Finalmente, pus as mãos em um tópico extenso e muito aguardado geometria analítica. Primeiro, um pouco sobre esta seção de matemática superior…. Certamente você agora se lembrava do curso de geometria escolar com inúmeros teoremas, suas provas, desenhos, etc. O que esconder, um assunto pouco amado e muitas vezes obscuro para uma proporção significativa de alunos. A geometria analítica, curiosamente, pode parecer mais interessante e acessível. O que significa o adjetivo "analítico"? Imediatamente vêm à mente duas viradas matemáticas estampadas: “método gráfico de solução” e “método analítico de solução”. Método gráfico, é claro, está associado à construção de gráficos, desenhos. Analítico mesmo método envolve a resolução de problemas predominantemente através de operações algébricas. A esse respeito, o algoritmo para resolver quase todos os problemas de geometria analítica é simples e transparente, muitas vezes basta aplicar com precisão as fórmulas necessárias - e a resposta está pronta! Não, claro, não prescindirá de desenhos, além disso, para melhor compreensão do material, tentarei trazê-los além do necessário.

O curso aberto de aulas de geometria não pretende ser completitude teórica, é focado na resolução de problemas práticos. Incluirei nas minhas palestras apenas o que, do meu ponto de vista, é importante em termos práticos. Se você precisar de uma referência mais completa em qualquer subseção, recomendo a seguinte literatura bastante acessível:

1) Uma coisa que, sem brincadeira, é familiar a várias gerações: livro didático de geometria, Os autores - L.S. Atanasyan e Companhia. Este cabide de vestiário escolar já resistiu a 20 (!) reedições, o que, claro, não é o limite.

2) Geometria em 2 volumes. Os autores L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Isso é literatura para o ensino superior, você vai precisar primeiro volume. Tarefas que ocorrem com pouca frequência podem sair do meu campo de visão, e o tutorial será de ajuda inestimável.

Ambos os livros são gratuitos para download online. Além disso, você pode usar meu arquivo com soluções prontas, que podem ser encontradas na página Baixe exemplos de matemática superior.

Das ferramentas, novamente ofereço meu próprio desenvolvimento - pacote de software em geometria analítica, o que simplificará muito a vida e economizará muito tempo.

Presume-se que o leitor esteja familiarizado com conceitos e figuras geométricas básicas: ponto, linha, plano, triângulo, paralelogramo, paralelepípedo, cubo, etc. É aconselhável lembrar alguns teoremas, pelo menos o teorema de Pitágoras, olá repetidores)

E agora vamos considerar sequencialmente: o conceito de um vetor, ações com vetores, coordenadas vetoriais. Mais recomendo a leitura o artigo mais importante Produto escalar de vetores, assim como Vetor e produto misto de vetores. A tarefa local não será supérflua - Divisão do segmento nesse sentido. Com base nas informações acima, você pode equação de uma reta em um plano Com os exemplos mais simples de soluções, o que permitirá Aprenda a resolver problemas de geometria. Os seguintes artigos também são úteis: Equação de um plano no espaço, Equações de uma linha reta no espaço, Problemas básicos sobre a linha e o plano , outras seções de geometria analítica. Naturalmente, as tarefas padrão serão consideradas ao longo do caminho.

O conceito de um vetor. vetor livre

Primeiro, vamos repetir a definição escolar de um vetor. Vetor chamado dirigido um segmento para o qual seu início e fim são indicados:

Neste caso, o início do segmento é o ponto , o final do segmento é o ponto . O próprio vetor é denotado por . Direçãoé essencial, se você reorganizar a seta para a outra extremidade do segmento, você obtém um vetor, e isso já é vetor completamente diferente. Convém identificar o conceito de vetor com o movimento de um corpo físico: é preciso admitir que entrar pelas portas de um instituto ou sair pelas portas de um instituto são coisas completamente diferentes.

É conveniente considerar pontos individuais de um plano, espaço como o chamado vetor zero. Tal vetor tem o mesmo fim e começo.

!!! Observação: Aqui e abaixo, você pode supor que os vetores estão no mesmo plano ou você pode supor que eles estão localizados no espaço - a essência do material apresentado é válida tanto para o plano quanto para o espaço.

Designações: Muitos imediatamente chamaram a atenção para um bastão sem flecha na designação e disseram que também colocaram uma flecha no topo! Isso mesmo, você pode escrever com uma seta: , mas admissível e registro que usarei mais tarde. Por quê? Aparentemente, esse hábito se desenvolveu a partir de considerações práticas, meus atiradores na escola e na universidade acabaram sendo muito diversos e desgrenhados. Na literatura educacional, às vezes eles não se preocupam com o cuneiforme, mas destacam as letras em negrito: , dando a entender que se trata de um vetor.

Esse era o estilo, e agora sobre as formas de escrever vetores:

1) Os vetores podem ser escritos em duas letras maiúsculas latinas:
e assim por diante. Enquanto a primeira letra necessariamente denota o ponto inicial do vetor, e a segunda letra denota o ponto final do vetor.

2) Os vetores também são escritos em pequenas letras latinas:
Em particular, nosso vetor pode ser redesignado para brevidade por uma pequena letra latina .

Comprimento ou módulo vetor diferente de zero é chamado de comprimento do segmento. O comprimento do vetor nulo é zero. Logicamente.

O comprimento de um vetor é denotado pelo sinal de módulo: ,

Como encontrar o comprimento de um vetor, aprenderemos (ou repetiremos, para alguém como) um pouco mais tarde.

Essa era uma informação elementar sobre o vetor, familiar a todos os escolares. Na geometria analítica, o chamado vetor livre.

Se for bem simples - vetor pode ser desenhado a partir de qualquer ponto:

Costumávamos chamar esses vetores iguais (a definição de vetores iguais será dada abaixo), mas de um ponto de vista puramente matemático, este é o MESMO VETOR ou vetor livre. Por que grátis? Porque no decorrer da resolução de problemas, você pode “anexar” um ou outro vetor a QUALQUER ponto do plano ou espaço que você precisar. Esta é uma propriedade muito legal! Imagine um vetor de comprimento e direção arbitrárias - ele pode ser "clonado" um número infinito de vezes e em qualquer ponto do espaço, na verdade, ele existe EM TODO LUGAR. Existe um provérbio de um aluno: Cada professor em f ** u no vetor. Afinal, não apenas uma rima espirituosa, tudo é matematicamente correto - um vetor pode ser anexado lá também. Mas não se apresse em se alegrar, os próprios alunos sofrem com mais frequência =)

Então, vetor livre- isto é vários segmentos direcionais idênticos. A definição escolar de vetor, dada no início do parágrafo: “Um segmento direcionado é chamado de vetor...”, implica específico um segmento direcionado tomado de um determinado conjunto, que está ligado a um determinado ponto no plano ou espaço.

Deve-se notar que, do ponto de vista da física, o conceito de vetor livre é geralmente incorreto, e o ponto de aplicação do vetor é importante. De fato, um golpe direto da mesma força no nariz ou na testa é suficiente para desenvolver meu exemplo estúpido acarreta consequências diferentes. No entanto, não é grátis vetores também são encontrados no curso de vyshmat (não vá lá :)).

Ações com vetores. Colinearidade de vetores

No curso de geometria escolar, são consideradas várias ações e regras com vetores: adição de acordo com a regra do triângulo, adição de acordo com a regra do paralelogramo, a regra da diferença de vetores, multiplicação de um vetor por um número, o produto escalar de vetores, etc. Como semente, repetimos duas regras que são especialmente relevantes para resolver problemas de geometria analítica.

Regra de adição de vetores de acordo com a regra dos triângulos

Considere dois vetores arbitrários diferentes de zero e :

É necessário encontrar a soma desses vetores. Devido ao fato de que todos os vetores são considerados livres, adiamos o vetor de fim vetor:

A soma dos vetores é o vetor . Para uma melhor compreensão da regra, é aconselhável colocar um significado físico nela: deixe algum corpo fazer um caminho ao longo do vetor , e depois ao longo do vetor . Então a soma dos vetores é o vetor do caminho resultante começando no ponto de partida e terminando no ponto de chegada. Uma regra semelhante é formulada para a soma de qualquer número de vetores. Como se costuma dizer, o corpo pode seguir seu caminho fortemente em ziguezague, ou talvez no piloto automático - ao longo do vetor de soma resultante.

A propósito, se o vetor é adiado de começar vetor , então obtemos o equivalente regra do paralelogramo adição de vetores.

Primeiro, sobre a colinearidade dos vetores. Os dois vetores são chamados colinear se estiverem na mesma linha ou em linhas paralelas. Grosso modo, estamos falando de vetores paralelos. Mas em relação a eles, o adjetivo "colinear" é sempre usado.

Imagine dois vetores colineares. Se as setas desses vetores são direcionadas na mesma direção, esses vetores são chamados co-direcional. Se as setas olharem em direções diferentes, então os vetores serão direção oposta.

Designações: a colinearidade dos vetores é escrita com o ícone de paralelismo usual: , enquanto o detalhamento é possível: (os vetores são codirigidos) ou (os vetores são direcionados de forma oposta).

trabalhar de um vetor diferente de zero por um número é um vetor cujo comprimento é igual a , e os vetores e são co-direcionados em e opostamente direcionados a .

A regra para multiplicar um vetor por um número é mais fácil de entender com uma imagem:

Entendemos com mais detalhes:

1 direção. Se o multiplicador for negativo, então o vetor muda de direção ao contrário.

2) Comprimento. Se o fator estiver contido em ou , então o comprimento do vetor diminui. Portanto, o comprimento do vetor é duas vezes menor que o comprimento do vetor . Se o multiplicador do módulo for maior que um, então o comprimento do vetor aumenta em tempo.

3) Observe que todos os vetores são colineares, enquanto um vetor é expresso por meio de outro, por exemplo, . O contrário também é verdade: se um vetor pode ser expresso em termos de outro, então tais vetores são necessariamente colineares. Nesse caminho: se multiplicarmos um vetor por um número, obtemos colinear(relativo ao original) vetor.

4) Os vetores são codirecionais. Os vetores e também são codirecionais. Qualquer vetor do primeiro grupo é oposto a qualquer vetor do segundo grupo.

Quais vetores são iguais?

Dois vetores são iguais se forem codirecionais e tiverem o mesmo comprimento. Observe que a codireção implica que os vetores são colineares. A definição será imprecisa (redundante) se você disser: "Dois vetores são iguais se forem colineares, codirigidos e tiverem o mesmo comprimento".

Do ponto de vista do conceito de vetor livre, vetores iguais são o mesmo vetor, o que já foi discutido no parágrafo anterior.

Coordenadas vetoriais no plano e no espaço

O primeiro ponto é considerar vetores em um plano. Desenhe um sistema de coordenadas retangulares cartesianas e separe da origem solteiro vetores e:

Vetores e ortogonal. Ortogonal = Perpendicular. Recomendo aos poucos se acostumar com os termos: em vez de paralelismo e perpendicularidade, usamos as palavras respectivamente colinearidade e ortogonalidade.

Designação: ortogonalidade de vetores é escrito com o sinal perpendicular usual, por exemplo: .

Os vetores considerados são chamados vetores de coordenadas ou ortes. Esses vetores formam base na superfície. Qual é a base, eu acho, é intuitivamente clara para muitos, informações mais detalhadas podem ser encontradas no artigo (não) dependência linear de vetores. Base vetorial.Em palavras simples, a base e a origem das coordenadas definem todo o sistema - esta é uma espécie de fundação sobre a qual ferve uma vida geométrica plena e rica.

Às vezes, a base construída é chamada ortonormal base do plano: "orto" - porque os vetores de coordenadas são ortogonais, o adjetivo "normalizado" significa unidade, ou seja, os comprimentos dos vetores de base são iguais a um.

Designação: a base é geralmente escrita entre parênteses, dentro do qual em estrita ordem vetores de base são listados, por exemplo: . Vetores de coordenadas é proibido trocar de lugar.

Algum vetor de avião o único jeito Expresso como:
, Onde - números, que são chamados coordenadas vetoriais nesta base. Mas a própria expressão chamado decomposição vetorialbase .

Jantar servido:

Vamos começar com a primeira letra do alfabeto: . O desenho mostra claramente que ao decompor o vetor em termos de base, os que acabamos de considerar são usados:
1) a regra da multiplicação de um vetor por um número: e ;
2) adição de vetores de acordo com a regra do triângulo: .

Agora, mentalmente, separe o vetor de qualquer outro ponto do plano. É bastante óbvio que sua corrupção "o seguirá implacavelmente". Aqui está, a liberdade do vetor - o vetor "carrega tudo com você". Essa propriedade, é claro, é verdadeira para qualquer vetor. É engraçado que os próprios vetores de base (livres) não precisam ser separados da origem, um pode ser desenhado, por exemplo, no canto inferior esquerdo e o outro no canto superior direito, e nada mudará disso! É verdade que você não precisa fazer isso, porque o professor também mostrará originalidade e sorteará um “passe” em um lugar inesperado.

