Desenvolvimento de uma previsão usando o método da média móvel. Exemplo de solução de problema

Suavização mecânica baseada em médias móveis

Métodos de suavização de séries temporais

Muitas vezes, os níveis das séries temporais econômicas flutuam. Ao mesmo tempo, a tendência no desenvolvimento de um fenômeno econômico no tempo é ocultada por desvios aleatórios dos valores da série em uma direção ou outra. Para identificar melhor as tendências desenvolvimento do processo em estudo realizar suavização (alinhamento) séries temporais de indicadores econômicos. A essência de vários métodos de suavização se resume a substituir os níveis reais da série temporal por valores calculados, que estão sujeitos a flutuações em menor grau. Isso contribui para uma manifestação clara da tendência.

Os métodos de suavização de séries temporais são divididos em dois grupos principais:

1) alinhamento analítico usar uma curva traçada entre níveis específicos da série para que reflita a tendência inerente à série e, ao mesmo tempo, a livre de pequenas flutuações;

2) alinhamento mecânico níveis individuais da série temporal usando os valores reais dos níveis vizinhos.

A essência dos métodos de suavização analítica baseado na regra matemática de que através de qualquer n pontos situados no plano, é possível desenhar um mínimo polinomial (n - 1) grau para que ele passe por todos os pontos designados.

A essência dos métodos de alisamento mecânico reside no fato de que vários níveis de uma série de dinâmicas são tomados, formando um intervalo de suavização. Para eles, um polinômio é selecionado, cujo grau deve ser menor que o número de níveis incluídos no intervalo de suavização. Usando um polinômio, os valores suavizados dos níveis da série no meio do intervalo de suavização são determinados. Em seguida, o intervalo de suavização é deslocado para frente por uma observação, o próximo valor suavizado é calculado e assim por diante.

Suavização mecânica baseada em médias móveis

O método mais simples de suavização mecânica é suavização de média móvel simples. O método é chamado assim porque se baseia no cálculo de uma média simples de vários níveis da série. A média simples desliza ao longo da série temporal com um passo igual ao período de observação.

Primeiro para a série temporal y t intervalo de suavização é determinado m, além disso m< n . Se for necessário suavizar pequenas flutuações aleatórias, o intervalo de suavização será o maior possível; o intervalo de suavização é reduzido se for necessário preservar flutuações menores. Quanto maior o intervalo de suavização, mais as flutuações se cancelam e a tendência de desenvolvimento é mais suave. Quanto mais fortes as flutuações, mais amplo deve ser o intervalo de suavização. Nas mesmas condições, recomenda-se usar um intervalo de suavização de comprimento ímpar. Pela primeira vez m níveis de séries temporais, sua média aritmética é calculada; este será o valor suavizado do nível da série que está no meio do intervalo de suavização.

Para calcular os valores suavizados, a fórmula é usada:

Onde m = 2p + 1– intervalo de suavização da série temporal de comprimento ímpar. Como resultado desse procedimento, (n - m + 1)

O procedimento de suavização também pode ser aplicado a um intervalo de suavização de comprimento uniforme. Isso é especialmente verdadeiro para a análise e previsão de fenômenos que apresentam flutuações sazonais. Ao suavizar processos sazonais, o intervalo de suavização deve necessariamente ser igual ao comprimento da onda sazonal. Caso contrário, haverá uma distorção dos componentes da série temporal, em particular, os componentes vt. No caso em que um intervalo de suavização de comprimento par é usado, ou seja, m = 2p, aplica-se a fórmula:

(4.2).

Como resultado desse procedimento, (n-m) níveis suavizados da série.

De qualquer forma primeiro e último p os valores da série não são suavizados. Os valores suavizados perdidos dos níveis da série temporal são encontrados usando o ganho absoluto médio encontrado para o primeiro e o último intervalo de suavização. Para recuperar observações perdidas no início da série temporal, o valor do aumento absoluto médio encontrado para o primeiro intervalo de suavização é subtraído do primeiro valor de suavização. Acontece que o valor suavizado do nível da série para sim 1. Para restaurar as observações perdidas no final da série temporal, o valor do aumento absoluto médio encontrado para o último intervalo de suavização é adicionado ao último valor suavizado. Acontece que o valor suavizado do nível da série para yn – p + 1. Em seguida, o algoritmo é repetido até que um valor suavizado seja obtido. s n.

