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Definição de logaritmo A maneira mais fácil de escrever matematicamente é:

A definição do logaritmo pode ser escrita de outra forma:

Preste atenção às restrições que são impostas na base do logaritmo ( uma) e na expressão sublogarítmica ( x). No futuro, essas condições se transformarão em restrições importantes para a ODZ, que precisarão ser levadas em consideração ao resolver qualquer equação com logaritmos. Então, agora, além das condições padrão que levam a restrições na ODZ (positividade de expressões sob raízes de graus pares, não igualdade do denominador a zero, etc.), as seguintes condições também devem ser levadas em consideração:

• A expressão sublogarítmica só pode ser positiva.
• A base do logaritmo só pode ser positiva e não igual a um..

Observe que nem a base do logaritmo nem a expressão sublogarítmica podem ser iguais a zero. Observe também que o valor do próprio logaritmo pode assumir todos os valores possíveis, ou seja, logaritmo pode ser positivo, negativo ou zero. Os logaritmos têm muitas propriedades diferentes que decorrem das propriedades das potências e da definição de um logaritmo. Vamos listá-los. Então, as propriedades dos logaritmos:

O logaritmo do produto:

Logaritmo de fração:

Tirando o grau do sinal do logaritmo:

Preste especial atenção às últimas propriedades listadas em que o sinal do módulo aparece após o pronunciamento do grau. Não se esqueça que ao tomar um grau par além do sinal do logaritmo, abaixo do logaritmo ou na base, deve-se deixar o sinal do módulo.

Outras propriedades úteis dos logaritmos:

A última propriedade é muito usada em equações logarítmicas complexas e desigualdades. Deve ser lembrado como todos os outros, embora muitas vezes seja esquecido.

As equações logarítmicas mais simples são:

E sua solução é dada por uma fórmula que segue diretamente da definição do logaritmo:

Outras equações logarítmicas mais simples são aquelas que, usando transformações algébricas e as fórmulas e propriedades dos logaritmos acima, podem ser reduzidas à forma:

A solução de tais equações, levando em consideração a ODZ, é a seguinte:

Alguns outros equações logarítmicas com uma variável na base pode ser resumido como:

Em tais equações logarítmicas, a forma geral da solução também segue diretamente da definição do logaritmo. Somente neste caso, existem restrições adicionais para DHS que precisam ser levadas em consideração. Como resultado, para resolver uma equação logarítmica com uma variável na base, você precisa resolver o seguinte sistema:

Ao resolver equações logarítmicas mais complexas que não podem ser reduzidas a uma das equações acima, também é usado ativamente método de mudança de variável. Como de costume, ao aplicar este método, deve-se lembrar que após a introdução da substituição, a equação deve ser simplificada e não conter mais a antiga incógnita. Você também precisa se lembrar de realizar a substituição reversa de variáveis.

Às vezes, ao resolver equações logarítmicas, também é preciso usar método gráfico. Este método consiste em construir com a maior precisão possível no mesmo plano de coordenadas os gráficos das funções que estão nos lados esquerdo e direito da equação, e então encontrar as coordenadas de seus pontos de interseção de acordo com o desenho. As raízes assim obtidas devem ser verificadas por substituição na equação original.

Ao resolver equações logarítmicas, muitas vezes também é útil método de agrupamento. Ao usar esse método, o principal a lembrar é que: para que o produto de vários fatores seja igual a zero, é necessário que pelo menos um deles seja igual a zero, e o resto existiu. Quando os fatores são logaritmos ou colchetes com logaritmos, e não apenas colchetes com variáveis ​​como nas equações racionais, então muitos erros podem ocorrer. Uma vez que os logaritmos têm muitas restrições na área onde existem.

Ao decidir sistemas de equações logarítmicas na maioria das vezes você tem que usar o método de substituição ou o método de substituição de variável. Se houver tal possibilidade, então, ao resolver sistemas de equações logarítmicas, deve-se esforçar para garantir que cada uma das equações do sistema seja individualmente reduzida a tal forma na qual seja possível fazer a transição de uma equação logarítmica para um racional.

