanto a sua essência, mas o facto de naquele momento se ter revelado a incompatibilidade fundamental de duas áreas da física, para combinar
o que, aliás, os cientistas ainda tentam até hoje.
O Nascimento da Mecânica Quântica
O mito da mecânica clássica abrangente foi finalmente destruído pelo estudo da estrutura dos átomos. Experimentos realizados em 1911 demonstraram que o átomo contém partículas ainda menores (chamadas prótons, nêutrons e elétrons). Além disso, eles também se recusaram a interagir. O estudo dessas menores partículas deu origem a novos postulados da mecânica quântica para o mundo científico. Assim, talvez a compreensão final do Universo resida não apenas e não tanto no estudo das estrelas, mas no estudo das menores partículas que fornecem uma imagem interessante do mundo no nível micro.
Princípio da Incerteza de Heisenberg
Na década de 1920 ela deu os primeiros passos, e os cientistas apenas
percebeu o que se segue disso para nós. Em 1927, o físico alemão Werner Heisenberg formulou o seu famoso princípio da incerteza, demonstrando uma das principais diferenças entre o micromundo e o nosso ambiente habitual. Consiste no fato de que é impossível medir simultaneamente a velocidade e a posição espacial de um objeto quântico, simplesmente porque durante a medição o influenciamos, porque a própria medição também é realizada com a ajuda de quanta. Simplificando: ao avaliar um objeto no macrocosmo, vemos a luz refletida nele e, com base nisso, tiramos conclusões sobre ele. Mas a influência dos fótons de luz (ou outros derivados de medição) já afeta o objeto. Assim, o princípio da incerteza causou dificuldades compreensíveis no estudo e previsão do comportamento das partículas quânticas. Nesse caso, o interessante é que você pode medir a velocidade separadamente ou a posição do corpo separadamente. Mas se medirmos simultaneamente, quanto maiores forem os nossos dados de velocidade, menos saberemos sobre a posição real e vice-versa.
É impossível determinar simultaneamente com precisão as coordenadas e a velocidade de uma partícula quântica.
Na vida cotidiana, estamos rodeados de objetos materiais cujos tamanhos são comparáveis aos nossos: carros, casas, grãos de areia, etc. Nossas ideias intuitivas sobre a estrutura do mundo são formadas como resultado da observação cotidiana do comportamento de tais objetos. . Como todos temos uma vida vivida atrás de nós, a experiência acumulada ao longo dos anos diz-nos que como tudo o que observamos se comporta de uma certa maneira repetidamente, isso significa que em todo o Universo, em todas as escalas, os objetos materiais deveriam se comportar de uma maneira. maneira semelhante. E quando acontece que em algum lugar algo não obedece às regras usuais e contradiz nossos conceitos intuitivos sobre o mundo, isso não apenas nos surpreende, mas nos choca.
No primeiro quartel do século XX, esta foi precisamente a reação dos físicos quando começaram a estudar o comportamento da matéria nos níveis atômico e subatômico. O surgimento e o rápido desenvolvimento da mecânica quântica abriu-nos um mundo inteiro, cuja estrutura do sistema simplesmente não se enquadra na estrutura do bom senso e contradiz completamente as nossas ideias intuitivas. Mas devemos lembrar que nossa intuição é baseada na experiência do comportamento de objetos comuns em uma escala proporcional a nós, e a mecânica quântica descreve coisas que acontecem em um nível microscópico e invisível para nós - nem uma única pessoa jamais os encontrou diretamente. . Se nos esquecermos disto, acabaremos inevitavelmente num estado de completa confusão e perplexidade. Para mim, formulei a seguinte abordagem para os efeitos da mecânica quântica: assim que a “voz interior” começar a repetir “isso não pode ser!”, Você precisa se perguntar: “Por que não? Como posso saber como tudo realmente funciona dentro de um átomo? Eu mesmo olhei lá? Ao se preparar dessa forma, será mais fácil perceber os artigos deste livro dedicados à mecânica quântica.
O princípio de Heisenberg geralmente desempenha um papel fundamental na mecânica quântica, até porque explica claramente como e por que o micromundo difere do mundo material com o qual estamos familiarizados. Para compreender este princípio, primeiro pense no que significa “medir” qualquer quantidade. Para encontrar, por exemplo, este livro, ao entrar numa sala, você olha ao redor até que ele pare nele. Na linguagem da física, isso significa que você fez uma medição visual (você encontrou um livro olhando) e obteve o resultado - você registrou suas coordenadas espaciais (você determinou a localização do livro na sala). Na verdade, o processo de medição é muito mais complicado: uma fonte de luz (o Sol ou uma lâmpada, por exemplo) emite raios que, tendo percorrido um determinado caminho no espaço, interagem com o livro, são refletidos em sua superfície, após o que alguns deles chegam aos seus olhos, passam pelos focos da lente e atingem a retina - e você vê a imagem do livro e determina sua posição no espaço. A chave para a medição aqui é a interação entre a luz e o livro. Então, com qualquer medição, imagine, a ferramenta de medição (neste caso, é leve) interage com o objeto de medição (neste caso, é um livro).
Na física clássica, construída sobre princípios newtonianos e aplicada a objetos do nosso mundo comum, estamos acostumados a ignorar o fato de que um instrumento de medição, ao interagir com um objeto de medição, o afeta e altera suas propriedades, incluindo, de fato, o quantidades que estão sendo medidas. Quando você acende a luz da sala para encontrar um livro, você nem pensa no fato de que sob a influência da pressão resultante dos raios de luz, o livro pode se mover de seu lugar, e você reconhece suas coordenadas espaciais, distorcido sob a influência da luz que você acendeu. A intuição nos diz (e, neste caso, de forma bastante correta) que o ato de medição não afeta as propriedades medidas do objeto que está sendo medido. Agora pense nos processos que ocorrem no nível subatômico. Digamos que eu precise fixar a localização espacial de um elétron. Ainda preciso de um instrumento de medição que interaja com o elétron e retorne um sinal aos meus detectores com informações sobre sua localização. E aqui surge uma dificuldade: não tenho outras ferramentas para interagir com um elétron para determinar sua posição no espaço, além de outras partículas elementares. E, se a suposição de que a luz, interagindo com um livro, não afeta suas coordenadas espaciais, o mesmo não pode ser dito em relação à interação do elétron medido com outro elétron ou fótons.
