Resistência elétrica do cubo

Dado um quadro em forma de cubo, feito de fio de metal. A resistência elétrica de cada aresta do cubo é igual a um ohm. Qual é a resistência do cubo durante a passagem de corrente elétrica de um vértice para outro, se ele estiver conectado a uma fonte DC como mostrado na figura?

Consideramos a resistência do circuito de acordo com as fórmulas para conexão paralela e em série de resistências, obtemos a resposta - a resistência elétrica do cubo é 5/6 Ohm.

Fatos interessantes sobre o problema sobre a resistência do cubo de resistores

1. A solução para o problema da resistência de um cubo em forma geral pode ser encontrada no site da revista Kvant ou veja aqui: "No final dos anos quarenta, o problema da resistência elétrica de um cubo de fio apareceu em círculos matemáticos em Moscou. Não sabemos quem o inventou ou o encontrou em livros didáticos antigos. O problema era muito popular e todos aprenderam rapidamente sobre ele. Logo começou a ser solicitado em exames e ela se tornou ...

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Considere um problema clássico. Um cubo é dado, cujas arestas são condutores com alguma resistência idêntica. Este cubo está incluído no circuito elétrico entre seus vários pontos. Pergunta: qual é a resistência do cubo em cada um desses casos? Neste artigo, um tutor de física e matemática fala sobre como esse problema clássico é resolvido. Há também um tutorial em vídeo no qual você encontrará não apenas uma explicação detalhada da solução do problema, mas também uma demonstração física real que confirma todos os cálculos.

Assim, o cubo pode ser incluído no circuito de três maneiras diferentes.

Resistência do cubo entre vértices opostos

Neste caso, a corrente, tendo atingido o ponto A, é distribuída entre as três arestas do cubo. Nesse caso, como todas as três arestas são equivalentes em termos de simetria, nenhuma das arestas pode receber mais ou menos "significação". Portanto, a corrente entre essas nervuras deve ser distribuída igualmente. Isso é poder...

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Esquisito..
Você respondeu sua própria pergunta..
- Solde e "conecte as sondas do ohmímetro a dois pontos por onde passa a diagonal principal do cubo" "meça-o"

Desenho anexo: --
Chega de raciocínio simples. Conhecimento escolar suficiente em física. A geometria não é necessária aqui, então vamos mover o cubo para o plano e primeiro marcar os pontos característicos.

Desenho anexo: --
Ainda assim, é melhor dar a lógica do raciocínio, e não apenas números ao acaso. No entanto, você não adivinhou!
Proponho buscar soluções originais. Você adivinhou, mas como decidiu? A resposta está absolutamente correta e você pode fechar o tópico. A única coisa é que o problema pode ser resolvido dessa maneira não apenas para o mesmo R. É simples se ...

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Deixe-me comentar a declaração do Mestre

Seja uma tensão U aplicada às arestas opostas do cubo A e C ", como resultado da qual uma corrente I flui na seção externa do circuito em relação ao cubo.

A figura mostra as correntes que fluem ao longo das faces do cubo. A partir de considerações de simetria, pode-se ver que as correntes que fluem ao longo das faces AB, AA "e AD são iguais - denotamos essa corrente como I1; da mesma forma, obtemos que as correntes ao longo das faces DC, DD", BC , BB", A"B", A"D "são iguais a (I2)l; as correntes em termos de CC", B"C" e D"C" também são iguais a (I3).

Escrevemos as leis de Kirchhoff (por exemplo, para os nós A, B, C, C "):
(I = 3I1
(I1 = 2I2
(2I2 = I3
(3I3 = eu

A partir daqui temos I1= I3 = I/3; I2 = I/6

Seja a resistência total do cubo r; então de acordo com a lei de Ohm
(1) U = Ir.
Por outro lado, ao contornar o contorno ABCC" obtemos que
(2) U = (I1 + I2 + I3)R

Da comparação (1) e (2) temos:
r = R*(I1 + I2 + I3)/I = R*(1/3 + 1/6 + 1/3) =...

