GRANDE TEOREMA DE FERMAT - a afirmação de Pierre Fermat (um advogado francês e matemático a tempo parcial) que a equação diofantina X n + Y n = Z n , com um expoente n>2, onde n = um inteiro, não tem soluções em positivo inteiros. Texto do autor: "É impossível decompor um cubo em dois cubos, ou um bi-quadrado em dois bi-quadrados, ou em geral uma potência maior que dois em duas potências com o mesmo expoente."

"Fermat e seu teorema", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre apresentou este teorema em 29 de março de 1636. E depois de uns 29 anos, ele morreu. Mas foi aí que tudo começou. Afinal, um rico matemático alemão chamado Wolfskel legou cem mil marcos para aquele que apresenta a prova completa do teorema de Fermat! Mas o entusiasmo em torno do teorema estava ligado não apenas a isso, mas também ao entusiasmo matemático profissional. O próprio Fermat deu a entender à comunidade matemática que ele conhecia a prova - pouco antes de sua morte, em 1665, ele deixou a seguinte entrada nas margens do livro Diofanto de Alexandria "Aritmética": "Eu tenho uma prova muito surpreendente, mas é grande demais para ser colocado em campos."

Foi essa dica (além, é claro, de um prêmio em dinheiro) que fez os matemáticos passarem, sem sucesso, seus melhores anos procurando provas (de acordo com cientistas americanos, matemáticos profissionais sozinhos gastaram 543 anos nisso no total).

Em algum momento (em 1901), o trabalho sobre o teorema de Fermat adquiriu a dúbia fama de "trabalho semelhante à busca de uma máquina de movimento perpétuo" (havia até um termo depreciativo - "fermatistas"). E de repente, em 23 de junho de 1993, em uma conferência matemática sobre teoria dos números em Cambridge, o professor inglês de matemática da Universidade de Princeton (Nova Jersey, EUA) Andrew Wiles anunciou que finalmente havia provado Fermat!

A prova, no entanto, não era apenas complicada, mas também obviamente errônea, como Wiles foi apontado por seus colegas. Mas o professor Wiles sonhou em provar o teorema toda a sua vida, então não é de surpreender que em maio de 1994 ele tenha apresentado uma versão nova e melhorada da prova para a comunidade científica. Não havia harmonia, beleza nisso, e ainda era muito complicado - o fato de os matemáticos estarem analisando essa prova há um ano inteiro (!) Para entender se não está errado, fala por si!

Mas no final, a prova de Wiles foi considerada correta. Mas os matemáticos não perdoaram Pierre Fermat por sua insinuação em Aritmética e, de fato, começaram a considerá-lo um mentiroso. Na verdade, a primeira pessoa a questionar a integridade moral de Fermat foi o próprio Andrew Wiles, que observou que "Fermat não poderia ter tal prova. Esta é uma prova do século XX". Então, entre outros cientistas, tornou-se mais forte a opinião de que Fermat "não poderia provar seu teorema de outra maneira, e Fermat não poderia prová-lo da maneira que Wiles fez, por razões objetivas".

Na verdade, Fermat, é claro, poderia provar isso, e um pouco mais tarde essa prova será recriada pelos analistas da Nova Enciclopédia Analítica. Mas - quais são essas "razões objetivas"?
Na verdade, há apenas uma razão: naqueles anos em que Fermat viveu, a conjectura de Taniyama não poderia aparecer, sobre a qual Andrew Wiles construiu sua prova, porque as funções modulares sobre as quais opera a conjectura de Taniyama foram descobertas apenas no final do século XIX .

Como o próprio Wiles provou o teorema? A questão não é ociosa - isso é importante para entender como o próprio Fermat poderia provar seu teorema. Wiles construiu sua prova na prova da conjectura de Taniyama apresentada em 1955 pelo matemático japonês de 28 anos Yutaka Taniyama.

A conjectura soa assim: "toda curva elíptica corresponde a uma certa forma modular". As curvas elípticas, conhecidas há muito tempo, têm uma forma bidimensional (localizadas em um plano), enquanto as funções modulares têm uma forma quadridimensional. Ou seja, a hipótese de Taniyama combinava conceitos completamente diferentes - curvas planas simples e formas quadridimensionais inimagináveis. O próprio fato de conectar figuras de diferentes dimensões na hipótese parecia absurdo para os cientistas, razão pela qual em 1955 não foi dada nenhuma importância.

No entanto, no outono de 1984, a "hipótese de Taniyama" foi subitamente lembrada novamente, e não apenas lembrada, mas sua possível prova estava ligada à prova do teorema de Fermat! Isso foi feito pelo matemático de Saarbrücken Gerhard Frey, que disse à comunidade científica que "se alguém pudesse provar a conjectura de Taniyama, então o Último Teorema de Fermat seria provado".

