Um dos ramos da matemática com os quais os alunos enfrentam as maiores dificuldades é a trigonometria. Não é à toa: para dominar livremente essa área do conhecimento, você precisa de pensamento espacial, capacidade de encontrar senos, cossenos, tangentes, cotangentes usando fórmulas, simplificar expressões e poder usar o número pi nos cálculos. Além disso, você precisa ser capaz de aplicar trigonometria ao provar teoremas, e isso requer uma memória matemática desenvolvida ou a capacidade de deduzir cadeias lógicas complexas.
Origens da trigonometria
O conhecimento dessa ciência deve começar com a definição do seno, cosseno e tangente do ângulo, mas primeiro você precisa descobrir o que a trigonometria faz em geral.
Historicamente, os triângulos retângulos têm sido o principal objeto de estudo nesta seção da ciência matemática. A presença de um ângulo de 90 graus permite realizar várias operações que permitem determinar os valores de todos os parâmetros da figura em consideração usando dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado. No passado, as pessoas notaram esse padrão e começaram a usá-lo ativamente na construção de edifícios, navegação, astronomia e até arte.
Primeira etapa
Inicialmente, as pessoas falavam sobre a relação de ângulos e lados exclusivamente no exemplo de triângulos retângulos. Em seguida, foram descobertas fórmulas especiais que possibilitaram expandir os limites de uso na vida cotidiana dessa seção da matemática.
O estudo da trigonometria na escola hoje começa com triângulos retângulos, após os quais o conhecimento adquirido é usado pelos alunos em física e na resolução de equações trigonométricas abstratas, trabalho com o qual começa no ensino médio.
Trigonometria esférica
Mais tarde, quando a ciência alcançou o próximo nível de desenvolvimento, fórmulas com seno, cosseno, tangente, cotangente começaram a ser usadas na geometria esférica, onde outras regras se aplicam, e a soma dos ângulos em um triângulo é sempre maior que 180 graus. Esta seção não é estudada na escola, mas é necessário saber sobre sua existência, pelo menos porque a superfície da Terra, e a superfície de qualquer outro planeta, é convexa, o que significa que qualquer marcação na superfície será "em forma de arco" em espaço tridimensional.
Pegue o globo e fio. Prenda o fio a quaisquer dois pontos no globo para que fique esticado. Preste atenção - ele adquiriu a forma de um arco. É com essas formas que lida a geometria esférica, que é usada em geodésia, astronomia e outros campos teóricos e aplicados.
Triângulo reto
Tendo aprendido um pouco sobre as maneiras de usar a trigonometria, vamos retornar à trigonometria básica para entender melhor o que são seno, cosseno, tangente, quais cálculos podem ser realizados com a ajuda deles e quais fórmulas usar.
O primeiro passo é entender os conceitos relacionados a um triângulo retângulo. Primeiro, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90 graus. Ela é a mais longa. Lembramos que, de acordo com o teorema de Pitágoras, seu valor numérico é igual à raiz da soma dos quadrados dos outros dois lados.
Por exemplo, se dois lados têm 3 e 4 centímetros, respectivamente, o comprimento da hipotenusa será de 5 centímetros. A propósito, os antigos egípcios sabiam disso cerca de quatro mil e quinhentos anos atrás.
Os dois lados restantes que formam um ângulo reto são chamados de pernas. Além disso, devemos lembrar que a soma dos ângulos em um triângulo em um sistema de coordenadas retangulares é 180 graus.
Definição
Finalmente, com uma sólida compreensão da base geométrica, podemos nos voltar para a definição do seno, cosseno e tangente de um ângulo.
O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto (ou seja, o lado oposto ao ângulo desejado) para a hipotenusa. O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
Lembre-se que nem seno nem cosseno podem ser maiores que um! Por quê? Porque a hipotenusa é, por padrão, a mais longa, não importa o comprimento da perna, ela será mais curta que a hipotenusa, o que significa que sua razão será sempre menor que um. Assim, se obtiver um seno ou cosseno com valor maior que 1 na resposta do problema, procure um erro nos cálculos ou raciocínio. Esta resposta está claramente errada.
