Inteiros

A definição de números naturais são inteiros positivos. Os números naturais são usados ​​para contar objetos e para muitos outros propósitos. Aqui estão os números:

Esta é uma série natural de números.
Zero é um número natural? Não, zero não é um número natural.
Quantos números naturais existem? Existe um conjunto infinito de números naturais.
Qual é o menor número natural? Um é o menor número natural.
Qual é o maior número natural? Não pode ser especificado, porque existe um conjunto infinito de números naturais.

A soma dos números naturais é um número natural. Então, a adição dos números naturais a e b:

O produto de números naturais é um número natural. Então, o produto dos números naturais a e b:

c é sempre um número natural.

Diferença de números naturais Nem sempre existe um número natural. Se o minuendo for maior que o subtraendo, então a diferença dos números naturais é um número natural, caso contrário não é.

O quociente dos números naturais Nem sempre existe um número natural. Se para os números naturais a e b

onde c é um número natural, significa que a é divisível por b. Neste exemplo, a é o dividendo, b é o divisor, c é o quociente.

O divisor de um número natural é o número natural pelo qual o primeiro número é divisível.

Todo número natural é divisível por 1 e por ele mesmo.

Os números naturais simples são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. Aqui queremos dizer dividido completamente. Exemplo, números 2; 3; 5; 7 só é divisível por 1 e por ele mesmo. São números naturais simples.

Um não é considerado um número primo.

Os números que são maiores que um e que não são primos são chamados de números compostos. Exemplos de números compostos:

Um não é considerado um número composto.

O conjunto dos números naturais consiste em um, números primos e números compostos.

O conjunto dos números naturais é denotado pela letra latina N.

Propriedades de adição e multiplicação de números naturais:

propriedade comutativa de adição

propriedade associativa da adição

(a + b) + c = a + (b + c);

propriedade comutativa da multiplicação

propriedade associativa da multiplicação

(ab)c = a(bc);

propriedade distributiva da multiplicação

A (b + c) = ab + ac;

Números inteiros

Os inteiros são números naturais, zero e o oposto dos números naturais.

Os números opostos aos números naturais são inteiros negativos, por exemplo:

1; -2; -3; -4;...

O conjunto de inteiros é denotado pela letra latina Z.

Números racionais

Os números racionais são inteiros e frações.

Qualquer número racional pode ser representado como uma fração periódica. Exemplos:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Pode ser visto a partir dos exemplos que qualquer número inteiro é uma fração periódica com um período de zero.

Qualquer número racional pode ser representado como uma fração m/n, onde m é um número inteiro e n é um número natural. Vamos representar o número 3,(6) do exemplo anterior como uma fração.

O tema dos números racionais é bastante extenso. Você pode falar sobre isso sem parar e escrever obras inteiras, sempre surpreendidas por novas fichas.

Para evitar erros no futuro, nesta lição, aprofundaremos um pouco o tópico dos números racionais, extrairemos as informações necessárias e seguiremos em frente.

Conteúdo da lição

O que é um número racional

Um número racional é um número que pode ser representado como uma fração, onde uma -é o numerador de uma fração bé o denominador da fração. E b não deve ser zero, pois a divisão por zero não é permitida.

Os números racionais incluem as seguintes categorias de números:

• inteiros (por exemplo -2, -1, 0 1, 2, etc.)

• frações decimais (por exemplo 0,2 etc.)

• infinitas frações periódicas (por exemplo, 0, (3), etc.)

Cada número nesta categoria pode ser representado como uma fração.

Exemplo 1 O inteiro 2 pode ser representado como uma fração. Portanto, o número 2 se aplica não apenas aos números inteiros, mas também aos racionais.

Exemplo 2 Um número misto pode ser representado como uma fração. Esta fração é obtida convertendo o número misto em uma fração imprópria.

Portanto, um número misto é um número racional.

Exemplo 3 O decimal 0,2 pode ser representado como uma fração. Esta fração foi obtida convertendo a fração decimal 0,2 em uma fração ordinária. Se você está tendo dificuldade neste momento, repita o tópico.

Como a fração decimal 0,2 pode ser representada como uma fração, isso significa que também se aplica a números racionais.

Exemplo 4 A fração periódica infinita 0, (3) pode ser representada como uma fração . Esta fração é obtida convertendo uma fração periódica pura em uma fração ordinária. Se você está tendo dificuldade neste momento, repita o tópico.

