Instrução
Escolha um número radical de tal fator, cuja remoção de sob raiz expressão válida - caso contrário, a operação perderá . Por exemplo, se estiver sob o signo raiz com um expoente igual a três (raiz cúbica) vale número 128, então sob o sinal pode ser retirado, por exemplo, número 5. Ao mesmo tempo, a raiz número 128 terá que ser dividido por 5 ao cubo: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Se a presença de um número fracionário sob o sinal raiz não contradiz as condições do problema, é possível desta forma. Se você precisar de uma opção mais simples, primeiro divida a expressão radical em tais fatores inteiros, a raiz cúbica de um dos quais será um inteiro número m. Por exemplo: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
Use para selecionar os fatores do número raiz, se não for possível calcular o grau do número em sua mente. Isto é especialmente verdadeiro para raiz m com um expoente maior que dois. Se você tiver acesso à Internet, poderá fazer cálculos usando calculadoras incorporadas aos mecanismos de pesquisa Google e Nigma. Por exemplo, se você precisar encontrar o maior fator inteiro que pode ser retirado do sinal do cubo raiz para o número 250, depois acesse o site do Google e digite a consulta "6 ^ 3" para verificar se é possível tirar de baixo do letreiro raiz seis. O mecanismo de pesquisa mostrará um resultado igual a 216. Infelizmente, 250 não pode ser dividido sem um resto por isso número. Em seguida, insira a consulta 5^3. O resultado será 125, e isso permite dividir 250 em fatores de 125 e 2, o que significa tirá-lo do sinal raiz número 5 saindo de lá número 2.
Fontes:
- como tirar debaixo da raiz
- A raiz quadrada do produto
Tirar de baixo raiz um dos fatores é necessário em situações em que você precisa simplificar uma expressão matemática. Há casos em que é impossível realizar os cálculos necessários usando uma calculadora. Por exemplo, se forem usadas letras de variáveis em vez de números.
Instrução
Decomponha a expressão radical em fatores simples. Veja qual dos fatores se repete o mesmo número de vezes, indicado nos indicadores raiz, ou mais. Por exemplo, você precisa levar a raiz do número a à quarta potência. Nesse caso, o número pode ser representado como a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indicador raiz neste caso corresponderá fator a3. Deve ser retirado do sinal.
Extraia a raiz dos radicais resultantes separadamente, sempre que possível. Extração raizé a operação algébrica inversa à exponenciação. Extração raiz uma potência arbitrária de um número, encontre um número que, quando elevado a essa potência arbitrária, resultará em um determinado número. Se a extração raiz não pode ser produzida, deixe a expressão radical sob o sinal raiz do jeito que é. Como resultado das ações acima, você fará uma remoção de sob sinal raiz.
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Nota
Tenha cuidado ao escrever a expressão radical como fatores - um erro neste estágio levará a resultados incorretos.
Conselho útil
Ao extrair raízes, é conveniente usar tabelas especiais ou tabelas de raízes logarítmicas - isso reduzirá significativamente o tempo para encontrar a solução correta.
Fontes:
- sinal de extração de raiz em 2019
A simplificação de expressões algébricas é necessária em muitos ramos da matemática, incluindo a solução de equações de graus superiores, diferenciação e integração. Isso usa vários métodos, incluindo fatoração. Para aplicar este método, você precisa encontrar e tirar um fator por parênteses.
Instrução
Tirando o fator comum para parênteses- um dos métodos de decomposição mais comuns. Esta técnica é usada para simplificar a estrutura de expressões algébricas longas, ou seja, polinômios. O geral pode ser um número, monômio ou binomial, e para encontrá-lo, utiliza-se a propriedade distributiva da multiplicação.
Número. Observe atentamente os coeficientes de cada polinômio para ver se eles podem ser divididos pelo mesmo número. Por exemplo, na expressão 12 z³ + 16 z² - 4, o óbvio é fator 4. Após a conversão, você obtém 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Em outras palavras, esse número é o menor divisor inteiro comum de todos os coeficientes.
Mononomial Determine se a mesma variável está em cada um dos termos do polinômio. Vamos supor que este seja o caso, agora observe os coeficientes, como no caso anterior. Exemplo: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.
Cada elemento deste polinômio contém a variável z. Além disso, todos os coeficientes são múltiplos de 3. Portanto, o fator comum será o monômio 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).
Binomial.Para parênteses em geral fator de dois , uma variável e um número, que é um polinômio geral. Portanto, se fator-binomial não é óbvio, então você precisa encontrar pelo menos uma raiz. Destaque o termo livre do polinômio, este é o coeficiente sem variável. Agora aplique o método de substituição à expressão comum de todos os divisores inteiros do termo livre.