Finalmente, a tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente. O mesmo resultado dará a divisão do seno pelo cosseno. Veja: de acordo com a fórmula, dividimos o comprimento do lado pela hipotenusa, depois dividimos pelo comprimento do segundo lado e multiplicamos pela hipotenusa. Assim, obtemos a mesma razão que na definição de tangente.
A cotangente, respectivamente, é a razão entre o lado adjacente ao canto e o lado oposto. Obtemos o mesmo resultado dividindo a unidade pela tangente.
Assim, consideramos as definições do que são seno, cosseno, tangente e cotangente, e podemos lidar com fórmulas.
As fórmulas mais simples
Na trigonometria, não se pode prescindir de fórmulas - como encontrar seno, cosseno, tangente, cotangente sem elas? E isso é exatamente o que é necessário ao resolver problemas.
A primeira fórmula que você precisa saber ao começar a estudar trigonometria diz que a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo é igual a um. Esta fórmula é uma consequência direta do teorema de Pitágoras, mas economiza tempo se você quiser saber o valor do ângulo, não o lado.
Muitos alunos não conseguem se lembrar da segunda fórmula, que também é muito popular na resolução de problemas escolares: a soma de um e o quadrado da tangente de um ângulo é igual a um dividido pelo quadrado do cosseno do ângulo. Dê uma olhada mais de perto: afinal, esta é a mesma afirmação da primeira fórmula, apenas os dois lados da identidade foram divididos pelo quadrado do cosseno. Acontece que uma simples operação matemática torna a fórmula trigonométrica completamente irreconhecível. Lembre-se: sabendo o que são seno, cosseno, tangente e cotangente, as regras de conversão e algumas fórmulas básicas, você pode, a qualquer momento, derivar independentemente as fórmulas mais complexas necessárias em uma folha de papel.
Fórmulas de ângulo duplo e adição de argumentos
Mais duas fórmulas que você precisa aprender estão relacionadas aos valores do seno e cosseno para a soma e diferença dos ângulos. Eles são mostrados na figura abaixo. Observe que, no primeiro caso, o seno e o cosseno são multiplicados ambas as vezes e, no segundo, o produto dos pares do seno e do cosseno é adicionado.
Existem também fórmulas associadas a argumentos de ângulo duplo. Eles são completamente derivados dos anteriores - como prática, tente obtê-los você mesmo, tomando o ângulo de alfa igual ao ângulo de beta.
Finalmente, observe que as fórmulas de ângulo duplo podem ser convertidas para diminuir o grau de seno, cosseno, tangente alfa.
Teoremas
Os dois principais teoremas da trigonometria básica são o teorema do seno e o teorema do cosseno. Com a ajuda desses teoremas, você pode entender facilmente como encontrar o seno, o cosseno e a tangente e, portanto, a área da figura e o tamanho de cada lado etc.
O teorema do seno afirma que, como resultado da divisão do comprimento de cada um dos lados do triângulo pelo valor do ângulo oposto, obtemos o mesmo número. Além disso, esse número será igual a dois raios do círculo circunscrito, ou seja, o círculo que contém todos os pontos do triângulo dado.
O teorema do cosseno generaliza o teorema de Pitágoras, projetando-o em quaisquer triângulos. Acontece que da soma dos quadrados dos dois lados, subtraia seu produto, multiplicado pelo duplo cosseno do ângulo adjacente a eles - o valor resultante será igual ao quadrado do terceiro lado. Assim, o teorema de Pitágoras acaba sendo um caso especial do teorema dos cossenos.
Erros por falta de atenção
Mesmo sabendo o que são seno, cosseno e tangente, é fácil errar por distração ou erro nos cálculos mais simples. Para evitar esses erros, vamos nos familiarizar com o mais popular deles.
Primeiro, você não deve converter frações ordinárias em decimais até que o resultado final seja obtido - você pode deixar a resposta como uma fração ordinária, a menos que a condição indique o contrário. Tal transformação não pode ser chamada de erro, mas deve-se lembrar que a cada etapa da tarefa podem surgir novas raízes, que, segundo a ideia do autor, devem ser reduzidas. Nesse caso, você perderá tempo com operações matemáticas desnecessárias. Isso é especialmente verdadeiro para valores como a raiz de três ou dois, porque eles ocorrem em tarefas a cada etapa. O mesmo se aplica ao arredondamento de números "feios".
