Sejam dadas duas inequações f 1(x) > g 1(x) e f 2(x) > g 2(x). Sistema de desigualdades representa é uma conjunção dessas desigualdades . O sistema é escrito assim:

A solução para este sistema X, que transforma cada uma das desigualdades em uma verdadeira desigualdade numérica. O conjunto de soluções de um sistema de inequações é a interseção dos conjuntos de soluções de inequações que formam o sistema dado.

Desigualdade | x| < uma, Onde uma> 0, é equivalente a um sistema ou uma dupla desigualdade -- uma < x < uma.

Conjunto de desigualdades f 1(x) > g 1(x) e f 2(x) > g 2(x) representa você mesma disjunção dessas desigualdades .

O conjunto é escrito assim:

A solução deste conjunto é qualquer valor da variável X, que transforma em uma verdadeira desigualdade numérica pelo menos uma das desigualdades do conjunto. O conjunto de soluções de um conjunto é a união dos conjuntos de soluções das desigualdades que formam o conjunto.

Desigualdade | x| > uma, Onde uma> 0, é equivalente ao conjunto

Uma tarefa. Encontre um conjunto de soluções para o sistema de desigualdades:

Solução. Vamos encontrar os conjuntos de soluções para cada uma das desigualdades do sistema e, em seguida, encontrar sua interseção. Vamos transformar cada uma das desigualdades na forma x > uma ou x < uma.

Û Û

Û Û Û

X> -7 é um intervalo numérico (-7; ¥), e o conjunto de soluções para a desigualdade X < 7 - промежуток (-¥; 7). Найдем их пересечение: (-7; ¥) Ç (-¥; 7) = (-7; 7). Таким образом, множеством решений данной системы является промежуток (-7; 7).

Uma tarefa. Resolva a desigualdade | x+ 3| £ 4.

Solução. Esta desigualdade é equivalente à dupla desigualdade -4 £ x+ 3 £ 4. Resolvendo, encontramos que -7 £ x£ 1, ou seja XО [-7; 1].

Uma tarefa. Encontre um conjunto de soluções populacionais

Solução. Vamos primeiro encontrar os conjuntos de soluções para cada uma das desigualdades populacionais e, em seguida, sua união.

Transformamos cada uma das desigualdades populacionais, substituindo-a por uma equivalente: Û Û Û

O conjunto de soluções da desigualdade X> 2 é o intervalo numérico (2; ¥), e o conjunto de soluções da desigualdade X> 1 - intervalo (1; ¥). Vamos encontrar sua união: (2; ¥) È (1; ¥) = (1; ¥). Portanto, o conjunto de soluções da coleção é o intervalo numérico (1; ¥).

Uma tarefa. Resolva a desigualdade | x+ 3| > 5.

Solução. Esta desigualdade é equivalente ao conjunto de desigualdades:

Assim, a solução do conjunto resultante é o intervalo numérico (-¥; -8) È (2; ¥).

Exercícios para trabalho independente

1. Encontre os conjuntos verdade das seguintes conjunções de desigualdades e desenhe-os em uma linha real:

uma) ( X> 3) você ( X> 5); G) ( X³ -7) u ( X³ -9);

b) ( X < 3) Ù (X < 5); д) (X> 4) u ( X£ -2);

dentro) ( X³ -4) u ( X£ -2); e) ( X³ -6) u ( X < 11).

2. Resolva sistemas de desigualdades:

a) b)

dentro) G)

3. Encontre conjuntos de soluções para desigualdades:

a) | x - 6| < 13; в) |3x- 6| £0;

b) |5 - 2 x| £3; d) |3 x - 8| < - 1.

4. Encontre os conjuntos verdade das seguintes disjunções de desigualdades:

uma) ( X> -9) Ú ( X> 1) Ú ( X> 6); G) ( X < 2) Ú (X > 8);

§1. Sistemas de equações lineares.

ver sistema

chamado de sistema m equações lineares com n desconhecido.

Aqui
- desconhecido, - coeficientes para incógnitas,
- membros livres das equações.

Se todos os termos livres das equações são iguais a zero, o sistema é chamado homogêneo.Decisão sistema é chamado de conjunto de números
, ao substituí-los no sistema em vez de incógnitas, todas as equações se transformam em identidades. O sistema é chamado articulação se tiver pelo menos uma solução. Um sistema conjunto com uma solução única é chamado certo. Os dois sistemas são chamados equivalente se os conjuntos de suas soluções forem iguais.

O sistema (1) pode ser representado em forma de matriz usando a equação

(2)

.

§2. Compatibilidade de sistemas de equações lineares.

Chamamos a matriz estendida do sistema (1) de matriz

Teorema de Kronecker - Capelli. O sistema (1) é consistente se e somente se o posto da matriz do sistema for igual ao posto da matriz estendida:

.

§3. Solução de sistemasn equações lineares comn desconhecido.

Considere um sistema não homogêneo n equações lineares com n desconhecido:

(3)

Teorema de Cramer.Se o principal determinante do sistema (3)
, então o sistema tem uma solução única determinada pelas fórmulas:

Essa.
,

Onde - o determinante obtido do determinante substituição ª coluna para a coluna de membros livres.

Se um
, e pelo menos um dos ≠0, então o sistema não tem soluções.

Se um
, então o sistema tem infinitas soluções.

O sistema (3) pode ser resolvido usando sua notação matricial (2). Se o posto da matriz MASé igual a n, ou seja
, então a matriz MAS tem um inverso
. Multiplicando a equação matricial
para matriz
à esquerda, temos:

.

A última igualdade expressa uma maneira de resolver sistemas de equações lineares usando uma matriz inversa.

Exemplo. Resolva o sistema de equações usando a matriz inversa.

Solução. Matriz
não degenerado, porque
, então existe uma matriz inversa. Vamos calcular a matriz inversa:
.

,

Exercício. Resolva o sistema pelo método de Cramer.

§quatro. Solução de sistemas arbitrários de equações lineares.

Seja dado um sistema não homogêneo de equações lineares da forma (1).

