a)

Solução.

O primeiro e mais importante momento da decisão é a construção de um desenho.

Vamos fazer um desenho:

A equação y=0 define o eixo x;

- x=-2 e x=1 - reta, paralela ao eixo UO;

- y \u003d x 2 +2 - uma parábola cujos ramos são direcionados para cima, com um vértice no ponto (0;2).

Comente. Para construir uma parábola, basta encontrar os pontos de sua interseção com os eixos coordenados, ou seja, colocando x=0 encontre a interseção com o eixo UO e resolvendo a equação quadrática correspondente, encontre a interseção com o eixo Oh .

O vértice de uma parábola pode ser encontrado usando as fórmulas:

Você pode desenhar linhas e ponto a ponto.

No intervalo [-2;1] o gráfico da função y = x 2 +2 localizado sobre o eixo Boi , é por isso:

Responda: S \u003d 9 unidades quadradas

Depois que a tarefa estiver concluída, é sempre útil olhar o desenho e descobrir se a resposta é real. Neste caso, "a olho" contamos o número de células no desenho - bem, cerca de 9 serão digitados, parece ser verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células claramente não se encaixam na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.

O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo Oh?

b) Calcular a área de uma figura delimitada por linhas y=-e x , x=1 e eixos coordenados.

Solução.

Vamos fazer um desenho.

Se um trapézio curvilíneo completamente sob o eixo Oh , então sua área pode ser encontrada pela fórmula:

Responda: S=(e-1) unidade quadrada" 1,72 unidade quadrada

Atenção! Não confunda os dois tipos de tarefas:

1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, então ela pode ser negativa.

2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, então a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.

Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior.

Com) Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Solução.

Primeiro você precisa fazer um desenho. De um modo geral, ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados ​​nos pontos de interseção das linhas. Encontre os pontos de interseção da parábola e direto Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica.

Resolvemos a equação:

Portanto, o limite inferior de integração a=0 , o limite superior de integração b=3 .

Construímos as linhas dadas: 1. Parábola - vértice no ponto (1;1); interseção do eixo Oh - pontos(0;0) e (0;2). 2. Reta - a bissetriz dos ângulos coordenados 2º e 4º. E agora Atenção! Se no segmento [ a; b] alguma função contínua f(x) maior ou igual a alguma função contínua g(x), então a área da figura correspondente pode ser encontrada pela fórmula: . E não importa onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo, mas é importante qual gráfico está MAIS ALTO (em relação a outro gráfico) e qual está ABAIXO. No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, é necessário subtrair de

É possível construir linhas ponto a ponto, enquanto os limites de integração são descobertos como se fossem "por si mesmos". No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda precisa ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais).

A figura desejada é limitada por uma parábola de cima e uma linha reta de baixo.

No segmento , de acordo com a fórmula correspondente:

Responda: S \u003d unidades de 4,5 m²

De fato, para encontrar a área de uma figura, você não precisa de tanto conhecimento da integral indefinida e definida. A tarefa "calcular a área usando uma integral definida" sempre envolve a construção de um desenho, então seus conhecimentos e habilidades de desenho serão uma questão muito mais relevante. Nesse sentido, é útil refrescar a memória dos gráficos das principais funções elementares e, no mínimo, poder construir uma linha reta e uma hipérbole.

Um trapézio curvilíneo é uma figura plana limitada por um eixo, linhas retas e um gráfico de uma função contínua em um segmento que não muda de sinal nesse intervalo. Seja esta figura localizada não menos abscissa:

Então a área de um trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma certa integral. Qualquer integral definida (que existe) tem um significado geométrico muito bom.

Em termos de geometria, a integral definida é a ÁREA.

Aquilo é, a integral definida (se existir) corresponde geometricamente à área de alguma figura. Por exemplo, considere a integral definida . O integrando define uma curva no plano que está localizado acima do eixo (quem desejar pode completar o desenho), e a própria integral definida é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo correspondente.

Exemplo 1

Esta é uma declaração de tarefa típica. O primeiro e mais importante momento da decisão é a construção de um desenho. Além disso, o desenho deve ser construído CERTO.

Ao construir um blueprint, recomendo a seguinte ordem: primeiroé melhor construir todas as linhas (se houver) e apenas depois- parábolas, hipérboles, gráficos de outras funções. Gráficos de função são mais rentáveis ​​para construir ponto.