Vetores , ilustram exatamente a regra para multiplicar um vetor por um número, o vetor é co-direcionado com o vetor base , o vetor é direcionado em sentido oposto ao vetor base . Para esses vetores, uma das coordenadas é igual a zero, pode-se escrever meticulosamente da seguinte forma:


E os vetores de base, aliás, são assim: (na verdade, eles se expressam por si mesmos).

E finalmente: , . A propósito, o que é subtração vetorial e por que não falei sobre a regra da subtração? Em algum lugar da álgebra linear, não me lembro onde, notei que a subtração é um caso especial de adição. Assim, as expansões dos vetores "de" e "e" são escritas calmamente como uma soma: . Reorganize os termos nos lugares e siga o desenho como a boa e velha adição de vetores de acordo com a regra do triângulo funciona nessas situações.

Decomposição considerada da forma às vezes chamado de decomposição vetorial no sistema ort(ou seja, no sistema de vetores unitários). Mas esta não é a única maneira de escrever um vetor, a seguinte opção é comum:

Ou com sinal de igual:

Os próprios vetores de base são escritos da seguinte forma: e

Ou seja, as coordenadas do vetor são indicadas entre parênteses. Em tarefas práticas, todas as três opções de gravação são usadas.

Duvidei de falar, mas mesmo assim direi: as coordenadas vetoriais não podem ser reorganizadas. Estritamente em primeiro lugar escreva a coordenada que corresponde ao vetor unitário, estritamente em segundo lugar escreva a coordenada que corresponde ao vetor unitário. Na verdade, e são dois vetores diferentes.

Descobrimos as coordenadas no avião. Agora considere vetores no espaço tridimensional, tudo é quase o mesmo aqui! Apenas mais uma coordenada será adicionada. É difícil realizar desenhos tridimensionais, então vou me limitar a um vetor, que, por simplicidade, adiarei da origem das coordenadas:

Algum vetor de espaço 3D o único jeito expanda em uma base ortonormal:
, onde são as coordenadas do vetor (número) na base dada.

Exemplo da imagem: . Vamos ver como as regras de ação vetorial funcionam aqui. Primeiro, multiplicando um vetor por um número: (seta vermelha), (seta verde) e (seta magenta). Em segundo lugar, aqui está um exemplo de adição de vários, neste caso três, vetores: . O vetor soma começa no ponto inicial de partida (o início do vetor ) e termina no ponto final de chegada (o final do vetor ).

Todos os vetores do espaço tridimensional, é claro, também são livres, tente adiar mentalmente o vetor de qualquer outro ponto, e você entenderá que sua expansão "permanece com ele".

Da mesma forma que no caso do avião, além de escrever versões com colchetes são amplamente utilizadas: ou .

Se um (ou dois) vetores de coordenadas estiverem faltando na expansão, então serão colocados zeros. Exemplos:
vetor (meticulosamente ) - escreva ;
vetor (meticulosamente ) - escreva ;
vetor (meticulosamente ) - escreva .

Os vetores de base são escritos da seguinte forma:

Aqui, talvez, esteja todo o conhecimento teórico mínimo necessário para resolver problemas de geometria analítica. Talvez existam muitos termos e definições, então eu recomendo que leiam e compreendam essas informações novamente. E será útil para qualquer leitor consultar a lição básica de tempos em tempos para melhor assimilação do material. Colinearidade, ortogonalidade, base ortonormal, decomposição vetorial - esses e outros conceitos serão usados ​​com frequência no que segue. Observo que os materiais do site não são suficientes para passar em um teste teórico, um colóquio sobre geometria, pois criptografo cuidadosamente todos os teoremas (além de sem provas) - em detrimento do estilo científico de apresentação, mas uma vantagem para sua compreensão do assunto. Para informações teóricas detalhadas, peço que se curvem ao professor Atanasyan.

Agora vamos para a parte prática:

Os problemas mais simples de geometria analítica.
Ações com vetores em coordenadas

As tarefas que serão consideradas, é altamente desejável aprender a resolvê-las de forma totalmente automática, e as fórmulas memorizar, nem se lembram de propósito, eles mesmos vão se lembrar =) Isso é muito importante, pois outros problemas de geometria analítica são baseados nos exemplos elementares mais simples, e será chato gastar tempo extra comendo peões. Você não precisa apertar os botões superiores da sua camisa, muitas coisas são familiares para você na escola.

A apresentação do material seguirá um percurso paralelo - tanto para o plano quanto para o espaço. Pela razão de que todas as fórmulas... você verá por si mesmo.

Como encontrar um vetor dados dois pontos?

Se dois pontos do plano e são dados, então o vetor tem as seguintes coordenadas:

Se dois pontos no espaço e são dados, então o vetor tem as seguintes coordenadas:

Aquilo é, das coordenadas do final do vetor você precisa subtrair as coordenadas correspondentes início do vetor.

Exercício: Para os mesmos pontos, escreva as fórmulas para encontrar as coordenadas do vetor. Fórmulas no final da lição.

Exemplo 1

Dados dois pontos no plano E . Encontrar coordenadas vetoriais

Solução: de acordo com a fórmula correspondente:

Alternativamente, a seguinte notação pode ser usada:

Os estetas decidirão assim:

Pessoalmente, estou acostumado com a primeira versão do disco.

Responda:

De acordo com a condição, não foi necessário construir um desenho (o que é típico para problemas de geometria analítica), mas para explicar alguns pontos aos manequins, não serei preguiçoso:

Deve ser entendido diferença entre coordenadas de ponto e coordenadas de vetor:

Coordenadas do ponto são as coordenadas usuais em um sistema de coordenadas retangular. Acho que todo mundo sabe como traçar pontos no plano de coordenadas desde a 5ª-6ª série. Cada ponto tem um lugar estrito no plano e não pode ser movido para nenhum lugar.

As coordenadas do mesmo vetoré sua expansão em relação à base, neste caso. Qualquer vetor é livre, portanto, se necessário, podemos adiá-lo facilmente de algum outro ponto do plano. Curiosamente, para vetores, você não pode construir eixos, um sistema de coordenadas retangulares, você só precisa de uma base, neste caso, uma base ortonormal do plano.

Os registros de coordenadas de ponto e coordenadas vetoriais parecem ser semelhantes: , e sentido de coordenadas absolutamente diferente, e você deve estar bem ciente dessa diferença. Essa diferença, é claro, também vale para o espaço.

Senhoras e senhores, enchemos as mãos:

Exemplo 2

a) Dados pontos e . Encontre vetores e .
b) Os pontos são dados e . Encontre vetores e .
c) Dados pontos e . Encontre vetores e .
d) Pontos são dados. Encontrar Vetores .

Talvez o suficiente. Estes são exemplos para uma decisão independente, tente não negligenciá-los, vai valer a pena ;-). Desenhos não são necessários. Soluções e respostas no final da lição.

O que é importante na resolução de problemas de geometria analítica?É importante ter MUITO CUIDADO para evitar o erro magistral “dois mais dois igual a zero”. Desde já peço desculpas se errei =)

Como encontrar o comprimento de um segmento?

O comprimento, como já observado, é indicado pelo sinal do módulo.

Se dois pontos do plano e são dados, então o comprimento do segmento pode ser calculado pela fórmula

Se dois pontos no espaço e são dados, então o comprimento do segmento pode ser calculado pela fórmula

Observação: As fórmulas permanecerão corretas se as coordenadas correspondentes forem trocadas: e , mas a primeira opção é mais padrão

Exemplo 3

Solução: de acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

Para maior clareza, vou fazer um desenho

Segmento de linha - não é um vetor, e você não pode movê-lo para qualquer lugar, é claro. Além disso, se você completar o desenho em escala: 1 unidade. \u003d 1 cm (duas células tetrad), então a resposta pode ser verificada com uma régua regular medindo diretamente o comprimento do segmento.

Sim, a solução é curta, mas há alguns pontos importantes que gostaria de esclarecer:

Primeiro, na resposta definimos a dimensão: “unidades”. A condição não diz O QUE é, milímetros, centímetros, metros ou quilômetros. Portanto, a formulação geral será uma solução matematicamente competente: “unidades” - abreviadas como “unidades”.

Em segundo lugar, vamos repetir o material escolar, que é útil não apenas para o problema considerado:

prestar atenção em truque técnico importante – tirando o multiplicador debaixo da raiz. Como resultado dos cálculos, obtivemos o resultado e um bom estilo matemático envolve retirar o fator de baixo da raiz (se possível). O processo se parece com isso com mais detalhes: . Claro, deixar a resposta no formulário não será um erro - mas é definitivamente uma falha e um argumento de peso para picuinhas por parte do professor.

Aqui estão outros casos comuns:

Muitas vezes, um número suficientemente grande é obtido sob a raiz, por exemplo. Como ser nesses casos? Na calculadora, verificamos se o número é divisível por 4:. Sim, divida completamente, assim: . Ou talvez o número possa ser dividido por 4 novamente? . Nesse caminho: . O último dígito do número é ímpar, portanto, dividir por 4 pela terceira vez claramente não é possível. Tentando dividir por nove: . Como resultado:
Preparar.

Conclusão: se sob a raiz obtivermos um número inteiro que não pode ser extraído, tentamos tirar o fator sob a raiz - na calculadora verificamos se o número é divisível por: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , etc

No decorrer da resolução de vários problemas, muitas vezes são encontradas raízes, tente sempre extrair fatores de baixo da raiz para evitar uma pontuação mais baixa e problemas desnecessários com a finalização de suas soluções de acordo com a observação do professor.

Vamos repetir o quadrado das raízes e outras potências ao mesmo tempo:

As regras para ações com graus de forma geral podem ser encontradas em um livro escolar de álgebra, mas acho que tudo ou quase tudo já está claro pelos exemplos dados.

Tarefa para uma solução independente com um segmento no espaço:

Exemplo 4

Pontos dados e . Encontre o comprimento do segmento.

Solução e resposta no final da lição.

Como encontrar o comprimento de um vetor?

Se um vetor plano é dado, então seu comprimento é calculado pela fórmula.

Se um vetor espacial é dado, então seu comprimento é calculado pela fórmula .

Projeção vetorial algébrica em qualquer eixo é igual ao produto do comprimento do vetor e o cosseno do ângulo entre o eixo e o vetor:

Direita a b = |b|cos(a,b) ou

Onde a b é o produto escalar de vetores , |a| - módulo do vetor a .

Instrução. Para encontrar a projeção do vetor Пp a b online, você deve especificar as coordenadas dos vetores a e b . Neste caso, o vetor pode ser dado no plano (duas coordenadas) e no espaço (três coordenadas). A solução resultante é salva em um arquivo do Word. Se os vetores são dados através das coordenadas dos pontos, você deve usar esta calculadora.

Dado :
duas coordenadas vetoriais
vetor de três coordenadas
uma: ; ;
b: ; ;

Classificação de projeção vetorial

Tipos de projeções por definição de projeção vetorial

Tipos de projeções por sistema de coordenadas

Propriedades de projeção vetorial

1. A projeção geométrica de um vetor é um vetor (tem direção).
2. A projeção algébrica de um vetor é um número.

Teoremas de projeção vetorial

Teorema 1. A projeção da soma dos vetores em qualquer eixo é igual à projeção dos termos dos vetores no mesmo eixo.

Teorema 2. A projeção algébrica de um vetor em qualquer eixo é igual ao produto do comprimento do vetor e o cosseno do ângulo entre o eixo e o vetor:

Direita a b = |b|cos(a,b)

Tipos de projeções vetoriais

1. projeção no eixo OX.
2. projeção no eixo OY.
3. projeção em um vetor.

Projeção no eixo OX	Projeção no eixo OY	Projeção para vetor
Se a direção do vetor A'B' coincide com a direção do eixo OX, então a projeção do vetor A'B' tem sinal positivo.	Se a direção do vetor A'B' coincide com a direção do eixo OY, então a projeção do vetor A'B' tem sinal positivo.	Se a direção do vetor A'B' coincide com a direção do vetor NM, então a projeção do vetor A'B' tem sinal positivo.
Se a direção do vetor é oposta à direção do eixo OX, então a projeção do vetor A'B' tem sinal negativo.	Se a direção do vetor A'B' for oposta à direção do eixo OY, então a projeção do vetor A'B' tem sinal negativo.	Se a direção do vetor A'B' é oposta à direção do vetor NM, então a projeção do vetor A'B' tem sinal negativo.
Se o vetor AB é paralelo ao eixo OX, então a projeção do vetor A'B' é igual ao módulo do vetor AB.	Se o vetor AB é paralelo ao eixo OY, então a projeção do vetor A'B' é igual ao módulo do vetor AB.	Se o vetor AB é paralelo ao vetor NM, então a projeção do vetor A'B' é igual ao módulo do vetor AB.
Se o vetor AB é perpendicular ao eixo OX, então a projeção de A'B' é igual a zero (vetor zero).	Se o vetor AB é perpendicular ao eixo OY, então a projeção de A'B' é igual a zero (um vetor nulo).	Se o vetor AB é perpendicular ao vetor NM, então a projeção de A'B' é igual a zero (um vetor nulo).

