1.21. DECADÊNCIA, OSCILAÇÕES FORÇADAS

A equação diferencial de oscilações amortecidas e sua solução. Coeficiente de atenuação. dec logarítmicobanda de amortecimento.Fator Qsistema do corpo.processo aperiódico. A equação diferencial das oscilações forçadas e sua solução.Amplitude e fase de oscilações forçadas. O processo de estabelecer oscilações. Caso de ressonância.Auto-oscilações.

O amortecimento das oscilações é a diminuição gradual da amplitude das oscilações ao longo do tempo, devido à perda de energia pelo sistema oscilatório.

Vibrações naturais sem amortecimento é uma idealização. As razões para o desbotamento podem ser diferentes. Em um sistema mecânico, as vibrações são amortecidas pela presença de atrito. Quando toda a energia armazenada no sistema oscilante se esgota, as oscilações param. Portanto, a amplitude oscilações amortecidas diminui até se tornar zero.

As oscilações amortecidas, assim como as naturais, em sistemas de natureza diferente, podem ser consideradas de um único ponto de vista - características comuns. Entretanto, características como amplitude e período requerem redefinição, enquanto outras requerem acréscimos e esclarecimentos em relação às mesmas características para oscilações naturais não amortecidas. Os sinais e conceitos gerais de oscilações amortecidas são os seguintes:

A equação diferencial deve ser obtida levando em consideração a diminuição da energia vibracional no processo de oscilações.

A equação de oscilação é a solução de uma equação diferencial.

A amplitude das oscilações amortecidas depende do tempo.

A frequência e o período dependem do grau de amortecimento das oscilações.

Fase e fase inicial têm o mesmo significado que para oscilações não amortecidas.

Oscilações amortecidas mecânicas.

sistema mecânico : pêndulo de mola sujeito a forças de atrito.

Forças que atuam no pêndulo :

Força elástica., onde k é o coeficiente de rigidez da mola, х é o deslocamento do pêndulo da posição de equilíbrio.

Força de resistência. Considere a força de resistência proporcional à velocidade v do movimento (tal dependência é típica para uma grande classe de forças de resistência): . O sinal de menos mostra que a direção da força de resistência é oposta à direção da velocidade do corpo. O coeficiente de arrasto r é numericamente igual à força de arrasto que ocorre a uma velocidade unitária do corpo:

Lei do movimento pêndulo de mola é a segunda lei de Newton:

m uma = F ex. + F resistir.

Considerando que e , escrevemos a segunda lei de Newton na forma:

. (21.1)

Dividindo todos os termos da equação por m, movendo todos para o lado direito, obtemos equação diferencial oscilações amortecidas:

Vamos denotar , onde β – fator de amortecimento , , Onde ω 0 é a frequência de oscilações livres não amortecidas na ausência de perdas de energia no sistema oscilatório.

Na nova notação, a equação diferencial de oscilações amortecidas tem a forma:

. (21.2)

Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem.

Esta equação diferencial linear é resolvida por uma mudança de variáveis. Representamos a função x, dependendo do tempo t, na forma:

.

Vamos encontrar as derivadas de primeira e segunda vez desta função, dado que a função z também é uma função do tempo:

, .

Substituindo as expressões na equação diferencial:

Trazemos termos semelhantes na equação e reduzimos cada termo por , obtemos a equação:

.

Vamos denotar a quantidade .

Solução de equação são as funções , .

Voltando à variável x, obtemos as fórmulas para as equações das oscilações amortecidas:

Nesse caminho , equação de oscilações amortecidasé uma solução da equação diferencial (21.2):

Frequência de oscilação amortecida :

(somente a raiz real tem um significado físico, portanto).

Período de oscilações amortecidas :

(21.5)

O significado que foi dado ao conceito de período para oscilações não amortecidas não é adequado para oscilações amortecidas, pois o sistema oscilatório nunca retorna ao seu estado original devido à perda de energia oscilatória. Na presença de atrito, as oscilações são mais lentas: .

O período de oscilações amortecidas chamado intervalo de tempo mínimo para o qual o sistema passa duas vezes a posição de equilíbrio na mesma direção.

Para o sistema mecânico do pêndulo de mola temos:

, .

Amplitude de oscilações amortecidas :

Para pêndulo de mola.

A amplitude das oscilações amortecidas não é um valor constante, mas muda com o tempo quanto mais rápido, maior o coeficiente β. Portanto, a definição da amplitude, dada anteriormente para oscilações livres não amortecidas, deve ser alterada para oscilações amortecidas.

Para pequenas atenuações amplitude das oscilações amortecidas chamado de maior desvio da posição de equilíbrio para o período.

Gráficos as curvas de deslocamento versus tempo e amplitude versus tempo são mostradas nas Figuras 21.1 e 21.2.

Figura 21.1 - A dependência do deslocamento no tempo para oscilações amortecidas.

Figura 21.2 - Dependências da amplitude no tempo para oscilações amortecidas

Características das oscilações amortecidas.

1. Fator de atenuação β .

A mudança na amplitude das oscilações amortecidas ocorre de acordo com a lei exponencial:

Deixe a amplitude de oscilação diminuir em “e” vezes ao longo do tempo τ (“e” é a base do logaritmo natural, e ≈ 2,718). Então, por um lado, , e por outro lado, tendo pintado as amplitudes A zat. (t) e A em. (t+τ), temos . Essas relações implicam βτ = 1, portanto .

Intervalo de tempo τ , para o qual a amplitude diminui em “e” vezes, é chamado de tempo de relaxação.

Fator de atenuação β é um valor inversamente proporcional ao tempo de relaxamento.

2. Decremento de amortecimento logarítmico δ - uma quantidade física numericamente igual ao logaritmo natural da razão de duas amplitudes sucessivas separadas no tempo por um período.

Se a atenuação for pequena, ou seja, o valor de β é pequeno, então a amplitude muda ligeiramente ao longo do período, e o decremento logarítmico pode ser definido da seguinte forma:

,

onde A. (t) e A em. (t + NT) - amplitudes de oscilação no tempo e e após N períodos, ou seja, no tempo (t + NT).

3. Fator de qualidade Q sistema oscilatório é uma quantidade física adimensional igual ao produto do valor (2π) νa a razão entre a energia W(t) do sistema em um momento arbitrário de tempo para a perda de energia durante um período de oscilações amortecidas:

.

Como a energia é proporcional ao quadrado da amplitude, então

Para pequenos valores do decremento logarítmico δ, o fator de qualidade do sistema oscilatório é igual a

,

onde N e é o número de oscilações, durante as quais a amplitude diminui em “e” vezes.

Assim, o fator de qualidade de um pêndulo de mola é: quanto maior o fator de qualidade de um sistema oscilatório, menor será a atenuação, mais longo será o processo periódico em tal sistema. Fator de qualidade do sistema oscilatório - grandeza adimensional que caracteriza a dissipação de energia no tempo.