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Alunos? São trabalhos escolares. Lei de Ohm, conexões em série e em paralelo de resistências, o problema de três resistências e estas ao mesmo tempo.

Obviamente, não levei em consideração o público do site, onde a maioria dos participantes não apenas resolve problemas com prazer, mas também prepara tarefas. E, é claro, ele conhece quebra-cabeças clássicos com pelo menos 50 anos (resolvi-os de uma coleção mais antiga que a primeira edição de Irodov - 1979, como eu a entendo).

Mas ainda é estranho ouvir que "problemas não são Olimpíadas". IMHO, a "Olimpíada" de tarefas é determinada nem tanto e nem tanto pela complexidade, mas principalmente pelo fato de que, ao resolvê-lo, é necessário (sobre algo) adivinhar, após o que a tarefa se torna muito simples de muito complexa.

O aluno médio escreverá um sistema de equações de Kirchoff e o resolverá. E ninguém pode provar a ele que a decisão está errada.
Um aluno inteligente adivinhará a simetria e resolverá problemas mais rapidamente do que o aluno médio.
P.S. No entanto, os "alunos médios" também são diferentes.
P.P.S....

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Não é razoável usar pacotes matemáticos universais na presença de programas de análise de circuitos. Os resultados podem ser obtidos tanto na forma numérica quanto na forma analítica (para circuitos lineares).
Vou tentar dar um algoritmo para derivar a fórmula (R_eq = 3/4 R)
Cortamos o cubo em 2 partes ao longo das diagonais das faces horizontais com um plano passando pelos pontos dados. Obtemos 2 metades do cubo com uma resistência igual a duas vezes a resistência desejada (a condutividade da metade do cubo é igual à metade da condutividade desejada). Onde o plano de corte cruza as nervuras, dividimos suas condutividades pela metade (duplicamos as resistências). Expanda metade do cubo. Obtemos então um esquema com dois nós internos. Substituímos um triângulo por uma estrela, pois os números são inteiros. Bem, então aritmética elementar. Pode ser possível e até mais fácil decidir, dúvidas vagas roem...
PS. No Mapple e/ou Syrup você consegue uma fórmula para qualquer resistência, mas olhando essa fórmula, você vai entender que só um computador quer com ela...

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citações engraçadas

xxx: Sim! SIM! Mais rápido, ainda mais rápido! Eu quero dois de uma vez, não, três! E este também! Oh sim!
yyy: ... cara, o que você está fazendo aí?
xxx: Finalmente download ilimitado de torrents :D

type_2: interessante, e se ele colocasse um cubo de ferro fundido pintado em um cubo de Rubik nele? :)

Uma discussão sobre um robô Lego que resolve um cubo mágico em 6 segundos.
type_2: Eu me pergunto se ele coloca um cubo de ferro fundido pintado em um cubo de Rubik lá? :)
Punky: Adivinhe o país pelos comentários...

xxx: você experimentou os novos shorts?
aaaa: não)
YY: Amanhã...

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Resolvendo problemas para o cálculo de resistência elétrica usando modelos

Seções: Física

Objetivos: educacional: sistematizar o conhecimento e a capacidade dos alunos para resolver problemas e calcular resistências equivalentes usando modelos, frameworks, etc.

Desenvolvimento: desenvolvimento de habilidades de pensamento lógico de pensamento abstrato, a capacidade de substituir esquemas de equivalência, simplificar o cálculo de esquemas.

Educacional: promover um senso de responsabilidade, independência, a necessidade de habilidades adquiridas na lição no futuro

Equipamento: uma armação de arame de um cubo, um tetraedro, uma cadeia infinita de grades de resistência.

DURANTE AS AULAS

Atualizar:

1. Professor: "Lembre-se da conexão em série das resistências."

Os alunos desenham um diagrama no quadro.

e anote

Professor: lembre-se da conexão paralela das resistências.

Um aluno no quadro-negro desenha um desenho elementar ...

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Para o desenvolvimento das capacidades criativas dos alunos, interessam as tarefas de resolução de circuitos de resistência CC pelo método dos nós equipotenciais. A solução destes problemas é acompanhada por uma transformação sequencial do esquema original. Além disso, ele sofre a maior alteração após a primeira etapa, quando esse método é usado. Outras conversões estão associadas à substituição equivalente de resistores em série ou paralelo.