Considere: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Verifique se algum dos divisores inteiros de 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Encontre z1 por substituição simples = 1 e z2 = 2, então parênteses os binômios (z - 1) e (z - 2) podem ser retirados. Para encontrar a expressão restante, use a divisão sequencial em uma coluna.
No círculo ela mostrou como as raízes quadradas podem ser extraídas em uma coluna. Você pode calcular a raiz com precisão arbitrária, encontrar quantos dígitos quiser em sua notação decimal, mesmo que seja irracional. O algoritmo foi lembrado, mas as perguntas permaneceram. Não ficou claro de onde veio o método e por que ele dá o resultado correto. Isso não estava nos livros, ou talvez eu estivesse apenas procurando nos livros errados. Como resultado, como muito do que sei e posso fazer hoje, eu mesmo o trouxe. Compartilho aqui meus conhecimentos. A propósito, ainda não sei onde é dada a justificativa para o algoritmo)))
Então, primeiro, com um exemplo, eu conto “como o sistema funciona”, e depois explico porque ele realmente funciona.
Vamos pegar um número (o número é tirado “do teto”, apenas me veio à mente).
1. Dividimos seus números em pares: aqueles que estão à esquerda do ponto decimal, agrupamos dois da direita para a esquerda e os da direita - dois da esquerda para a direita. Nós temos .
2. Extraímos a raiz quadrada do primeiro grupo de dígitos à esquerda - no nosso caso é (é claro que a raiz exata não pode ser extraída, pegamos o número cujo quadrado é o mais próximo possível do nosso número formado pelo primeiro grupo de dígitos, mas não o excede). No nosso caso, este será um número. Escrevemos em resposta - este é o dígito mais alto da raiz.
3. Aumentamos o número que já está na resposta - isto é - ao quadrado e subtraímos do primeiro grupo de números à esquerda - do número. No nosso caso, fica
4. Atribuímos o seguinte grupo de dois números à direita: . O número já na resposta é multiplicado por , obtemos .
5. Agora observe atentamente. Precisamos adicionar um dígito ao número à direita e multiplicar o número por , ou seja, pelo mesmo dígito atribuído. O resultado deve ser o mais próximo possível de , mas novamente não mais do que esse número. No nosso caso, este será um número, escrevemos em resposta ao lado, à direita. Este é o próximo dígito na notação decimal para nossa raiz quadrada.
6. Subtraindo o produto de , obtemos .
7. Em seguida, repetimos as operações familiares: atribuímos o seguinte grupo de dígitos à direita, multiplicamos por, ao número resultante > atribuímos um dígito à direita, de modo que, quando multiplicado por ele, obtemos um número menor, mas mais próximo a ele - este é o número - o próximo dígito em notação decimal da raiz.
Os cálculos serão escritos da seguinte forma:
E agora a explicação prometida. O algoritmo é baseado na fórmula
Comentários: 50
2 Antônio:
Muito bagunçado e confuso. Divida tudo e numere-os. Mais: explique onde em cada ação substituímos os valores necessários. Eu nunca calculei a raiz em uma coluna antes - descobri com dificuldade.
5 Júlia:
6 :
Julia, 23 atualmente está escrito à direita, esses são os dois primeiros (esquerda) já recebidos dígitos da raiz que estão na resposta. Multiplicamos por 2 de acordo com o algoritmo. Repetimos os passos descritos no parágrafo 4.
7zzz:
erro em “6. De 167 subtraímos o produto 43 * 3 = 123 (129 nada), obtemos 38.”
não está claro como depois da vírgula ficou 08 ...9 Fedotov Alexandre:
E mesmo na era pré-calculadora, nos ensinavam na escola não apenas o quadrado, mas também a raiz cúbica em uma coluna para extrair, mas esse é um trabalho mais tedioso e meticuloso. Era mais fácil usar as tabelas Bradis ou a régua de cálculo, que já estudamos no ensino médio.
10 :
Alexander, você está certo, você pode extrair em uma coluna e raízes de grandes graus. Vou escrever apenas sobre como encontrar a raiz cúbica.
12 Sergey Valentinovich:
Querida Elizabeth Alexandrovna! No final dos anos 70, desenvolvi um esquema para cálculo automático (ou seja, não por seleção) de quadrados. root na máquina de somar Felix. Caso tenha interesse, posso enviar uma descrição.