Suponhamos que o sistema seja consistente, ou seja, a condição do teorema de Kronecker-Capelli é satisfeita:
. Se o posto da matriz
(para o número de incógnitas), então o sistema tem uma solução única. Se um
, então o sistema tem infinitas soluções. Vamos explicar.

Seja o posto da matriz r(UMA)= r< n. Porque o
, então existe algum menor diferente de zero de ordem r. Vamos chamá-lo de menor básico. As incógnitas cujos coeficientes formam o menor básico são chamadas de variáveis ​​básicas. As incógnitas restantes são chamadas de variáveis ​​livres. Reorganizamos as equações e renumeramos as variáveis ​​para que esta menor fique localizada no canto superior esquerdo da matriz do sistema:

.

Primeiro r linhas são linearmente independentes, o resto é expresso através delas. Portanto, essas linhas (equações) podem ser descartadas. Nós temos:

Vamos dar às variáveis ​​livres valores numéricos arbitrários: . Deixamos apenas as variáveis ​​básicas do lado esquerdo e movemos as variáveis ​​livres para o lado direito.

Tem um sistema r equações lineares com r desconhecido, cujo determinante é diferente de 0. Tem uma solução única.

Este sistema é chamado de solução geral do sistema de equações lineares (1). Caso contrário: a expressão de variáveis ​​básicas em termos de variáveis ​​livres é chamada solução comum sistemas. A partir dele você pode obter um número infinito decisões privadas, dando valores arbitrários de variáveis ​​livres. Uma solução particular obtida de uma geral em valores zero das variáveis ​​livres é chamada solução básica. O número de soluções básicas diferentes não excede
. Uma solução básica com componentes não negativos é chamada fundamental solução do sistema.

Exemplo.

,r=2.

Variáveis
- básico,
- gratuitamente.

Vamos adicionar as equações; expressar
Através dos
:

- decisão comum.

- solução privada
.

- solução básica, básica.

§5. Método de Gauss.

O método de Gauss é um método universal para estudar e resolver sistemas arbitrários de equações lineares. Consiste em trazer o sistema para uma forma diagonal (ou triangular) por eliminação sequencial de incógnitas usando transformações elementares que não violam a equivalência dos sistemas. Uma variável é considerada excluída se estiver contida em apenas uma equação do sistema com coeficiente 1.

Transformações elementares sistemas são:

Multiplicando uma equação por um número diferente de zero;

Adicionando uma equação multiplicada por qualquer número com outra equação;

Rearranjo de equações;

Eliminando a equação 0 = 0.

As transformações elementares podem ser realizadas não em equações, mas em matrizes estendidas dos sistemas equivalentes resultantes.

Exemplo.

Solução. Escrevemos a matriz estendida do sistema:

.

Realizando transformações elementares, trazemos o lado esquerdo da matriz para a forma unitária: criaremos unidades na diagonal principal e zeros fora dela.

Comente. Se, ao realizar transformações elementares, uma equação da forma 0 = k(Onde para0), então o sistema é inconsistente.

A solução de sistemas de equações lineares pelo método de eliminação sucessiva de incógnitas pode ser formalizada na forma mesas.

A coluna esquerda da tabela contém informações sobre as variáveis ​​excluídas (básicas). As colunas restantes contêm os coeficientes das incógnitas e os termos livres das equações.

A matriz expandida do sistema é gravada na tabela de origem. Em seguida, prossiga para a implementação das transformações de Jordan:

1. Escolha uma variável , que será a base. A coluna correspondente é chamada de coluna chave. Escolha uma equação na qual esta variável permanecerá, sendo excluída das demais equações. A linha da tabela correspondente é chamada de linha-chave. Coeficiente O , localizado na interseção da linha-chave e da coluna-chave, é chamado de chave.

2. Os elementos da string chave são divididos pelo elemento chave.

3. A coluna chave é preenchida com zeros.

4. Os demais elementos são calculados de acordo com a regra do retângulo. Eles formam um retângulo, em vértices opostos do qual existe um elemento chave e um elemento recalculado; do produto dos elementos da diagonal do retângulo com o elemento-chave, o produto dos elementos de outra diagonal é subtraído, a diferença resultante é dividida pelo elemento-chave.

Exemplo. Encontre a solução geral e a solução básica do sistema de equações:

Solução.

Solução geral do sistema:

Solução básica:
.

Uma transformação de substituição única permite passar de uma base do sistema para outra: em vez de uma das variáveis ​​principais, uma das variáveis ​​livres é introduzida na base. Para fazer isso, um elemento chave é selecionado na coluna de variável livre e as transformações são realizadas de acordo com o algoritmo acima.

§6. Encontrar soluções de suporte

A solução de referência de um sistema de equações lineares é uma solução básica que não contém componentes negativos.

As soluções de suporte do sistema são encontradas pelo método de Gauss nas seguintes condições.

1. No sistema original, todos os termos livres devem ser não negativos:
.

2. O elemento chave é escolhido entre os coeficientes positivos.

3. Se a variável introduzida na base tiver vários coeficientes positivos, então a sequência de chaves é aquela em que a razão entre o termo livre e o coeficiente positivo é a menor.

Observação 1. Se, no processo de eliminação das incógnitas, aparece uma equação na qual todos os coeficientes são não positivos e o termo livre
, então o sistema não tem soluções não negativas.

Observação 2. Se não houver um único elemento positivo nas colunas de coeficientes para variáveis ​​livres, a transição para outra solução de referência é impossível.

Exemplo.

Se um problema tem menos de três variáveis, não é um problema; se mais de oito, é indecidível. Enon.

