Arranjo mútuo de um ponto e um círculo. Ficha didática sobre geometria "Arranjo mútuo de uma linha reta e um círculo

Círculo- uma figura geométrica que consiste em todos os pontos do plano localizados a uma determinada distância de um determinado ponto.

Este ponto (O) é chamado centro do círculo.
Raio do círculoé um segmento de reta que liga o centro a um ponto da circunferência. Todos os raios têm o mesmo comprimento (por definição).
Acorde Um segmento de linha que conecta dois pontos em um círculo. A corda que passa pelo centro da circunferência é chamada diâmetro. O centro de um círculo é o ponto médio de qualquer diâmetro.
Quaisquer dois pontos no círculo dividem-no em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada arco circular. O arco é chamado semicírculo se o segmento que liga suas extremidades é um diâmetro.
O comprimento de um semicírculo unitário é denotado por π .
A soma das medidas em graus de dois arcos circulares com extremidades comuns é 360º.
A parte do plano limitada por um círculo é chamada por aí.
setor circular- uma parte de um círculo delimitado por um arco e dois raios ligando as extremidades do arco com o centro do círculo. O arco que limita o setor é chamado arco do setor.
Dois círculos que têm um centro comum são chamados concêntrico.
Dois círculos que se interceptam em ângulos retos são chamados ortogonal.

Arranjo mútuo de uma linha reta e um círculo

  1. Se a distância do centro do círculo à linha reta for menor que o raio do círculo ( d), então a linha e o círculo têm dois pontos comuns. Neste caso, a linha é chamada secante em relação ao círculo.
  2. Se a distância do centro do círculo à linha é igual ao raio do círculo, então a linha e o círculo têm apenas um ponto comum. Tal linha é chamada tangente ao círculo, e seu ponto comum é chamado ponto de contato entre uma linha e um círculo.
  3. Se a distância do centro do círculo à linha for maior que o raio do círculo, então a linha e o círculo não tem pontos comuns
    4. .

Ângulos centrais e inscritos

Canto centralé o ângulo com o vértice no centro da circunferência.
Ângulo inscrito Um ângulo cujo vértice está no círculo e cujos lados interceptam o círculo.

Teorema do ângulo inscrito

Um ângulo inscrito é medido pela metade do arco que ele intercepta.

  • Consequência 1.
    Ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são iguais.

  • Consequência 2.
    Um ângulo inscrito que intercepta um semicírculo é um ângulo reto.

Teorema sobre o produto de segmentos de cordas que se interceptam.

Se duas cordas de um círculo se cruzam, então o produto dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra corda.

Fórmulas básicas

  • Circunferência:
C = 2∙π∙R
  • Comprimento do arco:
R \u003d C / (2 ∙ π) \u003d D / 2
  • Diâmetro:
D = C/π = 2∙R
  • Comprimento do arco:
l = (π∙R) / 180∙α,
Onde α - medida em graus do comprimento de um arco de círculo)
  • Área de um círculo:
S = π∙R2
  • Área do setor circular:
S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Equação do círculo

  • Em um sistema de coordenadas retangulares, a equação para um círculo de raio r centrado em um ponto C(x o; y o) tem a forma:
(x - x o) 2 + (y - y o) 2 \u003d r 2
  • A equação para um círculo de raio r centrado na origem é:
x 2 + y 2 = r 2

folha de estudo

sobre o tema “Arranjo mútuo de uma linha reta e um círculo. Arranjo mútuo de dois círculos "

(3 horas)

SER CAPAZ DE:

Condições para a posição relativa de uma linha reta e um círculo;

Definição de secante e tangente a um círculo;

Propriedades de uma tangente a um círculo;

Teorema da perpendicularidade do diâmetro e da corda e sua inversa;

Condições para a posição relativa de dois círculos;

Definição de círculos concêntricos.

Desenhe uma tangente a um círculo;

Use as propriedades de uma tangente ao resolver problemas;

Resolver problemas de aplicação do teorema da perpendicularidade do diâmetro e da corda;

Resolva problemas sobre as condições da posição relativa de uma linha reta e um círculo e dois círculos.

