Ministério da Educação e Ciência da Federação Russa

Instituição de Ensino Autônoma do Estado Federal

ensino profissional superior

Universidade Federal do Norte (Ártico) em homenagem a M.V. Lomonossov"

Departamento de Matemática

TRABALHO DO CURSO

Por disciplina Matemática

Pyatysheva Anastasia Andreevna

Supervisor

Arte. professora

Borodkina T. A.

Arkhangelsk 2014

TAREFA PARA O TRABALHO DO CURSO

Aplicações da integral definida

DADOS INICIAIS:

21. y=x3, y=; 22.

INTRODUÇÃO

Neste trabalho de curso, tenho as seguintes tarefas: calcular as áreas de figuras delimitadas por gráficos de funções, delimitadas por linhas dadas por equações, também delimitadas por linhas dadas por equações em coordenadas polares, calcular os comprimentos de arcos de curvas dadas por equações em um sistema de coordenadas retangulares, dadas por equações paramétricas dadas por equações em coordenadas polares, bem como calcular os volumes de corpos limitados por superfícies, limitados por gráficos de funções e formados pela rotação de figuras limitadas por gráficos de funções em torno do eixo polar. Escolhi um trabalho de conclusão de curso sobre o tema “Integral Definida. A esse respeito, decidi descobrir com que facilidade e rapidez você pode usar cálculos integrais e com que precisão você pode calcular as tarefas atribuídas a mim.

INTEGRAL é um dos conceitos mais importantes da matemática que surgiu em conexão com a necessidade, por um lado, de encontrar funções por suas derivadas (por exemplo, encontrar uma função que expresse o caminho percorrido por um ponto em movimento, de acordo com o velocidade deste ponto), e por outro lado, para medir áreas, volumes, comprimentos de arcos, o trabalho de forças por um determinado período de tempo, etc.

Divulgação do tema do trabalho do curso, passei no seguinte plano: a definição de uma integral definida e suas propriedades; comprimento do arco da curva; área de um trapézio curvilíneo; superfície de rotação.

Para qualquer função f(x) contínua no segmento , existe uma primitiva neste segmento, o que significa que existe uma integral indefinida.

Se a função F(x) é qualquer antiderivada de uma função contínua f(x), então esta expressão é conhecida como a fórmula de Newton-Leibniz:

As principais propriedades da integral definida:

Se os limites inferior e superior de integração são iguais (a = b), então a integral é igual a zero:

Se f(x)=1, então:

Ao rearranjar os limites de integração, a integral definida muda de sinal para o oposto:

O fator constante pode ser retirado do sinal de uma integral definida:

Se as funções são integráveis ​​em, então sua soma é integrável em e a integral da soma é igual à soma das integrais:

Existem também métodos básicos de integração, como mudança de variável,:

Correção do diferencial:

A fórmula de integração por partes permite reduzir o cálculo da integral ao cálculo da integral, que pode vir a ser mais simples:

O significado geométrico de uma integral definida é que para uma função contínua e não negativa é no sentido geométrico a área do trapézio curvilíneo correspondente.

Além disso, usando uma integral definida, você pode encontrar a área da região delimitada por curvas, linhas retas e, onde

Se um trapézio curvilíneo é limitado por uma curva dada por linhas paramétricas x = a e x = b e o eixo Ox, então sua área é encontrada pela fórmula, onde são determinadas a partir da igualdade:

. (12)

A área principal, a área de \u200b\u200bque é encontrada usando uma determinada integral, é um setor curvilíneo. Esta é a área limitada por dois raios e uma curva, onde r e são coordenadas polares:

Se a curva é um gráfico da função onde, e a função de sua derivada é contínua neste segmento, a área da superfície da figura formada pela rotação da curva em torno do eixo Ox pode ser calculada pela fórmula:

. (14)

Se uma função e sua derivada são contínuas em um segmento, então a curva tem um comprimento igual a:

Se a equação da curva for dada na forma paramétrica

onde x(t) e y(t) são funções contínuas com derivadas contínuas e então o comprimento da curva é encontrado pela fórmula:

Se a curva é dada por uma equação em coordenadas polares, onde e são contínuas no segmento, então o comprimento do arco pode ser calculado da seguinte forma:

Se um trapézio curvilíneo gira em torno do eixo Ox, delimitado por um segmento de linha contínua e linhas retas x \u003d a e x \u003d b, o volume do corpo formado pela rotação desse trapézio em torno do eixo Ox será igual a :

Se um trapézio curvilíneo é limitado por um gráfico de uma função contínua e linhas x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Se a figura é limitada por curvas e (é “mais alta” do que por linhas retas x = a, x = b, então o volume do corpo de revolução em torno do eixo Ox será igual a:

e em torno do eixo y (:

Se o setor curvilíneo é girado em torno do eixo polar, a área do corpo resultante pode ser encontrada pela fórmula:

2. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Tarefa 14: Calcule as áreas das figuras delimitadas por gráficos de funções:

1) Solução:

Figura 1 - Gráfico de funções

X muda de 0 a

x 1 = -1 e x 2 = 2 - limites de integração (isso pode ser visto na Figura 1).

3) Calcule a área da figura usando a fórmula (10).

Resposta: S = .

Tarefa 15: Calcule as áreas das figuras delimitadas pelas linhas dadas pelas equações:

1) Solução:

Figura 2 - Gráfico de funções

Considere uma função no intervalo .

Figura 3 - Tabela de variáveis ​​para a função

Desde então, 1 arco caberá neste período. Este arco consiste em uma parte central (S 1) e partes laterais. A parte central é composta pela parte desejada e um retângulo (S pr):. Vamos calcular a área de uma parte central do arco.

2) Encontre os limites de integração.

e y = 6, portanto

Para um intervalo, os limites de integração.

3) Encontre a área da figura usando a fórmula (12).

trapézio integral curvilíneo

Problema 16: Calcule as áreas de figuras limitadas por linhas dadas por equações em coordenadas polares:

1) Solução:

Figura 4 - Gráfico de funções,

Figura 5 - Tabela de funções variáveis,

2) Encontre os limites de integração.

Consequentemente -

3) Encontre a área da figura usando a fórmula (13).

Resposta: S=.

Tarefa 17: Calcule os comprimentos de arcos de curvas dados por equações em um sistema de coordenadas retangulares:

1) Solução:

Figura 6 - Gráfico da função

Figura 7 - Tabela de variáveis ​​de função

2) Encontre os limites de integração.

varia de ln a ln, isso é óbvio pela condição.

3) Encontre o comprimento do arco usando a fórmula (15).

Responda: eu =

Tarefa 18: Calcular os comprimentos de arcos de curvas dados por equações paramétricas: 1)

1) Solução:

Figura 8- Gráfico de funções

Figura 11 - Tabela de variáveis ​​de função

2) Encontre os limites de integração.

ts varia de, isso é óbvio da condição.

Vamos encontrar o comprimento do arco usando a fórmula (17).

Tarefa 20: Calcular os volumes de corpos limitados por superfícies:

1) Solução:

Figura 12 - Gráfico de funções:

2) Encontre os limites de integração.

Z muda de 0 para 3.

3) Encontre o volume da figura usando a fórmula (18)

Tarefa 21: Calcular os volumes dos corpos delimitados por gráficos de funções, eixo de rotação Ox: 1)

1) Solução:

Figura 13 - Gráfico de funções

Figura 15 - Tabela do Gráfico de Funções

2) Encontre os limites de integração.

Os pontos (0;0) e (1;1) são comuns para ambos os gráficos, portanto, esses são os limites de integração, o que é óbvio na figura.

3) Encontre o volume da figura usando a fórmula (20).

Tarefa 22: Calcule a área dos corpos formados pela rotação de figuras delimitadas por gráficos de funções em torno do eixo polar:

1) Solução:

Figura 16 - Gráfico da função

Figura 17 - Tabela de variáveis ​​para o gráfico da função

2) Encontre os limites de integração.

c muda de

3) Encontre a área da figura usando a fórmula (22).

Resposta: 3,68

CONCLUSÃO

No processo de conclusão do meu trabalho de curso sobre o tópico “Integral Definida”, aprendi a calcular as áreas de diferentes corpos, encontrar os comprimentos de vários arcos de curvas e também calcular volumes. Essa ideia de trabalhar com integrais me ajudará nas minhas futuras atividades profissionais, como realizar diversas ações de forma rápida e eficiente. Afinal, a própria integral é um dos conceitos mais importantes da matemática, que surgiu em conexão com a necessidade, por um lado, de encontrar funções por suas derivadas (por exemplo, encontrar uma função que expresse o caminho percorrido por um ponto móvel, de acordo com a velocidade deste ponto), e por outro lado, para medir áreas, volumes, comprimentos de arco, trabalho de forças por um determinado período de tempo, etc.