Problemas com parâmetros são encontrados em todas as variantes do USE, pois ao resolvê-los, é mais claramente revelado o quão profundo e informal é o conhecimento do graduado. As dificuldades que os alunos têm na realização de tais tarefas são causadas não apenas pela sua relativa complexidade, mas também pelo fato de não lhes ser dada atenção suficiente nos livros didáticos. Nas variantes de KIMs em matemática, existem dois tipos de atribuições com parâmetros. Primeiro: "para cada valor do parâmetro, resolva a equação, desigualdade ou sistema." Segundo: "encontre todos os valores do parâmetro, para cada um dos quais as soluções da desigualdade, equação ou sistema satisfaçam as condições dadas". Assim, as respostas nestes dois tipos de problemas diferem em essência. No primeiro caso, todos os valores possíveis do parâmetro são listados na resposta e as soluções da equação são escritas para cada um desses valores. O segundo lista todos os valores de parâmetros sob os quais as condições do problema são atendidas. Registrar a resposta é uma etapa essencial da solução, é muito importante não esquecer de refletir todas as etapas da decisão na resposta. Isso precisa ser levado ao conhecimento dos alunos.
O apêndice da lição contém material adicional sobre o tópico "Resolver sistemas de equações lineares com parâmetros", que ajudará na preparação dos alunos para a certificação final.

Lições objetivas:

• sistematização do conhecimento dos alunos;
• desenvolvimento de competências para aplicar representações gráficas na resolução de sistemas de equações;
• formação da capacidade de resolver sistemas de equações lineares contendo parâmetros;
• implantação do controle operacional e autocontrole dos alunos;
• desenvolvimento de pesquisa e atividade cognitiva de escolares, a capacidade de avaliar os resultados obtidos.

A aula é projetada para duas horas de ensino.

Durante as aulas

1. Organizando o tempo

Tópicos da mensagem, metas e objetivos da lição.

1. Atualizando os conhecimentos básicos dos alunos

Verificando a lição de casa. Como lição de casa, os alunos foram solicitados a resolver cada um dos três sistemas de equações lineares

a) b) dentro)

gráfica e analiticamente; tirar uma conclusão sobre o número de soluções obtidas para cada caso

As conclusões dos alunos são ouvidas e analisadas. Os resultados do trabalho sob a orientação do professor são resumidos em cadernos.

Em geral, um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas pode ser representado como: .

Resolver graficamente um determinado sistema de equações significa encontrar as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos dessas equações ou provar que não existem. O gráfico de cada equação deste sistema no plano é uma linha reta.

Existem três casos de arranjo mútuo de duas linhas retas em um plano:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

Para cada caso, é útil desenhar uma imagem.

1. Aprendendo novos materiais

Hoje, na lição, aprenderemos como resolver sistemas de equações lineares contendo parâmetros. Chamaremos um parâmetro de variável independente, cujo valor no problema é considerado um dado número real fixo ou arbitrário, ou um número pertencente a um conjunto predeterminado. Resolver um sistema de equações com um parâmetro significa estabelecer uma correspondência que permita que qualquer valor do parâmetro encontre o conjunto de soluções correspondente ao sistema.

A solução de um problema com um parâmetro depende da questão colocada nele. Se você só precisa resolver um sistema de equações para vários valores de um parâmetro ou investigá-lo, precisa dar uma resposta razoável para qualquer valor do parâmetro ou para o valor de um parâmetro que pertence ao conjunto especificado em avançar no problema. Se for necessário encontrar os valores do parâmetro que satisfaçam certas condições, não é necessário um estudo completo e a solução do sistema se limita a encontrar esses valores específicos do parâmetro.

Exemplo 1 Para cada valor de parâmetro, resolvemos o sistema de equações

Solução.

1. O sistema tem solução única se

Neste caso temos

1. Se a = 0, então o sistema assume a forma

O sistema é inconsistente, ou seja, não tem soluções.

1. Se então o sistema pode ser escrito na forma

É óbvio que neste caso o sistema tem infinitas soluções da forma x = t; onde t é qualquer número real.

Responda:

Exemplo 2

• tem uma solução única;
• tem muitas soluções;
• não tem soluções?

Solução.

Responda:

Exemplo 3 Vamos encontrar a soma dos parâmetros a e b para os quais o sistema

tem um número infinito de soluções.

Solução. O sistema tem um número infinito de soluções se

Ou seja, se a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 = 48.

Resposta: 48.

1. Consolidação do que foi aprendido no curso da resolução de problemas

1. Nº 15.24(a). Para cada valor de parâmetro, resolva o sistema de equações

1. #15.25(a) Para cada valor de parâmetro, resolva o sistema de equações

1. Para quais valores do parâmetro um sistema de equações

a) não tem soluções; b) tem infinitas soluções.

Resposta: para a = 2 não há soluções, para a = -2 há um número infinito de soluções

1. Trabalho prático em grupo

A turma é dividida em grupos de 4 a 5 pessoas. Cada grupo inclui alunos com diferentes níveis de formação matemática. Cada grupo recebe um cartão com uma tarefa. Você pode convidar todos os grupos para resolver um sistema de equações e elaborar a solução. O grupo que completou a tarefa corretamente apresenta primeiro sua solução; o resto entrega a decisão ao professor.

Cartão. Resolver Sistema de Equações Lineares

para todos os valores do parâmetro a.

Resposta: quando o sistema tem uma solução única ; quando não há soluções; para a = -1 existem infinitas soluções da forma, (t; 1- t) onde t R

Se a classe for forte, os grupos podem receber diferentes sistemas de equações, cuja lista está no Apêndice 1. Em seguida, cada grupo apresenta sua solução para a turma.

Relatório do grupo que primeiro completou corretamente a tarefa

Os participantes expressam e explicam sua versão da solução e respondem a perguntas que surgiram de representantes de outros grupos.

1. Trabalho independente

Opção 1

opção 2

1. Resumo da lição

A resolução de sistemas de equações lineares com parâmetros pode ser comparada a um estudo que inclui três condições principais. O professor pede aos alunos que as formulem.

Ao decidir, tenha em mente:

1. para que o sistema tenha uma única solução, é necessário que as retas correspondentes à equação do sistema se cruzem, ou seja, é necessário cumprir a condição;
2. para não ter soluções, as linhas devem ser paralelas, ou seja, a condição foi cumprida
3. e, finalmente, para que o sistema tenha infinitas soluções, as linhas devem coincidir, ou seja, condição foi atendida.

