Oscilador harmônico(na mecânica clássica) - um sistema que, quando removido de sua posição de equilíbrio, sofre a ação de uma força restauradora F, proporcional ao deslocamento x :

,

Onde k- coeficiente constante.

Se um F- a única força que atua sobre o sistema, então o sistema é chamado simples ou oscilador harmônico conservador. As oscilações livres de tal sistema representam um movimento periódico em torno da posição de equilíbrio (oscilações harmônicas). A frequência e a amplitude são constantes, e a frequência não depende da amplitude.

Exemplos mecânicos de um oscilador harmônico são um pêndulo matemático (com pequenos ângulos de deflexão), um pêndulo de torção e sistemas acústicos. Entre os análogos não mecânicos de um oscilador harmônico, pode-se destacar um oscilador harmônico elétrico (ver circuito LC).

Oscilações livres de um oscilador harmônico conservativo

A equação e suas soluções

Deixar x- deslocamento de um ponto material em relação à sua posição de equilíbrio, e F- agindo em um ponto restaurando força de qualquer natureza da forma

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

Onde k= const. Então, usando a segunda lei de Newton, pode-se escrever a aceleração como

a = − k m x (\displaystyle a=-(\frac (k)(m))x).

denotando ω 0 2 = k / m (\displaystyle (\omega _(0))^(2)=k/m) e substituindo umaà segunda derivada da coordenada em relação ao tempo x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))), temos

x ¨ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+\omega _(0)^(2)x=0).

Esta equação diferencial descreve o comportamento de um oscilador harmônico conservativo. O valor que ω 0 (\displaystyle \omega _(0)) chamada de frequência cíclica. (Isso se refere à frequência circular, medida em radianos por segundo. Para convertê-la em uma frequência expressa em hertz, ela deve ser dividida por 2 π (\displaystyle 2\pi ).)

Vamos procurar uma solução para esta equação na forma

x (t) = A sin ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)).

Aqui UMA- amplitude, ω - frequência de oscilação, φ - fase inicial.

Substituímos na equação diferencial e obtemos:

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)), − A ω 2 sen ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sen ⁡ (ω t + φ) = 0 (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0).

A amplitude é reduzida. Isso significa que pode ter qualquer valor (incluindo zero - isso significa que o ponto do material está em repouso na posição de equilíbrio). O seno também pode ser reduzido, pois a igualdade deve valer a qualquer momento t. Assim, a condição para a frequência de oscilação permanece:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).)

O movimento harmônico simples é a base de algumas maneiras de analisar tipos mais complexos de movimento. Um desses métodos é baseado na transformada de Fourier, cuja essência é decompor um tipo de movimento mais complexo em uma série de movimentos harmônicos simples.

Exemplos de osciladores

Qualquer sistema em que ocorra movimento harmônico simples tem duas propriedades principais:

• quando o sistema está fora de equilíbrio, deve haver uma força restauradora tendendo a trazer o sistema de volta ao equilíbrio;
• a força restauradora deve ser exatamente ou aproximadamente proporcional ao deslocamento.

Abaixo estão alguns exemplos.

Sistema de mola horizontal

Um exemplo típico de sistema em que ocorre movimento harmônico simples é um sistema idealizado massa-mola, no qual uma massa é presa a uma mola e colocada sobre uma superfície horizontal. Se a mola não for comprimida e não esticada, nenhuma força variável atua sobre a carga e ela está em estado de equilíbrio mecânico. No entanto, se a carga for retirada da posição de equilíbrio, a mola é deformada e uma força atuará de seu lado, tendendo a devolver a carga à posição de equilíbrio. No caso de um sistema carga-mola, tal força é a força elástica da mola, que obedece à lei de Hooke:

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

Onde k tem um significado muito específico - este é o coeficiente de rigidez da mola.

Uma vez que a carga deslocada é submetida à ação de uma força restauradora, acelerando-a e tendendo a retorná-la ao ponto de partida, ou seja, à posição de equilíbrio. À medida que a carga se aproxima da posição de equilíbrio, a força restauradora diminui e tende a zero. No entanto, na posição x = 0 a carga tem uma certa quantidade de movimento (momentum), adquirido devido à ação da força restauradora. Portanto, a carga salta da posição de equilíbrio, começando a deformar a mola novamente (mas na direção oposta). A força restauradora tenderá a desacelerá-lo até que a velocidade seja zero; e a força tentará novamente devolver a carga à sua posição de equilíbrio.

Se não houver perda de energia, a carga oscilará conforme descrito acima; este movimento é periódico.

Sistema de mola de carga vertical

No caso de uma carga suspensa verticalmente sobre uma mola, juntamente com a força elástica, atua a gravidade, ou seja, a força total será

F = − k x − m g (\displaystyle F=-kx-mg).

Se fizermos uma mudança de variável para operar em um não valor x (\displaystyle x), e o valor X = x + m g / k (\displaystyle X=x+mg/k), então a equação do movimento terá a forma idêntica ao caso da geometria horizontal, apenas para a variável X (\displaystyle X).

As oscilações ocorrerão com a mesma frequência ω 0 = k / m (\displaystyle \omega _(0)=(\sqrt (k/m)))). No entanto, se no caso horizontal o estado de uma mola não deformada correspondeu ao equilíbrio, então na versão vertical a mola em equilíbrio será esticada. Dependências da frequência na magnitude da aceleração de queda livre g (\displaystyle g) enquanto não; g (\displaystyle g) afeta apenas o deslocamento da posição de equilíbrio m g / k (\displaystyle mg/k).

As medições da frequência (ou período) das oscilações de uma carga em uma mola são usadas em dispositivos para determinar a massa de um corpo - os chamados medidores de massa, usados ​​em estações espaciais quando a balança não pode funcionar devido à falta de peso.