Neste problema, a solução pode ser assim.
Vamos fazer um desenho (note que a equação define o eixo):

No segmento, o gráfico da função está localizado sobre o eixo, é por isso:

Responda:

Depois que a tarefa estiver concluída, é sempre útil olhar o desenho e descobrir se a resposta é real. Neste caso, "a olho" contamos o número de células no desenho - bem, cerca de 9 serão digitados, parece ser verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células claramente não se encaixam na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.

Exemplo 3

Calcule a área da figura delimitada por linhas e eixos de coordenadas.

Solução: Vamos fazer um desenho:

Se o trapézio curvilíneo está localizado sob o eixo(ou pelo menos não mais alto dado eixo), então sua área pode ser encontrada pela fórmula:

Nesse caso:

Atenção! Não confunda os dois tipos de tarefas:

1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, então ela pode ser negativa.

2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, então a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.

Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior e, portanto, dos problemas escolares mais simples, passamos para exemplos mais significativos.

Exemplo 4

Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas , .

Solução: Primeiro você precisa completar o desenho. De um modo geral, ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados ​​nos pontos de interseção das linhas. Vamos encontrar os pontos de intersecção da parábola e da linha. Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica. Resolvemos a equação:

Portanto, o limite inferior de integração , o limite superior de integração .

É melhor não usar esse método, se possível..

É muito mais lucrativo e rápido construir as linhas ponto a ponto, enquanto os limites da integração são descobertos “por si mesmos”. No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda precisa ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais). E também consideraremos esse exemplo.

Voltamos à nossa tarefa: é mais racional construir primeiro uma linha reta e só depois uma parábola. Vamos fazer um desenho:

E agora a fórmula de trabalho: Se houver alguma função contínua no intervalo maior ou igual alguma função contínua, então a área da figura limitada pelos gráficos dessas funções e linhas retas, pode ser encontrada pela fórmula:

Aqui não é mais necessário pensar onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo e, grosso modo, importa qual gráfico está ACIMA(em relação a outro gráfico), e qual está ABAIXO.

No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, é necessário subtrair de

A conclusão da solução pode ficar assim:

A figura desejada é limitada por uma parábola de cima e uma linha reta de baixo.
No segmento , de acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

Exemplo 4

Calcule a área da figura delimitada pelas linhas , , , .

Solução: Vamos fazer um desenho primeiro:

A figura cuja área precisamos encontrar está sombreada em azul.(olhe atentamente para a condição - como a figura é limitada!). Mas, na prática, devido à desatenção, ocorre frequentemente uma "falha", que você precisa encontrar a área da figura sombreada em verde!

Este exemplo também é útil porque nele a área da figura é calculada usando duas integrais definidas.

Sério:

1) No segmento acima do eixo há um gráfico de linha reta;

2) No segmento acima do eixo há um gráfico de hipérbole.

É bastante óbvio que as áreas podem (e devem) ser adicionadas, portanto:

A área de um trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma certa integral

Qualquer integral definida (que existe) tem um significado geométrico muito bom. Na aula, eu disse que uma integral definida é um número. E agora é hora de declarar outro fato útil. Do ponto de vista da geometria, a integral definida é a ÁREA.

Aquilo é, a integral definida (se existir) corresponde geometricamente à área de alguma figura. Por exemplo, considere a integral definida . O integrando define uma certa curva no plano (sempre pode ser desenhada se desejado), e a própria integral definida é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo correspondente.

Exemplo 1

Esta é uma declaração de tarefa típica. O primeiro e mais importante momento da decisão é a construção de um desenho. Além disso, o desenho deve ser construído CERTO.

Ao construir um blueprint, recomendo a seguinte ordem: primeiroé melhor construir todas as linhas (se houver) e apenas depois- parábolas, hipérboles, gráficos de outras funções. Gráficos de função são mais rentáveis ​​para construir ponto por ponto, a técnica de construção pontual pode ser encontrada no material de referência.

Lá você também pode encontrar material muito útil em relação à nossa lição - como construir rapidamente uma parábola.