Para transformar uma cadeia, eles usam a propriedade de que em qualquer cadeia, pontos com os mesmos potenciais podem ser conectados em nós. E vice-versa: os nós da cadeia podem ser divididos se depois disso os potenciais dos pontos incluídos no nó não mudarem.

Na literatura metodológica, eles costumam escrever assim: se o circuito contém condutores com as mesmas resistências, localizados simetricamente em torno de qualquer eixo ou plano de simetria, então os pontos desses condutores, simétricos em torno desse eixo ou plano, têm o mesmo potencial. Mas toda a dificuldade é que ninguém designa tal eixo ou plano no diagrama e não é fácil encontrá-lo.

Proponho outra maneira simplificada de resolver esses problemas.

Tarefa 1. Um cubo de arame (Fig. 1) é incluído na cadeia entre os pontos A a V

Encontre sua resistência total se a resistência de cada aresta for R.

Vamos colocar o cubo na borda AB(Fig. 2) e "corte" em doismetades paralelas avião AA 1 B 1 Bpassando pelas bordas inferior e superior.

Considere a metade direita do cubo. Levamos em conta que as costelas inferior e superior se dividiram ao meio e ficaram 2 vezes mais finas, e suas resistências aumentaram 2 vezes e se tornaram 2 R(Fig. 3).

1) Encontre resistênciaR1os três condutores superiores conectados em série:

4) Encontre a resistência total desta metade do cubo (Fig. 6):

Encontre a resistência total do cubo:

Acabou sendo relativamente simples, compreensível e acessível a todos.

Tarefa 2. O cubo de arame está conectado ao circuito não por uma aresta, mas por uma diagonal CA qualquer borda. Encontre sua resistência total se a resistência de cada aresta for R (Fig. 7).

Coloque o cubo na aresta AB novamente. "Vi" o cubo em doismetades paralelasmesmo plano vertical (ver Fig. 2).

Novamente, considere a metade direita do cubo de arame. Levamos em conta que as costelas superior e inferior se dividiram ao meio e suas resistências se tornaram 2 R.

Tendo em conta as condições do problema, temos a seguinte ligação (Fig. 8).

Considere um problema clássico. Um cubo é dado, cujas arestas são condutores com alguma resistência idêntica. Este cubo está incluído no circuito elétrico entre seus vários pontos. Pergunta: o que é resistência do cubo em cada um desses casos? Neste artigo, um tutor de física e matemática fala sobre como esse problema clássico é resolvido. Há também um tutorial em vídeo no qual você encontrará não apenas uma explicação detalhada da solução do problema, mas também uma demonstração física real que confirma todos os cálculos.

Assim, o cubo pode ser incluído no circuito de três maneiras diferentes.

Resistência do cubo entre vértices opostos

Neste caso, a corrente, chegando ao ponto UMA, é distribuído entre as três arestas do cubo. Nesse caso, como todas as três arestas são equivalentes em termos de simetria, nenhuma das arestas pode receber mais ou menos "significação". Portanto, a corrente entre essas nervuras deve ser distribuída igualmente. Ou seja, a força atual em cada costela é igual a:

Como resultado, verifica-se que a queda de tensão em cada uma dessas três nervuras é a mesma e igual a , onde é a resistência de cada nervura. Mas a queda de tensão entre dois pontos é igual à diferença de potencial entre esses pontos. Ou seja, os potenciais dos pontos C, D e E iguais e iguais. Por razões de simetria, os potenciais dos pontos F, G e K também são os mesmos.

