Uma das maneiras mais simples de resolver um sistema de equações lineares é um método baseado no cálculo dos determinantes ( Regra de Cramer). Sua vantagem é que permite registrar imediatamente a solução, é especialmente conveniente nos casos em que os coeficientes do sistema não são números, mas algum tipo de parâmetro. Sua desvantagem é a complexidade dos cálculos no caso de um grande número de equações, além disso, a regra de Cramer não é diretamente aplicável a sistemas em que o número de equações não coincide com o número de incógnitas. Nesses casos, geralmente é usado Método de Gauss.

Sistemas de equações lineares que têm o mesmo conjunto de soluções são chamados equivalente. É óbvio que o conjunto de soluções de um sistema linear não mudará se quaisquer equações forem trocadas, ou se uma das equações for multiplicada por algum número diferente de zero, ou se uma equação for adicionada a outra.

Método de Gauss (método de eliminação sucessiva de incógnitas) reside no fato de que, com a ajuda de transformações elementares, o sistema é reduzido a um sistema passo a passo equivalente. Primeiro, com a ajuda da 1ª equação, x 1 de todas as equações subsequentes do sistema. Então, usando a 2ª equação, eliminamos x 2 da 3ª e todas as equações subsequentes. Esse processo, chamado método de Gauss direto, continua até que apenas uma incógnita permaneça no lado esquerdo da última equação xn. Depois disso, é feito reverso gaussiano– resolvendo a última equação, encontramos xn; depois disso, usando esse valor, da penúltima equação calculamos xn-1 etc Último que encontramos x 1 da primeira equação.

É conveniente realizar transformações gaussianas realizando transformações não com as próprias equações, mas com as matrizes de seus coeficientes. Considere a matriz:

chamado sistema de matriz estendida, pois além da matriz principal do sistema, inclui uma coluna de membros livres. O método de Gauss é baseado em trazer a matriz principal do sistema para uma forma triangular (ou forma trapezoidal no caso de sistemas não quadrados) usando transformações elementares de linha (!) da matriz estendida do sistema.

Exemplo 5.1. Resolva o sistema usando o método de Gauss:

Solução. Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e, usando a primeira linha, depois disso, definiremos o restante dos elementos para zero:

obtemos zeros na 2ª, 3ª e 4ª linhas da primeira coluna:

Agora precisamos que todos os elementos na segunda coluna abaixo da 2ª linha sejam iguais a zero. Para fazer isso, você pode multiplicar a segunda linha por -4/7 e adicionar à 3ª linha. No entanto, para não lidar com frações, criaremos uma unidade na 2ª linha da segunda coluna e apenas

Agora, para obter uma matriz triangular, você precisa zerar o elemento da quarta linha da 3ª coluna, para isso você pode multiplicar a terceira linha por 8/54 e somar à quarta. No entanto, para não lidar com frações, trocaremos a 3ª e 4ª linhas e a 3ª e 4ª colunas, e somente depois disso redefiniremos o elemento especificado. Observe que quando as colunas são reorganizadas, as variáveis ​​correspondentes são trocadas, e isso deve ser lembrado; outras transformações elementares com colunas (adição e multiplicação por um número) não podem ser realizadas!

A última matriz simplificada corresponde a um sistema de equações equivalente ao original:

A partir daqui, usando o curso inverso do método de Gauss, encontramos da quarta equação x 3 = -1; do terceiro x 4 = -2, a partir do segundo x 2 = 2 e da primeira equação x 1 = 1. Em forma de matriz, a resposta é escrita como

Consideramos o caso em que o sistema é definido, ou seja, quando há apenas uma solução. Vamos ver o que acontece se o sistema for inconsistente ou indeterminado.

Exemplo 5.2. Explore o sistema usando o método gaussiano:

Solução. Escrevemos e transformamos a matriz aumentada do sistema

Escrevemos um sistema simplificado de equações:

Aqui, na última equação, descobriu-se que 0 = 4, ou seja. contradição. Portanto, o sistema não tem solução, ou seja, ela é incompatível. à

Exemplo 5.3. Explore e resolva o sistema usando o método gaussiano:

Solução. Escrevemos e transformamos a matriz estendida do sistema:

Como resultado das transformações, apenas zeros foram obtidos na última linha. Isso significa que o número de equações diminuiu em um:

Assim, após simplificações, restam duas equações e quatro incógnitas, ou seja, dois "extras" desconhecidos. Deixe "supérfluo", ou, como se costuma dizer, variáveis ​​livres, vai x 3 e x quatro. Então

Assumindo x 3 = 2uma e x 4 = b, Nós temos x 2 = 1–uma e x 1 = 2b–uma; ou em forma de matriz

Uma solução escrita desta forma é chamada em geral, uma vez que, dando os parâmetros uma e b valores diferentes, é possível descrever todas as soluções possíveis do sistema. uma

Método de Gaussótimo para resolver sistemas de equações algébricas lineares (SLAE). Tem várias vantagens sobre outros métodos:

• em primeiro lugar, não há necessidade de pré-investigar o sistema de equações para compatibilidade;
• em segundo lugar, o método de Gauss pode ser usado para resolver não apenas SLAEs em que o número de equações coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas e a matriz principal do sistema é não degenerada, mas também sistemas de equações em que o número de equações não não coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas ou o determinante da matriz principal é igual a zero;
• em terceiro lugar, o método de Gauss leva a um resultado com um número relativamente pequeno de operações computacionais.