Movimento circular universal

O movimento harmônico simples pode, em alguns casos, ser considerado como uma projeção unidimensional do movimento circular universal.

Se um objeto se move com uma velocidade angular constante ω ao longo de um círculo de raio r, cujo centro é a origem do plano x - y, então tal movimento ao longo de cada um dos eixos coordenados é harmônico simples com amplitude r e frequência circular ω .

Peso como um pêndulo simples

Na aproximação de pequenos ângulos, o movimento de um pêndulo simples é próximo ao harmônico simples. O período de oscilação de tal pêndulo preso a uma haste de comprimento ℓ , é dado pela fórmula

T = 2πℓg. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)

Onde g- aceleração da gravidade. Isso mostra que o período de oscilação não depende da amplitude e da massa do pêndulo, mas depende da g, portanto, com o mesmo comprimento do pêndulo, na Lua ele oscilará mais lentamente, pois ali a gravidade é mais fraca e o valor da aceleração de queda livre é menor.

A aproximação especificada está correta apenas em pequenos ângulos de deflexão, pois a expressão para a aceleração angular é proporcional ao seno da coordenada:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

Onde EU- momento de inércia ; nesse caso EU = mℓ 2. Pequenos ângulos são realizados sob condições em que a amplitude de oscilação é muito menor que o comprimento da haste.

ℓ m g θ = I α , (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,)

o que torna a aceleração angular diretamente proporcional ao ângulo θ, e isso satisfaz a definição de movimento harmônico simples.

Oscilações livres de um oscilador harmônico amortecido

A equação e suas soluções

Ao considerar um oscilador amortecido, toma-se como base o modelo de um oscilador conservativo, ao qual se soma a força de atrito viscoso. A força de atrito viscoso é direcionada contra a velocidade da carga em relação ao meio e é diretamente proporcional a essa velocidade. Então, a força total que atua sobre a carga é escrita da seguinte forma:

F = − k x − α v . (\displaystyle F=-kx-\alpha v.)

Usando a segunda lei de Newton, obtemos uma equação diferencial que descreve um oscilador amortecido:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0. (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0 .)

Aqui está a notação: 2 γ = α / m (\displaystyle 2\gamma =\alpha /m). Coeficiente γ (\displaystyle \gamma )é chamada de constante de amortecimento. Também tem a dimensão da frequência.

A solução se divide em três casos.

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi),)

Onde ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2)))))- frequência de oscilações livres.

x (t) = (A + B t) e − γ t . (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t).) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) t))

Onde β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 . (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).)

Plano:

Introdução

• 1 Vibrações livres
  • 1.1 Oscilador harmônico conservador
    • 1.1.1
      • 1.1.1.1 Dinâmica do movimento harmônico simples
      • 1.1.1.2 Energia do movimento harmônico simples
      • 1.1.1.3 Exemplos
        • 1.1.1.3.1 Peso da mola
        • 1.1.1.3.2 Movimento circular universal
        • 1.1.1.3.3 Peso como um pêndulo simples
  • 1.2 Oscilador harmônico amortecido
• 2 Vibrações forçadas
Literatura
Notas

Introdução

Oscilador harmônico(na mecânica clássica) é um sistema que, quando deslocado de uma posição de equilíbrio, sofre a ação de uma força restauradora proporcional ao deslocamento (de acordo com a lei de Hooke):

Onde ké uma constante positiva que descreve a rigidez do sistema.

Se é a única força que atua sobre o sistema, então o sistema é chamado simples ou oscilador harmônico conservador. As oscilações livres de tal sistema representam um movimento periódico em torno da posição de equilíbrio (oscilações harmônicas). A frequência e a amplitude são constantes, e a frequência não depende da amplitude.

Se houver também uma força de atrito (atenuação) proporcional à velocidade do movimento (atrito viscoso), esse sistema é chamado desbotando ou oscilador dissipativo. Se o atrito não for muito grande, o sistema executa um movimento quase periódico - oscilações senoidais com frequência constante e amplitude exponencialmente decrescente. A frequência de oscilações livres de um oscilador amortecido acaba sendo um pouco menor do que a de um oscilador semelhante sem atrito.

Se o oscilador for deixado por conta própria, diz-se que ele realiza oscilações livres. Se houver uma força externa (dependendo do tempo), dizemos que o oscilador experimenta oscilações forçadas.

Exemplos mecânicos de um oscilador harmônico são um pêndulo matemático (com pequenos ângulos de deslocamento), um peso em uma mola, um pêndulo de torção e sistemas acústicos. Entre outros análogos do oscilador harmônico, vale destacar o oscilador harmônico elétrico (ver circuito LC).

1. Vibrações livres

1.1. Oscilador harmônico conservador

Como modelo de oscilador harmônico conservativo, tomemos uma carga de massa fixada em uma mola com rigidez .

Let é o deslocamento da carga em relação à posição de equilíbrio. Então, de acordo com a lei de Hooke, a força restauradora atuará sobre ele:

Usando a segunda lei de Newton, escrevemos

Denotando e substituindo a aceleração pela segunda derivada da coordenada em relação ao tempo, escrevemos:

Esta equação diferencial descreve o comportamento de um oscilador harmônico conservativo. O coeficiente ω 0 é chamado de frequência cíclica do oscilador. (Isso se refere à frequência circular, medida em radianos por segundo. Para convertê-la em uma frequência expressa em Hertz, você deve dividir a frequência circular por 2π)

Vamos procurar uma solução para esta equação na forma:

Aqui - amplitude, - frequência de oscilação (ainda não necessariamente igual à frequência natural), - fase inicial.

