Qual é o volume de um prisma e como encontrá-lo
O volume de um prisma é o produto da área de sua base pela altura.
No entanto, sabemos que a base de um prisma pode ter um triângulo, um quadrado ou algum outro poliedro.
Portanto, para encontrar o volume de um prisma, basta calcular a área da base do prisma e depois multiplicar essa área pela sua altura.
Ou seja, se houver um triângulo na base do prisma, primeiro você precisará encontrar a área do triângulo. Se a base do prisma for um quadrado ou outro polígono, primeiro você precisará encontrar a área do quadrado ou outro polígono.
Deve-se lembrar que a altura do prisma é uma perpendicular traçada às bases do prisma.
O que é um prisma
Agora vamos lembrar a definição de um prisma.
Um prisma é um polígono cujas duas faces (bases) estão em planos paralelos e todas as arestas fora dessas faces são paralelas.
Simplificando, então:
Um prisma é qualquer figura geométrica que tem duas bases iguais e faces planas.
O nome de um prisma depende da forma de sua base. Quando a base de um prisma é um triângulo, esse prisma é chamado de triangular. Um prisma poliédrico é uma figura geométrica cuja base é um poliedro. Um prisma também é um tipo de cilindro.
Quais são os tipos de prismas
Se observarmos a figura acima, podemos ver que os prismas são retos, regulares e oblíquos.
Exercício
1. Qual é o prisma correto?
2. Por que é chamado assim?
3. Qual é o nome de um prisma cujas bases são polígonos regulares?
4. Qual é a altura desta figura?
5. Qual é o nome de um prisma cujas arestas não são perpendiculares?
6. Defina um prisma triangular.
7. Um prisma pode ser um paralelepípedo?
8. Que figura geométrica é chamada de polígono semi-regular?
De que elementos consiste um prisma?
Um prisma consiste em elementos como a base inferior e superior, faces laterais, arestas e vértices.
Ambas as bases do prisma estão em planos e são paralelas entre si.
As faces laterais da pirâmide são paralelogramos.
A superfície lateral da pirâmide é a soma das faces laterais.
Os lados comuns das faces laterais nada mais são do que as arestas laterais desta figura.
A altura da pirâmide é o segmento que liga os planos das bases e é perpendicular a elas.
Propriedades do Prisma
Uma figura geométrica, como um prisma, tem várias propriedades. Vamos dar uma olhada nessas propriedades:
Primeiro, as bases de um prisma são chamadas de polígonos iguais;
Em segundo lugar, as faces laterais do prisma são apresentadas na forma de um paralelogramo;
Em terceiro lugar, esta figura geométrica tem arestas paralelas e iguais;
Em quarto lugar, a área total da superfície do prisma é:
E agora considere o teorema, que fornece uma fórmula para calcular a área da superfície lateral e a demonstração.
Você já pensou em um fato tão interessante que um prisma pode ser não apenas um corpo geométrico, mas também outros objetos ao nosso redor. Mesmo um floco de neve comum, dependendo do regime de temperatura, pode se transformar em um prisma de gelo, assumindo a forma de uma figura hexagonal.
Mas os cristais de calcita têm um fenômeno tão único que se quebra em fragmentos e assume a forma de um paralelepípedo. E o mais surpreendente, por menores que sejam os cristais de calcita sejam esmagados, o resultado é sempre o mesmo, eles se transformam em minúsculos paralelepípedos.
Acontece que o prisma ganhou popularidade não só na matemática, demonstrando seu corpo geométrico, mas também no campo da arte, pois é a base de pinturas criadas por grandes artistas como P. Picasso, Braque, Griss e outros.
PRISMA DIRETO. SUPERFÍCIE E VOLUME DE UM PRISMA DIRETO.
§ 68. VOLUME DE UM PRISMA DIRETO.
1. O volume de um prisma triangular reto.
Seja necessário encontrar o volume de um prisma triangular reto, cuja área da base é igual a S e a altura é igual a h= AA" = = BB" = SS" (Fig. 306).
