O teorema de Vieta é frequentemente usado para verificar raízes que já foram encontradas. Se você encontrou as raízes, você pode usar as fórmulas \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) para calcular os valores de \(p \) e \(q\ ). E se forem iguais aos da equação original, então as raízes serão encontradas corretamente.

Por exemplo, vamos, usando , resolver a equação \(x^2+x-56=0\) e obter as raízes: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Vamos verificar se cometemos algum erro no processo de solução. No nosso caso, \(p=1\) e \(q=-56\). Pelo teorema de Vieta temos:

\(\begin(casos)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(casos)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(casos)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(casos)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(casos)-1=-1\\-56=-56\end(casos)\ )

Ambas as afirmações convergiram, o que significa que resolvemos a equação corretamente.

Essa verificação pode ser feita oralmente. Levará 5 segundos e evitará erros estúpidos.

Teorema inverso de Vieta

Se \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), então \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes da equação quadrática \ (x^2+px+q=0\).

Ou de uma forma simples: se você tem uma equação da forma \(x^2+px+q=0\), então resolvendo o sistema \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) você encontrará suas raízes.

Graças a este teorema, você pode encontrar rapidamente as raízes de uma equação quadrática, especialmente se essas raízes forem . Essa habilidade é importante porque economiza muito tempo.

Exemplo . Resolva a equação \(x^2-5x+6=0\).

Solução : Usando o teorema inverso de Vieta, descobrimos que as raízes satisfazem as condições: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Observe a segunda equação do sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). Em quais dois o número \(6\) pode ser decomposto? Em \(2\) e \(3\), \(6\) e \(1\) ou \(-2\) e \(-3\), e \(-6\) e \(- 1\). A primeira equação do sistema lhe dirá qual par escolher: \(x_1+x_2=5\). \(2\) e \(3\) são semelhantes, pois \(2+3=5\).
Responder : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Exemplos . Usando o inverso do teorema de Vieta, encontre as raízes da equação quadrática:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c)\(x^2+9x+20=0\); d)\(x^2-88x+780=0\).

Solução :
a) \(x^2-15x+14=0\) – em quais fatores \(14\) se decompõe? \(2\) e \(7\), \(-2\) e \(-7\), \(-1\) e \(-14\), \(1\) e \(14\ ). Quais pares de números somam \(15\)? Resposta: \(1\) e \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – em quais fatores \(-4\) se decompõe? \(-2\) e \(2\), \(4\) e \(-1\), \(1\) e \(-4\). Quais pares de números somam \(-3\)? Resposta: \(1\) e \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – em quais fatores \(20\) se decompõe? \(4\) e \(5\), \(-4\) e \(-5\), \(2\) e \(10\), \(-2\) e \(-10\ ), \(-20\) e \(-1\), \(20\) e \(1\). Quais pares de números somam \(-9\)? Resposta: \(-4\) e \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – em quais fatores \(780\) se decompõe? \(390\) e \(2\). Eles somarão \(88\)? Não. Que outros multiplicadores \(780\) possui? \(78\) e \(10\). Eles somarão \(88\)? Sim. Resposta: \(78\) e \(10\).

Não é necessário expandir o último termo para todos os fatores possíveis (como no último exemplo). Você pode verificar imediatamente se a soma deles dá \(-p\).

Importante! O teorema de Vieta e o teorema inverso só funcionam com , ou seja, aquele para o qual o coeficiente de \(x^2\) é igual a um. Se inicialmente recebemos uma equação não reduzida, então podemos reduzi-la simplesmente dividindo pelo coeficiente na frente de \(x^2\).

Por exemplo, seja dada a equação \(2x^2-4x-6=0\) e queremos usar um dos teoremas de Vieta. Mas não podemos, pois o coeficiente de \(x^2\) é igual a \(2\). Vamos nos livrar disso dividindo a equação inteira por \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Preparar. Agora você pode usar os dois teoremas.

Respostas para perguntas frequentes

Pergunta: Usando o teorema de Vieta, é possível resolver qualquer ?
Responder: Infelizmente não. Se a equação não contiver números inteiros ou se a equação não tiver nenhuma raiz, o teorema de Vieta não ajudará. Neste caso você precisa usar discriminante . Felizmente, 80% das equações da matemática escolar têm soluções inteiras.