1. Pergunta: A projeção de um vetor pode ter sinal negativo. Resposta: Sim, as projeções vetoriais podem ser negativas. Neste caso, o vetor tem direção oposta (veja como o eixo OX e o vetor AB estão direcionados)
2. Pergunta: A projeção de um vetor pode coincidir com o módulo do vetor. Resposta: Sim, pode. Neste caso, os vetores são paralelos (ou estão na mesma linha).
3. Questão: A projeção de um vetor pode ser igual a zero (zero-vetor). Resposta: Sim, pode. Neste caso, o vetor é perpendicular ao eixo correspondente (vetor).

Exemplo 1 . O vetor (Fig. 1) forma um ângulo de 60º com o eixo OX (é dado pelo vetor a). Se OE é uma unidade de escala, então |b|=4, então .

De fato, o comprimento do vetor (projeção geométrica b) é igual a 2, e a direção coincide com a direção do eixo OX.

Exemplo 2 . O vetor (Fig. 2) forma um ângulo com o eixo OX (com o vetor a) (a,b) = 120 o . Comprimento |b| vetor b é igual a 4, então pr a b=4 cos120 o = -2.

De fato, o comprimento do vetor é igual a 2 e a direção é oposta à direção do eixo.

Primeiro nível

Coordenadas e vetores. Guia Completo (2019)

Neste artigo, você e eu iniciaremos uma discussão sobre uma "varinha mágica" que lhe permitirá reduzir muitos problemas de geometria a simples aritmética. Essa “varinha” pode facilitar muito a sua vida, principalmente quando você se sente inseguro na construção de figuras espaciais, cortes, etc. Tudo isso requer uma certa imaginação e habilidades práticas. O método, que começaremos a considerar aqui, permitirá que você abstraia quase completamente todos os tipos de construções geométricas e raciocínios. O método é chamado "método coordenado". Neste artigo, consideraremos as seguintes questões:

1. Plano de coordenadas
2. Pontos e vetores no plano
3. Construindo um vetor a partir de dois pontos
4. Comprimento do vetor (distância entre dois pontos)​
5. Coordenadas do ponto médio
6. Produto escalar de vetores
7. Ângulo entre dois vetores

Acho que você já adivinhou por que o método de coordenadas é chamado assim? É verdade que recebeu esse nome, pois não opera com objetos geométricos, mas com suas características numéricas (coordenadas). E a própria transformação, que permite passar da geometria à álgebra, consiste em introduzir um sistema de coordenadas. Se a figura original era plana, então as coordenadas são bidimensionais, e se a figura é tridimensional, então as coordenadas são tridimensionais. Neste artigo, consideraremos apenas o caso bidimensional. E o principal objetivo do artigo é ensiná-lo a usar algumas técnicas básicas do método de coordenadas (às vezes elas se tornam úteis na resolução de problemas de planimetria na parte B do Exame do Estado Unificado). As duas seções a seguir sobre este tópico são dedicadas à discussão de métodos para resolver problemas C2 (o problema da estereometria).

Onde seria lógico começar a discutir o método das coordenadas? Provavelmente com o conceito de um sistema de coordenadas. Lembre-se de quando você a conheceu. Parece-me que na 7ª série, quando você aprendeu sobre a existência de uma função linear, por exemplo. Deixe-me lembrá-lo que você construiu ponto por ponto. Você se lembra? Você escolheu um número arbitrário, substituiu-o na fórmula e calculou dessa maneira. Por exemplo, se, então, se, então, etc. O que você obteve como resultado? E você recebeu pontos com coordenadas: e. Então você desenhou uma “cruz” (sistema de coordenadas), escolheu uma escala nela (quantas células você terá como um único segmento) e marcou os pontos que você recebeu nela, que você conectou com uma linha reta, a linha resultante é o gráfico da função.

Há algumas coisas que precisam ser explicadas a você com um pouco mais de detalhes:

1. Você escolhe um único segmento por motivos de conveniência, para que tudo se encaixe bem e de forma compacta na imagem

2. Supõe-se que o eixo vai da esquerda para a direita e o eixo vai de baixo para cima

3. Eles se cruzam em um ângulo reto, e o ponto de sua interseção é chamado de origem. Está marcado com uma letra.

4. No registro da coordenada de um ponto, por exemplo, à esquerda entre parênteses está a coordenada do ponto ao longo do eixo e à direita, ao longo do eixo. Em particular, significa simplesmente que o ponto

5. Para definir qualquer ponto no eixo de coordenadas, você precisa especificar suas coordenadas (2 números)

6. Para qualquer ponto situado no eixo,

7. Para qualquer ponto situado no eixo,

8. O eixo é chamado de eixo x

9. O eixo é chamado de eixo y

Agora vamos dar o próximo passo com você: marque dois pontos. Conecte esses dois pontos com uma linha. E vamos colocar a seta como se estivéssemos desenhando um segmento de ponto a ponto: ou seja, faremos nosso segmento direcionado!

Lembra-se do que é outro nome para um segmento direcionado? Isso mesmo, chama-se vetor!

Assim, se ligarmos um ponto a um ponto, e o início será o ponto A, e o fim será o ponto B, então obtemos um vetor. Você também fez essa construção na 8ª série, lembra?

Acontece que os vetores, como os pontos, podem ser denotados por dois números: esses números são chamados de coordenadas do vetor. Pergunta: você acha que é suficiente sabermos as coordenadas do início e do fim do vetor para encontrar suas coordenadas? Acontece que sim! E é muito fácil de fazer:

Assim, como no vetor o ponto é o início e o fim, o vetor tem as seguintes coordenadas:

Por exemplo, se, então as coordenadas do vetor

Agora vamos fazer o oposto, encontrar as coordenadas do vetor. O que precisamos mudar para isso? Sim, você precisa trocar o início e o fim: agora o início do vetor estará em um ponto e o final em um ponto. Então:

Olhe atentamente, qual é a diferença entre vetores e? Sua única diferença são os sinais nas coordenadas. Eles são opostos. Este fato é escrito assim:

Às vezes, se não for especificado especificamente qual ponto é o início do vetor e qual é o fim, os vetores são indicados não por duas letras maiúsculas, mas por uma minúscula, por exemplo:, etc.

Agora um pouco prática e encontre as coordenadas dos seguintes vetores:

Exame:

Agora resolva o problema um pouco mais difícil:

Um toro vetorial com sucata on-cha em um ponto tem co-or-di-on-you. Localizar-di-te pontos abs-cis-su.

Mesmo assim é bastante prosaico: Sejam as coordenadas do ponto. Então

Eu compilei o sistema determinando quais são as coordenadas de um vetor. Então o ponto tem coordenadas. Estamos interessados ​​na abcissa. Então

Responda:

O que mais você pode fazer com vetores? Sim, quase tudo é igual aos números comuns (exceto que você não pode dividir, mas pode multiplicar de duas maneiras, uma das quais discutiremos aqui um pouco mais tarde)

1. Os vetores podem ser empilhados entre si
2. Os vetores podem ser subtraídos uns dos outros
3. Os vetores podem ser multiplicados (ou divididos) por um número arbitrário diferente de zero
4. Os vetores podem ser multiplicados entre si

Todas essas operações têm uma representação geométrica bastante visual. Por exemplo, a regra do triângulo (ou paralelogramo) para adição e subtração:

Um vetor estica ou encolhe ou muda de direção quando multiplicado ou dividido por um número:

No entanto, aqui estaremos interessados ​​na questão do que acontece com as coordenadas.

1. Ao somar (subtrair) dois vetores, somamos (subtraímos) suas coordenadas elemento por elemento. Aquilo é:

2. Ao multiplicar (dividir) um vetor por um número, todas as suas coordenadas são multiplicadas (divididas) por este número:

Por exemplo:

· Encontre-di-a soma de ko-ou-di-nat século-para-ra.

Vamos primeiro encontrar as coordenadas de cada um dos vetores. Ambos têm a mesma origem - o ponto de origem. Suas extremidades são diferentes. Então, . Agora calculamos as coordenadas do vetor Então a soma das coordenadas do vetor resultante é igual a.

Responda:

Agora resolva você mesmo o seguinte problema:

· Encontre a soma das coordenadas do vetor

Verificamos:

Vamos agora considerar o seguinte problema: temos dois pontos no plano coordenado. Como encontrar a distância entre eles? Seja o primeiro ponto, e o segundo. Vamos denotar a distância entre eles como . Vamos fazer o seguinte desenho para maior clareza:

O que eu fiz? Eu, em primeiro lugar, conectei os pontos e, e também desenhei uma linha paralela ao eixo do ponto, e desenhei uma linha paralela ao eixo do ponto. Eles se cruzaram em um ponto, formando uma figura maravilhosa? Por que ela é maravilhosa? Sim, você e eu quase sabemos tudo sobre um triângulo retângulo. Bem, o teorema de Pitágoras, com certeza. O segmento desejado é a hipotenusa deste triângulo, e os segmentos são os catetos. Quais são as coordenadas do ponto? Sim, eles são fáceis de encontrar na figura: Como os segmentos são paralelos aos eixos e, respectivamente, seus comprimentos são fáceis de encontrar: se denotarmos os comprimentos dos segmentos, respectivamente, por, então

Agora vamos usar o teorema de Pitágoras. Conhecendo os comprimentos dos catetos, encontraremos a hipotenusa:

Assim, a distância entre dois pontos é a raiz da soma das diferenças quadradas das coordenadas. Ou - a distância entre dois pontos é o comprimento do segmento que os conecta. É fácil ver que a distância entre os pontos não depende da direção. Então:

Daqui tiramos três conclusões:

Vamos praticar um pouco sobre o cálculo da distância entre dois pontos:

Por exemplo, se, então a distância entre e é

Ou vamos de outra forma: encontre as coordenadas do vetor

E encontre o comprimento do vetor:

Como você pode ver, é a mesma coisa!

Agora pratique um pouco sozinho:

Tarefa: encontre a distância entre os pontos dados:

Verificamos:

Aqui estão mais alguns problemas para a mesma fórmula, embora pareçam um pouco diferentes:

1. Encontre-di-te o quadrado do comprimento da pálpebra-a-ra.

2. Quadrado Nai-di-te do comprimento da pálpebra até o ra

Eu estou supondo que você pode lidar com eles facilmente? Verificamos:

1. E isso é para atenção) Já encontramos as coordenadas dos vetores antes: . Então o vetor tem coordenadas. O quadrado de seu comprimento será:

2. Encontre as coordenadas do vetor

Então o quadrado de seu comprimento é

Nada complicado, certo? Aritmética simples, nada mais.

Os seguintes quebra-cabeças não podem ser classificados de forma inequívoca, mas sim para erudição geral e a capacidade de desenhar imagens simples.

1. Encontre-di-esses senos do ângulo em-clo-em-de-corte, conecte-um-n-ésimo ponto, com o eixo das abcissas.

e

Como vamos fazer isso aqui? Você precisa encontrar o seno do ângulo entre e o eixo. E onde podemos procurar o seno? Isso mesmo, em um triângulo retângulo. Então o que precisamos fazer? Construa este triângulo!

Desde as coordenadas do ponto e, então o segmento é igual, e o segmento. Precisamos encontrar o seno do ângulo. Deixe-me lembrá-lo que o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, então

O que nos resta fazer? Encontre a hipotenusa. Você pode fazer isso de duas maneiras: pelo teorema de Pitágoras (as pernas são conhecidas!) ou pela fórmula da distância entre dois pontos (na verdade a mesma do primeiro método!). Vou pelo segundo caminho:

Responda:

A próxima tarefa parecerá ainda mais fácil para você. Ela - nas coordenadas do ponto.

Tarefa 2. A partir do ponto, o per-pen-di-ku-lar é abaixado no eixo abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Vamos fazer um desenho:

A base da perpendicular é o ponto em que ela intercepta o eixo x (eixo) para mim este é um ponto. A figura mostra que tem coordenadas: . Estamos interessados ​​na abcissa - ou seja, no componente "X". Ela é igual.

Responda: .

Tarefa 3. Nas condições do problema anterior, encontre a soma das distâncias do ponto aos eixos coordenados.

A tarefa é geralmente elementar se você souber qual é a distância de um ponto aos eixos. Você sabe? Eu espero, mas ainda assim eu te lembro:

Então, no meu desenho, localizado um pouco mais alto, já descrevi uma dessas perpendiculares? Qual é o eixo? ao eixo. E qual é o seu comprimento então? Ela é igual. Agora desenhe você mesmo uma perpendicular ao eixo e encontre seu comprimento. Vai ser igual, certo? Então a soma deles é igual.

Responda: .

Tarefa 4. Nas condições do problema 2, encontre a ordenada do ponto simétrica ao ponto em torno do eixo x.