Breve revisão do artigo.

Primeiro, damos as definições necessárias e introduzimos algumas notações.

A seguir, descrevemos o algoritmo do método de Gauss para o caso mais simples, ou seja, para sistemas de equações algébricas lineares, o número de equações em que coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas e o determinante da matriz principal do sistema não é igual a zero. Ao resolver tais sistemas de equações, a essência do método de Gauss é mais claramente visível, que consiste na eliminação sucessiva de variáveis ​​desconhecidas. Portanto, o método gaussiano também é chamado de método de eliminação sucessiva de incógnitas. Vamos mostrar soluções detalhadas de vários exemplos.

Em conclusão, consideramos a solução gaussiana de sistemas de equações algébricas lineares cuja matriz principal é retangular ou degenerada. A solução de tais sistemas possui algumas características, que analisaremos detalhadamente por meio de exemplos.

Navegação da página.

Definições básicas e notação.

Considere um sistema de p equações lineares com n incógnitas (p pode ser igual a n):

Onde são variáveis ​​desconhecidas, são números (reais ou complexos), são membros livres.

Se um , então o sistema de equações algébricas lineares é chamado homogêneo, por outro lado - heterogêneo.

O conjunto de valores de variáveis ​​desconhecidas, no qual todas as equações do sistema se transformam em identidades, é chamado Decisão SLAU.

Se houver pelo menos uma solução para um sistema de equações algébricas lineares, então ele é chamado articulação, por outro lado - incompatível.

Se um SLAE tem uma solução única, então é chamado certo. Se houver mais de uma solução, o sistema é chamado de incerto.

Diz-se que o sistema está escrito em formulário de coordenadas se tem a forma
.

Este sistema em forma de matriz registros tem o formato , onde - a matriz principal do SLAE, - a matriz da coluna de variáveis ​​desconhecidas, - a matriz de membros livres.

Se adicionarmos à matriz A como a (n + 1)-ésima coluna a coluna-matriz de termos livres, obtemos o chamado matriz expandida sistemas de equações lineares. Normalmente, a matriz aumentada é denotada pela letra T, e a coluna de membros livres é separada por uma linha vertical do restante das colunas, ou seja,

A matriz quadrada A é chamada degenerar se seu determinante for zero. Se , então a matriz A é chamada não degenerado.

O seguinte ponto deve ser observado.

Se as seguintes ações forem executadas com um sistema de equações algébricas lineares

• troque duas equações,
• multiplique ambos os lados de qualquer equação por um número real (ou complexo) arbitrário e diferente de zero k,
• a ambas as partes de qualquer equação adicione as partes correspondentes da outra equação, multiplicada por um número arbitrário k,

então obtemos um sistema equivalente que tem as mesmas soluções (ou, como o original, não tem soluções).

Para uma matriz estendida de um sistema de equações algébricas lineares, essas ações significarão transformações elementares com linhas:

• trocando duas cordas
• multiplicação de todos os elementos de qualquer linha da matriz T por um número diferente de zero k ,
• somando aos elementos de qualquer linha da matriz os elementos correspondentes de outra linha, multiplicados por um número arbitrário k .

Agora podemos prosseguir para a descrição do método de Gauss.

Resolução de sistemas de equações algébricas lineares, em que o número de equações é igual ao número de incógnitas e a matriz principal do sistema é não degenerada, pelo método de Gauss.

O que faríamos na escola se tivéssemos a tarefa de encontrar uma solução para um sistema de equações .

Alguns o fariam.

Observe que, adicionando o lado esquerdo da primeira equação ao lado esquerdo da segunda equação e o lado direito ao lado direito, você pode se livrar das variáveis ​​desconhecidas x 2 e x 3 e encontrar imediatamente x 1:

Substituímos o valor encontrado x 1 \u003d 1 na primeira e terceira equações do sistema:

Se multiplicarmos ambas as partes da terceira equação do sistema por -1 e as somarmos às partes correspondentes da primeira equação, nos livraremos da variável desconhecida x 3 e podemos encontrar x 2:

Substituímos o valor obtido x 2 \u003d 2 na terceira equação e encontramos a variável desconhecida restante x 3:

Outros teriam feito o contrário.