O professor avalia o trabalho na aula da turma como um todo e define notas para a aula para os alunos individualmente. Depois de verificar o trabalho independente, cada aluno receberá uma avaliação para a lição.

1. Trabalho de casa

Para quais valores do parâmetro b o sistema de equações

• tem infinitas soluções;
• não tem soluções?

Os gráficos das funções y = 4x + be y = kx + 6 são simétricos em relação ao eixo y.

• Encontre b e k,
• encontre as coordenadas do ponto de interseção desses gráficos.

Resolva o sistema de equações para todos os valores de m e n.

Resolva um sistema de equações lineares para todos os valores do parâmetro a (qualquer escolha).

Literatura

1. Álgebra e o início da análise matemática: livro didático. para 11 células. Educação geral instituições: básico e perfil. níveis / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M .: Educação, 2008.
2. Matemática: 9º ano: Preparação para a certificação final estadual / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M .: Eksmo, 2008.
3. Preparando-se para a universidade. Matemáticas. Parte 2 Estado tecnologia un-t; instituto de modernidade tecnologia e economia; Compilado por: S. N. Gorshkova, L. M. Danovich, N. A. Naumova, A. V. Martynenko, I.A. Palshchikov. – Krasnodar, 2006.
4. Coleção de problemas em matemática para cursos preparatórios TUSUR: Guia de estudos / Z. M. Goldstein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Kudinov. – Tomsk: Tomsk. Estado. Universidade de Sistemas de Controle e Radioeletrônica, 1998.
5. Matemática: um curso intensivo de preparação para o exame / O. Yu. Cherkasov, A.G. Yakushev. - M.: Rolf, Iris-press, 1998.

Continuamos a lidar com sistemas de equações lineares. Até agora, consideramos sistemas que têm uma solução única. Tais sistemas podem ser resolvidos de qualquer maneira: método de substituição("escola") pelas fórmulas de Cramer, método matricial, Método de Gauss. No entanto, mais dois casos são difundidos na prática quando:

1) o sistema é inconsistente (não tem soluções);

2) o sistema tem infinitas soluções.

Para esses sistemas, o mais universal de todos os métodos de solução é usado - Método de Gauss. De fato, o método da "escola" também levará à resposta, mas na matemática superior é costume usar o método gaussiano de eliminação sucessiva de incógnitas. Aqueles que não estão familiarizados com o algoritmo do método de Gauss, por favor estudem a lição primeiro Método de Gauss

As próprias transformações elementares da matriz são exatamente as mesmas, a diferença estará no final da solução. Primeiro, considere alguns exemplos em que o sistema não tem soluções (inconsistentes).

Exemplo 1

O que imediatamente chama sua atenção neste sistema? O número de equações é menor que o número de variáveis. Existe um teorema que diz: “Se o número de equações no sistema for menor que o número de variáveis, então o sistema é inconsistente ou tem infinitas soluções. E resta apenas descobrir.

O início da solução é bastante comum - escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma gradual:

(1). No degrau superior esquerdo, precisamos obter (+1) ou (-1). Não existem esses números na primeira coluna, portanto, reorganizar as linhas não funcionará. A unidade terá que ser organizada de forma independente, e isso pode ser feito de várias maneiras. Nós fizemos isso. À primeira linha adicionamos a terceira linha, multiplicada por (-1).

(2). Agora temos dois zeros na primeira coluna. À segunda linha, adicione a primeira linha, multiplicada por 3. À terceira linha, adicione a primeira, multiplicada por 5.

(3). Depois de feita a transformação, é sempre aconselhável ver se é possível simplificar as strings resultantes? Posso. Dividimos a segunda linha por 2, ao mesmo tempo obtendo a desejada (-1) na segunda etapa. Divida a terceira linha por (-3).

(quatro). Adicione a segunda linha à terceira linha. Provavelmente, todos prestaram atenção à linha ruim, que resultou de transformações elementares:

. É claro que não pode ser assim.

De fato, reescrevemos a matriz resultante

Voltando ao sistema de equações lineares:

Se, como resultado de transformações elementares, uma cadeia da forma , Ondeλ é um número diferente de zero, então o sistema é inconsistente (não tem soluções).

Como gravar o final de uma tarefa? Você precisa escrever a frase:

“Como resultado de transformações elementares, obtém-se um cordão da forma, onde λ ≠ 0 ". Resposta: "O sistema não tem soluções (inconsistentes)."

Observe que, neste caso, não há movimento reverso do algoritmo gaussiano, não há soluções e simplesmente não há nada para encontrar.

Exemplo 2

Resolver um sistema de equações lineares

Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.

Novamente, lembramos que seu processo de solução pode diferir do nosso processo de solução, o método de Gauss não define um algoritmo inequívoco, você precisa adivinhar o procedimento e as próprias ações em cada caso.

Mais uma característica técnica da solução: transformações elementares podem ser interrompidas De uma vez só, assim que uma linha como , onde λ ≠ 0 . Considere um exemplo condicional: suponha que após a primeira transformação obtemos uma matriz

.

Esta matriz ainda não foi reduzida a uma forma escalonada, mas não há necessidade de mais transformações elementares, pois apareceu uma linha da forma, onde λ ≠ 0 . Deve-se responder imediatamente que o sistema é incompatível.

Quando um sistema de equações lineares não tem soluções, isso é quase um presente para o aluno, porque uma solução curta é obtida, às vezes literalmente em 2-3 etapas. Mas tudo neste mundo é equilibrado, e o problema em que o sistema tem infinitas soluções é apenas mais longo.

Exemplo 3:

Resolver um sistema de equações lineares

Existem 4 equações e 4 incógnitas, então o sistema pode ter uma única solução, ou não ter soluções, ou ter infinitas soluções. Fosse o que fosse, mas o método de Gauss, em qualquer caso, nos levará à resposta. Esta é a sua versatilidade.

