1. Função fracionária linear e seu gráfico

Uma função da forma y = P(x) / Q(x), onde P(x) e Q(x) são polinômios, é chamada de função racional fracionária.

Você provavelmente já está familiarizado com o conceito de números racionais. De forma similar funções racionais são funções que podem ser representadas como um quociente de dois polinômios.

Se uma função racional fracionária é um quociente de duas funções lineares - polinômios de primeiro grau, ou seja, função de visualização

y = (ax + b) / (cx + d), então é chamado de linear fracionário.

Observe que na função y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (caso contrário a função se torna linear y = ax/d + b/d) e que a/c ≠ b/d (caso contrário a função função é uma constante). A função linear-fracionária é definida para todos os números reais, exceto para x = -d/c. Gráficos de funções lineares-fracionárias não diferem em forma do gráfico que você conhece y = 1/x. A curva que é o gráfico da função y = 1/x é chamada hipérbole. Com um aumento ilimitado de x em valor absoluto, a função y = 1/x diminui indefinidamente em valor absoluto e ambos os ramos do gráfico se aproximam do eixo das abcissas: o da direita se aproxima de cima e o da esquerda se aproxima de baixo. As linhas aproximadas pelos ramos de uma hipérbole são chamadas de assíntotas.

Exemplo 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Solução.

Vamos selecionar a parte inteira: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Agora é fácil ver que o gráfico desta função é obtido a partir do gráfico da função y = 1/x pelas seguintes transformações: deslocamento de 3 segmentos unitários para a direita, alongamento ao longo do eixo Oy por 7 vezes e deslocamento por 2 segmentos de unidade para cima.

Qualquer fração y = (ax + b) / (cx + d) pode ser escrita da mesma forma, destacando a “parte inteira”. Consequentemente, os gráficos de todas as funções lineares-fracionárias são hipérboles deslocadas ao longo dos eixos coordenados de várias maneiras e esticadas ao longo do eixo Oy.

Para traçar um gráfico de alguma função linear-fracionária arbitrária, não é necessário transformar a fração que define essa função. Como sabemos que o gráfico é uma hipérbole, será suficiente encontrar as linhas às quais seus ramos se aproximam - as assíntotas da hipérbole x = -d/cey = a/c.

Exemplo 2

Encontre as assíntotas do gráfico da função y = (3x + 5)/(2x + 2).

Solução.

A função não está definida, quando x = -1. Portanto, a linha x = -1 serve como uma assíntota vertical. Para encontrar a assíntota horizontal, descubra o que os valores da função y(x) se aproximam quando o argumento x aumenta em valor absoluto.

Para fazer isso, dividimos o numerador e o denominador da fração por x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Como x → ∞ a fração tende a 3/2. Portanto, a assíntota horizontal é a linha reta y = 3/2.

Exemplo 3

Plote a função y = (2x + 1)/(x + 1).

Solução.

Selecionamos a “parte inteira” da fração:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Agora é fácil ver que o gráfico dessa função é obtido do gráfico da função y = 1/x pelas seguintes transformações: um deslocamento de 1 unidade para a esquerda, uma exibição simétrica em relação a Ox e um deslocamento de intervalos de 2 unidades ao longo do eixo Oy.

Domínio de definição D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Faixa de valores E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Pontos de intersecção com eixos: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). A função aumenta em cada um dos intervalos do domínio de definição.

Resposta: Figura 1.

2. Função fracionária-racional

Considere uma função racional fracionária da forma y = P(x) / Q(x), onde P(x) e Q(x) são polinômios de grau maior que o primeiro.

Exemplos de tais funções racionais:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) ou y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Se a função y = P(x) / Q(x) for um quociente de dois polinômios de grau maior que o primeiro, então seu gráfico será, via de regra, mais complicado, e às vezes pode ser difícil construí-lo exatamente , com todos os detalhes. No entanto, muitas vezes é suficiente aplicar técnicas semelhantes às que já vimos acima.