Além disso, observe que o teorema do cosseno se aplica a qualquer triângulo, mas não o teorema de Pitágoras! Se você erroneamente esquecer de subtrair duas vezes o produto dos lados multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles, você não apenas obterá um resultado completamente errado, mas também demonstrará um completo mal-entendido sobre o assunto. Isso é pior do que um erro descuidado.
Em terceiro lugar, não confunda os valores para ângulos de 30 e 60 graus para senos, cossenos, tangentes, cotangentes. Lembre-se desses valores, pois o seno de 30 graus é igual ao cosseno de 60 e vice-versa. É fácil misturá-los, como resultado, você inevitavelmente obterá um resultado errôneo.
Inscrição
Muitos alunos não têm pressa em começar a estudar trigonometria, porque não entendem seu significado aplicado. O que é seno, cosseno, tangente para um engenheiro ou astrônomo? Estes são conceitos graças aos quais você pode calcular a distância de estrelas distantes, prever a queda de um meteorito, enviar uma sonda de pesquisa para outro planeta. Sem eles, é impossível construir um prédio, projetar um carro, calcular a carga na superfície ou a trajetória de um objeto. E estes são apenas os exemplos mais óbvios! Afinal, a trigonometria de uma forma ou de outra é usada em todos os lugares, da música à medicina.
Finalmente
Então você é seno, cosseno, tangente. Você pode usá-los em cálculos e resolver problemas escolares com sucesso.
Toda a essência da trigonometria se resume ao fato de que os parâmetros desconhecidos devem ser calculados a partir dos parâmetros conhecidos do triângulo. Existem seis parâmetros no total: os comprimentos de três lados e as magnitudes de três ângulos. Toda a diferença nas tarefas está no fato de que diferentes dados de entrada são fornecidos.
Como encontrar o seno, cosseno, tangente com base nos comprimentos conhecidos das pernas ou da hipotenusa, agora você sabe. Como esses termos significam nada mais do que uma razão, e uma razão é uma fração, o principal objetivo do problema trigonométrico é encontrar as raízes de uma equação ordinária ou de um sistema de equações. E aqui você será ajudado pela matemática escolar comum.
A trigonometria é um ramo da matemática que estuda as funções trigonométricas e seu uso na geometria. O desenvolvimento da trigonometria começou nos dias da Grécia antiga. Durante a Idade Média, cientistas do Oriente Médio e da Índia deram uma importante contribuição para o desenvolvimento dessa ciência.
Este artigo é dedicado aos conceitos básicos e definições de trigonometria. Discute as definições das principais funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente e cotangente. Seu significado no contexto da geometria é explicado e ilustrado.
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Inicialmente, as definições das funções trigonométricas, cujo argumento é um ângulo, foram expressas através da razão dos lados de um triângulo retângulo.
Definições de funções trigonométricas
O seno de um ângulo (sen α) é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.
O cosseno do ângulo (cos α) é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
A tangente do ângulo (t g α) é a razão entre a perna oposta e a adjacente.
A cotangente do ângulo (c t g α) é a razão entre a perna adjacente e a oposta.
Essas definições são dadas para um ângulo agudo de um triângulo retângulo!
Vamos dar uma ilustração.
No triângulo ABC com ângulo reto C, o seno do ângulo A é igual à razão entre o cateto BC e a hipotenusa AB.
As definições de seno, cosseno, tangente e cotangente permitem calcular os valores dessas funções a partir dos comprimentos conhecidos dos lados de um triângulo.
Importante lembrar!
O intervalo de valores de seno e cosseno: de -1 a 1. Em outras palavras, seno e cosseno assumem valores de -1 a 1. O intervalo de valores de tangente e cotangente é a reta numérica inteira, ou seja, estes funções podem assumir qualquer valor.
As definições dadas acima referem-se a ângulos agudos. Na trigonometria, introduz-se o conceito de ângulo de rotação, cujo valor, ao contrário de um ângulo agudo, não é limitado por quadros de 0 a 90 graus. O ângulo de rotação em graus ou radianos é expresso por qualquer número real de - ∞ a + ∞.
Neste contexto, pode-se definir o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de magnitude arbitrária. Imagine um círculo unitário centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas.