O início é novamente padrão. Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, a transformamos em um degrau:

Isso é tudo, e você estava com medo.

(1). Observe que todos os números da primeira coluna são divisíveis por 2, portanto, no degrau superior esquerdo, também estamos satisfeitos com um deuce. À segunda linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por (-4). À terceira linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por (-2). À quarta linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por (-1).

Atenção! Muitos podem ser tentados a partir da quarta linha subtrair primeira linha. Isso pode ser feito, mas não é necessário, a experiência mostra que a probabilidade de um erro nos cálculos aumenta várias vezes. Apenas adicionamos: à quarta linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por (-1) - exatamente!

(2). As últimas três linhas são proporcionais, duas delas podem ser apagadas. Aqui novamente é necessário mostrar atenção aumentada, mas as linhas são realmente proporcionais? Para resseguro, não será supérfluo multiplicar a segunda linha por (-1) e dividir a quarta linha por 2, resultando em três linhas idênticas. E só depois disso remova dois deles. Como resultado de transformações elementares, a matriz estendida do sistema é reduzida a uma forma escalonada:

Ao completar uma tarefa em um caderno, é aconselhável fazer as mesmas anotações a lápis para maior clareza.

Reescrevemos o sistema de equações correspondente:

A única solução “usual” do sistema não cheira aqui. Linha ruim onde λ ≠ 0, também não. Portanto, este é o terceiro caso restante - o sistema tem infinitas soluções.

O conjunto infinito de soluções do sistema é brevemente escrito na forma do chamado solução geral do sistema.

Encontraremos a solução geral do sistema usando o movimento reverso do método de Gauss. Para sistemas de equações com um conjunto infinito de soluções, novos conceitos aparecem: "variáveis ​​básicas" e "variáveis ​​livres". Primeiro, vamos definir quais variáveis ​​temos básico, e quais variáveis ​​- gratuitamente. Não é necessário explicar em detalhes os termos da álgebra linear, basta lembrar que existem tais variáveis ​​de base e variáveis ​​livres.

Variáveis ​​básicas sempre "se sentam" estritamente nos passos da matriz. Neste exemplo, as variáveis ​​de base são x 1 e x 3 .

Variáveis ​​livres são tudo remanescente variáveis ​​que não receberam um passo. No nosso caso, são dois: x 2 e x 4 - variáveis ​​livres.

Agora você precisa tudovariáveis ​​de base expressar apenas atravesvariáveis ​​livres. O movimento reverso do algoritmo gaussiano tradicionalmente funciona de baixo para cima. A partir da segunda equação do sistema, expressamos a variável básica x 3:

Agora veja a primeira equação: . Primeiro, substituímos a expressão encontrada nela:

Resta expressar a variável básica x 1 através de variáveis ​​livres x 2 e x 4:

O resultado é o que você precisa - tudo variáveis ​​de base ( x 1 e x 3) expresso apenas atraves variáveis ​​livres ( x 2 e x 4):

Na verdade, a solução geral está pronta:

.

Como escrever a solução geral? Em primeiro lugar, as variáveis ​​livres são escritas na solução geral “por conta própria” e estritamente em seus lugares. Neste caso, as variáveis ​​livres x 2 e x 4 deve ser escrito na segunda e quarta posições:

.

As expressões resultantes para as variáveis ​​básicas e obviamente precisa ser escrito na primeira e terceira posições:

A partir da solução geral do sistema, pode-se encontrar infinitas decisões privadas. É muito simples. variáveis ​​livres x 2 e x 4 são chamados assim porque podem ser dados quaisquer valores finais. Os valores mais populares são os valores zero, pois esta é a maneira mais fácil de obter uma solução específica.

Substituindo ( x 2 = 0; x 4 = 0) na solução geral, obtemos uma das soluções particulares:

, ou é uma solução particular correspondente a variáveis ​​livres com valores ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Uns são outro casal querido, vamos substituir ( x 2 = 1 e x 4 = 1) na solução geral:

, ou seja, (-1; 1; 1; 1) é outra solução particular.

É fácil ver que o sistema de equações tem infinitas soluções já que podemos dar variáveis ​​livres algum valores.

Cada uma solução particular deve satisfazer para cada equação do sistema. Esta é a base para uma verificação “rápida” da correção da solução. Tome, por exemplo, uma solução particular (-1; 1; 1; 1) e substitua-a no lado esquerdo de cada equação no sistema original:

Tudo tem que vir junto. E com qualquer solução específica que você obtenha, tudo também deve convergir.

A rigor, a verificação de uma solução particular às vezes engana, ou seja, alguma solução particular pode satisfazer cada equação do sistema, e a própria solução geral é encontrada incorretamente. Portanto, em primeiro lugar, a verificação da solução geral é mais completa e confiável.

Como verificar a solução geral resultante ?

Não é difícil, mas requer uma transformação bastante longa. Precisamos tomar expressões básico variáveis, neste caso e , e substituí-los no lado esquerdo de cada equação do sistema.

Para o lado esquerdo da primeira equação do sistema:

O lado direito da primeira equação original do sistema é obtido.

Para o lado esquerdo da segunda equação do sistema:

O lado direito da segunda equação original do sistema é obtido.

E além disso - para as partes esquerdas da terceira e quarta equações do sistema. Essa verificação é mais longa, mas garante 100% de correção da solução geral. Além disso, em algumas tarefas é necessário verificar a solução geral.

Exemplo 4:

Resolva o sistema usando o método de Gauss. Encontre uma solução geral e duas privadas. Verifique a solução geral.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Aqui, a propósito, novamente o número de equações é menor que o número de incógnitas, o que significa que fica imediatamente claro que o sistema será inconsistente ou com um número infinito de soluções.

Exemplo 5:

Resolva um sistema de equações lineares. Se o sistema tem infinitas soluções, encontre duas soluções particulares e verifique a solução geral

Solução: Vamos escrever a matriz estendida do sistema e, com a ajuda de transformações elementares, trazê-la para uma forma escalonada:

(1). Adicione a primeira linha à segunda linha. À terceira linha somamos a primeira linha multiplicada por 2. À quarta linha somamos a primeira linha multiplicada por 3.

