2. Modificações do método de Gauss

Método de Gauss com a escolha do elemento principal. A principal limitação do método gaussiano é a suposição de que todos os elementos nos quais a divisão é feita a cada passo do movimento para frente não são iguais a zero. Esses elementos são chamados de elementos principais e estão localizados na diagonal principal da matriz A.

Se em algum passo da frente mover o elemento principal = 0, então a solução adicional do sistema é impossível. Se o elemento principal tiver um valor pequeno próximo a zero, é possível um forte aumento no erro devido a um aumento acentuado no valor absoluto dos coeficientes obtidos como resultado da divisão. Em tais situações, o método de Gauss torna-se instável.

O método de Gauss com a escolha do elemento principal permite excluir a ocorrência de tais casos.

A ideia por trás deste método é a seguinte. Em algum k-ésimo passo do movimento para frente, não é a próxima variável x k que é excluída das equações, mas tal variável, cujo coeficiente é o maior em valor absoluto. Isso garante a ausência de divisão por zero e a estabilidade do método.

Se no k-ésimo passo ¹ for escolhido como elemento principal, as linhas com os números kep e as colunas com os números keq devem ser trocadas na matriz A¢.

A permutação das linhas não afeta a solução, pois corresponde à permutação das equações do sistema, mas a permutação das colunas significa uma mudança na numeração das variáveis. Portanto, as informações sobre todas as colunas permutadas devem ser preservadas para que após a conclusão do movimento reverso, a numeração original das variáveis ​​possa ser restaurada.

Existem duas modificações mais simples do método de Gauss:

Com a escolha do elemento principal por coluna;

Com a escolha do elemento principal por linha.

No primeiro caso, o maior elemento da k-ésima linha (entre os elementos , i = ) é selecionado como elemento principal. No segundo - o maior elemento de valor absoluto da coluna k-th (entre os elementos , i = ). A primeira abordagem é a mais difundida, pois a numeração das variáveis ​​não muda aqui.

Deve-se notar que as modificações indicadas dizem respeito apenas ao curso direto do método gaussiano. O movimento inverso é realizado sem alterações, mas após a obtenção da solução, pode ser necessário restaurar a numeração original das variáveis.

decomposição LU. Nos softwares de computador modernos, o método gaussiano é implementado usando a decomposição LU, que é entendida como a representação da matriz de coeficientes A como o produto A = LU de duas matrizes L e U, onde L é a matriz triangular inferior, U é a matriz triangular superior

Se a decomposição LU for obtida, então a solução do sistema de equações original (2) é reduzida à solução sucessiva dos dois sistemas de equações a seguir com matrizes de coeficiente triangular

equação algébrica linear numérica

onde Y = - vetor de variáveis ​​auxiliares.

Esta abordagem permite resolver repetidamente sistemas de equações lineares com diferentes lados direitos B. Neste caso, a parte mais demorada (decomposição LU da matriz A) é realizada apenas uma vez. Este procedimento corresponde ao método gaussiano direto e tem uma estimativa de insumo de mão de obra de O(n 3). A solução adicional dos sistemas de equações (6) e (7) pode ser realizada repetidamente (para diferentes B), e a solução de cada um deles corresponde à execução inversa do método de Gauss e tem uma estimativa da complexidade computacional O (n 2).

Para obter uma decomposição de LU, você pode usar o algoritmo a seguir.

1. Para o sistema original (1), execute o método direto de Gauss e obtenha um sistema de equações triangulares (5).

2. Determine os elementos da matriz U de acordo com a regra

u ij = C ij (i = ; j = )

3. Calcule os elementos da matriz L de acordo com as regras

As fórmulas de cálculo para resolver o sistema (6) são as seguintes:

y 1 \u003d b 1 / l 11;

Fórmulas de cálculo para resolver o sistema (7)

(i = n - 1, n - 2, ..., 1).

Ao mesmo tempo, encontrar a matriz inversa é um processo bastante trabalhoso, e sua programação dificilmente pode ser chamada de tarefa elementar. Portanto, na prática, os métodos numéricos para resolver sistemas de equações lineares são mais usados. Os métodos numéricos para resolver sistemas de equações lineares incluem: o método de Gauss, o método de Cramer, métodos iterativos. No método de Gauss, por exemplo, trabalha-se em...

35437 x4=0,58554 5 x1=1,3179137 x2=-1,59467 x3=0,35371 x4=0,58462 6 x1=1,3181515 x2=-1,59506 x3=0,35455 x4=0,58557 método Suponha que, em uma vizinhança de um ponto xi, a função F (x) é diferenciável um número suficiente de vezes. ...

Em Turbo Pascal 7.0 para resolver sistemas de equações algébricas lineares usando o método de iteração simples. 1.2 Formulação matemática do problema Seja A uma matriz não singular e precisamos resolver um sistema onde os elementos diagonais da matriz A são diferentes de zero. 1.3 Visão geral dos métodos numéricos existentes para resolver o problema Método de Gauss No método de Gauss, a matriz SLAE usando equivalentes ...