O que Frey fez? Ele converteu a equação de Fermat para uma cúbica, depois chamou a atenção para o fato de que uma curva elíptica obtida pela conversão da equação de Fermat para uma cúbica não pode ser modular. No entanto, a conjectura de Taniyama afirmava que qualquer curva elíptica poderia ser modular! Assim, uma curva elíptica construída a partir da equação de Fermat não pode existir, o que significa que não pode haver soluções inteiras e o teorema de Fermat, o que significa que é verdadeiro. Bem, em 1993, Andrew Wiles simplesmente provou a conjectura de Taniyama e, portanto, o teorema de Fermat.

No entanto, o teorema de Fermat pode ser provado de forma muito mais simples, com base na mesma multidimensionalidade que Taniyama e Frey operaram.

Para começar, prestemos atenção à condição estipulada pelo próprio Pierre Fermat - n>2. Por que essa condição era necessária? Sim, apenas pelo fato de que para n=2 o teorema comum de Pitágoras X 2 +Y 2 =Z 2 torna-se um caso especial do teorema de Fermat, que possui um número infinito de soluções inteiras - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 e assim por diante. Assim, o teorema de Pitágoras é uma exceção ao teorema de Fermat.

Mas por que exatamente no caso de n=2 ocorre tal exceção? Tudo se encaixa se você ver a relação entre o grau (n=2) e a dimensão da própria figura. O triângulo pitagórico é uma figura bidimensional. Não surpreendentemente, Z (ou seja, a hipotenusa) pode ser expresso em termos de catetos (X e Y), que podem ser inteiros. O tamanho do ângulo (90) permite considerar a hipotenusa como um vetor, e os catetos são vetores localizados nos eixos e vindos da origem. Assim, é possível expressar um vetor bidimensional que não está em nenhum dos eixos em termos dos vetores que estão neles.

Agora, se formos para a terceira dimensão, e portanto para n=3, para expressar um vetor tridimensional, não haverá informação suficiente sobre dois vetores e, portanto, será possível expressar Z na equação de Fermat em pelo menos três termos (três vetores situados, respectivamente, nos três eixos do sistema de coordenadas).

Se n=4, então deve haver 4 termos, se n=5, então deve haver 5 termos, e assim por diante. Nesse caso, haverá soluções inteiras mais do que suficientes. Por exemplo, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 e assim por diante (você pode escolher outros exemplos para n=3, n=4 e assim por diante).

O que se segue de tudo isso? Segue-se disso que o teorema de Fermat de fato não tem soluções inteiras para n>2 - mas apenas porque a própria equação está incorreta! Com o mesmo sucesso, pode-se tentar expressar o volume de um paralelepípedo em termos dos comprimentos de suas duas arestas - claro, isso é impossível (soluções inteiras nunca serão encontradas), mas apenas porque encontrar o volume de um paralelepípedo , você precisa saber os comprimentos de todas as três arestas.

Quando perguntaram ao famoso matemático David Gilbert qual é a tarefa mais importante para a ciência agora, ele respondeu "pegar uma mosca no outro lado da lua". À pergunta razoável "Quem precisa?" ele respondeu assim: "Ninguém precisa disso. Mas pense em quantas tarefas importantes e complexas você precisa resolver para conseguir isso."

Em outras palavras, Fermat (um advogado em primeiro lugar!) fez uma piada legal espirituosa em todo o mundo matemático, baseado em uma formulação incorreta do problema. Ele, de fato, sugeriu que os matemáticos encontrassem uma resposta por que uma mosca não pode viver do outro lado da Lua, e nas margens da Aritmética ele só queria escrever que simplesmente não há ar na Lua, ou seja, não pode haver soluções inteiras de seu teorema para n>2 apenas porque cada valor de n deve corresponder a um certo número de termos no lado esquerdo de sua equação.

Mas era apenas uma brincadeira? De jeito nenhum. A genialidade de Fermat reside precisamente no fato de que ele foi o primeiro a ver a relação entre o grau e a dimensão de uma figura matemática - ou seja, o que é absolutamente equivalente, o número de termos do lado esquerdo da equação. O significado de seu famoso teorema era justamente não apenas empurrar o mundo matemático para a ideia dessa relação, mas também iniciar a prova da existência dessa relação - intuitivamente compreensível, mas matematicamente ainda não fundamentada.

Fermat, como ninguém, entendeu que estabelecer uma relação entre objetos aparentemente diferentes é extremamente proveitoso não apenas na matemática, mas também em qualquer ciência. Tal relação aponta para algum princípio profundo subjacente a ambos os objetos e permitindo uma compreensão mais profunda deles.