Neste problema, a solução pode ser assim.
Vamos fazer um desenho (note que a equação define o eixo):

Não vou eclodir um trapézio curvilíneo, é óbvio de que área estamos falando aqui. A solução continua assim:

No segmento, o gráfico da função está localizado sobre o eixo, é por isso:

Responda:

Quem tem dificuldade em calcular a integral definida e aplicar a fórmula de Newton-Leibniz , consulte a palestra Integral definida. Exemplos de soluções.

Depois que a tarefa estiver concluída, é sempre útil olhar o desenho e descobrir se a resposta é real. Neste caso, “a olho” contamos o número de células no desenho - bem, cerca de 9 serão digitados, parece ser verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células obviamente não se encaixam na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.

Exemplo 2

Calcule a área da figura delimitada pelas linhas , , e o eixo

Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.

O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo?

Exemplo 3

Calcule a área da figura delimitada por linhas e eixos de coordenadas.

Solução: Vamos fazer um desenho:

Se um trapézio curvilíneo completamente sob o eixo, então sua área pode ser encontrada pela fórmula:
Nesse caso:

Atenção! Os dois tipos de tarefas não devem ser confundidos:

1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, então ela pode ser negativa.

2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, então a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.

Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior e, portanto, dos problemas escolares mais simples, passamos para exemplos mais significativos.

Exemplo 4

Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas , .

Solução: Primeiro você precisa fazer um desenho. De um modo geral, ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados ​​nos pontos de interseção das linhas. Vamos encontrar os pontos de intersecção da parábola e da linha. Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica. Resolvemos a equação:

Portanto, o limite inferior de integração , o limite superior de integração .
É melhor não usar este método, se possível.

É muito mais lucrativo e rápido construir as linhas ponto a ponto, enquanto os limites da integração são descobertos “por si mesmos”. A técnica de construção ponto a ponto para vários gráficos é discutida em detalhes na ajuda Gráficos e propriedades de funções elementares. No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda precisa ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais). E também consideraremos esse exemplo.

Voltamos à nossa tarefa: é mais racional construir primeiro uma linha reta e só depois uma parábola. Vamos fazer um desenho:

Repito que com a construção pontual, os limites da integração são mais frequentemente descobertos “automaticamente”.

E agora a fórmula de trabalho: Se em um segmento alguma função contínua maior ou igual alguma função contínua, então a área da figura correspondente pode ser encontrada pela fórmula:

Aqui não é mais necessário pensar onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo e, grosso modo, importa qual gráfico está ACIMA(em relação a outro gráfico), e qual está ABAIXO.

No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, é necessário subtrair de

A conclusão da solução pode ficar assim:

A figura desejada é limitada por uma parábola de cima e uma linha reta de baixo.
No segmento , de acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

De fato, a fórmula escolar para a área de um trapézio curvilíneo no semiplano inferior (veja o exemplo simples nº 3) é um caso especial da fórmula . Como o eixo é dado pela equação e o gráfico da função está localizado abaixo do eixo, então

E agora alguns exemplos para uma solução independente

Exemplo 5

Exemplo 6

Encontre a área da figura delimitada pelas linhas , .

Ao resolver problemas para calcular a área usando uma determinada integral, às vezes acontece um incidente engraçado. O desenho foi feito corretamente, os cálculos estavam corretos, mas por desatenção... encontrou a área da figura errada, foi assim que seu servo obediente errou várias vezes. Aqui está um caso da vida real:

Exemplo 7

Calcule a área da figura delimitada pelas linhas , , , .

Vamos desenhar primeiro:

A figura cuja área precisamos encontrar está sombreada em azul.(olhe atentamente para a condição - como a figura é limitada!). Mas, na prática, devido à desatenção, muitas vezes ocorre que você precisa encontrar a área da figura sombreada em verde!

Este exemplo também é útil porque nele a área da figura é calculada usando duas integrais definidas. Sério:

1) No segmento acima do eixo há um gráfico de linha reta;

2) No segmento acima do eixo há um gráfico de hipérbole.

É bastante óbvio que as áreas podem (e devem) ser adicionadas, portanto:

Responda:

Exemplo 8

Calcule a área de uma figura delimitada por linhas,
Vamos apresentar as equações em forma de "escola" e fazer um desenho ponto a ponto:

Pode-se ver pelo desenho que nosso limite superior é “bom”: .
Mas qual é o limite inferior? É claro que isso não é um número inteiro, mas o quê? Pode ser ? Mas onde está a garantia de que o desenho é feito com perfeita precisão, pode ser que isso aconteça. Ou raiz. E se não acertarmos o gráfico?