Pontos com o mesmo potencial podem ser conectados por condutores. Isso não mudará nada, porque nenhuma corrente fluirá por esses condutores de qualquer maneira:

Como resultado, obtemos que as arestas CA, DE ANÚNCIOS e EA T. Da mesma forma, costelas Facebook, GB e KB conectar em um ponto. Vamos chamar isso de ponto. M. Quanto às 6 arestas restantes, todos os seus "princípios" serão conectados no ponto T, e todas as extremidades estão no ponto M. Como resultado, obtemos o seguinte circuito equivalente:

Resistência de um cubo entre os cantos opostos de uma face

Neste caso, as arestas são equivalentes DE ANÚNCIOS e CA. Eles vão transportar a mesma corrente. Além disso, os equivalentes também são KE e KF. Eles vão transportar a mesma corrente. Repetimos mais uma vez que a corrente entre as arestas equivalentes deve ser distribuída igualmente, caso contrário a simetria será quebrada:

Assim, neste caso, os pontos têm o mesmo potencial C e D, bem como pontos E e F. Portanto, esses pontos podem ser combinados. Deixe os pontos C e D unir em um ponto M, e os pontos E e F- no ponto T. Então obtemos o seguinte circuito equivalente:

Na seção vertical (diretamente entre os pontos T e M) a corrente não flui. De fato, a situação é análoga a uma ponte de medição equilibrada. Isso significa que esse elo pode ser excluído da cadeia. Depois disso, não será difícil calcular a resistência total:

A resistência do elo superior é , o inferior é . Então a resistência total é:

Resistência do cubo entre vértices adjacentes da mesma face

Esta é a última opção possível para conectar o cubo a um circuito elétrico. Neste caso, as arestas equivalentes pelas quais a mesma corrente fluirá são as arestas CA e DE ANÚNCIOS. E, consequentemente, os mesmos potenciais terão pontos C e D, bem como pontos simétricos a eles E e F:

Novamente conectamos em pares os pontos com os mesmos potenciais. Podemos fazer isso porque nenhuma corrente fluirá entre esses pontos, mesmo se os conectarmos a um condutor. Deixe os pontos C e D mesclar em um ponto T, e os pontos E e F- exatamente M. Então podemos desenhar o seguinte circuito equivalente:

A resistência total do circuito resultante é calculada por métodos padrão. Cada segmento de dois resistores ligados em paralelo é substituído por um resistor com resistência . Então a resistência do segmento "superior", consistindo de resistores ligados em série , e , é igual a .

Este segmento está conectado ao segmento "meio", constituído por um único resistor com resistência , em paralelo. A resistência de um circuito que consiste em dois resistores conectados em paralelo com resistência e é igual a:

Ou seja, o esquema é simplificado para uma forma ainda mais simples:

Como você pode ver, a resistência do segmento em forma de U "superior" é:

Bem, a resistência total de dois resistores conectados em paralelo com a resistência e é igual a:

Experiência para medir a resistência de um cubo

Para mostrar que tudo isso não é um truque matemático e que há física real por trás de todos esses cálculos, decidi realizar um experimento físico direto para medir a resistência de um cubo. Você pode assistir a esse experimento no vídeo no início do artigo. Aqui vou postar fotos da configuração experimental.

Especialmente para este experimento, soldei um cubo, cujas bordas são os mesmos resistores. Eu também tenho um multímetro, que liguei no modo de medição de resistência. A resistência de um único resistor é 38,3 kOhm:

Seções: Física

Metas: educacional: sistematizar os conhecimentos e habilidades dos alunos para resolver problemas e calcular resistências equivalentes usando modelos, quadros, etc.

Desenvolvimento: desenvolvimento de habilidades de pensamento lógico de pensamento abstrato, a capacidade de substituir esquemas de equivalência, simplificar o cálculo de esquemas.

Educacional: promover um senso de responsabilidade, independência, a necessidade de habilidades adquiridas na lição no futuro

Equipamento: uma armação de arame de um cubo, um tetraedro, uma cadeia infinita de grades de resistência.

DURANTE AS AULAS

Atualizar:

1. Professor: "Lembre-se da conexão em série das resistências."

Os alunos desenham um diagrama no quadro.

e anote

U sobre \u003d U 1 + U 2

Y sobre \u003d Y 1 \u003d Y 2

Professor: lembre-se da conexão paralela das resistências.

O aluno desenha um diagrama elementar no quadro:

Y sobre \u003d Y 1 \u003d Y 2

; para para n igual

Professor: E agora vamos resolver problemas para calcular a resistência equivalente, uma seção do circuito é apresentada na forma de uma figura geométrica, ou uma malha metálica.