No início da década de 1920, durante a explosão do pensamento criativo que levou à criação da mecânica quântica, o jovem físico teórico alemão Werner Heisenberg foi o primeiro a reconhecer este problema. Começando com fórmulas matemáticas complexas que descrevem o mundo no nível subatômico, ele gradualmente chegou a uma fórmula de incrível simplicidade, dando uma descrição geral do efeito da influência das ferramentas de medição nos objetos medidos do micromundo, sobre os quais acabamos de falar. Como resultado, ele formulou o princípio da incerteza, agora nomeado em sua homenagem:
incerteza do valor da coordenada, incerteza da velocidade,
cuja expressão matemática é chamada de relação de incerteza de Heisenberg:
Onde está a incerteza (erro de medição) da coordenada espacial de uma micropartícula, é a incerteza da velocidade da partícula, é a massa da partícula e é a constante de Planck, em homenagem ao físico alemão Max Planck, outro dos fundadores da tecnologia quântica. mecânica. A constante de Planck é de aproximadamente 6,626 x 10 –34 J s, ou seja, contém 33 zeros antes da primeira casa decimal significativa.
O termo “incerteza de coordenadas espaciais” significa precisamente que não sabemos a localização exata da partícula. Por exemplo, se você usar o sistema de reconhecimento global GPS para determinar a localização deste livro, o sistema irá calculá-los com precisão de 2 a 3 metros. (GPS, Sistema de Posicionamento Global é um sistema de navegação que utiliza 24 satélites artificiais da Terra. Se, por exemplo, você tiver um receptor GPS instalado em seu carro, ao receber sinais desses satélites e comparar seu tempo de atraso, o sistema determina sua localização geográfica coordenadas na Terra com precisão de segundo de arco mais próximo.) No entanto, do ponto de vista de uma medição feita por um instrumento GPS, o livro poderia, com alguma probabilidade, estar localizado em qualquer lugar dentro dos poucos metros quadrados especificados do sistema. Neste caso, estamos falando da incerteza das coordenadas espaciais de um objeto (neste exemplo, um livro). A situação pode ser melhorada se usarmos uma fita métrica em vez de um GPS – neste caso podemos dizer que o livro está, por exemplo, a 4 m 11 cm de uma parede e a 1 m 44 cm da outra. Mas mesmo aqui estamos limitados na precisão da medição pela divisão mínima da escala da fita métrica (mesmo que seja um milímetro) e pelos erros de medição do próprio dispositivo - e na melhor das hipóteses, seremos capazes de determinar a posição espacial do objeto com precisão na divisão mínima da escala. Quanto mais preciso for o instrumento que utilizamos, mais precisos serão os resultados que obtivermos, menor será o erro de medição e menor será a incerteza. Em princípio, no nosso mundo cotidiano é possível reduzir a incerteza a zero e determinar as coordenadas exatas do livro.
E aqui chegamos à diferença mais fundamental entre o micromundo e o nosso mundo físico cotidiano. No mundo comum, ao medir a posição e a velocidade de um corpo no espaço, praticamente não temos influência sobre ele. Assim, idealmente, podemos medir simultaneamente a velocidade e as coordenadas de um objeto com precisão absoluta (em outras palavras, com incerteza zero).
No mundo dos fenômenos quânticos, entretanto, qualquer medição afeta o sistema. O próprio fato de medirmos, por exemplo, a localização de uma partícula, leva a uma mudança em sua velocidade, e imprevisível (e vice-versa). É por isso que o lado direito da relação de Heisenberg não é zero, mas positivo. Quanto menos incerteza em relação a uma variável (por exemplo, ), mais incerta se torna a outra variável (), uma vez que o produto de dois erros do lado esquerdo da relação não pode ser menor que a constante do lado direito. Na verdade, se conseguirmos determinar uma das grandezas medidas com erro zero (com precisão absoluta), a incerteza da outra grandeza será igual ao infinito e não saberemos absolutamente nada sobre ela. Em outras palavras, se conseguíssemos estabelecer com absoluta precisão as coordenadas de uma partícula quântica, não teríamos a menor ideia sobre sua velocidade; Se pudéssemos registrar com precisão a velocidade de uma partícula, não teríamos ideia de onde ela está. Na prática, é claro, os físicos experimentais sempre têm que procurar algum tipo de compromisso entre esses dois extremos e selecionar métodos de medição que lhes permitam avaliar tanto a velocidade quanto a posição espacial das partículas com um erro razoável.
Na verdade, o princípio da incerteza conecta não apenas coordenadas espaciais e velocidade - neste exemplo ele simplesmente se manifesta de forma mais clara; a incerteza liga igualmente outros pares de características mutuamente relacionadas de micropartículas. Através de um raciocínio semelhante, chegamos à conclusão de que é impossível medir com precisão a energia de um sistema quântico e determinar o momento em que ele possui essa energia. Ou seja, se medirmos o estado de um sistema quântico para determinar sua energia, essa medição levará um determinado período de tempo – vamos chamá-lo de . Durante este período de tempo, a energia do sistema muda aleatoriamente - ocorrem suas flutuações - e não podemos detectá-la. Vamos denotar o erro de medição de energia. Por raciocínio semelhante ao acima, chegaremos a uma relação semelhante e à incerteza do tempo em que uma partícula quântica possuía esta energia:
Há mais dois pontos importantes a serem considerados em relação ao princípio da incerteza:
- isso não implica que qualquer uma das duas características de uma partícula – localização espacial ou velocidade – não possa ser medida com precisão;
- o princípio da incerteza opera de forma objetiva e não depende da presença de um sujeito inteligente realizando as medições.
Enciclopédia de James Trefil “A Natureza da Ciência. 200 leis do universo."
James Trefil é professor de física na Universidade George Mason (EUA), um dos mais famosos autores ocidentais de livros científicos populares.
Material da enciclopédia russa gratuita “Tradição”
Na mecânica quântica Princípio da incerteza de Heisenberg
(ou Heisenberg
) estabelece que existe um limite diferente de zero para o produto das dispersões de pares conjugados de grandezas físicas que caracterizam o estado do sistema. O princípio da incerteza também é encontrado na teoria clássica de medições de grandezas físicas.