Seja a fração própria (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Obviamente, o gráfico de uma função racional fracionária pode ser obtido como a soma de gráficos de frações elementares.

Traçar funções racionais fracionárias

Considere várias maneiras de traçar uma função fracional-racional.

Exemplo 4

Plote a função y = 1/x 2 .

Solução.

Usamos o gráfico da função y \u003d x 2 para traçar o gráfico y \u003d 1 / x 2 e usamos o método de "dividir" os gráficos.

Domínio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Faixa de valores E(y) = (0; +∞).

Não há pontos de interseção com os eixos. A função é par. Aumenta para todo x do intervalo (-∞; 0), diminui para x de 0 a +∞.

Resposta: figura 2.

Exemplo 5

Plote a função y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Solução.

Domínio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Aqui usamos a técnica de fatoração, redução e redução a uma função linear.

Resposta: figura 3.

Exemplo 6

Plote a função y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Solução.

O domínio de definição é D(y) = R. Como a função é par, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Antes de plotar, transformamos novamente a expressão destacando a parte inteira:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Observe que a seleção da parte inteira na fórmula de uma função fracional-racional é uma das principais na hora de traçar gráficos.

Se x → ±∞, então y → 1, ou seja, a linha y = 1 é uma assíntota horizontal.

Resposta: Figura 4.

Exemplo 7

Considere a função y = x/(x 2 + 1) e tente encontrar exatamente seu maior valor, ou seja, o ponto mais alto na metade direita do gráfico. Para construir este gráfico com precisão, o conhecimento de hoje não é suficiente. É óbvio que nossa curva não pode "subir" muito alto, pois o denominador rapidamente começa a “ultrapassar” o numerador. Vamos ver se o valor da função pode ser igual a 1. Para fazer isso, você precisa resolver a equação x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Esta equação não tem raízes reais. Portanto, nossa suposição está errada. Para encontrar o maior valor da função, você precisa descobrir para qual maior A a equação A \u003d x / (x 2 + 1) terá uma solução. Vamos substituir a equação original por uma quadrática: Ax 2 - x + A \u003d 0. Esta equação tem uma solução quando 1 - 4A 2 ≥ 0. A partir daqui, encontramos o maior valor A \u003d 1/2.

Resposta: Figura 5, max y(x) = ½.

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Uma vez que você realmente entenda o que é uma função (você pode ter que ler a lição mais de uma vez), você será capaz de resolver problemas com funções com mais confiança.

Nesta lição, analisaremos como resolver os principais tipos de problemas de funções e gráficos de funções.

Como obter o valor de uma função

Vamos considerar a tarefa. A função é dada pela fórmula " y \u003d 2x - 1"

1. Calcular " y"Quando" x \u003d 15 "
2. Encontre o valor " x", no qual o valor " y "é igual a" -19 ".

Para calcular " y"Com" x \u003d 15"Basta substituir o valor numérico necessário na função em vez de" x".

A entrada da solução se parece com isso:

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

Para encontrar " x"De acordo com o "y" conhecido, é necessário substituir um valor numérico em vez de" y "na fórmula da função.

Ou seja, agora, pelo contrário, procurar " x"Substituimos na função" y \u003d 2x - 1 "Em vez de" y ", o número" −19".

−19 = 2x − 1

Obtivemos uma equação linear com um "x" desconhecido, que é resolvida de acordo com as regras para resolver equações lineares.

Lembrar!

Não se esqueça da regra de transferência nas equações.

Ao transferir do lado esquerdo da equação para o direito (e vice-versa), a letra ou número muda de sinal para oposto.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
-2x = -1 + 19
−2x = 18

Assim como na solução de uma equação linear, para encontrar a incógnita, agora precisamos multiplicar lado esquerdo e direito para "−1" para alterar o sinal.

-2x = 18 | (−1)
2x = -18

Agora vamos dividir os lados esquerdo e direito por "2" para encontrar "x".