Outra desvantagem do método de média móvel simplesé que só pode ser usado para séries com tendência linear. Se o processo é caracterizado por um desenvolvimento não linear e é necessário manter as curvas da tendência, então o uso de uma média móvel simples é inadequado, porque. isso pode levar a distorções significativas. Nesses casos, o método de média móvel ponderada é usado.

Método de média móvel ponderada difere do método de média móvel simples, pois os níveis incluídos no intervalo de suavização são somados com pesos diferentes. Isso se deve ao fato de que a aproximação da série original dentro do intervalo de suavização é realizada usando um polinômio não de primeiro grau, como no método da média móvel simples, mas de grau, a partir do segundo. A fórmula da média aritmética ponderada é usada.

Uma análise aprofundada de séries temporais requer o uso de métodos mais complexos de estatística matemática. Se houver um erro aleatório significativo (ruído) na série temporal, um dos dois métodos simples é usado - suavização ou nivelamento aumentando os intervalos e calculando as médias do grupo. Este método permite aumentar a visibilidade da série, se a maioria dos componentes de "ruído" estiver dentro dos intervalos. No entanto, se o “ruído” não for consistente com a periodicidade, a distribuição dos níveis dos indicadores torna-se grosseira, o que limita a possibilidade de uma análise detalhada da mudança do fenômeno ao longo do tempo.

Características mais precisas são obtidas se forem utilizadas médias móveis - um método amplamente utilizado para suavizar os indicadores da série média. Baseia-se na transição dos valores iniciais da série para os valores médios em um determinado intervalo de tempo. Nesse caso, o intervalo de tempo durante o cálculo de cada indicador subsequente, por assim dizer, desliza ao longo da série temporal.

O uso de uma média móvel é útil quando as tendências na série temporal são incertas ou quando os valores discrepantes cíclicos (aberrações ou intervenções) são fortemente impactados.

Quanto maior o intervalo de suavização, mais suave será a aparência do gráfico de média móvel. Ao escolher o valor do intervalo de suavização, é necessário proceder do valor da série dinâmica e do significado significativo da dinâmica refletida. Uma série temporal grande com um grande número de pontos iniciais permite o uso de intervalos de tempo de suavização maiores (5, 7, 10, etc.). Se o procedimento de média móvel for usado para suavizar uma série não sazonal, na maioria das vezes o intervalo de suavização é igual a 3 ou 5. https://tvoipolet.ru/iz-moskvi-v-nyu-jork/ - a ótima oportunidade de escolher uma companhia aérea para um voo de Moscou a Nova York

Vamos dar um exemplo de cálculo do número médio móvel de fazendas com alta produtividade (mais de 30 kg/ha) (Tabela 10.3).

Tabela 10.3 Suavizando a série temporal por intervalos de engrossamento e média móvel

Ano contábil

Número de fazendas com alto rendimento

Valores por três anos

Rolando mais de três anos

médias móveis

90,0

89,7

1984

88,7

87,3

87,3

87,0

86,7

83,0

83,0

82,3

82,3

82,6

82,7

82,7

Exemplos de cálculo de média móvel:

1982 (84 + 94 + 92) / 3 = 90,0;

1983 (94 + 92 + 83) / 3 = 89,7;

1984 (92 + 83 + 91) / 3 = 88,7;

1985 (83 + 91 + 88) / 3 = 87,3.

Um cronograma está sendo elaborado. Os anos são indicados no eixo das abcissas e o número de explorações com rendimentos elevados é indicado no eixo das ordenadas. As coordenadas do número de fazendas são indicadas no gráfico e os pontos obtidos são conectados por uma linha tracejada. Em seguida, as coordenadas da média móvel ao longo dos anos são indicadas no gráfico e os pontos são conectados por uma linha suave em negrito.

Um método mais complexo e eficiente é a suavização (nivelamento) da série temporal usando várias funções de aproximação. Eles permitem que você forme um nível suave da tendência geral e do eixo principal da dinâmica.