Substituímos na equação diferencial.

A amplitude é reduzida. Isso significa que pode ter qualquer valor (incluindo zero - isso significa que a carga está em repouso na posição de equilíbrio). O seno também pode ser reduzido, pois a igualdade deve valer a qualquer momento t. E a condição para a frequência de oscilação permanece:

A frequência negativa pode ser descartada, pois a arbitrariedade na escolha deste sinal é coberta pela arbitrariedade na escolha da fase inicial.

movimento circular e movimento harmônico

A solução geral da equação é escrita como:

,

onde amplitude UMA e fase inicial são constantes arbitrárias. Este registro esgota todas as soluções da equação diferencial, pois permite satisfazer quaisquer condições iniciais (a posição inicial da carga e sua velocidade inicial).

Em resumo, um oscilador harmônico conservativo pode realizar oscilações puramente harmônicas com frequência igual à sua frequência natural, com amplitude de qualquer magnitude e com fase inicial arbitrária.

A energia cinética é escrita como

.

e a energia potencial é

então a energia total é constante

1.1.1. Movimento harmônico simples

Movimento harmônico simplesé um movimento simples oscilador harmônico, um movimento periódico que não é forçado nem amortecido. Um corpo em movimento harmônico simples é submetido a uma única força variável que é diretamente proporcional em valor absoluto ao deslocamento x, e é direcionado na direção oposta.

Este movimento é periódico: o corpo oscila em torno da posição de equilíbrio de acordo com uma lei senoidal. Cada oscilação subsequente é igual à anterior, e o período, a frequência e a amplitude das oscilações permanecem constantes. Se aceitarmos que a posição de equilíbrio está em um ponto com coordenada igual a zero, então o deslocamento x corpo a qualquer momento é dada pela fórmula:

UMAé a amplitude das oscilações, f- frequência, φ - fase inicial.

A frequência do movimento é determinada pelas propriedades características do sistema (por exemplo, a massa do corpo em movimento), enquanto a amplitude e a fase inicial são determinadas pelas condições iniciais - o deslocamento e a velocidade do corpo no momento das oscilações começar. As energias cinética e potencial do sistema também dependem dessas propriedades e condições.

Movimento harmônico simples. Nesta imagem animada, a coordenada da partícula é plotada ao longo do eixo vertical ( x na fórmula), e o tempo é plotado ao longo do eixo horizontal ( t).

O movimento harmônico simples pode ser modelos matemáticos de vários tipos de movimento, como a oscilação de uma mola. Outros casos que podem ser considerados como movimento harmônico simples são o movimento de um pêndulo e as vibrações de moléculas.

O movimento harmônico simples é a base de algumas maneiras de analisar tipos mais complexos de movimento. Um desses métodos é baseado na transformada de Fourier, cuja essência é decompor um tipo de movimento mais complexo em uma série de movimentos harmônicos simples.

Movimento harmônico simples mostrado simultaneamente no espaço real e no espaço de fase. Aqui, o eixo de velocidade e o eixo de posição são mostrados de forma diferente da representação usual dos eixos de coordenadas - isso é feito para que ambas as figuras correspondam uma à outra. Espaço Real - espaço real; Espaço de Fase - espaço de fase; velocidade rapidez; posição - posição (posição).

Um exemplo típico de um sistema em que ocorre movimento harmônico simples é um sistema idealizado de massa-mola no qual uma massa é presa a uma mola. Se a mola não é comprimida e não esticada, então nenhuma força variável atua sobre a carga, e a carga está em um estado de equilíbrio mecânico. No entanto, se a carga for retirada da posição de equilíbrio, a mola se deformará e uma força atuará sobre a carga de seu lado, o que tenderá a devolver a carga à posição de equilíbrio. No caso de um sistema carga-mola, tal força é a força elástica da mola, que obedece à lei de Hooke:

F = − kx, F- restaurando a força x- movimento da carga (deformação da mola), k- coeficiente de rigidez da mola.

Qualquer sistema em que ocorra movimento harmônico simples tem duas propriedades principais:

1. Quando um sistema está fora de equilíbrio, deve haver uma força restauradora tendendo a trazer o sistema de volta ao equilíbrio.
2. A força restauradora deve ser exatamente ou aproximadamente proporcional ao deslocamento.

O sistema peso-mola satisfaz ambas as condições.

Uma vez que a carga deslocada é submetida à ação de uma força restauradora, acelerando-a e tendendo a retornar ao ponto de partida, ou seja, à posição de equilíbrio. À medida que a carga se aproxima da posição de equilíbrio, a força restauradora diminui e tende a zero. No entanto, na posição x= 0 a carga tem uma certa quantidade de movimento (momento), adquirido devido à ação da força restauradora. Portanto, a carga salta da posição de equilíbrio, começando a deformar a mola novamente (mas na direção oposta). A força restauradora tenderá a desacelerá-lo até que a velocidade seja zero; e a força tentará novamente devolver a carga à sua posição de equilíbrio.

Enquanto não houver perda de energia no sistema, a carga oscilará conforme descrito acima; tal movimento é chamado periódico.

Análises posteriores mostrarão que, no caso de um sistema massa-mola, o movimento é harmônico simples.

1.1.1.1. Dinâmica do movimento harmônico simples

Para uma oscilação no espaço unidimensional, dada a Segunda Lei de Newton ( F= m d² x/d t² ) e a lei de Hooke ( F = −kx, conforme descrito acima), temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:

mé a massa do corpo x- seu deslocamento em relação à posição de equilíbrio, k- constante (fator de rigidez da mola).