Como resultado do estudo do tópico, você precisa:

Literatura:

1. Geometria. 7 ª série. Zh. Kaidasov, G. Dosmagambetova, V. Abdiev. Almaty "Mektep". 2012

2. Geometria. 7 ª série. K.O. Bukubaeva, A.T. Mirazova. AlmatyAtamura". 2012

3. Geometria. 7 ª série. Guia metodológico. K.O. Bukubaeva. AlmatyAtamura". 2012

4. Geometria. 7 ª série. material didático. A.N.Shynybekov. AlmatyAtamura". 2012

5. Geometria. 7 ª série. Coleção de tarefas e exercícios. K.O. Bukubaeva, A.T. Mirazova. AlmatyAtamura". 2012

Adquirir conhecimento é coragem,

Multiplicá-los é sabedoria,

E aplicá-los habilmente é uma grande arte.

Lembre-se de que você precisa trabalhar de acordo com o algoritmo.

Não se esqueça de passar no teste, fazer anotações nas margens, preencher a folha de classificação do tópico.

Por favor, não deixe nenhuma pergunta sem resposta.

Seja objetivo durante a revisão por pares, isso ajudará você e a pessoa que você está verificando.

Eu te desejo sucesso!

EXERCÍCIO 1

1) Considere em arranjo mútuo de uma linha reta e um círculo e preencha a tabela (3b):

Caso 1: Uma linha reta não tem ponto comum com um círculo.(não cruze)

uma d

ré o raio do círculo

d > r ,

Caso 2 : Uma linha e um círculo têm apenas um ponto comum (interesse)

d- distância de um ponto (centro do círculo) a uma linha reta

ré o raio do círculo

uma - tangente

d = r ,

Caso 3: Uma linha tem dois pontos em comum com um círculo.(cruzar)

d- distância de um ponto (centro do círculo) a uma linha reta

ré o raio do círculo

AB - acorde secante

d < r ,

Condições de interação (distância à linha reta e raio (d er))

Número de pontos comuns

2) Leia definições, teoremas, corolários e aprenda-os (5b):

Definição: Uma linha que tem dois pontos em comum com um círculo é chamada secante.

Definição : Uma linha reta que tem apenas um ponto comum com um círculo e é perpendicular ao raio é chamada tangente ao círculo.

Teorema 1:

O diâmetro de um círculo que divide uma corda ao meio é perpendicular a essa corda.

Teorema 2 (o oposto do Teorema 1):

Se o diâmetro do círculo for perpendicular à corda, ele dividirá a corda em duas partes iguais.

Corolário 1 : Se a distância do centro do círculo à linha secante for menor que o comprimento do raio do círculo, então a linha intercepta o círculo em dois pontos.

Consequência 2: As cordas de um círculo que estão à mesma distância do centro são iguais.

Teorema 3: A tangente é perpendicular ao raio desenhado para o ponto de contato.

Corolário 3 : Se a distância do centro do círculo à linha é igual ao raio do círculo, então a linha é tangente.

A PARTIR DE consequência 4 : Se a distância do centro do círculo à linha for maior que o raio do círculo, a linha não cruzará o círculo.

Teorema 4:

Os segmentos das tangentes ao círculo, desenhados a partir de um ponto, são iguais e fazem ângulos iguais com a linha que passa por este ponto e o centro do círculo.

3) Responda as questões (3b):

1) Como uma linha reta e um círculo podem ser localizados em um plano?

2) Uma reta pode ter três pontos em comum com um círculo?

3) Como uma tangente a um círculo deve ser traçada através de um ponto situado no círculo?

4) Quantas tangentes podem ser desenhadas para um círculo através de um ponto:

a) deitado em um círculo;

b) deitado dentro do círculo;

c) fora do círculo?

5) Dado um círculo ω (O; r) e um ponto A situado dentro do círculo. Quantos pontos de interseção terão: a) reta OA; b) feixe OA; c) segmento OA?

6) Como dividir a corda de um círculo ao meio?

APROVAÇÃO NO TESTE #1

TAREFA 2

1) Leia o texto e observe as imagens. Faça desenhos em seu caderno, anote as conclusões e aprenda-as (3b):

Considere possíveis casos de arranjo mútuo de dois círculos. A posição relativa de dois círculos está relacionada à distância entre seus centros.

P
círculos que se cruzam: dois círculoscruzar, se eles têmdois pontos comuns. DeixarR 1 eR 2 - raios dos círculosω 1 eω 2 , d é a distância entre seus centros. círculosω 1 eω 2 se cruzam se e somente se os númerosR 1 , R 2 , d são os comprimentos dos lados de algum triângulo, ou seja, eles satisfazem todas as desigualdades do triângulo:

R 1 + R 2 > d , R 1 + d > R 2 , R 2 + d > R 1 .