Eu acho que você intuitivamente entende o que é simetria? Muitos objetos têm isso: muitos edifícios, mesas, aviões, muitas formas geométricas: uma bola, um cilindro, um quadrado, um losango, etc. metades idênticas. Essa simetria é chamada de axial. O que é então um eixo? Esta é exatamente a linha ao longo da qual a figura pode, relativamente falando, ser “cortada” em metades idênticas (nesta foto, o eixo de simetria é reto):

Agora vamos voltar à nossa tarefa. Sabemos que estamos procurando um ponto simétrico em relação ao eixo. Então este eixo é o eixo de simetria. Então, precisamos marcar um ponto para que o eixo corte o segmento em duas partes iguais. Tente marcar esse ponto você mesmo. Agora compare com a minha solução:

Você fez o mesmo? Bom! No ponto encontrado, estamos interessados ​​na ordenada. Ela é igual

Responda:

Agora me diga, depois de pensar por um segundo, qual será a abcissa do ponto simétrico ao ponto A em relação ao eixo y? Qual é sua resposta? Resposta correta: .

Em geral, a regra pode ser escrita assim:

Um ponto simétrico a um ponto em torno do eixo x tem as coordenadas:

Um ponto simétrico a um ponto em torno do eixo y tem coordenadas:

Bem, agora é realmente assustador. uma tarefa: Encontre as coordenadas de um ponto que é simétrico a um ponto, em relação à origem. Você primeiro pensa por si mesmo e depois olhe para o meu desenho!

Responda:

Agora problema do paralelogramo:

Tarefa 5: Os pontos são ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Encontre pontos-dee-te ou-dee-on-tu.

Você pode resolver esse problema de duas maneiras: lógica e método de coordenadas. Primeiro, aplicarei o método de coordenadas e, em seguida, direi como você pode decidir de maneira diferente.

É bastante claro que a abcissa do ponto é igual. (está na perpendicular traçada do ponto ao eixo x). Precisamos encontrar a ordenada. Vamos aproveitar o fato de que nossa figura é um paralelogramo, o que significa isso. Encontre o comprimento do segmento usando a fórmula para a distância entre dois pontos:

Abaixamos a perpendicular conectando o ponto com o eixo. O ponto de interseção é indicado por uma letra.

O comprimento do segmento é igual. (encontre o problema você mesmo, onde discutimos este momento), então encontraremos o comprimento do segmento usando o teorema de Pitágoras:

O comprimento do segmento é exatamente igual à sua ordenada.

Responda: .

Outra solução (vou apenas fornecer uma imagem que ilustra isso)

Progresso da solução:

1. Gaste

2. Encontre as coordenadas e o comprimento do ponto

3. Prove isso.

Outro problema de comprimento de corte:

Os pontos são-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-ângulo-no-ka. Encontre o comprimento de sua linha média, par-ral-lel-noy.

Você se lembra do que é a linha do meio de um triângulo? Então para você esta tarefa é elementar. Se você não se lembra, vou lembrá-lo: a linha do meio de um triângulo é uma linha que conecta os pontos médios dos lados opostos. É paralelo à base e igual à metade dela.

A base é um segmento. Tivemos que procurar seu comprimento mais cedo, é igual. Então o comprimento da linha média é metade do comprimento e igual.

Responda: .

Comentário: Este problema pode ser resolvido de outra forma, que abordaremos um pouco mais adiante.

Enquanto isso, aqui estão algumas tarefas para você, pratique nelas, elas são bem simples, mas ajudam a “dar a mão” usando o método de coordenadas!

1. Os pontos aparecem-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Encontre o comprimento de sua linha média.

2. Pontos e yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Encontre pontos-dee-te ou-dee-on-tu.

3. Encontre o comprimento do corte, conecte o segundo ponto e

4. Encontre-di-te a área para o fi-gu-ry-vermelho-shen-noy no plano ko-or-di-nat-noy.

5. Um círculo centrado em na-cha-le ko-or-di-nat passa por um ponto. Encontre-de-te seu ra-di-bigode.

6. Nai-di-te ra-di-us círculo-no-sti, descreva-san-noy perto do ângulo reto-no-ka, os tops-shi-ny de algo-ro-go têm co-ou - di-na-você co-de-responder-mas

Soluções:

1. Sabe-se que a linha média de um trapézio é igual à metade da soma de suas bases. A base é igual, mas a base. Então

Responda:

2. A maneira mais fácil de resolver este problema é observar isso (regra do paralelogramo). Calcule as coordenadas dos vetores e não é difícil: . Ao adicionar vetores, as coordenadas são adicionadas. Então tem coordenadas. O ponto tem as mesmas coordenadas, pois o início do vetor é um ponto com coordenadas. Estamos interessados ​​na ordenada. Ela é igual.

Responda:

3. Agimos imediatamente de acordo com a fórmula da distância entre dois pontos:

Responda:

4. Olhe para a figura e diga, entre quais duas figuras a área sombreada é “espremida”? Ele é imprensado entre dois quadrados. Então a área da figura desejada é igual à área do quadrado grande menos a área do pequeno. O lado do quadrado pequeno é um segmento que liga os pontos e seu comprimento é

Então a área do quadrado pequeno é

Fazemos o mesmo com um quadrado grande: seu lado é um segmento que liga os pontos e seu comprimento é igual a

Então a área do quadrado grande é

A área da figura desejada é encontrada pela fórmula:

Responda:

5. Se o círculo tem a origem como centro e passa por um ponto, então seu raio será exatamente igual ao comprimento do segmento (faça um desenho e você entenderá porque isso é óbvio). Encontre o comprimento deste segmento:

Responda:

6. Sabe-se que o raio de um círculo circunscrito a um retângulo é igual à metade de sua diagonal. Vamos encontrar o comprimento de qualquer uma das duas diagonais (afinal, em um retângulo elas são iguais!)

Responda:

Bem, você conseguiu tudo? Não foi tão difícil descobrir isso, foi? Há apenas uma regra aqui - ser capaz de fazer uma imagem visual e simplesmente “ler” todos os dados dela.

Temos muito pouco. Há literalmente mais dois pontos que eu gostaria de discutir.

Vamos tentar resolver este problema simples. Sejam dois pontos e sejam dados. Encontre as coordenadas do meio do segmento. A solução para este problema é a seguinte: seja o ponto o meio desejado, então ele tem coordenadas:

Aquilo é: coordenadas do meio do segmento = média aritmética das coordenadas correspondentes das extremidades do segmento.

Essa regra é muito simples e geralmente não causa dificuldades para os alunos. Vamos ver em quais problemas e como é usado:

1. Encontre-di-te ou-di-na-tu se-re-di-us de-corte, conecte-nya-yu-th-th ponto e

2. Os pontos são yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Encontre-di-te ou-di-na-tu pontos de re-re-se-che-niya de seu dia-go-on-lei.

3. Encontre-di-te abs-cis-su do centro do círculo, descreva-san-noy perto do retângulo-no-ka, os tops-shi-temos algo-ro-go co-ou-di- na-você co-de-vet-stvenno-mas.

Soluções:

1. A primeira tarefa é apenas um clássico. Agimos imediatamente determinando o ponto médio do segmento. Ela tem coordenadas. A ordenada é igual.

Responda:

2. É fácil ver que o quadrilátero dado é um paralelogramo (mesmo um losango!). Você pode provar por si mesmo calculando os comprimentos dos lados e comparando-os entre si. O que eu sei sobre um paralelogramo? Suas diagonais são bissectadas pelo ponto de interseção! Ah! Então, qual é o ponto de intersecção das diagonais? Este é o meio de qualquer uma das diagonais! Vou escolher, em particular, a diagonal. Então o ponto tem coordenadas A ordenada do ponto é igual a.

Responda:

3. Qual é o centro do círculo circunscrito ao retângulo? Ele coincide com o ponto de intersecção de suas diagonais. O que você sabe sobre as diagonais de um retângulo? Eles são iguais e o ponto de interseção é dividido ao meio. A tarefa foi reduzida à anterior. Tomemos, por exemplo, a diagonal. Então se é o centro do círculo circunscrito, então é o meio. Procuro coordenadas: A abcissa é igual.

Responda:

Agora pratique um pouco por conta própria, vou apenas dar as respostas para cada problema para que você possa verificar a si mesmo.

1. Nai-di-te ra-di-us círculo-no-sti, descreva-san-noy perto do triângulo-no-ka, os topos de alguém-ro-go têm ko-or-di -no misters

2. Encontre-di-te ou-di-na-tu no centro do círculo, descreva o san-noy perto do triângulo-no-ka, os tops-shi-temos coordenadas de algo-ro-go

3. Que tipo de ra-di-y-sa deve haver um círculo com centro em um ponto que toque o eixo abs-ciss?

4. Encontre-di-te ou-di-no ponto de re-re-se-che-ing do eixo e do corte, conecte-nya-yu-th-th ponto e

Respostas:

Deu tudo certo? Eu realmente espero por isso! Agora - o último empurrão. Agora tenha um cuidado especial. O material que vou explicar agora não é apenas relevante para os problemas simples do método de coordenadas na Parte B, mas também é onipresente no Problema C2.

Qual das minhas promessas eu ainda não cumpri? Lembra-se de quais operações em vetores prometi introduzir e quais acabei introduzindo? Tenho certeza que não esqueci nada? Esquecido! Esqueci de explicar o que significa multiplicação de vetores.

Existem duas maneiras de multiplicar um vetor por um vetor. Dependendo do método escolhido, obteremos objetos de natureza diferente:

O produto vetorial é bastante complicado. Como fazê-lo e por que é necessário, discutiremos com você no próximo artigo. E neste vamos nos concentrar no produto escalar.

Já existem duas maneiras que nos permitem calculá-lo:

Como você adivinhou, o resultado deve ser o mesmo! Então, vamos ver a primeira maneira primeiro:

Produto escalar por coordenadas

Encontre: - notação comum para produto escalar

A fórmula para o cálculo é a seguinte:

Ou seja, o produto escalar = a soma dos produtos das coordenadas dos vetores!

Exemplo:

Find-dee-te

Solução:

Encontre as coordenadas de cada um dos vetores:

Calculamos o produto escalar pela fórmula:

Responda:

Você vê, absolutamente nada complicado!

Bem, agora tente você mesmo:

Encontre-di-te escalar-noe pro-de-ve-de-nie século-para-vala e

Você conseguiu? Talvez ele tenha notado um pequeno truque? Vamos checar:

Coordenadas vetoriais, como na tarefa anterior! Responda: .

Além da coordenada, existe outra forma de calcular o produto escalar, a saber, através dos comprimentos dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles:

Denota o ângulo entre os vetores e.

Ou seja, o produto escalar é igual ao produto dos comprimentos dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles.

Por que precisamos dessa segunda fórmula, se temos a primeira, que é muito mais simples, pelo menos não há cossenos nela. E é necessário para que da primeira e da segunda fórmulas possamos deduzir como encontrar o ângulo entre os vetores!

Vamos então lembrar a fórmula para o comprimento de um vetor!

Então, se eu conectar esses dados à fórmula do produto escalar, recebo:

Mas do outro lado:

Então o que temos? Agora temos uma fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores! Às vezes, por brevidade, também é escrito assim:

Ou seja, o algoritmo para calcular o ângulo entre os vetores é o seguinte:

1. Calculamos o produto escalar através das coordenadas
2. Encontre os comprimentos dos vetores e multiplique-os
3. Divida o resultado do ponto 1 pelo resultado do ponto 2

Vamos praticar com exemplos:

1. Encontre o ângulo entre as pálpebras e ra-mi. Dê sua resposta em graus.

2. Nas condições do problema anterior, encontre o cosseno entre os vetores

Vamos fazer o seguinte: vou ajudá-lo a resolver o primeiro problema e tentar resolver o segundo você mesmo! Concordo? Então vamos começar!

1. Esses vetores são nossos velhos amigos. Já consideramos o produto escalar deles e foi igual. Suas coordenadas são: , . Então encontramos seus comprimentos:

Então estamos procurando o cosseno entre os vetores:

Qual é o cosseno do ângulo? Este é o canto.

Responda:

Bem, agora resolva o segundo problema você mesmo e depois compare! Vou apenas dar uma solução muito curta:

2. tem coordenadas, tem coordenadas.

Seja o ângulo entre os vetores e, então

Responda:

Deve-se notar que as tarefas diretamente sobre os vetores e o método de coordenadas na parte B do exame são bastante raros. No entanto, a grande maioria dos problemas C2 pode ser facilmente resolvida com a introdução de um sistema de coordenadas. Portanto, você pode considerar este artigo como uma base, com base na qual faremos construções bastante complicadas que precisaremos para resolver problemas complexos.