Como a fração periódica infinita 0, (3) pode ser representada como uma fração, isso significa que ela também pertence aos números racionais.

No futuro, todos os números que podem ser representados como uma fração, chamaremos cada vez mais uma frase - números racionais.

Números racionais na linha de coordenadas

Consideramos a linha de coordenadas quando estudamos números negativos. Lembre-se de que esta é uma linha reta na qual se encontram muitos pontos. Do seguinte modo:

Esta figura mostra um pequeno fragmento da linha de coordenadas de -5 a 5.

Não é difícil marcar inteiros da forma 2, 0, −3 na linha de coordenadas.

As coisas são muito mais interessantes com o resto dos números: com frações ordinárias, números mistos, frações decimais, etc. Esses números estão entre números inteiros e existem infinitamente muitos desses números.

Por exemplo, vamos marcar um número racional na linha de coordenadas. Este número está exatamente entre zero e um.

Vamos tentar entender por que a fração está repentinamente localizada entre zero e um.

Como mencionado acima, entre os números inteiros estão outros números - frações ordinárias, frações decimais, números mistos, etc. Por exemplo, se você aumentar a seção da linha de coordenadas de 0 para 1, poderá ver a seguinte imagem

Pode-se ver que entre os inteiros 0 e 1 já existem outros números racionais, que são frações decimais familiares para nós. Nossa fração também é visível aqui, que está localizada no mesmo lugar que a fração decimal 0,5. Um exame cuidadoso desta figura dá uma resposta à pergunta por que a fração está localizada exatamente ali.

Uma fração significa dividir 1 por 2. E se dividirmos 1 por 2, obtemos 0,5

A fração decimal 0,5 pode ser disfarçada como outras frações. Pela propriedade básica de uma fração, sabemos que se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número, o valor da fração não mudará.

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados por qualquer número, por exemplo, pelo número 4, obteremos uma nova fração, e essa fração também será igual a 0,5

Isso significa que na linha de coordenadas, a fração pode ser colocada no mesmo local onde a fração estava localizada

Exemplo 2 Vamos tentar marcar um número racional na coordenada. Este número está localizado exatamente entre os números 1 e 2

O valor da fração é 1,5

Se aumentarmos a seção da linha de coordenadas de 1 para 2, veremos a seguinte imagem:

Pode-se ver que entre os inteiros 1 e 2 já existem outros números racionais, que são frações decimais familiares para nós. Nossa fração também é visível aqui, que está localizada no mesmo lugar que a fração decimal 1,5.

Aumentamos alguns segmentos na linha de coordenadas para ver o restante dos números neste segmento. Como resultado, encontramos frações decimais que tinham um dígito após o ponto decimal.

Mas esses não foram os únicos números encontrados nesses segmentos. Existem infinitos números na linha de coordenadas.

É fácil adivinhar que entre frações decimais que possuem um dígito após a vírgula, já existem outras frações decimais que possuem dois dígitos após a vírgula. Em outras palavras, centésimos de um segmento.

Por exemplo, vamos tentar ver os números que estão entre as frações decimais 0,1 e 0,2

Outro exemplo. Decimais que têm dois dígitos após o ponto decimal e estão entre zero e o número racional 0,1 são assim:

Exemplo 3 Marcamos um número racional na linha de coordenadas. Este número racional será muito próximo de zero.

O valor da fração é 0,02

Se aumentarmos o segmento de 0 para 0,1, veremos onde exatamente o número racional está localizado

Pode-se ver que nosso número racional está localizado no mesmo lugar que a fração decimal 0,02.

Exemplo 4 Vamos marcar um número racional 0 na linha de coordenadas, (3)

O número racional 0, (3) é uma fração periódica infinita. Sua parte fracionária nunca termina, é infinita

E como o número 0, (3) tem uma parte fracionária infinita, isso significa que não poderemos encontrar o local exato na linha de coordenadas onde esse número está localizado. Só podemos indicar este local aproximadamente.

O número racional 0,33333… será muito próximo do decimal usual 0,3

Esta figura não mostra a localização exata do número 0,(3). Esta é apenas uma ilustração que mostra quão próxima a fração periódica 0.(3) pode estar do decimal regular 0.3.

Exemplo 5 Marcamos um número racional na linha de coordenadas. Este número racional estará localizado no meio entre os números 2 e 3

Isso é 2 (dois inteiros) e (um segundo). Uma fração também é chamada de "metade". Portanto, marcamos dois segmentos inteiros e outra metade do segmento na linha de coordenadas.