4. Com o aumento do coeficiente β, a frequência das oscilações amortecidas diminui e o período aumenta. Em ω 0 = β, a frequência das oscilações amortecidas torna-se igual a zero ω zat. = 0 e T zat. = ∞. Nesse caso, as oscilações perdem seu caráter periódico e são chamadas de aperiódico.

Em ω 0 = β, os parâmetros do sistema responsáveis ​​pela diminuição da energia vibracional assumem valores chamados crítico . Para um pêndulo de mola, a condição ω 0 = β será escrita como:, de onde encontramos o valor coeficiente de arrasto crítico:

.

Arroz. 21.3. A dependência da amplitude das oscilações aperiódicas no tempo

Vibrações forçadas.

Todas as oscilações reais são amortecidas. Para que as oscilações reais ocorram por um tempo suficientemente longo, é necessário reabastecer periodicamente a energia do sistema oscilatório, agindo sobre ele com uma força externa que muda periodicamente.

Considere o fenômeno das oscilações se o (forçando) força varia com o tempo de acordo com a lei harmônica. Nesse caso, surgirão oscilações nos sistemas, cuja natureza, em um grau ou outro, repetirá a natureza da força motriz. Essas oscilações são chamadas forçado .

Sinais gerais de oscilações mecânicas forçadas.

1. Consideremos as oscilações mecânicas forçadas de um pêndulo de mola, que é acionado por um (atraente ) força periódica . As forças que atuam sobre um pêndulo, uma vez fora do equilíbrio, desenvolvem-se no próprio sistema oscilatório. Estas são a força elástica e a força de arrasto.

Lei do movimento (segunda lei de Newton) é escrita da seguinte forma:

(21.6)

Divida ambos os lados da equação por m, leve em conta que , e obtenha equação diferencial vibrações forçadas:

Denote ( β – fator de amortecimento ), (ω 0 é a frequência de oscilações livres não amortecidas), a força que atua por unidade de massa. Nestas notações equação diferencial oscilações forçadas terão a forma:

(21.7)

Esta é uma equação diferencial de segunda ordem com um lado direito diferente de zero. A solução de tal equação é a soma de duas soluções

.

é a solução geral de uma equação diferencial homogênea, ou seja, equação diferencial sem o lado direito quando é igual a zero. Conhecemos essa solução - esta é a equação das oscilações amortecidas, escrita até uma constante, cujo valor é determinado pelas condições iniciais do sistema oscilatório:

Onde .

Discutimos anteriormente que a solução pode ser escrita em termos de funções seno.

Se considerarmos o processo de oscilações do pêndulo após um período de tempo suficientemente longo Δt após a ativação da força motriz (Figura 21.2), as oscilações amortecidas no sistema praticamente pararão. E então a solução da equação diferencial com o lado direito será a solução.

Uma solução é uma solução particular de uma equação diferencial não homogênea, ou seja, equações com o lado direito. Sabe-se da teoria das equações diferenciais que com o lado direito mudando de acordo com a lei harmônica, a solução será uma função harmônica (sen ou cos) com uma frequência de variação correspondente à frequência de variação Ω do lado direito:

onde A amp. – amplitude das oscilações forçadas, φ 0 – mudança de fase , Essa. diferença de fase entre a fase da força motriz e a fase das oscilações forçadas. E amplitude A ampl. , e o deslocamento de fase φ 0 dependem dos parâmetros do sistema (β, ω 0) e da frequência da força motriz Ω.

Período de oscilação forçada é igual a (21.9)

Cronograma de oscilações forçadas na Figura 4.1.

Fig.21.3. Cronograma de oscilações forçadas

As oscilações forçadas constantes também são harmônicas.

Dependências da amplitude de oscilações forçadas e deslocamento de fase na frequência de ação externa. Ressonância.

1. Voltemos ao sistema mecânico de um pêndulo de mola, que é afetado por uma força externa que muda de acordo com uma lei harmônica. Para tal sistema, a equação diferencial e sua solução, respectivamente, têm a forma:

, .

Vamos analisar a dependência da amplitude de oscilação e deslocamento de fase da frequência da força motriz externa, para isso encontramos a primeira e a segunda derivadas de x e as substituímos na equação diferencial.

Vamos usar o método do diagrama vetorial. Pode-se ver pela equação que a soma das três oscilações do lado esquerdo da equação (Figura 4.1) deve ser igual à oscilação do lado direito. O diagrama vetorial é feito para um tempo arbitrário t. Pode ser determinado a partir dele.

Figura 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Considerando o valor , ,, obtemos fórmulas para φ 0 e A ampl. sistema mecânico:

,

.

2. Investigamos a dependência da amplitude das oscilações forçadas da frequência da força motriz e da magnitude da força de resistência em um sistema mecânico oscilante, usando esses dados construímos um gráfico . Os resultados do estudo são mostrados na Figura 21.5, eles mostram que em uma certa frequência da força motriz a amplitude das oscilações aumenta acentuadamente. E esse aumento é tanto maior quanto menor o coeficiente de atenuação β. Em , a amplitude de oscilação torna-se infinitamente grande.

O fenômeno de um aumento acentuado na amplitude oscilações forçadas a uma frequência da força motriz igual a é chamado de ressonância.

(21.12)

As curvas na Figura 21.5 refletem a relação e são chamados curvas de ressonância de amplitude .

Figura 21.5 - Gráficos da dependência da amplitude das oscilações forçadas com a frequência da força motriz.

A amplitude das oscilações ressonantes terá a forma:

As vibrações forçadas são não amortecido flutuações. As inevitáveis ​​perdas de energia devido ao atrito são compensadas pelo fornecimento de energia de uma fonte externa de uma força que atua periodicamente. Existem sistemas em que as oscilações não amortecidas surgem não devido à influência externa periódica, mas como resultado da capacidade de tais sistemas regularem o fluxo de energia de uma fonte constante. Tais sistemas são chamados auto-oscilante, e o processo de oscilações não amortecidas em tais sistemas é auto-oscilações.

Em um sistema auto-oscilatório, três elementos característicos podem ser distinguidos - um sistema oscilatório, uma fonte de energia e um dispositivo de realimentação entre o sistema oscilatório e a fonte. Como sistema oscilatório, qualquer sistema mecânico capaz de realizar suas próprias oscilações amortecidas (por exemplo, um pêndulo de um relógio de parede) pode ser usado.

A fonte de energia pode ser a energia de deformação da mola ou a energia potencial da carga no campo gravitacional. O dispositivo de feedback é um mecanismo pelo qual o sistema auto-oscilatório regula o fluxo de energia da fonte. Na fig. 21.6 mostra um diagrama da interação de vários elementos de um sistema auto-oscilante.