A solução para esta equação diferencial é senoidal; uma solução é esta:

Onde UMA, ω , e φ são constantes, e a posição de equilíbrio é tomada como a inicial. Cada uma dessas constantes representa uma importante propriedade física do movimento: UMAé a amplitude ω = 2π fé a frequência circular, e φ - fase inicial.

Posição, velocidade e aceleração do oscilador harmônico

Usando os métodos de cálculo diferencial, a velocidade e a aceleração em função do tempo podem ser encontradas usando as fórmulas:

Posição, velocidade e aceleração do movimento harmônico simples no plano de fase

A aceleração também pode ser expressa em função do deslocamento:

Porque o mãe = −mω² x = −kx , então

Dado que ω = 2π f, Nós temos

e desde T = 1/f, onde T é o período de oscilação, então

Essas fórmulas mostram que o período e a frequência não dependem da amplitude e da fase inicial do movimento.

1.1.1.2. Energia do movimento harmônico simples

Energia cinética K sistemas em função do tempo té:

e a energia potencial é

A energia mecânica total do sistema, no entanto, tem um valor constante

1.1.1.3. Exemplos

Um sistema carga-mola sem amortecimento no qual ocorre movimento harmônico simples.

O movimento harmônico simples é representado em vários sistemas físicos simples e alguns exemplos são dados abaixo.

1.1.1.3.1. Peso em uma mola

Peso m preso a uma mola de rigidez constante ké um exemplo de movimento harmônico simples no espaço. Fórmula

mostra que o período de oscilação não depende da amplitude e da aceleração gravitacional.

1.1.1.3.2. Movimento circular universal

O movimento harmônico simples pode, em alguns casos, ser considerado como uma projeção unidimensional do movimento circular universal. Se um objeto está se movendo a uma velocidade angular ω em torno da circunferência do raio r, cujo centro é a origem do plano x-y, então tal movimento ao longo de cada um dos eixos coordenados é harmônico simples com amplitude r e frequência circular ω .

1.1.1.3.3. Peso como um pêndulo simples

O movimento de um pêndulo sem amortecimento pode ser considerado aproximadamente como um movimento harmônico simples se a amplitude de oscilação for muito pequena comparada ao comprimento da haste.

Na aproximação de pequenos ângulos, o movimento de um pêndulo simples é próximo ao harmônico simples. O período de oscilação de tal pêndulo preso a uma haste de comprimento ℓ com aceleração de queda livre gé dado pela fórmula

Isso mostra que o período de oscilação não depende da amplitude e da massa do pêndulo, mas depende da aceleração de queda livre. g, portanto, com o mesmo comprimento do pêndulo, na Lua ele girará mais lentamente, pois ali a gravidade é mais fraca e o valor da aceleração de queda livre é menor.

A aproximação especificada está correta apenas em pequenos ângulos, pois a expressão para a aceleração angular é proporcional ao seno da coordenada:

EU- momento de inércia; nesse caso EU = mℓ 2 .

que torna a aceleração angular diretamente proporcional ao ângulo θ , e isso satisfaz a definição de movimento harmônico simples.

1.2. Oscilador harmônico amortecido

Tomando o mesmo modelo como base, adicionamos a ele a força de atrito viscoso. A força de atrito viscoso é direcionada contra a velocidade de movimento da carga em relação ao meio e é proporcional a essa velocidade. Então, a força total que atua sobre a carga é escrita da seguinte forma:

Realizando ações semelhantes, obtemos uma equação diferencial descrevendo um oscilador amortecido:

A notação é introduzida aqui: . O coeficiente γ é chamado de constante de amortecimento. Também tem a dimensão da frequência.

A solução se divide em três casos.

• Em baixo atrito (γ< ω 0 ) общее решение записывается в виде:

, onde é a frequência de oscilações livres.

• O amortecimento γ = ω 0 é chamado crítico. A partir deste valor do índice de amortecimento, o oscilador realizará o chamado movimento não oscilatório. No caso limite, o movimento ocorre de acordo com a lei:

• Para forte atrito γ > ω 0, a solução se parece com isso:

, Onde

O amortecimento crítico é notável pelo fato de que é durante o amortecimento crítico que o oscilador tende mais rapidamente para a posição de equilíbrio. Se o atrito for menor que o crítico, atingirá a posição de equilíbrio mais rapidamente, porém, “escorregará” por inércia e oscilará. Se o atrito for maior que o crítico, o oscilador tenderá exponencialmente para a posição de equilíbrio, mas quanto mais lento, maior o atrito.

Portanto, em relógios comparadores (por exemplo, em amperímetros), eles geralmente tentam introduzir uma atenuação crítica com precisão para ler suas leituras o mais rápido possível.

O amortecimento de um oscilador também é frequentemente caracterizado por um parâmetro adimensional chamado fator de qualidade. O fator de qualidade geralmente é indicado pela letra Q. Por definição, o fator de qualidade é:

Quanto maior o fator de qualidade, mais lentas as oscilações do decaimento do oscilador.

Um oscilador com amortecimento crítico tem um fator de qualidade de 0,5. Assim, o fator de qualidade indica a natureza do comportamento do oscilador. Se o fator de qualidade for maior que 0,5, o movimento livre do oscilador é uma oscilação; com o tempo, ele cruzará a posição de equilíbrio um número ilimitado de vezes. Um fator de qualidade menor ou igual a 0,5 corresponde ao movimento não oscilatório do oscilador; em movimento livre, ele cruzará a posição de equilíbrio no máximo uma vez.

O fator de qualidade às vezes é chamado de ganho do oscilador, pois com alguns métodos de excitação, quando a frequência de excitação coincide com a amplitude de ressonância, a amplitude de oscilação é aproximadamente Q vezes maior do que quando excitado em baixa frequência.