Vamos resolver a primeira equação do sistema em relação à variável desconhecida x 1 e substituir a expressão resultante na segunda e terceira equações do sistema para excluir essa variável delas:

Agora vamos resolver a segunda equação do sistema em relação a x 2 e substituir o resultado obtido na terceira equação para excluir a variável desconhecida x 2 dela:

Pode-se ver pela terceira equação do sistema que x 3 = 3. Da segunda equação encontramos , e da primeira equação obtemos .

Soluções familiares, certo?

O mais interessante aqui é que o segundo método de solução é essencialmente o método de eliminação sequencial de incógnitas, ou seja, o método de Gauss. Quando expressamos variáveis ​​desconhecidas (primeiro x 1 , próximo x 2 ) e as substituímos no restante das equações do sistema, nós as excluímos. Realizamos a exceção até o momento em que a última equação deixou apenas uma variável desconhecida. O processo de eliminação sequencial de incógnitas é chamado método de Gauss direto. Após a conclusão do movimento para frente, temos a oportunidade de calcular a variável desconhecida na última equação. Com sua ajuda, da penúltima equação, encontramos a próxima variável desconhecida e assim por diante. O processo de encontrar sucessivamente variáveis ​​desconhecidas enquanto se move da última equação para a primeira é chamado método de Gauss reverso.

Deve-se notar que quando expressamos x 1 em termos de x 2 e x 3 na primeira equação e, em seguida, substituímos a expressão resultante na segunda e na terceira equações, as seguintes ações levam ao mesmo resultado:

De fato, tal procedimento também nos permite excluir a variável desconhecida x 1 da segunda e terceira equações do sistema:

Nuances com a eliminação de variáveis ​​desconhecidas pelo método de Gauss surgem quando as equações do sistema não contêm algumas variáveis.

Por exemplo, no SLAU na primeira equação, não há variável desconhecida x 1 (em outras palavras, o coeficiente na frente dela é zero). Portanto, não podemos resolver a primeira equação do sistema em relação a x 1 para excluir essa variável desconhecida do restante das equações. A saída para esta situação é trocar as equações do sistema. Como estamos considerando sistemas de equações lineares cujos determinantes das matrizes principais são diferentes de zero, sempre há uma equação na qual a variável que precisamos está presente, e podemos rearranjar essa equação para a posição que precisamos. Para o nosso exemplo, basta trocar a primeira e a segunda equações do sistema , então você pode resolver a primeira equação para x 1 e excluí-la do resto das equações do sistema (embora x 1 já esteja ausente na segunda equação).

Esperamos que você entenda a essência.

Vamos descrever Algoritmo do método de Gauss.

Vamos precisar resolver um sistema de n equações algébricas lineares com n variáveis ​​desconhecidas da forma , e seja o determinante de sua matriz principal diferente de zero.

Vamos supor que , já que sempre podemos conseguir isso reorganizando as equações do sistema. Excluímos a variável desconhecida x 1 de todas as equações do sistema, começando pela segunda. Para fazer isso, adicione a primeira equação multiplicada por à segunda equação do sistema, adicione a primeira multiplicada por à terceira equação e assim por diante, adicione a primeira multiplicada por à enésima equação. O sistema de equações após tais transformações terá a forma

onde um .

Chegaríamos ao mesmo resultado se expressássemos x 1 em termos de outras variáveis ​​desconhecidas na primeira equação do sistema e substituíssemos a expressão resultante em todas as outras equações. Assim, a variável x 1 é excluída de todas as equações, a partir da segunda.

Em seguida, agimos de forma semelhante, mas apenas com uma parte do sistema resultante, que está marcado na figura

Para fazer isso, adicione o segundo multiplicado por à terceira equação do sistema, adicione o segundo multiplicado por à quarta equação e assim por diante, adicione o segundo multiplicado por à enésima equação. O sistema de equações após tais transformações terá a forma

onde um . Assim, a variável x 2 é excluída de todas as equações, a partir da terceira.

Em seguida, procedemos à eliminação da incógnita x 3, agindo de forma semelhante com a parte do sistema marcada na figura

Então continuamos o curso direto do método de Gauss até que o sistema tome a forma

A partir deste momento, começamos o curso inverso do método de Gauss: calculamos x n da última equação como , usando o valor obtido x n encontramos x n-1 da penúltima equação, e assim por diante, encontramos x 1 da primeira equação.

Vamos analisar o algoritmo com um exemplo.

Exemplo.

Método Gaussiano.

Solução.