Conclusão: Se um R 1 + R 2 > d ou | R 1 − R 2 | < d, então os círculos se cruzam em dois pontos.

Círculo de toque: dois círculosinteresse, se eles têmum ponto comum. Tem uma tangente comumuma . DeixarR 1 eR 2 - raios dos círculosω 1 eω 2 , d

Círculos tocamexteriormente se eles se localizassem

dentro
não um ao outro. Com tangência externa, os centros dos círculos estão em lados opostos de sua tangente comum. círculosω 1 eω 2 tocar externamente se e somente seR 1 + R 2 = d .

O círculos se tocaminternamente se um deles estiver dentro do outro. Ao tocar externamente, os centros dos círculos ficam do mesmo lado de sua tangente comum. círculosω 1 eω 2 tocar internamente se e somente se| R 1 − R 2 |= d .

Conclusão: Se um R 1 + R 2 = d ou | R 1 − R 2 |= d , então os círculos se tocam em um ponto comum sobre uma linha reta que passa pelos centros dos círculos.

H círculos que se cruzam: dois círculosnão cruze , se elesnão tem pontos comuns . Nesse caso, um deles está dentro do outro, ou estão fora um do outro.

P bocaR 1 eR 2 - raios dos círculosω 1 eω 2 , d é a distância entre seus centros.

Círculo ω 1 e ω 2 localizados fora um do outro se e somente se R 1 + R 2 < d . Círculo ω 1 está dentro ω 2 se e apenas se | R 1 − R 2 | > d .

Conclusão:Se umR 1 + R 2 < d ou | R 1 − R 2 | > d, então os círculos não se cruzam.

2) Anote a definição e aprenda-a (1b):

Definição: Círculos que têm um centro comum são chamados de concêntricos ( d = 0).

3) Responda as questões (3b):

1) Como dois círculos podem ser localizados em um plano?

2) O que determina a localização dos círculos?

3) É verdade que dois círculos podem se cruzar em três pontos?

4) Como estão dispostos os círculos se:

a) a distância entre os centros dos círculos é igual à soma de seus raios;

b) a distância entre os centros dos círculos é menor que a soma de seus raios;

c) a distância entre os centros é maior que a soma de dois raios;

d) a distância entre os centros dos círculos é zero.

5) A qual dos três casos seguintes de arranjo mútuo de dois círculos, os círculos concêntricos pertencem?

6) Qual é o nome da reta que passa pelo ponto de tangência dos círculos?

APROVAÇÃO NO TESTE #2

TAREFA 3

Bem feito! Você pode começartrabalho de verificação número 1.

TAREFA 4

1) Resolva a escolha de problemas pares ou ímpares (2b.):

1. Especifique o número de pontos comuns da linha e do círculo se:

a) a distância da linha reta ao centro do círculo é de 6 cm e o raio do círculo é de 7 cm;

b) a distância da linha reta ao centro do círculo é de 7 cm e o raio do círculo é de 6 cm;

c) a distância da linha reta ao centro do círculo é de 8 cm e o raio do círculo é de 8 cm.

2. Determine a posição relativa da linha e do círculo se:

1. R=16cm, d=12cm; 2. R=8 cm, d=1,2 dm; 3. R=5cm, d=50mm

3. Qual é a posição relativa dos círculos se:

d= 1dm, R 1 = 0,8dm, R 2 = 0,2dm

d = 4 0 cm, R 1 = 110cm, R 2 = 70cm

d= 12cm, R 1 = 5cm, R 2 = 3cm

d= 15dm, R 1 = 10dm, R 2 = 22cm

4. Especifique o número de pontos de interação de dois círculos ao longo dos raios e a distância entre os centros:

a)R= 4cm,r= 3 cm, OO 1 = 9cm; b)R= 10 centímetros,r= 5 cm, OO 1 = 4cm

dentro)R= 4cm,r= 3 cm, OO 1 = 6cm; G)R= 9cm,r= 7 cm, OO 1 = 4cm.

2) Resolva um problema de sua escolha (2b.):

1. Encontre os comprimentos de dois segmentos da corda em que o diâmetro do círculo o divide, se o comprimento da corda for 16 cm e o diâmetro for perpendicular a ela.

2. Encontre o comprimento da corda se o diâmetro for perpendicular a ela e um dos segmentos cortados pelo diâmetro for de 2 cm.