(2). À terceira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por (-5). À quarta linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por (-7).

(3). A terceira e quarta linhas são as mesmas, excluímos uma delas. Aqui está uma beleza:

As variáveis ​​de base ficam em etapas, portanto, são variáveis ​​de base.

Existe apenas uma variável livre, que não recebeu um passo: .

(quatro). Movimento reverso. Expressamos as variáveis ​​básicas em termos da variável livre:

Da terceira equação:

Considere a segunda equação e substitua a expressão encontrada nela:

, , ,

Considere a primeira equação e substitua as expressões encontradas e nela:

Assim, a solução geral com uma variável livre x 4:

Mais uma vez, como aconteceu? variável livre x 4 fica sozinho em seu legítimo quarto lugar. As expressões resultantes para as variáveis ​​básicas , , também estão em seus lugares.

Vamos verificar imediatamente a solução geral.

Substituímos as variáveis ​​básicas , , no lado esquerdo de cada equação do sistema:

Os lados direitos correspondentes das equações são obtidos, assim, a solução geral correta é encontrada.

Agora a partir da solução geral encontrada obtemos duas soluções particulares. Todas as variáveis ​​são expressas aqui através de um único variável livre x quatro. Você não precisa quebrar a cabeça.

Deixar x 4 = 0, então é a primeira solução particular.

Deixar x 4 = 1, então é outra solução particular.

Responda: Decisão comum: . Soluções Privadas:

e .

Exemplo 6:

Encontre a solução geral do sistema de equações lineares.

Já verificamos a solução geral, a resposta pode ser confiável. Seu curso de ação pode diferir do nosso curso de ação. O principal é que as soluções gerais coincidem. Provavelmente, muitos notaram um momento desagradável nas soluções: muitas vezes, durante o curso inverso do método de Gauss, tivemos que mexer com frações comuns. Na prática, isso é verdade, casos em que não há frações são muito menos comuns. Esteja preparado mentalmente e, mais importante, tecnicamente.

Detenhamo-nos nas características da solução que não foram encontradas nos exemplos resolvidos. A solução geral do sistema pode às vezes incluir uma constante (ou constantes).

Por exemplo, a solução geral: . Aqui uma das variáveis ​​básicas é igual a um número constante: . Não há nada de exótico nisso, acontece. Obviamente, neste caso, qualquer solução em particular conterá um cinco na primeira posição.

Raramente, mas existem sistemas em que o número de equações é maior que o número de variáveis. No entanto, o método de Gauss funciona sob as condições mais severas. Você deve calmamente trazer a matriz estendida do sistema para uma forma escalonada de acordo com o algoritmo padrão. Tal sistema pode ser inconsistente, pode ter infinitas soluções e, curiosamente, pode ter uma única solução.

Repetimos em nosso conselho - para se sentir confortável ao resolver um sistema usando o método de Gauss, você deve encher a mão e resolver pelo menos uma dúzia de sistemas.

Soluções e respostas:

Exemplo 2:

Solução:Vamos escrever a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazê-la para uma forma escalonada.

Transformações elementares realizadas:

(1) A primeira e a terceira linhas foram trocadas.

(2) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por (-6). A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por (-7).

(3) A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por (-1).

Como resultado de transformações elementares, uma string da forma, Onde λ ≠ 0 .Portanto, o sistema é inconsistente.Responda: não há soluções.

Exemplo 4:

Solução:Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, a transformamos em um degrau:

Conversões realizadas:

(1). A primeira linha multiplicada por 2 foi adicionada à segunda linha. A primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.

Não há unidade para a segunda etapa , e a transformação (2) visa obtê-lo.

(2). A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -3.

(3). A segunda e terceira linhas foram trocadas (o -1 resultante foi movido para a segunda etapa)

(quatro). A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por 3.

(5). O sinal das duas primeiras linhas foi alterado (multiplicado por -1), a terceira linha foi dividida por 14.

Movimento reverso:

(1). Aqui são as variáveis ​​básicas (que estão em etapas), e são variáveis ​​livres (que não receberam o passo).

(2). Expressamos as variáveis ​​básicas em termos de variáveis ​​livres:

Da terceira equação: .

(3). Considere a segunda equação:, soluções particulares:

Responda: Decisão comum:

Números complexos

Nesta seção, vamos introduzir o conceito número complexo, considere algébrico, trigonométrico e mostrar formulário número complexo. Também aprenderemos a realizar operações com números complexos: adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação e extração de raízes.

Para dominar os números complexos, você não precisa de nenhum conhecimento especial do curso de matemática superior, e o material está disponível até para um estudante. Basta ser capaz de realizar operações algébricas com números "comuns" e lembrar da trigonometria.

Primeiro, vamos nos lembrar dos Números "comuns". Em matemática são chamados conjunto de números reais e estão marcados com a letra R, ou R (espesso). Todos os números reais ficam na linha numérica familiar:

A companhia de números reais é muito colorida - aqui estão números inteiros, frações e números irracionais. Neste caso, cada ponto do eixo numérico corresponde necessariamente a algum número real.

No entanto, mais dois casos são comuns na prática:

– O sistema é inconsistente (não tem soluções);
O sistema é consistente e tem infinitas soluções.

Observação : o termo "consistência" implica que o sistema tem pelo menos alguma solução. Em várias tarefas, é necessário examinar preliminarmente a compatibilidade do sistema, como fazer isso - consulte o artigo sobre classificação da matriz.

Para esses sistemas, o mais universal de todos os métodos de solução é usado - Método de Gauss. De fato, o método da "escola" também levará à resposta, mas na matemática superior é costume usar o método gaussiano de eliminação sucessiva de incógnitas. Aqueles que não estão familiarizados com o algoritmo do método de Gauss, por favor estudem a lição primeiro método de gauss para manequins.