Tarefa nº 1

Armação de arame na forma de um cubo, cujas arestas representam resistências iguais R. Calcule a resistência equivalente entre os pontos A e B. Para calcular a resistência equivalente desta armação, é necessário substituir o circuito equivalente. Os pontos 1, 2, 3 têm o mesmo potencial, podem ser conectados em um nó. E os pontos (vértices) do cubo 4, 5, 6 podem ser conectados a outro nó pelo mesmo motivo. Os alunos têm um modelo em cada mesa. Após realizar os passos descritos, um circuito equivalente é desenhado.

Na seção AC, a resistência equivalente é ; em CD; no BD; e finalmente para a ligação em série das resistências temos:

Pelo mesmo princípio, os potenciais dos pontos A e 6 são iguais, B e 3 são iguais. Os alunos combinam esses pontos em seu modelo e obtêm o circuito equivalente:

O cálculo da resistência equivalente de tal circuito é simples.

Tarefa nº 3

O mesmo modelo de cubo, com inclusão no circuito entre os pontos 2 e B. Os alunos conectam pontos com potenciais iguais 1 e 3; 6 e 4. Então o circuito ficará assim:

Os pontos 1.3 e 6.4 têm potenciais iguais, e a corrente através das resistências entre esses pontos não fluirá, e o circuito é simplificado para a forma; cuja resistência equivalente é calculada da seguinte forma:

Tarefa nº 4

Uma pirâmide triangular equilátero cuja aresta tem resistência R. Calcule a resistência equivalente quando incluída no circuito.

Os pontos 3 e 4 têm um potencial igual, então nenhuma corrente fluirá ao longo da borda 3.4. Os alunos o removem.

Então o diagrama ficará assim:

A resistência equivalente é calculada da seguinte forma:

Tarefa número 5

Malha metálica com resistência de ligação R. Calcule a resistência equivalente entre os pontos 1 e 2.

No ponto 0, você pode separar os links, então o circuito ficará assim:

- resistência de meia simétrica em 1-2 pontos. Paralelo a ele é o mesmo ramo, portanto

Tarefa número 6

A estrela consiste em 5 triângulos equiláteros, a resistência de cada .

Entre os pontos 1 e 2 um triângulo é paralelo a quatro conectados em série

Tendo experiência no cálculo da resistência equivalente de estruturas de arame, você pode começar a calcular a resistência de um circuito contendo um número infinito de resistências. Por exemplo:

Se você separar o link

do esquema geral, então o esquema não mudará, então ele pode ser representado como

ou ,

resolvemos esta equação em relação a R equiv.

O resultado da lição: aprendemos como representar abstratamente seções de circuito do circuito, substituí-las por circuitos equivalentes que facilitam o cálculo da resistência equivalente.

Nota: Este modelo deve ser representado como:

9º ano

Os elétrons voam para um capacitor plano de comprimento L em um ângulo a em relação ao plano das placas e saem em um ângulo β. Determine a energia cinética inicial dos elétrons se a intensidade do campo do capacitor for igual a E.

A resistência de qualquer aresta da armação de arame do cubo é R. Encontre a resistência entre os vértices do cubo que estão mais distantes um do outro.

Com uma longa passagem de uma corrente de 1,4 A pelo fio, este último aquecido até 55 ° C e com uma corrente de 2,8 A - até 160 ° C. A que temperatura o fio aquece a uma corrente de 5,6 A? A resistência do fio é independente da temperatura. A temperatura ambiente é constante. A transferência de calor é diretamente proporcional à diferença de temperatura entre o fio e o ar.

Um fio condutor de diâmetro d derrete quando uma corrente I1 passa por um longo tempo. Com que corrente um fio de diâmetro 2d derrete? A perda de calor pelo fio em ambos os casos é assumida como proporcional à superfície do fio.

Quanto calor será liberado no circuito após a abertura da chave K? Os parâmetros do circuito são mostrados na figura.