2x = 18 | (:2)
x=9

Como verificar se a igualdade é verdadeira para uma função

Vamos considerar a tarefa. A função é dada pela fórmula "f(x) = 2 − 5x".

A igualdade "f(−2) = −18" é verdadeira?

Para verificar se a igualdade é verdadeira, você precisa substituir o valor numérico "x = −2" na função " f (x) \u003d 2 - 5x"E comparar com o que acontece nos cálculos.

Importante!

Ao substituir um número negativo por "x", certifique-se de colocá-lo entre colchetes.

Não corretamente

Corretamente

Com a ajuda de cálculos, obtivemos "f(−2) = 12".

Isso significa que "f(−2) = −18" para a função "f(x) = 2 − 5x" não é uma igualdade válida.

Como verificar se um ponto pertence a um gráfico de uma função

Considere a função " y \u003d x 2 −5x + 6"

É necessário descobrir se o ponto de coordenadas (1; 2) pertence ao gráfico desta função.

Para esta tarefa, não há necessidade de plotar uma determinada função.

Lembrar!

Para determinar se um ponto pertence a uma função, basta substituir suas coordenadas na função (coordenada ao longo do eixo "Ox" em vez de "x" e a coordenada ao longo do eixo "Oy" em vez de "y").

Se possível verdadeira igualdade, então o ponto pertence à função.

Voltemos à nossa tarefa. Substitua na função "y \u003d x 2 - 5x + 6" as coordenadas do ponto (1; 2).

Em vez de " x"Nós substituímos" 1". Em vez de " y"Substituir" 2».

2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (correto)

Obtivemos a igualdade correta, o que significa que o ponto com coordenadas (1; 2) pertence à função dada.

Agora vamos verificar o ponto com coordenadas (0; 1). Ela pertence
funções "y \u003d x 2 - 5x + 6"?

Em vez de "x", vamos substituir "0". Em vez de " y"Substituir" 1".

1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (errado)

Neste caso, não obtivemos a igualdade correta. Isso significa que o ponto com coordenadas (0; 1) não pertence à função " y \u003d x 2 - 5x + 6 "

Como obter as coordenadas do ponto de função

De qualquer gráfico de função, você pode obter as coordenadas de um ponto. Então você precisa ter certeza de que, ao substituir as coordenadas na fórmula da função, a igualdade correta é obtida.

Considere a função "y(x) = −2x + 1". Já construímos seu cronograma na lição anterior.

Vamos encontrar no gráfico da função " y (x) \u003d -2x + 1", que é igual a" y"Para x \u003d 2.

Para fazer isso, a partir do valor " 2"No eixo" Ox", desenhe uma perpendicular ao gráfico da função. Do ponto de intersecção da perpendicular e do gráfico da função, desenhe outra perpendicular ao eixo "Oy".

O valor resultante " −3"No eixo" Oy"E será o valor desejado" y».

Vamos ter certeza de que pegamos corretamente as coordenadas do ponto para x = 2
na função "y(x) = −2x + 1".

Para fazer isso, substituímos x \u003d 2 na fórmula da função "y (x) \u003d -2x + 1". Se desenharmos a perpendicular corretamente, também devemos terminar com y = −3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

Ao calcular, também obtivemos y = −3.

Isso significa que recebemos corretamente as coordenadas do gráfico da função.

Importante!

Certifique-se de verificar todas as coordenadas do ponto do gráfico da função substituindo os valores de "x" na função.

Ao substituir o valor numérico "x" na função, o resultado deve ser o mesmo valor "y", que você obteve no gráfico.

Ao obter as coordenadas dos pontos do gráfico da função, é muito provável que você cometa um erro, pois desenhar uma perpendicular aos eixos é realizado "a olho".

Apenas a substituição de valores em uma fórmula de função fornece resultados precisos.

Conhecimento funções elementares básicas, suas propriedades e gráficos não menos importante do que conhecer a tabuada de multiplicação. Eles são como uma fundação, tudo é baseado neles, tudo é construído a partir deles, e tudo se resume a eles.