O coeficiente a 11 é diferente de zero, então vamos ao curso direto do método de Gauss, ou seja, à eliminação da variável desconhecida x 1 de todas as equações do sistema, exceto a primeira. Para fazer isso, às partes esquerda e direita da segunda, terceira e quarta equações, some as partes esquerda e direita da primeira equação, multiplicadas por , respectivamente, e :

A variável desconhecida x 1 foi eliminada, vamos para a exclusão x 2 . Às partes esquerda e direita da terceira e quarta equações do sistema, adicionamos as partes esquerda e direita da segunda equação, multiplicadas por e :

Para completar o curso direto do método de Gauss, precisamos excluir a variável desconhecida x 3 da última equação do sistema. Adicione aos lados esquerdo e direito da quarta equação, respectivamente, os lados esquerdo e direito da terceira equação, multiplicado por :

Você pode iniciar o curso inverso do método de Gauss.

Da última equação temos ,
da terceira equação obtemos ,
a partir do segundo
desde o primeiro.

Para verificar, você pode substituir os valores obtidos de variáveis ​​desconhecidas no sistema de equações original. Todas as equações se transformam em identidades, o que significa que a solução pelo método de Gauss foi encontrada corretamente.

Responda:

E agora vamos dar a solução do mesmo exemplo pelo método de Gauss em forma de matriz.

Exemplo.

Encontrar uma solução para o sistema de equações Método Gaussiano.

Solução.

A matriz estendida do sistema tem a forma . Acima de cada coluna, são escritas as variáveis ​​desconhecidas, que correspondem aos elementos da matriz.

O curso direto do método de Gauss aqui envolve trazer a matriz estendida do sistema para uma forma trapezoidal usando transformações elementares. Este processo é semelhante à exclusão de variáveis ​​desconhecidas que fizemos com o sistema em forma de coordenadas. Agora você estará convencido disso.

Vamos transformar a matriz para que todos os elementos da primeira coluna, começando pela segunda, se tornem zero. Para fazer isso, aos elementos da segunda, terceira e quarta linhas, adicione os elementos correspondentes da primeira linha multiplicados por , e respectivamente:

Em seguida, transformamos a matriz resultante para que, na segunda coluna, todos os elementos, a partir da terceira, se tornem zero. Isso corresponderia a excluir a variável desconhecida x 2 . Para fazer isso, adicione aos elementos da terceira e quarta linhas os elementos correspondentes da primeira linha da matriz, multiplicados por e :

Resta excluir a variável desconhecida x 3 da última equação do sistema. Para fazer isso, aos elementos da última linha da matriz resultante, adicionamos os elementos correspondentes da penúltima linha, multiplicados por :

Note-se que esta matriz corresponde ao sistema de equações lineares

que foi obtido anteriormente após o movimento direto.

É hora de voltar. Na forma matricial da notação, o curso inverso do método de Gauss envolve tal transformação da matriz resultante de modo que a matriz marcada na figura

tornou-se diagonal, ou seja, tomou a forma

onde estão alguns números.

Essas transformações são semelhantes às do método de Gauss, mas são realizadas não da primeira à última linha, mas da última à primeira.

Adicione aos elementos da terceira, segunda e primeira linhas os elementos correspondentes da última linha, multiplicado por , e assim por diante respectivamente:

Agora vamos adicionar aos elementos da segunda e primeira linha os elementos correspondentes da terceira linha, multiplicados por e por, respectivamente:

Na última etapa do movimento reverso do método gaussiano, adicionamos os elementos correspondentes da segunda linha, multiplicados por , aos elementos da primeira linha:

A matriz resultante corresponde ao sistema de equações , a partir do qual encontramos as variáveis ​​desconhecidas.

Responda:

NOTA.

Ao usar o método de Gauss para resolver sistemas de equações algébricas lineares, cálculos aproximados devem ser evitados, pois isso pode levar a resultados absolutamente incorretos. Recomendamos que você não arredonde decimais. É melhor passar de frações decimais para frações ordinárias.

Exemplo.

Resolva o Sistema de Três Equações pelo Método Gaussiano .

Solução.

Observe que neste exemplo, as variáveis ​​desconhecidas têm uma designação diferente (não x 1 , x 2 , x 3 , mas x, y, z ). Vamos para frações ordinárias:

Elimine a incógnita x da segunda e terceira equações do sistema:

No sistema resultante, não há variável desconhecida y na segunda equação, e y está presente na terceira equação, portanto, trocamos a segunda e a terceira equações:

Neste ponto, o curso direto do método de Gauss acabou (você não precisa excluir y da terceira equação, pois essa variável desconhecida não existe mais).

Vamos voltar.

Da última equação encontramos ,
do penúltimo


da primeira equação temos

Responda:

X=10, y=5, z=-20.

A solução de sistemas de equações algébricas lineares, em que o número de equações não coincide com o número de incógnitas, ou a matriz principal do sistema é degenerada, pelo método de Gauss.