Ao estudar métodos para resolver equações de segunda ordem em um curso escolar de álgebra, as propriedades das raízes resultantes são consideradas. Eles são atualmente conhecidos como teorema de Vieta. Exemplos de seu uso são fornecidos neste artigo.

Equação quadrática

A equação de segunda ordem é a igualdade mostrada na foto abaixo.

Aqui, os símbolos a, b, c são alguns números chamados coeficientes da equação em consideração. Para resolver uma igualdade, você precisa encontrar valores de x que a tornem verdadeira.

Observe que, como a potência máxima à qual x pode ser elevado é dois, o número de raízes no caso geral também é dois.

Existem várias maneiras de resolver este tipo de igualdade. Neste artigo consideraremos um deles, que envolve a utilização do chamado teorema de Vieta.

Formulação do teorema de Vieta

No final do século XVI, o famoso matemático François Viète (francês) percebeu, ao analisar as propriedades das raízes de várias equações quadráticas, que certas combinações delas satisfazem relações específicas. Em particular, estas combinações são o seu produto e soma.

O teorema de Vieta estabelece o seguinte: as raízes de uma equação quadrática, quando somadas, dão a razão entre os coeficientes lineares e quadráticos tomados com sinal oposto e, quando multiplicadas, levam à razão entre o termo livre e o coeficiente quadrático .

Se a forma geral da equação for escrita conforme mostrado na foto da seção anterior do artigo, então matematicamente este teorema pode ser escrito na forma de duas igualdades:

• r 2 + r 1 = -b/a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Onde r 1, r 2 é o valor das raízes da equação em questão.

As duas igualdades acima podem ser usadas para resolver vários problemas matemáticos diferentes. O uso do teorema de Vieta em exemplos com soluções é dado nas seções seguintes do artigo.

Entre as raízes e os coeficientes de uma equação quadrática, além das fórmulas de raiz, existem outras relações úteis que são fornecidas Teorema de Vieta. Neste artigo daremos uma formulação e prova do teorema de Vieta para uma equação quadrática. A seguir consideramos o teorema inverso ao teorema de Vieta. Depois disso, analisaremos as soluções para os exemplos mais típicos. Por fim, anotamos as fórmulas Vieta que definem a relação entre as raízes reais equação algébrica grau n e seus coeficientes.

Navegação na página.

Teorema de Vieta, formulação, prova

Das fórmulas das raízes da equação quadrática a·x 2 +b·x+c=0 da forma, onde D=b 2 −4·a·c, seguem as seguintes relações: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Esses resultados são confirmados Teorema de Vieta:

Teorema.

Se x 1 e x 2 são as raízes da equação quadrática a x 2 +b x+c=0, então a soma das raízes é igual à razão dos coeficientes b e a, tomados com o sinal oposto, e o produto de as raízes são iguais à razão dos coeficientes c e a, ou seja, .

Prova.

Faremos a prova do teorema de Vieta de acordo com o seguinte esquema: compomos a soma e o produto das raízes da equação quadrática usando fórmulas de raiz conhecidas, depois transformamos as expressões resultantes e certificamo-nos de que são iguais a −b/ a e c/a, respectivamente.

Vamos começar com a soma das raízes e fazer as contas. Agora trazemos as frações para um denominador comum, temos. No numerador da fração resultante, após o qual :. Finalmente, depois de 2, obtemos. Isto prova a primeira relação do teorema de Vieta para a soma das raízes de uma equação quadrática. Vamos passar para o segundo.

Compomos o produto das raízes da equação quadrática: . De acordo com a regra de multiplicação de frações, o último produto pode ser escrito como. Agora multiplicamos um colchete por um colchete no numerador, mas é mais rápido recolher esse produto por fórmula de diferença quadrada, Então . Então, lembrando, realizamos a próxima transição. E como o discriminante da equação quadrática corresponde à fórmula D=b 2 −4·a·c, então em vez de D na última fração podemos substituir b 2 −4·a·c, obtemos. Após abrir os parênteses e trazer termos semelhantes, chegamos à fração , e sua redução por 4·a dá . Isto prova a segunda relação do teorema de Vieta para o produto de raízes.