Neste artigo, listamos todas as principais funções elementares, fornecemos seus gráficos e os fornecemos sem derivação e provas. propriedades das funções elementares básicas de acordo com o esquema:

• comportamento da função nos limites do domínio de definição, assíntotas verticais (se necessário, veja o artigo classificação de pontos de quebra de uma função);
• par e impar;
• intervalos de convexidade (convexidade para cima) e concavidade (convexidade para baixo), pontos de inflexão (se necessário, consulte o artigo função convexidade, direção da convexidade, pontos de inflexão, convexidade e condições de inflexão);
• assíntotas oblíquas e horizontais;
• pontos singulares de funções;
• propriedades especiais de algumas funções (por exemplo, o menor período positivo para funções trigonométricas).

Se você estiver interessado em ou, então você pode ir para essas seções da teoria.

Funções elementares básicas são: função constante (constante), raiz do grau n, função potência, exponencial, função logarítmica, funções trigonométricas e trigonométricas inversas.

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Função permanente.

Uma função constante é dada no conjunto de todos os números reais pela fórmula , onde C é algum número real. A função constante atribui a cada valor real da variável independente x o mesmo valor da variável dependente y - o valor С. Uma função constante também é chamada de constante.

O gráfico de uma função constante é uma linha reta paralela ao eixo x que passa por um ponto com coordenadas (0,C) . Por exemplo, vamos mostrar gráficos das funções constantes y=5 , y=-2 e , que na figura abaixo correspondem às linhas preta, vermelha e azul, respectivamente.

Propriedades de uma função constante.

• Domínio de definição: todo o conjunto dos números reais.
• A função constante é par.
• Faixa de valores: conjunto composto por um único número C .
• Uma função constante é não crescente e não decrescente (é por isso que é constante).
• Não faz sentido falar sobre a convexidade e a concavidade da constante.
• Não há assíntota.
• A função passa pelo ponto (0,C) do plano de coordenadas.

A raiz do enésimo grau.

Considere a função elementar básica, que é dada pela fórmula , onde n é um número natural maior que um.

A raiz do grau n, n é um número par.

Vamos começar com a função raiz n para valores pares do expoente raiz n .

Por exemplo, damos uma imagem com imagens de gráficos de funções e , correspondem às linhas preta, vermelha e azul.

Os gráficos das funções da raiz de grau par têm uma forma semelhante para outros valores do indicador.

Propriedades da raiz do grau n para n par.

A raiz do grau n, n é um número ímpar.

A função raiz do grau n com um expoente ímpar da raiz n é definida em todo o conjunto de números reais. Por exemplo, apresentamos gráficos de funções e , as curvas preta, vermelha e azul correspondem a elas.

Para outros valores ímpares do expoente raiz, os gráficos da função terão uma aparência semelhante.

Propriedades da raiz do grau n para n ímpar .

Função liga-desliga.

A função potência é dada por uma fórmula da forma .

Considere o tipo de gráficos de uma função potência e as propriedades de uma função potência dependendo do valor do expoente.

Vamos começar com uma função de potência com um expoente inteiro a . Nesse caso, a forma dos gráficos das funções de potência e as propriedades das funções dependem do expoente par ou ímpar, bem como de seu sinal. Portanto, primeiro consideramos funções de potência para valores positivos ímpares do expoente a , depois para positivos pares, depois para expoentes negativos ímpares e, finalmente, para a menos par.

As propriedades das funções de potência com expoentes fracionários e irracionais (assim como o tipo de gráfico de tais funções de potência) dependem do valor do expoente a. Vamos considerá-los, primeiro, quando a é de zero a um, segundo, quando a é maior que um, terceiro, quando a é de menos um a zero, e quarto, quando a é menor que menos um.

Como conclusão desta subseção, por uma questão de completude, descrevemos uma função potência com expoente zero.

Função de potência com expoente positivo ímpar.

Considere uma função potência com um expoente positivo ímpar, ou seja, com a=1,3,5,… .