Normalmente, o princípio da incerteza é ilustrado da seguinte forma. Consideremos um conjunto de partículas equivalentes não interagentes preparadas em um determinado estado, para cada uma das quais a coordenada é medida q ou impulso p . Neste caso, os resultados da medição serão variáveis aleatórias, cujos desvios padrão dos valores médios satisfarão a relação de incerteza , onde – . Como qualquer medição altera o estado de cada partícula, uma medição não pode medir simultaneamente os valores das coordenadas e do momento. Para um conjunto de partículas, uma diminuição na dispersão ao medir uma quantidade física leva a um aumento na dispersão da quantidade física conjugada. Acredita-se que o princípio da incerteza está associado não apenas às capacidades da tecnologia experimental, mas também mostra uma propriedade fundamental da natureza.
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Breve revisão
Na mecânica quântica, surge uma relação de incerteza entre quaisquer variáveis de estado definidas por não pendular operadores. Além disso, aceita-se que a dualidade onda-partícula é pelo menos parcialmente verdadeira para as partículas. Nesta aproximação, a posição da partícula é determinada pelo local de concentração da onda correspondente à partícula, o momento da partícula está associado ao comprimento de onda, e surge uma analogia clara entre as relações de incerteza e as propriedades das ondas ou sinais. A posição é incerta na medida em que a onda está distribuída no espaço, e a incerteza do momento é derivada da incerteza do comprimento de onda quando é medido em momentos diferentes. Se a onda estiver em pontiagudo região, sua posição é determinada com boa precisão, mas tal onda na forma de um trem de ondas curtas não possui um determinado comprimento de onda característico de uma onda monocromática infinita.
A função de onda pode ser considerada como a onda correspondente à partícula. Na interpretação de muitos mundos da mecânica quântica, diz-se que a decoerência ocorre sempre que a posição de uma partícula é medida. Em contraste, a interpretação de Copenhaga da mecânica quântica diz que com cada medição da posição de uma partícula, a função de onda parece colapsar até à pequena região onde a partícula está localizada, e para além desta região a função de onda é próxima de zero ( esta descrição é considerada uma técnica possível para reconciliar o comportamento da função de onda como uma característica de uma partícula, uma vez que a função de onda está apenas indiretamente relacionada com quantidades físicas reais). Esta interpretação decorre do fato de que o quadrado da função de onda mostra a probabilidade de encontrar uma partícula no espaço. Para uma região pequena, o momento da partícula em cada dimensão não pode ser medido com precisão devido ao próprio procedimento de medição do momento. Ao medir a posição, a partícula será detectada com mais frequência onde houver um máximo da função de onda, e em uma série de medições idênticas a posição mais provável aparecerá e o desvio padrão dela será determinado:
Da mesma forma, em uma série de medições idênticas, é realizada uma distribuição de probabilidade, são determinadas a dispersão estatística e o desvio padrão do momento médio das partículas:
O produto dessas quantidades está relacionado pela relação de incerteza:
onde está a constante de Dirac.
Em alguns casos, a “incerteza” de uma variável é definida como a menor largura do intervalo que contém 50% dos valores, o que no caso de uma variável normalmente distribuída resulta em um limite inferior maior para o produto das incertezas, tornando-se igual a . De acordo com a relação de incerteza, o estado pode ser tal que x pode ser medido com alta precisão, mas então p será conhecido apenas aproximadamente, ou vice-versa p pode ser determinado com precisão, enquanto x - Não. Em todos os outros estados, e x E p pode ser medido com precisão "razoável", mas não arbitrariamente alta.
As relações de incerteza impõem restrições ao limite teórico de precisão de quaisquer medições. Eles são válidos para as chamadas medidas ideais, às vezes chamadas de medidas de John von Neumann. Eles são ainda mais válidos para medições não ideais ou medições de acordo com L.D. Landau. Na vida cotidiana, normalmente não observamos incerteza porque o valor é extremamente pequeno.
Como regra, qualquer partícula (no sentido geral, por exemplo, carregando uma carga elétrica discreta) não pode ser descrita como uma “partícula pontual clássica” e como uma onda. O princípio da incerteza originalmente proposto por Heisenberg é válido quando nenhum destas duas descrições não é total e exclusivamente apropriada. Um exemplo é uma partícula com um determinado valor energético localizada em uma caixa. Tal partícula é um sistema que não é caracterizado nenhum uma certa “posição” (um certo valor da distância da parede potencial), nenhum um certo valor do impulso (incluindo sua direção).
O princípio da incerteza é cumprido não apenas em experimentos para muitas partículas nos mesmos estados iniciais, quando são levados em consideração os desvios quadráticos médios dos valores médios para um par de grandezas físicas conjugadas medidas separadamente umas das outras, mas também em cada medição, quando é possível estimar os valores e dispersão de ambas as grandezas físicas simultaneamente Embora o princípio da incerteza esteja associado a efeito observador , não se limita a isso, pois também está associado às propriedades dos objetos quânticos observáveis e às suas interações entre si e com os dispositivos.
História
artigo principal: Introdução à Mecânica Quântica
Werner Heisenberg formulou o princípio da incerteza no Instituto Niels Bohr em Copenhague enquanto trabalhava nos fundamentos matemáticos da mecânica quântica.
Em 1925, seguindo o trabalho de Hendrik Kramers, Heisenberg desenvolveu a mecânica matricial, substituindo a versão anterior da mecânica quântica baseada nos postulados de Bohr. Ele sugeriu que o movimento quântico difere do movimento clássico, de modo que os elétrons em um átomo não têm órbitas definidas com precisão. Conseqüentemente, para um elétron não é mais possível dizer exatamente onde ele está em um determinado momento e com que velocidade está se movendo. Uma propriedade das matrizes de Heisenberg para posição e momento é que elas não comutam entre si:
Em março de 1926, Heisenberg descobriu que não comutatividade leva ao princípio da incerteza, que se tornou a base do que mais tarde foi chamado de interpretação de Copenhague da mecânica quântica. Heisenberg mostrou a conexão entre os operadores do comutador de magnitude e o princípio de complementaridade de Bohr. Quaisquer duas variáveis que não comutam não podem ser medidas simultaneamente com precisão, pois à medida que a precisão da medição de uma variável aumenta, a precisão da medição da outra variável diminui.