O ponto inicial A com coordenadas (1 , 0) gira em torno do centro do círculo unitário por algum ângulo α e vai para o ponto A 1 . A definição é dada pelas coordenadas do ponto A 1 (x, y).
Seno (sen) do ângulo de rotação
O seno do ângulo de rotação α é a ordenada do ponto A 1 (x, y). sinα = y
Cosseno (cos) do ângulo de rotação
O cosseno do ângulo de rotação α é a abcissa do ponto A 1 (x, y). cosα = x
Tangente (tg) do ângulo de rotação
A tangente do ângulo de rotação α é a razão entre a ordenada do ponto A 1 (x, y) e sua abcissa. tgα = yx
Cotangente (ctg) do ângulo de rotação
A cotangente do ângulo de rotação α é a razão entre a abcissa do ponto A 1 (x, y) e sua ordenada. c t g α = x y
Seno e cosseno são definidos para qualquer ângulo de rotação. Isso é lógico, porque a abcissa e a ordenada do ponto após a rotação podem ser determinadas em qualquer ângulo. A situação é diferente com tangente e cotangente. A tangente não é definida quando o ponto após a rotação vai para o ponto com abcissa zero (0 , 1) e (0 , - 1). Nesses casos, a expressão para a tangente t g α = y x simplesmente não faz sentido, pois contém divisão por zero. A situação é semelhante com a cotangente. A diferença é que a cotangente não é definida nos casos em que a ordenada do ponto se anula.
Importante lembrar!
Seno e cosseno são definidos para quaisquer ângulos α.
A tangente é definida para todos os ângulos exceto α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
A cotangente é definida para todos os ângulos exceto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Ao resolver exemplos práticos, não diga "seno do ângulo de rotação α". As palavras "ângulo de rotação" são simplesmente omitidas, implicando que pelo contexto já está claro o que está em jogo.
Números
E a definição do seno, cosseno, tangente e cotangente de um número, e não o ângulo de rotação?
Seno, cosseno, tangente, cotangente de um número
Seno, cosseno, tangente e cotangente de um número t um número é chamado, que é respectivamente igual ao seno, cosseno, tangente e cotangente em t radiano.
Por exemplo, o seno de 10 π é igual ao seno do ângulo de rotação de 10 π rad.
Há outra abordagem para a definição do seno, cosseno, tangente e cotangente de um número. Vamos considerá-lo com mais detalhes.
Qualquer número real t um ponto no círculo unitário é colocado em correspondência com o centro na origem do sistema retangular de coordenadas cartesianas. Seno, cosseno, tangente e cotangente são definidos em função das coordenadas deste ponto.
O ponto inicial no círculo é o ponto A com coordenadas (1 , 0).
número positivo t
Número negativo t corresponde ao ponto para o qual o ponto inicial se moverá se ele se mover no sentido anti-horário ao redor do círculo e passar pelo caminho t .
Agora que a conexão entre o número e o ponto no círculo foi estabelecida, passamos à definição de seno, cosseno, tangente e cotangente.
Seno (sen) do número t
Seno de um número t- ordenada do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. sen t = y
Cosseno (cos) de t
Cosseno de um número t- abcissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. cost = x
Tangente (tg) de t
Tangente de um número t- a razão entre a ordenada e a abcissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. t g t = y x = sen t cos t
As últimas definições são consistentes e não contradizem a definição dada no início desta seção. Ponto em um círculo correspondente a um número t, coincide com o ponto para o qual passa o ponto de partida depois de girar o ângulo t radiano.
Funções trigonométricas de argumento angular e numérico
Cada valor do ângulo α corresponde a um determinado valor do seno e cosseno desse ângulo. Assim como todos os ângulos α diferentes de α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corresponde a um determinado valor da tangente. A cotangente, como mencionado acima, é definida para todos os α, exceto para α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Podemos dizer que sen α , cos α , t g α , c t g α são funções do ângulo alfa, ou funções do argumento angular.
Da mesma forma, pode-se falar de seno, cosseno, tangente e cotangente como funções de um argumento numérico. Cada número real t corresponde a um valor específico do seno ou cosseno de um número t. Todos os números, exceto π 2 + π · k , k ∈ Z, correspondem ao valor da tangente. A cotangente é definida similarmente para todos os números exceto π · k , k ∈ Z.