A figura abaixo mostra gráficos de funções de potência - linha preta, - linha azul, - linha vermelha, - linha verde. Para a=1 temos Função linear y=x.

Propriedades de uma função potência com um expoente positivo ímpar.

Função de potência com expoente positivo par.

Considere uma função potência com um expoente positivo par, ou seja, para a=2,4,6,… .

Como exemplo, vamos pegar gráficos de funções de potência - linha preta, - linha azul, - linha vermelha. Para a=2 temos uma função quadrática cujo gráfico é parábola quadrática.

Propriedades de uma função potência com um expoente positivo par.

Função de potência com um expoente negativo ímpar.

Observe os gráficos da função exponencial para valores negativos ímpares​​do expoente, ou seja, para \u003d -1, -3, -5, ....

A figura mostra gráficos de funções exponenciais como exemplos - linha preta, - linha azul, - linha vermelha, - linha verde. Para a=-1 temos proporcionalidade inversa, cujo gráfico é hipérbole.

Propriedades de uma função potência com um expoente negativo ímpar.

Função de potência com um expoente negativo par.

Vamos passar para a função de potência em a=-2,-4,-6,….

A figura mostra gráficos de funções de potência - linha preta, - linha azul, - linha vermelha.

Propriedades de uma função potência com um expoente negativo par.

Uma função de potência com um expoente racional ou irracional cujo valor é maior que zero e menor que um.

Observação! Se a é uma fração positiva com denominador ímpar, alguns autores consideram o intervalo como sendo o domínio da função potência. Ao mesmo tempo, estipula-se que o expoente a é uma fração irredutível. Agora, os autores de muitos livros didáticos de álgebra e os primórdios da análise NÃO DEFINEM funções de potência com um expoente na forma de uma fração com um denominador ímpar para valores negativos do argumento. Vamos aderir a essa visão, ou seja, consideraremos os domínios das funções de potência com expoentes fracionários positivos como sendo o conjunto . Incentivamos os alunos a obter a perspectiva de seu professor sobre esse ponto sutil para evitar discordâncias.

Considere uma função de potência com expoente racional ou irracional a , e .

Apresentamos gráficos de funções de potência para a=11/12 (linha preta), a=5/7 (linha vermelha), (linha azul), a=2/5 (linha verde).

Uma função de potência com um expoente racional ou irracional não inteiro maior que um.

Considere uma função de potência com um expoente racional ou irracional não inteiro a , e .

Vamos apresentar os gráficos das funções de potência dadas pelas fórmulas (linhas preta, vermelha, azul e verde, respectivamente).

>

Para outros valores do expoente a , os gráficos da função terão uma aparência semelhante.

Propriedades da função de potência para .

Uma função de potência com um expoente real maior que menos um e menor que zero.

Observação! Se a é uma fração negativa com denominador ímpar, alguns autores consideram o intervalo . Ao mesmo tempo, estipula-se que o expoente a é uma fração irredutível. Agora, os autores de muitos livros didáticos de álgebra e os primórdios da análise NÃO DEFINEM funções de potência com um expoente na forma de uma fração com um denominador ímpar para valores negativos do argumento. Vamos aderir exatamente a essa visão, ou seja, consideraremos os domínios das funções de potência com expoentes negativos fracionários fracionários como o conjunto, respectivamente. Incentivamos os alunos a obter a perspectiva de seu professor sobre esse ponto sutil para evitar discordâncias.

Passamos para a função potência , onde .

Para ter uma boa ideia do tipo de gráficos de funções de potência para , damos exemplos de gráficos de funções (curvas preta, vermelha, azul e verde, respectivamente).

Propriedades de uma função potência com expoente a , .

Uma função de potência com um expoente real não inteiro que é menor que menos um.

Vamos dar exemplos de gráficos de funções de potência para , eles são representados em linhas pretas, vermelhas, azuis e verdes, respectivamente.

Propriedades de uma função de potência com um expoente negativo não inteiro menor que menos um.