Um elétron voa em um campo magnético uniforme, cuja direção é perpendicular à direção de seu movimento. Velocidade do elétron v = 4 107 m/s. Indução de campo magnético B = 1 mT. Encontre a tangencial aτ e a aceleração normal de um elétron em um campo magnético.

No circuito mostrado na figura, a potência térmica liberada no circuito externo é a mesma quando a chave está fechada e aberta K. Determine a resistência interna da bateria r se R1 = 12 ohms, R2 = 4 ohms.

Duas partículas com uma razão de carga q1/q2 = 2 e uma razão de massa m1/m2 = 4 voaram em um campo magnético uniforme perpendicular às suas linhas de indução e se movem em círculos com uma razão de raios R1/R2 = 2. Determine a razão das energias cinéticas W1/W2 dessas partículas.

O circuito oscilatório consiste em um capacitor com capacidade de C = 400 pF e uma bobina de indutância L = 10 mH. Encontre a amplitude das oscilações de corrente Im se a amplitude das oscilações de tensão Um = 500 V.

Depois de que tempo (em frações do período t / T) o capacitor do circuito oscilante será carregado pela primeira vez, igual à metade do valor da amplitude? (a dependência da carga do capacitor no tempo é dada pela equação q = qm cos ω0t)

Quantos elétrons são emitidos da superfície do cátodo em 1 s a uma corrente de saturação de 12 mA? q = 1,6 10-19 Cl.

A intensidade da corrente no circuito de um fogão elétrico é de 1,4 A. Qual carga elétrica passa pela seção transversal de sua espiral em 10 minutos?

Determine a área da seção transversal e o comprimento do condutor de cobre se sua resistência for 0,2 ohm e a massa for 0,2 kg. A densidade do cobre é 8900 kg/m3, a resistividade é 1,7*10-8 Ohm*m.

Na figura da seção do circuito AB, a tensão é 12 V, as resistências R1 e R2 são 2 ohms e 23 ohms, respectivamente, a resistência do voltímetro é 125 ohms. Determine a leitura do voltímetro.

Determine o valor da resistência da derivação do amperímetro para expandir os limites de medição de corrente de 10 miliamperes (I1) para 10 amperes (I). A resistência interna do amperímetro é de 100 ohms (R1).

Que potência térmica é liberada no resistor R1 no circuito, cujo circuito é mostrado na figura, se o amperímetro mostrar uma força de corrente contínua I \u003d 0,4 A? Valores de resistência do resistor: R1 = 5 ohms, R2 = 30 ohms, R3 = 10 ohms, R4 = 20 ohms. O amperímetro é considerado ideal.

Duas pequenas bolas de metal idênticas são carregadas de modo que a carga de uma delas seja 5 vezes a carga da outra. As bolas foram colocadas em contato e afastadas na mesma distância. Quantas vezes a força de sua interação mudou em valor absoluto, se: a) as bolas são carregadas com o mesmo nome; b) As bolas são carregadas de forma diferente?

O comprimento de um fio de cobre cilíndrico é 10 vezes maior que o comprimento de um fio de alumínio e suas massas são as mesmas. Encontre a razão entre as resistências desses condutores.

O anel de fio está incluído em um circuito pelo qual passa uma corrente de 9 A. Os contatos dividem o comprimento do anel na proporção de 1:2. Neste caso, uma potência de 108 watts é liberada no anel. Que potência com a mesma intensidade de corrente no circuito externo será liberada no anel se os contatos forem colocados ao longo do diâmetro do anel?

Duas bolas de mesmo volume, cada uma com massa de 0,6 ∙ 10 -3 g, estão suspensas em fios de seda de 0,4 m de comprimento, de modo que suas superfícies fiquem em contato. O ângulo em que os fios se separam ao transmitir cargas idênticas às esferas é de 60°. Encontre o módulo das cargas e a força de repulsão elétrica.

Duas bolas idênticas, carregadas com uma carga negativa - 1,5 μC, a outra com uma carga positiva de 25 μC, são colocadas em contato e novamente afastadas por uma distância de 5 cm. Determine a carga de cada bola após o contato e a força de sua interação.