Se omitirmos as explicações, a prova do teorema de Vieta assumirá uma forma lacônica:
,
.

Resta apenas notar que se o discriminante for igual a zero, a equação quadrática terá uma raiz. No entanto, se assumirmos que a equação neste caso tem duas raízes idênticas, então as igualdades do teorema de Vieta também são válidas. Na verdade, quando D=0 a raiz da equação quadrática é igual a , então e , e como D=0, ou seja, b 2 −4·a·c=0, de onde b 2 =4·a·c, então .

Na prática, o teorema de Vieta é mais frequentemente usado em relação à equação quadrática reduzida (com o coeficiente principal a igual a 1) da forma x 2 +p·x+q=0. Às vezes é formulado apenas para equações quadráticas deste tipo, o que não limita a generalidade, uma vez que qualquer equação quadrática pode ser substituída por uma equação equivalente dividindo ambos os lados por um número diferente de zero a. Vamos dar a formulação correspondente do teorema de Vieta:

Teorema.

A soma das raízes da equação quadrática reduzida x 2 +p x+q=0 é igual ao coeficiente de x tomado com sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre, ou seja, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Teorema inverso ao teorema de Vieta

A segunda formulação do teorema de Vieta, dada no parágrafo anterior, indica que se x 1 e x 2 são as raízes da equação quadrática reduzida x 2 +p x+q=0, então as relações x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Por outro lado, das relações escritas x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q segue-se que x 1 e x 2 são as raízes da equação quadrática x 2 +p x+q=0. Em outras palavras, a recíproca do teorema de Vieta é verdadeira. Vamos formulá-lo na forma de um teorema e prová-lo.

Teorema.

Se os números x 1 e x 2 são tais que x 1 +x 2 =−p e x 1 · x 2 =q, então x 1 e x 2 são as raízes da equação quadrática reduzida x 2 +p · x+q =0.

Prova.

Após substituir os coeficientes p e q na equação x 2 +p·x+q=0 pelas suas expressões através de x 1 e x 2, ela é transformada em uma equação equivalente.

Vamos substituir o número x 1 em vez de x na equação resultante, temos a igualdade x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, que para qualquer x 1 e x 2 representa a igualdade numérica correta 0=0, uma vez que x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Portanto, x 1 é a raiz da equação x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, o que significa que x 1 é a raiz da equação equivalente x 2 +p·x+q=0.

Se na equação x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 substitua o número x 2 em vez de x, obtemos a igualdade x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Esta é uma verdadeira igualdade, pois x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Portanto, x 2 também é uma raiz da equação x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, e portanto as equações x 2 +p·x+q=0.

Isso completa a prova do teorema inverso ao teorema de Vieta.

Exemplos de uso do teorema de Vieta

É hora de falar sobre a aplicação prática do teorema de Vieta e seu teorema inverso. Nesta seção analisaremos soluções para vários dos exemplos mais típicos.

Vamos começar aplicando o teorema inverso ao teorema de Vieta. É conveniente usar para verificar se dois números dados são raízes de uma determinada equação quadrática. Neste caso, calcula-se a soma e a diferença, após o que se verifica a validade das relações. Se ambas as relações forem satisfeitas, então em virtude do teorema inverso ao teorema de Vieta, conclui-se que estes números são as raízes da equação. Se pelo menos uma das relações não for satisfeita, então esses números não são as raízes da equação quadrática. Esta abordagem pode ser usada ao resolver equações quadráticas para verificar as raízes encontradas.

Exemplo.

Qual dos pares de números 1) x 1 =−5, x 2 =3, ou 2) ou 3) é um par de raízes da equação quadrática 4 x 2 −16 x+9=0?

Solução.

Os coeficientes da equação quadrática dada 4 x 2 −16 x+9=0 são a=4, b=−16, c=9. Segundo o teorema de Vieta, a soma das raízes de uma equação quadrática deve ser igual a −b/a, ou seja, 16/4=4, e o produto das raízes deve ser igual a c/a, ou seja, 9 /4.