Vamos desenhar separadamente a base do prisma, ou seja, o triângulo ABC (Fig. 307, a), e completá-lo em um retângulo, para o qual traçamos uma linha reta KM passando pelo vértice B || AC e dos pontos A e C deixamos cair as perpendiculares AF e CE a esta linha. Obtemos o retângulo ACEF. Tendo desenhado a altura BD do triângulo ABC, veremos que o retângulo ACEF é dividido em 4 triângulos retângulos. E /\ TODOS = /\ BCD e /\ BAF = /\ MAU. Isso significa que a área do retângulo ACEF é o dobro da área do triângulo ABC, ou seja, é igual a 2S.
A este prisma com base ABC adicionamos prismas com bases ALL e BAF e altura h(Desenho 307, b). Obtemos um paralelepípedo retangular com base
ACEF.
Se cortarmos este paralelepípedo por um plano que passa pelas linhas BD e BB", veremos que o paralelepípedo retangular é composto por 4 prismas com bases
BCD, TODOS, RUIM e BAF.
Prismas com bases BCD e ALL podem ser combinados, pois suas bases são iguais ( /\ BCD = /\ BCE) e também igualam suas arestas laterais, que são perpendiculares a um plano. Portanto, os volumes desses prismas são iguais. Os volumes dos prismas com bases BAD e BAF também são iguais.
Assim, verifica-se que o volume de um determinado prisma triangular com uma base
ABC é metade do volume de um paralelepípedo retangular com base ACEF.
Sabemos que o volume de um paralelepípedo retangular é igual ao produto da área de sua base pela altura, ou seja, neste caso é igual a 2S h. Portanto, o volume desse prisma triangular reto é igual a S h.
O volume de um prisma triangular reto é igual ao produto da área de sua base pela altura.
2. O volume de um prisma poligonal reto.
Para encontrar o volume de um prisma poligonal reto, como um pentagonal, com área de base S e altura h, vamos dividi-lo em prismas triangulares (Fig. 308).
Denotando as áreas da base dos prismas triangulares através de S 1, S 2 e S 3, e o volume deste prisma poligonal através de V, temos:
V = S 1 h+S2 h+ S 3 h, ou
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.
E finalmente: V = S h.
Da mesma forma, a fórmula para o volume de um prisma reto com qualquer polígono em sua base é derivada.
Significa, O volume de qualquer prisma reto é igual ao produto da área de sua base pela altura.
Exercícios.
1. Calcule o volume de um prisma reto com um paralelogramo na base, usando os seguintes dados:
2. Calcule o volume de um prisma reto com um triângulo na base, usando os seguintes dados:
3. Calcule o volume de um prisma reto com um triângulo equilátero com um lado de 12 cm (32 cm, 40 cm) na base. Altura do prisma 60 cm.
4. Calcule o volume de um prisma reto tendo na base um triângulo retângulo com catetos de 12 cm e 8 cm (16 cm e 7 cm; 9 me 6 m). A altura do prisma é de 0,3 m.
5. Calcule o volume de um prisma reto com um trapézio na base com lados paralelos de 18 cm e 14 cm e uma altura de 7,5 cm A altura do prisma é 40 cm.
6. Calcule o volume de sua sala de aula (academia, sua sala).
7. A superfície total do cubo é 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Calcule o volume desse cubo.
8. O comprimento de um tijolo de construção é 25,0 cm, sua largura é 12,0 cm, sua espessura é 6,5 cm. a) Calcule seu volume, b) Determine seu peso se 1 centímetro cúbico de um tijolo pesa 1,6 g.
9. Quantas peças de tijolos de construção serão necessárias para construir uma parede sólida de tijolos com a forma de um paralelepípedo retangular de 12 m de comprimento, 0,6 m de largura e 10 m de altura? (Dimensões do tijolo do Exercício 8.)
10. O comprimento de uma tábua bem cortada é 4,5 m, a largura é 35 cm, a espessura é 6 cm. a) Calcule o volume b) Determine seu peso se o decímetro cúbico da tábua pesar 0,6 kg.