Por exemplo, inicialmente os físicos consideravam a eletricidade e o magnetismo como fenômenos completamente não relacionados e, no século 19, teóricos e experimentadores perceberam que a eletricidade e o magnetismo estavam intimamente relacionados. O resultado foi uma compreensão mais profunda da eletricidade e do magnetismo. As correntes elétricas geram campos magnéticos e os ímãs podem induzir eletricidade em condutores próximos aos ímãs. Isso levou à invenção de dínamos e motores elétricos. Eventualmente, descobriu-se que a luz é o resultado de oscilações harmônicas coordenadas de campos magnéticos e elétricos.

A matemática do tempo de Fermat consistia em ilhas de conhecimento em um mar de ignorância. Os geômetras estudavam formas em uma ilha, e os matemáticos estudavam probabilidade e chance na outra ilha. A linguagem da geometria era muito diferente da linguagem da teoria das probabilidades, e a terminologia algébrica era estranha para aqueles que falavam apenas sobre estatística. Infelizmente, a matemática do nosso tempo consiste aproximadamente nas mesmas ilhas.

Farm foi o primeiro a perceber que todas essas ilhas estão interligadas. E seu famoso teorema - o GRANDE TEOREMA de Fermat - é uma excelente confirmação disso.

No século 17, um advogado e matemático de meio período Pierre Fermat viveu na França, que deu ao seu hobby longas horas de lazer. Numa noite de inverno, sentado junto à lareira, ele apresentou uma afirmação muito curiosa do campo da teoria dos números - foi isso que mais tarde foi chamado de Grande ou Grande Teorema de Fermat. Talvez a excitação não tivesse sido tão significativa nos círculos matemáticos se um evento não tivesse acontecido. O matemático costumava passar as noites estudando o livro favorito de Diofanto de Alexandria "Aritmética" (século III), enquanto escrevia pensamentos importantes em suas margens - essa raridade foi cuidadosamente preservada para a posteridade por seu filho. Assim, nas margens largas deste livro, a mão de Fermat havia deixado esta inscrição: "Tenho uma prova bastante impressionante, mas é grande demais para ser colocada nas margens". Foi essa entrada que causou a excitação avassaladora em torno do teorema. Não havia dúvida entre os matemáticos de que o grande cientista declarou que havia provado seu próprio teorema. Você provavelmente está se perguntando: “Ele realmente provou isso, ou foi uma mentira banal, ou talvez existam outras versões, por que essa entrada, que não permitiu que os matemáticos das gerações subsequentes dormissem pacificamente, acabou nas margens do livro?".

A essência do Grande Teorema

O bastante conhecido teorema de Fermat é simples em sua essência e consiste no fato de que, desde que n seja maior que dois, um número positivo, a equação X n + Y n \u003d Z n não terá soluções do tipo zero dentro a estrutura dos números naturais. Uma complexidade incrível foi mascarada nesta fórmula aparentemente simples, e levou três séculos para provar isso. Há uma estranheza - o teorema atrasou seu nascimento, pois seu caso especial para n = 2 apareceu há 2.200 anos - este é o não menos famoso teorema de Pitágoras.

Deve-se notar que a história sobre o conhecido teorema de Fermat é muito instrutiva e divertida, e não apenas para os matemáticos. O mais interessante é que a ciência não era um trabalho para o cientista, mas um simples hobby, que, por sua vez, dava grande prazer ao Agricultor. Ele também mantinha contato constante com um matemático e, em meio período, também amigo, compartilhava ideias, mas, curiosamente, não procurava publicar seu próprio trabalho.

Anais do matemático Farmer

Quanto às obras de Farmer, elas foram encontradas precisamente na forma de cartas comuns. Em alguns lugares não havia páginas inteiras, e apenas fragmentos de correspondência foram preservados. Mais interessante é o fato de que há três séculos os cientistas procuram o teorema que foi descoberto nos escritos de Fermer.

Mas quem não se atreveu a prová-lo, as tentativas foram reduzidas a "zero". O famoso matemático Descartes até acusou o cientista de se gabar, mas tudo se resumia à inveja mais comum. Além de criar, Farmer também provou seu próprio teorema. É verdade que a solução foi encontrada para o caso em que n=4. Quanto ao caso de n=3, o matemático Euler o identificou.

Como eles tentaram provar o teorema de Fermer

No início do século 19, este teorema continuou a existir. Os matemáticos encontraram muitas provas de teoremas que se limitavam a números naturais dentro de duzentos.

E em 1909, uma quantia bastante grande foi colocada na linha, igual a cem mil marcos de origem alemã - e tudo isso apenas para resolver o problema associado a esse teorema. O fundo da categoria do prêmio em si foi deixado por um rico amante da matemática Paul Wolfskell, originário da Alemanha, aliás, foi ele quem quis "impor as mãos", mas graças a tal envolvimento no teorema de Fermer, ele quis viver. A empolgação resultante deu origem a toneladas de "provas" que inundaram as universidades alemãs e, no círculo de matemáticos, nasceu o apelido de "fermista", que era usado com desdém para chamar qualquer arrivista ambicioso que não fornecesse evidências claras.