Agora vamos calcular a soma e o produto dos números em cada um dos três pares dados e compará-los com os valores que acabamos de obter.

No primeiro caso temos x 1 +x 2 =−5+3=−2. O valor resultante é diferente de 4, portanto nenhuma verificação adicional pode ser realizada, mas usando o teorema inverso ao teorema de Vieta, pode-se concluir imediatamente que o primeiro par de números não é um par de raízes da equação quadrática dada.

Passemos ao segundo caso. Aqui, isto é, a primeira condição é atendida. Verificamos a segunda condição: o valor resultante é diferente de 9/4. Conseqüentemente, o segundo par de números não é um par de raízes da equação quadrática.

Resta um último caso. Aqui e . Ambas as condições são atendidas, então esses números x 1 e x 2 são as raízes da equação quadrática dada.

Responder:

O inverso do teorema de Vieta pode ser usado na prática para encontrar as raízes de uma equação quadrática. Normalmente, são selecionadas raízes inteiras das equações quadráticas fornecidas com coeficientes inteiros, pois em outros casos isso é bastante difícil de fazer. Nesse caso, eles usam o fato de que se a soma de dois números for igual ao segundo coeficiente de uma equação quadrática, tomada com sinal menos, e o produto desses números for igual ao termo livre, então esses números são os raízes desta equação quadrática. Vamos entender isso com um exemplo.

Vamos pegar a equação quadrática x 2 −5 x+6=0. Para que os números x 1 e x 2 sejam as raízes desta equação, duas igualdades devem ser satisfeitas: x 1 + x 2 =5 e x 1 ·x 2 =6. Resta apenas selecionar esses números. Neste caso, isto é bastante simples de fazer: tais números são 2 e 3, pois 2+3=5 e 2·3=6. Assim, 2 e 3 são as raízes desta equação quadrática.

O teorema inverso ao teorema de Vieta é especialmente conveniente para usar para encontrar a segunda raiz de uma determinada equação quadrática quando uma das raízes já é conhecida ou óbvia. Neste caso, a segunda raiz pode ser encontrada em qualquer uma das relações.

Por exemplo, vamos pegar a equação quadrática 512 x 2 −509 x −3=0. Aqui é fácil perceber que a unidade é a raiz da equação, pois a soma dos coeficientes desta equação quadrática é igual a zero. Então x 1 =1. A segunda raiz x 2 pode ser encontrada, por exemplo, na relação x 1 ·x 2 =c/a. Temos 1 x 2 =−3/512, do qual x 2 =−3/512. Foi assim que determinamos ambas as raízes da equação quadrática: 1 e −3/512.

É claro que a seleção das raízes só é aconselhável nos casos mais simples. Em outros casos, para encontrar raízes, você pode usar fórmulas para as raízes de uma equação quadrática por meio de um discriminante.

Outra aplicação prática da recíproca do teorema de Vieta é construir equações quadráticas dadas as raízes x 1 e x 2 . Para isso, basta calcular a soma das raízes, que dá o coeficiente de x com sinal oposto da equação quadrática dada, e o produto das raízes, que dá o termo livre.

Exemplo.

Escreva uma equação quadrática cujas raízes sejam −11 e 23.

Solução.

Vamos denotar x 1 =−11 e x 2 =23. Calculamos a soma e o produto destes números: x 1 +x 2 =12 e x 1 ·x 2 =−253. Portanto, os números indicados são as raízes da equação quadrática reduzida com um segundo coeficiente de −12 e um termo livre de −253. Ou seja, x 2 −12·x−253=0 é a equação necessária.

Responder:

x 2 −12·x−253=0 .

O teorema de Vieta é muito utilizado na resolução de problemas relacionados aos sinais das raízes de equações quadráticas. Como o teorema de Vieta se relaciona com os sinais das raízes da equação quadrática reduzida x 2 +p·x+q=0? Aqui estão duas declarações relevantes:

• Se o termo livre q for um número positivo e se a equação quadrática tiver raízes reais, ambos serão positivos ou negativos.
• Se o termo livre q for um número negativo e se a equação quadrática tiver raízes reais, então seus sinais são diferentes, ou seja, uma raiz é positiva e a outra é negativa.