Nesses casos, é preciso gastar mais tempo e refinar analiticamente os limites da integração.

Vamos encontrar os pontos de intersecção da linha e da parábola.
Para isso, resolvemos a equação:

Consequentemente, .

A solução adicional é trivial, o principal é não se confundir com substituições e sinais, os cálculos aqui não são os mais fáceis.

No segmento , de acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

Bem, na conclusão da lição, vamos considerar duas tarefas mais difíceis.

Exemplo 9

Calcule a área da figura delimitada por linhas , ,

Solução: Desenhe esta figura no desenho.

Para a construção ponto a ponto de um desenho, é necessário conhecer a aparência da senóide (e em geral é útil conhecer gráficos de todas as funções elementares), bem como alguns valores de seno, eles podem ser encontrados em tabela trigonométrica. Em alguns casos (como neste caso), é permitido construir um desenho esquemático, no qual gráficos e limites de integração devem ser exibidos em princípio corretamente.

Não há problemas com os limites de integração aqui, eles seguem diretamente da condição: - "x" muda de zero para "pi". Tomamos mais uma decisão:

No segmento, o gráfico da função está localizado acima do eixo, portanto:

(1) Como senos e cossenos são integrados em potências ímpares pode ser visto na lição Integrais de funções trigonométricas. Esta é uma técnica típica, nós beliscamos um seno.

(2) Usamos a identidade trigonométrica básica na forma

(3) Vamos mudar a variável , então:

Novas redistribuições de integração:

Quem é realmente mau negócio com substituições, por favor, vá para a lição Método de substituição em integral indefinida. Para aqueles que não são muito claros sobre o algoritmo de substituição em uma integral definida, visite a página Integral definida. Exemplos de soluções.

Começamos a considerar o processo real de cálculo da integral dupla e nos familiarizamos com seu significado geométrico.

A integral dupla é numericamente igual à área de uma figura plana (região de integração). Esta é a forma mais simples da integral dupla, quando a função de duas variáveis ​​é igual a um: .

Consideremos primeiro o problema em termos gerais. Agora você ficará surpreso com o quão simples é realmente! Vamos calcular a área de uma figura plana delimitada por linhas. Por definição, assumimos que no intervalo . A área desta figura é numericamente igual a:

Vamos representar a área no desenho:

Vamos escolher a primeira maneira de contornar a área:

Nesse caminho:

E imediatamente um truque técnico importante: integrais iteradas podem ser consideradas separadamente. Primeiro a integral interna, depois a integral externa. Este método é altamente recomendado para iniciantes no tópico bules.

1) Calcule a integral interna, enquanto a integração é realizada sobre a variável "y":

A integral indefinida aqui é a mais simples, e então a fórmula banal de Newton-Leibniz é usada, com a única diferença de que os limites de integração não são números, mas funções. Primeiro, substituímos o limite superior no “y” (função antiderivada), depois o limite inferior

2) O resultado obtido no primeiro parágrafo deve ser substituído na integral externa:

Uma notação mais compacta para toda a solução se parece com isso:

A fórmula resultante - esta é exatamente a fórmula de trabalho para calcular a área de uma figura plana usando a integral definida "ordinária"! Ver lição Calculando a área usando uma integral definida, lá está ela em cada turno!

Aquilo é, o problema de calcular a área usando uma integral dupla pouco diferente do problema de encontrar a área usando uma integral definida! Na verdade, eles são a mesma coisa!

Assim, nenhuma dificuldade deve surgir! Não considerarei muitos exemplos, pois você, de fato, encontrou repetidamente esse problema.

Exemplo 9

Solução: Vamos representar a área no desenho:

Vamos escolher a seguinte ordem de travessia da região:

Aqui e abaixo, não vou entrar em como atravessar uma área porque o primeiro parágrafo foi muito detalhado.

Nesse caminho:

Como já observei, é melhor que os iniciantes calculem as integrais iteradas separadamente, seguirei o mesmo método:

1) Primeiro, usando a fórmula de Newton-Leibniz, lidamos com a integral interna:

2) O resultado obtido na primeira etapa é substituído na integral externa:

O ponto 2 está na verdade encontrando a área de uma figura plana usando uma integral definida.