Hipótese do matemático japonês Yutaka Taniyama

Não houve mudanças na história do Grande Teorema até meados do século 20, mas um evento interessante ocorreu. Em 1955, o matemático japonês Yutaka Taniyama, que tinha 28 anos, revelou ao mundo uma afirmação de um campo matemático completamente diferente - sua hipótese, ao contrário de Fermat, estava à frente de seu tempo. Diz: "Para cada curva elíptica existe uma forma modular correspondente." Parece um absurdo para todo matemático, como que uma árvore consiste em um certo metal! A hipótese paradoxal, como a maioria das outras descobertas impressionantes e engenhosas, não foi aceita, porque eles simplesmente ainda não haviam crescido para ela. E Yutaka Taniyama cometeu suicídio três anos depois - um ato inexplicável, mas, provavelmente, a honra de um verdadeiro gênio samurai estava acima de tudo.

Por uma década inteira, a conjectura não foi lembrada, mas nos anos setenta atingiu o pico de popularidade - foi confirmada por todos que puderam entendê-la, mas, como o teorema de Fermat, permaneceu sem comprovação.

Como a conjectura de Taniyama e o teorema de Fermat estão relacionados

Quinze anos depois, ocorreu um evento chave na matemática, que combinou a famosa conjectura japonesa e o teorema de Fermat. Gerhard Gray afirmou que quando a conjectura de Taniyama for provada, então as provas do teorema de Fermat serão encontradas. Ou seja, esta última é consequência da hipótese de Taniyama, e um ano e meio depois, o teorema de Fermat foi provado por um professor da Universidade da Califórnia, Kenneth Ribet.

O tempo passou, a regressão foi substituída pelo progresso e a ciência avançou rapidamente, especialmente no campo da informática. Assim, o valor de n começou a aumentar cada vez mais.

No final do século 20, os computadores mais poderosos estavam em laboratórios militares, a programação foi realizada para obter uma solução para o conhecido problema de Fermat. Como consequência de todas as tentativas, foi revelado que este teorema está correto para muitos valores de n, x, y. Mas, infelizmente, essa não se tornou a prova final, pois não havia especificidades como tal.

John Wiles provou o Grande Teorema de Fermat

E, finalmente, apenas no final de 1994, um matemático da Inglaterra, John Wiles, encontrou e demonstrou uma prova exata do controverso teorema de Fermer. Então, depois de muitas melhorias, as discussões sobre esse assunto chegaram à sua conclusão lógica.

A refutação foi postada em mais de cem páginas de uma revista! Além disso, o teorema foi provado em um aparato mais moderno de matemática superior. E surpreendentemente, na época em que o Agricultor escreveu seu trabalho, tal aparato não existia na natureza. Em uma palavra, o homem foi reconhecido como um gênio neste campo, com o qual ninguém poderia discutir. Apesar de tudo o que aconteceu, hoje você pode ter certeza de que o teorema apresentado do grande cientista Farmer é justificado e comprovado, e nenhum matemático de bom senso iniciará disputas sobre esse tema, com o qual até os céticos mais inveterados de toda a humanidade concordam.

O nome completo da pessoa que deu nome ao teorema apresentado era Pierre de Fermer. Ele fez contribuições para uma ampla variedade de áreas da matemática. Mas, infelizmente, a maioria de seus trabalhos foi publicada somente após sua morte.

O Grande Teorema Fazenda Singh Simon

"O Último Teorema de Fermat foi provado?"

Foi apenas o primeiro passo para provar a conjectura de Taniyama-Shimura, mas a estratégia escolhida por Wiles foi um brilhante avanço matemático, resultado que merecia ser publicado. Mas devido ao voto de silêncio imposto por Wiles a si mesmo, ele não podia contar ao resto do mundo sobre o resultado e não tinha ideia de quem mais poderia fazer um avanço tão significativo.

Wiles lembra sua atitude filosófica em relação a qualquer potencial desafiante: “Ninguém quer passar anos provando algo e descobrir que alguém conseguiu encontrar a prova algumas semanas antes. Mas, curiosamente, como eu estava tentando resolver um problema que era essencialmente considerado insolúvel, não tinha muito medo de meus oponentes. Eu só não esperava que eu ou qualquer outra pessoa tivesse uma ideia que levasse a uma prova."

Em 8 de março de 1988, Wiles ficou chocado ao ver manchetes de primeira página em letras grandes que diziam: "Último Teorema de Fermat comprovado". O Washington Post e o New York Times relataram que Yoichi Miyaoka, de 38 anos, da Universidade Metropolitana de Tóquio, havia resolvido o problema matemático mais difícil do mundo. Até agora, Miyaoka ainda não publicou sua prova, mas esboçou seu curso em um seminário no Instituto Max Planck de Matemática em Bonn. Don Zagier, que participou do relatório de Miyaoka, expressou o otimismo da comunidade matemática com as seguintes palavras: “A prova apresentada por Miyaoka é extremamente interessante, e alguns matemáticos acreditam que ela será correta com alta probabilidade. Ainda não há certeza, mas até agora as evidências parecem muito encorajadoras.”