11. Quantas toneladas de feno podem ser colocadas em um palheiro coberto com telhado de duas águas (Fig. 309), se o comprimento do palheiro é de 12 m, a largura é de 8 m, a altura é de 3,5 m e a altura do cume do telhado é de 1,5 m? (A gravidade específica do feno é considerada como 0,2.)
12. É necessário cavar uma vala de 0,8 km de extensão; na seção, a vala deve ter a forma de um trapézio com bases de 0,9 me 0,4 m, e a profundidade da vala deve ser de 0,5 m (Fig. 310). Quantos metros cúbicos de terra terão que ser retirados?
Prismas diferentes são diferentes uns dos outros. Ao mesmo tempo, eles têm muito em comum. Para encontrar a área da base de um prisma, você precisa descobrir de que tipo ele se parece.
Teoria geral
Um prisma é qualquer poliedro cujos lados têm a forma de um paralelogramo. Além disso, qualquer poliedro pode estar em sua base - de um triângulo a um n-gon. Além disso, as bases do prisma são sempre iguais entre si. O que não se aplica às faces laterais - elas podem variar significativamente em tamanho.
Ao resolver problemas, não é apenas a área da base do prisma que é encontrada. Pode ser necessário conhecer a superfície lateral, ou seja, todas as faces que não são bases. A superfície cheia já será a união de todas as faces que compõem o prisma.
Às vezes, as alturas aparecem nas tarefas. É perpendicular às bases. A diagonal de um poliedro é um segmento que conecta em pares quaisquer dois vértices que não pertencem à mesma face.
Deve-se notar que a área da base de um prisma reto ou inclinado não depende do ângulo entre eles e as faces laterais. Se eles tiverem as mesmas figuras nas faces superior e inferior, suas áreas serão iguais.
Prisma triangular
Tem na base uma figura com três vértices, ou seja, um triângulo. Sabe-se que é diferente. Se então basta lembrar que sua área é determinada pela metade do produto das pernas.
A notação matemática fica assim: S = ½ av.
Para descobrir a área da base de forma geral, as fórmulas são úteis: Heron e aquela em que metade do lado é levado à altura desenhada para ele.
A primeira fórmula deve ser escrita assim: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Essa entrada contém um semiperímetro (p), ou seja, a soma de três lados dividido por dois.
Segundo: S = ½ n a * a.
Se você deseja conhecer a área da base de um prisma triangular, que é regular, o triângulo acaba sendo equilátero. Tem sua própria fórmula: S = ¼ a 2 * √3.
prisma quadrangular
Sua base é qualquer um dos quadriláteros conhecidos. Pode ser um retângulo ou um quadrado, um paralelepípedo ou um losango. Em cada caso, para calcular a área da base do prisma, você precisará de sua própria fórmula.
Se a base for um retângulo, então sua área é determinada da seguinte forma: S = av, onde a, b são os lados do retângulo.
Quando nós estamos falando sobre um prisma quadrangular, a área da base de um prisma regular é calculada usando a fórmula para um quadrado. Porque é ele quem está na base. S \u003d a 2.
No caso de a base ser um paralelepípedo, será necessária a seguinte igualdade: S \u003d a * n a. Acontece que um lado de um paralelepípedo e um dos ângulos são dados. Então, para calcular a altura, você precisará usar uma fórmula adicional: na \u003d b * sin A. Além disso, o ângulo A é adjacente ao lado "b" e a altura é na oposta a esse ângulo.
Se um losango estiver na base do prisma, será necessária a mesma fórmula para determinar sua área como para um paralelogramo (já que é um caso especial dele). Mas você também pode usar este: S = ½ d 1 d 2. Aqui d 1 e d 2 são duas diagonais do losango.
Prisma pentagonal regular
Este caso envolve dividir o polígono em triângulos, cujas áreas são mais fáceis de descobrir. Embora aconteça que as figuras possam estar com um número diferente de vértices.