Como exemplo, podemos considerar a difração de uma partícula que passa por uma fenda estreita em uma tela e se desvia após passar por um determinado ângulo. Quanto mais estreita for a lacuna, maior será a incerteza na direção do momento da partícula transmitida. De acordo com a lei da difração, o possível desvio angular Δθ aproximadamente igual a λ / d , Onde d é a largura da fenda e λ é o comprimento de onda correspondente à partícula. Se usarmos a fórmula para na forma λ = h / p e designar dΔθ = Δ x , então a relação de Heisenberg é obtida:
Em seu artigo de 1927, Heisenberg apresentou esta relação como a perturbação mínima necessária na magnitude do momento da partícula resultante da medição da posição da partícula, mas não deu uma definição exata das quantidades Δx e Δp. Em vez disso, ele fez suas avaliações em diversas ocasiões. Em sua palestra em Chicago, ele esclareceu seu princípio da seguinte forma:
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(1) |
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Na sua forma moderna, a relação de incerteza foi escrita por EH Kennard em 1927: |
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onde e σ x , σ p são os desvios quadráticos médios (padrão) da posição e do momento. O próprio Heisenberg provou a relação (2) apenas para o caso especial de estados gaussianos. .
O princípio da incerteza e o efeito observador
Uma versão do princípio da incerteza pode ser formulada da seguinte forma:
Medir a coordenada de uma partícula necessariamente altera seu momento e vice-versa .
Isso torna o princípio da incerteza uma versão quântica especial efeito observador , e um sistema de medição automatizado também pode atuar como observador, utilizando tanto o princípio da fixação direta de partículas quanto o método de exclusão (partículas que não entraram no detector passaram por outro caminho acessível).
Esta explicação pode ser aceita e foi usada por Heisenberg e Bohr, que se basearam na base filosófica do positivismo lógico. Segundo a lógica do positivismo, para o pesquisador, a verdadeira natureza do sistema físico observado é determinada pelos resultados dos experimentos mais precisos, alcançáveis em princípio e limitados apenas pela própria natureza. Neste caso, o aparecimento de imprecisões inevitáveis durante as medições passa a ser consequência não só das propriedades dos instrumentos efetivamente utilizados, mas também do próprio sistema físico como um todo, incluindo o objeto e o sistema de medição.
Atualmente, o positivismo lógico não é um conceito geralmente aceito, portanto a explicação do princípio da incerteza baseada no efeito observador torna-se incompleta para aqueles que aderem a uma abordagem filosófica diferente. Alguns acreditam que a mudança significativa no seu momento que ocorre ao medir as coordenadas de uma partícula é uma propriedade necessária não da partícula, mas apenas do processo de medição. Na verdade, a partícula, escondida do observador, tem uma certa localização e momento em cada momento do tempo, mas seus valores não são determinados com precisão devido ao uso de ferramentas muito rudimentares (teoria dos parâmetros ocultos). Para ilustrar, aqui está um exemplo: você precisa encontrar a localização e o impulso de uma bola de bilhar em movimento usando outra bola de bilhar. Em uma série de experimentos em que ambas as bolas são direcionadas aproximadamente igualmente e colidem, é possível encontrar os ângulos de dispersão das bolas, seus momentos e então determinar os pontos de seu encontro. Devido às imprecisões iniciais, cada colisão é única, há uma dispersão na localização e velocidade das bolas, o que para uma série de colisões leva a uma relação de incerteza correspondente. Porém, ao mesmo tempo, sabemos com certeza que em cada dimensão individual as bolas se movem, possuindo um impulso muito específico em cada momento. Esse conhecimento, por sua vez, surge do fato de que as bolas podem ser monitoradas por meio da luz refletida, que praticamente não tem efeito sobre o movimento das bolas maciças.
A situação descrita ilustra o surgimento do princípio da incerteza e a dependência dos resultados da medição do procedimento de medição e das propriedades dos instrumentos de medição. Mas em experimentos reais, ainda não foi descoberta uma maneira de medir simultaneamente os parâmetros de partículas elementares com instrumentos externos sem perturbar significativamente seu estado inicial. Portanto, a ideia de parâmetros de partículas ocultos do observador na mecânica quântica padrão não é popular e geralmente afirma simplesmente que não há estados nos quais a coordenada e o momento de uma partícula possam ser medidos simultaneamente.
Existem, no entanto, situações em que os parâmetros ocultos das partículas podem provavelmente ser determinados. Estamos falando de duas (ou mais) partículas conectadas no chamado estado ligado. Se estas partículas estiverem a uma distância suficientemente grande umas das outras e não puderem influenciar umas às outras, a medição dos parâmetros de uma partícula fornece informações úteis sobre o estado da outra partícula.
Digamos que quando o positrônio decai, dois fótons são emitidos em direções opostas. Vamos colocar dois detectores de forma que o primeiro possa medir a posição de um fóton e o segundo detector possa medir o momento do outro fóton. Ao fazer medições simultâneas, é possível, usando a lei da conservação do momento, determinar com bastante precisão o momento e a direção do primeiro fóton, e sua localização quando ele atinge o primeiro detector. A alteração do procedimento de medição neste caso evita a necessidade do uso obrigatório do princípio da incerteza como meio limitante no cálculo dos erros de medição. A situação descrita não cancela o princípio da incerteza como tal, uma vez que a coordenada e o momento são medidos simultaneamente não para uma partícula localmente, mas para duas partículas distantes uma da outra.
Microscópio Heisenberg
Como um dos exemplos que ilustram o princípio da incerteza, Heisenberg citou um microscópio imaginário como dispositivo de medição. Com sua ajuda, o experimentador mede a posição e o momento do elétron, que espalha um fóton incidente sobre ele, revelando assim sua presença.