Falando em um seminário em Bonn, Miyaoka falou sobre sua abordagem para resolver o problema, que ele considerou de um ponto de vista algebro-geométrico completamente diferente. Nas últimas décadas, os geômetras alcançaram uma compreensão profunda e sutil dos objetos matemáticos, em particular, das propriedades das superfícies. Na década de 1970, o matemático russo S. Arakelov tentou estabelecer paralelos entre problemas de geometria algébrica e problemas de teoria dos números. Esta era uma das linhas do programa de Langlands, e os matemáticos esperavam que os problemas não resolvidos na teoria dos números pudessem ser resolvidos estudando os problemas correspondentes na geometria, que também permaneceram sem solução. Tal programa era conhecido como a filosofia da simultaneidade. Aqueles geômetras algébricos que tentaram resolver problemas na teoria dos números foram chamados de "geômetras algébricos aritméticos". Em 1983, eles anunciaram sua primeira vitória significativa quando Gerd Faltings, do Princeton Institute for Advanced Study, fez contribuições significativas para a compreensão do Teorema de Fermat. Lembre-se que, de acordo com Fermat, a equação

no n maior que 2 não tem soluções em inteiros. Faltings pensou que tinha feito progressos na prova do Último Teorema de Fermat estudando as superfícies geométricas associadas a diferentes valores n. Superfícies associadas às equações de Fermat para vários valores n, diferem um do outro, mas têm uma propriedade comum - todos eles têm orifícios de passagem, ou, simplesmente falando, orifícios. Essas superfícies são quadridimensionais, assim como os gráficos de formas modulares. Seções bidimensionais de duas superfícies são mostradas na fig. 23. As superfícies associadas à equação de Fermat parecem semelhantes. Quanto maior o valor n na equação, mais buracos na superfície correspondente.

Arroz. 23. Essas duas superfícies foram obtidas usando o programa de computador Mathematica. Cada um deles representa o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a equação xn + s n = z n(para a superfície à esquerda n=3, para a superfície à direita n=5). Variáveis x e y são considerados complexos.

Faltings foi capaz de provar que, como tais superfícies sempre têm vários buracos, a equação de Fermat associada só poderia ter um conjunto finito de soluções em números inteiros. O número de soluções pode ser qualquer coisa de zero, como Fermat sugeriu, a um milhão ou um bilhão. Assim, Faltings não provou o Último Teorema de Fermat, mas pelo menos conseguiu rejeitar a possibilidade de que a equação de Fermat pudesse ter infinitas soluções.

Cinco anos depois, Miyaoka relatou que havia dado um passo adiante. Ele estava então em seus vinte e poucos anos. Miyaoka formulou uma conjectura sobre alguma desigualdade. Ficou claro que provar sua conjectura geométrica significaria provar que o número de soluções da equação de Fermat não é apenas finito, mas zero. A abordagem de Miyaoka foi semelhante à de Wiles, pois ambos tentaram provar o Último Teorema de Fermat relacionando-o a uma conjectura fundamental em outra área da matemática. Para Miyaoka era a geometria algébrica, para Wiles o caminho para a prova era através de curvas elípticas e formas modulares. Para grande desgosto de Wiles, ele ainda estava lutando com a prova da conjectura de Taniyama-Shimura quando Miyaoka afirmou ter uma prova completa de sua própria conjectura e, portanto, do Último Teorema de Fermat.

Duas semanas depois de seu discurso em Bonn, Miyaoka publicou as cinco páginas de cálculos que formavam a essência de sua prova, e uma verificação completa começou. Teóricos dos números e geometrias algébricas de todo o mundo estudaram, linha por linha, cálculos publicados. Alguns dias depois, os matemáticos descobriram uma contradição na prova, que não poderia deixar de causar preocupação. Uma parte do trabalho de Miyaoka levou a uma afirmação da teoria dos números, da qual, quando traduzida para a linguagem da geometria algébrica, obteve-se uma afirmação que contradiz o resultado obtido vários anos antes. Embora isso não invalidasse necessariamente toda a prova de Miyaoka, a discrepância descoberta não se encaixava na filosofia do paralelismo entre a teoria dos números e a geometria.

Duas semanas depois, Gerd Faltings, que abriu o caminho para Miyaoke, anunciou que havia descoberto a causa exata da aparente violação da concorrência - uma lacuna no raciocínio. O matemático japonês era um geômetra e não era absolutamente rigoroso ao traduzir suas ideias para o território menos familiar da teoria dos números. Um exército de teóricos dos números fez esforços desesperados para consertar o buraco na prova de Miyaoki, mas em vão. Dois meses depois de Miyaoka anunciar que tinha uma prova completa do Último Teorema de Fermat, a comunidade matemática chegou à conclusão unânime de que a prova de Miyaoka estava fadada ao fracasso.

