Antes de tudo, para descobrir se o zero pode ser dividido por um número negativo, deve-se lembrar como a divisão de números negativos geralmente é realizada. A operação matemática da divisão é o inverso da multiplicação.

Isso pode ser descrito da seguinte forma: se a e b são números racionais, então dividir a por b significa encontrar um número c que, quando multiplicado por b, resultará no número a. Essa definição de divisão é verdadeira para números positivos e negativos, desde que os divisores sejam diferentes de zero. Nesse caso, observa-se estritamente a condição de que é impossível dividir por zero.

Portanto, por exemplo, para dividir o número 32 pelo número -8, você deve encontrar um número que, quando multiplicado pelo número -8, resultará no número 32. Esse número será -4, pois

(-4) x (-8) \u003d 32. Os sinais são somados, e menos por menos resultará em mais.

Nesse caminho:

Outros exemplos de divisão de números racionais:

21: 7 = 3, já que 7 x 3 = 21,

(−9) : (−3) = 3 pois 3 (−3) = −9.

Regras para dividir números negativos

Para determinar o módulo do quociente, é necessário dividir o módulo do número divisível pelo módulo do divisor. É importante levar em consideração o sinal de ambos os elementos da operação.

Para dividir dois números com o mesmo sinal, você precisa dividir o módulo do dividendo pelo módulo do divisor e colocar um sinal de mais na frente do resultado.

Para dividir dois números com sinais diferentes, você precisa dividir o módulo do dividendo pelo módulo do divisor, mas colocar um sinal de menos na frente do resultado, e não importa qual dos elementos, divisor ou dividendo, foi negativo.

As regras e relações indicadas entre os resultados da multiplicação e divisão, conhecidas para números positivos, também são válidas para todos os números racionais, exceto para o número zero.

Existe uma regra importante para zero: o quociente de zero dividido por qualquer número diferente de zero também é zero.

0: b = 0, b ≠ 0. Além disso, b pode ser positivo e negativo.

Assim, podemos concluir que zero pode ser dividido por um número negativo, e o resultado será sempre zero.

Agora vamos lidar com multiplicação e divisão.

Suponha que precisamos multiplicar +3 por -4. Como fazer isso?

Vamos considerar tal caso. Três pessoas se endividaram e cada uma tem US$ 4 em dívidas. Qual é a dívida total? Para encontrá-lo, você precisa somar todas as três dívidas: $ 4 + $ 4 + $ 4 = $ 12. Decidimos que a adição de três números 4 é denotada como 3 × 4. Como neste caso estamos falando de dívida, há um sinal “-” na frente de 4. Sabemos que a dívida total é de $ 12, então agora nosso problema é 3x(-4)=-12.

Teremos o mesmo resultado se, de acordo com a condição do problema, cada uma das quatro pessoas tiver uma dívida de 3 dólares. Em outras palavras, (+4)x(-3)=-12. E como a ordem dos fatores não importa, obtemos (-4)x(+3)=-12 e (+4)x(-3)=-12.

Vamos resumir os resultados. Ao multiplicar um número positivo e um negativo, o resultado será sempre um número negativo. O valor numérico da resposta será o mesmo que no caso de números positivos. Produto (+4)x(+3)=+12. A presença do sinal "-" afeta apenas o sinal, mas não afeta o valor numérico.

Como você multiplica dois números negativos?

Infelizmente, é muito difícil encontrar um exemplo adequado da vida neste tópico. É fácil imaginar $3 ou $4 em dívida, mas é completamente impossível imaginar -4 ou -3 pessoas se endividando.

Talvez nós vamos por outro caminho. Na multiplicação, mudar o sinal de um dos fatores muda o sinal do produto. Se mudarmos os sinais de ambos os fatores, devemos mudar os sinais duas vezes marca do produto, primeiro de positivo para negativo, e depois vice-versa, de negativo para positivo, ou seja, o produto terá seu sinal original.

Portanto, é bastante lógico, embora um pouco estranho, que (-3)x(-4)=+12.