O método mais eficaz de suavização com funções matemáticas é a suavização exponencial simples. Este método leva em consideração todas as observações anteriores da série de acordo com a fórmula:

S t = α∙X t + (1 - α ) ∙S t - 1 ,

onde S t é cada nova suavização no tempo t ; S t - 1 - valor suavizado no tempo anterior t -1; X t é o valor real da série no tempo t ; α - parâmetro de suavização.

Se α = 1, então as observações anteriores são completamente ignoradas; quando α = 0, as observações atuais são ignoradas; valores de α entre 0 e 1 dão resultados intermediários. Ao alterar os valores desse parâmetro, você pode escolher a opção de alinhamento mais aceitável. A escolha do valor ótimo de α é realizada analisando as imagens gráficas obtidas das curvas originais e niveladas, ou levando em consideração a soma dos quadrados dos erros (erros) dos pontos calculados. A utilização prática deste método deve ser realizada utilizando um computador no programa MS Excel. A expressão matemática dos padrões de dinâmica de dados pode ser obtida usando a função de suavização exponencial.

16.02.15 Viktor Gavrilov

38133 0

Uma série temporal é uma sequência de valores que mudam ao longo do tempo. Vou tentar falar sobre algumas abordagens simples, mas eficazes para trabalhar com essas sequências neste artigo. Existem muitos exemplos desses dados - cotações de moedas, volumes de vendas, solicitações de clientes, dados em várias ciências aplicadas (sociologia, meteorologia, geologia, observações em física) e muito mais.

As séries são uma forma comum e importante de descrição de dados, pois permitem observar todo o histórico do valor que nos interessa. Isso nos dá a oportunidade de julgar o comportamento "típico" da quantidade e os desvios de tal comportamento.

Deparei-me com a tarefa de escolher um conjunto de dados no qual fosse possível demonstrar claramente as características da série temporal. Decidi usar estatísticas de tráfego internacional de passageiros porque esse conjunto de dados é bastante descritivo e se tornou um padrão (http://robjhyndman.com/tsdldata/data/airpass.dat, fonte Time Series Data Library, R. J. Hyndman). A série descreve o número de passageiros de companhias aéreas internacionais por mês (em milhares) de 1949 a 1960.

Como sempre tenho em mãos, que tem uma ferramenta interessante "" para trabalhar com linhas, vou usá-la. Antes de importar os dados para o arquivo, você precisa adicionar uma coluna com uma data para que os valores sejam vinculados ao tempo e uma coluna com o nome da série para cada observação. Abaixo você pode ver como é o meu arquivo de origem, que importei para a Plataforma Prognoz usando o assistente de importação diretamente da ferramenta de análise de séries temporais.

A primeira coisa que costumamos fazer com uma série temporal é plotá-la em um gráfico. A plataforma Prognoz permite que você crie um gráfico simplesmente arrastando e soltando uma série em uma pasta de trabalho.

Série temporal no gráfico

O símbolo 'M' no final do nome da série significa que a série tem uma dinâmica mensal (o intervalo entre as observações é de um mês).

Já pelo gráfico, podemos ver que a série demonstra duas características:

  • tendência- em nosso gráfico, trata-se de um aumento de longo prazo nos valores observados. Pode-se ver que a tendência é quase linear.
  • sazonalidade- no gráfico, são flutuações periódicas no valor. No próximo artigo sobre o tema séries temporais, aprenderemos como calcular o período.

Nossa série é bastante “limpa”, no entanto, muitas vezes existem séries que, além das duas características descritas acima, demonstram mais uma coisa - a presença de “ruído”, ou seja, variações aleatórias de uma forma ou de outra. Um exemplo de tal série pode ser visto no gráfico abaixo. Este é um sinal senoidal misturado com uma variável aleatória.

Ao analisar séries, estamos interessados ​​em identificar sua estrutura e avaliar todos os principais componentes - tendência, sazonalidade, ruído e outras características, bem como a capacidade de fazer previsões de mudanças de magnitude em períodos futuros.