Um exemplo de um sistema mecânico auto-oscilante é um relógio com âncora mover (Fig. 21.7.). Uma roda de corrida com dentes oblíquos é rigidamente presa a um tambor dentado, através do qual uma corrente com um peso é lançada. Na extremidade superior do pêndulo, uma âncora (âncora) é fixada com duas placas de material duro dobradas ao longo de um arco de círculo centrado no eixo do pêndulo. Em um relógio de pulso, o peso é substituído por uma mola e o pêndulo é substituído por um balanceador - um volante preso a uma mola espiral.

Figura 21.7. Mecanismo de relógio com um pêndulo.

O balanceador realiza vibrações de torção em torno de seu eixo. O sistema oscilatório no relógio é um pêndulo ou balanceador. A fonte de energia é um peso levantado ou uma mola enrolada. O dispositivo de feedback é uma âncora que permite que a roda de corrida gire um dente em meio ciclo.

O feedback é fornecido pela interação da âncora com a roda de corrida. A cada oscilação do pêndulo, o dente da roda de deslocamento empurra o garfo de ancoragem na direção do movimento do pêndulo, transferindo para ele uma certa porção de energia, que compensa as perdas de energia devido ao atrito. Assim, a energia potencial do peso (ou mola torcida) é gradualmente, em porções separadas, transferida para o pêndulo.

Os sistemas mecânicos auto-oscilatórios estão amplamente difundidos na vida ao nosso redor e na tecnologia. As auto-oscilações são realizadas por motores a vapor, motores de combustão interna, sinos elétricos, cordas de instrumentos musicais curvados, colunas de ar nos tubos de instrumentos de sopro, cordas vocais ao falar ou cantar, etc.

Em sistemas oscilatórios reais, além das forças quase elásticas, existem forças de resistência do meio. A presença de forças de atrito leva à dissipação (dissipação) de energia e à diminuição da amplitude de oscilação. Ao desacelerar o movimento, as forças de atrito aumentam o período, ou seja, reduz a frequência de oscilação. Tais oscilações não serão harmônicas.

As oscilações com amplitude decrescente continuamente no tempo devido à dissipação de energia são chamadas de desbotando . Em velocidades suficientemente baixas, a força de atrito é proporcional à velocidade do corpo e é direcionada contra o movimento.

onde r é o coeficiente de atrito, que depende das propriedades do meio, da forma e do tamanho do corpo em movimento. A equação diferencial de oscilações amortecidas na presença de forças de atrito terá a forma:

ou
(21)

Onde
- coeficiente de atenuação,

- frequência circular natural de oscilações livres na ausência de forças de atrito.

A solução geral da Eq. (21) no caso de baixo amortecimento (
) é:

Difere do harmônico (8) em que a amplitude de oscilação:

(23)

é uma função decrescente do tempo, e a frequência circular relacionado com a frequência natural e fator de amortecimento Razão:

. (24)

O período das oscilações amortecidas é igual a:

. (25)

A dependência do deslocamento X em t oscilações amortecidas é mostrada na Fig.4.

C o grau de diminuição da amplitude é determinado pelo coeficiente de atenuação .

Durante
a amplitude (23) diminui por um fator de e ≈ 2,72. Desta vez A decadência natural é chamada tempo de relaxar. Portanto, o fator de amortecimento é o inverso do tempo de relaxamento:

.(26)

A taxa de diminuição na amplitude das oscilações é caracterizada por decremento de amortecimento logarítmico. Sejam A(t) e A(t+T) as amplitudes de duas oscilações sucessivas correspondentes a pontos de tempo que diferem por um período. Então a relação:

(27)

chamado decréscimo de amortecimento, que mostra quantas vezes a amplitude das oscilações diminui em um tempo igual ao período. O logaritmo natural desta razão é:

(28)

é chamado de fator de amortecimento logarítmico. Aqui, N e é o número de oscilações realizadas durante o tempo em que a amplitude diminui por um fator de e, ou seja. durante o tempo de relaxamento.

Assim, o decréscimo de amortecimento logarítmico é o recíproco do número de oscilações, após o que a amplitude de oscilação diminui por um fator de e.

A taxa de diminuição da energia do sistema oscilatório é caracterizada pelo fator de qualidade Q. Fator de qualidade do sistema oscilatório- um valor proporcional à razão da energia total E(t) do sistema oscilatório para a energia (- E) perdido durante o período T:

(29)

A energia total do sistema oscilatório em um momento arbitrário de tempo e para qualquer valor de X tem a forma:

(30)

Como a energia é proporcional ao quadrado da amplitude, a energia das oscilações amortecidas diminui proporcionalmente ao valor
, você pode escrever:

. (31)

Então, de acordo com a definição, a expressão para o fator de qualidade do sistema oscilatório ficará assim:

Aqui leva-se em consideração que em baixas atenuações (1): 1º -2   ​​​​2.

Portanto, o fator de qualidade é proporcional ao número de oscilações N e realizadas pelo sistema durante o tempo de relaxação.

O fator de qualidade de sistemas oscilatórios pode variar muito, por exemplo, o fator de qualidade de um pêndulo físico é Q~ 10 2 , enquanto o fator de qualidade de um átomo, que também é um sistema oscilatório, atinge Q~ 10 8 .

Em conclusão, notamos que quando o coeficiente de amortecimento β=ω 0, o período se torna infinito T =∞ (amortecimento crítico). Com um aumento adicional de β, o período T torna-se imaginário, e a atenuação do movimento ocorre sem oscilações, como se costuma dizer, aperiodicamente. Este caso de movimento é mostrado na Fig.5. O amortecimento crítico (calming) ocorre em um tempo mínimo e é importante em instrumentos de medição, por exemplo, em galvanômetros balísticos .

NO FORÇADO VASCULAR E RESSONÂNCIA

Se uma força elástica F y \u003d -kX atua em um corpo com massa m, a força de atrito
e força periódica externa
, então ele realiza oscilações forçadas. Neste caso, a equação diferencial do movimento tem a forma:

Onde
,
- coeficiente de atenuação,
- frequência natural de vibrações livres não amortecidas do corpo, F 0 - amplitude, ω - frequência da força periódica.

No momento inicial, o trabalho da força externa excede a energia gasta no atrito (Fig. 6). A energia e a amplitude das oscilações do corpo aumentarão até que toda a energia transmitida pela força externa seja completamente gasta na superação do atrito, que é proporcional à velocidade. Portanto, estabelece-se um equilíbrio no qual a soma das energias cinética e potencial é constante. Esta condição caracteriza o estado estacionário do sistema.

Nesse estado, o movimento do corpo será harmônico com frequência igual à frequência da excitação externa, mas devido à inércia do corpo, suas oscilações serão defasadas em relação ao valor instantâneo do periódico externo. força:

X = ACos(ωt + φ). (34)

Ao contrário das oscilações livres, a amplitude A e a fase  das oscilações forçadas não dependem das condições iniciais do movimento, mas serão determinadas apenas pelas propriedades do sistema oscilante, a amplitude e a frequência da força motriz:

, (35)

. (36)

Pode-se ver que a amplitude e o deslocamento de fase dependem da frequência da força motriz (Fig. 7, 8).