Funções básicas da trigonometria
Seno, cosseno, tangente e cotangente são as funções trigonométricas básicas.
Geralmente fica claro pelo contexto com qual argumento da função trigonométrica (argumento angular ou argumento numérico) estamos lidando.
Vamos voltar aos dados bem no início das definições e ao ângulo alfa, que fica no intervalo de 0 a 90 graus. As definições trigonométricas de seno, cosseno, tangente e cotangente estão de acordo com as definições geométricas dadas pelas razões dos lados de um triângulo retângulo. Vamos mostrar.
Pegue um círculo unitário centrado em um sistema de coordenadas cartesianas retangular. Vamos girar o ponto inicial A (1, 0) em um ângulo de até 90 graus e desenhar a partir do ponto resultante A 1 (x, y) perpendicular ao eixo x. No triângulo retângulo resultante, o ângulo A 1 O H é igual ao ângulo de rotação α, o comprimento da perna O H é igual à abcissa do ponto A 1 (x, y). O comprimento do cateto oposto ao canto é igual à ordenada do ponto A 1 (x, y), e o comprimento da hipotenusa é igual a um, pois é o raio do círculo unitário.
De acordo com a definição da geometria, o seno do ângulo α é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Isso significa que a definição do seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo pela razão de aspecto é equivalente à definição do seno do ângulo de rotação α, com alfa no intervalo de 0 a 90 graus.
Da mesma forma, a correspondência de definições pode ser mostrada para cosseno, tangente e cotangente.
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1. Funções trigonométricas são funções elementares cujo argumento é canto. As funções trigonométricas descrevem a relação entre lados e ângulos agudos em um triângulo retângulo. As áreas de aplicação das funções trigonométricas são extremamente diversas. Assim, por exemplo, quaisquer processos periódicos podem ser representados como uma soma de funções trigonométricas (série de Fourier). Essas funções geralmente aparecem ao resolver equações diferenciais e funcionais.
2. As funções trigonométricas incluem as seguintes 6 funções: seio, cosseno, tangente,co-tangente, secante e cossecante. Para cada uma dessas funções, existe uma função trigonométrica inversa.
3. É conveniente introduzir a definição geométrica de funções trigonométricas usando círculo unitário. A figura abaixo mostra um círculo com raio r = 1. O ponto M(x,y) está marcado no círculo. O ângulo entre o vetor raio OM e a direção positiva do eixo Ox é α.
4. seio o ângulo α é a razão da ordenada y do ponto M(x,y) para o raio r:
sinα=s/r.
Como r=1, então o seno é igual à ordenada do ponto M(x,y).
5. cosseno o ângulo α é a razão da abcissa x do ponto M(x,y) para o raio r:
cosα=x/r
6. tangente o ângulo α é a razão da ordenada y do ponto M(x,y) para sua abcissa x:
tanα=y/x,x≠0
7. Co-tangente o ângulo α é a razão entre a abcissa x do ponto M(x,y) e sua ordenada y:
cotα=x/y,y≠0
8. Secanteângulo α é a razão do raio r para a abcissa x do ponto M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0
9. Cossecanteângulo α é a razão do raio r para a ordenada y do ponto M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. No círculo unitário da projeção x, y, os pontos M(x,y) e o raio r formam um triângulo retângulo, no qual x,y são os catetos e r é a hipotenusa. Portanto, as definições acima de funções trigonométricas aplicadas a um triângulo retângulo são formuladas da seguinte forma:
seio o ângulo α é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
cosseno o ângulo α é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
tangenteângulo α é chamado de perna oposta à adjacente.
Co-tangente o ângulo α é chamado de cateto adjacente ao oposto.
Secante o ângulo α é a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente.
Cossecante o ângulo α é a razão entre a hipotenusa e o cateto oposto.
11. gráfico de função seno
y=sinx, domínio: x∈R, domínio: −1≤sinx≤1
12. Gráfico da função cosseno
y=cosx, domínio: x∈R, intervalo: −1≤cosx≤1
13. gráfico de função tangente 14. Gráfico da função cotangente 15. Gráfico da função secante
y=tanx, domínio: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domínio: −∞ 
y=cotx, domínio: x∈R,x≠kπ, domínio: −∞ 
y=secx, domínio: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domínio: secx∈(−∞,−1]∪∪)