Além disso, o fator de qualidade é aproximadamente igual ao número de ciclos oscilatórios, durante os quais a amplitude de oscilação diminui em e vezes multiplicado por π.

No caso de movimento oscilatório, a atenuação também é caracterizada por parâmetros como:

• Vida hesitação, é tempo de decaimento, isso é tempo de relaxar. τ é o tempo durante o qual a amplitude de oscilação diminuirá em e uma vez.

τ = 1 / γ Este tempo é considerado como o tempo necessário para o amortecimento (cessação) das oscilações (embora as oscilações formalmente livres continuem indefinidamente).

2. Vibrações forçadas

Ver artigo principal: vibrações forçadas

As oscilações de um oscilador são chamadas forçadas quando alguma influência externa adicional é feita sobre ele. Essa influência pode ser produzida por vários meios e de acordo com várias leis. Por exemplo, a excitação da força é o efeito na carga por uma força que depende apenas do tempo de acordo com uma determinada lei. A excitação cinemática é a ação no oscilador pelo movimento do ponto de fixação da mola de acordo com uma determinada lei. O efeito do atrito também é possível - é quando, por exemplo, o meio com o qual a carga sofre atrito se move de acordo com uma determinada lei.

Literatura

Butikov EI oscilações naturais de um oscilador linear. Tutorial

Notas

, Relação simples , Campo simples , Frase simples , Número primo .

transcrição

1 IV Yakovlev Materiais sobre física MathUs.ru Movimento harmônico Antes de resolver os problemas do folheto, o artigo “Vibrações mecânicas” deve ser repetido, no qual toda a teoria necessária é declarada. Com o movimento harmônico, a coordenada do corpo muda de acordo com a lei do seno ou cosseno. Por exemplo, se x = A sen ωt, então a projeção da velocidade e a projeção da aceleração é v x = ẋ = Aω cos ωt, a x = v x = ẍ = Aω sen ωt. Tarefa 1. (“Conquiste Sparrow Hills!”, 014,) Dois corpos de massa M e estão ligados por uma mola, conforme mostra a figura. O corpo realiza vibrações harmônicas ao longo da vertical com frequência ω e amplitude A. A mola não tem peso. Encontre a razão entre a maior força F 1 e a menor força F da pressão do sistema no plano da mesa. A aceleração de queda livre é g. F1 = (M+)g+Aω F (M+)g Aω para (M+)g > Aω Problema. (Vseross., 006, final, 9) Uma barra de massa M, apoiada sobre uma mesa horizontal, e um pêndulo de mola, consistindo de um peso de massa e uma mola leve e longa, são conectados por um fio leve e inextensível lançado sobre um bloco imóvel (ver figura). O coeficiente de atrito entre a base da barra e a superfície da mesa µ = 0,3. A razão entre a massa da barra e a massa da carga é M/ = 8. A carga realiza oscilações verticais com um período T = 0,5 s. Qual é a amplitude máxima possível A de tais oscilações na qual elas permanecem harmônicas? A() µm 1 gt 4pi = 8,8 cm, A gt 4π = 6,3 cm; assim, A = 6,3 cm Problema 3. O pêndulo realiza oscilações harmônicas. Durante que fração do período de oscilação o pêndulo é removido da posição de equilíbrio em não mais do que a metade da amplitude? 1/3 Problema 4. (MIPT, 006) Uma bola pendurada em uma mola elástica oscila com período T e amplitude A ao longo da vertical. A massa da bola é muito maior que a massa da mola. 1) Encontre a velocidade máxima (módulo) da bola v.) Encontre a aceleração (módulo) da bola nos instantes em que sua velocidade (módulo) é igual a v /3. 1) v = πa T ;) a = 8 π A 3T 1

2 Problema 5. (MIPT, 1996) Um copo com pesos de uma balança de mola está em repouso. Outro peso foi colocado no copo. Encontre a amplitude das oscilações do copo. Rigidez da mola. A = g Problema 6. (MIPT, 1996) Uma mola está rigidamente presa ao teto e uma barra por uma massa (veja a figura). A barra fica no suporte de modo que o eixo da mola fique na vertical e a mola seja comprimida pelo valor L. O suporte é removido rapidamente. Encontre a amplitude das vibrações da barra. A = L + g Após queimar o fio, o peso superior começou a oscilar com amplitude A. Encontre a massa do peso inferior. = A g Problema 8. (MIPT, 1996) Um peso é amarrado por um fio lançado sobre um bloco a outro peso, que é mantido sobre uma mesa horizontal lisa por uma mola presa à parede (ver figura). A rosca está queimada e a carga na mesa começa a oscilar com amplitude A. Encontre a rigidez da mola. = g A Problema 9. (MIPT, 199) Dois pesos com massa total = 1 kg, conectados por uma mola elástica com rigidez = 100 N/m, estão pendurados em um fio (ver figura). Encontre todas as distâncias possíveis para as quais o peso inferior deve ser puxado verticalmente para baixo e depois liberado de modo que durante as oscilações subsequentes o peso superior permaneça imóvel. A g 10 cm Problema 10. (MIPT, 199) Dois pesos com massa total = 1 kg, conectados por um fio, estão pendurados em uma mola elástica com rigidez = 100 N/m (veja a figura). Encontre todas as distâncias possíveis para as quais os pesos devem ser puxados verticalmente para baixo e depois soltos para que a rosca não ceda durante as vibrações subsequentes dos pesos. A g 10 cm Problema 11. (MIPT, 199) Uma tábua com uma barra sobre ela é colocada sobre uma superfície horizontal lisa de uma mesa (veja a figura). O bloco é cinco vezes mais pesado que a prancha. O sistema oscila com amplitude A = 8 cm e período T = 0,8 s ao longo da superfície da mesa sob a ação de uma mola presa à barra. A prancha e a barra durante as vibrações ficam imóveis uma em relação à outra. Em que valores do coeficiente de atrito entre a prancha e a barra são possíveis tais oscilações? µ 4π A gt M 0,1