Se traduzirmos um número misto em uma fração imprópria, obtemos uma fração ordinária. Esta fração na linha de coordenadas estará localizada no mesmo lugar que a fração

O valor da fração é 2,5

Se aumentarmos a seção da linha de coordenadas de 2 para 3, veremos a seguinte imagem:

Pode-se ver que nosso número racional está localizado no mesmo lugar que a fração decimal 2,5

Menos antes de um número racional

Na lição anterior, que foi chamada, aprendemos a dividir inteiros. O dividendo e o divisor podem ser números positivos e negativos.

Considere a expressão mais simples

(−6) : 2 = −3

Nesta expressão, o dividendo (−6) é um número negativo.

Agora considere a segunda expressão

6: (−2) = −3

Aqui, o divisor (−2) já é um número negativo. Mas em ambos os casos obtemos a mesma resposta -3.

Dado que qualquer divisão pode ser escrita como uma fração, também podemos escrever os exemplos discutidos acima como uma fração:

E como em ambos os casos o valor da fração é o mesmo, o menos no numerador ou no denominador pode ser tornado comum colocando-o na frente da fração

Portanto, entre as expressões e e você pode colocar um sinal de igual, pois elas carregam o mesmo valor

Futuramente, trabalhando com frações, se encontrarmos um menos no numerador ou no denominador, tornaremos esse menos comum, colocando-o na frente da fração.

Números racionais opostos

Como um número inteiro, um número racional tem seu número oposto.

Por exemplo, para um número racional, o número oposto é . Ele está localizado na linha de coordenadas simetricamente à localização relativa à origem. Em outras palavras, ambos os números são equidistantes da origem

Converter números mistos em frações impróprias

Sabemos que para converter um número misto em uma fração imprópria, você precisa multiplicar a parte inteira pelo denominador da parte fracionária e somar ao numerador da parte fracionária. O número resultante será o numerador da nova fração, enquanto o denominador permanece o mesmo.

Por exemplo, vamos converter um número misto em uma fração imprópria

Multiplique a parte inteira pelo denominador da parte fracionária e some o numerador da parte fracionária:

Vamos calcular esta expressão:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

O número resultante 5 será o numerador da nova fração, e o denominador permanecerá o mesmo:

Todo o processo é escrito da seguinte forma:

Para retornar o número misto original, basta selecionar a parte inteira na fração

Mas essa maneira de converter um número misto em uma fração imprópria só é aplicável se o número misto for positivo. Para um número negativo, esse método não funcionará.

Vamos considerar uma fração. Vamos pegar a parte inteira dessa fração. Pegue

Para retornar a fração original, você precisa converter o número misto em uma fração imprópria. Mas se usarmos a regra antiga, a saber, multiplicamos a parte inteira pelo denominador da parte fracionária e adicionamos o numerador da parte fracionária ao número resultante, obtemos a seguinte contradição:

Recebemos uma fração, mas deveríamos ter recebido uma fração.

Concluímos que o número misto foi traduzido incorretamente em fração imprópria

Para traduzir corretamente um número misto negativo em uma fração imprópria, você precisa multiplicar a parte inteira pelo denominador da parte fracionária e do número resultante subtrair numerador fracionário. Neste caso, tudo vai se encaixar

Um número misto negativo é o oposto de um número misto. Se o número misto positivo estiver localizado no lado direito e se parecer com isso

Números racionais

quartos

1. Ordem. uma e b existe uma regra que permite identificar exclusivamente entre eles uma e apenas uma das três relações: “< », « >' ou ' = '. Essa regra é chamada regra de ordenação e é formulado da seguinte forma: dois números não negativos e estão relacionados pela mesma relação que dois inteiros e ; dois números não positivos uma e b estão relacionados pela mesma relação que dois números não negativos e ; se de repente uma não negativo e b- negativo, então uma > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   soma de frações