As desigualdades logarítmicas mais simples são resolvidas da mesma maneira que equações semelhantes. Primeiro, com a ajuda de transformações algébricas e as propriedades dos logaritmos, deve-se tentar trazê-los para uma forma em que os logaritmos dos lados esquerdo e direito da desigualdade tenham as mesmas bases, ou seja, obtenha uma inequação da forma:

Depois disso, você precisa ir para uma desigualdade racional, já que essa transição deve ser realizada da seguinte forma: se a base do logaritmo for maior que um, o sinal da desigualdade não precisa ser alterado e se a base do logaritmo logaritmo for menor que um, então você precisa mudar o sinal de desigualdade para o oposto (isso significa mudar "menos" para "maior" ou vice-versa). Ao mesmo tempo, os sinais de menos para mais, ignorando as regras previamente estudadas, não precisam ser alterados em nenhum lugar. Vamos escrever matematicamente o que obtemos como resultado de tal transição. Se a base for maior que um, teremos:

Se a base do logaritmo for menor que um, mude o sinal de desigualdade e obtenha o seguinte sistema:

Como podemos ver, ao resolver desigualdades logarítmicas, como de costume, a ODZ também é levada em consideração (esta é a terceira condição nos sistemas acima). Além disso, neste caso é possível não exigir a positividade de ambas as expressões sublogarítmicas, mas é suficiente exigir a positividade apenas da menor delas.

Ao decidir desigualdades logarítmicas com uma variável na base logaritmo, é necessário considerar independentemente ambas as opções (quando a base é menor que um e mais de um) e combinar as soluções desses casos no agregado. Ao mesmo tempo, não se deve esquecer o ODZ, ou seja, sobre o fato de que tanto a base quanto todas as expressões sublogarítmicas devem ser positivas. Assim, ao resolver uma inequação da forma:

Obtemos o seguinte conjunto de sistemas:

Desigualdades logarítmicas mais complexas também podem ser resolvidas usando uma mudança de variáveis. Algumas outras desigualdades logarítmicas (assim como equações logarítmicas) requerem o procedimento de levar o logaritmo de ambas as partes da desigualdade ou equação para a mesma base para resolver. Então, ao realizar tal procedimento com desigualdades logarítmicas, há uma sutileza. Observe que ao obter um logaritmo com base maior que um, o sinal da desigualdade não muda e, se a base for menor que um, o sinal da desigualdade é invertido.

Se a desigualdade logarítmica não pode ser reduzida a uma racional ou resolvida por substituição, então neste caso deve-se aplicar método de intervalo generalizado, que é o seguinte:

• Determinar a ODZ;
• Transforme a desigualdade para que haja zero no lado direito (no lado esquerdo, se possível, leve a um denominador comum, fatorize, etc.);
• Encontre todas as raízes do numerador e do denominador e coloque-as na reta numérica, e se a desigualdade não for estrita, pinte as raízes do numerador, mas em qualquer caso, deixe as raízes do denominador como pontos;
• Encontre o sinal da expressão inteira em cada um dos intervalos, substituindo um número do intervalo dado na desigualdade transformada. Ao mesmo tempo, não é mais possível alternar os sinais de forma alguma passando por pontos no eixo. É necessário determinar o sinal da expressão em cada intervalo substituindo o valor do intervalo nessa expressão e assim por diante para cada intervalo. Não há outra maneira (esta é, em geral, a diferença entre o método generalizado dos intervalos e o usual);
• Encontre a interseção da ODZ e os intervalos que satisfazem a desigualdade, sem perder pontos individuais que satisfazem a desigualdade (raízes do numerador em desigualdades não estritas), e não se esqueça de excluir todas as raízes do denominador em todas as desigualdades da resposta.

• De volta
• Avançar

Como se preparar com sucesso para o CT em Física e Matemática?