Como no caso de provas anteriores falhadas, Miyaoka conseguiu obter muitos resultados interessantes. Partes de sua prova merecem atenção como aplicações muito engenhosas da geometria à teoria dos números, e em anos posteriores outros matemáticos as usaram para provar certos teoremas, mas ninguém conseguiu provar o Último Teorema de Fermat dessa maneira.

O hype sobre o Último Teorema de Fermat logo diminuiu, e os jornais publicaram breves notas dizendo que o quebra-cabeça de trezentos anos ainda permanecia sem solução. Na parede da estação de metrô de Nova York na Eighth Street aparecia a seguinte inscrição, sem dúvida inspirada em publicações da imprensa sobre o Último Teorema de Fermat: "A equação xn + yn = zn não tem soluções. Encontrei uma prova verdadeiramente surpreendente desse fato, mas não posso escrevê-la aqui porque meu trem chegou.

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Como poucas pessoas conhecem o pensamento matemático, falarei sobre a maior descoberta científica - a prova elementar do Último Teorema de Fermat - na linguagem escolar mais compreensível.

A prova foi encontrada para um caso particular (para uma potência primo n>2), ao qual (e o caso n=4) todos os casos com composto n podem ser facilmente reduzidos.

Então, precisamos provar que a equação A^n=C^n-B^n não tem solução em inteiros. (Aqui o sinal ^ significa grau.)

A prova é realizada em um sistema numérico de base simples n. Neste caso, em cada tabuada, os últimos dígitos não se repetem. No sistema decimal usual, a situação é diferente. Por exemplo, ao multiplicar o número 2 por 1 e 6, ambos os produtos - 2 e 12 - terminam nos mesmos números (2). E, por exemplo, no sistema setenário para o número 2, todos os últimos dígitos são diferentes: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, com um conjunto de últimos dígitos 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Graças a esta propriedade, para qualquer número A que não termine em zero (e na igualdade de Fermat, o último dígito dos números A, bem ou B, depois de dividir a igualdade pelo divisor comum dos números A, B, C é diferente de zero), você pode escolher um fator g tal que o número Ag tenha um final arbitrariamente longo como 000...001. É por tal número g que multiplicamos todos os números de base A, B, C na igualdade de Fermat. Ao mesmo tempo, faremos o único final longo o suficiente, ou seja, dois dígitos mais longo que o número (k) de zeros no final do número U=A+B-C.

O número U não é igual a zero - caso contrário C \u003d A + B e A ^ n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

Isso, de fato, é toda a preparação da igualdade de Fermat para um estudo breve e final. A única coisa que ainda temos a fazer: reescrevemos o lado direito da igualdade de Fermat - C ^ n-B ^ n - usando a fórmula de expansão da escola: C ^ n-B ^ n \u003d (C-B) P, ou aP. E como mais adiante vamos operar (multiplicar e adicionar) apenas com os dígitos das terminações de (k + 2) dígitos dos números A, B, C, então podemos ignorar suas partes principais e simplesmente descartá-las (deixando apenas um fato na memória: o lado esquerdo da igualdade de Fermat é um PODER).

A única outra coisa que vale a pena mencionar são os últimos dígitos dos números a e P. Na igualdade original de Fermat, o número P termina no número 1. Isso decorre da fórmula do pequeno teorema de Fermat, que pode ser encontrada em livros de referência. E depois de multiplicar a igualdade de Fermat pelo número g ^ n, o número P é multiplicado pelo número g elevado à potência de n-1, que, de acordo com o pequeno teorema de Fermat, também termina no número 1. Assim, no novo Fermat igualdade equivalente, o número P termina em 1. E se A termina em 1, então A^n também termina em 1 e, portanto, o número a também termina em 1.

Então, temos uma situação inicial: os últimos dígitos A", a", P" dos números A, a, P terminam no número 1.

Bem, então começa uma operação doce e fascinante, chamada preferencialmente de "moinho": levando em consideração os dígitos subsequentes a "", a """ e assim por diante, os números a, calculamos exclusivamente "facilmente" que eles também são igual a zero! Coloquei "fácil" entre aspas, porque a humanidade não conseguiu encontrar a chave desse "fácil" por 350 anos! E a chave realmente se revelou inesperada e espantosamente primitiva: o número P deve ser representado como P = q ^ (n-1) + Qn ^(k + 2) Não vale a pena prestar atenção no segundo termo dessa soma - afinal, na prova posterior descartamos todos os números após o (k + 2)th nos números (e isso simplifica drasticamente a análise)! Então, depois de descartar os números das partes da cabeça, a igualdade de Fermat toma a forma: ...1=aq^(n-1), onde a e q não são números, mas apenas o terminações dos números a e q! (não introduzo nova notação, pois isso dificulta a leitura.)