2. operação de adição. Para quaisquer números racionais uma e b existe um chamado regra de somatória c. No entanto, o próprio número c chamado soma números uma e b e é denotado , e o processo de encontrar tal número é chamado soma. A regra de soma tem a seguinte forma: .
3. operação de multiplicação. Para quaisquer números racionais uma e b existe um chamado regra de multiplicação, o que os coloca em correspondência com algum número racional c. No entanto, o próprio número c chamado trabalhar números uma e b e é denotado , e o processo de encontrar tal número também é chamado multiplicação. A regra de multiplicação é a seguinte: .
4. Transitividade da relação de ordem. Para qualquer triplo de números racionais uma , b e c E se uma menos b e b menos c, então uma menos c, e se umaé igual a b e bé igual a c, então umaé igual a c. 6435">Comutatividade da adição. A soma não muda ao mudar os lugares dos termos racionais.
5. Associatividade de adição. A ordem em que três números racionais são adicionados não afeta o resultado.
6. A presença de zero. Existe um número racional 0 que preserva todos os outros números racionais quando somados.
7. A presença de números opostos. Qualquer número racional tem um número racional oposto, que, quando somado, dá 0.
8. Comutatividade da multiplicação. Ao mudar os lugares dos fatores racionais, o produto não muda.
9. Associatividade da multiplicação. A ordem em que três números racionais são multiplicados não afeta o resultado.
10. A presença de uma unidade. Existe um número racional 1 que preserva todos os outros números racionais quando multiplicado.
11. A presença de recíprocos. Qualquer número racional tem um número racional inverso, que, quando multiplicado, dá 1.
12. Distributividade da multiplicação em relação à adição. A operação de multiplicação é consistente com a operação de adição através da lei de distribuição:
13. Ligação da relação de ordem com a operação de adição. O mesmo número racional pode ser adicionado aos lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma de Arquimedes. Qualquer que seja o número racional uma, você pode pegar tantas unidades que a soma delas excederá uma. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriedades adicionais

Todas as outras propriedades inerentes aos números racionais não são destacadas como básicas, porque, em geral, elas não são mais baseadas diretamente nas propriedades dos números inteiros, mas podem ser provadas com base nas propriedades básicas dadas ou diretamente pela definição de algum objeto matemático. Existem muitas dessas propriedades adicionais. Faz sentido aqui citar apenas alguns deles.

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Definir contagem

Numeração de números racionais

Para estimar o número de números racionais, você precisa encontrar a cardinalidade de seu conjunto. É fácil provar que o conjunto dos números racionais é contável. Para isso, basta fornecer um algoritmo que enumere os números racionais, ou seja, estabeleça uma bijeção entre os conjuntos dos números racionais e naturais.

O mais simples desses algoritmos é o seguinte. Uma tabela infinita de frações ordinárias é compilada, em cada eu-ésima linha em cada jª coluna da qual é uma fração. Por definição, assume-se que as linhas e colunas desta tabela são numeradas a partir de um. As células da tabela são indicadas , onde eu- o número da linha da tabela em que a célula está localizada e j- número da coluna.

A tabela resultante é gerenciada por uma "cobra" de acordo com o seguinte algoritmo formal.

Essas regras são pesquisadas de cima para baixo e a próxima posição é selecionada pela primeira correspondência.

No processo de tal desvio, cada novo número racional é atribuído ao próximo número natural. Ou seja, as frações 1 / 1 recebem o número 1, as frações 2 / 1 - o número 2, etc. Deve-se notar que apenas as frações irredutíveis são numeradas. O sinal formal de irredutibilidade é a igualdade à unidade do máximo divisor comum do numerador e denominador da fração.

Seguindo este algoritmo, pode-se enumerar todos os números racionais positivos. Isso significa que o conjunto dos números racionais positivos é contável. É fácil estabelecer uma bijeção entre os conjuntos dos números racionais positivos e negativos, simplesmente atribuindo a cada número racional seu oposto. Este. o conjunto dos números racionais negativos também é contável. Sua união também é contável pela propriedade de conjuntos contáveis. O conjunto dos números racionais também é contável como a união de um conjunto contável com um finito.

A afirmação sobre a enumerabilidade do conjunto dos números racionais pode causar alguma perplexidade, pois à primeira vista tem-se a impressão de que é muito maior que o conjunto dos números naturais. Na verdade, este não é o caso, e há números naturais suficientes para enumerar todos os racionais.

Insuficiência de números racionais

A hipotenusa de tal triângulo não é expressa por nenhum número racional

Números racionais da forma 1 / n em geral n quantidades arbitrariamente pequenas podem ser medidas. Este fato cria uma impressão enganosa de que os números racionais podem medir qualquer distância geométrica em geral. É fácil mostrar que isso não é verdade.