14 Vlad aus Engelsstadt:
(((Extrair a raiz quadrada em uma coluna)))
O algoritmo é simplificado se você usar o 2º sistema numérico, que é estudado em ciência da computação, mas também é útil em matemática. UM. Kolmogorov citou esse algoritmo em palestras populares para crianças em idade escolar. Seu artigo pode ser encontrado na “Coleção Chebyshev” (Mathematical Journal, procure um link para ele na Internet)
Para a ocasião, diga:
G. Leibniz uma vez apressou-se com a ideia de fazer a transição do 10º sistema numérico para o binário devido à sua simplicidade e acessibilidade para iniciantes (escolares juniores). Mas quebrar as tradições estabelecidas é como quebrar os portões da fortaleza com a testa: é possível, mas é inútil. Acontece que, segundo o filósofo barbudo mais citado antigamente: as tradições de todas as gerações mortas suprimem a consciência dos vivos.Vejo você na próxima vez.
15 Vlad aus Engelsstadt:
)) Sergey Valentinovich, sim, estou interessado ... ((
Aposto que esta é uma variação de Félix do método babilônico de extrair o cavalo quadrado por aproximações sucessivas. Este algoritmo foi substituído pelo método de Newton (método tangente)
Gostaria de saber se cometi um erro na previsão?
18 :
2Vlad aus Engelsstadt
Sim, o algoritmo em binário deveria ser mais simples, isso é bem óbvio.
Sobre o método de Newton. Talvez seja, mas ainda é interessante
20 Cirilo:
Muito obrigado. Mas o algoritmo ainda não existe, não se sabe de onde veio, mas o resultado está correto. MUITO OBRIGADO! tava procurando isso a muito tempo
21 Alexandre:
E como será a extração da raiz do número, onde o segundo grupo da esquerda para a direita é muito pequeno? por exemplo, o número favorito de todos é 4 398 046 511 104. após a primeira subtração, é impossível continuar tudo de acordo com o algoritmo. Você pode explicar por favor.
22 Alexei:
Sim, eu conheço assim. Lembro-me de lê-lo no livro "Álgebra" de alguma edição antiga. Então, por analogia, ele mesmo deduziu como extrair a raiz cúbica na mesma coluna. Mas aí já é mais complicado: cada dígito não é mais determinado em um (como para um quadrado), mas em duas subtrações, e mesmo aí cada vez que você precisa multiplicar números longos.
23 Artem:
Há erros de digitação no exemplo de tirar a raiz quadrada de 56789,321. O grupo de números 32 é atribuído duas vezes aos números 145 e 243, no número 2388025 o segundo 8 deve ser substituído por 3. Em seguida, a última subtração deve ser escrita da seguinte forma: 2431000 - 2383025 = 47975.
Além disso, ao dividir o resto pelo valor dobrado da resposta (excluindo a vírgula), obtemos um número adicional de dígitos significativos (47975/(2*238305) = 0,100658819…), que deve ser adicionado à resposta (√56789.321 = 238,305… = 238,305100659).24 Sergey:
Aparentemente, o algoritmo veio do livro de Isaac Newton "Aritmética geral ou um livro sobre síntese e análise aritmética". Aqui está um trecho dele:
SOBRE O ROOTS
Para extrair a raiz quadrada de um número, em primeiro lugar, você deve colocar um ponto sobre seus números através de um, começando pelas unidades. Então é necessário escrever no quociente ou na raiz o número cujo quadrado é igual ou mais próximo em defeito aos números ou algarismos que precedem o primeiro ponto. Depois de subtrair este quadrado, os algarismos restantes da raiz serão encontrados sucessivamente dividindo o resto por duas vezes o valor da parte já extraída da raiz e subtraindo cada vez do resto do quadrado o último algarismo encontrado e seu produto dez vezes por o divisor nomeado.
25 Sergey:
Corrija o título do livro “Aritmética geral ou um livro sobre síntese e análise aritmética”
26 Alexandre:
Obrigado pelo conteúdo interessante. Mas esse método me parece um pouco mais complicado do que é necessário, por exemplo, para um estudante. Eu uso um método mais simples baseado na expansão de uma função quadrática usando as duas primeiras derivadas. Sua fórmula é:
sqrt(x)=A1+A2-A3 onde
A1 é um inteiro cujo quadrado está mais próximo de x;
A2 é uma fração, no numerador x-A1, no denominador 2*A1.
Para a maioria dos números encontrados no curso escolar, isso é suficiente para obter um resultado preciso ao centésimo.
Se você precisar de um resultado mais preciso, tome
A3 é uma fração, no numerador A2 ao quadrado, no denominador 2 * A1 + 1.
Claro, você precisa de uma tabela de quadrados de inteiros para aplicar, mas isso não é um problema na escola. Lembrar dessa fórmula é bem simples.
No entanto, me confunde que eu obtive A3 empiricamente como resultado de experimentos com uma planilha e não entendo muito bem por que esse termo tem essa forma. Talvez você possa aconselhar?27 Alexandre:
Sim, também considerei essas considerações, mas o diabo está nos detalhes. Você escreve:
“porque a2 e b já diferem bastante.” A questão é exatamente quão pouco.