Quando a=0 e temos uma função - esta é uma linha reta da qual o ponto (0; 1) é excluído (a expressão 0 0 foi acordada para não atribuir nenhuma importância).

Função exponencial.

Uma das funções elementares básicas é a função exponencial.

Gráfico da função exponencial, onde e assume uma forma diferente dependendo do valor da base a. Vamos descobrir.

Primeiro, considere o caso em que a base da função exponencial assume um valor de zero a um, ou seja, .

Por exemplo, apresentamos os gráficos da função exponencial para a = 1/2 - a linha azul, a = 5/6 - a linha vermelha. Os gráficos da função exponencial têm aparência semelhante para outros valores da base do intervalo.

Propriedades de uma função exponencial com base menor que um.

Voltamos ao caso em que a base da função exponencial é maior que um, ou seja, .

Como ilustração, apresentamos gráficos de funções exponenciais - a linha azul e - a linha vermelha. Para outros valores da base, maiores que um, os gráficos da função exponencial terão uma aparência semelhante.

Propriedades de uma função exponencial com base maior que um.

Função logarítmica.

A próxima função elementar básica é a função logarítmica , onde , . A função logarítmica é definida apenas para valores positivos do argumento, ou seja, para .

O gráfico da função logarítmica assume uma forma diferente dependendo do valor da base a.

Vamos começar com o caso quando .

Por exemplo, apresentamos os gráficos da função logarítmica para a = 1/2 - a linha azul, a = 5/6 - a linha vermelha. Para outros valores da base, não superiores a um, os gráficos da função logarítmica terão aparência semelhante.

Propriedades de uma função logarítmica com base menor que um.

Vamos passar para o caso em que a base da função logarítmica é maior que um ().

Vamos mostrar gráficos de funções logarítmicas - linha azul, - linha vermelha. Para outros valores da base, maiores que um, os gráficos da função logarítmica terão uma aparência semelhante.

Propriedades de uma função logarítmica com base maior que um.

Funções trigonométricas, suas propriedades e gráficos.

Todas as funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente e cotangente) são funções elementares básicas. Agora vamos considerar seus gráficos e listar suas propriedades.

As funções trigonométricas têm o conceito periodicidade(recorrência de valores de função para valores diferentes do argumento que diferem entre si pelo valor do período , onde T é o período), portanto, um item foi adicionado à lista de propriedades das funções trigonométricas "menor período positivo". Além disso, para cada função trigonométrica, indicaremos os valores do argumento em que a função correspondente desaparece.

Agora vamos lidar com todas as funções trigonométricas em ordem.

A função seno y = sin(x) .

Vamos desenhar um gráfico da função seno, ela é chamada de "sinusóide".

Propriedades da função seno y = sinx .

Função cosseno y = cos(x) .

O gráfico da função cosseno (chamada "cosseno") se parece com isso:

Propriedades da função cosseno y = cosx .

Função tangente y = tg(x) .

O gráfico da função tangente (é chamado de "tangentoide") se parece com:

Propriedades da função tangente y = tgx .

Função cotangente y = ctg(x) .

Vamos desenhar um gráfico da função cotangente (é chamada de "cotangenteide"):

Propriedades da função cotangente y = ctgx .

Funções trigonométricas inversas, suas propriedades e gráficos.

As funções trigonométricas inversas (arco-seno, arco-cosseno, arco-tangente e arco-tangente) são as funções elementares básicas. Muitas vezes, por causa do prefixo "arco", as funções trigonométricas inversas são chamadas de funções de arco. Agora vamos considerar seus gráficos e listar suas propriedades.

Função arcseno y = arcsin(x) .

Vamos plotar a função arco-seno:

Propriedades da função arcotangente y = arcctg(x) .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Álgebra e os primórdios da análise: Proc. para 10-11 células. instituições educacionais.
• Vygodsky M.Ya. Manual de matemática elementar.
• Novoselov S.I. Álgebra e funções elementares.
• Tumanov S.I. Álgebra Elementar. Um guia para a auto-educação.