Sistemas de equações cuja matriz principal é retangular ou quadrada degenerada podem não ter soluções, podem ter uma única solução ou podem ter um número infinito de soluções.

Agora vamos entender como o método de Gauss permite estabelecer a compatibilidade ou inconsistência de um sistema de equações lineares e, no caso de sua compatibilidade, determinar todas as soluções (ou uma única solução).

Em princípio, o processo de eliminação de variáveis ​​desconhecidas no caso de tais SLAEs permanece o mesmo. No entanto, vale a pena se deter em detalhes sobre algumas situações que podem surgir.

Vamos para o passo mais importante.

Então, vamos supor que o sistema de equações algébricas lineares após a conclusão da execução do método de Gauss toma a forma e nenhuma das equações reduzida a (neste caso, concluiríamos que o sistema é inconsistente). Surge uma pergunta lógica: "O que fazer a seguir"?

Escrevemos as variáveis ​​desconhecidas que estão em primeiro lugar de todas as equações do sistema resultante:

Em nosso exemplo, são x 1 , x 4 e x 5 . Nas partes esquerdas das equações do sistema, deixamos apenas os termos que contêm as variáveis ​​desconhecidas escritas x 1, x 4 e x 5, transferimos os termos restantes para o lado direito das equações com o sinal oposto:

Vamos atribuir valores arbitrários às variáveis ​​desconhecidas que estão do lado direito das equações, onde - números arbitrários:

Depois disso, os números são encontrados nas partes certas de todas as equações do nosso SLAE e podemos proceder ao curso inverso do método de Gauss.

Da última equação do sistema temos , da penúltima equação encontramos , da primeira equação temos

A solução do sistema de equações é o conjunto de valores de variáveis ​​desconhecidas

Dando números valores diferentes, obteremos soluções diferentes para o sistema de equações. Ou seja, nosso sistema de equações tem infinitas soluções.

Responda:

Onde - números arbitrários.

Para consolidar o material, analisaremos detalhadamente as soluções de vários outros exemplos.

Exemplo.

Resolver Sistema Homogêneo de Equações Algébricas Lineares Método Gaussiano.

Solução.

Vamos excluir a variável desconhecida x da segunda e terceira equações do sistema. Para fazer isso, adicione às partes esquerda e direita da segunda equação, respectivamente, as partes esquerda e direita da primeira equação, multiplicadas por , e às partes esquerda e direita da terceira equação - as partes esquerda e direita da equação primeira equação, multiplicada por:

Agora excluímos y da terceira equação do sistema de equações resultante:

O SLAE resultante é equivalente ao sistema .

Deixamos apenas os termos contendo as variáveis ​​desconhecidas x e y no lado esquerdo das equações do sistema e transferimos os termos com a variável desconhecida z para o lado direito:

Hoje lidamos com o método de Gauss para resolver sistemas de equações algébricas lineares. Você pode ler sobre o que são esses sistemas no artigo anterior dedicado a resolver o mesmo SLAE pelo método Cramer. O método de Gauss não requer nenhum conhecimento específico, apenas cuidados e consistência são necessários. Apesar de, do ponto de vista da matemática, a preparação escolar ser suficiente para sua aplicação, o domínio desse método muitas vezes causa dificuldades para os alunos. Neste artigo, tentaremos reduzi-los a nada!

Método de Gauss

M Método de Gaussé o método mais universal para resolver SLAE (com exceção de sistemas muito grandes). Ao contrário do discutido anteriormente, é adequado não apenas para sistemas que possuem uma solução única, mas também para sistemas que possuem um número infinito de soluções. Há três opções aqui.

1. O sistema tem solução única (o determinante da matriz principal do sistema não é igual a zero);
2. O sistema tem um número infinito de soluções;
3. Não há soluções, o sistema é inconsistente.

Então, temos um sistema (deixe-o ter uma solução), e vamos resolvê-lo usando o método gaussiano. Como funciona?

O método gaussiano consiste em duas etapas - direta e inversa.

Método de Gauss direto

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema. Para fazer isso, adicionamos uma coluna de membros livres à matriz principal.

Toda a essência do método gaussiano é reduzir essa matriz a uma forma escalonada (ou, como dizem, triangular) por meio de transformações elementares. Nesta forma, deve haver apenas zeros abaixo (ou acima) da diagonal principal da matriz.

O que pode ser feito:

1. Você pode reorganizar as linhas da matriz;
2. Se houver linhas idênticas (ou proporcionais) na matriz, você poderá excluir todas, exceto uma;
3. Você pode multiplicar ou dividir uma string por qualquer número (exceto zero);
4. As linhas zero são removidas;
5. Você pode adicionar uma string multiplicada por um número diferente de zero a uma string.