A última questão filosófica permanece: por que o número P pode ser representado como P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? A resposta é simples: porque qualquer inteiro P com 1 no final pode ser representado dessa forma, e IDENTICAMENTE. (Você pode pensar nisso de muitas outras maneiras, mas não precisamos.) De fato, para P=1 a resposta é óbvia: P=1^(n-1). Para P=hn+1, o número q=(n-h)n+1, que é fácil de verificar resolvendo a equação [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 por dois valores terminações. E assim por diante (mas não precisamos de mais cálculos, pois precisamos apenas da representação de números da forma P=1+Qn^t).

Uf-f-f-f! Bem, a filosofia acabou, você pode passar para os cálculos no nível da segunda aula, a menos que você apenas se lembre da fórmula binomial de Newton mais uma vez.

Então, vamos introduzir o número a"" (no número a=a""n+1) e usá-lo para calcular o número q"" (no número q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), ou...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], de onde q""=a"".

E agora o lado direito da igualdade de Fermat pode ser reescrito como:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), onde o valor do número D não nos interessa.

E agora chegamos à conclusão decisiva. O número a "" n + 1 é uma terminação de dois dígitos do número A e, PORTANTO, de acordo com um lema simples, determina exclusivamente o TERCEIRO dígito do grau A ^ n. E, além disso, a partir da expansão do binômio de Newton
(a "" n + 1) ^ n, dado que cada termo da expansão (exceto o primeiro, que o tempo não pode mais mudar!) é unido por um simples fator n (a base do número!), é claro que este terceiro dígito é igual a um "" . Mas, multiplicando a igualdade de Fermat por g ^ n, transformamos o dígito k + 1 antes do último 1 no número A em 0. E, portanto, um "" \u003d 0 !!!

Assim, completamos o ciclo: introduzindo a"", descobrimos que q""=a"", e finalmente a""=0!

Bem, resta dizer que depois de realizar cálculos completamente semelhantes e os k dígitos subsequentes, obtemos a igualdade final: (k + 2) dígito final do número a, ou C-B, - assim como o número A, é igual a 1. Mas então o (k+2)-ésimo dígito de C-A-B é igual a zero, enquanto NÃO é igual a zero!!!

Aqui, de fato, está toda a prova. Para entendê-lo, você não precisa ter ensino superior e, além disso, ser um matemático profissional. Porém, os profissionais ficam calados...

O texto legível da prova completa está localizado aqui:

Avaliações

Olá Vitor. Gostei do seu currículo. "Não deixe morrer antes da morte" soa muito bem, é claro. Do encontro em Prosa com o teorema de Fermat, para ser sincero, fiquei pasmo! Ela pertence aqui? Existem sites científicos, de ciência popular e de bule. Caso contrário, obrigado por seu trabalho literário.
Atenciosamente, Anya.

Querida Anya, apesar da censura bastante estrita, a Prosa permite que você escreva SOBRE TUDO. Com o teorema de Fermat, a situação é a seguinte: os grandes fóruns matemáticos tratam os fermatistas obliquamente, com grosseria e, em geral, os tratam da melhor maneira possível. No entanto, em pequenos fóruns russos, ingleses e franceses, apresentei a última versão da prova. Ninguém apresentou nenhum contra-argumento ainda e, tenho certeza, ninguém apresentará (a prova foi verificada com muito cuidado). No sábado publicarei uma nota filosófica sobre o teorema.
Quase não há grosseiros em prosa, e se você não ficar com eles, logo eles saem.
Quase todos os meus trabalhos são apresentados em prosa, por isso também coloquei a prova aqui.
Até logo,

Arquivo FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008

Certificado da Ucrânia nº 27312

UMA BREVE PROVA DO GRANDE TEOREMA DE FERMAT

O Último Teorema de Fermat é formulado da seguinte forma: Equação Diofantina (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

MAS n + V n = C n * /1/

Onde n- um inteiro positivo maior que dois não tem solução em inteiros positivos UMA , B , A PARTIR DE .

PROVA

Da formulação do Último Teorema de Fermat segue: se né um número inteiro positivo maior que dois, então, desde que dois dos três números MAS , NO ou A PARTIR DE são inteiros positivos, um desses números não é um inteiro positivo.

Construímos a prova com base no teorema fundamental da aritmética, que é chamado de “teorema da unicidade da fatoração” ou “teorema da unicidade da fatoração de números inteiros compostos em fatores primos”. Expoentes ímpares e pares possíveis n . Vamos considerar os dois casos.