Para se preparar com sucesso para o CT em Física e Matemática, entre outras coisas, três condições críticas devem ser atendidas:

1. Estude todos os tópicos e complete todos os testes e tarefas fornecidos nos materiais de estudo neste site. Para fazer isso, você não precisa de nada, a saber: dedicar três a quatro horas por dia para se preparar para o CT em física e matemática, estudar teoria e resolver problemas. O fato é que o CT é um exame onde não basta apenas saber física ou matemática, é preciso também ser capaz de resolver de forma rápida e sem falhas um grande número de tarefas sobre diferentes tópicos e diferentes complexidades. Este último só pode ser aprendido resolvendo milhares de problemas.
2. Aprenda todas as fórmulas e leis da física e fórmulas e métodos da matemática. Na verdade, também é muito simples fazer isso, existem apenas cerca de 200 fórmulas necessárias em física e até um pouco menos em matemática. Em cada uma dessas disciplinas existem cerca de uma dezena de métodos padronizados para resolução de problemas de nível básico de complexidade, que também podem ser aprendidos e, assim, de forma totalmente automática e sem dificuldade, resolver a maior parte da transformação digital no momento certo. Depois disso, você só terá que pensar nas tarefas mais difíceis.
3. Participe de todas as três etapas do teste de ensaio em física e matemática. Cada RT pode ser visitado duas vezes para resolver ambas as opções. Novamente, no CT, além da capacidade de resolver problemas de forma rápida e eficiente, e o conhecimento de fórmulas e métodos, também é necessário planejar adequadamente o tempo, distribuir forças e, o mais importante, preencher corretamente o formulário de resposta , sem confundir os números de respostas e tarefas, ou seu próprio nome. Além disso, durante a TR, é importante se acostumar com o estilo de fazer perguntas nas tarefas, o que pode parecer muito incomum para uma pessoa despreparada na DT.

A implementação bem-sucedida, diligente e responsável desses três pontos permitirá que você mostre um excelente resultado no CT, o máximo do que você é capaz.

Encontrou um erro?

Se você, como parece, encontrou um erro nos materiais de treinamento, escreva sobre isso pelo correio. Você também pode escrever sobre o erro na rede social (). Na carta, indique o assunto (física ou matemática), o nome ou número do tópico ou teste, o número da tarefa ou o local no texto (página) onde, na sua opinião, há um erro. Descreva também qual é o suposto erro. Sua carta não passará despercebida, o erro será corrigido ou você será explicado por que não é um erro.

Você acha que ainda há tempo antes do exame, e você terá tempo para se preparar? Talvez seja assim. Mas, em qualquer caso, quanto mais cedo o aluno começar a treinar, mais sucesso ele passará nos exames. Hoje decidimos dedicar um artigo às desigualdades logarítmicas. Esta é uma das tarefas, o que significa uma oportunidade de obter um ponto extra.

Você já sabe o que é um logaritmo (log)? Nós realmente esperamos que sim. Mas mesmo que você não tenha uma resposta para esta pergunta, não é um problema. É muito fácil entender o que é um logaritmo.

Por que exatamente 4? Você precisa elevar o número 3 a tal potência para obter 81. Quando você entender o princípio, poderá prosseguir para cálculos mais complexos.

Você passou pelas desigualdades alguns anos atrás. E desde então, você os encontra constantemente em matemática. Se você estiver tendo problemas para resolver as desigualdades, confira a seção apropriada.
Agora, quando nos familiarizarmos com os conceitos separadamente, passaremos à sua consideração em geral.

A desigualdade logarítmica mais simples.

As desigualdades logarítmicas mais simples não se limitam a este exemplo, existem mais três, apenas com sinais diferentes. Por que isso é necessário? Para entender melhor como resolver a desigualdade com logaritmos. Agora damos um exemplo mais aplicável, ainda bem simples, deixamos as desigualdades logarítmicas complexas para mais tarde.

Como resolvê-lo? Tudo começa com ODZ. Você deve saber mais sobre isso se quiser sempre resolver facilmente qualquer desigualdade.

O que é ODZ? DPV para desigualdades logarítmicas

A abreviatura representa o intervalo de valores válidos. Nas tarefas para o exame, essa redação geralmente aparece. DPV é útil para você não apenas no caso de desigualdades logarítmicas.