Como a base do prisma é um pentágono regular, ele pode ser dividido em cinco triângulos equiláteros. Então a área da base do prisma é igual à área de um desses triângulos (a fórmula pode ser vista acima), multiplicada por cinco.
Prisma hexagonal regular
De acordo com o princípio descrito para um prisma pentagonal, é possível dividir o hexágono de base em 6 triângulos equiláteros. A fórmula para a área da base desse prisma é semelhante à anterior. Somente nele deve ser multiplicado por seis.
A fórmula ficará assim: S = 3/2 e 2 * √3.
Tarefas
Nº 1. Uma linha reta regular é fornecida. Sua diagonal é de 22 cm, a altura do poliedro é de 14 cm. Calcule a área da base do prisma e de toda a superfície.
Solução. A base de um prisma é um quadrado, mas seu lado não é conhecido. Você pode encontrar seu valor a partir da diagonal do quadrado (x), que está relacionada à diagonal do prisma (d) e sua altura (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Por outro lado, este segmento "x" é a hipotenusa de um triângulo cujos catetos são iguais ao lado do quadrado. Ou seja, x 2 \u003d a 2 + a 2. Assim, verifica-se que um 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Substitua o número 22 em vez de d e substitua “n” por seu valor - 14, verifica-se que o lado do quadrado é de 12 cm. Agora é fácil descobrir a área da base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Para descobrir a área de toda a superfície, você precisa adicionar o dobro do valor da área da base e quadruplicar o lado. Este último é fácil de encontrar pela fórmula de um retângulo: multiplique a altura do poliedro pelo lado da base. Ou seja, 14 e 12, esse número será igual a 168 cm 2. A área total da superfície do prisma é de 960 cm 2 .
Responda. A área da base do prisma é de 144 cm2. Toda a superfície - 960 cm 2 .
Não. 2. Dana Na base está um triângulo de lado 6 cm. Neste caso, a diagonal da face lateral é de 10 cm. Calcule as áreas: a base e a superfície lateral.
Solução. Como o prisma é regular, sua base é um triângulo equilátero. Portanto, sua área é igual a 6 ao quadrado vezes ¼ e a raiz quadrada de 3. Um cálculo simples leva ao resultado: 9√3 cm 2. Esta é a área de uma base do prisma.
Todas as faces laterais são iguais e são retângulos com lados de 6 e 10 cm. Para calcular suas áreas, basta multiplicar esses números. Em seguida, multiplique-os por três, porque o prisma tem exatamente tantas faces laterais. Em seguida, a área da superfície lateral é enrolada em 180 cm 2 .
Responda.Áreas: base - 9√3 cm 2, superfície lateral do prisma - 180 cm 2.
Na física, um prisma triangular feito de vidro é frequentemente usado para estudar o espectro da luz branca, pois pode decompô-la em seus constituintes individuais. Neste artigo, consideraremos a fórmula do volume
O que é um prisma triangular?
Antes de dar a fórmula do volume, considere as propriedades desta figura.
Para obter isso, você precisa pegar um triângulo de forma arbitrária e movê-lo paralelo a si mesmo por uma certa distância. Os vértices do triângulo nas posições inicial e final devem ser conectados por segmentos retos. A figura tridimensional resultante é chamada de prisma triangular. Tem cinco lados. Dois deles são chamados de bases: são paralelos e iguais entre si. As bases do prisma considerado são triângulos. Os três lados restantes são paralelogramos.
Além dos lados, o prisma considerado é caracterizado por seis vértices (três para cada base) e nove arestas (6 arestas estão nos planos das bases e 3 arestas são formadas pela interseção dos lados). Se as arestas laterais são perpendiculares às bases, esse prisma é chamado de retangular.
A diferença entre um prisma triangular e todas as outras figuras desta classe é que ele é sempre convexo (prismas de quatro, cinco, ..., n-gonais também podem ser côncavos).
Esta é uma figura retangular, na base da qual se encontra um triângulo equilátero.