Se o fóton tiver um comprimento de onda curto e, portanto, um grande momento, a posição do elétron poderá, em princípio, ser medida com bastante precisão. Mas, neste caso, o fóton é espalhado aleatoriamente, transferindo para o elétron uma fração bastante grande e indefinida de seu momento. Se o fóton tiver um comprimento de onda longo e um momento pequeno, ele alterará pouco o momento do elétron, mas o espalhamento determinará a posição do elétron de maneira muito imprecisa. Como resultado, o produto das incertezas na coordenada e no momento permanece nada menos que a constante de Planck, até um fator numérico da ordem da unidade. Heisenberg não formulou uma expressão matemática exata para o princípio da incerteza, mas usou o princípio como uma relação quantitativa heurística.
Crítica
Interpretação de Copenhague da Mecânica Quântica e Princípio incerteza As ideias de Heisenberg provaram ser um alvo duplo para aqueles que acreditavam no realismo e no determinismo. A interpretação de Copenhaga da mecânica quântica não contém uma realidade fundamental que descreva o estado quântico e prescreva como os resultados experimentais devem ser calculados. Não se sabe antecipadamente se o sistema está num estado fundamental tal que as medições produzirão um resultado precisamente especificado. O universo físico não existe em determinístico forma, mas sim como um conjunto de probabilidades ou possibilidades. Por exemplo, o padrão (distribuição de probabilidade) produzido por milhões de fótons difratando através de uma fenda pode ser calculado usando a mecânica quântica, mas o caminho exato de cada fóton não pode ser previsto por nenhum método conhecido. A Interpretação de Copenhague acredita que isso não pode ser previsto de forma alguma não método.
Foi esta interpretação que Einstein questionou quando escreveu a Max Born: “Tenho certeza de que Deus não joga dados” ( Morrer Theorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, dass der Alte nicht würfelt ). Niels Bohr, um dos autores da Interpretação de Copenhague, respondeu: “Einstein, não diga a Deus o que fazer”.
Albert Einstein acreditava que a aleatoriedade aparece como um reflexo da nossa ignorância das propriedades fundamentais da realidade, enquanto Bohr acreditava que a distribuição de probabilidade é fundamental e única, dependendo do tipo de medição. O debate entre Einstein e Bohr sobre o princípio da incerteza durou mais de um ano.
Lacuna na tela
O primeiro experimento mental de Einstein para testar o princípio da incerteza foi:
Considere uma partícula passando por uma fenda em uma tela de largura d. A fenda resulta em uma incerteza do momento da partícula da ordem de h/d quando a partícula passa pela tela. Mas o momento de uma partícula pode ser determinado com precisão suficiente a partir do recuo da tela usando a lei da conservação do momento.
A resposta de Bohr foi: como a tela obedece às leis da mecânica quântica, então para medir o recuo com uma precisão de Δ P O momento da tela deve ser conhecido com precisão até a passagem da partícula. Isto leva a uma incerteza na posição da tela e da fenda igual a h / Δ P , e se o momento da tela for conhecido com precisão suficiente para medir o recuo, a posição da fenda acaba sendo determinada com uma precisão que não permite uma medição precisa da posição da partícula.
Uma análise semelhante com partículas submetidas a difração em diversas fendas está disponível em R. Feynman.
Caixa Einstein
Outro experimento mental de Einstein foi projetado para testar o princípio da incerteza em relação a variáveis acopladas, como tempo e energia. Se no experimento com uma fenda na tela as partículas se moveram em um determinado espaço, então no segundo caso elas se moveram por um determinado tempo.
Considere uma caixa cheia de radiação luminosa proveniente do decaimento radioativo. A caixa possui uma veneziana que a abre por um curto período de tempo precisamente conhecido, durante o qual parte da radiação sai da caixa. Para medir a energia transportada pela radiação, você pode pesar a caixa após a radiação, compará-la com o peso inicial e aplicar o princípio. Se a caixa estiver instalada em uma balança, as medições deverão mostrar imediatamente a imprecisão do princípio da incerteza.
Após um dia de reflexão, Bohr determinou que se a energia da própria caixa for conhecida exatamente no momento inicial, então o momento em que a veneziana se abre não pode ser conhecido com exatidão. Além disso, a balança e a caixa, devido às mudanças de peso durante a radiação, podem alterar sua posição no campo gravitacional. Isso leva a uma mudança na velocidade do tempo devido ao movimento do relógio e à influência da gravidade no relógio, e a uma imprecisão adicional na cronometragem do obturador.
Paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen
A terceira vez que a interpretação de Bohr do princípio da incerteza foi questionada foi em 1935, quando Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen (ver Paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen) publicaram sua análise dos estados de partículas interligadas separadas por longas distâncias. Segundo Einstein, medir a quantidade física de uma partícula na mecânica quântica deveria levar a uma mudança na probabilidade de distribuição de outra partícula, e a uma velocidade que pode até ultrapassar a velocidade da luz. Refletindo sobre isso, Bohr chegou à ideia de que a incerteza no princípio da incerteza não surge de tal medição direta.
O próprio Einstein acreditava que uma descrição completa da realidade deve incluir a previsão dos resultados de experimentos baseados em "quantidades determinísticas que variam localmente", levando a um aumento da informação em comparação com aquela que é limitada pelo princípio da incerteza.
Em 1964, John Bell mostrou que a suposição dos parâmetros ocultos de Einstein poderia ser testada porque levava a certas desigualdades entre probabilidades em diferentes experimentos. Até à data, não foi obtida nenhuma confirmação fiável da existência de parâmetros ocultos baseados nas desigualdades de Bell.
Há também um ponto de vista de que os resultados dos experimentos podem ser influenciados parâmetros ocultos não locais , em particular, D. Bohm aderiu a ela. Aqui a teoria quântica pode entrar em contato próximo com outros conceitos físicos. Por exemplo, parâmetros ocultos não locais podem ser considerados como um conjunto aleatório de dados que aparece em experimentos. Se assumirmos que o tamanho do universo visível limita esse conjunto e as conexões entre eles, então um computador quântico, segundo G. Hooft, provavelmente cometerá erros ao operar com números superiores a 10.000 unidades.