Observe novamente o exemplo acima. Vamos considerar a ODZ com base nela, para que você entenda o princípio, e a solução de desigualdades logarítmicas não levanta questões. Segue da definição do logaritmo que 2x+4 deve ser maior que zero. No nosso caso, isso significa o seguinte.

Este número deve ser positivo por definição. Resolva a desigualdade apresentada acima. Isso pode ser feito até oralmente, aqui fica claro que X não pode ser menor que 2. A solução da inequação será a definição do intervalo de valores aceitáveis.
Agora vamos resolver a desigualdade logarítmica mais simples.

Descartamos os próprios logaritmos de ambas as partes da desigualdade. O que nos resta como resultado? simples desigualdade.

É fácil de resolver. X deve ser maior que -0,5. Agora combinamos os dois valores obtidos no sistema. Nesse caminho,

Esta será a região de valores admissíveis para a desigualdade logarítmica considerada.

Por que o ODZ é necessário? Esta é uma oportunidade para eliminar respostas incorretas e impossíveis. Se a resposta não estiver dentro da faixa de valores aceitáveis, então a resposta simplesmente não faz sentido. Vale a pena lembrar por um longo tempo, pois no exame muitas vezes é necessário procurar ODZ, e não se trata apenas de desigualdades logarítmicas.

Algoritmo para resolver a desigualdade logarítmica

A solução consiste em várias etapas. Primeiro, é necessário encontrar a faixa de valores aceitáveis. Haverá dois valores na ODZ, consideramos isso acima. O próximo passo é resolver a própria desigualdade. Os métodos de solução são os seguintes:

• método de substituição do multiplicador;
• decomposição;
• método de racionalização.

Dependendo da situação, um dos métodos acima deve ser usado. Vamos direto à solução. Vamos revelar o método mais popular que é adequado para resolver tarefas USE em quase todos os casos. Em seguida, consideraremos o método de decomposição. Pode ajudar se você se deparar com uma desigualdade particularmente "complicada". Então, o algoritmo para resolver a desigualdade logarítmica.

Exemplos de soluções :

Não é em vão que tomamos precisamente tal desigualdade! Preste atenção na base. Lembre-se: se for maior que um, o sinal permanece o mesmo ao encontrar o intervalo de valores válidos; caso contrário, o sinal de desigualdade deve ser alterado.

Como resultado, obtemos a desigualdade:

Agora trazemos o lado esquerdo para a forma da equação igual a zero. Em vez do sinal de “menor que”, colocamos “igual”, resolvemos a equação. Assim, encontraremos a ODZ. Esperamos que você não tenha problemas para resolver uma equação tão simples. As respostas são -4 e -2. Isso não é tudo. Você precisa exibir esses pontos no gráfico, coloque "+" e "-". O que precisa ser feito para isso? Substitua os números dos intervalos na expressão. Onde os valores são positivos, colocamos "+" lá.

Responda: x não pode ser maior que -4 e menor que -2.

Encontramos o intervalo de valores válidos apenas para o lado esquerdo, agora precisamos encontrar o intervalo de valores válidos para o lado direito. Isso não é nada mais fácil. Resposta: -2. Cruzamos ambas as áreas recebidas.

E só agora começamos a resolver a própria desigualdade.

Vamos simplificar o máximo possível para facilitar a decisão.

Usamos novamente o método intervalar na solução. Vamos pular os cálculos, com ele tudo já está claro do exemplo anterior. Responda.

Mas este método é adequado se a desigualdade logarítmica tiver as mesmas bases.

Resolver equações logarítmicas e desigualdades com bases diferentes envolve a redução inicial a uma base. Em seguida, use o método acima. Mas há também um caso mais complicado. Considere um dos tipos mais complexos de desigualdades logarítmicas.