Método de Gauss reverso

Depois de transformarmos o sistema dessa maneira, uma incógnita xn torna-se conhecido, e é possível encontrar todas as incógnitas restantes em ordem inversa, substituindo os x já conhecidos nas equações do sistema, até o primeiro.

Quando a Internet está sempre à mão, você pode resolver o sistema de equações usando o método de Gauss conectados . Tudo o que você precisa fazer é inserir as probabilidades na calculadora online. Mas você deve admitir, é muito mais agradável perceber que o exemplo foi resolvido não por um programa de computador, mas pelo seu próprio cérebro.

Um exemplo de resolução de um sistema de equações usando o método de Gauss

E agora - um exemplo, para que tudo fique claro e compreensível. Seja dado um sistema de equações lineares, e é necessário resolvê-lo pelo método de Gauss:

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada:

Agora vamos dar uma olhada nas transformações. Lembre-se de que precisamos obter uma forma triangular da matriz. Multiplique a 1ª linha por (3). Multiplique a 2ª linha por (-1). Vamos adicionar a 2ª linha à 1ª e obter:

Em seguida, multiplique a 3ª linha por (-1). Vamos adicionar a 3ª linha à 2ª:

Multiplique a 1ª linha por (6). Multiplique a 2ª linha por (13). Vamos adicionar a 2ª linha à 1ª:

Voila - o sistema é trazido para o formulário apropriado. Resta encontrar as incógnitas:

O sistema neste exemplo tem uma solução única. Consideraremos a solução de sistemas com um conjunto infinito de soluções em um artigo separado. Talvez no começo você não saiba por onde começar com as transformações de matrizes, mas após a prática apropriada você colocará as mãos nela e clicará no SLAE gaussiano como nozes. E se você de repente se deparar com um SLAU, que acaba sendo um osso duro de roer, entre em contato com nossos autores! você pode deixando um aplicativo na Correspondência. Juntos vamos resolver qualquer problema!

Seja dado um sistema de equações algébricas lineares, que deve ser resolvido (encontre tais valores das incógnitas хi que transformam cada equação do sistema em uma igualdade).

Sabemos que um sistema de equações algébricas lineares pode:

1) Não tem soluções (seja incompatível).
2) Tenha infinitas soluções.
3) Tenha uma solução única.

Como lembramos, a regra de Cramer e o método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. Método de Gauss – a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar soluções para qualquer sistema de equações lineares, que o Em todo caso nos leve à resposta! O algoritmo do método nos três casos funciona da mesma maneira. Se os métodos de Cramer e matricial requerem conhecimento de determinantes, então a aplicação do método de Gauss requer conhecimento apenas de operações aritméticas, o que o torna acessível até mesmo para alunos do ensino fundamental.

Transformações de matriz estendida ( esta é a matriz do sistema - uma matriz composta apenas pelos coeficientes das incógnitas, mais uma coluna de termos livres) sistemas de equações algébricas lineares no método de Gauss:

1) Com troky matrizes posso reorganizar lugares.

2) se houver (ou houver) linhas proporcionais (como um caso especial - idênticas) na matriz, segue-se excluir da matriz, todas essas linhas, exceto uma.

3) se uma linha zero apareceu na matriz durante as transformações, também segue excluir.

4) a linha da matriz pode multiplicar (dividir) para qualquer número diferente de zero.

5) para a linha da matriz, você pode adicionar outra string multiplicada por um número, diferente de zero.

No método de Gauss, as transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações.

O método de Gauss consiste em duas etapas:

1. "Movimento direto" - usando transformações elementares, traga a matriz estendida do sistema de equações algébricas lineares para uma forma "triangular" escalonada: os elementos da matriz estendida localizados abaixo da diagonal principal são iguais a zero (movimento de cima para baixo ). Por exemplo, para este tipo:

Para fazer isso, execute as seguintes etapas:

1) Consideremos a primeira equação de um sistema de equações algébricas lineares e o coeficiente em x 1 é igual a K. A segunda, terceira, etc. transformamos as equações da seguinte forma: dividimos cada equação (coeficientes para incógnitas, incluindo termos livres) pelo coeficiente para incógnita x 1, que está em cada equação, e multiplicamos por K. Depois disso, subtraímos a primeira da segunda equação ( coeficientes para incógnitas e termos livres). Obtemos em x 1 na segunda equação o coeficiente 0. Da terceira equação transformada subtraímos a primeira equação, então até que todas as equações, exceto a primeira, com incógnita x 1, não terão um coeficiente 0.

2) Passe para a próxima equação. Seja esta a segunda equação e o coeficiente em x 2 é igual a M. Com todas as equações "subordinadas", procedemos como descrito acima. Assim, "sob" a incógnita x 2 em todas as equações serão zeros.

3) Passamos para a próxima equação e assim sucessivamente até restar um último termo livre desconhecido e transformado.