Responda:

Aqui está uma tarefa tão estúpida e ingênua.

Um exemplo curioso para uma solução independente:

Exemplo 10

Usando a integral dupla, calcule a área de uma figura plana limitada pelas linhas , ,

Um exemplo de uma solução final no final da lição.

Nos Exemplos 9-10, é muito mais lucrativo usar a primeira forma de contornar a área, leitores curiosos, aliás, podem alterar a ordem do desvio e calcular as áreas da segunda forma. Se você não cometer um erro, naturalmente, os mesmos valores de área serão obtidos.

Mas, em alguns casos, a segunda maneira de contornar a área é mais eficaz e, na conclusão do curso do jovem nerd, vejamos mais alguns exemplos sobre esse tópico:

Exemplo 11

Usando a integral dupla, calcule a área de uma figura plana delimitada por linhas.

Solução: estamos ansiosos por duas parábolas com uma brisa que estão de lado. Não há necessidade de sorrir, coisas semelhantes em integrais múltiplas são frequentemente encontradas.

Qual é a maneira mais fácil de fazer um desenho?

Vamos representar a parábola como duas funções:
- ramo superior e - ramo inferior.

Da mesma forma, imagine uma parábola como uma parte superior e inferior galhos.

Em seguida, unidades de plotagem ponto a ponto, resultando em uma figura tão bizarra:

A área da figura é calculada usando a integral dupla de acordo com a fórmula:

O que acontece se escolhermos a primeira maneira de contornar a área? Em primeiro lugar, esta área terá de ser dividida em duas partes. E em segundo lugar, observaremos este triste quadro: . As integrais, é claro, não são de um nível supercomplexo, mas... existe um velho ditado matemático: quem é amigo das raízes não precisa de compensação.

Portanto, a partir do mal-entendido que é dado na condição, expressamos as funções inversas:

As funções inversas neste exemplo têm a vantagem de definir imediatamente toda a parábola sem folhas, bolotas, galhos e raízes.

De acordo com o segundo método, a área transversal será a seguinte:

Nesse caminho:

Como dizem, sinta a diferença.

1) Lidamos com a integral interna:

Substituímos o resultado na integral externa:

A integração sobre a variável "y" não deve ser embaraçosa, se houvesse uma letra "zyu" - seria ótimo integrar sobre ela. Embora quem leu o segundo parágrafo da lição Como calcular o volume de um corpo de revolução, ele não sente mais o menor constrangimento com a integração sobre "y".

Preste atenção também ao primeiro passo: o integrando é par e o segmento de integração é simétrico em relação a zero. Portanto, o segmento pode ser dividido pela metade e o resultado pode ser dobrado. Esta técnica é comentada em detalhes na lição. Métodos eficientes para calcular a integral definida.

O que adicionar…. Tudo!

Responda:

Para testar sua técnica de integração, você pode tentar calcular . A resposta deve ser exatamente a mesma.

Exemplo 12

Usando a integral dupla, calcule a área de uma figura plana delimitada por linhas

Este é um exemplo de faça você mesmo. É interessante notar que, se você tentar usar a primeira maneira de contornar a área, a figura não será mais dividida em duas, mas em três partes! E, consequentemente, obtemos três pares de integrais iteradas. As vezes acontece.

A master class chegou ao fim, e é hora de passar para o nível de grande mestre - Como calcular a integral dupla? Exemplos de soluções. Vou tentar não ser tão maníaco no segundo artigo =)

Desejo-lhe sucesso!

Soluções e respostas:

Exemplo 2:Solução: Desenhe uma área no desenho:

Vamos escolher a seguinte ordem de travessia da região:

Nesse caminho:
Vamos para as funções inversas:


Nesse caminho:
Responda:

Exemplo 4:Solução: Vamos para as funções diretas:


Vamos executar o desenho:

Vamos alterar a ordem de travessia da área:

Responda:

Agora nos voltamos para a consideração de aplicações do cálculo integral. Nesta lição, analisaremos uma tarefa típica e mais comum. calcular a área de uma figura plana usando uma integral definida. Finalmente, todos aqueles que procuram significado na matemática superior - que eles o encontrem. Nunca se sabe. Na vida real, você terá que aproximar uma casa de verão com funções elementares e encontrar sua área usando uma determinada integral.