Posição do sinal quando multiplicado muda assim:

• número positivo x número positivo = número positivo;
• número negativo x número positivo = número negativo;
• número positivo x número negativo = número negativo;
• número negativo x número negativo = número positivo.

Em outras palavras, multiplicando dois números com o mesmo sinal, obtemos um número positivo. Multiplicando dois números com sinais diferentes, obtemos um número negativo.

A mesma regra vale para a ação oposta à multiplicação - para.

Você pode verificar isso facilmente executando operações de multiplicação inversa. Se em cada um dos exemplos acima você multiplicar o quociente pelo divisor, você obtém o dividendo e garante que ele tenha o mesmo sinal, como (-3)x(-4)=(+12).

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O foco deste artigo é divisão de números negativos. Primeiro, a regra para dividir um número negativo por um negativo é fornecida, suas justificativas são fornecidas e, em seguida, são fornecidos exemplos de divisão de números negativos com uma descrição detalhada das soluções.

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Regra para dividir números negativos

Antes de dar a regra para dividir números negativos, vamos relembrar o significado da ação de divisão. A divisão em sua essência representa encontrar um fator desconhecido por um produto conhecido e um outro fator conhecido. Ou seja, o número c é o quociente de a dividido por b quando c b=a , e vice-versa, se c b=a , então a:b=c .

Regra para dividir números negativos o seguinte: o quociente de dividir um número negativo por outro é igual ao quociente de dividir o numerador pelo módulo do denominador.

Vamos escrever a regra sonora usando letras. Se a e b são números negativos, então a igualdade a:b=|a|:|b| .

A igualdade a:b=a b −1 é fácil de provar, partindo de Propriedades da multiplicação de números reais e definições de números recíprocos. De fato, com base nisso, pode-se escrever uma cadeia de igualdades da forma (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, o que, em virtude do sentido de divisão mencionado no início do artigo, prova que a · b − 1 é o quociente da divisão de a por b .

E essa regra permite que você passe da divisão de números negativos à multiplicação.

Resta considerar a aplicação das regras consideradas para dividir números negativos ao resolver exemplos.

Exemplos de divisão de números negativos

Vamos analisar exemplos de divisão de números negativos. Vamos começar com casos simples, nos quais trabalharemos a aplicação da regra de divisão.

Exemplo.

Divida o número negativo −18 pelo número negativo −3 e calcule o quociente (−5):(−2) .

Solução.

Pela regra da divisão de números negativos, o quociente de dividir −18 por −3 é igual ao quociente de dividir os módulos desses números. Como |−18|=18 e |−3|=3 , então (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , resta apenas realizar a divisão dos números naturais, temos 18:3=6.

Resolvemos a segunda parte do problema da mesma maneira. Como |−5|=5 e |−2|=2 , então (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . Este quociente corresponde a uma fração ordinária 5/2, que pode ser escrita como um número misto.

Os mesmos resultados são obtidos usando uma regra diferente para dividir números negativos. De fato, o número -3 é inversamente o número , então , agora realizamos a multiplicação de números negativos: . Da mesma maneira, .

Responda:

(−18):(−3)=6 e .

Ao dividir números racionais fracionários, é mais conveniente trabalhar com frações comuns. Mas, se conveniente, você pode dividir e frações decimais finais.

Exemplo.

Divida o número -0,004 por -0,25 .

Solução.

Os módulos do dividendo e do divisor são 0,004 e 0,25, respectivamente, então, de acordo com a regra de divisão de números negativos, temos (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

• ou realizar a divisão de frações decimais por uma coluna,
• ou vá de decimais para frações ordinárias, e então divida as frações ordinárias correspondentes.

Vamos dar uma olhada em ambas as abordagens.

Para dividir 0,004 por 0,25 em uma coluna, primeiro mova a vírgula 2 dígitos para a direita, enquanto divide 0,4 por 25. Agora realizamos a divisão por uma coluna:

Então 0,004:0,25=0,016.