COORDENADAS E VETORES. NÍVEL INTERMEDIÁRIO

Você e eu continuamos a estudar o método das coordenadas. Na última parte, derivamos uma série de fórmulas importantes que permitem:

1. Encontrar coordenadas vetoriais
2. Encontre o comprimento de um vetor (alternativamente: a distância entre dois pontos)
3. Adicionar, subtrair vetores. Multiplique-os por um número real
4. Encontrar o ponto médio de um segmento
5. Calcular o produto escalar de vetores
6. Encontre o ângulo entre os vetores

É claro que todo o método de coordenadas não se encaixa nesses 6 pontos. Ela está subjacente a uma ciência como a geometria analítica, que você conhecerá na universidade. Eu só quero construir uma base que permita que você resolva problemas em um único estado. exame. Descobrimos as tarefas da parte B em Agora é hora de passar para um nível qualitativamente novo! Este artigo será dedicado a um método para resolver os problemas C2 nos quais seria razoável mudar para o método de coordenadas. Essa razoabilidade é determinada pelo que precisa ser encontrado no problema e pelo valor fornecido. Então, eu usaria o método de coordenadas se as perguntas forem:

1. Encontre o ângulo entre dois planos
2. Encontre o ângulo entre uma linha e um plano
3. Encontre o ângulo entre duas linhas
4. Encontrar a distância de um ponto a um plano
5. Encontrar a distância de um ponto a uma linha
6. Encontre a distância de uma linha reta a um plano
7. Encontre a distância entre duas linhas

Se a figura dada na condição do problema é um corpo de revolução (bola, cilindro, cone...)

As figuras adequadas para o método de coordenadas são:

1. cubóide
2. Pirâmide (triangular, quadrangular, hexagonal)

Também na minha experiência é inapropriado usar o método de coordenadas para:

1. Encontrando as áreas das seções
2. Cálculos de volumes de corpos

No entanto, deve-se notar imediatamente que três situações “desfavoráveis” para o método de coordenadas são bastante raras na prática. Na maioria das tarefas, ele pode se tornar seu salvador, especialmente se você não for muito forte em construções tridimensionais (que às vezes são bastante intrincadas).

Quais são todas as figuras que listei acima? Eles não são mais planos, como um quadrado, triângulo, círculo, mas volumosos! Assim, precisamos considerar não um sistema de coordenadas bidimensional, mas tridimensional. Ele é construído com bastante facilidade: além das abcissas e ordenadas, vamos introduzir outro eixo, o eixo aplicado. A figura mostra esquematicamente sua posição relativa:

Todos eles são mutuamente perpendiculares, se cruzam em um ponto, que chamaremos de origem. O eixo de abcissas, como antes, será denotado, o eixo de ordenadas - , e o eixo aplicado aplicado - .

Se antes cada ponto no plano era caracterizado por dois números - a abcissa e a ordenada, então cada ponto no espaço já é descrito por três números - a abcissa, a ordenada, o aplicado. Por exemplo:

Assim, a abcissa do ponto é igual, a ordenada é , e o aplicado é .

Às vezes, a abcissa de um ponto também é chamada de projeção do ponto no eixo das abcissas, a ordenada é a projeção do ponto no eixo das ordenadas e o aplicado é a projeção do ponto no eixo aplicado. Assim, se um ponto é dado, então, um ponto com coordenadas:

chamado de projeção de um ponto em um plano

chamado de projeção de um ponto em um plano

Surge uma pergunta natural: todas as fórmulas derivadas para o caso bidimensional são válidas no espaço? A resposta é sim, eles são justos e têm a mesma aparência. Para um pequeno detalhe. Acho que você já adivinhou qual. Em todas as fórmulas, teremos que adicionar mais um termo responsável pelo eixo aplicado. Nomeadamente.

1. Se dois pontos são dados: , então:

• Coordenadas vetoriais:
• Distância entre dois pontos (ou comprimento do vetor)
• O meio do segmento tem coordenadas

2. Se dois vetores são dados: e, então:

• Seu produto escalar é:
• O cosseno do ângulo entre os vetores é:

No entanto, o espaço não é tão simples. Como você entende, a adição de mais uma coordenada introduz uma variedade significativa no espectro de figuras "vivendo" neste espaço. E para uma narração adicional, preciso apresentar alguma, grosso modo, "generalização" da linha reta. Essa "generalização" será um avião. O que você sabe sobre avião? Tente responder à pergunta, o que é um avião? É muito difícil dizer. No entanto, todos nós intuitivamente imaginamos como é:

Grosso modo, trata-se de uma espécie de “folha” interminável lançada no espaço. "Infinito" deve ser entendido que o plano se estende em todas as direções, ou seja, sua área é igual ao infinito. No entanto, esta explicação "nos dedos" não dá a menor ideia sobre a estrutura do avião. E nós estaremos interessados ​​nele.

Vamos lembrar um dos axiomas básicos da geometria:

• Uma linha reta passa por dois pontos diferentes em um plano, além disso, apenas um:

Ou seu análogo no espaço:

Claro, você se lembra de como derivar a equação de uma linha reta a partir de dois pontos dados, isso não é nada difícil: se o primeiro ponto tiver coordenadas: e o segundo, a equação da linha reta será a seguinte:

Você passou por isso na 7ª série. No espaço, a equação de uma reta se parece com isso: vamos ter dois pontos com coordenadas: , então a equação de uma reta passando por eles tem a forma:

Por exemplo, uma linha passa por pontos:

Como isso deve ser entendido? Isso deve ser entendido da seguinte forma: um ponto está em uma linha se suas coordenadas satisfazem o seguinte sistema:

Não estaremos muito interessados ​​na equação de uma linha reta, mas precisamos prestar atenção ao conceito muito importante do vetor diretor de uma linha reta. - qualquer vetor diferente de zero situado em uma determinada linha ou paralelo a ela.

Por exemplo, ambos os vetores são vetores de direção de uma linha reta. Let Ser um ponto deitado em uma linha reta, e ser seu vetor de direção. Então a equação de uma reta pode ser escrita da seguinte forma:

Mais uma vez, não estarei muito interessado na equação de uma linha reta, mas realmente preciso que você se lembre do que é um vetor de direção! Novamente: é QUALQUER vetor diferente de zero sobre uma linha, ou paralelo a ela.

Retirar equação de três pontos de um plano não é mais tão trivial e geralmente não é abordado em um curso de ensino médio. Mas em vão! Esta técnica é vital quando recorremos ao método de coordenadas para resolver problemas complexos. No entanto, suponho que você está cheio de vontade de aprender algo novo? Além disso, você poderá impressionar seu professor na universidade quando descobrir que já sabe usar a técnica que geralmente é estudada no curso de geometria analítica. Então vamos começar.

A equação de um plano não é muito diferente da equação de uma linha reta em um plano, ou seja, tem a forma:

alguns números (nem todos iguais a zero), mas variáveis, por exemplo: etc. Como você pode ver, a equação de um plano não é muito diferente da equação de uma linha reta (função linear). No entanto, lembra o que discutimos com você? Dissemos que, se temos três pontos que não estão em uma linha reta, a equação do plano é restaurada exclusivamente a partir deles. Mas como? Vou tentar te explicar.

Como a equação do plano é:

E os pontos pertencem a este plano, então ao substituir as coordenadas de cada ponto na equação do plano, devemos obter a identidade correta:

Assim, há a necessidade de resolver três equações já com incógnitas! Dilema! No entanto, podemos sempre assumir que (para isso, precisamos dividir por). Assim, obtemos três equações com três incógnitas:

No entanto, não resolveremos tal sistema, mas escreveremos a expressão enigmática que se segue dele:

Equação de um plano que passa por três pontos dados

\[\esquerda| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Pare! O que mais é isso? Algum módulo muito incomum! No entanto, o objeto que você vê à sua frente não tem nada a ver com o módulo. Esse objeto é chamado de determinante de terceira ordem. De agora em diante, quando você lidar com o método das coordenadas em um plano, muitas vezes encontrará esses mesmos determinantes. O que é um determinante de terceira ordem? Curiosamente, é apenas um número. Resta entender qual número específico vamos comparar com o determinante.

Vamos primeiro escrever o determinante de terceira ordem de uma forma mais geral:

Onde estão alguns números. Além disso, pelo primeiro índice queremos dizer o número da linha e pelo índice - o número da coluna. Por exemplo, significa que o número fornecido está na interseção da segunda linha e da terceira coluna. Vamos colocar a seguinte questão: como exatamente vamos calcular tal determinante? Ou seja, com qual número específico vamos compará-lo? Para o determinante de precisamente a terceira ordem, existe uma regra heurística (visual) do triângulo, que se parece com isso:

1. O produto dos elementos da diagonal principal (do canto superior esquerdo para o inferior direito) o produto dos elementos que formam o primeiro triângulo "perpendicular" à diagonal principal o produto dos elementos que formam o segundo triângulo "perpendicular" à diagonal principal diagonal
2. O produto dos elementos da diagonal secundária (do canto superior direito para o inferior esquerdo) o produto dos elementos que formam o primeiro triângulo "perpendicular" à diagonal secundária o produto dos elementos que formam o segundo triângulo "perpendicular" à a diagonal secundária
3. Então o determinante é igual à diferença entre os valores obtidos na etapa e

Se escrevermos tudo isso em números, obteremos a seguinte expressão:

No entanto, você não precisa memorizar o método de cálculo neste formulário, basta manter os triângulos na cabeça e a própria ideia do que é adicionado ao que e o que é subtraído do que).

Vamos ilustrar o método do triângulo com um exemplo:

1. Calcule o determinante:

Vamos descobrir o que adicionamos e o que subtraímos:

Termos que vêm com um "mais":

Esta é a diagonal principal: o produto dos elementos é

O primeiro triângulo, "perpendicular à diagonal principal: o produto dos elementos é

O segundo triângulo, "perpendicular à diagonal principal: o produto dos elementos é

Adicionamos três números:

Termos que vêm com um "menos"

Esta é uma diagonal lateral: o produto dos elementos é

O primeiro triângulo, "perpendicular à diagonal secundária: o produto dos elementos é

O segundo triângulo, "perpendicular à diagonal secundária: o produto dos elementos é

Adicionamos três números:

Tudo o que resta a ser feito é subtrair da soma dos termos positivos a soma dos termos negativos:

Nesse caminho,

Como você pode ver, não há nada complicado e sobrenatural no cálculo de determinantes de terceira ordem. É simplesmente importante lembrar sobre triângulos e não cometer erros aritméticos. Agora tente se calcular:

Verificamos:

1. O primeiro triângulo perpendicular à diagonal principal:
2. O segundo triângulo perpendicular à diagonal principal:
3. A soma dos termos mais:
4. Primeiro triângulo perpendicular à diagonal lateral:
5. O segundo triângulo, perpendicular à diagonal lateral:
6. A soma dos termos com um menos:
7. Soma dos termos positivos menos a soma dos termos negativos:

Aqui estão mais alguns determinantes para você, calcule seus valores você mesmo e compare com as respostas:

Respostas:

Bem, tudo combinava? Ótimo, então pode seguir em frente! Se houver dificuldades, meu conselho é o seguinte: na Internet, existem vários programas para calcular o determinante online. Tudo o que você precisa é encontrar seu próprio determinante, calculá-lo você mesmo e depois compará-lo com o que o programa calcula. E assim sucessivamente até que os resultados comecem a corresponder. Tenho certeza que esse momento não tardará a chegar!

Agora vamos voltar ao determinante que escrevi quando falei sobre a equação de um plano que passa por três pontos dados:

Tudo o que você precisa fazer é calcular seu valor diretamente (usando o método do triângulo) e definir o resultado igual a zero. Naturalmente, como são variáveis, você obterá alguma expressão que depende delas. É esta expressão que será a equação de um plano que passa por três pontos dados que não estão em uma linha reta!

Vamos ilustrar isso com um exemplo simples:

1. Construa a equação do plano que passa pelos pontos

Compomos um determinante para esses três pontos:

Simplificando:

Agora calculamos diretamente de acordo com a regra dos triângulos:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Assim, a equação do plano que passa pelos pontos é:

Agora tente resolver um problema você mesmo, e então vamos discuti-lo:

2. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos

Bem, vamos discutir a solução agora:

Fazemos um determinante:

E calcule seu valor:

Então a equação do plano tem a forma:

Ou, reduzindo por, temos:

Agora duas tarefas para o autocontrole:

1. Construa a equação de um plano que passa por três pontos:

Respostas:

Tudo combinou? Novamente, se houver certas dificuldades, meu conselho é o seguinte: você pega três pontos de sua cabeça (com um alto grau de probabilidade de que eles não estejam em uma linha reta), construa um plano sobre eles. E, em seguida, verifique-se online. Por exemplo, no site:

No entanto, com a ajuda de determinantes, construiremos não apenas a equação do plano. Lembre-se, eu lhe disse que para vetores, não apenas o produto escalar é definido. Há também um vetor, bem como um produto misto. E se o produto escalar de dois vetores for um número, então o produto vetorial de dois vetores será um vetor, e este vetor será perpendicular aos dados:

Além disso, seu módulo será igual à área do paralelogramo construído sobre os vetores e. Vamos precisar deste vetor para calcular a distância de um ponto a uma linha. Como podemos calcular o produto vetorial de vetores e se suas coordenadas são dadas? O determinante da terceira ordem vem novamente em nosso auxílio. No entanto, antes de passar para o algoritmo de cálculo do produto vetorial, tenho que fazer uma pequena digressão lírica.