Para dominar o material com sucesso, você deve:

1) Compreender a integral indefinida pelo menos em um nível intermediário. Assim, os manequins devem primeiro ler a lição Não.

2) Ser capaz de aplicar a fórmula de Newton-Leibniz e calcular a integral definida. Você pode estabelecer relações amigáveis ​​com certas integrais na página Integral definida. Exemplos de soluções. A tarefa "calcular a área usando uma integral definida" sempre envolve a construção de um desenho, portanto, seus conhecimentos e habilidades de desenho também serão uma questão urgente. No mínimo, deve-se ser capaz de construir uma linha reta, uma parábola e uma hipérbole.

Vamos começar com um trapézio curvilíneo. Um trapézio curvilíneo é uma figura plana limitada pelo gráfico de alguma função y = f(x), eixo BOI e linhas x = uma; x = b.

A área de um trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma certa integral

Qualquer integral definida (que existe) tem um significado geométrico muito bom. Na lição Integral definida. Exemplos de soluções dissemos que uma integral definida é um número. E agora é hora de declarar outro fato útil. Do ponto de vista da geometria, a integral definida é a ÁREA. Aquilo é, a integral definida (se existir) corresponde geometricamente à área de alguma figura. Considere a integral definida

Integrando

define uma curva no plano (pode ser desenhada se desejado), e a própria integral definida é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo correspondente.

Exemplo 1

, , , .

Esta é uma declaração de tarefa típica. O ponto mais importante da decisão é a construção de um desenho. Além disso, o desenho deve ser construído CERTO.

Ao construir um blueprint, recomendo a seguinte ordem: primeiroé melhor construir todas as linhas (se houver) e apenas depois- parábolas, hipérboles, gráficos de outras funções. A técnica de construção ponto a ponto pode ser encontrada no material de referência Gráficos e propriedades de funções elementares. Lá você também pode encontrar material muito útil em relação à nossa lição - como construir rapidamente uma parábola.

Neste problema, a solução pode ser assim.

Vamos fazer um desenho (note que a equação y= 0 especifica o eixo BOI):

Não vamos eclodir o trapézio curvilíneo, é óbvio de que área estamos falando aqui. A solução continua assim:

No intervalo [-2; 1] gráfico de função y = x 2 + 2 localizado sobre o eixoBOI, é por isso:

Responda: .

Quem tem dificuldade em calcular a integral definida e aplicar a fórmula de Newton-Leibniz

,

consulte a palestra Integral definida. Exemplos de soluções. Depois que a tarefa estiver concluída, é sempre útil olhar o desenho e descobrir se a resposta é real. Neste caso, “a olho” contamos o número de células no desenho - bem, cerca de 9 serão digitados, parece ser verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células obviamente não se encaixam na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.

Exemplo 2

Calcular a área de uma figura delimitada por linhas xy = 4, x = 2, x= 4 e eixo BOI.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.

O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixoBOI?

Exemplo 3

Calcular a área de uma figura delimitada por linhas y = ex, x= 1 e eixos coordenados.

Solução: Vamos fazer um desenho:

Se um trapézio curvilíneo completamente sob o eixo BOI , então sua área pode ser encontrada pela fórmula:

Nesse caso:

.

Atenção! Os dois tipos de tarefas não devem ser confundidos:

1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, então ela pode ser negativa.

2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, então a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.

Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior e, portanto, dos problemas escolares mais simples, passamos para exemplos mais significativos.

Exemplo 4

Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas y = 2x – x 2 , y = -x.

Solução: Primeiro você precisa fazer um desenho. Ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados ​​nos pontos de interseção das linhas. Encontre os pontos de interseção da parábola y = 2x – x 2 e direto y = -x. Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica. Resolvemos a equação:

Portanto, o limite inferior de integração uma= 0, limite superior de integração b= 3. Muitas vezes é mais lucrativo e rápido construir linhas ponto a ponto, enquanto os limites da integração são descobertos como se fossem “por si mesmos”. No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda precisa ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais). Voltamos à nossa tarefa: é mais racional construir primeiro uma linha reta e só depois uma parábola. Vamos fazer um desenho:

Repetimos que na construção pontual, os limites de integração são mais frequentemente descobertos “automaticamente”.