Uma característica das oscilações forçadas é a presença de ressonância. Fenômeno um aumento acentuado na amplitude das oscilações forçadas quando a frequência da força motriz se aproxima da frequência natural das oscilações livres não amortecidas do corpo ω 0 é chamado ressonância mecânica . Amplitude de vibração do corpo na frequência de ressonância
atinge o valor máximo:

(37)

Com relação às curvas de ressonância (ver Fig. 7), façamos as seguintes observações. Se ω → 0, então todas as curvas (veja também (35)) chegam ao mesmo valor limite diferente de zero
, o assim chamado desvio estatístico. Se ω→ ∞, então todas as curvas tendem assintoticamente a zero.

Sob a condição de baixo amortecimento (β 2 ‹‹ω 0 2), a amplitude ressonante (ver (37))

(37a)

Sob esta condição, tomamos a razão entre o deslocamento ressonante e o desvio estático:

a partir do qual pode ser visto que o aumento relativo na amplitude das oscilações na ressonância é determinado pelo fator de qualidade do sistema oscilatório. Aqui, o fator de qualidade é, na verdade, o ganho da resposta
sistema e em baixa atenuação pode atingir grandes valores.

Esta circunstância determina a grande importância do fenômeno da ressonância na física e na tecnologia. É usado se quiserem amplificar vibrações, por exemplo, em acústica - para aprimorar o som de instrumentos musicais, em engenharia de rádio - para isolar o sinal desejado de muitos outros que diferem em frequência. Se a ressonância pode levar a um aumento indesejável das oscilações, é usado um sistema com um fator de qualidade baixo.

VIBRAÇÕES RELACIONADAS

O segundo sistema oscilatório, conectado elasticamente com o primeiro, pode servir como fonte de força periódica externa. Ambos os sistemas oscilatórios podem atuar um sobre o outro. Assim, por exemplo, o caso de dois pêndulos acoplados (Fig. 9).

O sistema pode realizar oscilações em fase (Fig. 9b) e anti-fase (Fig. 9c). Tais oscilações são chamadas de tipo normal ou modo normal de oscilação e são caracterizadas por sua própria frequência normal. Com oscilações em fase, o deslocamento dos pêndulos em todos os momentos X 1 \u003d X 2, e a frequência ω 1 é exatamente a mesma que a frequência de um único pêndulo
. Isso ocorre porque a mola de luz está em um estado livre e não tem nenhum efeito no movimento. Com oscilações antifase o tempo todo - X 1 \u003d X 2. A frequência de tais oscilações é maior e igual a
, uma vez que a mola, que tem rigidez k e realiza a ligação, está sempre esticada, depois comprimida.

eu
Qualquer estado do nosso sistema acoplado, incluindo o deslocamento inicial X (Fig. 9a), pode ser representado como uma superposição de dois modos normais:

Se colocarmos o sistema em movimento a partir do estado inicial X 1 = 0,
, X 2 \u003d 2A,
,

então os deslocamentos dos pêndulos serão descritos pelas expressões:

Na fig. 10 mostra a mudança no deslocamento de pêndulos individuais ao longo do tempo.

A frequência de oscilação dos pêndulos é igual à frequência média de dois modos normais:

, (39)

e sua amplitude muda de acordo com a lei do seno ou do cone com uma frequência mais baixa igual à metade da diferença de frequência dos modos normais:

. (40)

Uma mudança lenta na amplitude com uma frequência igual à metade da diferença entre as frequências dos modos normais é chamada de “ bate ” duas vibrações com quase a mesma frequência. A frequência de “batidas” é igual à diferença de frequências ω 1 – ω 2, (e não metade dessa diferença), pois a amplitude máxima 2A é atingida duas vezes em um período correspondente à frequência

Assim, o período de batimento é igual a:

(41)

Quando os pêndulos batem, há troca de energia. No entanto, uma troca de energia completa só é possível quando ambas as massas são iguais e a razão (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) é igual a um inteiro. Um ponto importante a ser observado é que, embora os pêndulos individuais possam trocar energia, não há troca de energia entre os modos normais.

A presença de tais sistemas oscilantes que interagem entre si e são capazes de transferir sua energia entre si, formam a base do movimento das ondas.

Um corpo material oscilante colocado em um meio elástico arrasta e põe em movimento oscilatório as partículas do meio adjacente a ele. Devido à presença de ligações elásticas entre as partículas, as vibrações propagam-se com uma velocidade característica de um determinado meio por todo o meio.

O processo de propagação de vibração em um meio elástico é chamado de aceno .

Existem dois tipos principais de ondas: longitudinais e transversais. Em ondas longitudinais partículas do meio oscilam ao longo da direção de propagação da onda, e em transversalé perpendicular à direção de propagação da onda. Nem todo meio elástico pode propagar uma onda transversal. Uma onda elástica transversal só é possível em meios nos quais ocorre a deformação por cisalhamento elástico. Por exemplo, apenas ondas elásticas longitudinais (som) se propagam em gases e líquidos.

O lugar geométrico dos pontos do meio, para os quais a oscilação atingiu um determinado ponto no tempo, é chamado frente de onda . A frente de onda separa a parte do espaço já envolvida no processo de onda da área em que as oscilações ainda não surgiram. Dependendo da forma da frente, as ondas são planas, esféricas, cilíndricas, etc.

A equação para uma onda plana se propagando sem perda em um meio homogêneo é:
, (42)

onde ξ(X,t) é o deslocamento de partículas do meio com a coordenada X da posição de equilíbrio no tempo t, A é a amplitude,
- fase de onda,
- frequência circular de oscilação das partículas do meio, v - velocidade de propagação da onda.

Comprimento de onda λ a distância entre os pontos oscilando com uma diferença de fase de 2π é chamada, ou seja, o comprimento de onda é o caminho percorrido por qualquer fase da onda em um período de oscilação:

velocidade de fase, ou seja, velocidade de propagação desta fase:

λ / T (44)

número de onda é o número de comprimentos de onda que cabem em um comprimento de 2π unidades:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Substituindo essas notações em (42), equação de onda monocromática viajando de avião pode ser representado como:

(46)

Observe que a equação de onda (46) exibe uma periodicidade dupla em coordenada e tempo. De fato, as fases das oscilações coincidem quando a coordenada muda de λ e quando o tempo muda de um período T. Portanto, é impossível representar graficamente uma onda em um plano. O tempo t é muitas vezes fixo e a dependência do deslocamento ξ na coordenada X é apresentada no gráfico, ou seja, distribuição instantânea dos deslocamentos das partículas do meio ao longo da direção de propagação da onda (Fig. 11). A diferença de fase Δφ das oscilações dos pontos do meio depende da distância ΔX \u003d X 2 - X 1 entre esses pontos:

(47)

Se a onda se propaga na direção oposta à direção X, então a equação da onda inversa será escrita como:

ξ (X,t) = ACos(ωt + kX). (48)

ONDAS ESTACIONAIS são o resultado de um tipo especial de interferência de ondas. Eles são formados quando duas ondas viajantes se propagam uma em direção à outra com as mesmas frequências e amplitudes.