E agora vamos mostrar como seria a solução se decidíssemos converter frações decimais em ordinárias. Porque e depois , e executar

Este artigo fornece uma visão geral detalhada dividindo números com sinais diferentes. Primeiro, a regra para dividir números com sinais diferentes é dada. Abaixo estão exemplos de divisão de números positivos por negativos e números negativos por positivos.

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Regra para dividir números com sinais diferentes

No artigo divisão de inteiros, obteve-se a regra para divisão de inteiros com sinais diferentes. Ele pode ser estendido tanto para números racionais quanto para números reais, repetindo todos os argumentos do artigo especificado.

Então, regra para dividir números com sinais diferentes tem a seguinte formulação: para dividir um número positivo por um negativo ou um número negativo por um positivo, é necessário dividir o dividendo pelo módulo do divisor e colocar um sinal de menos na frente do número resultante.

Escrevemos esta regra de divisão usando letras. Se os números a e b tiverem sinais diferentes, então a fórmula é válida a:b=−|a|:|b| .

A partir da regra sonora, fica claro que o resultado da divisão de números com sinais diferentes é um número negativo. De fato, como o módulo do dividendo e o módulo do divisor são mais positivos que o número, seu quociente é um número positivo e o sinal de menos torna esse número negativo.

Observe que a regra considerada reduz a divisão de números com sinais diferentes à divisão de números positivos.

Você pode dar outra formulação da regra para dividir números com sinais diferentes: para dividir o número a pelo número b, você precisa multiplicar o número a pelo número b −1, o inverso do número b. Aquilo é, a:b=a b −1 .

Esta regra pode ser utilizada quando for possível ir além do conjunto dos inteiros (já que nem todo inteiro possui uma inversa). Em outras palavras, é aplicável tanto no conjunto dos números racionais quanto no conjunto dos números reais.

É claro que esta regra para dividir números com sinais diferentes permite que você vá da divisão à multiplicação.

A mesma regra é usada ao dividir números negativos.

Resta considerar como essa regra de divisão de números com sinais diferentes é aplicada na resolução de exemplos.

Exemplos de divisão de números com sinais diferentes

Consideremos soluções de várias características exemplos de divisão de números com sinais diferentes compreender o princípio de aplicação das regras do parágrafo anterior.

Exemplo.

Divida o número negativo -35 pelo número positivo 7.

Solução.

A regra para dividir números com sinais diferentes prescreve primeiro encontrar os módulos do dividendo e do divisor. O módulo de -35 é 35 e o módulo de 7 é 7. Agora precisamos dividir o módulo do dividendo pelo módulo do divisor, ou seja, precisamos dividir 35 por 7. Lembrando como é feita a divisão de números naturais, obtemos 35:7=5. O último passo da regra para dividir números com sinais diferentes permanece - coloque um menos na frente do número resultante, temos -5.

Aqui está toda a solução: .

Poder-se-ia partir de uma formulação diferente da regra de divisão de números com sinais diferentes. Nesse caso, primeiro encontramos o número que é o inverso do divisor 7. Este número é a fração comum 1/7. Nesse caminho, . Resta realizar a multiplicação de números com sinais diferentes: . Obviamente, chegamos ao mesmo resultado.

Responda:

(−35):7=−5 .

Exemplo.

Calcule o quociente 8:(−60) .

Solução.

Pela regra de dividir números com sinais diferentes, temos 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . A expressão resultante corresponde a uma fração ordinária negativa (veja o sinal de divisão como uma barra de fração), você pode reduzir a fração em 4, obtemos .

Escrevemos toda a solução resumidamente: .

Responda:

.

Ao dividir números racionais fracionários com sinais diferentes, seu dividendo e divisor geralmente são representados como frações ordinárias. Isso se deve ao fato de que nem sempre é conveniente realizar a divisão com números em uma notação diferente (por exemplo, em decimal).

Exemplo.

Solução.

O módulo do dividendo é , e o módulo do divisor é 0,(23) . Para dividir o módulo do dividendo pelo módulo do divisor, vamos para as frações ordinárias.

Vamos traduzir um número misto em uma fração ordinária: , assim como