LISTA DE FONTES USADAS

1. Escrito, D.T. Notas de aula sobre matemática superior: Parte 1 - 9ª ed. - M.: Iris-press, 2008. - 288 p.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Matemática Superior. Cálculo diferencial e integral: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 p.

3. V. A. Zorich, Análise Matemática. Parte I. - Ed. 4º - M.: MTSNMO, 2002. - 664 p.

4. Kuznetsov D.A. "Coleção de problemas em matemática superior" Moscou, 1983

5. Nikolsky S. N. "Elementos de análise matemática". - M.: Nauka, 1981.

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Aula 18. Aplicações de uma integral definida.

18.1. Cálculo das áreas de figuras planas.

Sabe-se que a integral definida em um segmento é a área de um trapézio curvilíneo limitado pelo gráfico da função f(x). Se o gráfico estiver localizado abaixo do eixo x, ou seja, f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, então a área tem um sinal “+”.

A fórmula é usada para encontrar a área total.

A área de uma figura limitada por algumas linhas pode ser encontrada usando certas integrais se as equações dessas linhas forem conhecidas.

Exemplo. Encontre a área da figura limitada pelas linhas y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2.

A área desejada (sombreada na figura) pode ser encontrada pela fórmula:

18.2. Encontrando a área de um setor curvilíneo.

Para encontrar a área de um setor curvilíneo, introduzimos um sistema de coordenadas polares. A equação da curva que limita o setor neste sistema de coordenadas tem a forma  = f(), onde  é o comprimento do vetor raio que liga o pólo a um ponto arbitrário na curva e  é o ângulo de inclinação deste raio vetor ao eixo polar.

A área de um setor curvo pode ser encontrada pela fórmula

18.3. Cálculo do comprimento do arco de uma curva.

y y = f(x)

S i y i

O comprimento da polilinha que corresponde ao arco pode ser encontrado como
.

Então o comprimento do arco é
.

Por motivos geométricos:

Ao mesmo tempo

Então pode-se mostrar que

Aqueles.

Se a equação da curva é dada parametricamente, então, levando em consideração as regras para calcular a derivada da parametricamente dada, obtemos

,

onde x = (t) ey = (t).

Se definido curva espacial, e x = (t), y = (t) e z = Z(t), então

Se a curva estiver definida para coordenadas polares, então

,  = f().

Exemplo: Encontre a circunferência dada pela equação x 2 + y 2 = r 2 .

1 caminho. Vamos expressar a variável y da equação.

Vamos encontrar a derivada

Então S = 2r. Temos a conhecida fórmula para a circunferência de um círculo.

2 maneiras. Se representarmos a equação dada em um sistema de coordenadas polares, obtemos: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, ou seja. função  = f() = r,
então

18.4. Cálculo de volumes de corpos.

Cálculo do volume de um corpo a partir das áreas conhecidas de suas seções paralelas.

Seja um corpo de volume V. A área de qualquer seção transversal do corpo, Q, é conhecida como função contínua Q = Q(x). Vamos dividir o corpo em “camadas” por seções transversais passando pelos pontos x i da divisão do segmento . Porque a função Q(x) é contínua em algum segmento intermediário da partição, então ela assume seus valores máximo e mínimo. Vamos designá-los adequadamente M i e m i .

Se nessas seções maiores e menores construir cilindros com geradores paralelos ao eixo x, então os volumes desses cilindros serão respectivamente iguais a Mi x i e m i x i aqui x i = x i - x i -1 .

Tendo feito tais construções para todos os segmentos da divisória, obtemos cilindros cujos volumes são, respectivamente,
e
.

Como a etapa de partição  tende a zero, essas somas têm um limite comum:

Assim, o volume do corpo pode ser encontrado pela fórmula:

A desvantagem desta fórmula é que para encontrar o volume é necessário conhecer a função Q(x), que é muito problemática para corpos complexos.