Esta fórmula funciona bem nos números da segunda dezena e muito pior (não até centésimos, apenas até décimos) nos números da primeira dezena. Por que isso acontece já é difícil de entender sem envolver derivativos.28 Alexandre:
Vou esclarecer onde vejo a vantagem da fórmula que propus. Não requer a divisão não muito natural de números em pares de dígitos, o que, como mostra a experiência, muitas vezes é realizado com erros. Seu significado é óbvio, mas para uma pessoa familiarizada com a análise, é trivial. Funciona bem em números de 100 a 1000, os mais comuns na escola.
29 Alexandre:
A propósito, fiz algumas pesquisas e encontrei a expressão exata para A3 na minha fórmula:
A3= A22/2(A1+A2)30 vasos stryzhak:
Em nosso tempo, o uso generalizado da tecnologia computacional, a questão de extrair um cavalo quadrado de um número do ponto de vista prático não vale a pena. Mas para os amantes da matemática, é claro, várias opções para resolver esse problema são interessantes. No currículo escolar, o método desse cálculo sem atrair fundos adicionais deve ocorrer em pé de igualdade com a multiplicação e a divisão em uma coluna. O algoritmo de cálculo deve ser não apenas memorizado, mas também compreensível. O método clássico disponibilizado neste material para discussão com a divulgação da essência atende integralmente aos critérios acima.
Uma desvantagem significativa do método proposto por Alexander é o uso de uma tabela de quadrados de inteiros. Por que a maioria dos números encontrados no curso escolar é limitado, o autor se cala. Quanto à fórmula, no geral ela me impressiona pela precisão relativamente alta do cálculo.31 Alexandre:
por 30 vasil stryzhak
Eu não perdi nada. Supõe-se que a tabela de quadrados seja de até 1000. No meu tempo na escola, eles simplesmente memorizavam na escola e estava em todos os livros didáticos de matemática. Denominei explicitamente esse intervalo.
Quanto à informática, ela não é usada principalmente nas aulas de matemática, a menos que haja um tópico especial de uso de calculadora. As calculadoras agora são incorporadas a dispositivos proibidos para uso no exame.32 vasos stryzhak:
Alexander, obrigado pelo esclarecimento! Achei que para o método proposto é teoricamente necessário lembrar ou usar a tabela de quadrados de todos os números de dois dígitos. Então, para números radicais não incluídos no intervalo de 100 a 10000, você pode usar o método de aumentá-los ou diminuí-los pelo número necessário de pedidos movendo a vírgula.
33 vasil stryzhak:
39 ALEXANDRE:
MEU PRIMEIRO PROGRAMA EM IDIOMA YAMB NA MÁQUINA SOVIÉTICA "ISKRA 555" FOI ESCRITO PARA EXTRAIR A RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO DE ACORDO COM A EXTRAÇÃO PARA UM ALGORITMO DE COLUNA! e agora eu esqueci como extraí-lo manualmente!
Vamos considerar este algoritmo com um exemplo. Vamos encontrar
1º passo. Dividimos o número sob a raiz em dois dígitos (da direita para a esquerda):
2º passo. Extraímos a raiz quadrada da primeira face, ou seja, do número 65, obtemos o número 8. Sob a primeira face, escrevemos o quadrado do número 8 e subtraímos. Atribuímos a segunda face (59) ao restante:
(o número 159 é o primeiro resto).
3º passo. Duplicamos a raiz encontrada e escrevemos o resultado à esquerda:
4º passo. Separamos no restante (159) um dígito à direita, à esquerda obtemos o número de dezenas (é igual a 15). Então dividimos 15 pelo primeiro dígito dobrado da raiz, ou seja, por 16, já que 15 não é divisível por 16, então no quociente obtemos zero, que escrevemos como o segundo dígito da raiz. Então, no quociente, temos o número 80, que dobramos novamente e demolimos a próxima face
(o número 15901 é o segundo resto).
5º passo. Separamos um dígito da direita no segundo resto e dividimos o número resultante 1590 por 160. O resultado (número 9) é escrito como o terceiro dígito da raiz e atribuído ao número 160. O número resultante 1609 é multiplicado por 9 e encontramos o seguinte resto (1420):
Outras ações são executadas na sequência indicada no algoritmo (a raiz pode ser extraída com o grau de precisão necessário).
Comente. Se a expressão raiz for uma fração decimal, sua parte inteira será dividida em dois dígitos da direita para a esquerda, a parte fracionária será dividida em dois dígitos da esquerda para a direita e a raiz será extraída de acordo com o algoritmo especificado.