Esta digressão diz respeito aos vetores de base.

Esquematicamente eles são mostrados na figura:

Por que você acha que eles são chamados de básicos? O fato é que :

Ou na imagem:

A validade desta fórmula é óbvia, porque:

produto vetorial

Agora posso começar a introduzir o produto vetorial:

O produto vetorial de dois vetores é um vetor calculado de acordo com a seguinte regra:

Agora vamos dar alguns exemplos de cálculo do produto vetorial:

Exemplo 1: Encontre o produto vetorial de vetores:

Solução: Faço um determinante:

E eu calculo:

Agora, escrevendo por meio de vetores de base, retornarei à notação vetorial usual:

Nesse caminho:

Agora tente.

Preparar? Verificamos:

E tradicionalmente dois tarefas para controlar:

1. Encontre o produto vetorial dos seguintes vetores:
2. Encontre o produto vetorial dos seguintes vetores:

Respostas:

Produto misto de três vetores

A última construção que preciso é o produto misto de três vetores. Ele, como um escalar, é um número. Há duas maneiras de calculá-lo. - pelo determinante, - pelo produto misto.

Ou seja, digamos que temos três vetores:

Então o produto misto de três vetores, denotado por pode ser calculado como:

1. - ou seja, o produto misto é o produto escalar de um vetor e o produto vetorial de dois outros vetores

Por exemplo, o produto misto de três vetores é:

Tente calculá-lo você mesmo usando o produto vetorial e certifique-se de que os resultados correspondam!

E novamente - dois exemplos para uma solução independente:

Respostas:

Escolha do sistema de coordenadas

Bem, agora temos toda a base de conhecimento necessária para resolver problemas estereométricos complexos em geometria. No entanto, antes de passar diretamente aos exemplos e algoritmos para resolvê-los, acredito que será útil me debruçar sobre a seguinte questão: como exatamente escolher um sistema de coordenadas para uma figura em particular. Afinal, é a escolha da posição relativa do sistema de coordenadas e da figura no espaço que determinará o quão complicados serão os cálculos.

Relembro que nesta seção estamos considerando as seguintes formas:

1. cubóide
2. Prisma reto (triangular, hexagonal…)
3. Pirâmide (triangular, quadrangular)
4. Tetraedro (o mesmo que pirâmide triangular)

Para um paralelepípedo ou cubo, recomendo a seguinte construção:

Ou seja, vou colocar a figura “no canto”. O cubo e a caixa são figuras muito boas. Para eles, você sempre pode encontrar facilmente as coordenadas de seus vértices. Por exemplo, se (como mostrado na imagem)

então as coordenadas do vértice são:

Claro, você não precisa se lembrar disso, mas é desejável lembrar a melhor forma de posicionar um cubo ou uma caixa retangular.

prisma reto

Prism é uma figura mais prejudicial. Você pode organizá-lo no espaço de diferentes maneiras. No entanto, acho que a seguinte é a melhor opção:

Prisma triangular:

Ou seja, colocamos um dos lados do triângulo inteiramente no eixo e um dos vértices coincide com a origem.

Prisma hexagonal:

Ou seja, um dos vértices coincide com a origem e um dos lados está no eixo.

Pirâmide quadrangular e hexagonal:

Uma situação semelhante a um cubo: combinamos dois lados da base com os eixos coordenados, combinamos um dos vértices com a origem. A única pequena dificuldade será calcular as coordenadas do ponto.

Para uma pirâmide hexagonal - o mesmo que para um prisma hexagonal. A tarefa principal será novamente encontrar as coordenadas do vértice.

Tetraedro (pirâmide triangular)

A situação é muito semelhante à que dei para o prisma triangular: um vértice coincide com a origem, um lado está no eixo de coordenadas.

Bem, agora você e eu estamos finalmente perto de começar a resolver problemas. Do que eu disse no início do artigo, você pode tirar a seguinte conclusão: a maioria dos problemas C2 se enquadram em 2 categorias: problemas para o ângulo e problemas para a distância. Primeiro, vamos considerar problemas para encontrar um ângulo. Eles, por sua vez, são divididos nas seguintes categorias (à medida que a complexidade aumenta):

Problemas para encontrar cantos

1. Encontrando o ângulo entre duas linhas
2. Encontrando o ângulo entre dois planos

Vamos considerar esses problemas sequencialmente: vamos começar encontrando o ângulo entre duas linhas retas. Vamos lá, lembre-se, você e eu já resolvemos exemplos semelhantes antes? Você lembra, porque já tínhamos algo parecido... Estávamos procurando um ângulo entre dois vetores. Lembro-lhe, se dois vetores são dados: e, então, o ângulo entre eles é encontrado a partir da relação:

Agora temos um objetivo - encontrar o ângulo entre duas linhas retas. Vamos voltar para a "imagem plana":

Quantos ângulos obtemos quando duas linhas se cruzam? Já coisas. É verdade que apenas dois deles não são iguais, enquanto outros são verticais a eles (e, portanto, coincidem com eles). Então, que ângulo devemos considerar o ângulo entre duas linhas retas: ou? Aqui a regra é: o ângulo entre duas linhas retas é sempre não superior a graus. Ou seja, de dois ângulos, sempre escolheremos o ângulo com a medida de menor grau. Ou seja, nesta foto, o ângulo entre as duas linhas é igual. Para não se preocupar em encontrar o menor dos dois ângulos todas as vezes, matemáticos astutos sugeriram usar o módulo. Assim, o ângulo entre duas linhas retas é determinado pela fórmula:

Você, como leitor atento, deveria ter se perguntado: onde, de fato, obtemos esses mesmos números que precisamos para calcular o cosseno de um ângulo? Resposta: vamos pegá-los dos vetores de direção das linhas! Assim, o algoritmo para encontrar o ângulo entre duas linhas é o seguinte:

1. Aplicamos a fórmula 1.

Ou com mais detalhes:

1. Estamos procurando as coordenadas do vetor de direção da primeira linha reta
2. Estamos procurando as coordenadas do vetor de direção da segunda linha
3. Calcule o módulo de seu produto escalar
4. Estamos procurando o comprimento do primeiro vetor
5. Estamos procurando o comprimento do segundo vetor
6. Multiplique os resultados do ponto 4 pelos resultados do ponto 5
7. Dividimos o resultado do ponto 3 pelo resultado do ponto 6. Obtemos o cosseno do ângulo entre as linhas
8. Se este resultado nos permite calcular o ângulo exatamente, nós o procuramos
9. Caso contrário, escrevemos através do arcoseno

Bem, agora é a hora de passar para as tarefas: vou demonstrar detalhadamente a solução das duas primeiras, apresentarei a solução de outra de forma resumida, e só darei respostas para as duas últimas tarefas, você deve faça todos os cálculos para eles você mesmo.

Tarefas:

1. No tet-ra-ed-re direito, encontre-di-te o ângulo entre você-assim-aquele tet-ra-ed-ra e o lado me-di-a-noy bo-ko-how.

2. No seis-carvão-pi-ra-mi-de à direita, os cem-ro-na-os-no-va-niya são de alguma forma iguais, e as nervuras laterais são iguais, encontre o ângulo entre a reta linhas e.

3. Os comprimentos de todas as arestas do pi-ra-mi-dy para destros quatro-você-rech-carvão-noy são iguais entre si. Encontre o ângulo entre as linhas retas e se de-re-zok - you-so-that dado pi-ra-mi-dy, o ponto é se-re-di-na costela bo-ko-th dela

4. Na borda do cubo de-me-che-para um ponto de modo que Encontre-di-te o ângulo entre as linhas retas e

5. Aponte - se-re-di-nas bordas do cubo Nai-di-te o ângulo entre as linhas retas e.

Não é por acaso que coloquei as tarefas nesta ordem. Enquanto você ainda não teve tempo de começar a navegar pelo método das coordenadas, eu mesmo analisarei as figuras mais “problemáticas” e deixarei você lidar com o cubo mais simples! Gradualmente, você precisa aprender a trabalhar com todas as figuras, aumentarei a complexidade das tarefas de tópico para tópico.

Vamos começar a resolver problemas:

1. Desenhe um tetraedro, coloque-o no sistema de coordenadas como sugeri anteriormente. Como o tetraedro é regular, todas as suas faces (incluindo a base) são triângulos regulares. Como não nos é dado o comprimento do lado, posso considerá-lo igual. Acho que você entende que o ângulo realmente não vai depender de quanto nosso tetraedro será "esticado"?. Também desenharei a altura e a mediana no tetraedro. Ao longo do caminho, desenharei sua base (também será útil para nós).

Eu preciso encontrar o ângulo entre e. O que nós sabemos? Só conhecemos a coordenada do ponto. Então, precisamos encontrar mais coordenadas dos pontos. Agora pensamos: um ponto é um ponto de intersecção de alturas (ou bissetrizes ou medianas) de um triângulo. Um ponto é um ponto elevado. O ponto é o ponto médio do segmento. Então, finalmente, precisamos encontrar: as coordenadas dos pontos: .

Vamos começar com o mais simples: coordenadas de ponto. Observe a figura: É claro que a aplicação de um ponto é igual a zero (o ponto está em um plano). Sua ordenada é igual (porque é a mediana). É mais difícil encontrar sua abcissa. No entanto, isso é feito facilmente com base no teorema de Pitágoras: Considere um triângulo. Sua hipotenusa é igual, e um dos catetos é igual Então:

Finalmente temos:

Agora vamos encontrar as coordenadas do ponto. É claro que seu aplicado é novamente igual a zero, e sua ordenada é a mesma de um ponto, isto é. Vamos encontrar sua abcissa. Isso é feito de maneira bastante trivial se lembrarmos que as alturas de um triângulo equilátero são divididas pelo ponto de interseção na proporção contando de cima. Desde:, então a abcissa desejada do ponto, igual ao comprimento do segmento, é igual a:. Assim, as coordenadas do ponto são:

Vamos encontrar as coordenadas do ponto. É claro que sua abcissa e ordenada coincidem com a abcissa e ordenada do ponto. E o aplique é igual ao comprimento do segmento. - esta é uma das pernas do triângulo. A hipotenusa de um triângulo é um segmento - uma perna. Ele é pesquisado pelos motivos que destaquei em negrito:

O ponto é o ponto médio do segmento. Então precisamos lembrar a fórmula para as coordenadas do meio do segmento:

É isso, agora podemos procurar as coordenadas dos vetores de direção:

Bem, está tudo pronto: substituímos todos os dados na fórmula:

Nesse caminho,

Responda:

Você não deve ter medo dessas respostas "terríveis": para problemas C2, essa é uma prática comum. Prefiro me surpreender com a resposta "linda" nesta parte. Além disso, como você observou, praticamente não recorri a nada além do teorema de Pitágoras e da propriedade das alturas de um triângulo equilátero. Ou seja, para resolver o problema estereométrico, usei o mínimo de estereometria. O ganho nisso é parcialmente "extinguido" por cálculos bastante complicados. Mas eles são bastante algorítmicos!

2. Desenhe uma pirâmide hexagonal regular junto com o sistema de coordenadas, bem como sua base:

Precisamos encontrar o ângulo entre as linhas e. Assim, nossa tarefa se reduz a encontrar as coordenadas dos pontos: . Encontraremos as coordenadas dos três últimos a partir do pequeno desenho e encontraremos a coordenada do vértice através da coordenada do ponto. Muito trabalho, mas tenho que começar!

a) Coordenada: é claro que seu aplicado e ordenado são zero. Vamos encontrar a abcissa. Para fazer isso, considere um triângulo retângulo. Infelizmente, nele só conhecemos a hipotenusa, que é igual a. Tentaremos encontrar a perna (porque é claro que o dobro do comprimento da perna nos dará a abcissa do ponto). Como podemos buscá-lo? Vamos lembrar que tipo de figura temos na base da pirâmide? Este é um hexágono regular. O que isto significa? Isso significa que todos os lados e todos os ângulos são iguais. Precisamos encontrar um desses cantos. Alguma ideia? Existem muitas ideias, mas existe uma fórmula:

A soma dos ângulos de um n-gon regular é .

Assim, a soma dos ângulos de um hexágono regular é graus. Então cada um dos ângulos é igual a:

Vamos olhar para a imagem novamente. É claro que o segmento é a bissetriz do ângulo. Então o ângulo é graus. Então:

Então onde.

Então tem coordenadas

b) Agora podemos encontrar facilmente a coordenada do ponto: .

c) Encontre as coordenadas do ponto. Como sua abcissa coincide com o comprimento do segmento, ela é igual. Encontrar a ordenada também não é muito difícil: se conectarmos os pontos e denotarmos o ponto de interseção da linha, digamos para. (faça você mesmo construção simples). Então Assim, a ordenada do ponto B é igual à soma dos comprimentos dos segmentos. Vamos olhar para o triângulo novamente. Então

Então desde Então o ponto tem coordenadas

d) Agora encontre as coordenadas do ponto. Considere um retângulo e prove que Assim, as coordenadas do ponto são:

e) Resta encontrar as coordenadas do vértice. É claro que sua abcissa e ordenada coincidem com a abcissa e ordenada do ponto. Vamos encontrar um aplicativo. Desde então. Considere um triângulo retângulo. Pela condição do problema, a borda lateral. Esta é a hipotenusa do meu triângulo. Então a altura da pirâmide é a perna.