Vamos ver como explorar uma função usando um gráfico. Acontece que olhando para o gráfico, você pode descobrir tudo o que nos interessa, a saber:

• escopo da função
• intervalo de funções
• função zeros
• períodos de aumento e diminuição
• pontos altos e baixos
• o maior e o menor valor da função no segmento.

Vamos esclarecer a terminologia:

Abscissaé a coordenada horizontal do ponto.
Ordenar- coordenada vertical.
abscissa- o eixo horizontal, mais frequentemente chamado de eixo.
Eixo Y- eixo vertical, ou eixo.

Argumentoé uma variável independente da qual dependem os valores da função. Na maioria das vezes indicado.
Em outras palavras, nós mesmos escolhemos , substituímos na fórmula da função e obtemos .

Domínio funções - o conjunto daqueles (e somente aqueles) valores do argumento para o qual a função existe.
Denotado: ou .

Em nossa figura, o domínio da função é um segmento. É neste segmento que se desenha o gráfico da função. Só aqui existe esta função.

Faixa de funçõesé o conjunto de valores que a variável assume. Em nossa figura, este é um segmento - do menor ao maior valor.

Zeros de função- pontos onde o valor da função é igual a zero, ou seja . Em nossa figura, esses são os pontos e .

Os valores da função são positivos Onde . Em nossa figura, esses são os intervalos e .
Os valores da função são negativos Onde . Temos esse intervalo (ou intervalo) de até.

Os conceitos mais importantes - função crescente e decrescente em algum conjunto. Como um conjunto, você pode pegar um segmento, um intervalo, uma união de intervalos ou a reta numérica inteira.

Função aumenta

Ou seja, quanto mais , mais , ou seja, o gráfico vai para a direita e para cima.

Função diminuindo no conjunto se para qualquer e pertencendo ao conjunto a desigualdade implica a desigualdade .

Para uma função decrescente, um valor maior corresponde a um valor menor. O gráfico vai para a direita e para baixo.

Em nossa figura, a função aumenta no intervalo e diminui nos intervalos e .

Vamos definir o que é pontos de máximo e mínimo da função.

Ponto máximo- este é um ponto interno do domínio de definição, tal que o valor da função nele é maior do que em todos os pontos suficientemente próximos a ele.
Em outras palavras, o ponto máximo é tal ponto, o valor da função em que mais do que nas vizinhas. Esta é uma "colina" local no gráfico.

Em nossa figura - o ponto máximo.

Ponto baixo- um ponto interno do domínio de definição, tal que o valor da função nele seja menor do que em todos os pontos suficientemente próximos dele.
Ou seja, o ponto mínimo é tal que o valor da função nele é menor do que nas vizinhas. No gráfico, este é um “buraco” local.

Em nossa figura - o ponto mínimo.

O ponto é o limite. Não é um ponto interior do domínio de definição e, portanto, não se enquadra na definição de ponto máximo. Afinal, ela não tem vizinhos à esquerda. Da mesma forma, não pode haver ponto mínimo em nosso gráfico.

Os pontos máximo e mínimo são chamados coletivamente pontos extremos da função. No nosso caso, isso é e .

Mas e se você precisar encontrar, por exemplo, função mínima no corte? Neste caso, a resposta é: Porque função mínimaé o seu valor no ponto mínimo.

Da mesma forma, o máximo de nossa função é . É alcançado no ponto .

Podemos dizer que os extremos da função são iguais a e .

Às vezes, em tarefas, você precisa encontrar os maiores e menores valores da função em um determinado segmento. Eles não coincidem necessariamente com os extremos.

No nosso caso menor valor de função no intervalo é igual e coincide com o mínimo da função. Mas seu maior valor neste segmento é igual a . Ele é alcançado na extremidade esquerda do segmento.

Em qualquer caso, os maiores e menores valores de uma função contínua em um segmento são alcançados nos pontos extremos ou nas extremidades do segmento.