Ao trabalhar com séries, a presença de ruído muitas vezes dificulta a análise da estrutura da série. Para excluir sua influência e ver melhor a estrutura da série, você pode usar os métodos de suavização da série.

O método mais simples para suavizar séries é a média móvel. A ideia é que, para qualquer número ímpar de pontos em uma sequência em série, substitua o ponto central pela média aritmética dos pontos restantes:

Onde XI- linha original eu- linha suavizada.

Abaixo você pode ver o resultado da aplicação deste algoritmo às nossas duas séries. Por padrão, a Prognoz Platform sugere o uso de anti-aliasing com um tamanho de janela de 5 pontos ( k em nossa fórmula acima será igual a 2). Observe que o sinal suavizado não é mais afetado pelo ruído, mas junto com o ruído, é claro, algumas informações úteis sobre a dinâmica da série também desaparecem. Também pode ser visto que a série suavizada não possui a primeira (e também a última) k pontos. Isso se deve ao fato de que a suavização é realizada para o ponto central da janela (no nosso caso, para o terceiro ponto), após o que a janela é deslocada em um ponto e os cálculos são repetidos. Para a segunda série aleatória, usei suavização com janela igual a 30 para revelar melhor a estrutura da série, já que a série é “alta frequência”, há muitos pontos.

O método da média móvel tem algumas desvantagens:

  • A média móvel é ineficiente no cálculo. Para cada ponto, a média deve ser recalculada de uma nova forma. Não podemos reutilizar o resultado calculado para o ponto anterior.
  • A média móvel não pode ser estendida para o primeiro e último pontos da série. Isso pode causar um problema se estivermos interessados ​​exatamente nesses pontos.
  • A média móvel não é definida fora da série e, como resultado, não pode ser usada para previsão.

Suavização Exponencial

Um método de suavização mais avançado que também pode ser usado para previsão é a suavização exponencial, também chamada às vezes de método Holt-Winters, devido aos nomes de seus criadores.

Existem várias variantes deste método:

  • suavização única para séries que não possuem tendência e sazonalidade;
  • suavização dupla para séries com tendência, mas sem sazonalidade;
  • suavização tripla para séries que têm tendência e sazonalidade.

O método de suavização exponencial calcula os valores da série suavizada atualizando os valores calculados na etapa anterior usando informações da etapa atual. As informações das etapas anteriores e atuais são obtidas com diferentes pesos que podem ser controlados.

Na versão mais simples de suavização simples, a proporção é:

Parâmetro α define a razão entre o valor não suavizado na etapa atual e o valor suavizado da etapa anterior. No α =1 tomaremos apenas os pontos da série original, ou seja, não haverá suavização. No α =0 série, tomaremos apenas os valores suavizados das etapas anteriores, ou seja, a série se tornará uma constante.

Para entender por que a suavização é chamada de exponencial, precisamos expandir a relação recursivamente:

Pode-se observar pela relação que todos os valores anteriores da série contribuem para o valor suavizado atual, porém, sua contribuição diminui exponencialmente devido ao crescimento do grau do parâmetro α .

No entanto, se houver uma tendência nos dados, uma simples suavização ficará para trás (ou você terá que tomar valores α próximo de 1, mas a suavização será insuficiente). Você precisa usar suavização exponencial dupla.

A suavização dupla já usa duas equações - uma equação avalia a tendência como a diferença entre os valores suavizados atuais e anteriores e, em seguida, suaviza a tendência com suavização simples. A segunda equação realiza a suavização como no caso simples, mas o segundo termo usa a soma do valor suavizado anterior e a tendência.

A suavização tripla inclui outro componente, a sazonalidade, e usa outra equação. Ao mesmo tempo, distinguem-se duas variantes do componente sazonal - aditivo e multiplicativo. No primeiro caso, a amplitude do componente sazonal é constante e não depende da amplitude de base da série ao longo do tempo. No segundo caso, a amplitude muda junto com a mudança na amplitude de base da série. Este é apenas o nosso caso, como pode ser visto no gráfico. À medida que a série cresce, a amplitude das flutuações sazonais aumenta.

