Conceitos Básicos

Como parte da questão da medição de ângulos, nesta seção consideraremos vários conceitos relacionados à informação geométrica inicial:

• canto;
• ângulo desdobrado e não desenvolvido;
• grau, minuto e segundo;
• medida de grau de ângulo;
• ângulos retos, agudos e obtusos.

Um ângulo é uma figura geométrica que consiste em um ponto (vértice) e dois raios (lados) que emanam dele. Um ângulo é chamado de desenvolvido se ambos os raios estiverem na mesma linha reta.

Graças à medida em graus do ângulo, os ângulos podem ser medidos. A medição de ângulos é realizada de forma semelhante à medição de segmentos. Assim como na medição de segmentos, na medição de ângulos é utilizada uma unidade de medida especial. Na maioria das vezes é um diploma.

Definição 1

Um diploma é uma unidade de medida. Na geometria, representa o ângulo com o qual outros ângulos são comparados. O grau é igual a $\frac(1)(180)$ do ângulo reto.

Agora podemos definir a medida em graus de um ângulo.

Definição 2

A medida de grau de um ângulo é um número positivo que indica quantas vezes um grau é colocado em um determinado ângulo.

Um transferidor é usado para medir ângulos.

Um exemplo de escrita de uma medida de grau: $\angle ABC = 150^(\circ)$. Na figura, esta entrada significa o seguinte:

Oralmente eles dizem isto: “O ângulo ABC é de 150 graus”.

Algumas partes do curso têm seus próprios nomes especiais. Um minuto é uma $\frac(1)(60)$ parte de um grau, denotada pelo sinal $"$. Um segundo é uma $\frac(1)(60)$ parte de um minuto, denotada por $" "$. Um exemplo de como escrever um ângulo em 75 graus, 45 minutos e 28 segundos: $75^(\circ)45"28""$.

Aqueles ângulos cujas medidas de grau são iguais são chamados iguais. Conseqüentemente, os ângulos podem ser comparados dizendo que um ângulo é menor que outro ou que um ângulo é maior que outro.

A definição de um ângulo girado foi dada acima. Usando o conceito de medida de grau, podemos descrever a diferença entre um ângulo desenvolvido e um não desenvolvido. O ângulo invertido é sempre $180^(\circ)$. Um ângulo não desenvolvido é qualquer ângulo menor que $180^(\circ)$.

Existem ângulos retos, agudos e obtusos. Um ângulo reto é igual a $90^(\circ)$, um ângulo agudo é menor que $90^(\circ)$, um ângulo obtuso é maior que $90^(\circ)$ e menor que $180^(\circ) $.

Figura 4. Ângulos reto, agudo e obtuso. Author24 - intercâmbio online de trabalhos de alunos

Na vida cotidiana existem exemplos da necessidade e importância da capacidade de medir ângulos e compreender graus. Medir ângulos é necessário em diversos estudos, inclusive na astronomia, na determinação da posição dos corpos celestes.

Para praticar, tente desenhar pelo menos três ângulos desvendados e um desdobrado de maneiras diferentes, meça os ângulos com um transferidor e anote esses resultados. Você pode definir números aleatórios e praticar a precisão do desenho de ângulos usando um transferidor, dividindo-os usando uma bissetriz (uma bissetriz é um raio que emana do vértice de um determinado ângulo e divide o ângulo ao meio).

Exemplos de problemas

Exemplo 1

Tarefa. Há um desenho:

Os raios $DE$ e $DF$ são as bissetoras dos ângulos correspondentes $ADB$ e $BDC$. Você precisa encontrar o ângulo $ADC$ se $\angle EDF = 75^(\circ)$.

Solução. Como o ângulo $EDF$ contém metade de cada ângulo $ADB$ e $BDC$, podemos concluir que $EDF$ é exatamente metade do próprio ângulo $ADC$. Obtemos cálculos simples: $\angle ADC=75\cdot 2=150^(\circ)$.

Responder: $150^(\circ)$.

Vamos dar outro exemplo interessante.

Exemplo 2

Tarefa. Um desenho é fornecido.

O ângulo $ABC$ está certo. Os ângulos $ABE$, $EBD$ e $DBC$ são iguais. Você precisa encontrar o ângulo formado pelas bissetoras $ABE$ e $DBC$.

Solução. Como $ABC$ é um ângulo reto, significa que é igual a $90^(\circ)$. Ângulo $\ângulo EBD=90/3=30^(\circ)$. Como os ângulos $ABE$, $EBD$ e $DBC$ são iguais, qualquer um deles será igual a $30^(\circ)$. A bissetriz de qualquer um desses ângulos dividirá qualquer um desses ângulos em dois ângulos iguais a $15^(\circ)$. Como as duas metades dos ângulos $ABE$ e $DBC$ pertencem ao ângulo desejado, podemos dizer que o ângulo desejado é igual a $30+15+15=60^(\circ)$.