As equações de duas ondas planas que se propagam ao longo do eixo X em direções opostas são:

ξ 1 \u003d ACos (ωt - kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

Somando essas equações usando a fórmula da soma dos cossenos e levando em consideração que k = 2π / λ, obtemos a equação da onda estacionária:

. (50)

Cos ωt multiplicador mostra que oscilações de mesma frequência ω ocorrem nos pontos do meio com amplitude
, dependendo da coordenada X do ponto considerado. Em pontos do ambiente onde:
, (51)

a amplitude de oscilação atinge um valor máximo de 2A. Esses pontos são chamados antinós.

A partir da expressão (51) pode-se encontrar as coordenadas antinó:
(52)

Nos pontos onde
(53) a amplitude de oscilação desaparece. Esses pontos são chamados nós.

Coordenadas do nó:
. (54)

R as distâncias entre os antinodos vizinhos e os nós vizinhos são iguais e iguais a λ/2. A distância entre o nó e o antinodo vizinho é igual a λ / 4. Ao passar pelo nó, o multiplicador
muda de sinal, de modo que as fases das oscilações em lados opostos do nó diferem por π, ou seja, pontos situados em lados opostos do nó oscilam em antifase. Pontos entre dois nós vizinhos oscilam com amplitudes diferentes, mas com as mesmas fases.

A distribuição de nós e antinodos em uma onda estacionária depende das condições que ocorrem na interface entre dois meios, a partir dos quais ocorre a reflexão. Se a onda é refletida de um meio mais denso, a fase das oscilações no local onde a onda é refletida muda para o oposto ou, como dizem, metade da onda é perdida. Portanto, como resultado da adição de oscilações de direções opostas, o deslocamento na fronteira é zero, ou seja, existe um nó (Fig. 12). Quando uma onda é refletida a partir do limite de um meio menos denso, a fase de oscilações no local de reflexão permanece inalterada e as oscilações com as mesmas fases são adicionadas perto do limite - um antinodo é obtido.

Em uma onda estacionária, não há movimento de fase, nem propagação de onda, nem transferência de energia, daí o nome desse tipo de onda.

Uma diminuição na energia do sistema oscilatório leva a uma diminuição gradual na amplitude das oscilações, porque

Neste caso, dizem que as flutuações são amortecidas .

Uma situação semelhante se desenvolve no circuito oscilatório. A bobina real, que faz parte do circuito, sempre tem resistência ativa. Quando a corrente flui através da resistência ativa da bobina, o calor Joule será liberado. Nesse caso, a energia do circuito diminuirá, o que levará a uma diminuição na amplitude das oscilações de carga, tensão e corrente.

Nossa tarefa- descobrir de acordo com qual lei ocorre a diminuição da amplitude das oscilações, de acordo com qual lei o próprio valor oscilante muda, com que frequência ocorrem as oscilações amortecidas, por quanto tempo as oscilações “desaparecem”.

§1 Amortecimento de vibrações em sistemas com atrito viscoso

Considere um sistema oscilatório no qual a força de atrito viscoso atua. Um exemplo de tal sistema oscilatório é um pêndulo matemático que oscila no ar.

Neste caso, quando o sistema é retirado do equilíbrio por

o pêndulo sofrerá a ação de duas forças: uma força quase elástica e uma força de resistência (força de atrito viscoso).

A segunda lei de Newton é escrita da seguinte forma:

(1)

Sabemos que em baixas velocidades, a força de atrito viscoso é proporcional à velocidade do movimento:

Levamos em conta que a projeção da velocidade é a primeira derivada da coordenada do corpo, e a projeção da aceleração é a segunda derivada da coordenada:

Então a equação (2) terá a forma:

obtemos a equação do movimento da seguinte forma:

(3)

onde d é o coeficiente de amortecimento, depende do coeficiente de atrito r,

w 0 - frequência cíclica de oscilações ideais (na ausência de atrito).

Antes de resolver a equação (3), considere o circuito oscilatório. A resistência ativa da bobina é conectada em série com a capacitância C e a indutância L.

Vamos escrever a segunda lei de Kirchhoff

Vamos levar em conta que, , .

Então a segunda lei de Kirchhoff assume a forma:

Divida os dois lados da equação por:

Vamos introduzir a notação

Finalmente obtemos

Preste atenção à identidade matemática das equações diferenciais (3) e (3'). Não há nada surpreendente. Já mostramos a identidade matemática absoluta do processo de oscilação do pêndulo e oscilações eletromagnéticas no circuito. Obviamente, os processos de amortecimento de oscilações no circuito e em sistemas com atrito viscoso também ocorrem da mesma forma.

Resolvendo a equação (3), obteremos respostas para todas as perguntas acima.

Conhecemos a solução desta equação

Então para a equação desejada (3) obtemos o resultado final

É fácil ver que a carga de um capacitor em um circuito oscilatório real mudará de acordo com a lei

Análise do resultado:

1 Como resultado da ação conjunta da força quase elástica e da força de resistência, o sistema pode ser fazer um movimento oscilante. Para isso, a condição w 0 2 - d 2 > 0 deve ser satisfeita, ou seja, o atrito no sistema deve ser pequeno.

2 A frequência de oscilações amortecidas w não coincide com a frequência de oscilação do sistema na ausência de atrito w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . Ao longo do tempo, a frequência das oscilações amortecidas permanece inalterada.

Se o coeficiente de amortecimento d for pequeno, então a frequência das oscilações amortecidas está próxima da frequência natural w 0 .

Essa diminuição na amplitude ocorre exponencialmente.

4 Se w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

Onde .

Por substituição direta, é fácil verificar que a função (4) é de fato uma solução para a equação (3). Obviamente, a soma de duas funções exponenciais não é uma função periódica. Do ponto de vista físico, isso significa que não haverá oscilações no sistema. Após remover o sistema da posição de equilíbrio, ele retornará lentamente a ela. Tal processo é chamado aperiódico .

§2 Com que rapidez as oscilações decaem em sistemas com atrito viscoso?

Diminuição do amortecimento

valor da quantidade. Pode-se observar que o valor de d caracteriza a taxa de amortecimento das oscilações. Por esta razão, d é chamado de fator de amortecimento.

Para oscilações elétricas no circuito, o coeficiente de atenuação depende dos parâmetros da bobina: quanto maior a resistência ativa da bobina, mais rápido a amplitude da carga no capacitor, a tensão e a corrente diminuem.