Essas afirmações decorrem da fórmula x 1 · x 2 =q, bem como das regras para multiplicar números positivos, negativos e números com sinais diferentes. Vejamos exemplos de sua aplicação.

Exemplo.

R é positivo. Usando a fórmula discriminante, encontramos D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, o valor da expressão r 2 +8 é positivo para qualquer r real, portanto D>0 para qualquer r real. Consequentemente, a equação quadrática original tem duas raízes para quaisquer valores reais do parâmetro r.

Agora vamos descobrir quando as raízes têm sinais diferentes. Se os sinais das raízes forem diferentes, então o seu produto é negativo e, segundo o teorema de Vieta, o produto das raízes da equação quadrática reduzida é igual ao termo livre. Portanto, estamos interessados ​​​​nos valores de r para os quais o termo livre r−1 é negativo. Assim, para encontrar os valores de r que nos interessam, precisamos resolver a desigualdade linear r−1<0 , откуда находим r<1 .

Responder:

em r<1 .

Fórmulas vietnamitas

Acima falamos sobre o teorema de Vieta para uma equação quadrática e analisamos as relações que ele afirma. Mas existem fórmulas que conectam raízes e coeficientes reais não apenas de equações quadráticas, mas também de equações cúbicas, equações de quarto grau e, em geral, equações algébricas grau Eles são chamados Fórmulas de Vieta.

Vamos escrever a fórmula de Vieta para uma equação algébrica de grau n da forma, e assumiremos que ela possui n raízes reais x 1, x 2, ..., x n (entre elas pode haver outras coincidentes):

As fórmulas de Vieta podem ser obtidas teorema sobre a decomposição de um polinômio em fatores lineares, bem como a definição de polinômios iguais através da igualdade de todos os seus coeficientes correspondentes. Portanto, o polinômio e sua expansão em fatores lineares da forma são iguais. Abrindo os colchetes do último produto e igualando os coeficientes correspondentes, obtemos as fórmulas de Vieta.

Em particular, para n=2 temos as já familiares fórmulas de Vieta para uma equação quadrática.

Para uma equação cúbica, as fórmulas de Vieta têm a forma

Resta apenas notar que no lado esquerdo das fórmulas de Vieta estão as chamadas fórmulas elementares polinômios simétricos.

Bibliografia.

• Álgebra: livro didático para a 8ª série. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M.: Educação, 2008. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Álgebra. 8 ª série. Em 2 horas Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Álgebra e o início da análise matemática. 10ª série: livro didático. para educação geral instituições: básicas e especializadas. níveis / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editado por A. B. Zhizhchenko. - 3ª edição. - M.: Educação, 2010.- 368 p. : doente. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Na oitava série, os alunos são apresentados às equações quadráticas e como resolvê-las. Ao mesmo tempo, como mostra a experiência, a maioria dos alunos usa apenas um método ao resolver equações quadráticas completas - a fórmula para as raízes de uma equação quadrática. Para alunos que possuem boas habilidades aritméticas mentais, esse método é claramente irracional. Os alunos muitas vezes têm que resolver equações quadráticas mesmo no ensino médio, e aí é simplesmente uma pena perder tempo calculando o discriminante. Na minha opinião, ao estudar equações quadráticas, mais tempo e atenção deveriam ser dedicados à aplicação do teorema de Vieta (de acordo com o programa A.G. Mordkovich Algebra-8, apenas duas horas estão previstas para estudar o tópico “Teorema de Vieta. Decomposição de um quadrático trinômio em fatores lineares”).

Na maioria dos livros didáticos de álgebra, este teorema é formulado para a equação quadrática reduzida e afirma que se a equação tem raízes e, então as igualdades,, são satisfeitas para eles. Em seguida, é formulada uma afirmação contrária ao teorema de Vieta, e uma série de exemplos são oferecidos para trabalhar neste tópico.

Tomemos exemplos específicos e traçamos a lógica da solução usando o teorema de Vieta.

Exemplo 1. Resolva a equação.