3 Problema 1. (MIPT, 199) Uma tábua com uma barra sobre ela está sobre uma superfície horizontal lisa da mesa (veja a figura). O sistema oscila sob a ação de uma mola elástica ao longo de uma linha reta de período T = 1 e velocidade máxima v = 0,5 m/s. Neste caso, a prancha e a barra ficam imóveis uma em relação à outra. Em que valores do coeficiente de atrito de deslizamento entre a placa e a barra são possíveis tais oscilações? µ π T v g 0,3 Problema 13. (MIPT, 005) Em um plano inclinado suave com um ângulo de inclinação em relação ao horizonte α, uma arruela de massa e uma barra de massa 3 oscilam com amplitude A como uma unidade ao longo de uma linha reta sob a ação de uma mola com rigidez presa à barra (ver . figura). A que coeficiente mínimo de atrito de deslizamento entre a arruela e a barra tais oscilações são possíveis? 3 α µin = tg α + A 4g cos α ver figura). O coeficiente de atrito de deslizamento entre a barra e a placa é µ. Em que amplitude máxima de oscilações tais oscilações são possíveis? 8 α Aax = 9g (8µ cos α sin α) Problema 15. (MIPT, 007) Um bloco de massa oscila com amplitude A 0 ao longo de uma linha reta sobre uma superfície horizontal lisa de uma mesa sob a ação de uma mola elástica. No momento em que o deslocamento da barra da posição de equilíbrio era A 0/3, um pedaço de plasticina com massa caiu sobre ela e ficou preso, movendo-se verticalmente antes do impacto. O tempo de impacto é muito menor que o período de oscilação, e durante o impacto a barra não sai da mesa. 1) Como e quantas vezes o período de oscilação mudou?) Encontre a amplitude da oscilação da barra após colar a plasticina. 1) T T0 = 3 ;) A = 17 7 A 0 a massa da nova carga era três vezes a original. 1) Quantas vezes o valor da aceleração máxima a ax durante as oscilações resultantes difere da aceleração de queda livre g?) Com que módulo a carga se move no momento em que sua energia cinética T = 3U 0? Ignore o amortecimento das oscilações. 1) aax = g 3 ;) a = 1 3 g 3

4 Problema 17. (MIPT, 003) Uma bola está pendurada em uma mola em um campo gravitacional g. Na posição de equilíbrio, a mola armazenou energia igual a U 0. A bola é puxada para baixo para que a energia U 1 \u003d 9U 0 /4 seja armazenada na mola e depois liberada. 1) Qual é o valor da aceleração máxima a ax com a qual a bola se move durante as oscilações verticais resultantes?) Qual é a energia cinética T do movimento da bola no momento em que sua aceleração é a = a ax /? Ignore o amortecimento das oscilações. 1) aax = g ;) T = 3 16 U 0 Problema 18. (MIPT, 000) As esferas são montadas em um raio horizontal reto e podem deslizar ao longo dele sem atrito (ver figura). Uma mola leve está presa à bola por massa, e ela está em repouso. Uma bola de massa se move com velocidade v. Os raios das esferas são muito menores que o comprimento da mola. 1) Determine a velocidade da massa da esfera após a separação da mola.) Determine o tempo de contato da massa da esfera com a mola. v 1) v1 = v 3 ;) t = T = π 3 Problema 19. (MIPT, 000) Duas barras de massas v 3 e 3, conectadas por um fio, movem-se ao longo de uma superfície horizontal lisa da mesa com velocidade constante v. Entre as barras existe uma mola com rigidez, comprimida por x 0 (ver figura). A mola está presa apenas à barra por massa. As dimensões das barras são pequenas em comparação com o comprimento da rosca, a massa da mola é desprezada, a velocidade das barras é direcionada ao longo da rosca. Durante o movimento, a rosca se rompe e as barras se afastam ao longo da direção inicial da rosca. 1) Encontre a velocidade da barra de massa 3 após sua separação da mola.) Encontre o tempo de contato entre a mola e a barra de massa 3, contando a partir do momento em que a rosca se rompe. 1) v = v + x 0 3 ;) t = π 4 3 Problema 0. (MIPT, 1999) Um pequeno bloco de massa repousa sobre uma mesa lisa dentro de um pórtico rígido. O comprimento do quadro é L, peso. Com a ajuda de uma haste de luz e uma mola, a barra é rigidamente conectada a um suporte fixo (veja a figura). A barra é levada para o lado oposto do quadro e solta. Como resultado de colisões elásticas, a barra e o quadro realizam movimentos periódicos. 1) Encontre a velocidade do quadro imediatamente após a primeira colisão com a barra.) Encontre o período de oscilação da barra. 1) v = L ;) T = (π + 1) 4