As próprias transformações elementares da matriz são exatamente as mesmas, a diferença estará no final da solução. Primeiro, considere alguns exemplos em que o sistema não tem soluções (inconsistentes).

Exemplo 1

O que imediatamente chama sua atenção neste sistema? O número de equações é menor que o número de variáveis. Se o número de equações for menor que o número de variáveis, então podemos dizer imediatamente que o sistema é inconsistente ou tem infinitas soluções. E resta apenas descobrir.

O início da solução é bastante comum - escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma gradual:

(1) No degrau superior esquerdo, precisamos obter +1 ou -1. Não existem esses números na primeira coluna, portanto, reorganizar as linhas não funcionará. A unidade terá que ser organizada de forma independente, e isso pode ser feito de várias maneiras. Eu fiz isso: Na primeira linha, adicione a terceira linha, multiplicada por -1.

(2) Agora temos dois zeros na primeira coluna. À segunda linha somamos a primeira linha multiplicada por 3. À terceira linha somamos a primeira linha multiplicada por 5.

(3) Após a transformação, é sempre aconselhável ver se é possível simplificar as strings resultantes? Posso. Dividimos a segunda linha por 2, ao mesmo tempo obtendo o -1 desejado na segunda etapa. Divida a terceira linha por -3.

(4) Adicione a segunda linha à terceira linha.

Provavelmente, todos prestaram atenção à linha ruim, que resultou de transformações elementares: . É claro que não pode ser assim. De fato, reescrevemos a matriz resultante Voltando ao sistema de equações lineares:

Se, como resultado de transformações elementares, for obtida uma string da forma, onde é um número diferente de zero, o sistema é inconsistente (não tem soluções) .

Como gravar o final de uma tarefa? Vamos desenhar com giz branco: "como resultado de transformações elementares, uma linha da forma é obtida, onde" e dar a resposta: o sistema não tem soluções (inconsistentes).

Se, de acordo com a condição, for necessário EXPLORAR o sistema para compatibilidade, é necessário emitir uma solução em um estilo mais sólido envolvendo o conceito posto matricial e o teorema de Kronecker-Capelli.

Observe que não há movimento reverso do algoritmo gaussiano aqui - não há soluções e simplesmente não há nada para encontrar.

Exemplo 2

Resolver um sistema de equações lineares

Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição. Novamente, lembro que seu caminho de solução pode diferir do meu caminho de solução, o algoritmo gaussiano não possui uma “rigidez” forte.

Mais uma característica técnica da solução: transformações elementares podem ser interrompidas De uma vez só, assim que uma linha como , onde . Considere um exemplo condicional: suponha que após a primeira transformação obtemos uma matriz . A matriz ainda não foi reduzida a uma forma escalonada, mas não há necessidade de mais transformações elementares, pois apareceu uma linha da forma, onde . Deve-se responder imediatamente que o sistema é incompatível.

Quando um sistema de equações lineares não tem soluções, isso é quase um presente, porque uma solução curta é obtida, às vezes literalmente em 2-3 etapas.

Mas tudo neste mundo é equilibrado, e o problema em que o sistema tem infinitas soluções é apenas mais longo.

Exemplo 3

Resolver um sistema de equações lineares

Existem 4 equações e 4 incógnitas, então o sistema pode ter uma única solução, ou não ter soluções, ou ter infinitas soluções. Fosse o que fosse, mas o método de Gauss, em qualquer caso, nos levará à resposta. Aí reside a sua versatilidade.

O início é novamente padrão. Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, a transformamos em um degrau:

Isso é tudo, e você estava com medo.

(1) Observe que todos os números na primeira coluna são divisíveis por 2, então um 2 é bom no degrau superior esquerdo. À segunda linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por -4. À terceira linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por -2. À quarta linha adicionamos a primeira linha, multiplicada por -1.

Atenção! Muitos podem ser tentados a partir da quarta linha subtrair primeira linha. Isso pode ser feito, mas não é necessário, a experiência mostra que a probabilidade de um erro nos cálculos aumenta várias vezes. Basta somar: Para a quarta linha, adicione a primeira linha, multiplicada por -1 - exatamente!

(2) As últimas três linhas são proporcionais, duas delas podem ser apagadas.

Aqui novamente é necessário mostrar atenção aumentada, mas as linhas são realmente proporcionais? Para resseguro (especialmente para um bule), não seria supérfluo multiplicar a segunda linha por -1 e dividir a quarta linha por 2, resultando em três linhas idênticas. E só depois disso remova dois deles.

Como resultado de transformações elementares, a matriz estendida do sistema é reduzida a uma forma escalonada:

Ao completar uma tarefa em um caderno, é aconselhável fazer as mesmas anotações a lápis para maior clareza.

Reescrevemos o sistema de equações correspondente:

A única solução “usual” do sistema não cheira aqui. Também não existe linha ruim. Isso significa que este é o terceiro caso restante - o sistema tem infinitas soluções. Às vezes, por condição, é necessário investigar a compatibilidade do sistema (ou seja, provar que existe uma solução), você pode ler sobre isso no último parágrafo do artigo Como encontrar o posto de uma matriz? Mas, por enquanto, vamos detalhar o básico:

O conjunto infinito de soluções do sistema é brevemente escrito na forma do chamado solução geral do sistema .

Encontraremos a solução geral do sistema usando o movimento reverso do método de Gauss.

Primeiro precisamos determinar quais variáveis ​​temos básico, e quais variáveis gratuitamente. Não é necessário se preocupar com os termos da álgebra linear, basta lembrar que existem tais variáveis ​​de base e variáveis ​​livres.

Variáveis ​​básicas sempre "se sentam" estritamente nos passos da matriz.
Neste exemplo, as variáveis ​​básicas são e

Variáveis ​​livres são tudo remanescente variáveis ​​que não receberam um passo. No nosso caso, existem duas delas: – variáveis ​​livres.

Agora você precisa tudo variáveis ​​de base expressar apenas atraves variáveis ​​livres.