Críticas a Popper
K.R. Popper criticou o princípio da incerteza dado por Heisenberg - que medir a localização de uma partícula sempre afeta o resultado da medição do momento, indicando que quando uma partícula com um certo momento passa por uma lacuna estreita na onda refletida, há uma certa amplitude de a probabilidade da existência de um pulso igual ao momento antes da dispersão. Isto significa que em vários eventos a partícula passará pela lacuna sem alterar o seu momento. Neste caso, a relação de incerteza deve ser aplicada não para eventos ou experimentos individuais, mas para experimentos com muitas partículas idênticas com as mesmas condições iniciais, ou seja, para conjuntos quânticos. Este tipo de crítica aplica-se a todas as teorias probabilísticas, não apenas à mecânica quântica, uma vez que as declarações probabilísticas requerem muitas medições para serem verificadas.
Do ponto de vista da interpretação de Copenhague da mecânica quântica, atribuir um certo momento a uma partícula antes da medição equivale à existência de um parâmetro oculto. A partícula deve ser descrita não por este momento, mas por uma função de onda que muda à medida que passa pela fenda. Daí surge a incerteza do impulso, correspondente ao princípio da incerteza.
O princípio da incerteza da entropia da informação
Ao formular a interpretação de muitos mundos da mecânica quântica em 1957, Hugh Everett chegou a uma forma mais rigorosa do princípio da incerteza. . Se os estados quânticos têm uma função de onda da forma:
então seu desvio padrão nas coordenadas aumentará devido à superposição de um certo número de interações. A incerteza no momento também aumentará. Para esclarecer a desigualdade na relação de incerteza, utiliza-se a informação de Shannon para a distribuição de quantidades, medida pelo número de bits necessários para descrever a variável aleatória sob uma determinada distribuição de probabilidade:
O valor I é interpretado como o número de bits de informação recebidos pelo observador no momento em que o valor x atinge uma precisão ε igual a IX + log 2 (ε) . A segunda parte é o número de bits após a vírgula decimal e a primeira fornece o valor logarítmico da distribuição. Para distribuição uniforme de largura Δ x o conteúdo da informação é log 2 Δ x . Este valor pode ser negativo, o que significa que a distribuição é mais estreita que um, e os pequenos bits após o ponto decimal não fornecem informações devido à incerteza.
Se tomarmos o logaritmo da razão de incerteza nas chamadas unidades naturais:
então, nesta forma, o limite inferior é igual a zero.
Everett e Hirschman sugeriu que para todos os estados quânticos:
Isto foi comprovado por Beckner em 1975.
Derivados
Quando os operadores lineares A e B atuam na função ψ( x) , eles nem sempre se deslocam. Seja, por exemplo, o operador B uma multiplicação por x, e o operador A uma derivada em relação a x. Então a igualdade é válida:
que na linguagem do operador significa:
Esta expressão está muito próxima do comutador canônico da mecânica quântica, em que o operador de posição é a multiplicação da função de onda por x, e o operador de momento inclui a derivada e a multiplicação por. Isto dá:
Este comutador diferente de zero leva à relação de incerteza.
Para quaisquer duas afirmações A e B:
que corresponde a Desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky para o produto interno de dois vetores e . O valor esperado do produto AB excede a amplitude da parte imaginária:
Para operadores hermitianos isso dá Relação Robertson-Schrödinger :
e o princípio da incerteza como um caso especial.
Interpretação física
Ao passar dos operadores de quantidade para as incertezas, podemos escrever:
Onde
é a média da variável X no estado ψ,
é o desvio padrão da variável X no estado ψ.
Após substituição por A e para B na desigualdade geral do operador, o comutador assume a forma:
As normas e são na mecânica quântica os desvios padrão para A e B. Para a coordenada e o momento, a norma do comutador é igual a.
Mecânica matricial
Na mecânica matricial, o comutador das matrizes X e P não é igual a zero, mas ao valor multiplicado pela matriz identidade.
O comutador de duas matrizes não muda quando ambas as matrizes mudam devido a uma mudança para matrizes constantes x E p:
Para cada estado quântico ψ pode-se determinar o número x
como o valor esperado da coordenada, e
como o valor esperado do impulso. As quantidades e serão diferentes de zero na medida em que a posição e o momento são incertos, de modo que X e P diferem dos valores médios. Valor de troca esperado
pode ser diferente de zero se o desvio em X no estado multiplicado pelo desvio em P, bastante grande.
O valor quadrático de um elemento típico da matriz como o desvio quadrático pode ser estimado somando os quadrados dos estados de energia:
Portanto, a relação de comutação canônica é obtida multiplicando-se os desvios em cada estado, dando um valor de ordem:
Esta avaliação heurística pode ser refinada utilizando a desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky (ver acima). O produto interno de dois vetores entre parênteses:
limitado pelo produto dos comprimentos dos vetores:
Portanto, para cada estado haverá:
a parte real da matriz M é, então a parte real do produto de duas matrizes Hermitianas é igual a:
Para a parte imaginária temos:
A amplitude é maior que a amplitude de sua parte imaginária:
O produto das incertezas é limitado abaixo pelo valor esperado anti-comutador, dando o termo correspondente à relação de incerteza. Este termo não é importante para a incerteza de posição e momento, uma vez que tem valor esperado zero para um pacote de ondas gaussianas, como no estado fundamental de um oscilador harmônico. Ao mesmo tempo, o membro de anti-comutadorútil para limitar as incertezas dos operadores de spin.
Mecânica das ondas
Na equação de Schrödinger mecânica quântica a função de onda contém informações sobre a posição e o momento da partícula. A posição mais provável da partícula é onde a concentração da onda é maior, e o comprimento de onda principal determina o momento da partícula.
O comprimento de onda da onda localizada não é determinado com precisão. Se a onda estiver em um volume de tamanho L e o comprimento de onda for aproximadamente igual a λ, o número de ciclos de onda nesta região será da ordem eu / λ . O fato de o número de ciclos ser conhecido com precisão de um ciclo pode ser escrito da seguinte forma:
Isto corresponde a um resultado bem conhecido no processamento de sinais - quanto menor o período de tempo, menos precisa é a determinação da frequência. Da mesma forma, na transformada de Fourier, quanto mais estreito for o pico de uma função, mais ampla será sua imagem de Fourier.
Se multiplicarmos a igualdade por h , e coloque Δ P = hΔ (1/λ), Δ X = eu , então será:
O princípio da incerteza pode ser apresentado como um teorema nas transformadas de Fourier: o produto do desvio padrão do quadrado do valor absoluto de uma função e o desvio padrão do quadrado do valor absoluto de sua imagem de Fourier não é inferior a 1/ (16π 2).