MATERIAL DIDÁTICO
1. Extraia a raiz quadrada do número: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; e) 0,9511.
O que é uma raiz quadrada?
Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")
Este conceito é muito simples. Naturais, eu diria. Os matemáticos tentam encontrar uma reação para cada ação. Há adição e há subtração. Há multiplicação e há divisão. Há quadratura ... Então também há extraindo a raiz quadrada! Isso é tudo. Esta acção ( tirando a raiz quadrada) em matemática é indicado por este ícone:
O ícone em si é chamado de bela palavra " radical".
Como extrair a raiz?É melhor considerar exemplos.
Qual é a raiz quadrada de 9? E que número ao quadrado nos dará 9? 3 ao quadrado nos dá 9! Aqueles:
Qual é a raiz quadrada de zero? Sem problemas! Que número ao quadrado zero dá? Sim, ele mesmo dá zero! Significa:
Apanhado o que é uma raiz quadrada? Então consideramos exemplos:
Respostas (em desordem): 6; 1; quatro; 9; 5.
Decidiu? Realmente, é muito mais fácil!
Mas... O que uma pessoa faz quando vê alguma tarefa com raízes?
Uma pessoa começa a ansiar... Não acredita na simplicidade e leveza das raízes. Embora ele pareça saber o que é raiz quadrada...
Isso ocorre porque uma pessoa ignorou vários pontos importantes ao estudar as raízes. Então esses modismos se vingam brutalmente de testes e exames ...
Ponto um. As raízes devem ser reconhecidas pela vista!
Qual é a raiz quadrada de 49? Sete? Certo! Como você sabia que eram sete? Sete ao quadrado e obteve 49? Corretamente! Observe que extrair a raiz de 49, tivemos que fazer a operação inversa - quadrado 7! E certifique-se de que não erramos. Ou podem perder...
Aí está a dificuldade extração de raiz. Quadratura qualquer número é possível sem problemas. Multiplique o número por ele mesmo em uma coluna - e isso é tudo. Mas pelo extração de raiz não existe uma tecnologia tão simples e sem problemas. responsável por pegar responda e verifique se acertou ao quadrado.
Este processo criativo complexo - escolher uma resposta - é bastante simplificado se você lembrar quadrados de números populares. Como uma tabuada de multiplicação. Se, digamos, você precisa multiplicar 4 por 6 - você não soma os quatro por 6 vezes, não é? A resposta aparece imediatamente 24. Embora nem todos a tenham, sim ...
Para um trabalho livre e bem-sucedido com raízes, basta conhecer os quadrados dos números de 1 a 20. Além disso, lá e de volta. Aqueles. você deve ser capaz de nomear facilmente ambos, digamos, 11 ao quadrado e a raiz quadrada de 121. Para conseguir essa memorização, existem duas maneiras. A primeira é aprender a tabuada de quadrados. Isso vai ajudar muito com exemplos. A segunda é resolver mais exemplos. É ótimo lembrar da tabela de quadrados.
E nada de calculadoras! Apenas para verificação. Caso contrário, você desacelerará impiedosamente durante o exame ...
Então, o que é raiz quadrada E como extrair raízes- Acho que é compreensível. Agora vamos descobrir DO QUE você pode extraí-los.
Ponto dois. Raiz, não te conheço!
De quais números você pode extrair raízes quadradas? Sim, quase qualquer. É mais fácil entender o que é proibido extraí-los.
Vamos tentar calcular essa raiz:
Para fazer isso, você precisa pegar um número que ao quadrado nos dará -4. Nós selecionamos.
O que não está selecionado? 2 2 dá +4. (-2) 2 dá +4 novamente! É isso... Não há números que, ao elevar ao quadrado, nos dê um número negativo! Mesmo sabendo os números. Mas eu não vou te dizer.) Vá para a faculdade e descubra por si mesmo.
A mesma história será com qualquer número negativo. Daí a conclusão:
Uma expressão na qual um número negativo está sob o sinal da raiz quadrada - não faz sentido! Esta é uma operação proibida. Tão proibido quanto a divisão por zero. Mantenha este fato em mente! Ou, em outras palavras:
Você não pode extrair raízes quadradas de números negativos!
Mas de todo o resto - você pode. Por exemplo, é possível calcular
À primeira vista, isso é muito difícil. Pegue as frações, mas faça o quadrado... Não se preocupe. Quando tratamos das propriedades das raízes, tais exemplos serão reduzidos à mesma tabela de quadrados. A vida vai ficar mais fácil!