Notas

Literatura

• I. Kushnir. Manual de matemática para crianças em idade escolar. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P.S. Alexandrov. Introdução à teoria dos conjuntos e topologia geral. - M.: cabeça. ed. Phys.-Math. aceso. ed. "Ciência", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Introdução à teoria dos sistemas algébricos

Links

Fundação Wikimedia. 2010.

Definição de números racionais

Os números racionais são:

• Números naturais que podem ser representados como uma fração. Por exemplo, $7=\frac(7)(1)$.
• Inteiros, incluindo o número zero, que podem ser expressos como frações positivas ou negativas, ou como zero. Por exemplo, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Frações ordinárias (positivas ou negativas).
• Números mistos que podem ser representados como uma fração comum imprópria. Por exemplo, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ e $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Um decimal finito e uma fração periódica infinita, que pode ser representada como uma fração comum. Por exemplo, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Observação 1

Observe que uma fração decimal infinita não periódica não se aplica a números racionais, porque não pode ser representado como uma fração ordinária.

Exemplo 1

Os números naturais $7, 670, 21 \ 456$ são racionais.

Os inteiros $76, -76, 0, -555 \ 666$ são racionais.

Frações ordinárias $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ são números racionais .

Assim, os números racionais são divididos em positivos e negativos. Zero é um número racional, mas não é um número racional positivo ou negativo.

Vamos formular uma definição mais curta de números racionais.

Definição 3

Racional números de telefone que podem ser representados como uma fração decimal periódica finita ou infinita.

As seguintes conclusões podem ser desenhadas:

• inteiros positivos e negativos e números fracionários pertencem ao conjunto de números racionais;
• os números racionais podem ser representados como uma fração que tem um numerador inteiro e um denominador natural e é um número racional;
• números racionais podem ser representados como qualquer decimal periódico que é um número racional.

Como determinar se um número é racional

1. O número é dado como uma expressão numérica, que consiste apenas em números racionais e sinais de operações aritméticas. Neste caso, o valor da expressão será um número racional.
2. A raiz quadrada de um número natural é um número racional somente se a raiz for um número que é o quadrado perfeito de algum número natural. Por exemplo, $\sqrt(9)$ e $\sqrt(121)$ são números racionais porque $9=3^2$ e $121=11^2$.
3. A raiz $n$th de um inteiro é um número racional somente se o número sob o sinal da raiz for a potência $n$th de algum inteiro. Por exemplo, $\sqrt(8)$ é um número racional, porque $8=2^3$.

Os números racionais são densos em todo o eixo dos números: entre cada dois números racionais que não são iguais entre si, pelo menos um número racional pode ser localizado (portanto, um número infinito de números racionais). Ao mesmo tempo, o conjunto dos números racionais é caracterizado por uma cardinalidade contável (ou seja, todos os elementos do conjunto podem ser numerados). Os antigos gregos provaram que existem números que não podem ser escritos como uma fração. Eles mostraram que não existe um número racional cujo quadrado seja igual a $2$. Então os números racionais não foram suficientes para expressar todas as quantidades, o que mais tarde levou ao aparecimento dos números reais. O conjunto dos números racionais, ao contrário dos números reais, é de dimensão zero.

Números racionais

quartos

1. Ordem. uma e b existe uma regra que permite identificar exclusivamente entre eles uma e apenas uma das três relações: “< », « >' ou ' = '. Essa regra é chamada regra de ordenação e é formulado da seguinte forma: dois números não negativos e estão relacionados pela mesma relação que dois inteiros e ; dois números não positivos uma e b estão relacionados pela mesma relação que dois números não negativos e ; se de repente uma não negativo e b- negativo, então uma > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   soma de frações