Exemplo: Encontre o volume de uma esfera de raio R.

Nas seções transversais da bola, são obtidos círculos de raio variável y. Dependendo da coordenada x atual, esse raio é expresso pela fórmula
.

Então a função de área da seção transversal tem a forma: Q(x) = .

Obtemos o volume da bola:

Exemplo: Encontre o volume de uma pirâmide arbitrária com altura H e área da base S.

Ao cruzar a pirâmide com planos perpendiculares à altura, em corte obtemos figuras semelhantes à base. O coeficiente de similaridade dessas figuras é igual à razão x/H, onde x é a distância do plano da seção ao topo da pirâmide.

Sabe-se da geometria que a razão das áreas de figuras semelhantes é igual ao coeficiente de semelhança ao quadrado, ou seja,

A partir daqui, obtemos a função das áreas de seção transversal:

Encontrando o volume da pirâmide:

18,5. O volume dos corpos de revolução.

Considere a curva dada pela equação y = f(x). Suponhamos que a função f(x) seja contínua no segmento . Se o trapézio curvilíneo correspondente a ele com bases a e b é girado em torno do eixo Ox, obtemos o chamado corpo da revolução.

Porque cada seção do corpo pelo plano x = const é um círculo de raio , então o volume do corpo de revolução pode ser facilmente encontrado usando a fórmula obtida acima:

18.6. Área de superfície de um corpo de revolução.

M e B

Definição: Área de superfície de rotação A curva AB em torno de um dado eixo é chamada de limite para o qual tendem as áreas das superfícies de revolução das linhas quebradas inscritas na curva AB, quando o maior dos comprimentos das ligações dessas linhas quebradas tende a zero.

Vamos dividir o arco AB em n partes pelos pontos M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Os vértices da polilinha resultante têm coordenadas x i e y i . Ao girar a linha quebrada em torno do eixo, obtemos uma superfície composta por superfícies laterais de cones truncados, cuja área é igual a P i . Esta área pode ser encontrada usando a fórmula:

Aqui S i é o comprimento de cada corda.

Aplicamos o teorema de Lagrange (cf. Teorema de Lagrange) para a relação
.

Vamos apresentar algumas aplicações da integral definida.

Calculando a área de uma figura plana

A área de um trapézio curvilíneo delimitado por uma curva (onde
), direto
,
e segmento
machados
, é calculado pela fórmula

.

Área de uma figura delimitada por curvas
e
(Onde
) direto
e
calculado pela fórmula

.

Se a curva é dada por equações paramétricas
, então a área do trapézio curvilíneo delimitada por esta curva, linhas retas
,
e segmento
machados
, é calculado pela fórmula

,

Onde e são determinados a partir das equações
,
, uma
no
.

A área de um setor curvo delimitado por uma curva dada em coordenadas polares pela equação
e dois raios polares
,
(
), é encontrado pela fórmula

.

Exemplo 1.27. Calcular a área de uma figura limitada por uma parábola
e direto
(Figura 1.1).

	Solução. Vamos encontrar os pontos de intersecção da linha e da parábola. Para isso, resolvemos a equação , . Onde , . Então pela fórmula (1.6) temos .

Calculando o comprimento do arco de uma curva planar

Se a curva
no segmento
- suave (ou seja, a derivada
é contínua), então o comprimento do arco correspondente desta curva é encontrado pela fórmula

.

Ao especificar uma curva parametricamente
(
- funções continuamente diferenciáveis) o comprimento do arco da curva correspondente a uma mudança monotônica no parâmetro a partir de antes da , é calculado pela fórmula

Exemplo 1.28. Calcular o comprimento do arco de uma curva
,
,
.

Solução. Vamos encontrar as derivadas em relação ao parâmetro :
,
. Então pela fórmula (1.7) obtemos

.

2. Cálculo diferencial de funções de várias variáveis

Seja cada par ordenado de números
de alguma área
corresponde a um certo número
. Então chamado função de duas variáveis e ,
-variáveis ​​independentes ou argumentos ,
-domínio de definição funções, mas o conjunto todos os valores da função - seu alcance e denotar
.

Geometricamente, o domínio de uma função é geralmente alguma parte do plano
delimitada por linhas que podem ou não pertencer a esta área.