Volume de um prisma triangular de um tipo geral
Como encontrar o volume de um prisma triangular? A fórmula em termos gerais é semelhante à de um prisma de qualquer tipo. Tem a seguinte notação matemática:
Aqui h é a altura da figura, ou seja, a distância entre suas bases, S o é a área do triângulo.
O valor de S o pode ser encontrado se alguns parâmetros para um triângulo são conhecidos, por exemplo, um lado e dois ângulos, ou dois lados e um ângulo. A área de um triângulo é igual à metade do produto de sua altura pelo comprimento do lado em que essa altura é reduzida.
Quanto à altura h da figura, é mais fácil encontrá-la para um prisma retangular. Neste último caso, h coincide com o comprimento da aresta lateral.
Volume de um prisma triangular regular
A fórmula geral para o volume de um prisma triangular, que é dada na seção anterior do artigo, pode ser usada para calcular o valor correspondente para um prisma triangular regular. Como sua base é um triângulo equilátero, sua área é:
Todos podem obter essa fórmula se lembrarem que em um triângulo equilátero todos os ângulos são iguais entre si e perfazem 60º. Aqui o símbolo a é o comprimento do lado do triângulo.
A altura h é o comprimento da aresta. Não tem nada a ver com a base de um prisma regular e pode assumir valores arbitrários. Como resultado, a fórmula para o volume de um prisma triangular da forma correta é assim:
Tendo calculado a raiz, podemos reescrever esta fórmula da seguinte forma:
Assim, para encontrar o volume de um prisma regular de base triangular, é necessário elevar ao quadrado o lado da base, multiplicar esse valor pela altura e multiplicar o valor resultante por 0,433.
O volume do prisma. Solução de problemas
A geometria é a ferramenta mais poderosa para o refinamento de nossas faculdades mentais e nos permite pensar e raciocinar corretamente.
G. Galileu
O objetivo da lição:
- ensinar resolução de problemas para cálculo do volume de prismas, resumir e sistematizar a informação que os alunos têm sobre o prisma e seus elementos, para formar a capacidade de resolver problemas de maior complexidade;
- desenvolver o pensamento lógico, a capacidade de trabalhar de forma independente, as habilidades de controle mútuo e autocontrole, a capacidade de falar e ouvir;
- desenvolver o hábito de emprego constante, alguma ação útil, educação de responsividade, diligência, precisão.
Tipo de aula: uma aula na aplicação de conhecimentos, habilidades e habilidades.
Equipamentos: cartões de controle, projetor de mídia, apresentação “Lição. Volume de prisma”, computadores.
Durante as aulas
- Costelas laterais do prisma (Fig. 2).
- A superfície lateral do prisma (Figura 2, Figura 5).
- A altura do prisma (Figura 3, Figura 4).
- Prisma direto (Fig. 2,3,4).
- Prisma inclinado (Figura 5).
- Prisma correto (Fig. 2, Fig. 3).
- Corte diagonal de um prisma (Fig. 2).
- Diagonal do prisma (Figura 2).
- Corte perpendicular do prisma (pi3, fig4).
- A área da superfície lateral do prisma.
- A área total da superfície do prisma.
- O volume do prisma.
- VERIFICAR O TRABALHO DE CASA (8 min)
- Trabalho conjunto do professor com a turma (2-3 min.).
- MINUTO FÍSICO (3 min)
- RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS (10 min)
- Trabalho independente dos alunos no teste no computador
Troque os cadernos, verifique a solução nos slides e marque a nota (marque 10 se a tarefa for composta)
Desenhe um problema e resolva-o. O aluno defende o problema que compilou no quadro-negro. Figura 6 e Figura 7.
Capítulo 2, §3
Tarefa.2. Os comprimentos de todas as arestas de um prisma triangular regular são iguais entre si. Calcule o volume do prisma se sua área de superfície é cm 2 (Fig. 8)
Capítulo 2, §3
Tarefa 5. A base do prisma reto ABCA 1B 1C1 é um triângulo retângulo ABC (ângulo ABC=90°), AB=4cm. Calcule o volume do prisma se o raio do triângulo circunscrito ABC for 2,5 cm e a altura do prisma for 10 cm. (Figura 9).