Como nossa primeira série tem tendência e sazonalidade, decidi ajustar os parâmetros de suavização tripla para ela. Na Prognoz Platform, isso é bastante fácil de fazer, pois quando o valor do parâmetro é atualizado, a plataforma redesenha imediatamente o gráfico da série suavizada e visualmente você pode ver imediatamente o quão bem ela descreve nossa série original. Acertei nos seguintes valores:

Como calculei o período, veremos no próximo artigo sobre séries temporais.

Normalmente, valores entre 0,2 e 0,4 podem ser considerados como primeiras aproximações. A plataforma Prognoz também usa um modelo com um parâmetro adicional ɸ , o que amortece a tendência para que se aproxime de uma constante no futuro. Por ɸ Tomei o valor 1, que corresponde ao modelo usual.

Também fiz uma previsão dos valores da série por esse método nos últimos 2 anos. Na figura abaixo, marquei o ponto inicial da previsão traçando uma linha através dele. Como você pode ver, a série original e a suavizada coincidem muito bem, inclusive no período de previsão - nada mal para um método tão simples!

A Plataforma Prognoz também permite selecionar automaticamente os valores ótimos dos parâmetros usando uma busca sistemática no espaço dos valores dos parâmetros e minimizando a soma dos desvios quadrados da série suavizada do original.

Os métodos descritos são bastante simples, fáceis de aplicar e um bom ponto de partida para análise de estrutura e previsão de séries temporais.

Leia mais sobre séries temporais no próximo artigo.

Muitas vezes, os níveis da série dinâmica flutuam, enquanto a tendência no desenvolvimento do fenômeno no tempo é ocultada por desvios aleatórios dos níveis em uma direção ou outra. A fim de identificar mais claramente a tendência de desenvolvimento do processo em estudo, inclusive para a aplicação posterior de métodos de previsão baseados em modelos de tendência, suavização(alinhamento) série temporal.

Os métodos de suavização de séries temporais são divididos em dois grupos principais:

1. alinhamento analítico por meio de uma curva traçada entre níveis específicos da série de modo que reflita a tendência inerente à série e, ao mesmo tempo, a livre de pequenas flutuações;

2. alinhamento mecânico de níveis individuais da série temporal usando os valores reais dos níveis vizinhos.

A essência dos métodos de suavização mecânica é a seguinte. Vários níveis da série temporal são tomados, formando intervalo de suavização. Para eles, é selecionado um polinômio, cujo grau deve ser menor que o número de níveis incluídos no intervalo de suavização; usando um polinômio, novos valores alinhados dos níveis no meio do intervalo de suavização são determinados. Em seguida, o intervalo de suavização é deslocado um nível da série para a direita, o próximo valor suavizado é calculado e assim por diante.

O método mais simples de suavização mecânica é método de média móvel simples.

2.4.1.O método de média móvel simples.

Primeiro para a série temporal: o intervalo de suavização é determinado. Se for necessário suavizar pequenas flutuações aleatórias, o intervalo de suavização será o maior possível; o intervalo de suavização é reduzido se for necessário preservar flutuações menores.

Para os primeiros níveis da série, é calculada sua média aritmética. Este será o valor suavizado do nível da série que está no meio do intervalo de suavização. Em seguida, o intervalo de suavização é deslocado um nível para a direita, o cálculo da média aritmética é repetido e assim por diante. A seguinte fórmula é usada para calcular os níveis suavizados da série:

onde (para ímpar); para números pares, a fórmula se torna mais complicada.

Como resultado de tal procedimento, são obtidos valores suavizados dos níveis da série; neste caso, o primeiro e o último nível da série são perdidos (não suavizados). Outra desvantagem do método é que ele é aplicável apenas a séries com tendência linear.

2.4.2.Método de média móvel ponderada.

O método de média móvel ponderada difere do método de suavização anterior, pois os níveis incluídos no intervalo de suavização são adicionados com pesos diferentes. Isso se deve ao fato de que a aproximação da série dentro do intervalo de suavização é feita usando um polinômio não de primeiro grau, como no caso anterior, mas de grau a partir do segundo.

A fórmula da média aritmética ponderada é usada:

,

onde os pesos são determinados usando o método dos mínimos quadrados. Esses pesos são calculados para vários graus do polinômio de aproximação e vários intervalos de suavização.