Um exemplo típico é a função de onda gaussiana (não normalizada):
O valor esperado de X é zero devido à simetria, então a variação é encontrada calculando a média X 2 em todas as posições com peso ψ( x) 2 e levando em consideração a normalização:
Usando a transformada de Fourier podemos ir de ψ( x) para a função de onda em k espaço onde ké o número da onda e está relacionado ao momento pela relação de Broglie:
A última integral não depende de p, pois aqui as variáveis mudam continuamente 
, o que exclui tal dependência, e o caminho de integração no plano complexo não passa pela singularidade. Portanto, até a normalização, a função de onda é novamente gaussiana:
Largura de distribuição ké encontrado calculando a média por meio da integração, conforme mostrado acima:
Então neste exemplo
Simplético geometria
Em termos matemáticos, variáveis conjugadas fazem parte de simplético base, e o princípio da incerteza corresponde simplético formulário em simplético espaço.
Relação Robertson-Schrödinger
Tomemos quaisquer dois operadores hermitianos auto-adjuntos A E B, e o sistema está no estado ψ. Ao medir quantidades A E B uma distribuição de probabilidade com desvios padrão Δ ψ aparecerá A e Δψ B . Então a desigualdade será verdadeira:
Onde [ A,B] = AB - BA. há um interruptor A E B, {A,B} = AB+BA. existe um anticomutador e existe um valor esperado. Esta desigualdade é chamada de relação de Robertson-Schrodinger, que inclui o princípio da incerteza como um caso especial. A desigualdade com um comutador foi derivada em 1930 por Howard Percy Robertson, e um pouco mais tarde Erwin Schrödinger adicionou o termo com anti-comutador.
Também é possível que existam dois não pendular operadores auto-adjuntos A E B , que possuem o mesmo autovetor ψ. Neste caso, ψ representa um estado puro que é simultaneamente mensurável para A E B .
Outros princípios de incerteza
A relação de Robertson-Schrodinger leva a relações de incerteza para quaisquer duas variáveis que não comutam entre si:
- A relação de incerteza entre a coordenada e o momento de uma partícula:
- entre a energia e a posição da partícula no potencial unidimensional V(x):
- entre a coordenada angular e o momento angular de uma partícula com pequena incerteza angular:
- entre os componentes ortogonais do momento angular total da partícula:
Onde eu, j, k diferente e J eu significa momento angular ao longo do eixo XI .
- entre o número de elétrons em um supercondutor e a fase de seu ordenamento na teoria de Ginzburg-Landau:
Existe também uma relação de incerteza entre a intensidade do campo e o número de partículas, o que leva ao fenômeno das partículas virtuais.
Energia-tempo no princípio da incerteza
Energia e tempo estão incluídos na relação de incerteza, que não decorre diretamente da relação de Robertson-Schrodinger.
O produto da energia e do tempo tem a mesma dimensão que o produto do impulso e da coordenada, do momento angular e da função de ação. Portanto, Bohr já conhecia a seguinte relação:
Aqui Δt é o tempo de vida do estado quântico, e o tempo, como a coordenada espacial, define a evolução da partícula no sistema de coordenadas espaço-temporais.
Resulta da relação que um estado com vida útil curta não pode ter um determinado valor energético - durante esse tempo a energia deve mudar, tanto mais significativamente quanto menor for o tempo. Se a energia de um estado for proporcional à frequência de oscilação, então, para alta precisão na medição de energia, é necessário medir a frequência durante um período de tempo que inclua muitos ciclos de onda.
Por exemplo, na espectroscopia, os estados excitados têm um tempo de vida limitado. A energia média dos fótons emitidos está próxima do valor teórico da energia do estado, mas a distribuição de energia tem uma certa largura, chamada largura natural da linha . Quanto mais rápido um estado decai, maior será sua largura de linha correspondente, dificultando a medição precisa da energia. . Da mesma forma, existem dificuldades na determinação da massa restante de ressonâncias de decaimento rápido na física de partículas. Quanto mais rápido uma partícula decai, menos precisamente sua energia de massa é conhecida.
Uma formulação imprecisa do princípio da incerteza afirma que para medir a energia de um sistema quântico com uma precisão de Δ E leva tempo Δ t > h / Δ E . Sua imprecisão foi demonstrada por Yakir Aharonov e D. Bohm em 1961. Na verdade, o tempo Δ t há um momento em que o sistema existe na ausência de perturbações externas, e não o momento de medição ou influência dos instrumentos de medição.
Em 1936, Paul Dirac propôs uma definição precisa e derivação da relação energia-tempo de incerteza na teoria quântica relativística de “eventos”. Nesta formulação, as partículas se movem no espaço-tempo e em cada trajetória possuem seu próprio tempo interno. A formulação multitemporal da mecânica quântica é matematicamente equivalente à formulação padrão, mas é mais conveniente para generalização relativística. Com base nisso, Shinichiro Tomonaga criou uma teoria de perturbação covariante para a eletrodinâmica quântica.
Uma formulação mais conhecida e utilizada da relação energia-tempo de incerteza foi dada em 1945 por L. I. Mandelstam e I. E. Tamm. Para um sistema quântico em estado não estacionário, a quantidade observável B é representado por um operador autoconsistente e a fórmula é válida:
Onde Δ ψ E é o desvio padrão da operadora de energia do estado, Δ ψ B é o desvio padrão do operador e é o valor esperado neste estado. O segundo fator do lado esquerdo tem a dimensão do tempo e difere do tempo incluído na equação de Schrödinger. Este fator é o tempo de vida do estado em relação ao observado B , após o qual o valor esperado muda visivelmente.
Teoremas de incerteza na análise harmônica
Na análise harmônica, o princípio da incerteza implica que não se pode obter os valores exatos de uma função e seu mapa de Fourier; neste caso, a seguinte desigualdade é válida:
Existem outras relações entre a função ƒ e seu mapa de Fourier.