1. Caso Um: Expoente n - número ímpar.

Neste caso, a expressão /1/ é convertida de acordo com as fórmulas conhecidas como segue:

MAS n + NO n = A PARTIR DE n /2/

Acreditamos que UMA e B são inteiros positivos.

Números MAS , NO e A PARTIR DE devem ser números relativamente primos.

Da equação /2/ segue que para valores dados de números UMA e B fator ( UMA + B ) n , A PARTIR DE.

Digamos o número A PARTIR DE - um inteiro positivo. Levando em conta as condições aceitas e o teorema fundamental da aritmética, a condição :

A PARTIR DE n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

onde está o multiplicador D n D

Da equação /3/ segue:

A equação /3/ também implica que o número [ C n = Um + B n ] desde que o número A PARTIR DE ( UMA + B ) n. No entanto, sabe-se que:

Um + B n < ( UMA + B ) n /5/

Consequentemente:

é um número fracionário menor que um. /6/

Número fracionário.

n

Para expoentes ímpares n >2 número:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Da análise da equação /2/ segue-se que com um expoente ímpar n número:

A PARTIR DE n = MAS n + NO n = (A+B)

consiste em dois fatores algébricos definidos, e para qualquer valor do expoente n o fator algébrico permanece inalterado ( UMA + B ).

Assim, o Último Teorema de Fermat não tem solução em inteiros positivos para um expoente ímpar n >2.

2. Caso Dois: Expoente n - numero par .

A essência do último teorema de Fermat não mudará se a equação /1/ for reescrita da seguinte forma:

Um = C n - B n /7/

Neste caso, a equação /7/ é transformada da seguinte forma:

A n = C n - B n = ( A PARTIR DE +B)∙(C n-1 + C n-2 B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ B n -2 + B n -1 ). /8/

Nós aceitamos isso A PARTIR DE e NO- números inteiros.

Da equação /8/ segue que para valores dados de números B e C fator (C+ B ) tem o mesmo valor para qualquer valor do expoente n , portanto, é um divisor de um número UMA .

Digamos o número MASé um número inteiro. Levando em conta as condições aceitas e o teorema fundamental da aritmética, a condição :

MAS n = C n - B n =(C+ B ) n ∙ D n , / 9/

onde está o multiplicador D n deve ser um número inteiro e, portanto, um número D também deve ser um número inteiro.

Da equação /9/ segue:

/10/

A equação /9/ também implica que o número [ MAS n = A PARTIR DE n - B n ] desde que o número MAS- um número inteiro, deve ser divisível por um número (C+ B ) n. No entanto, sabe-se que:

A PARTIR DE n - B n < (С+ B ) n /11/

Consequentemente:

é um número fracionário menor que um. /12/

Número fracionário.

Segue-se que para um valor ímpar do expoente n a equação /1/ do último teorema de Fermat não tem solução em inteiros positivos.

Com expoentes pares n >2 número:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Assim, o Último Teorema de Fermat não tem solução em inteiros positivos e para um expoente par n >2.

A conclusão geral segue do exposto: a equação /1/ do último teorema de Fermat não tem solução em inteiros positivos A, B e A PARTIR DE desde que o expoente n>2.

RAZÕES ADICIONAIS

No caso em que o expoente n – número par, expressão algébrica ( C n - B n ) decomposto em fatores algébricos:

C 2 - B 2 \u003d(C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C 6 - B 6 =(C-B) ∙ (C + B) (C 2 -CB + B 2) ∙ (C 2 + CB + B 2) ; /15/

C 8 - B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Vamos dar exemplos em números.

EXEMPLO 1: B=11; C=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (31 2) (3 577) =2 ∙ 3 ​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

EXEMPLO 2: B=16; C=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) (881) =3 2 ∙ 41 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

A partir da análise das equações /13/, /14/, /15/ e /16/ e seus correspondentes exemplos numéricos, segue:

Para um determinado expoente n , se for um número par, um número MAS n = C n - B n se decompõe em um número bem definido de fatores algébricos bem definidos;

Para qualquer grau n , se for um número par, em expressão algébrica ( C n - B n ) sempre há multiplicadores ( C - B ) e ( C + B ) ;

Cada fator algébrico corresponde a um fator numérico bem definido;

Para determinados valores de números NO e A PARTIR DE fatores numéricos podem ser números primos ou fatores numéricos compostos;

Cada fator numérico composto é um produto de números primos, que estão parcial ou completamente ausentes de outros fatores numéricos compostos;

O valor dos números primos na composição dos fatores numéricos compostos aumenta com o aumento desses fatores;

A composição do maior fator numérico composto correspondente ao maior fator algébrico inclui o maior número primo a uma potência menor que o expoente n(na maioria das vezes no primeiro grau).

CONCLUSÕES: justificativas adicionais suportam a conclusão de que o Último Teorema de Fermat não tem solução em inteiros positivos.

engenheiro mecânico