Ok frações. Mas ainda encontramos expressões como:
Tudo bem. Tudo o mesmo. A raiz quadrada de dois é o número que, quando elevado ao quadrado, nos dará um deuce. Apenas o número é completamente desigual... Aqui está:
Curiosamente, essa fração nunca acaba... Esses números são chamados de irracionais. Em raízes quadradas, esta é a coisa mais comum. A propósito, é por isso que expressões com raízes são chamadas irracional. É claro que escrever uma fração tão infinita o tempo todo é inconveniente. Portanto, em vez de uma fração infinita, eles deixam assim:
Se, ao resolver o exemplo, você obtiver algo que não é extraível, como:
então deixamos assim. Esta será a resposta.
Você precisa entender claramente o que está sob os ícones
Claro, se a raiz do número for tirada suave, você deve fazê-lo. A resposta da tarefa no formulário, por exemplo
uma resposta bastante completa.
E, claro, você precisa saber os valores aproximados de memória:
Esse conhecimento ajuda muito a avaliar a situação em tarefas complexas.
Ponto três. O mais astuto.
A principal confusão no trabalho com as raízes é trazida justamente por esse modismo. É ele quem dá dúvida... Vamos lidar bem com essa moda!
Para começar, extraímos novamente a raiz quadrada de seus quatro. O que, eu já te peguei com essa raiz?) Nada, agora vai ser interessante!
Que número dará no quadrado de 4? Bem, dois, dois - ouço respostas insatisfeitas ...
Certo. Dois. Mas também menos dois vai dar 4 ao quadrado... Enquanto isso, a resposta
correto e a resposta
erro mais grosseiro. Assim.
Então, qual é o problema?
De fato, (-2) 2 = 4. E sob a definição da raiz quadrada de quatro menos dois bastante adequado ... Esta é também a raiz quadrada de quatro.
Mas! No curso escolar de matemática, costuma-se considerar raízes quadradas apenas números não negativos! Ou seja, zero e todos positivos. Até um termo especial foi cunhado: do número uma- isto é não negativo número cujo quadrado é uma. Resultados negativos ao extrair a raiz quadrada aritmética são simplesmente descartados. Na escola, todas as raízes quadradas - aritmética. Embora não seja especificamente mencionado.
Ok, isso é compreensível. Melhor ainda não mexer com resultados negativos... Ainda não é confusão.
A confusão começa ao resolver equações quadráticas. Por exemplo, você precisa resolver a seguinte equação.
A equação é simples, escrevemos a resposta (como ensinado):
Esta resposta (bastante correta, por sinal) é apenas uma notação abreviada dois respostas:
Para para! Um pouco mais alto eu escrevi que a raiz quadrada é um número sempre não negativo! E aqui está uma das respostas - negativo! Transtorno. Esse é o primeiro (mas não o último) problema que causa desconfiança das raízes... Vamos resolver esse problema. Vamos anotar as respostas (puramente para entender!) assim:
Os parênteses não alteram a essência da resposta. só separei com colchetes sinais a partir de raiz. Agora é visto claramente que a própria raiz (entre parênteses) ainda é um número não negativo! E os sinais são o resultado da resolução da equação. Afinal, ao resolver qualquer equação, devemos escrever tudo x, que, quando substituído na equação original, dará o resultado correto. A raiz de cinco (positiva!) é adequada para nossa equação com mais e menos.
Assim. Se você é só tirar a raiz quadrada de qualquer coisa que você sempre pegue um não negativo resultado. Por exemplo:
Porque isso - raiz quadrada aritmética.
Mas se você resolver alguma equação quadrática como:
então sempre acontece que dois resposta (com mais e menos):
Porque é a solução de uma equação.
Ter esperança, o que é raiz quadrada você acertou com seus pontos. Agora resta descobrir o que pode ser feito com as raízes, quais são suas propriedades. E quais são os modismos e caixas subaquáticas... com licença, pedras!)
Tudo isso - nas próximas lições.
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A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)
Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
você pode se familiarizar com funções e derivadas.
Fato 1.
\(\bullet\) Pegue algum número não negativo \(a\) (ou seja, \(a\geqslant 0\) ). Então (aritmética) raiz quadrada do número \(a\) tal número não negativo \(b\) é chamado, ao elevar ao quadrado obtemos o número \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(igual a )\quad a=b^2\] Segue da definição que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Essas restrições são uma condição importante para a existência de uma raiz quadrada e devem ser lembradas!
Lembre-se de que qualquer número elevado ao quadrado dá um resultado não negativo. Ou seja, \(100^2=10000\geqslant 0\) e \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) O que é \(\sqrt(25)\) ? Sabemos que \(5^2=25\) e \((-5)^2=25\) . Como por definição temos que encontrar um número não negativo, \(-5\) não é adequado, portanto \(\sqrt(25)=5\) (já que \(25=5^2\) ).