A função é o produto de uma função exponencial decrescente e uma função harmônica, então a função não é harmônica. Mas tem um certo grau de "repetibilidade", que consiste no fato de que os máximos, mínimos, zeros da função ocorrem em intervalos regulares. O gráfico da função é uma senóide limitada por dois expoentes.

Vamos encontrar a razão de duas amplitudes sucessivas separadas por um intervalo de tempo de um período. Essa relação é chamada decréscimo de amortecimento

Observe que o resultado não depende de você considerar dois períodos consecutivos - no início do movimento oscilatório ou após algum tempo. Para cada período, a amplitude das oscilações muda não do mesmo tamanho, mas o mesmo número de vezes !!

É fácil ver que para quaisquer intervalos de tempo diferentes, a amplitude das oscilações amortecidas diminui o mesmo número de vezes.

Tempo de relaxar

O tempo de relaxamento é chamado o tempo durante o qual a amplitude das oscilações amortecidas diminui por e vezes:

Então .

A partir daqui não é difícil estabelecer o significado físico do coeficiente de atenuação:

Assim, o fator de amortecimento é o recíproco do tempo de relaxação. Seja, por exemplo, no circuito oscilatório, o coeficiente de amortecimento é igual a . Isso significa que após um tempo s a amplitude de oscilação diminuirá em e uma vez.

Decremento de amortecimento logarítmico

Muitas vezes, a taxa de amortecimento das oscilações é caracterizada por um decréscimo logarítmico do amortecimento. Para fazer isso, tome o logaritmo natural da razão das amplitudes separadas por um período de tempo.

Vamos descobrir o significado físico do decremento de amortecimento logarítmico.

Seja N o número de oscilações realizadas pelo sistema durante o tempo de relaxação, ou seja, o número de oscilações durante o qual a amplitude de oscilação diminui em e uma vez. Obviamente, .

Pode-se ver que o decremento do amortecimento logarítmico é o recíproco do número de oscilações, após o que a amplitude diminui em e uma vez.

Suponha, , isso significa que após 100 oscilações, a amplitude diminuirá em e uma vez.

Fator de qualidade do sistema oscilatório

Além do decremento de amortecimento logarítmico e do tempo de relaxamento, a taxa de amortecimento das oscilações pode ser caracterizada por um valor como fator de qualidade do sistema oscilante . Sob o fator de qualidade

Pode ser mostrado que para oscilações fracamente amortecidas

A energia do sistema oscilatório em um ponto arbitrário no tempo é igual a . A perda de energia ao longo de um período pode ser encontrada como a diferença entre a energia em um ponto no tempo e a energia após um tempo igual ao período:

Então

A função exponencial pode ser expandida em uma série no<< 1. после подстановки получаем .

Ao retirar, impusemos uma restrição<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

As fórmulas obtidas por nós para o fator de qualidade do sistema ainda não dizem nada. Digamos que os cálculos forneçam um valor do fator de qualidade Q = 10. O que isso significa? Com que rapidez as vibrações decaem? Isso é bom ou ruim?

Geralmente é considerado condicionalmente que as oscilações praticamente cessaram se sua energia diminuiu 100 vezes (amplitude - 10). Vamos descobrir quantas oscilações o sistema fez até este momento:

Podemos responder à pergunta feita anteriormente: N = 8.

Qual sistema oscilatório é melhor - com um fator de qualidade grande ou pequeno? A resposta a esta pergunta depende do que você deseja obter do sistema oscilante.

Se você deseja que o sistema faça tantas oscilações quanto possível antes de parar, o fator de qualidade do sistema deve ser aumentado. Como? Como o fator de qualidade é determinado pelos parâmetros do próprio sistema oscilatório, é necessário escolher esses parâmetros corretamente.

Por exemplo, o pêndulo de Foucault, instalado na Catedral de Santo Isaac, deveria realizar oscilações fracamente amortecidas. Então

A maneira mais fácil de aumentar o fator de qualidade de um pêndulo é torná-lo mais pesado.

Na prática, muitas vezes surgem problemas inversos: é necessário extinguir as oscilações que surgiram o mais rápido possível (por exemplo, a oscilação da flecha de um instrumento de medição, as vibrações da carroceria do carro, as vibrações do navio, etc.). .) dispositivos que permitem aumentar a atenuação no sistema são chamados de amortecedores (ou amortecedores). Por exemplo, um amortecedor de carro na primeira aproximação é um cilindro cheio de óleo (um líquido viscoso), no qual um pistão com vários pequenos orifícios pode se mover. A haste do pistão está conectada ao corpo e o cilindro está conectado ao eixo da roda. As vibrações do corpo que surgiram rapidamente desaparecem, pois o pistão em movimento encontra muita resistência em seu caminho do fluido viscoso que enche o cilindro.

§ 3 Amortecimento de vibrações em sistemas com fricção seca

O amortecimento das oscilações ocorre de maneira fundamentalmente diferente se a força de atrito deslizante atuar no sistema. É ela quem é o motivo da parada do pêndulo da mola, que oscila ao longo de qualquer superfície.

Suponha que um pêndulo de mola localizado em uma superfície horizontal foi colocado em movimento oscilatório comprimindo a mola e liberando a carga, isto é, da posição extrema. No processo de mover uma carga de uma posição extrema para outra, ela é afetada pela força da gravidade e pela força de reação do suporte (verticalmente), pela força de elasticidade e pela força de atrito deslizante (ao longo da superfície).

Observe que no processo de movimento da esquerda para a direita, a força de atrito permanece inalterada em direção e módulo.

Isso nos permite afirmar que durante a primeira metade do período o pêndulo da mola está em um campo de força constante.

O deslocamento da posição de equilíbrio pode ser calculado a partir da condição de que a resultante seja igual a zero na posição de equilíbrio:
É importante que durante a primeira metade do período de oscilação do pêndulo harmônico !

Ao se mover na direção oposta - da direita para a esquerda - a força de atrito mudará de direção, mas durante toda a transição permanecerá constante em magnitude e direção. Esta situação corresponde novamente às oscilações de um pêndulo em um campo de força constante. Só que agora esse campo é diferente! Mudou de direção. Consequentemente, a posição de equilíbrio ao se mover da direita para a esquerda também mudou. Agora ele se deslocou para a direita pela quantidade D eu 0 .

Vamos descrever a dependência da coordenada do corpo no tempo. Como para cada metade do período o movimento é uma oscilação harmônica, o gráfico será metades das senóides, cada uma construída em relação à sua posição de equilíbrio. Iremos realizar a operação de "soluções de costura".

Vamos mostrar como isso é feito com um exemplo específico.

Seja a massa da carga presa à mola de 200 g, a rigidez da mola de 20 N/m e o coeficiente de atrito entre a carga e a superfície da mesa de 0,1. O pêndulo foi colocado em movimento oscilatório esticando a mola por

6,5cm.