5 Problema 1. (MIPT, 1999) Um pequeno bloco de massa está sobre uma mesa lisa dentro de uma estrutura rígida de comprimento L e massa. A barra com a ajuda de uma haste de luz e uma mola é rigidamente conectada a um suporte fixo 1 (ver figura). A estrutura é rigidamente conectada a um suporte fixo por uma mola. Na posição inicial, a barra tocou o lado esquerdo do quadro e as molas não foram deformadas. O quadro é levado para a esquerda, até que a barra toque a parede direita do quadro, e liberado. Como resultado de colisões elásticas, a barra e o quadro realizam movimentos periódicos. 1) Encontre a velocidade da barra imediatamente após a primeira colisão com o quadro.) Encontre o período de oscilação do quadro. 1) v = L ;) T = π Problema. (MIPT, 1997) Uma pequena bola de massa com carga positiva q está pendurada em um longo fio inextensível próximo a uma grande placa não condutora P (veja a figura). Determine o período de pequenas oscilações da bola quando há uma carga negativa com densidade superficial σ na placa, se for conhecido que na ausência dessa carga o período de oscilações da bola é igual a T 0. Considere a aceleração de gravidade a ser dada e igual a g. T = T0 1+ σg ε 0 g Problema 3. (MIPT, 1997) Um cilindro de paredes finas com uma superfície interna lisa repousa imóvel sobre uma placa não condutora P localizada horizontalmente (veja a figura). As dimensões da placa (no plano horizontal) são muito maiores que as dimensões do cilindro. Sabe-se que a razão entre o período de oscilação de uma pequena bola carregada negativamente dentro do cilindro a uma certa densidade positiva de cargas superficiais σ x da placa para o período de oscilação em σ = 0 é igual a T x /T 0 = α . determine σ x, considerando a razão α, a carga da bola q, sua massa e a aceleração gravitacional g como dados. σx = ε 0(1 α)g α q Problema 4. (“Conquiste as Colinas dos Pardais!”, 015,) O cotovelo vertical de um tubo liso de seção transversal constante dobrado em ângulo reto é preenchido com um líquido que pode ser considerado quase ideal. A altura deste cotovelo é igual a L (e é visivelmente maior que a dimensão transversal do tubo), e sua transfusão em um cotovelo horizontal não é permitida devido ao plugue de luz mantido imóvel. Em algum momento, a rolha é suavemente liberada. Quanto tempo levará para a rolha sair do tubo? O comprimento do cotovelo horizontal é 3L/, a tensão superficial é ignorada. t = π+1 L g 5

6 Tarefa 5. (“Conquiste as Colinas dos Pardais!”, 014,) No sistema mostrado na figura, as massas das cargas são iguais a 1 e, a rigidez da mola, dos blocos, da rosca e da mola são sem peso, os blocos giram sem atrito, o fio não desliza sobre os blocos. Na posição de equilíbrio, a mola é esticada. A carga 1 é deslocada da posição de equilíbrio para baixo por uma distância s, após a qual as cargas realizam oscilações harmônicas. Encontre as velocidades máximas das massas vibrantes. v1 = s, v = v1/ fornecido s< (4 1+)g (иначе провисает нить) 41+ Задача 6. (МФО, 011, 11) Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением a = 0, м/с вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рисунок). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом T = 1 c. Найдите амплитуду колебаний грузика. A = at 4π 5 мм Задача 7. (МФО, 014, 11) Тележка высотой H = 30 см и длиной L = 40 см должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно. К крышке стола снизу прикрепили лёгкую пружину жёсткостью = 50 Н/м. К пружине прицепили маленький груз массой = 0,4 кг. При недеформированной пружине груз находился на высоте h = 4 см над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз? vin = (L / π arccos h H x) 0 = 3ωL 4π x 0 1,07 м/с Задача 8. (Всеросс., 014, регион, 11) Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза, соединённые лёгкой нерастянутой пружиной, длина которой равна l 0, а жёсткость. К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок, прикреплён ещё один такой же груз массой (см. рисунок). Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время τ удлинение l пружины станет максимальным? Найдите это удлинение. τ = π 3 g, lax = 3 6

7 Tarefa 9. (MFO, 016, 11) A figura mostra um sistema mecânico no qual um fio inextensível sem peso é lançado através de um bloco sem peso com um eixo horizontal preso ao teto. Anexado às extremidades do fio são pequenas massas e. A carga repousa sobre um suporte horizontal. A carga está pendurada. Uma segunda carga semelhante é presa à carga por meio de uma mola ideal sem peso com rigidez, localizada verticalmente e com um pequeno comprimento L 0. No momento inicial, a mola não é deformada e a segunda carga está no mesmo suporte que a carga. A distância da carga superior ao bloco é igual a l 0. As seções livres da rosca que não ficam na polia do bloco são verticais. No instante t = 0, o suporte desaparece (é rapidamente removido para baixo). Após um tempo τ depois disso, um dos pesos tocou o bloco. O que é essa carga? Em que valor de l 0 é o tempo máximo τ? Qual é esse valor máximo de τ? Carga; τax = π 3 4 para l 0 = g 7

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Opção 1 1. Que trabalho A precisa ser feito para esticar x=1 mm uma barra de aço com comprimento l=1 me área da seção transversal S igual a 1 cm 2? 2. Duas molas com rigidez k 1 = 0,3 kN/m e k 2

Leis de conservação A quantidade de movimento de um corpo (ponto material) é uma quantidade vetorial física igual ao produto da massa do corpo pela sua velocidade. p = m υ [p] = kg m/s p υ Impulso de força é uma quantidade física vetorial,

O cosseno na solução da equação (21.2) sugere que o movimento harmônico tem algo a ver com o movimento circular. Essa comparação, é claro, é artificial, porque em um movimento linear não há lugar para obter um círculo: o peso se move estritamente para cima e para baixo. Podemos nos justificar pelo fato de já termos resolvido a equação do movimento harmônico quando estudamos a mecânica do movimento circular. Se uma partícula se move ao longo de um círculo com velocidade constante, então o vetor raio do centro do círculo até a partícula gira em um ângulo cuja magnitude é proporcional ao tempo. Vamos denotar esse ângulo (Fig. 21.2). Então . Sabe-se que a aceleração e direcionado para o centro. As coordenadas do ponto móvel em um dado momento são

O que pode ser dito sobre a aceleração? Qual é a -componente da aceleração? Este valor pode ser encontrado de forma puramente geométrica: é igual ao valor da aceleração multiplicado pelo cosseno do ângulo de projeção; antes da expressão resultante, você deve colocar um sinal de menos, porque a aceleração é direcionada para o centro:

Em outras palavras, quando uma partícula se move em círculo, a componente horizontal do movimento tem uma aceleração proporcional ao deslocamento horizontal a partir do centro. É claro que conhecemos as soluções para o caso do movimento circular: . A Equação (21.7) não contém o raio do círculo; é o mesmo quando se move ao longo de qualquer círculo com o mesmo.