Encontrar o valor \(\sqrt a\) é chamado de tirar a raiz quadrada do número \(a\) , e o número \(a\) é chamado de expressão da raiz.
\(\bullet\) Com base na definição, as expressões \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. não faz sentido.
Fato 2.
Para cálculos rápidos, será útil aprender a tabela de quadrados de números naturais de \(1\) a \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]
Fato 3.
O que pode ser feito com raízes quadradas?
\(\bala\) A soma ou diferença de raízes quadradas NÃO É IGUAL à raiz quadrada da soma ou diferença, ou seja, \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Assim, se você precisa calcular, por exemplo, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , então inicialmente você deve encontrar os valores \(\sqrt(25)\) e \(\sqrt (49)\ ) e, em seguida, some-os. Consequentemente, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Se os valores \(\sqrt a\) ou \(\sqrt b\) não puderem ser encontrados ao adicionar \(\sqrt a+\sqrt b\), tal expressão não será mais convertida e permanecerá como está. Por exemplo, na soma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) podemos encontrar \(\sqrt(49)\) - isso é \(7\) , mas \(\sqrt 2\) não pode ser convertido de alguma forma, é por isso que \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Além disso, esta expressão, infelizmente, não pode ser simplificada de forma alguma.\(\bullet\) O produto/quociente de raízes quadradas é igual à raiz quadrada do produto/quociente, ou seja, \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (desde que ambas as partes das igualdades façam sentido)
Exemplo: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Usando essas propriedades, é conveniente encontrar as raízes quadradas de grandes números fatorando-os.
Considere um exemplo. Localize \(\sqrt(44100)\) . Desde \(44100:100=441\) , então \(44100=100\cdot 441\) . De acordo com o critério de divisibilidade, o número \(441\) é divisível por \(9\) (já que a soma de seus dígitos é 9 e é divisível por 9), portanto, \(441:9=49\) , isto é, \(441=9\ cdot 49\) .
Assim, obtivemos: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Vejamos outro exemplo: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot\sqrt4\cdot\sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Vamos mostrar como inserir números sob o sinal da raiz quadrada usando o exemplo da expressão \(5\sqrt2\) (abreviação da expressão \(5\cdot \sqrt2\) ). Como \(5=\sqrt(25)\) , então \
Observe também que, por exemplo,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Por que é que? Vamos explicar com o exemplo 1). Como você já entendeu, não podemos de alguma forma converter o número \(\sqrt2\) . Imagine que \(\sqrt2\) seja algum número \(a\) . Assim, a expressão \(\sqrt2+3\sqrt2\) nada mais é do que \(a+3a\) (um número \(a\) mais três dos mesmos números \(a\) ). E sabemos que isso é igual a quatro desses números \(a\) , ou seja, \(4\sqrt2\) .
Fato 4.
\(\bullet\) Costuma-se dizer “não é possível extrair a raiz” quando não é possível se livrar do sinal \(\sqrt() \ \) da raiz (radical) ao encontrar o valor de algum número. Por exemplo, você pode enraizar o número \(16\) porque \(16=4^2\) , então \(\sqrt(16)=4\) . Mas é impossível extrair a raiz do número \(3\) , ou seja, encontrar \(\sqrt3\) , porque não existe tal número que ao quadrado dará \(3\) .
Esses números (ou expressões com esses números) são irracionais. Por exemplo, números \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. são irracionais.
Também irracionais são os números \(\pi\) (o número “pi”, aproximadamente igual a \(3,14\) ), \(e\) (esse número é chamado de número de Euler, aproximadamente igual a \(2 ,7\)) etc.
\(\bullet\) Observe que qualquer número será racional ou irracional. E juntos todos os números racionais e todos os irracionais formam um conjunto chamado conjunto de números reais (reais). Este conjunto é indicado pela letra \(\mathbb(R)\) .
Isso significa que todos os números que conhecemos atualmente são chamados de números reais.
Fato 5.
\(\bullet\) O módulo de um número real \(a\) é um número não negativo \(|a|\) igual à distância do ponto \(a\) a \(0\) no real linha. Por exemplo, \(|3|\) e \(|-3|\) são iguais a 3, pois as distâncias dos pontos \(3\) e \(-3\) a \(0\) são as igual e igual a \(3 \) .
\(\bullet\) Se \(a\) for um número não negativo, então \(|a|=a\) .
Exemplo: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Se \(a\) for um número negativo, então \(|a|=-a\) .
Exemplo: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Eles dizem que para números negativos, o módulo “come” o menos e números positivos, assim como o número \(0\) , o módulo permanece inalterado.