O movimento reverso do algoritmo gaussiano tradicionalmente funciona de baixo para cima.
A partir da segunda equação do sistema, expressamos a variável básica:

Agora veja a primeira equação: . Primeiro, substituímos a expressão encontrada nela:

Resta expressar a variável básica em termos de variáveis ​​livres:

O resultado é o que você precisa - tudo as variáveis ​​de base ( e ) são expressas apenas atraves variáveis ​​livres:

Na verdade, a solução geral está pronta:

Como escrever a solução geral?
Variáveis ​​livres são escritas na solução geral "por conta própria" e estritamente em seus lugares. Neste caso, as variáveis ​​livres devem ser escritas na segunda e quarta posições:
.

As expressões resultantes para as variáveis ​​básicas e obviamente precisa ser escrito na primeira e terceira posições:

Dando variáveis ​​livres valores arbitrários, existem infinitas decisões privadas. Os valores mais populares são zeros, pois a solução específica é a mais fácil de obter. Substitua na solução geral:

é uma decisão privada.

Uns são outro casal querido, vamos substituir na solução geral:

é outra solução particular.

É fácil ver que o sistema de equações tem infinitas soluções(já que podemos dar variáveis ​​livres algum valores)

Cada uma solução particular deve satisfazer para cada equação do sistema. Esta é a base para uma verificação “rápida” da correção da solução. Tome, por exemplo, uma solução particular e substitua-a no lado esquerdo de cada equação no sistema original:

Tudo tem que vir junto. E com qualquer solução específica que você obtenha, tudo também deve convergir.

Mas, estritamente falando, a verificação de uma determinada solução às vezes engana; alguma solução particular pode satisfazer cada equação do sistema, e a própria solução geral é encontrada incorretamente.

Portanto, a verificação da solução geral é mais completa e confiável. Como verificar a solução geral resultante ?

É fácil, mas bastante trabalhoso. Precisamos tomar expressões básico variáveis, neste caso e , e substituí-los no lado esquerdo de cada equação do sistema.

Para o lado esquerdo da primeira equação do sistema:

Para o lado esquerdo da segunda equação do sistema:


O lado direito da equação original é obtido.

Exemplo 4

Resolva o sistema usando o método de Gauss. Encontre uma solução geral e duas privadas. Verifique a solução geral.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Aqui, a propósito, novamente o número de equações é menor que o número de incógnitas, o que significa que fica imediatamente claro que o sistema será inconsistente ou com um número infinito de soluções. O que é importante no próprio processo de decisão? Atenção, e novamente atenção. Solução completa e resposta no final da lição.

E mais alguns exemplos para reforçar o material

Exemplo 5

Resolva um sistema de equações lineares. Se o sistema tem infinitas soluções, encontre duas soluções particulares e verifique a solução geral

Solução: Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e com a ajuda de transformações elementares trazemos para a forma de degrau:

(1) Adicione a primeira linha à segunda linha. À terceira linha somamos a primeira linha multiplicada por 2. À quarta linha somamos a primeira linha multiplicada por 3.
(2) À terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por -5. À quarta linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -7.
(3) A terceira e quarta linhas são as mesmas, excluímos uma delas.

Aqui está uma beleza:

As variáveis ​​de base ficam em etapas, portanto, são variáveis ​​de base.
Existe apenas uma variável livre, que não recebeu um passo:

Movimento reverso:
Expressamos as variáveis ​​básicas em termos da variável livre:
Da terceira equação:

Considere a segunda equação e substitua a expressão encontrada nela:

Considere a primeira equação e substitua as expressões encontradas e nela:

Sim, uma calculadora que conta frações comuns ainda é conveniente.

Então a solução geral é:

Mais uma vez, como aconteceu? A variável livre fica sozinha em seu quarto lugar. As expressões resultantes para as variáveis ​​básicas , também tomaram seus lugares ordinais.

Vamos verificar imediatamente a solução geral. Trabalho para negros, mas já fiz, então pega =)

Substituímos três heróis , , no lado esquerdo de cada equação do sistema:

Os lados direitos correspondentes das equações são obtidos, de modo que a solução geral é encontrada corretamente.

Agora a partir da solução geral encontrada obtemos duas soluções particulares. O chef aqui é a única variável livre. Você não precisa quebrar a cabeça.

Vamos então é uma decisão privada.
Vamos então é outra solução particular.

Responda: Decisão comum: , soluções particulares: , .

Em vão me lembrei dos negros aqui ... ... porque todos os tipos de motivos sádicos vieram à minha cabeça e me lembrei da conhecida fotozhaba, na qual os homens da Ku Klux Klan de macacão branco correm pelo campo atrás de um jogador de futebol negro . Sento-me e sorrio em silêncio. Você sabe o quão perturbador….

Muita matemática é prejudicial, então um exemplo final semelhante para uma solução independente.

Exemplo 6

Encontre a solução geral do sistema de equações lineares.

Já verifiquei a solução geral, a resposta pode ser confiável. Sua solução pode diferir da minha solução, o principal é que as soluções gerais correspondam.

Provavelmente, muitos notaram um momento desagradável nas soluções: muitas vezes, durante o curso inverso do método de Gauss, tivemos que mexer com frações comuns. Na prática, isso é verdade, casos em que não há frações são muito menos comuns. Esteja preparado mentalmente e, mais importante, tecnicamente.

Debruçar-me-ei sobre algumas características da solução que não foram encontradas nos exemplos resolvidos.

A solução geral do sistema às vezes pode incluir uma constante (ou constantes), por exemplo: . Aqui uma das variáveis ​​básicas é igual a um número constante: . Não há nada de exótico nisso, acontece. Obviamente, neste caso, qualquer solução em particular conterá um cinco na primeira posição.

Raramente, mas existem sistemas em que o número de equações é maior que o número de variáveis. O método gaussiano funciona nas condições mais severas; deve-se calmamente trazer a matriz estendida do sistema para uma forma escalonada de acordo com o algoritmo padrão. Tal sistema pode ser inconsistente, pode ter infinitas soluções e, curiosamente, pode ter uma única solução.