Capítulo 2, § 3
Problema 29. O comprimento do lado da base de um prisma quadrangular regular é 3 cm. A diagonal do prisma forma um ângulo de 30° com o plano da face lateral. Calcule o volume do prisma (Figura 10).
Objetivo: resumir os resultados do aquecimento teórico (os alunos atribuem notas uns aos outros), aprendendo a resolver problemas sobre o tema.
Nesta fase, o professor organiza um trabalho frontal de repetição de métodos de resolução de problemas planimétricos, fórmulas planimétricas. A turma é dividida em dois grupos, alguns resolvem problemas, outros trabalham no computador. Então eles mudam. Os alunos são convidados a resolver todos os n.º 8 (oralmente), n.º 9 (oralmente). Depois são divididos em grupos e transgridem para resolver os problemas nº 14, nº 30, nº 32.
Capítulo 2, §3, página 66-67
Problema 8. Todas as arestas de um prisma triangular regular são iguais entre si. Encontre o volume do prisma se a área da seção transversal do plano que passa pela borda da base inferior e o meio do lado da base superior for cm (Fig. 11).
Capítulo 2, §3, página 66-67
Problema 9. A base de um prisma reto é um quadrado e suas arestas laterais são duas vezes o lado da base. Calcule o volume do prisma se o raio do círculo circunscrito próximo à seção do prisma por um plano que passa pelo lado da base e o meio da aresta do lado oposto é igual a (Fig. 12)
Capítulo 2, §3, página 66-67
Tarefa 14.A base de um prisma reto é um losango, cujas diagonais são iguais ao seu lado. Calcule o perímetro da seção por um plano que passa pela diagonal maior da base inferior, se o volume do prisma for igual e todas as faces laterais forem quadradas (Fig. 13).
Capítulo 2, §3, página 66-67
Problema 30.ABCA 1 B 1 C 1 é um prisma triangular regular, cujas arestas são iguais entre si, o ponto sobre o meio da aresta BB 1. Calcule o raio do círculo inscrito na seção do prisma pelo plano AOS, se o volume do prisma for igual (Fig. 14).
Capítulo 2, §3, página 66-67
Problema 32.Em um prisma quadrangular regular, a soma das áreas das bases é igual à área da superfície lateral. Calcule o volume do prisma se o diâmetro do círculo circunscrito próximo à seção do prisma por um plano que passa por dois vértices da base inferior e o vértice oposto da base superior é de 6 cm (Fig. 15).
Enquanto resolvem os problemas, os alunos comparam suas respostas com as apresentadas pelo professor. Este é um exemplo de resolução de um problema com comentários detalhados... Trabalho individual de um professor com alunos “fortes” (10 min.).
1. O lado da base de um prisma triangular regular é , e a altura é 5. Encontre o volume do prisma.
1) 152) 45 3) 104) 125) 18
2. Escolha a afirmação correta.
1) O volume de um prisma reto, cuja base é um triângulo retângulo, é igual ao produto da área da base pela altura.
2) O volume de um prisma triangular regular é calculado pela fórmula V \u003d 0,25a 2 h - onde a é o lado da base, h é a altura do prisma.
3) O volume de um prisma reto é igual à metade do produto da área da base e da altura.
4) O volume de um prisma quadrangular regular é calculado pela fórmula V \u003d a 2 h-onde a é o lado da base, h é a altura do prisma.
5) O volume de um prisma hexagonal regular é calculado pela fórmula V \u003d 1,5a 2 h, onde a é o lado da base, h é a altura do prisma.
3. O lado da base de um prisma triangular regular é igual a. Um plano é desenhado através do lado da base inferior e do topo oposto da base superior, que passa em um ângulo de 45° em relação à base. Encontre o volume do prisma.
1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125
4. A base de um prisma reto é um losango, cujo lado é 13 e uma das diagonais é 24. Encontre o volume do prisma se a diagonal da face lateral for 14.