Exemplo 2.1. Encontrar domínio
funções
.

Solução. Esta função é definida nos pontos do plano , no qual , ou . Pontos do plano para os quais , formam o limite da região . A equação define uma parábola (Fig. 2.1; uma vez que a parábola não pertence à área , é mostrado como uma linha pontilhada). Além disso, é fácil verificar diretamente que os pontos para os quais , localizado acima da parábola. Região é aberto e pode ser especificado usando o sistema de desigualdades:

Se variável dar algum impulso
, uma deixe constante, então a função
receberá um incremento
chamado função de incremento privado por variável :

Da mesma forma, se a variável recebe um incremento
, uma permanece constante, então a função
receberá um incremento
chamado função de incremento privado por variável :

Se existirem limites:

,

,

eles são chamados derivadas parciais de uma função
por variáveis e respectivamente.

Observação 2.1. As derivadas parciais de funções de qualquer número de variáveis ​​independentes são definidas de forma semelhante.

Observação 2.2. Como a derivada parcial em relação a qualquer variável é uma derivada em relação a essa variável, desde que as outras variáveis ​​sejam constantes, todas as regras para diferenciar funções de uma variável são aplicáveis ​​para encontrar derivadas parciais de funções de qualquer número de variáveis.

Exemplo 2.2.
.

Solução. Nós achamos:

,

.

Exemplo 2.3. Encontrar derivadas parciais de funções
.

Solução. Nós achamos:

,

,

.

Incremento completo da função
chama-se diferença

Parte principal do incremento total da função
, linearmente dependente de incrementos de variáveis ​​independentes
e
,é chamada de diferencial total da função e denotado
. Se uma função tem derivadas parciais contínuas, então a diferencial total existe e é igual a

,

Onde
,
- incrementos arbitrários de variáveis ​​independentes, chamados seus diferenciais.

Da mesma forma, para uma função de três variáveis
o diferencial total é dado por

.

Deixe a função
tem no ponto
derivadas parciais de primeira ordem em relação a todas as variáveis. Então o vetor é chamado gradiente funções
no ponto
e denotado
ou
.

Observação 2.3. Símbolo
é chamado de operador de Hamilton e é pronunciado "numbla".

Exemplo 2.4. Encontre o gradiente de uma função em um ponto
.

Solução. Vamos encontrar as derivadas parciais:

,
,

e calcule seus valores no ponto
:

,
,
.

Consequentemente,
.

derivado funções
no ponto
na direção do vetor
chamado de limite da razão
no
:

, Onde
.

Se a função
é diferenciável, então a derivada nesta direção é calculada pela fórmula:

,

Onde ,- ângulos, que vetor formas com eixos
e
respectivamente.

No caso de uma função de três variáveis
a derivada direcional é definida de forma semelhante. A fórmula correspondente tem a forma

,

Onde
- cossenos de direção do vetor .

Exemplo 2.5. Encontre a derivada de uma função
no ponto
na direção do vetor
, Onde
.

Solução. Vamos encontrar o vetor
e seus cossenos de direção:

,
,
,
.

Calcular os valores das derivadas parciais no ponto
:

,
,
;
,
,
.

Substituindo em (2.1), obtemos

.

Derivadas parciais de segunda ordem chamadas derivadas parciais tomadas de derivadas parciais de primeira ordem:

,

,

,

Derivados parciais
,
chamado misturado . Os valores das derivadas mistas são iguais nos pontos em que essas derivadas são contínuas.

Exemplo 2.6. Encontrar derivadas parciais de segunda ordem de uma função
.

Solução. Calcule as primeiras derivadas parciais de primeira ordem:

,
.

Diferenciando-os novamente, temos:

,
,

,
.

Comparando as últimas expressões, vemos que
.

Exemplo 2.7. Prove que a função
satisfaz a equação de Laplace

.

Solução. Nós achamos:

,
.

,
.

.

Ponto
chamado ponto máximo local (mínimo ) funções
, se para todos os pontos
, outro que não seja
e pertencendo a uma vizinhança suficientemente pequena dela, a desigualdade

(
).

O máximo ou mínimo de uma função é chamado de extremo . O ponto em que o extremo da função é atingido é chamado ponto extremo da função .