1. para polinômios de segunda e terceira ordens, a sequência numérica de pesos para o intervalo de suavização tem a forma: , e at tem a forma: ;

2. para polinômios de quarto e quinto graus e com intervalo de suavização, a sequência de pesos é a seguinte: .

A distribuição dos pesos ao longo do intervalo de suavização, obtida com base no método dos mínimos quadrados, veja o diagrama 1.

2.4.3.Método de suavização exponencial.

O método de suavização exponencial pertence ao mesmo grupo de métodos.

Sua peculiaridade reside no fato de que no procedimento para encontrar o nível suavizado, são utilizados apenas os valores dos níveis anteriores da série, tomados com um certo peso, e o peso da observação diminui à medida que se afasta do ponto de tempo para o qual o valor suavizado do nível da série é determinado.

Se para a série temporal original

os valores suavizados correspondentes são denotados por , então a suavização exponencial é realizada de acordo com a fórmula:

Onde parâmetro de suavização ; quantidade é chamada factor de desconto.

Usando a relação de recorrência dada para todos os níveis da série, começando no primeiro e terminando no momento de tempo , pode-se obter que a média exponencial, ou seja, o valor do nível da série suavizada por este método, é uma média ponderada de todos os níveis anteriores.

Suavização de séries temporais

suavização de séries temporais, Essa. Substituir os níveis reais por valores calculados que tenham menos volatilidade do que os dados originais é um método simples de identificar tendências. A transformação correspondente é chamada de filtragem.

A suavização de séries temporais é realizada nos seguintes casos:

· Na representação gráfica da série temporal, a tendência não é claramente visível. Portanto, a série é suavizada, os valores suavizados são plotados no gráfico e, como regra, a tendência aparece com mais clareza;

· São aplicados métodos de análise e previsão, exigindo como pré-condição a suavização das séries temporais;

Ao eliminar observações anômalas;

· Com previsão direta de indicadores econômicos e previsão de mudança de tendência - "turning points".

Os métodos de suavização existentes são divididos em dois grupos:

1) Métodos analíticos. Para suavização, é usada uma curva que é desenhada em relação aos valores reais da série para refletir a tendência inerente à série e, ao mesmo tempo, liberá-la de pequenas flutuações menores. Tais curvas também são chamadas de curvas de crescimento, são utilizadas principalmente para a previsão de indicadores econômicos;

2) Métodos de alisamento mecânico. Cada nível individual da série é suavizado usando os valores reais dos níveis adjacentes a ele. Para suavizar séries temporais, os métodos de média móvel simples e ponderada, suavização exponencial são frequentemente usados.

Método de média móvel simples inclui as seguintes etapas:

1. O número de observações incluídas no intervalo de suavização é determinado. Nesse caso, a regra é usada: se for necessário suavizar pequenas flutuações caóticas, o intervalo de suavização é o maior possível e, inversamente, o intervalo de suavização é reduzido quando é necessário preservar ondas menores e obter livrar-se de flutuações periódicas que surgem, por exemplo, devido a autocorrelações de nível.

2. Calcula-se o valor médio das observações que formam o intervalo de suavização, que também é o valor de suavização do nível localizado no centro do intervalo de suavização, desde que m seja um número ímpar, conforme a fórmula

onde m é o número de observações incluídas no intervalo de suavização; p é o número de observações localizadas em lados opostos da suavizada.

Para m ímpar, o valor do parâmetro p é calculado da seguinte forma:

A primeira observação suavizada será t, onde t = p+1.

3. O intervalo de suavização é deslocado um termo para a direita e o valor suavizado para a (t + 1) -ésima observação é encontrado usando a fórmula (1). Em seguida, o deslocamento é realizado novamente, e assim por diante.

O procedimento continua até que a última observação da série temporal entre no intervalo de suavização.

O método de média móvel simples pode ser usado se a representação gráfica da série se assemelhar a uma linha reta.