Em contraste com sistemas oscilatórios com atrito viscoso, em sistemas com atrito seco, a amplitude das oscilações diminui com o tempo de acordo com uma lei linear - para cada período diminui em duas larguras da zona de estagnação.

Outra característica distintiva é que as oscilações em sistemas com atrito seco, mesmo teoricamente, não podem ocorrer indefinidamente. Eles param assim que o corpo para na "zona de estagnação".

§4 Exemplos de resolução de problemas

Problema 1 A natureza da mudança na amplitude das oscilações amortecidas em sistemas com atrito viscoso

A amplitude das oscilações amortecidas do pêndulo durante o tempo t 1 = 5 min diminuiu 2 vezes. Em que instante t 2 a amplitude de oscilação diminuirá 8 vezes? Depois de quanto tempo t 3 podemos considerar que as oscilações do pêndulo pararam?

Solução:

A amplitude das oscilações em sistemas com atrito viscoso ao longo do tempo

diminui exponencialmente , onde é a amplitude de oscilação no momento inicial de tempo, é o fator de amortecimento.

1 Vamos escrever a lei da mudança de amplitude duas vezes

2 Resolvemos equações juntos. Tomando o logaritmo de cada equação, obtemos

Dividimos a segunda equação e não a primeira e encontramos o tempo t 2

4

Após as transformações, obtemos

Divida a última equação pela equação (*)

Tarefa 2 Período de oscilações amortecidas em sistemas com atrito viscoso

Determine o período de oscilações amortecidas do sistema T, se o período de oscilações naturais T 0 \u003d 1 s e o amortecimento logarítmico diminuir. Quantas oscilações esse sistema fará antes de parar completamente?

Solução:

1 O período de oscilações amortecidas em um sistema com atrito viscoso é maior que o período de oscilações naturais (na ausência de atrito no sistema). A frequência das oscilações amortecidas, ao contrário, é menor que a frequência natural e é igual a , onde é o coeficiente de atenuação.

2 Expresse a frequência cíclica ao longo do período. e leve em consideração que o decremento de amortecimento logarítmico é igual a:

3 Após as transformações, obtemos .

A energia do sistema é igual à energia potencial máxima do pêndulo

Após as transformações, obtemos

5 Expressamos o coeficiente de atenuação em termos de um decremento logarítmico, obtemos

O número de oscilações que o sistema fará antes de parar é igual a

Problema 3 O número de oscilações feitas pelo pêndulo até que a amplitude seja reduzida pela metade

O decremento logarítmico do amortecimento do pêndulo é igual a q = 3×10 -3 . Determine o número de oscilações completas que o pêndulo deve fazer para que a amplitude de suas oscilações diminua 2 vezes.

Solução:

3 É fácil ver que é o decremento de amortecimento logarítmico. Nós temos

Encontrando o número de vibrações

Tarefa 4 Fator de qualidade do sistema oscilatório

Determine o fator de qualidade do pêndulo, se durante o tempo em que foram feitas 10 oscilações, a amplitude diminuiu 2 vezes. Quanto tempo leva para o pêndulo parar?

Solução:

1 A amplitude das oscilações em sistemas com atrito viscoso diminui exponencialmente com o tempo, onde é a amplitude das oscilações no momento inicial do tempo, é o coeficiente de amortecimento.

Como a amplitude de oscilação diminui 2 vezes, obtemos

2 O tempo de oscilação pode ser representado como o produto do período de oscilações pelo seu número:

Substitua o valor de tempo resultante na expressão (*)

3 É fácil ver que é o decremento de amortecimento logarítmico. Obtemos o decremento de amortecimento logarítmico igual a

4 Fator de qualidade do sistema oscilatório

A energia do sistema é igual à energia potencial máxima do pêndulo

Após as transformações, obtemos

Encontre o tempo após o qual as oscilações irão parar .

Tarefa 5 Vibrações de um ímã

Vasya Lisichkin, um experimentador conhecido em toda a escola, decidiu fazer vibrar a estatueta magnética de seu herói literário favorito Kolobok ao longo da parede da geladeira. Ele prendeu a estatueta a uma mola com rigidez k = 10 N/m, esticou-a em 10 cm e a soltou. Quantas oscilações o Homem-Biscoito fará se a massa da estatueta for m = 10 g, o coeficiente de atrito entre a estatueta e a parede for μ = 0,4, e ela puder ser arrancada da parede com a força F = 0,5 N .

Solução:

1 Ao mover-se da posição extrema inferior para a extrema superior, quando a velocidade da carga é direcionada para cima, a força de atrito deslizante é direcionada para baixo e é numericamente igual a . Assim, o pêndulo da mola está em um campo de força constante criado pelas forças da gravidade e do atrito. Em um campo de força constante, o pêndulo desloca sua posição de equilíbrio:

onde é o alongamento da mola na nova "posição de equilíbrio".

2 Ao mover-se da posição extrema superior para a extrema inferior, quando a velocidade da carga é direcionada para baixo, a força de atrito deslizante é direcionada para cima e é numericamente igual a . Assim, o pêndulo da mola está novamente em um campo de força constante criado pelas forças da gravidade e do atrito. Em um campo de força constante, o pêndulo desloca sua posição de equilíbrio:

onde é a deformação da mola na nova "posição de equilíbrio", o sinal "-" indica que nesta posição a mola está comprimida.

3 A zona de estagnação é limitada por deformações da mola de - 1 cm a 3 cm e é de 4 cm. O meio da zona de estagnação, na qual a deformação da mola é de 1 cm, corresponde à posição da carga em que não há atrito força. Na zona de estagnação, a força elástica da mola é menor em módulo do que a resultante força máxima de atrito estático e gravidade. Se o pêndulo parar na zona de estagnação, as oscilações param.

4 Para cada período, a deformação da mola é reduzida em duas larguras da zona de estagnação, ou seja, em 8 cm. Após uma oscilação, a deformação da mola se tornará igual a 10 cm - 8 cm = 2 cm. Isso significa que após uma oscilação, a figura Kolobok entra na zona de estagnação e suas oscilações param.

§5 Tarefas para solução independente

Teste "Vibrações amortecidas"

1 Amortecimento de vibrações é entendido como ...

A) diminuição da frequência das oscilações; B) diminuição do período de oscilações;

C) diminuição da amplitude das oscilações; D) diminuição da fase de oscilações.

2 A razão para o amortecimento de vibrações livres é

A) o efeito sobre o sistema de fatores aleatórios que inibem as oscilações;

B) a ação de uma força externa que muda periodicamente;

C) a presença de uma força de atrito no sistema;

D) uma diminuição gradual da força quase elástica, que tende a devolver o pêndulo à posição de equilíbrio.

?

A) 5cm; B) 4cm; C) 3cm;

D) Não é possível dar uma resposta, porque a hora é desconhecida.