Teorema 2.1 (Condições necessárias para um extremo ). Se ponto
é o ponto extremo da função
, então pelo menos uma dessas derivadas não existe.

Os pontos para os quais essas condições são atendidas são chamados de estacionário ou crítico . Pontos extremos são sempre estacionários, mas um ponto estacionário pode não ser um ponto extremo. Para que um ponto estacionário seja um ponto extremo, devem ser satisfeitas condições extremas suficientes.

Vamos primeiro introduzir a seguinte notação :

,
,
,
.

Teorema 2.2 (Condições suficientes para um extremo ). Deixe a função
é duas vezes diferenciável em uma vizinhança de um ponto
e ponto
é estacionário para a função
. Então:

1.Se um
, então o ponto
é o extremo da função e
será o ponto máximo em
(
)e o ponto mínimo em
(
).

2.Se um
, então no ponto

não há extremo.

3.Se um
, então pode ou não haver um extremo.

Exemplo 2.8. Investigar uma função para um extremo
.

Solução. Como neste caso sempre existem derivadas parciais de primeira ordem, para encontrar os pontos estacionários (críticos) resolvemos o sistema:

,
,

Onde
,
,
,
. Assim, temos dois pontos estacionários:
,
.

,
,
.

Por ponto
obtemos:, ou seja, não há extremo neste ponto. Por ponto
obtemos: e
, Consequentemente

neste ponto, esta função atinge um mínimo local: .

A área de um trapézio curvilíneo limitado de cima pelo gráfico de uma função y=f(x), esquerda e direita - em linha reta x=a e x=b respectivamente, de baixo - o eixo Boi, é calculado pela fórmula

Área de um trapézio curvilíneo limitado à direita pelo gráfico de uma função x=φ(y), superior e inferior - reto s = d e y=c respectivamente, à esquerda - o eixo Oi:

A área de uma figura curvilínea limitada de cima por um gráfico de uma função y 2 \u003d f 2 (x), abaixo - gráfico da função y 1 \u003d f 1 (x), esquerda e direita - em linha reta x=a e x=b:

A área de uma figura curvilínea delimitada à esquerda e à direita por gráficos de funções x 1 \u003d φ 1 (y) e x 2 \u003d φ 2 (y), superior e inferior - reto s = d e y=c respectivamente:

Considere o caso em que a linha que limita o trapézio curvilíneo de cima é dada pelas equações paramétricas x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t), Onde α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β) = b. Essas equações definem alguma função y=f(x) no segmento [ a, b]. A área de um trapézio curvilíneo é calculada pela fórmula

Vamos passar para uma nova variável x = φ 1 (t), então dx = φ" 1 (t) dt, uma y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), portanto \begin(displaymath)

Área em coordenadas polares

Considere um setor curvilíneo OAB, limitado pela reta dada pela equação ρ=ρ(φ) em coordenadas polares, dois feixes OA e OB, para qual φ=α , φ=β .

Dividimos o setor em setores elementares OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 = A, Mn=B). Denotado por Δφkângulo entre vigas OM k-1 e OM k formando ângulos com o eixo polar φk-1 e φk respectivamente. Cada um dos setores elementares OM k-1 M k substituir por um setor circular com raio ρ k \u003d ρ (φ "k), Onde φ" k- valor do ângulo φ do intervalo [ φk-1, φk], e o ângulo central Δφk. A área do último setor é expressa pela fórmula .

expressa a área do setor "escalonado", que substitui aproximadamente o setor dado OAB.

Área do setor OABé chamado de limite da área do setor "escalonado" em n→∞ e λ=max Δφ k → 0:

Porque , então

Comprimento do arco da curva

Deixe no intervalo [ a, b] uma função diferenciável é dada y=f(x), cujo gráfico é o arco . Segmento de linha [ a, b] dividido em n pontos de peças x 1, x2, …, xn-1. Esses pontos corresponderão aos pontos M1, M2, …, Mn-1 arcos, conecte-os com uma linha quebrada, que é chamada de linha quebrada inscrita em um arco. O perímetro desta linha tracejada é denotado por s n, isso é

Definição. O comprimento do arco da linha é o limite do perímetro da polilinha nela inscrita, quando o número de links M k-1 M k aumenta indefinidamente, e o comprimento do maior deles tende a zero:

onde λ é o comprimento do maior link.