Digamos que esta equação tenha raízes, ou seja, e. Então, de acordo com o teorema de Vieta, as igualdades devem ser válidas simultaneamente:

Observe que o produto das raízes é um número positivo. Isso significa que as raízes da equação têm o mesmo sinal. E como a soma das raízes também é um número positivo, concluímos que ambas as raízes da equação são positivas. Voltemos novamente ao produto das raízes. Vamos supor que as raízes da equação sejam inteiros positivos. Então a primeira igualdade correta só pode ser obtida de duas maneiras (até a ordem dos fatores): ou . Verifiquemos para os pares de números propostos a viabilidade da segunda afirmação do teorema de Vieta: . Assim, os números 2 e 3 satisfazem ambas as igualdades e, portanto, são as raízes da equação dada.

Resposta: 2; 3.

Destacamos as principais etapas do raciocínio ao resolver a equação quadrática acima usando o teorema de Vieta:

escreva a afirmação do teorema de Vieta

(*)

• determine os sinais das raízes da equação (se o produto e a soma das raízes forem positivos, então ambas as raízes são números positivos. Se o produto das raízes for um número positivo e a soma das raízes for negativa, então ambas as raízes são números negativos. Se o produto das raízes for um número negativo, então as raízes têm sinais diferentes. Além disso, se a soma das raízes for positiva, então a raiz com um módulo maior é um número positivo, e se o módulo for positivo. a soma das raízes é menor que zero, então a raiz com módulo maior é um número negativo);
• selecione pares de inteiros cujo produto forneça a primeira igualdade correta na notação (*);
• dos pares de números encontrados, selecione o par que, quando substituído na segunda igualdade na notação (*), dará a igualdade correta;
• indique em sua resposta as raízes encontradas da equação.

Vamos dar mais exemplos.

Exemplo 2: Resolva a equação .

Solução.

Sejam e as raízes da equação dada. Então, pelo teorema de Vieta, notamos que o produto é positivo e a soma é um número negativo. Isso significa que ambas as raízes são números negativos. Selecionamos pares de fatores que dão um produto de 10 (-1 e -10; -2 e -5). O segundo par de números soma -7. Isso significa que os números -2 e -5 são as raízes desta equação.

Responder: -2; -5.

Exemplo 3: Resolva a equação .

Solução.

Sejam e as raízes da equação dada. Então, pelo teorema de Vieta, notamos que o produto é negativo. Isso significa que as raízes têm sinais diferentes. A soma das raízes também é um número negativo. Isso significa que a raiz com maior módulo é negativa. Selecionamos pares de fatores que dão o produto -10 (1 e -10; 2 e -5). O segundo par de números soma -3. Isso significa que os números 2 e -5 são as raízes desta equação.

Responder: 2; -5.

Observe que o teorema de Vieta pode, em princípio, ser formulado para uma equação quadrática completa: se equação quadrática tem raízes e, então as igualdades,, são satisfeitas para eles. Contudo, a aplicação deste teorema é bastante problemática, uma vez que numa equação quadrática completa pelo menos uma das raízes (se houver, claro) é um número fracionário. E trabalhar com seleção de frações é longo e difícil. Mas ainda há uma saída.

Considere a equação quadrática completa . Multiplique ambos os lados da equação pelo primeiro coeficiente A e escreva a equação na forma . Vamos introduzir uma nova variável e obter a equação quadrática reduzida, cujas raízes e (se disponível) podem ser encontradas usando o teorema de Vieta. Então as raízes da equação original serão . Observe que é muito simples criar a equação auxiliar reduzida: o segundo coeficiente é preservado e o terceiro coeficiente é igual ao produto ac. Com certa habilidade, os alunos criam imediatamente uma equação auxiliar, encontram suas raízes usando o teorema de Vieta e indicam as raízes da equação completa dada. Vamos dar exemplos.

Exemplo 4: Resolva a equação .

Vamos criar uma equação auxiliar e usando o teorema de Vieta encontraremos suas raízes. Isso significa que as raízes da equação original .

Responder: .

Exemplo 5: Resolva a equação .