1. O "movimento reverso" do método de Gauss é obter uma solução para um sistema de equações algébricas lineares (o movimento "de baixo para cima"). Da última equação "inferior" obtemos uma primeira solução - a incógnita x n. Para fazer isso, resolvemos a equação elementar A * x n \u003d B. No exemplo acima, x 3 \u003d 4. Substituimos o valor encontrado na próxima equação “superior” e resolvemos em relação à próxima incógnita. Por exemplo, x 2 - 4 \u003d 1, ou seja, x 2 \u003d 5. E assim por diante até encontrarmos todas as incógnitas.

Exemplo.

Resolvemos o sistema de equações lineares usando o método de Gauss, como alguns autores aconselham:

Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, a transformamos em um degrau:

Nós olhamos para o "passo" superior esquerdo. Lá deveríamos ter uma unidade. O problema é que não há nenhum na primeira coluna, então nada pode ser resolvido reorganizando as linhas. Nesses casos, a unidade deve ser organizada usando uma transformação elementar. Isso geralmente pode ser feito de várias maneiras. Vamos fazer assim:
1 passo . À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por -1 e realizamos a adição da primeira e da segunda linha, enquanto a segunda linha não mudou.

Agora no canto superior esquerdo "menos um", o que nos convém perfeitamente. Quem quiser obter +1 pode realizar uma ação adicional: multiplique a primeira linha por -1 (mude seu sinal).

2 passos . A primeira linha multiplicada por 5 foi adicionada à segunda linha e a primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.

3 passos . A primeira linha foi multiplicada por -1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para o segundo lugar, assim, no segundo “passo, tivemos a unidade desejada.

4 passos . À terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por 2.

5 passos . A terceira linha é dividida por 3.

Um sinal que indica um erro nos cálculos (menos frequentemente um erro de digitação) é um resultado “ruim”. Ou seja, se obtivermos algo como (0 0 11 | 23) abaixo e, portanto, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, então com um alto grau de probabilidade podemos dizer que um erro foi cometido durante o ensino fundamental. transformações.

Realizamos um movimento inverso, no design de exemplos, o próprio sistema geralmente não é reescrito e as equações são “retiradas diretamente da matriz fornecida”. O movimento inverso, lembro a você, funciona "de baixo para cima". Neste exemplo, o presente acabou:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, portanto x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Responda: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Vamos resolver o mesmo sistema usando o algoritmo proposto. Nós temos

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Divida a segunda equação por 5 e a terceira por 3. Obtemos:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Multiplicando a segunda e terceira equações por 4, temos:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Subtraindo a primeira equação da segunda e terceira equações, temos:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Divida a terceira equação por 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multiplique a terceira equação por 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Subtraia a segunda equação da terceira equação, obtemos a matriz aumentada “escalonada”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Assim, como um erro se acumulou no processo de cálculos, obtemos x 3 \u003d 0,96, ou aproximadamente 1.

x 2 \u003d 3 e x 1 \u003d -1.

Resolvendo dessa forma, você nunca ficará confuso nos cálculos e, apesar dos erros de cálculo, obterá o resultado.

Este método de resolução de um sistema de equações algébricas lineares é facilmente programável e não leva em conta as características específicas dos coeficientes para incógnitas, pois na prática (em cálculos econômicos e técnicos) é preciso lidar com coeficientes não inteiros.

Desejo-lhe sucesso! Vejo você na aula! Tutor.

blog.site, com cópia total ou parcial do material, é necessário um link para a fonte.

Seja o sistema dado, ∆≠0. (1)
Método de Gaussé um método de eliminação sucessiva de incógnitas.

A essência do método de Gauss é transformar (1) em um sistema com uma matriz triangular , a partir do qual os valores de todas as incógnitas são obtidos sequencialmente (reversamente). Vamos considerar um dos esquemas computacionais. Este circuito é chamado de circuito de divisão única. Então vamos dar uma olhada neste diagrama. Deixe um 11 ≠0 (elemento principal) dividir por um 11 a primeira equação. Pegue
(2)
Usando a equação (2), é fácil excluir a incógnita x 1 das demais equações do sistema (para isso, basta subtrair a equação (2) de cada equação multiplicada preliminarmente pelo coeficiente correspondente em x 1), ou seja , no primeiro passo obtemos
.
Em outras palavras, na etapa 1, cada elemento das linhas subsequentes, a partir da segunda, é igual à diferença entre o elemento original e o produto de sua “projeção” na primeira coluna e na primeira linha (transformada).
Em seguida, deixando a primeira equação em paz, faremos uma transformação semelhante sobre as demais equações do sistema obtidas no primeiro passo: selecionamos dentre elas uma equação com um elemento principal e a usamos para excluir x 2 das equações restantes (passo 2).
Após n passos, em vez de (1) obtemos um sistema equivalente
(3)
Assim, na primeira etapa, obteremos um sistema triangular (3). Este passo é chamado de avanço.
Na segunda etapa (movimento reverso) encontramos sequencialmente de (3) os valores x n , x n -1 , …, x 1 .
Vamos denotar a solução obtida como x 0 . Então a diferença ε=b-A x 0 é chamado de resíduo.
Se ε=0, então a solução encontrada x 0 está correta.