Desigualdades logarítmicas com base variável

Como resolver inequações com tais características? Sim, e isso pode ser encontrado no exame. Resolver as desigualdades da seguinte maneira também terá um efeito benéfico em seu processo educacional. Vejamos a questão em detalhes. Vamos deixar a teoria de lado e ir direto para a prática. Para resolver desigualdades logarítmicas, basta familiarizar-se uma vez com o exemplo.

Para resolver a desigualdade logarítmica da forma apresentada, é necessário reduzir o lado direito ao logaritmo de mesma base. O princípio se assemelha a transições equivalentes. Como resultado, a desigualdade ficará assim.

Na verdade, resta criar um sistema de desigualdades sem logaritmos. Usando o método de racionalização, passamos para um sistema equivalente de desigualdades. Você entenderá a própria regra quando substituir os valores apropriados e acompanhar suas alterações. O sistema terá as seguintes desigualdades.

Usando o método de racionalização ao resolver desigualdades, você precisa se lembrar do seguinte: você precisa subtrair um da base, x, por definição do logaritmo, é subtraído de ambas as partes da desigualdade (a direita da esquerda), os dois expressões são multiplicadas e definidas sob o sinal original em relação a zero.

A solução adicional é realizada pelo método de intervalo, tudo é simples aqui. É importante que você entenda as diferenças nos métodos de solução, então tudo começará a funcionar facilmente.

Existem muitas nuances nas desigualdades logarítmicas. Os mais simples deles são fáceis de resolver. Como fazer para resolver cada um deles sem problemas? Você já recebeu todas as respostas neste artigo. Agora você tem uma longa prática pela frente. Pratique constantemente a resolução de vários problemas no exame e você poderá obter a pontuação mais alta. Boa sorte em seu trabalho difícil!

Com eles estão dentro de logaritmos.

Exemplos:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Como resolver inequações logarítmicas:

Qualquer desigualdade logarítmica deve ser reduzida para a forma \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (símbolo \(˅\) significa qualquer um de ). Esta forma permite nos livrar de logaritmos e suas bases passando para a desigualdade de expressões sob logaritmos, ou seja, para a forma \(f(x) ˅ g(x)\).

Mas ao fazer essa transição, há uma sutileza muito importante:
\(-\) se - um número e for maior que 1 - o sinal de desigualdade permanece o mesmo durante a transição,
\(-\) se a base for um número maior que 0, mas menor que 1 (entre zero e um), então o sinal de desigualdade deve ser invertido, ou seja,

Exemplos:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Solução: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Resposta: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ um))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Solução: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Resposta: \((2;5]\)

Muito importante! Em qualquer desigualdade, a transição da forma \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) para comparar expressões sob logaritmos só pode ser feita se:

Exemplo . Resolva a desigualdade: \(\log\)\(≤-1\)

Solução:

\(\registro\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Vamos escrever a ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Abrimos os colchetes, damos .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Multiplicamos a desigualdade por \(-1\), lembrando de inverter o sinal de comparação.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Vamos construir uma reta numérica e marcar os pontos \(\frac(7)(3)\) e \(\frac(3)(2)\) nela. Observe que o ponto do denominador é perfurado, apesar de a desigualdade não ser estrita. O fato é que este ponto não será uma solução, pois ao substituir em uma desigualdade, nos levará à divisão por zero.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Agora plotamos a ODZ no mesmo eixo numérico e anotamos em resposta o intervalo que cai na ODZ.
	Anote a resposta final.

Responda: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Exemplo . Resolva a desigualdade: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Solução:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Vamos escrever a ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Vamos à decisão.
Solução: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Diante de nós está uma típica desigualdade logarítmica quadrada. Nós fazemos.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Expanda o lado esquerdo da desigualdade em .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Agora você precisa retornar à variável original - x. Para isso, passamos para , que tem a mesma solução, e fazemos a substituição inversa.
\(\left[ \begin(reunido) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transforme \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(reunido) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Vamos passar a comparar argumentos. As bases dos logaritmos são maiores que \(1\), então o sinal das desigualdades não muda.
\(\left[ \begin(reunido) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Vamos combinar a solução da desigualdade e a ODZ em uma figura.
	Vamos anotar a resposta.

Responda: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)