6 Dois pêndulos idênticos, estando em meios viscosos diferentes, oscilam. A amplitude dessas oscilações muda ao longo do tempo, conforme mostrado na figura. Qual meio tem mais atrito?

7 Dois pêndulos, estando no mesmo ambiente, oscilam. A amplitude dessas oscilações muda ao longo do tempo, conforme mostrado na figura. Qual pêndulo tem a maior massa?

C) É impossível dar uma resposta, pois a escala não está definida ao longo dos eixos coordenados e é impossível realizar cálculos.

8 Qual figura mostra corretamente a dependência da coordenada das oscilações amortecidas em um sistema com atrito viscoso no tempo?

A) 1; B) 2; ÀS 3; D) Todos os gráficos estão corretos.

9 Estabelecer uma correspondência entre as grandezas físicas que caracterizam o amortecimento de oscilações em sistemas com atrito viscoso, e sua definição e significado físico. Preencha a tabela

A) É a razão das amplitudes das oscilações após um tempo igual ao período;

B) Este é o logaritmo natural da razão das amplitudes de oscilação após um tempo igual ao período;

C) Este é o tempo durante o qual a amplitude das oscilações diminui em e uma vez;

G) D) E)

G) Este valor é o recíproco do número de oscilações, para o qual a amplitude das oscilações diminui em e uma vez;

H) Este valor mostra quantas vezes a amplitude das oscilações diminui ao longo de um tempo igual ao período das oscilações.

10 Faça uma afirmação correta.

Bondade significa...

A) a razão entre a energia total do sistema E aumentada por um fator de 2p para a energia W dissipada durante um período;

B) a razão das amplitudes após um período de tempo igual ao período;

C) o número de oscilações que o sistema faz no momento em que a amplitude diminui em e vezes.

O fator de qualidade é calculado de acordo com a fórmula ...

MAS) B) C)

O fator de qualidade de um sistema oscilatório depende…

A) a energia do sistema;

B) perdas de energia do período;

C) parâmetros do sistema oscilatório e atrito no mesmo.

Quanto maior o fator de qualidade do sistema oscilatório, mais ...

A) as oscilações decaem mais lentamente;

B) as flutuações decaem mais rapidamente.

11 O pêndulo matemático é colocado em movimento oscilatório, desviando a suspensão da posição de equilíbrio no primeiro caso em 15°, no segundo - em 10°. Em qual caso o pêndulo fará mais oscilações antes de parar?

A) Quando o cabide é defletido em 15°;

B) Quando o cabide é defletido em 10°;

C) Em ambos os casos, o pêndulo fará o mesmo número de oscilações.

12 Esferas do mesmo raio são presas a dois fios do mesmo comprimento - alumínio e cobre. Os pêndulos são colocados em movimento oscilatório, desviando-os nos mesmos ângulos. Qual dos pêndulos fará o maior número de oscilações antes de parar?

A) alumínio; B) Cobre;

C) Ambos os pêndulos farão o mesmo número de oscilações.

13 Um pêndulo de mola, localizado em uma superfície horizontal, foi colocado em oscilação esticando a mola em 9 cm. Depois de fazer três oscilações completas, o pêndulo estava a uma distância de 6 cm da posição da mola não deformada. A que distância da posição da mola não deformada estará o pêndulo após as próximas três oscilações?

A) 5cm; B) 4cm; C) 3cm.

vibrações amortecidas

Oscilações amortecidas de um pêndulo de mola

vibrações amortecidas- flutuações, cuja energia diminui com o tempo. Um processo infinitamente contínuo de espécies é impossível na natureza. As oscilações livres de qualquer oscilador, mais cedo ou mais tarde, desaparecem e param. Portanto, na prática, geralmente lida-se com oscilações amortecidas. Eles são caracterizados pelo fato de que a amplitude das oscilações UMAé uma função decrescente. Normalmente, o amortecimento ocorre sob a ação das forças de resistência do meio, mais frequentemente expressas como uma dependência linear da velocidade das oscilações ou de seu quadrado.

Em acústica: atenuação - reduzindo o nível do sinal até a completa inaudibilidade.

Oscilações amortecidas de um pêndulo de mola

Seja um sistema que consiste em uma mola (obedecendo à lei de Hooke), uma extremidade da qual é rigidamente fixada e na outra há um corpo de massa m. As oscilações ocorrem em um meio onde a força de resistência é proporcional à velocidade com um coeficiente c(ver atrito viscoso).

cujas raízes são calculadas pela seguinte fórmula

Soluções

Dependendo do valor do coeficiente de atenuação, a solução é dividida em três opções possíveis.

• aperiodicidade

Se , então existem duas raízes reais, e a solução da equação diferencial assume a forma:

Neste caso, as oscilações decaem exponencialmente desde o início.

• Limite de aperiodicidade

Se , as duas raízes reais são as mesmas, e a solução da equação é:

Nesse caso, pode haver um aumento temporário, mas depois um decaimento exponencial.

• Atenuação fraca

Se , então a solução da equação característica são duas raízes complexas conjugadas

Então a solução da equação diferencial original é

Onde é a frequência natural das oscilações amortecidas.

As constantes e em cada um dos casos são determinadas a partir das condições iniciais:

Veja também

• Diminuição do amortecimento

Literatura

Lit.: Saveliev I.V., Curso de Física Geral: Mecânica, 2001.

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é "Damped Oscillations" em outros dicionários:

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Oscilações naturais, cuja amplitude A diminui com o tempo t de acordo com a lei exponencial А(t) = Аоexp (?t) (? índice de amortecimento devido à dissipação de energia devido a forças de atrito viscoso para oscilações amortecidas mecânicas e ôhmicas ... . .. Grande Dicionário Enciclopédico

Flutuações, cuja amplitude diminui gradualmente, por exemplo. oscilações de um pêndulo experimentando resistência do ar e atrito na suspensão. Todas as vibrações livres que ocorrem na natureza são, em maior ou menor grau, Z. K. Electric Z. K. ... ... Dicionário Marinho

oscilações amortecidas- Oscilações mecânicas com valores do intervalo da coordenada generalizada ou sua derivada temporal decrescente no tempo. [Coleção de termos recomendados. Edição 106. Vibrações mecânicas. Academia de Ciências da URSS. Comitê Científico e Técnico ... ... Manual do Tradutor Técnico

vibrações amortecidas- (VIBRAÇÃO) flutuações (vibração) com valores de pico a pico decrescentes... Enciclopédia Russa de Proteção ao Trabalho

Oscilações naturais do sistema, cuja amplitude A diminui com o tempo t de acordo com a lei exponencial A(t) = A0exp(?α t) (α índice de amortecimento) devido à dissipação de energia devido a forças de atrito viscoso para oscilações amortecidas mecânicas e ôhmico ... ... dicionário enciclopédico

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