MAS esta regra só se aplica a números. Se você tiver um \(x\) desconhecido (ou algum outro desconhecido) sob o sinal do módulo, por exemplo, \(|x|\) , sobre o qual não sabemos se é positivo, igual a zero ou negativo, então se livrar do módulo que não podemos. Neste caso, esta expressão permanece assim: \(|x|\) . \(\bullet\) As seguintes fórmulas são válidas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( fornecido ) a\geqslant 0\] O seguinte erro é frequentemente cometido: eles dizem que \(\sqrt(a^2)\) e \((\sqrt a)^2\) são a mesma coisa. Isso é verdade somente quando \(a\) é um número positivo ou zero. Mas se \(a\) for um número negativo, isso não é verdade. Basta considerar tal exemplo. Vamos pegar o número \(-1\) em vez de \(a\). Então \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , mas a expressão \((\sqrt (-1))^2\) não existe (porque é impossível sob o sinal da raiz coloque números negativos!).
Portanto, chamamos sua atenção para o fato de que \(\sqrt(a^2)\) não é igual a \((\sqrt a)^2\) ! Exemplo 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), Porque \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Como \(\sqrt(a^2)=|a|\) , então \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (a expressão \(2n\) denota um número par)
Ou seja, ao extrair a raiz de um número que está em algum grau, esse grau é reduzido pela metade.
Exemplo:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (observe que, se o módulo não estiver definido, a raiz do número será igual a \(-25 \) ; mas lembramos , que, por definição da raiz, isso não pode ser: ao extrair a raiz, devemos sempre obter um número positivo ou zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (já que qualquer número elevado a uma potência par é não negativo)
Fato 6.
Como comparar duas raízes quadradas?
\(\bullet\) Verdadeiro para raízes quadradas: if \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) compare \(\sqrt(50)\) e \(6\sqrt2\) . Primeiro, transformamos a segunda expressão em \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Assim, uma vez que \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Entre quais inteiros está \(\sqrt(50)\) ?
Como \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) e \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Compare \(\sqrt 2-1\) e \(0,5\) . Suponha que \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(alinhado) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((adicione um a ambos os lados))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((quadrado ambas as partes))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vemos que obtivemos uma desigualdade incorreta. Portanto, nossa suposição estava errada e \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Observe que adicionar um certo número a ambos os lados da desigualdade não afeta seu sinal. Multiplicar/dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo também não altera seu sinal, mas multiplicar/dividir por um número negativo inverte o sinal da desigualdade!
Ambos os lados de uma equação/desigualdade podem ser elevados ao quadrado SOMENTE SE ambos os lados forem não negativos. Por exemplo, na desigualdade do exemplo anterior, você pode elevar ambos os lados ao quadrado, na desigualdade \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Observe que \[\begin(alinhado) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Saber o significado aproximado desses números ajudará você na comparação de números! \(\bullet\) Para extrair a raiz (se for extraída) de algum número grande que não está na tabela de quadrados, você deve primeiro determinar entre quais “centenas” está, depois entre quais “dezenas”, e, em seguida, determine o último dígito desse número. Vamos mostrar como funciona com um exemplo.
Pegue \(\sqrt(28224)\) . Sabemos que \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) e assim por diante. Observe que \(28224\) está entre \(10\,000\) e \(40\,000\) . Portanto, \(\sqrt(28224)\) está entre \(100\) e \(200\) .
Agora vamos determinar entre quais “dezenas” nosso número está (isto é, por exemplo, entre \(120\) e \(130\) ). Também sabemos pela tabela de quadrados que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., então \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\ ). Então vemos que \(28224\) está entre \(160^2\) e \(170^2\) . Portanto, o número \(\sqrt(28224)\) está entre \(160\) e \(170\) .
Vamos tentar determinar o último dígito. Vamos lembrar quais números de um dígito ao quadrado dão no final \ (4 \) ? Estes são \(2^2\) e \(8^2\) . Portanto, \(\sqrt(28224)\) terminará em 2 ou 8. Vamos verificar isso. Encontre \(162^2\) e \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Portanto, \(\sqrt(28224)=168\) . Voilá!
Para resolver adequadamente o exame de matemática, antes de tudo, é necessário estudar o material teórico, que apresenta inúmeros teoremas, fórmulas, algoritmos, etc. À primeira vista, pode parecer que isso é bastante simples. No entanto, encontrar uma fonte em que a teoria para o Exame Estadual Unificado em matemática seja apresentada de forma fácil e compreensível para alunos com qualquer nível de preparação é, de fato, uma tarefa bastante difícil. Os livros escolares nem sempre podem ser mantidos à mão. E encontrar as fórmulas básicas para o exame de matemática pode ser difícil mesmo na Internet.
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