Responder. $60^(\circ)$

Neste artigo cobrimos completamente a questão da medida do grau de um ângulo e como medir ângulos.

Como encontrar a medida em graus de um ângulo?

Para muitas pessoas na escola, a geometria é um verdadeiro teste. Uma das formas geométricas básicas é um ângulo. Este conceito significa dois raios que se originam no mesmo ponto. Para medir o valor (magnitude) de um ângulo, são usados ​​​​graus ou radianos. Você aprenderá como encontrar a medida do grau de um ângulo em nosso artigo.

Tipos de ângulos

Digamos que temos um ângulo. Se o expandirmos em uma linha reta, seu valor será igual a 180 graus. Esse ângulo é chamado de ângulo girado e 1/180 de sua parte é considerado um grau.

Além do ângulo reto, existem também ângulos agudos (menos de 90 graus), obtusos (mais de 90 graus) e retos (iguais a 90 graus). Esses termos são usados ​​para caracterizar a medida de grau de um ângulo.

Medição de ângulo

O ângulo é medido usando um transferidor. Este é um dispositivo especial no qual o semicírculo já está dividido em 180 partes. Anexe o transferidor ao canto de forma que um dos lados do canto coincida com a parte inferior do transferidor. O segundo feixe deve cruzar o arco do transferidor. Caso isso não aconteça, retire o transferidor e use uma régua para alongar o feixe. Se o ângulo “abre” à direita do vértice, seu valor é lido na escala superior, se à esquerda - na inferior.

No sistema SI, costuma-se medir a magnitude de um ângulo em radianos, e não em graus. Apenas 3,14 radianos cabem no ângulo desdobrado, então esse valor é inconveniente e quase nunca é usado na prática. É por isso que você precisa saber como converter radianos em graus. Existe uma fórmula para isso:

• Graus = radianos/π x 180

Por exemplo, o ângulo é 1,6 radianos. Converter em graus: 1,6/3,14 * 180 = 92

Propriedades dos cantos

Agora você sabe medir e recalcular graus de ângulos. Mas para resolver problemas, você também precisa conhecer as propriedades dos ângulos. Até o momento, os seguintes axiomas foram formulados:

• Qualquer ângulo pode ser expresso em graus maiores que zero. O tamanho do ângulo girado é 360.
• Se um ângulo consiste em vários ângulos, então sua medida de grau é igual à soma de todos os ângulos.
• Num determinado semiplano, a partir de qualquer raio é possível construir um ângulo de determinado valor, inferior a 180 graus, e apenas um.
• Os valores de ângulos iguais são iguais.
• Para adicionar dois ângulos, você precisa somar seus valores.

Compreender essas regras e saber como medir ângulos é a chave para aprender geometria com sucesso.

Um ângulo é uma figura que consiste em um ponto - o vértice do ângulo e duas meias-linhas diferentes que emanam deste ponto - os lados do ângulo (Fig. 14). Se os lados de um ângulo forem meias-linhas complementares, então o ângulo é chamado de ângulo desenvolvido.

Um ângulo é designado indicando seu vértice, ou indicando seus lados, ou indicando três pontos: o vértice e dois pontos nos lados do ângulo. A palavra "ângulo" às vezes é substituída

O símbolo do Ângulo na Figura 14 pode ser designado de três maneiras:

Diz-se que um raio c passa entre os lados de um ângulo se vier de seu vértice e interceptar algum segmento com extremidades nos lados do ângulo.

Na Figura 15, o raio c passa entre os lados do ângulo ao cruzar o segmento

No caso de um ângulo reto, qualquer raio que emana de seu vértice e diferente de seus lados passa entre os lados do ângulo.

Os ângulos são medidos em graus. Se você pegar um ângulo reto e dividi-lo em 180 ângulos iguais, a medida em graus de cada um desses ângulos é chamada de grau.

As propriedades básicas da medição do ângulo são expressas no seguinte axioma:

Cada ângulo tem uma certa medida de grau maior que zero. O ângulo girado é 180°. A medida em graus de um ângulo é igual à soma das medidas em graus dos ângulos em que ele é dividido por qualquer raio que passe entre seus lados.

Isso significa que se um raio c passa entre os lados de um ângulo, então o ângulo é igual à soma dos ângulos

A medida do grau de um ângulo é encontrada usando um transferidor.

Um ângulo igual a 90° é chamado de ângulo reto. Um ângulo menor que 90° é chamado de ângulo agudo. Um ângulo maior que 90° e menor que 180° é chamado de obtuso.

Formulemos a propriedade principal de reservar cantos.

A partir de qualquer meia linha, em um determinado semiplano, você pode colocar um ângulo com uma determinada medida de grau menor que 180°, e apenas um.