Neste caso, a dinâmica de desenvolvimento do processo em estudo não é distorcida. No entanto, quando a tendência da série a ser nivelada apresenta curvas e, além disso, é desejável manter ondas pequenas, não é aconselhável utilizar o método da média móvel simples para suavizar a série, pois neste caso:

ambas as linhas convexas e côncavas estão alinhadas;

· há um deslocamento da onda ao longo da linha;

· o sinal da onda muda, ou seja, na curva que liga os pontos suavizados, em vez de uma seção convexa, forma-se uma côncava e vice-versa. O último ocorre quando o intervalo de suavização é uma vez e meia o comprimento de onda.

Assim, se o desenvolvimento do processo for não linear, então a aplicação do método da média móvel simples pode levar a distorções significativas do processo em estudo.

Nesses casos, é mais confiável usar outros métodos de suavização, como o método de média móvel ponderada.

Método de média móvel ponderada difere da anterior porque a suavização dentro do intervalo é realizada não ao longo de uma linha reta, mas ao longo de uma curva de ordem superior. Isso se deve ao fato de que a soma dos membros da série incluídos no intervalo de suavização é realizada com determinados pesos calculados pelo método dos mínimos quadrados.

Se a suavização for realizada usando um polinômio (polinômio) de segunda e terceira ordem, os seguintes pesos serão tomados

(-3; 12; 17; 12; - 3) para m=5;

(-2; 3; 6; 7; 3; - 2) para m=7.

Características da escala:

1) são simétricos em relação ao membro central;

2) a soma dos pesos, levando em conta o fator comum, é igual a um.

Desvantagem do método: a primeira e a última p observações da série permanecem sem suavização.

Cálculo de indicadores da dinâmica dos processos econômicos

O cálculo dos indicadores da dinâmica dos processos econômicos é a etapa final da análise preliminar dos dados.

Para caracterizar a dinâmica das mudanças nos indicadores econômicos, muitas vezes é utilizado o conceito de autocorrelação, que caracteriza não apenas a interdependência dos níveis de uma mesma série em relação a diferentes pontos de observação, mas também o grau de estabilidade do desenvolvimento do processo. no tempo, o valor do período ótimo de previsão, etc.

O grau de rigidez da relação estatística entre os níveis da série temporal, deslocados por f unidades de tempo, é determinado pelo valor do coeficiente de correlação r(f). Como r(φ) mede a proximidade da conexão entre os níveis de uma mesma série temporal, é comumente chamado de coeficiente de autocorrelação. Nesse caso, f - o comprimento do deslocamento temporal - geralmente é chamado de atraso.

O coeficiente de autocorrelação é calculado pela fórmula

Com uma grande extensão da série em estudo, o cálculo dos coeficientes de autocorrelação pode ser simplificado. Para isso, são encontrados desvios não da média das séries correlacionadas, mas da média total de toda a série. Nesse caso

A ordem dos coeficientes de autocorrelação é determinada pelo intervalo de tempo: primeira ordem (em φ = 1), segunda ordem (em φ = 2), etc.

A sequência de coeficientes de autocorrelação de níveis de primeira, segunda e ordens subsequentes é chamada de função de autocorrelação. Os valores dos quais podem variar de -1 a +1, mas da estacionaridade segue que r(f) = - r(f). O gráfico de uma função de autocorrelação é chamado de correlograma.

A análise da função de autocorrelação e do correlograma permite determinar a defasagem em que a autocorrelação é mais alta, ou seja, usando a análise da função de autocorrelação e do correlograma, pode-se revelar a estrutura da série.

Se o coeficiente de autocorrelação de 1ª ordem for o mais alto, a série em estudo contém apenas uma tendência. Se o coeficiente de autocorrelação de ordem φ for o mais alto, então a série contém oscilações cíclicas com uma periodicidade de φ pontos de tempo. Se nenhum dos coeficientes de autocorrelação for significativo, então uma das duas suposições pode ser feita sobre a estrutura desta série: ou a série não contém uma tendência e flutuações sazonais, ou a série contém uma forte tendência não linear, o que requer análise para identificar. Portanto, é aconselhável utilizar o coeficiente de autocorrelação de nível e a função de autocorrelação para identificar a presença ou ausência do componente de tendência f(t) e do componente sazonal S(t) na série temporal.

ARTIGOS RELACIONADOS