Então o ponto tem coordenadas:

É isso, tenho as coordenadas de todos os pontos de interesse para mim. Estou procurando as coordenadas dos vetores diretores das linhas retas:

Estamos procurando o ângulo entre esses vetores:

Responda:

Novamente, ao resolver esse problema, não usei nenhum truque sofisticado, exceto a fórmula para a soma dos ângulos de um n-gon regular, bem como a definição do cosseno e do seno de um triângulo retângulo.

3. Como novamente não nos são dados os comprimentos das arestas da pirâmide, vou considerá-los iguais a um. Assim, como TODAS as arestas, e não apenas as laterais, são iguais entre si, então na base da pirâmide e eu há um quadrado, e as faces laterais são triângulos regulares. Vamos representar tal pirâmide, bem como sua base em um plano, marcando todos os dados fornecidos no texto do problema:

Estamos procurando o ângulo entre e. Farei cálculos muito breves quando estiver procurando as coordenadas dos pontos. Você precisará "descriptografar" eles:

b) - o meio do segmento. Suas coordenadas:

c) Encontrarei o comprimento do segmento usando o teorema de Pitágoras em um triângulo. Vou encontrar pelo teorema de Pitágoras em um triângulo.

Coordenadas:

d) - o meio do segmento. Suas coordenadas são

e) Coordenadas vetoriais

f) Coordenadas vetoriais

g) Procurando um ângulo:

O cubo é a figura mais simples. Tenho certeza que você pode descobrir por conta própria. As respostas aos problemas 4 e 5 são as seguintes:

Encontrar o ângulo entre uma linha e um plano

Bem, o tempo para quebra-cabeças simples acabou! Agora os exemplos serão ainda mais difíceis. Para encontrar o ângulo entre uma linha e um plano, procederemos da seguinte forma:

1. Usando três pontos, construímos a equação do plano
   ,
   usando um determinante de terceira ordem.
2. Por dois pontos procuramos as coordenadas do vetor diretor da reta:
3. Aplicamos a fórmula para calcular o ângulo entre uma linha reta e um plano:

Como você pode ver, esta fórmula é muito semelhante à que usamos para encontrar os ângulos entre duas linhas. A estrutura do lado direito é a mesma, e do lado esquerdo procuramos agora um seno, e não um cosseno, como antes. Bem, uma ação desagradável foi adicionada - a busca pela equação do plano.

não arquivemos exemplos de resolução:

1. Os-no-va-ni-em reto-meu prêmio-nós somos-la-et-xia iguais-mas-pobre-ren-ny triângulo-nick você-com-esse prêmio-somos iguais. Encontre o ângulo entre a linha reta e o plano

2. Em um pa-ral-le-le-pi-pe-de retangular do West Nai-di-te o ângulo entre a linha reta e o plano

3. No prisma de seis carvões destro, todas as arestas são iguais. Encontre o ângulo entre a linha reta e o plano.

4. No triângulo direito pi-ra-mi-de com o os-but-va-ni-em do oeste da costela Ângulo Nai-di-te, plano ob-ra-zo-van -ny do os -no-va-niya e straight-my, passando pela se-re-di-na das costelas e

5. Os comprimentos de todas as arestas do quadrangular direito pi-ra-mi-dy com o topo são iguais entre si. Encontre o ângulo entre a linha reta e o plano, se o ponto é se-re-di-na borda bo-ko-in-ésima do pi-ra-mi-dy.

Mais uma vez, vou resolver os dois primeiros problemas em detalhes, o terceiro - brevemente, e deixo os dois últimos para você resolver por conta própria. Além disso, você já teve que lidar com pirâmides triangulares e quadrangulares, mas ainda não com prismas.

Soluções:

1. Desenhe um prisma, bem como sua base. Vamos combiná-lo com o sistema de coordenadas e marcar todos os dados fornecidos na declaração do problema:

Peço desculpas por alguma não observância de proporções, mas para resolver o problema isso, na verdade, não é tão importante. O avião é apenas a "parede de trás" do meu prisma. Basta adivinhar que a equação de tal plano tem a forma:

No entanto, isso também pode ser mostrado diretamente:

Escolhemos três pontos arbitrários neste plano: por exemplo, .

Vamos fazer a equação do plano:

Exercício para você: calcule você mesmo esse determinante. Você conseguiu? Então a equação do plano tem a forma:

Ou simplesmente

Nesse caminho,

Para resolver o exemplo, preciso encontrar as coordenadas do vetor diretor da linha reta. Como o ponto coincidiu com a origem, as coordenadas do vetor simplesmente coincidirão com as coordenadas do ponto, para isso, primeiro encontramos as coordenadas do ponto.

Para fazer isso, considere um triângulo. Vamos desenhar uma altura (é também uma mediana e uma bissetriz) a partir do topo. Desde então, a ordenada do ponto é igual. Para encontrar a abcissa deste ponto, precisamos calcular o comprimento do segmento. Pelo teorema de Pitágoras temos:

Então o ponto tem coordenadas:

Um ponto é um "levantado" em um ponto:

Então as coordenadas do vetor:

Responda:

Como você pode ver, não há nada fundamentalmente difícil em resolver esses problemas. De fato, a “retidão” de uma figura como um prisma simplifica um pouco mais o processo. Agora vamos para o próximo exemplo:

2. Desenhamos um paralelepípedo, desenhamos um plano e uma linha reta e também desenhamos separadamente sua base inferior:

Primeiro, encontramos a equação do plano: As coordenadas dos três pontos situados nele:

(as duas primeiras coordenadas são obtidas de maneira óbvia e você pode encontrar facilmente a última coordenada da imagem do ponto). Então compomos a equação do plano:

Calculamos:

Estamos procurando as coordenadas do vetor de direção: É claro que suas coordenadas coincidem com as coordenadas do ponto, não é? Como encontrar as coordenadas? Estas são as coordenadas do ponto, elevadas em um ao longo do eixo aplicado! . Então estamos procurando o ângulo desejado:

Responda:

3. Desenhe uma pirâmide hexagonal regular e, em seguida, desenhe um plano e uma linha reta nela.

Aqui é até problemático desenhar um plano, sem falar na solução desse problema, mas o método das coordenadas não importa! É na sua versatilidade que reside a sua principal vantagem!

O avião passa por três pontos: . Estamos procurando suas coordenadas:

1) . Exiba você mesmo as coordenadas dos dois últimos pontos. Você precisará resolver o problema com uma pirâmide hexagonal para isso!

2) Construímos a equação do plano:

Estamos procurando as coordenadas do vetor: . (Veja o problema da pirâmide triangular novamente!)

3) Estamos procurando um ângulo:

Responda:

Como você pode ver, não há nada sobrenaturalmente difícil nessas tarefas. Você só precisa ter muito cuidado com as raízes. Para os dois últimos problemas, darei apenas respostas:

Como você pode ver, a técnica para resolver problemas é a mesma em todos os lugares: a principal tarefa é encontrar as coordenadas dos vértices e substituí-las em algumas fórmulas. Resta-nos considerar mais uma classe de problemas para calcular ângulos, a saber:

Calculando ângulos entre dois planos

O algoritmo de solução será o seguinte:

1. Para três pontos estamos procurando a equação do primeiro plano:
2. Para os outros três pontos, estamos procurando a equação do segundo plano:
3. Aplicamos a fórmula:

Como você pode ver, a fórmula é muito parecida com as duas anteriores, com a qual estávamos procurando ângulos entre linhas retas e entre uma linha reta e um plano. Então, lembrar deste não será difícil para você. Vamos direto ao problema:

1. Uma centena na base do prisma triangular direito é igual, e a diagonal da face lateral é igual. Encontre o ângulo entre o plano e o plano da base do prêmio.

2. No pi-ra-mi-de de quatro-você-re-coal-noy para a direita, todas as arestas de alguém são iguais, encontre o seno do ângulo entre o plano e o plano Ko-Stu, passando por o ponto de per-pen-di-ku-lyar-mas direto-meu.

3. Em um prisma regular de quatro carvões, os lados do os-no-va-nia são iguais e as bordas laterais são iguais. Na borda de-me-che-ao ponto de modo que. Encontre o ângulo entre os planos e

4. No prisma quadrangular direito, os lados das bases são iguais e as arestas laterais são iguais. Na borda de-me-che-para um ponto de modo que Encontre o ângulo entre os planos e.

5. No cubo, encontre o cosseno do ângulo entre os planos e

Soluções de problemas:

1. Eu desenho um prisma triangular regular (na base - um triângulo equilátero) e marco nele os planos que aparecem na condição do problema:

Precisamos encontrar as equações de dois planos: A equação base é obtida trivialmente: você pode fazer o determinante correspondente para três pontos, mas vou fazer a equação imediatamente:

Agora vamos encontrar a equação O ponto tem coordenadas O ponto - Desde - a mediana e a altura do triângulo, é fácil encontrar pelo teorema de Pitágoras em um triângulo. Então o ponto tem coordenadas: Encontre a aplicação do ponto Para fazer isso, considere um triângulo retângulo

Então obtemos as seguintes coordenadas: Compomos a equação do plano.

Calculamos o ângulo entre os planos:

Responda:

2. Fazendo um desenho:

O mais difícil é entender que tipo de plano misterioso é, passando por um ponto perpendicularmente. Bem, o principal é o que é? O principal é a atenção! De fato, a linha é perpendicular. A linha também é perpendicular. Então o plano que passa por essas duas linhas será perpendicular à linha e, a propósito, passará pelo ponto. Este plano também passa pelo topo da pirâmide. Então o avião desejado - E o avião já nos é dado. Estamos procurando coordenadas de pontos.

Encontramos a coordenada do ponto através do ponto. É fácil deduzir de um pequeno desenho que as coordenadas do ponto serão as seguintes: O que resta agora encontrar para encontrar as coordenadas do topo da pirâmide? Ainda precisa calcular sua altura. Isso é feito usando o mesmo teorema de Pitágoras: primeiro, prove isso (trivialmente a partir de pequenos triângulos formando um quadrado na base). Como por condição, temos:

Agora está tudo pronto: coordenadas do vértice:

Compomos a equação do plano:

Você já é um especialista em calcular determinantes. Facilmente você receberá:

Ou caso contrário (se multiplicarmos ambas as partes pela raiz de dois)

Agora vamos encontrar a equação do plano:

(Você não esqueceu como obtemos a equação do plano, certo? Se você não entende de onde veio esse menos um, então volte para a definição da equação do plano! Sempre acabava antes disso que meu avião pertencia à origem!)

Calculamos o determinante:

(Você pode notar que a equação do plano coincidiu com a equação da linha reta que passa pelos pontos e! Pense por quê!)

Agora calculamos o ângulo:

Precisamos encontrar o seno:

Responda:

3. Uma pergunta complicada: o que é um prisma retangular, o que você acha? É apenas um paralelepípedo bem conhecido para você! Desenhando imediatamente! Você pode até não descrever separadamente a base, há pouco uso dela aqui:

O plano, como observamos anteriormente, é escrito como uma equação:

Agora fazemos um avião

Imediatamente compomos a equação do plano:

Procurando um ângulo

Agora as respostas para os dois últimos problemas:

Bem, agora é a hora de fazer uma pausa, porque você e eu somos ótimos e fizemos um ótimo trabalho!

Coordenadas e vetores. Nível avançado

Neste artigo, discutiremos com você outra classe de problemas que podem ser resolvidos usando o método de coordenadas: problemas de distância. Ou seja, consideraremos os seguintes casos:

1. Calculando a distância entre as linhas de inclinação.

Ordenei as tarefas dadas à medida que sua complexidade aumenta. O mais fácil é encontrar distância ponto a plano e o mais difícil é encontrar distância entre linhas que se cruzam. Embora, é claro, nada é impossível! Não vamos procrastinar e proceder imediatamente à consideração da primeira classe de problemas:

Calculando a distância de um ponto a um plano

O que precisamos para resolver esse problema?

1. Coordenadas do ponto

Assim, assim que obtivermos todos os dados necessários, aplicamos a fórmula:

Você já deve saber como construímos a equação do plano a partir dos problemas anteriores que analisei na última parte. Vamos ao que interessa imediatamente. O esquema é o seguinte: 1, 2 - eu ajudo você a decidir e, com alguns detalhes, 3, 4 - apenas a resposta, você mesmo toma a decisão e compara. Iniciado!