Considere a meia linha a. Vamos estendê-lo além do ponto inicial A. A linha reta resultante divide o plano em dois semiplanos. A Figura 16 mostra como, usando um transferidor, traçar um ângulo com uma determinada medida de grau de 60° de uma semi-reta até o semiplano superior.

T. 1. 2. Se dois ângulos de uma determinada meia-linha forem colocados em um semiplano, então o lado do ângulo menor, diferente da meia-linha dada, passa entre os lados do ângulo maior.

Sejam os ângulos separados de uma determinada meia linha a em um semiplano, e seja o ângulo menor que o ângulo . O Teorema 1.2 afirma que o raio passa entre os lados do ângulo (Fig. 17).

A bissetriz de um ângulo é o raio que emana de seu vértice, passa entre os lados e divide o ângulo ao meio. Na Figura 18, o raio é a bissetriz do ângulo

Na geometria existe o conceito de ângulo plano. Um ângulo plano é uma parte de um plano delimitada por dois raios diferentes que emanam de um ponto. Esses raios são chamados de lados do ângulo. Existem dois ângulos planos com lados dados. Eles são chamados de adicionais. Na Figura 19, um dos ângulos planos com os lados a e está sombreado.

Palestra: A magnitude do ângulo, a medida em graus do ângulo, a correspondência entre a magnitude do ângulo e o comprimento do arco de um círculo

Medida de ânguloé a quantidade pela qual um raio se desvia em relação à sua posição original.

A medida de um ângulo pode ser medida em duas grandezas: graus e radianos, daí o nome das unidades - grau e radiano medida do ângulo.

Medida de grau do ângulo

A medida de graus permite estimar quantos graus, minutos ou segundos estão colocados em um determinado ângulo.

Os ângulos em graus são calculados partindo do ponto de vista de que a rotação completa do feixe é de 360°. Meia volta de 180° é um ângulo reto, um quarto - 90° é um ângulo reto, etc.

Medida radiana do ângulo

Agora vamos descobrir qual é a medida em radianos de um ângulo. Como sabemos pela física, existem unidades adicionais. Por exemplo, para medir temperatura, a unidade principal é Kelvin e a unidade adicional é Celsius. Para medir o comprimento usamos metros, mas os britânicos usam pés. Esta lista é infinita. A questão é você entender que, além da medida grau do ângulo, existe a medida radiano, que também tem direito de existir.

Para determinar a medida em radianos de um ângulo, um círculo é usado. Acredita-se que a medida em radianos seja o comprimento do arco de círculo descrito pelo ângulo central.

Lembre-se de que um ângulo central é um ângulo cujo vértice está no centro do círculo e os raios repousam em algum arco.

Portanto, um ângulo de 1 rad tem uma medida de grau de 57,3°. A medida em radianos de um ângulo é descrita por números naturais ou usando o número π ≈ 3,14.

Para geometria é mais conveniente usar a medida de grau do ângulo, mas para trigonometria eles usam a medida de radianos.

Matemática, geometria - essas ciências, assim como a maioria das outras ciências exatas, são extremamente difíceis para muitos. As pessoas têm dificuldade em entender fórmulas e terminologias estranhas. O que está escondido sob este estranho conceito?

Definição

Para começar, você precisa considerar simplesmente a medida do ângulo. A imagem de um raio e de uma linha reta ajudará nisso. Primeiro você precisa desenhar, por exemplo, uma linha reta horizontal. Então um raio é traçado a partir de seu primeiro ponto, não paralelo à linha reta. Assim, uma certa distância, um pequeno ângulo, aparece entre a reta e o raio. A medida de um ângulo é o tamanho dessa mesma rotação do feixe.

Este conceito denota um determinado valor digital que será maior que zero. É expresso em graus, assim como seus componentes, ou seja, minutos e segundos. O número de graus que cabe no ângulo entre o raio e a linha reta será a medida do grau.

Propriedades dos cantos

• Absolutamente cada ângulo terá uma certa medida de grau.
• Se estiver totalmente implantado, o número será de 180 graus.
• Para encontrar a medida de graus, considera-se a soma de todos os ângulos quebrados pela viga.
• Usando qualquer raio, você pode criar um semiplano no qual pode realmente formar um ângulo. Terá uma medida de grau, cujo valor será inferior a 180, e só poderá haver um desses ângulos.

Como descobrir a medida de um ângulo?

Via de regra, a medida mínima de grau é de 1 grau, que corresponde a 1/180 do ângulo girado. No entanto, às vezes você não consegue obter um número tão claro. Nestes casos são usados ​​segundos e minutos.

Uma vez encontrado, o valor pode ser convertido em graus, obtendo-se assim uma fração de grau. Às vezes são usados ​​números fracionários, como 80,7 graus.

Também é importante lembrar as quantidades-chave. Um ângulo reto sempre será de 90 graus. Se a medida for maior, será considerada obtusa e, se for menor, será considerada nítida.