Teorema de Benedick
Este teorema afirma que o conjunto de pontos onde ƒ não é zero e o conjunto de pontos onde ƒ não é zero não podem ser ambos muito pequenos. Em particular, ƒ V eu 2 (R) e seu mapa de Fourier não podem ser suportados simultaneamente (têm a mesma função de suporte) em coberturas com medida de Lebesgue limitada. No processamento de sinais, este resultado é bem conhecido: uma função não pode ser limitada simultaneamente no tempo e na faixa de frequência.
Princípio da incerteza de Hardy
O matemático G. H. Hardy formulou o seguinte princípio em 1933: é impossível que as funções ƒ e ambas estejam “aumentando muito rapidamente”. Então se ƒ definido em eu 2 (R), Que:
exceto no caso f = 0
. Aqui está o mapa de Fourier 
é igual a , e se na integral substituirmos por para cada a < 2π
, então a integral correspondente será limitada por uma função diferente de zero f 0
.
Aninhamento infinito de matéria
Em teoria, o princípio da incerteza recebe uma interpretação especial. Segundo esta teoria, todo o conjunto de objetos existentes no Universo pode ser organizado em níveis, dentro dos quais os tamanhos e massas dos objetos que lhes pertencem não diferem tanto quanto entre os diferentes níveis. Neste caso, surge. É expresso, por exemplo, no fato de que as massas e tamanhos dos corpos ao passar de um nível para outro crescem exponencialmente e podem ser encontrados usando os coeficientes de similaridade correspondentes. Existem níveis básicos e intermediários de matéria. Se considerarmos níveis básicos de matéria como o nível das partículas elementares e o nível das estrelas, então neles podemos encontrar objetos semelhantes entre si - núcleons e estrelas de nêutrons. O elétron também tem sua contraparte no nível estelar - na forma de discos descobertos perto de pulsares de raios X, que são os principais candidatos a magnetares. . Com base nas propriedades conhecidas das partículas elementares (massa, raio, carga, spin, etc.) usando coeficientes de similaridade, é possível determinar as propriedades correspondentes de objetos semelhantes no nível estelar.
Além disso, devido às leis físicas, eles não mudam de forma nos diferentes níveis da matéria. Isso significa que além da semelhança dos objetos e de suas propriedades, há uma semelhança dos fenômenos correspondentes. Graças a isso, cada nível de matéria pode ser considerado seu próprio princípio de incerteza. O valor característico do quantum de ação e momento angular no nível das partículas elementares é o valor, isto é. Entra diretamente no princípio da incerteza. Para estrelas de nêutrons, o valor característico do quantum de ação é ħ' s = ħ ∙ Ф' ∙ S' ∙ Р' = 5,5∙10 41 J∙s, onde Ф', S', Р' são coeficientes de similaridade em termos de massa e taxas de processo e tamanhos em conformidade. Conseqüentemente, se medirmos a localização, o momento ou outras quantidades de estrelas de nêutrons individuais usando objetos estelares ou ainda mais massivos, então durante sua interação haverá uma troca de momento e momento angular, com um valor característico do quantum estelar de ação de a ordem de ħ' s. Neste caso, a medição das coordenadas afetará a precisão da medição do impulso e vice-versa, levando ao princípio da incerteza.
Do exposto segue-se que a essência do princípio da incerteza decorre do próprio procedimento de medição. Assim, as partículas elementares não podem ser estudadas de outra forma senão com a ajuda das próprias partículas elementares ou dos seus estados compostos (na forma de núcleos, átomos, moléculas, etc.), que inevitavelmente influenciam os resultados das medições. A interação das partículas entre si ou com dispositivos, neste caso, leva à necessidade de introduzir métodos estatísticos na mecânica quântica e apenas previsões probabilísticas dos resultados de quaisquer experimentos. Como o procedimento de medição apaga parte das informações que as partículas tinham antes das medições, a determinação direta de eventos a partir de quaisquer parâmetros ocultos, assumidos na teoria dos parâmetros ocultos, não funciona. Por exemplo, se você direcionar uma partícula para outra em uma direção precisamente especificada, deverá obter uma dispersão bem definida de partículas umas sobre as outras. Mas aqui surge o problema de que primeiro você precisa de alguma outra maneira de direcionar a partícula exatamente nesta direção dada. Como pode ser visto, a determinação dos eventos é dificultada não apenas pelo procedimento de medição, mas também pelo procedimento de estabelecimento dos estados iniciais exatos das partículas em estudo.
Expressão da quantidade finita disponível de informações de Fisher
O princípio da incerteza é alternativamente derivado como Desigualdades de Cramer-Rao na teoria clássica de medição. No caso em que a posição de uma partícula é medida, a raiz do momento quadrático médio da partícula entra na desigualdade como Informações sobre Fisher . Veja também informações físicas completas .
Humor científico
A natureza incomum do princípio da incerteza de Heisenberg e seu nome cativante tornaram-no fonte de diversas piadas. Diz-se que uma inscrição popular nas paredes dos departamentos de física dos campi universitários é: “Heisenberg pode ter estado aqui”.
Um dia, Werner Heisenberg é parado na estrada por um policial e pergunta: “Você sabe a que velocidade estava dirigindo, senhor?” Ao que o físico responde: “Não, mas sei exatamente onde estou!”
O princípio da incerteza na cultura popular
O princípio da incerteza é frequentemente mal compreendido ou mal caracterizado na imprensa popular. Uma distorção comum é que a observação de um evento altera o próprio evento. De um modo geral, isto não tem nada a ver com o princípio da incerteza. Quase qualquer operador linear altera o vetor sobre o qual atua (ou seja, quase qualquer observação altera o estado), mas para operadores comutativos não há restrições quanto à possível dispersão de valores. Por exemplo, projeções de momento no eixo c E sim podem ser medidos em conjunto com a precisão desejada, embora cada medição altere o estado do sistema. Além disso, o princípio da incerteza trata da medição paralela de quantidades para vários sistemas no mesmo estado, e não de interações sequenciais com o mesmo sistema.
Outras analogias (também enganosas) aos efeitos macroscópicos foram propostas para explicar o princípio da incerteza: uma envolve esmagar uma semente de melancia com o dedo. O efeito é conhecido – é impossível prever com que rapidez ou onde a semente desaparecerá. Este resultado aleatório é baseado inteiramente na aleatoriedade, que pode ser explicada em termos clássicos simples.