3) Complete a escolha de tarefas de construção pares ou ímpares (2b):

1. Construir dois círculos com raios de 2 cm e 4 cm, cuja distância entre os centros é igual a zero.

2. Desenhe dois círculos de raios diferentes (3 cm e 2 cm) de forma que eles se toquem. Marque a distância entre seus centros com uma linha. Considere suas opções.

3. Construa um círculo com um raio de 3 cm e uma linha reta localizada a uma distância de 4 cm do centro do círculo.

4. Construa um círculo com um raio de 4 cm e uma linha reta localizada a uma distância de 2 cm do centro do círculo.

APROVAÇÃO NO TESTE #4

TAREFA 5

Bem feito! Você pode começartrabalho de verificação número 2.

TAREFA 6

1) Encontre um erro na afirmação e corrija-o fundamentando sua opinião. Escolha quaisquer duas afirmações (4b.):
A) Dois círculos se tocam externamente. Seus raios são R = 8 cm e r = 2 cm, a distância entre os centros é d = 6.
B) Dois círculos têm pelo menos três pontos em comum.
C) R = 4, r = 3, d = 5. Os círculos não têm pontos comuns.
D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. O círculo menor está localizado dentro do maior.
E) Dois círculos não podem ser localizados de modo que um fique dentro do outro.

2) Resolva a escolha de problemas pares ou ímpares (66.):

1. Dois círculos se tocam. O raio do círculo maior é 19 cm e o raio do círculo menor é 4 cm menor. Encontre a distância entre os centros dos círculos.

2. Dois círculos se tocam. O raio do círculo maior é 26 cm e o raio do círculo menor é 2 vezes menor. Encontre a distância entre os centros dos círculos.

3. Pegue dois pontosD eF de modo aDF = 6 cm . Desenhe dois círculos(D, 2cm) e(F, 3cm). Como esses dois círculos estão localizados? Faça uma conclusão.

4. Distância entre pontosMAS eNO é igual a7 cm Desenhe círculos centrados em pontosMAS eNO , com raios iguais a3 cm e4 cm . Como estão dispostos os círculos? Faça uma conclusão.

5. Entre dois círculos concêntricos com raios de 4 cm e 8 cm, um terceiro círculo é localizado de forma que toque os dois primeiros círculos. Qual é o raio desse círculo?

6. Círculos cujos raios são 6 cm e 2 cm se cruzam. Além disso, o círculo maior passa pelo centro do círculo menor. Encontre a distância entre os centros dos círculos.

APROVAÇÃO NO TESTE #6

Trabalho de verificação nº 1

Escolha uma das opções de teste e resolva (10 questões, 1 ponto para cada):

1. Uma linha que tem dois pontos em comum com um círculo é chamada de...

A) um acorde B) diâmetro

C) secante; D) tangente.

2. Através de um ponto situado em um círculo, você pode desenhar ...... .. tangentes

Um; B) dois

3. Se a distância do centro do círculo à linha reta for menor que o comprimento do raio do círculo, a linha reta ...

D) não há resposta correta.

4. Se a distância do centro do círculo à linha reta for maior que o raio do círculo, a linha reta ...

A) toca o círculo em um ponto; C) intercepta o círculo em dois pontos;

C) não cruza com um círculo;

D) não há resposta correta.

5. Os círculos não se cruzam e não se tocam se ...

MAS)R 1 + R 2 = d ; NO)R 1 + R 2 < d ;

A PARTIR DE)R 1 + R 2 > d ; D)d=0 .

6. Tangente e raio desenhado no ponto de contato...

A) são paralelas B) são perpendiculares

C) combinar D) não há resposta correta.

7. Os círculos se tocam externamente. O raio do círculo menor é 3 cm, o raio do maior é 5 cm Qual é a distância entre os centros?

8. Qual é a posição relativa de dois círculos se a distância entre os centros é 4 e os raios são 11 e 7:

9. O que pode ser dito sobre a posição relativa da linha e do círculo, se o diâmetro do círculo for de 7,2 cm e a distância do centro do círculo à linha for de 0,4 dm:

10. Dado um círculo com centro O e ponto A. Onde está localizado o ponto A se o raio do círculo é 7 cm e o comprimento do segmento OA é 70 mm?

A) dentro de um círculo B) em um círculo.