A equação auxiliar tem a forma . De acordo com o teorema de Vieta, suas raízes são. Encontrando as raízes da equação original .

Responder: .

E mais um caso em que a aplicação do teorema de Vieta permite encontrar verbalmente as raízes de uma equação quadrática completa. Não é difícil provar que o número 1 é a raiz da equação , se e apenas se. A segunda raiz da equação é encontrada pelo teorema de Vieta e é igual a. Outra declaração: de modo que o número –1 é a raiz da equação necessário e suficiente para. Então a segunda raiz da equação de acordo com o teorema de Vieta é igual a. Afirmações semelhantes podem ser formuladas para a equação quadrática reduzida.

Exemplo 6: Resolva a equação.

Observe que a soma dos coeficientes da equação é zero. Então, as raízes da equação .

Responder: .

Exemplo 7. Resolva a equação.

Os coeficientes desta equação satisfazem a propriedade (na verdade, 1-(-999)+(-1000)=0). Então, as raízes da equação .

Responder: ..

Exemplos de aplicação do teorema de Vieta

Tarefa 1. Resolva a equação quadrática dada usando o teorema de Vieta.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Tarefa 2. Resolva a equação quadrática completa passando para a equação quadrática reduzida auxiliar.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Tarefa 3. Resolva uma equação quadrática usando a propriedade.

Primeiro, vamos formular o próprio teorema: Vamos ter uma equação quadrática reduzida da forma x^2+b*x + c = 0. Digamos que esta equação contenha raízes x1 e x2. Então, de acordo com o teorema, as seguintes afirmações são válidas:

1) A soma das raízes x1 e x2 será igual ao valor negativo do coeficiente b.

2) O produto dessas mesmas raízes nos dará o coeficiente c.

Mas qual é a equação dada?

Uma equação quadrática reduzida é uma equação quadrática cujo coeficiente do grau mais alto é igual a um, ou seja, esta é uma equação da forma x^2 + b*x + c = 0. (e a equação a*x^2 + b*x + c = 0 não é reduzida). Em outras palavras, para trazer a equação para a forma dada, devemos dividir esta equação pelo coeficiente de maior potência (a). A tarefa é trazer esta equação para a seguinte forma:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Dividindo cada equação pelo coeficiente de maior grau, obtemos:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X ^ 2 + 3,5 * x - 5,5 = 0.

Como você pode ver nos exemplos, mesmo equações contendo frações podem ser reduzidas à forma dada.

Usando o teorema de Vieta

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

obtemos as raízes: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

como resultado obtemos as raízes: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

obtemos as raízes: x1 = −1; x2 = −4.

O significado do teorema de Vieta

O teorema de Vieta nos permite resolver qualquer equação quadrática reduzida em quase segundos. À primeira vista, esta parece ser uma tarefa bastante difícil, mas depois de 5 10 equações, você pode aprender a ver as raízes imediatamente.

A partir dos exemplos dados, e usando o teorema, fica claro como você pode simplificar significativamente a solução de equações quadráticas, porque usando este teorema, você pode resolver uma equação quadrática praticamente sem cálculos complexos e sem calcular o discriminante, e como você sabe, o menos cálculos, mais difícil será cometer erros, o que é importante.

Em todos os exemplos, usamos esta regra com base em duas suposições importantes:

A equação dada, ou seja, o coeficiente do grau mais alto é igual a um (esta condição é fácil de evitar. Você pode usar a forma não reduzida da equação, então as seguintes afirmações serão válidas x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, mas geralmente é mais difícil de resolver :))

Quando uma equação tem duas raízes diferentes. Assumimos que a desigualdade é verdadeira e o discriminante é estritamente maior que zero.

Portanto, podemos criar um algoritmo de solução geral usando o teorema de Vieta.

Algoritmo de solução geral usando o teorema de Vieta

Reduzimos uma equação quadrática à forma reduzida se a equação nos for dada na forma não reduzida. Quando os coeficientes da equação quadrática, que apresentamos anteriormente como dados, se revelam fracionários (não decimais), então neste caso nossa equação deve ser resolvida através do discriminante.

Também há casos em que o retorno à equação inicial nos permite trabalhar com números “convenientes”.