Tarefas:

1. Dado um cubo. O comprimento da aresta do cubo é Encontre-di-te a distância de se-re-di-ny do corte ao plano

2. Dado o direito-vil-naya quatro-você-rekh-carvão-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe borda cem-ro-on o os-no-va-nia é igual. Encontre-di-aquelas distâncias de um ponto a um plano onde - se-re-di-nas arestas.

3. No triângulo direito pi-ra-mi-de com os-but-va-ni-em, a outra aresta é igual, e cem-ro-on os-no-va-niya é igual. Encontre-di-essas distâncias do topo ao plano.

4. No prisma de seis carvões destro, todas as arestas são iguais. Encontre-di-essas distâncias de um ponto a um plano.

Soluções:

1. Desenhe um cubo com arestas simples, construa um segmento e um plano, denote o meio do segmento pela letra

.

Primeiro, vamos começar com uma fácil: encontre as coordenadas de um ponto. Desde então (lembre-se das coordenadas do meio do segmento!)

Agora compomos a equação do plano em três pontos

\[\esquerda| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Agora posso começar a encontrar a distância:

2. Começamos novamente com um desenho, no qual marcamos todos os dados!

Para uma pirâmide, seria útil desenhar sua base separadamente.

Mesmo o fato de eu desenhar como uma pata de galinha não nos impedirá de resolver facilmente esse problema!

Agora é fácil encontrar as coordenadas de um ponto

Como as coordenadas do ponto

2. Como as coordenadas do ponto a são o meio do segmento, então

Podemos encontrar facilmente as coordenadas de mais dois pontos no plano. Compomos a equação do plano e simplificamos:

\[\esquerda| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Como o ponto tem coordenadas: , calculamos a distância:

Resposta (muito rara!):

Bem, você entendeu? Parece-me que tudo aqui é tão técnico quanto nos exemplos que consideramos com você na parte anterior. Portanto, tenho certeza de que, se você domina esse material, não será difícil resolver os dois problemas restantes. Vou apenas dar-lhe as respostas:

Calculando a distância de uma linha a um plano

Na verdade, não há nada de novo aqui. Como uma linha e um plano podem ser localizados em relação um ao outro? Eles têm todas as possibilidades: se cruzar, ou uma linha reta é paralela ao plano. Qual você acha que é a distância da linha ao plano com a qual a linha dada se cruza? Parece-me que é claro que tal distância é igual a zero. Caso desinteressante.

O segundo caso é mais complicado: aqui a distância já é diferente de zero. No entanto, como a linha é paralela ao plano, cada ponto da linha é equidistante desse plano:

Nesse caminho:

E isso significa que minha tarefa foi reduzida à anterior: procuramos as coordenadas de qualquer ponto da linha, procuramos a equação do plano, calculamos a distância do ponto ao plano. Na verdade, essas tarefas no exame são extremamente raras. Eu consegui encontrar apenas um problema, e os dados nele eram tais que o método de coordenadas não era muito aplicável a ele!

Agora vamos passar para outra classe de problemas muito mais importante:

Calculando a distância de um ponto a uma linha

O que vamos precisar?

1. As coordenadas do ponto a partir do qual procuramos a distância:

2. Coordenadas de qualquer ponto em uma linha reta

3. Coordenadas do vetor de direção da linha reta

Que fórmula usamos?

O que o denominador dessa fração significa para você e, portanto, deve ficar claro: este é o comprimento do vetor diretor da linha reta. Aqui está um numerador muito complicado! A expressão significa o módulo (comprimento) do produto vetorial de vetores e Como calcular o produto vetorial, estudamos na parte anterior do trabalho. Atualize seu conhecimento, será muito útil para nós agora!

Assim, o algoritmo para resolver problemas será o seguinte:

1. Procuramos as coordenadas do ponto a partir do qual procuramos a distância:

2. Estamos procurando as coordenadas de qualquer ponto da linha para o qual estamos procurando a distância:

3. Construindo um vetor

4. Construímos o vetor de direção da linha reta

5. Calcule o produto vetorial

6. Estamos procurando o comprimento do vetor resultante:

7. Calcule a distância:

Temos muito trabalho, e os exemplos serão bem complexos! Então agora concentre toda a sua atenção!

1. Dana é um pi-ra-mi-da triangular destro com um vértice. Cem-ro-no os-no-va-niya pi-ra-mi-dy é igual, você-so-ta é igual. Encontre-di-aquelas distâncias do se-re-di-ny da borda bo-ko-th até a linha reta, onde os pontos e são os se-re-di-ny das costelas e co-de-vet -stven-mas.

2. Os comprimentos das costelas e do ângulo reto-no-para-ral-le-le-pi-pe-da são iguais, respectivamente, e Encontre-di-te distância de top-shi-ny a straight-my

3. No prisma de seis carvões à direita, todas as arestas de um enxame são iguais encontre-di-essa distância de um ponto a uma linha reta

Soluções:

1. Fazemos um desenho limpo, no qual marcamos todos os dados:

Temos muito trabalho para você! Em primeiro lugar, gostaria de descrever em palavras o que vamos procurar e em que ordem:

1. Coordenadas de pontos e

2. Coordenadas do ponto

3. Coordenadas de pontos e

4. Coordenadas de vetores e

5. Seu produto cruzado

6. Comprimento do vetor

7. O comprimento do produto vetorial

8. Distância de a

Bem, temos muito trabalho a fazer! Vamos arregaçar as mangas!

1. Para encontrar as coordenadas da altura da pirâmide, precisamos conhecer as coordenadas do ponto, sua aplicação é zero e a ordenada é igual à sua abcissa. Finalmente, obtivemos as coordenadas:

Coordenadas do ponto

2. - meio do segmento

3. - o meio do segmento

ponto médio

4. Coordenadas

Coordenadas vetoriais

5. Calcule o produto vetorial:

6. O comprimento do vetor: a maneira mais fácil é substituir que o segmento é a linha do meio do triângulo, o que significa que é igual à metade da base. De modo a.

7. Consideramos o comprimento do produto vetorial:

8. Finalmente, encontre a distância:

Ufa, isso é tudo! Sinceramente, vou te dizer: resolver esse problema pelos métodos tradicionais (através de construções) seria muito mais rápido. Mas aqui eu reduzi tudo a um algoritmo pronto! Eu acho que o algoritmo de solução é claro para você? Portanto, pedirei que você resolva os dois problemas restantes por conta própria. Comparar respostas?

Mais uma vez, repito: é mais fácil (mais rápido) resolver estes problemas através de construções, em vez de recorrer ao método das coordenadas. Eu demonstrei essa maneira de resolver apenas para mostrar um método universal que permite que você “não termine nada”.

Finalmente, considere a última classe de problemas:

Calculando a distância entre as linhas de inclinação

Aqui o algoritmo para resolver problemas será semelhante ao anterior. O que nós temos:

3. Qualquer vetor conectando os pontos da primeira e segunda linhas:

Como encontramos a distância entre as linhas?

A fórmula é:

O numerador é o módulo do produto misto (nós o introduzimos na parte anterior) e o denominador - como na fórmula anterior (o módulo do produto vetorial dos vetores diretores das linhas, a distância entre as quais estamos olhando por).

Vou lembrá-lo que

então a fórmula da distância pode ser reescrita como:

Divida este determinante pelo determinante! Embora, para ser honesto, não estou com disposição para piadas aqui! Esta fórmula, de fato, é muito complicada e leva a cálculos bastante complicados. Se eu fosse você, usaria apenas como último recurso!

Vamos tentar resolver alguns problemas usando o método acima:

1. No prisma triangular direito, todas as arestas são de alguma forma iguais, encontre a distância entre as linhas retas e.

2. Dado um prisma triangular à direita, todas as arestas do os-no-va-niya de alguém são iguais a Se-che-tion, passando pela outra costela e as costelas se-re-di-nu são yav-la-et-sya quadrado-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie entre straight-we-mi e

Eu decido o primeiro, e com base nele, você decide o segundo!

1. Eu desenho um prisma e marco as linhas e

Coordenadas do ponto C: então

Coordenadas do ponto

Coordenadas vetoriais

Coordenadas do ponto

Coordenadas vetoriais

Coordenadas vetoriais

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1))) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Consideramos o produto vetorial entre os vetores e

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Agora vamos considerar seu comprimento:

Responda:

Agora tente completar cuidadosamente a segunda tarefa. A resposta será:.

Coordenadas e vetores. Breve descrição e fórmulas básicas

Um vetor é um segmento direcionado. - o início do vetor, - o final do vetor.
O vetor é denotado por ou.

Valor absoluto vetor - o comprimento do segmento que representa o vetor. Designado como.

Coordenadas vetoriais:

,
onde estão as extremidades do vetor \displaystyle a .

Soma de vetores: .

O produto dos vetores:

Produto escalar de vetores:

Um vetor é um segmento que tem uma direção dada. Tanto o início quanto o final do vetor têm uma posição fixa, com a ajuda da qual a direção do vetor é determinada. Vamos dar uma olhada em como construir um vetor por coordenadas dadas.

1. Desenhe um sistema de coordenadas (x, y, z) no espaço, marque segmentos únicos nos eixos.
2. Separe as coordenadas necessárias em dois eixos, desenhe linhas paralelas aos eixos a partir deles com uma linha pontilhada, até que se cruzem. O ponto de interseção será aprendido, que deve ser conectado com uma linha pontilhada à origem.
3. Desenhe um vetor da origem até o ponto resultante.
4. Separe o número desejado no terceiro eixo, desenhe uma linha pontilhada por este ponto, que será paralela ao vetor construído.
5. A partir do final do vetor, desenhe uma linha pontilhada paralela ao terceiro eixo até cruzar com a linha do ponto anterior.
6. Ao final, conecte a origem das coordenadas e o ponto resultante.

Às vezes você precisa construir um vetor que será o resultado da adição ou subtração de outros vetores. Portanto, agora veremos as operações com vetores, aprenderemos a adicioná-los e subtraí-los.

Operações em um vetor

Os vetores geométricos podem ser adicionados de várias maneiras. Assim, por exemplo, a maneira mais comum de somar vetores é a regra do triângulo. Para somar dois vetores de acordo com esta regra, é necessário dispor os vetores paralelos entre si de modo que o início do primeiro vetor coincida com o final do segundo, enquanto o terceiro lado do triângulo resultante será o vetor soma.

Também é possível calcular a soma dos vetores usando a regra do paralelogramo. Os vetores devem começar de um ponto, paralelo a cada vetor, você precisa desenhar uma linha para terminar com um paralelogramo. A diagonal do paralelogramo construído será a soma desses vetores.

Para subtrair dois vetores, você precisa somar o primeiro vetor e o vetor que será o oposto do segundo. Para isso, utiliza-se também a regra do triângulo, que tem a seguinte formulação: a diferença de vetores que são traduzidos de tal forma que seus inícios coincidem é um vetor cujo início coincide com o fim do vetor a ser subtraído, assim como o final do vetor reduzido.

Um vetor é um segmento que tem uma direção dada. Tanto o início quanto o final do vetor têm uma posição fixa, com a ajuda da qual a direção do vetor é determinada. Vamos dar uma olhada em como construir um vetor por coordenadas dadas.

1. Desenhe um sistema de coordenadas (x, y, z) no espaço, marque segmentos únicos nos eixos.
2. Separe as coordenadas necessárias em dois eixos, desenhe linhas paralelas aos eixos a partir deles com uma linha pontilhada, até que se cruzem. O ponto de interseção será aprendido, que deve ser conectado com uma linha pontilhada à origem.
3. Desenhe um vetor da origem até o ponto resultante.
4. Separe o número desejado no terceiro eixo, desenhe uma linha pontilhada por este ponto, que será paralela ao vetor construído.
5. A partir do final do vetor, desenhe uma linha pontilhada paralela ao terceiro eixo até cruzar com a linha do ponto anterior.
6. Ao final, conecte a origem das coordenadas e o ponto resultante.

Às vezes você precisa construir um vetor que será o resultado da adição ou subtração de outros vetores. Portanto, agora veremos as operações com vetores, aprenderemos a adicioná-los e subtraí-los.

Operações em um vetor

Os vetores geométricos podem ser adicionados de várias maneiras. Assim, por exemplo, a maneira mais comum de somar vetores é a regra do triângulo. Para somar dois vetores de acordo com esta regra, é necessário dispor os vetores paralelos entre si de modo que o início do primeiro vetor coincida com o final do segundo, enquanto o terceiro lado do triângulo resultante será o vetor soma.

Também é possível calcular a soma dos vetores usando a regra do paralelogramo. Os vetores devem começar de um ponto, paralelo a cada vetor, você precisa desenhar uma linha para terminar com um paralelogramo. A diagonal do paralelogramo construído será a soma desses vetores.

Para subtrair dois vetores, você precisa somar o primeiro vetor e o vetor que será o oposto do segundo. Para isso, utiliza-se também a regra do triângulo, que tem a seguinte formulação: a diferença de vetores que são traduzidos de tal forma que seus inícios coincidem é um vetor cujo início coincide com o fim do vetor a ser subtraído, assim como o final do vetor reduzido.

Atenção, somente HOJE!

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