C) fora do círculo; D) não há resposta correta.

opção 2

1. Uma linha reta que tem apenas um ponto comum com um círculo e é perpendicular ao raio é chamada ...

A) um acorde B) diâmetro

C) secante; D) tangente.

2. De um ponto que não está no círculo, você pode desenhar para o círculo …….. tangentes

Um; B) dois

C) nenhum D) não há resposta correta.

3. Se a distância do centro do círculo à linha é igual ao raio do círculo, então a linha

A) toca o círculo em um ponto; C) intercepta o círculo em dois pontos;

C) não cruza com um círculo;

D) não há resposta correta.

4. Círculos se cruzam em dois pontos se...

MAS)R 1 + R 2 = d ; NO)R 1 + R 2 < d ;

A PARTIR DE)R 1 + R 2 > d ; D)d=0 .

5. Os círculos se tocam em um ponto se...

MAS)R 1 + R 2 = d ; NO)R 1 + R 2 < d ;

A PARTIR DE)R 1 + R 2 > d ; D)d=0 .

6. Os círculos são chamados concêntricos se ...

MAS)R 1 + R 2 = d ; NO)R 1 + R 2 < d ;

A PARTIR DE)R 1 + R 2 > d ; D)d=0 .

7. Os círculos se tocam internamente. O raio do círculo menor é 3 cm. O raio do círculo maior é 5 cm. Qual é a distância entre os centros dos círculos?

A) 8cm; C) 2 sm; C) 15 cm; D) 3cm.

8. Qual é a posição relativa de dois círculos se a distância entre os centros é 10 e os raios são 8 e 2:

A) toque externo; B) toque interno;

C) cruzar D) não se cruzam.

9. O que pode ser dito sobre a posição relativa da linha e do círculo, se o diâmetro do círculo for de 7,2 cm e a distância do centro do círculo à linha for de 3,25 cm:

Um toque B) não se cruzam.

C) cruzar D) não há resposta correta.

10. Dado um círculo com centro O e ponto A. Onde está o ponto A se o raio do círculo é 7 cm e o comprimento do segmento OA é 4 cm?

A) dentro de um círculo

B) em um círculo.

C) fora do círculo;

D) não há resposta correta.

Classificação: 10 b. - "5", 9 - 8 b. - "4", 7 - 6 b. - "3", 5b. e abaixo - "2"

Trabalho de verificação nº 2

1) Preencha a tabela. Escolha uma das opções (6b):

a)arranjo mútuo de dois círculos:

1. Encontre os comprimentos de dois segmentos da corda, nos quais o diâmetro do círculo o divide, se o comprimento da corda for 0,8 dm e o diâmetro for perpendicular a ela.

2. Encontre o comprimento da corda se o diâmetro for perpendicular a ela e um dos segmentos cortados pelo diâmetro for 0,4 dm.

3) Resolva um problema para escolher (2b):

1. Construa círculos cujos centros sejam menores que a diferença entre seus raios. Marque a distância entre os centros do círculo. Faça uma conclusão.

2. Construir círculos cuja distância entre os centros é igual à diferença entre os raios desses círculos. Marque a distância entre os centros do círculo. Faça uma conclusão.

Classificação: 10 - 9 b. - "5", 8 - 7 b. - "4", 6 - 5 b. - "3", 4b. e abaixo - "2"

LISTA DE CLASSIFICAÇÕES

Objetivo didático: formação de novos conhecimentos.

Objetivos da lição.

Tutoriais:

  • formar conceitos matemáticos: uma tangente a um círculo, a posição relativa de uma recta e um círculo, para conseguir a compreensão e reprodução por parte dos alunos destes conceitos através da realização de trabalhos práticos de investigação.

Economia de saúde:

  • criar um clima psicológico favorável na sala de aula;

Em desenvolvimento:

  • desenvolver o interesse cognitivo dos alunos, a capacidade de explicar, generalizar os resultados, comparar, contrastar, tirar conclusões.

Educacional:

  • educação por meio da matemática da cultura da personalidade.

Formas de estudo:

  • conteúdo - conversação, trabalho prático;
  • na organização das atividades - individual, frontal.

Plano de aula

Blocos Estágios da lição
1 bloco Organizando o tempo.
Preparação para o estudo de novos materiais através da repetição e atualização de conhecimentos básicos.
2 blocos Definição de metas.
3 bloco Introdução ao novo material.
Trabalho prático de pesquisa.
4 bloco Consolidação de novo material através da resolução de problemas
5 bloco Reflexão. Execução do trabalho de acordo com o desenho acabado.
6 bloco Resumindo a lição. Definindo lição de casa.