E agora a fórmula de trabalho:

Se no segmento [ uma; b] alguma função contínua f(x) maior ou igual alguma função contínua g(x), então a área da figura correspondente pode ser encontrada pela fórmula:

Aqui não é mais necessário pensar onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo, mas importa qual gráfico está ACIMA(em relação a outro gráfico), e qual está ABAIXO.

No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, de 2 x – x 2 deve ser subtraído - x.

A conclusão da solução pode ficar assim:

A figura desejada é limitada por uma parábola y = 2x – x 2 superior e reto y = -x de baixo.

No segmento 2 x – x 2 ≥ -x. De acordo com a fórmula correspondente:

Responda: .

De fato, a fórmula escolar para a área de um trapézio curvilíneo no semiplano inferior (veja o exemplo nº 3) é um caso especial da fórmula

.

Desde o eixo BOIé dado pela equação y= 0, e o gráfico da função g(x) está localizado abaixo do eixo BOI, então

.

E agora alguns exemplos para uma solução independente

Exemplo 5

Exemplo 6

Encontre a área de uma figura delimitada por linhas

Ao resolver problemas para calcular a área usando uma determinada integral, às vezes acontece um incidente engraçado. O desenho foi feito corretamente, os cálculos estavam corretos, mas, por desatenção, ... encontrou a área da figura errada.

Exemplo 7

Vamos desenhar primeiro:

A figura cuja área precisamos encontrar está sombreada em azul.(olhe atentamente para a condição - como a figura é limitada!). Mas, na prática, devido à desatenção, eles geralmente decidem que precisam encontrar a área da figura sombreada em verde!

Este exemplo também é útil porque nele a área da figura é calculada usando duas integrais definidas. Sério:

1) No segmento [-1; 1] acima do eixo BOI o gráfico é reto y = x+1;

2) No segmento acima do eixo BOI o gráfico da hipérbole está localizado y = (2/x).

É bastante óbvio que as áreas podem (e devem) ser adicionadas, portanto:

Responda:

Exemplo 8

Calcular a área de uma figura delimitada por linhas

Vamos apresentar as equações na forma "escola"

e faça o desenho da linha:

Pode-se ver pelo desenho que nosso limite superior é “bom”: b = 1.

Mas qual é o limite inferior? É claro que isso não é um número inteiro, mas o quê?

Talvez, uma=(-1/3)? Mas onde está a garantia de que o desenho é feito com perfeita precisão, pode acontecer que uma=(-1/4). E se não acertarmos o gráfico?

Nesses casos, é preciso gastar mais tempo e refinar analiticamente os limites da integração.

Encontre os pontos de interseção dos gráficos

Para isso, resolvemos a equação:

.

Consequentemente, uma=(-1/3).

A outra solução é trivial. O principal é não se confundir em substituições e sinais. Os cálculos aqui não são os mais fáceis. No segmento

, ,

de acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

Na conclusão da lição, consideraremos duas tarefas mais difíceis.

Exemplo 9

Calcular a área de uma figura delimitada por linhas

Solução: Desenhe esta figura no desenho.

Para desenhar um desenho ponto a ponto, você precisa conhecer a aparência da senóide. Em geral, é útil conhecer os gráficos de todas as funções elementares, bem como alguns valores do seno. Eles podem ser encontrados na tabela de valores funções trigonométricas. Em alguns casos (por exemplo, neste caso), é permitido construir um desenho esquemático, no qual gráficos e limites de integração devem ser exibidos em princípio corretamente.

Não há problemas com os limites de integração aqui, eles seguem diretamente da condição:

- "x" muda de zero para "pi". Tomamos mais uma decisão:

No segmento, o gráfico da função y= pecado 3 x localizado acima do eixo BOI, é por isso:

(1) Você pode ver como senos e cossenos são integrados em potências ímpares na lição Integrais de funções trigonométricas. Retiramos um seno.

(2) Usamos a identidade trigonométrica básica na forma

(3) Vamos mudar a variável t= cos x, então: localizado acima do eixo , então:

.

.

Observação: observe como a integral da tangente no cubo é tomada, aqui a consequência da identidade trigonométrica básica é usada

.