Os cálculos pelo método de Gauss são realizados em duas etapas:

1. A primeira etapa é chamada de curso direto do método. No primeiro estágio, o sistema original é convertido em uma forma triangular.
2. O segundo estágio é chamado de reverso. Na segunda etapa, um sistema triangular equivalente ao original é resolvido.

Os coeficientes a 11 , a 22 , ..., são chamados de elementos principais.
A cada passo, assumiu-se que o elemento principal é diferente de zero. Se este não for o caso, qualquer outro elemento pode ser usado como líder, como se estivesse reorganizando as equações do sistema.

Objetivo do método de Gauss

O método de Gauss destina-se à resolução de sistemas de equações lineares. Refere-se a métodos diretos de solução.

Tipos de método de Gauss

1. Método clássico de Gauss;
2. Modificações do método de Gauss. Uma das modificações do método gaussiano é o circuito com a escolha do elemento principal. Uma característica do método de Gauss com a escolha do elemento principal é tal permutação das equações de modo que na k-ésima etapa o elemento principal seja o maior elemento na k-ésima coluna.
3. método de Jordan-Gauss;

A diferença entre o método Jordan-Gauss e o clássico Método de Gauss consiste em aplicar a regra do retângulo quando a direção da busca de uma solução é ao longo da diagonal principal (transformação para a matriz identidade). No método de Gauss, a direção da busca de uma solução ocorre ao longo das colunas (transformação para um sistema com matriz triangular).
Ilustre a diferença Método Jordan-Gauss do método de Gauss em exemplos.

Exemplo de solução de Gauss
Vamos resolver o sistema:

Para facilitar os cálculos, trocamos as linhas:

Multiplique a 2ª linha por (2). Adicione a 3ª linha à 2ª

Multiplique a 2ª linha por (-1). Adicione a 2ª linha à 1ª

A partir da 1ª linha expressamos x 3:
A partir da 2ª linha, expressamos x 2:
A partir da 3ª linha expressamos x 1:

Um exemplo de solução pelo método de Jordan-Gauss
Vamos resolver o mesmo SLAE usando o método de Jordano-Gauss.

Escolheremos sequencialmente o elemento de resolução do RE, que se encontra na diagonal principal da matriz.
O elemento de habilitação é igual a (1).



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - elemento de habilitação (1), A e B - elementos da matriz formando um retângulo com elementos de STE e RE.
Vamos apresentar o cálculo de cada elemento na forma de uma tabela:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

O elemento de habilitação é igual a (3).
No lugar do elemento de resolução, obtemos 1 e na própria coluna escrevemos zeros.
Todos os outros elementos da matriz, incluindo os elementos da coluna B, são determinados pela regra do retângulo.
Para isso, selecione quatro números que estão localizados nos vértices do retângulo e sempre inclua o elemento de habilitação da RE.

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

O elemento de habilitação é (-4).
No lugar do elemento de resolução, obtemos 1 e na própria coluna escrevemos zeros.
Todos os outros elementos da matriz, incluindo os elementos da coluna B, são determinados pela regra do retângulo.
Para isso, selecione quatro números que estão localizados nos vértices do retângulo e sempre inclua o elemento de habilitação da RE.
Vamos apresentar o cálculo de cada elemento na forma de uma tabela:

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Responda: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementação do método de Gauss

O método de Gauss é implementado em muitas linguagens de programação, em particular: Pascal, C++, php, Delphi, e também existe uma implementação online do método de Gauss.

Usando o método de Gauss

Aplicação do método de Gauss na teoria dos jogos

Na teoria dos jogos, ao encontrar a estratégia ótima máxima de um jogador, um sistema de equações é compilado, o qual é resolvido pelo método de Gauss.

Aplicação do método de Gauss na resolução de equações diferenciais

Para procurar uma solução particular para uma equação diferencial, primeiro encontre as derivadas do grau correspondente para a solução particular escrita (y=f(A,B,C,D)), que são substituídas na equação original. Além disso, para encontrar as variáveis ​​A, B, C, D, um sistema de equações é compilado, o qual é resolvido pelo método de Gauss.

Aplicação do método Jordano-Gauss em programação linear

Na programação linear, em particular, no método simplex, para transformar uma tabela simplex a cada iteração, utiliza-se a regra do retângulo, que utiliza o método de Jordan-Gauss.