Equipamento:

  • computador, tela, projetor;
  • Folheto.

Recursos educacionais:

1. Matemática. Livro didático para instituições de ensino do 6º ano; / G.V. Dorofeev, M., Iluminismo, 2009

2. Markova V.I. Características do ensino de geometria no contexto da implementação do padrão educacional estadual: diretrizes, Kirov, 2010

3. Atanasyan L.S. Livro didático "Geometria 7-9".

Durante as aulas

1. Momento organizacional.

Preparação para o estudo de novos materiais através da repetição e atualização de conhecimentos básicos.

 Cumprimentando os alunos.

Indica o tópico da lição.

Descobre quais associações surgem com a palavra “círculo”

 Escreva a data e o tema da lição em seu caderno.

Responda a pergunta do professor.
2. Definir o objetivo da lição Resume as metas formuladas pelos alunos, define os objetivos da aula Formule os objetivos da aula.
3. Conhecimento do novo material. Organiza uma conversa, pede modelos para mostrar como um círculo e uma linha reta podem ser localizados.

Organizar trabalhos práticos.

Organiza o trabalho com o livro didático.

 Responda as perguntas do professor.

Realize o trabalho prático, tire uma conclusão.

Eles trabalham com o livro didático, encontram uma conclusão e a comparam com a sua.
4. Compreensão primária, consolidação através da resolução de problemas. Organiza o trabalho de acordo com desenhos prontos.

Trabalhar com o livro didático: p. 103 Nº 498, Nº 499.

Solução de problemas

 Resolva oralmente os problemas e comente a solução.

Realize a resolução de problemas e comente.
5. Reflexão. Execução do trabalho de acordo com o desenho acabado Instrui o trabalho a ser feito. Complete a tarefa por conta própria. Auto teste. Resumindo.
6. Resumindo. Definindo a lição de casa Os alunos são convidados a analisar o cluster compilado no início da aula, para refiná-lo tendo em conta o conhecimento adquirido. Resumindo.

Os alunos se voltam para as metas estabelecidas, analisam os resultados: o que aprenderam de novo, o que aprenderam na aula

1. Momento organizacional. Atualização de conhecimento.

O professor informa o tema da aula. Descobre quais associações surgem com a palavra “círculo”.

Qual é o diâmetro do círculo se o raio é 2,4 cm?

Qual é o raio se o diâmetro é 6,8 cm?

2. Definição de metas.

Os alunos definem seus objetivos para a aula, o professor os resume e define os objetivos da aula.

É elaborado um programa de atividades na aula.

3. Conhecimento do novo material.

1) Trabalhando com modelos: “Mostre nos modelos como uma linha reta e um círculo podem ser localizados em um plano.”

Quantos pontos eles têm em comum?

2) Realização de trabalhos práticos de investigação.

Alvo. Defina a propriedade da posição relativa da linha e do círculo.

Equipamento: um círculo desenhado em um pedaço de papel e uma vara como uma linha reta, uma régua.

  1. Na figura (em uma folha de papel), defina a posição relativa do círculo e da linha reta.
  2. Meça o raio do círculo R e a distância do centro do círculo à linha reta d.
  3. Registre os resultados do estudo em uma tabela.
Foto Acordo mútuo Número de pontos comuns Raio do círculo R Distância do centro do círculo até a linha d Comparar R e d

4. Faça uma conclusão sobre a posição relativa da linha reta e do círculo, dependendo da razão de R e d.

Conclusão: Se a distância do centro do círculo à linha for igual ao raio, então a linha toca o círculo e tem um ponto comum com o círculo. Se a distância do centro do círculo à linha for maior que o raio, então o círculo e a linha não têm pontos comuns. Se a distância do centro do círculo à linha for menor que o raio, a linha intercepta o círculo e tem dois pontos comuns com ele.

5. Compreensão primária, consolidação através da resolução de problemas.

1) Atribuições de livros didáticos: Nº 498, Nº 499.

2) Determine a posição relativa da linha e do círculo se:

  • 1. R=16cm, d=12cm
  • 2. R=5cm, d=4,2cm
  • 3. R=7,2dm, d=3,7dm
  • 4. R=8 cm, d=1,2dm
  • 5. R=5cm, d=50mm

a) uma linha e um círculo não têm pontos comuns;

b) a reta é tangente ao círculo;

c) uma linha intercepta um círculo.