Contaremos o comprimento do arco de alguns de seus pontos, por exemplo, UMA. Deixe no ponto M(x,y) comprimento do arco é s, e no ponto M"(x+Δx,y+Δy) comprimento do arco é s+Δs, onde, i>Δs - comprimento do arco. De um triângulo MNM" encontre o comprimento da corda: .

Por considerações geométricas segue que

isto é, o arco infinitamente pequeno da linha e a corda que a subtende são equivalentes.

Vamos transformar a fórmula que expressa o comprimento da corda:

Passando ao limite nesta igualdade, obtemos uma fórmula para a derivada da função s=s(x):

do qual encontramos

Esta fórmula expressa a diferencial do arco de uma curva plana e tem um sentido geométrico: expressa o teorema de Pitágoras para um triângulo infinitesimal MTN (ds=MT, ).

A diferencial do arco da curva espacial é dada por

Considere um arco de uma linha de espaço dado pelas equações paramétricas

Onde α ≤ t ≤ β, φi (t) (i=1, 2, 3) são funções diferenciáveis ​​do argumento t, então

Integrando esta igualdade no intervalo [ α, β ], obtemos uma fórmula para calcular o comprimento deste arco de linha

Se a linha está em um plano Oxi, então z=0 para todos t∈[α, β], é por isso

No caso em que a linha plana é dada pela equação y=f(x) (a≤x≤b), Onde f(x)é uma função diferenciável, a última fórmula assume a forma

Seja a reta plana dada pela equação ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) em coordenadas polares. Neste caso, temos as equações paramétricas da reta x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sen φ, onde o ângulo polar é tomado como parâmetro φ . Porque o

então a fórmula que expressa o comprimento do arco da linha ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) em coordenadas polares tem a forma

volume corporal

Vamos encontrar o volume de um corpo se a área de qualquer seção transversal desse corpo perpendicular a uma determinada direção for conhecida.

Vamos dividir este corpo em camadas elementares por planos perpendiculares ao eixo Boi e definido pelas equações x=const. Para qualquer fixo x∈área conhecida S=S(x) seção transversal deste corpo.

Camada elementar cortada por aviões x=x k-1, x=xk (k=1, …, n, x 0 = a, xn=b), substituímos por um cilindro de altura ∆x k = x k -x k-1 e área de base S(ξk), ξk ∈.

O volume do cilindro elementar especificado é expresso pela fórmula Δvk = E(ξk)Δxk. Vamos resumir todos esses produtos

que é a soma integral da função dada S=S(x) no segmento [ a, b]. Expressa o volume de um corpo escalonado, constituído por cilindros elementares e substituindo aproximadamente o corpo dado.

O volume de um determinado corpo é o limite do volume do corpo escalonado especificado em λ→0 , Onde λ - o comprimento do maior dos segmentos elementares ∆xk. Denotado por V o volume do corpo dado, então por definição

Por outro lado,

Portanto, o volume do corpo para determinadas seções transversais é calculado pela fórmula

Se o corpo é formado pela rotação em torno de um eixo Boi trapézio curvilíneo limitado de cima por um arco de uma linha contínua y=f(x), Onde a≤x≤b, então S(x)=πf 2 (x) e a última fórmula fica:

Comente. O volume de um corpo obtido pela rotação de um trapézio curvilíneo limitado à direita por um gráfico de função x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), em torno do eixo Oi calculado pela fórmula

Área de superfície de rotação

Considere a superfície obtida pela rotação do arco da linha y=f(x) (a≤x≤b) em torno do eixo Boi(suponha que a função y=f(x) tem uma derivada contínua). Fixamos o valor x∈, o argumento da função será incrementado dx, que corresponde ao "anel elementar" obtido pela rotação do arco elementar Δl. Este "anel" é substituído por um anel cilíndrico - a superfície lateral do corpo formada pela rotação de um retângulo com base igual ao diferencial do arco dl, e altura h=f(x). Cortando o último anel e desdobrando-o, obtemos uma tira com largura dl e comprimento 2πy, Onde y=f(x).

Portanto, o diferencial da área de superfície é expresso pela fórmula

Esta fórmula expressa a área da superfície obtida pela rotação do arco de uma linha y=f(x) (a≤x≤b) em torno do eixo Boi.