FIG. 21.2. Uma partícula que se move em um círculo com velocidade constante.

Assim, existem várias razões pelas quais devemos esperar que a deflexão do peso na mola seja proporcional e o movimento pareça como se estivéssemos seguindo a coordenada de uma partícula movendo-se em círculo com velocidade angular . Você pode verificar isso montando um experimento para mostrar que o movimento de um peso para cima e para baixo em uma mola corresponde exatamente ao movimento de um ponto ao longo de um círculo. Na FIG. 21.3 a luz de uma lâmpada de arco projeta na tela as sombras de uma agulha presa em um disco giratório e um peso vibrando verticalmente movendo-se lado a lado. Se você fizer o peso oscilar no tempo e no lugar certo, e depois selecionar cuidadosamente a velocidade do movimento do disco para que as frequências de seus movimentos coincidam, as sombras na tela seguirão exatamente uma após a outra. Aqui está outra maneira de garantir que, ao encontrar uma solução numérica, quase chegamos perto do cosseno.

FIG. 21.3. Demonstração da equivalência de movimento harmônico simples e movimento circular uniforme.

Aqui pode ser enfatizado que, como a matemática do movimento uniforme ao longo de um círculo é muito semelhante à matemática do movimento oscilatório para cima e para baixo, a análise dos movimentos oscilatórios será bastante simplificada se esse movimento for representado como uma projeção do movimento ao longo de um círculo. . Em outras palavras, podemos complementar a equação (21.2), que parece ser uma equação completamente redundante e considerar ambas as equações juntas. Feito isso, reduziremos as oscilações unidimensionais ao movimento em um círculo, o que nos poupará de resolver uma equação diferencial. Você pode fazer outro truque - introduzir números complexos, mas mais sobre isso no próximo capítulo.

O cosseno na solução da equação (21.2) sugere que o movimento harmônico tem algo a ver com o movimento circular. Essa comparação, é claro, é artificial, porque em um movimento linear não há lugar para fazer um círculo: o peso se move estritamente para cima e para baixo. Podemos nos justificar pelo fato de já termos resolvido a equação do movimento harmônico quando estudamos a mecânica do movimento circular. Se uma partícula se move ao longo de um círculo com velocidade constante v, então o vetor raio do centro do círculo até a partícula gira em um ângulo, cujo valor é proporcional ao tempo. Vamos denotar este ângulo θ=vt/R (Fig. 21.2). Então dQθ/dt=ω0 =v/R. Sabe-se que a aceleração a=v 2 /R = ω 2 0 R e é direcionada para o centro. As coordenadas do ponto móvel em um dado momento são
x = R cos θ, y = R sen θ.

O que pode ser dito sobre a aceleração? Qual é a componente x da aceleração, d 2 x/dt 2 ? Este valor pode ser encontrado de forma puramente geométrica: é igual ao valor da aceleração multiplicado pelo cosseno do ângulo de projeção; Antes da expressão resultante, você deve colocar um sinal de menos, pois a aceleração é direcionada para o centro:

Em outras palavras, quando uma partícula se move em círculo, a componente horizontal do movimento tem uma aceleração proporcional ao deslocamento horizontal a partir do centro. É claro que conhecemos as soluções para o caso do movimento circular: x=R cos ω 0 t. A Equação (21.7) não contém o raio do círculo; é o mesmo quando se move ao longo de qualquer círculo para o mesmo ω 0 . Assim, existem várias razões pelas quais devemos esperar que a deflexão do peso na mola seja proporcional a cos ω 0 t e o movimento pareça como se estivéssemos seguindo a coordenada x de uma partícula movendo-se em um círculo com uma velocidade angular ω 0 . Você pode verificar isso configurando um experimento para mostrar que o movimento do peso para cima e para baixo na mola corresponde exatamente ao movimento do ponto ao longo do círculo. Na FIG. 21.3 a luz de uma lâmpada de arco projeta na tela as sombras de uma agulha presa em um disco giratório e um peso vibrando verticalmente movendo-se lado a lado. Se você fizer o peso oscilar no tempo e no lugar certo, e depois selecionar cuidadosamente a velocidade do movimento do disco para que as frequências de seus movimentos coincidam, as sombras na tela seguirão exatamente uma após a outra. Aqui está outra maneira de garantir que, ao encontrar uma solução numérica, quase chegamos perto do cosseno.

Aqui pode ser enfatizado que, como a matemática do movimento uniforme ao longo de um círculo é muito semelhante à matemática do movimento oscilatório para cima e para baixo, a análise dos movimentos oscilatórios será bastante simplificada se esse movimento for representado como uma projeção do movimento ao longo de um círculo. . Em outras palavras, podemos complementar a equação (21.2), que parece ser uma equação completamente redundante para y, e considerar ambas as equações juntas. Feito isso, reduziremos as oscilações unidimensionais ao movimento circular, o que nos poupará de resolver uma equação diferencial. Outro truque que você pode fazer é introduzir números complexos, mas falaremos mais sobre isso no próximo capítulo.