  • d é a distância do centro do círculo à linha reta, R é o raio do círculo.

3) O que se pode dizer sobre a posição relativa da linha e do círculo, se o diâmetro do círculo é de 10,3 cm e a distância do centro do círculo à linha é de 4,15 cm; 2 dm; 103 milímetros; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Dado um círculo com centro O e ponto A. Onde está o ponto A se o raio do círculo for 7 cm e o comprimento do segmento OA for: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 milímetros.

6. Reflexão

O que você aprendeu na aula?

Que regra foi estabelecida?

Complete as seguintes tarefas nos cartões:

Desenhe uma linha a cada dois pontos. Quantos pontos comuns cada uma das linhas tem com o círculo.

A linha ______ e o círculo não têm pontos comuns.

A linha ______ e o círculo têm apenas um ponto ___________.

As linhas ______, _______, ________, _______ e o círculo têm dois pontos comuns.

7. Resumindo. Configurando o dever de casa:

1) analisar o cluster compilado no início da aula, refiná-lo levando em consideração o conhecimento adquirido;

2) livro didático: nº 500;

3) preencha a tabela (em cartões).

Raio do círculo 4 cm 6,2 centímetros 3,5 centímetros 1,8 cm
Distância do centro do círculo até a linha 7 cm 5,12 centímetros 3,5 centímetros 9,3 centímetros 8,25 m
Conclusão sobre a posição relativa do círculo e da linha Em linha reta
atravessa o círculo		 Em linha reta
toca o círculo		 Em linha reta
não cruza o círculo

Lembre-se de uma definição importante - a definição de um círculo]

Definição:

Um círculo centrado no ponto O e raio R é o conjunto de todos os pontos do plano que estão a uma distância R do ponto O.

Vamos prestar atenção ao fato de que o conjunto é chamado de círculo. tudo pontos que satisfazem a condição descrita. Considere um exemplo:

Os pontos A, B, C, D do quadrado são equidistantes do ponto E, mas não são um círculo (Fig. 1).

Arroz. 1. Ilustração por exemplo

Nesse caso, a figura é um círculo, pois é todo um conjunto de pontos equidistantes do centro.

Se conectarmos quaisquer dois pontos do círculo, obtemos uma corda. A corda que passa pelo centro é chamada de diâmetro.

MB - acorde; AB - diâmetro; MnB - arco, é contraído pela corda MB;

O canto é chamado central.

O ponto O é o centro do círculo.

Arroz. 2. Ilustração por exemplo

Assim, lembramos o que é um círculo e seus principais elementos. Agora vamos passar a considerar a posição relativa do círculo e da linha.

Dada uma circunferência de centro O e raio r. A linha P, a distância do centro à linha, ou seja, a perpendicular OM, é igual a d.

Assumimos que o ponto O não está na linha P.

Dado um círculo e uma linha reta, precisamos encontrar o número de pontos comuns.

Caso 1 - a distância do centro do círculo à linha reta é menor que o raio do círculo:

No primeiro caso, quando a distância d é menor que o raio do círculo r, o ponto M está dentro do círculo. A partir deste ponto, separaremos dois segmentos - MA e MB, cujo comprimento será. Conhecemos os valores de r e d, d é menor que r, o que significa que a expressão existe e os pontos A e B existem. Esses dois pontos estão em uma linha reta por construção. Vamos verificar se eles estão em um círculo. Calcule a distância entre OA e OB usando o teorema de Pitágoras:

Arroz. 3. Ilustração do Caso 1

A distância do centro a dois pontos é igual ao raio do círculo, então provamos que os pontos A e B pertencem ao círculo.

Assim, os pontos A e B pertencem à linha por construção, pertencem ao círculo pelo que foi provado - o círculo e a linha têm dois pontos comuns. Vamos provar que não existem outros pontos (Fig. 4).

Arroz. 4. Ilustração para a prova

Para fazer isso, pegue um ponto arbitrário C em uma linha reta e suponha que ele esteja em um círculo - a distância OS = r. Neste caso, o triângulo é isósceles e sua mediana ON, que não coincide com o segmento OM, é a altura. Obtivemos uma contradição: duas perpendiculares são lançadas do ponto O até a reta.