2. operação de adição. Para quaisquer números racionais uma e b existe um chamado regra de somatória c. No entanto, o próprio número c chamado soma números uma e b e é denotado , e o processo de encontrar tal número é chamado soma. A regra de soma tem a seguinte forma: .
3. operação de multiplicação. Para quaisquer números racionais uma e b existe um chamado regra de multiplicação, o que os coloca em correspondência com algum número racional c. No entanto, o próprio número c chamado trabalhar números uma e b e é denotado , e o processo de encontrar tal número também é chamado multiplicação. A regra de multiplicação é a seguinte: .
4. Transitividade da relação de ordem. Para qualquer triplo de números racionais uma , b e c E se uma menos b e b menos c, então uma menos c, e se umaé igual a b e bé igual a c, então umaé igual a c. 6435">Comutatividade da adição. A soma não muda ao mudar os lugares dos termos racionais.
5. Associatividade de adição. A ordem em que três números racionais são adicionados não afeta o resultado.
6. A presença de zero. Existe um número racional 0 que preserva todos os outros números racionais quando somados.
7. A presença de números opostos. Qualquer número racional tem um número racional oposto, que, quando somado, dá 0.
8. Comutatividade da multiplicação. Ao mudar os lugares dos fatores racionais, o produto não muda.
9. Associatividade da multiplicação. A ordem em que três números racionais são multiplicados não afeta o resultado.
10. A presença de uma unidade. Existe um número racional 1 que preserva todos os outros números racionais quando multiplicado.
11. A presença de recíprocos. Qualquer número racional tem um número racional inverso, que, quando multiplicado, dá 1.
12. Distributividade da multiplicação em relação à adição. A operação de multiplicação é consistente com a operação de adição através da lei de distribuição:
13. Ligação da relação de ordem com a operação de adição. O mesmo número racional pode ser adicionado aos lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma de Arquimedes. Qualquer que seja o número racional uma, você pode pegar tantas unidades que a soma delas excederá uma. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriedades adicionais

Todas as outras propriedades inerentes aos números racionais não são destacadas como básicas, porque, em geral, elas não são mais baseadas diretamente nas propriedades dos números inteiros, mas podem ser provadas com base nas propriedades básicas dadas ou diretamente pela definição de algum objeto matemático. Existem muitas dessas propriedades adicionais. Faz sentido aqui citar apenas alguns deles.

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Definir contagem

Numeração de números racionais

Para estimar o número de números racionais, você precisa encontrar a cardinalidade de seu conjunto. É fácil provar que o conjunto dos números racionais é contável. Para isso, basta fornecer um algoritmo que enumere os números racionais, ou seja, estabeleça uma bijeção entre os conjuntos dos números racionais e naturais.

O mais simples desses algoritmos é o seguinte. Uma tabela infinita de frações ordinárias é compilada, em cada eu-ésima linha em cada jª coluna da qual é uma fração. Por definição, assume-se que as linhas e colunas desta tabela são numeradas a partir de um. As células da tabela são indicadas , onde eu- o número da linha da tabela em que a célula está localizada e j- número da coluna.

A tabela resultante é gerenciada por uma "cobra" de acordo com o seguinte algoritmo formal.

Essas regras são pesquisadas de cima para baixo e a próxima posição é selecionada pela primeira correspondência.

No processo de tal desvio, cada novo número racional é atribuído ao próximo número natural. Ou seja, as frações 1 / 1 recebem o número 1, as frações 2 / 1 - o número 2, etc. Deve-se notar que apenas as frações irredutíveis são numeradas. O sinal formal de irredutibilidade é a igualdade à unidade do máximo divisor comum do numerador e denominador da fração.

Seguindo este algoritmo, pode-se enumerar todos os números racionais positivos. Isso significa que o conjunto dos números racionais positivos é contável. É fácil estabelecer uma bijeção entre os conjuntos dos números racionais positivos e negativos, simplesmente atribuindo a cada número racional seu oposto. Este. o conjunto dos números racionais negativos também é contável. Sua união também é contável pela propriedade de conjuntos contáveis. O conjunto dos números racionais também é contável como a união de um conjunto contável com um finito.

A afirmação sobre a enumerabilidade do conjunto dos números racionais pode causar alguma perplexidade, pois à primeira vista tem-se a impressão de que é muito maior que o conjunto dos números naturais. Na verdade, este não é o caso, e há números naturais suficientes para enumerar todos os racionais.

Insuficiência de números racionais

A hipotenusa de tal triângulo não é expressa por nenhum número racional

Números racionais da forma 1 / n em geral n quantidades arbitrariamente pequenas podem ser medidas. Este fato cria uma impressão enganosa de que os números racionais podem medir qualquer distância geométrica em geral. É fácil mostrar que isso não é verdade.

Notas

Literatura

• I. Kushnir. Manual de matemática para crianças em idade escolar. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P.S. Alexandrov. Introdução à teoria dos conjuntos e topologia geral. - M.: cabeça. ed. Phys.-Math. aceso. ed. "Ciência", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Introdução à teoria dos sistemas algébricos

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Fundação Wikimedia. 2010.