Assim, na linha P não há outros pontos comuns com o círculo. Provamos que no caso em que a distância d é menor que o raio r do círculo, a reta e o círculo têm apenas dois pontos comuns.

Caso dois - a distância do centro do círculo à linha reta é igual ao raio do círculo (Fig. 5):

Arroz. 5. Ilustração do Caso 2

Lembre-se que a distância de um ponto a uma linha é o comprimento da perpendicular, neste caso OH é a perpendicular. Como, por condição, o comprimento OH é igual ao raio do círculo, então o ponto H pertence ao círculo, então o ponto H é comum à linha e ao círculo.

Vamos provar que não há outros pontos comuns. Pelo contrário: suponha que o ponto C na linha pertença ao círculo. Neste caso, a distância OC é r, e então OC é OH. Mas em um triângulo retângulo, a hipotenusa OS é maior que a perna OH. Temos uma contradição. Assim, a suposição está errada e não há outro ponto além de H que seja comum à linha e ao círculo. Provamos que neste caso o ponto comum é único.

Caso 3 - a distância do centro do círculo à linha reta é maior que o raio do círculo:

A distância de um ponto a uma linha é o comprimento da perpendicular. Traçamos uma perpendicular do ponto O à reta P, obtemos o ponto H, que não pertence ao círculo, pois OH é, por condição, maior que o raio do círculo. Vamos provar que qualquer outro ponto da reta não pertence ao círculo. Isso é claramente visto no triângulo retângulo, cuja hipotenusa OM é maior que o cateto OH e, portanto, maior que o raio do círculo, de modo que o ponto M não pertence ao círculo, como qualquer outro ponto da linha. Provamos que neste caso o círculo e a linha não têm pontos comuns (Fig. 6).

Arroz. 6. Ilustração do Caso 3

Considerar teorema . Suponha que a reta AB tenha dois pontos em comum com o círculo (Fig. 7).

Arroz. 7. Ilustração para o teorema

Temos um acorde AB. O ponto H, de acordo com a condição, é o meio da corda AB e situa-se no diâmetro CD.

É necessário provar que, neste caso, o dímetro é perpendicular à corda.

Prova:

Considere um triângulo isósceles OAB, é isósceles, pois .

O ponto H, por condição, é o meio da corda, o que significa o meio da mediana AB de um triângulo isósceles. Sabemos que a mediana de um triângulo isósceles é perpendicular à sua base, o que significa que é a altura: portanto, fica provado que o diâmetro que passa pelo meio da corda é perpendicular a ela.

justo e teorema de conversa : se o diâmetro é perpendicular à corda, então passa pelo seu ponto médio.

Dado um círculo de centro O, seu diâmetro CD e corda AB. Sabe-se que o diâmetro é perpendicular à corda, é necessário provar que passa pelo seu meio (Fig. 8).

Arroz. 8. Ilustração para o teorema

Prova:

Considere um triângulo isósceles OAB, é isósceles, pois . OH, por condição, é a altura do triângulo, pois o diâmetro é perpendicular à corda. A altura em um triângulo isósceles também é uma mediana, então AH = HB, o que significa que o ponto H é o ponto médio da corda AB, o que significa que está provado que o diâmetro perpendicular à corda passa pelo seu ponto médio.

O teorema direto e inverso pode ser generalizado como segue.

Teorema:

Um diâmetro é perpendicular a uma corda se e somente se passa pelo seu ponto médio.

Assim, consideramos todos os casos de arranjo mútuo de uma linha reta e um círculo. Na próxima lição, consideraremos a tangente a um círculo.

Bibliografia

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  3. Fmclass.ru ().

Trabalho de casa

Tarefa 1. Encontre os comprimentos de dois segmentos da corda, nos quais o diâmetro do círculo o divide, se o comprimento da corda for 16 cm e o diâmetro for perpendicular a ela.

Tarefa 2. Indique o número de pontos comuns de uma linha reta e um círculo se:

a) a distância da linha reta ao centro do círculo é de 6 cm e o raio do círculo é de 6,05 cm;

b) a distância da linha reta ao centro do círculo é de 6,05 cm e o raio do círculo é de 6 cm;

c) a distância da linha reta ao centro do círculo é de 8 cm e o raio do círculo é de 16 cm.

Tarefa 3. Encontre o comprimento da corda se o diâmetro for perpendicular a ela e um dos segmentos cortados pelo diâmetro tiver 2 cm.

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