Números). Além disso, de acordo com as fórmulas (2), xn-1, xn-2,…, x1 são encontrados sequencialmente para i=n-1, n-2,...,1, respectivamente. Assim, a solução de equações da forma (1) é descrita por um método chamado método de varredura, que é reduzido a cálculos usando três fórmulas simples: encontrar os chamados coeficientes de varredura δi, λi usando fórmulas (3) para i= 1,2,…,n (varredura direta) e então desconhecido xi por...

(SLAE), consistindo em equações com incógnitas:

Supõe-se que existe uma solução única para o sistema, ou seja, .

Este artigo irá considerar as causas do erro que ocorre durante a solução do sistema utilizando o método de Gauss, formas de identificar e eliminar (reduzir) este erro.

Descrição do método

O processo de resolver um sistema de equações lineares

de acordo com o método de Gauss consiste em 2 etapas:

1. Assumimos que . Então dividimos a primeira equação do sistema pelo coeficiente, como resultado obtemos a equação. Então, de cada uma das equações restantes, a primeira é subtraída, multiplicada pelo coeficiente apropriado. Como resultado, o sistema é transformado na forma: 2. Supondo que , dividimos a segunda equação pelo coeficiente e excluímos a incógnita de todas as equações subsequentes, etc. 3. Obtemos um sistema de equações com uma matriz triangular:

• Determinação Direta Regressiva de Desconhecidos

1. A partir da ª equação do sistema, determinamos 2. A partir de th - determinamos, etc.

Análise do Método

Este método pertence à classe de métodos diretos para resolver um sistema de equações, o que significa que uma solução exata pode ser obtida em um número finito de passos, desde que os dados de entrada (a matriz e o lado direito da equação - ) sejam especificado exatamente e o cálculo é executado sem arredondamento. Para obter uma solução, são necessárias multiplicações e divisões, ou seja, a ordem das operações.

As condições sob as quais o método produz uma solução exata não são viáveis ​​na prática - tanto os erros de dados de entrada quanto os erros de arredondamento são inevitáveis. Então surge a pergunta: quão precisa uma solução pode ser obtida usando o método de Gauss, quão correto é o método? Vamos determinar a estabilidade da solução em relação aos parâmetros de entrada. Juntamente com o sistema original, considere o sistema perturbado:

Deixe que alguma norma seja introduzida. - é chamado de número de condição da matriz.

3 casos são possíveis:

O número de condição da matriz é sempre . Se for grande () , diz-se que a matriz está mal condicionada. Neste caso, pequenas perturbações do lado direito do sistema, causadas por imprecisões na configuração dos dados iniciais, ou causadas por erros de cálculo, afetam significativamente a solução do sistema. Grosso modo, se o erro do lado direito for , então o erro da solução será .

Vamos ilustrar os resultados obtidos no seguinte exemplo numérico: Dado um sistema

Ela tem uma solução.

Considere agora o sistema perturbado:

A solução para tal sistema é o vetor .

Com uma perturbação muito pequena do lado direito, obtivemos uma perturbação desproporcionalmente grande da solução. Essa "falta de confiabilidade" da solução pode ser explicada pelo fato de a matriz ser quase degenerada: as linhas correspondentes às duas equações quase coincidem, como pode ser visto no gráfico:

Tal resultado poderia ser esperado devido à má condicionalidade da matriz:

O cálculo é bastante complexo, comparável à solução de todo o sistema, portanto, para estimar o erro, são utilizados métodos mais grosseiros, mas de fácil implementação.

Métodos para estimar erros

1) Cheque a soma: geralmente usado para evitar erros aleatórios no processo de cálculo sem a ajuda de computadores.

Fazemos uma coluna de controle, composta pelos elementos de controle do sistema:

Ao transformar equações, as mesmas operações são realizadas nos elementos de controle e nos membros livres das equações. Como resultado, o elemento de controle de cada nova equação deve ser igual à soma dos coeficientes desta equação. Uma grande discrepância entre eles indica erros nos cálculos ou a instabilidade do algoritmo de cálculo em relação ao erro computacional.

2) Erro relativo da solução conhecida permite sem custos adicionais significativos obter um julgamento sobre o erro da solução.

Um determinado vetor é dado com componentes tendo, se possível, a mesma ordem e sinal que os componentes da solução desejada. O vetor é calculado e, juntamente com o sistema de equações original, o sistema é resolvido.

Sejam e sejam soluções realmente obtidas desses sistemas. O julgamento sobre o erro da solução desejada pode ser obtido com base na hipótese: os erros relativos na resolução pelo método de eliminação de sistemas com a mesma matriz e lados direitos diferentes, que são, respectivamente, os valores e , diferem não por um número muito grande de vezes.

3) Redimensionamento - uma técnica usada para ter uma ideia do valor real do erro que ocorre devido ao arredondamento nos cálculos.

Junto com o sistema original, o sistema é resolvido pelo mesmo método

, onde e são números

Se não houvesse erro de arredondamento, então a igualdade valeria para as soluções dos sistemas original e escalado: . Portanto, para e , que não são potências de dois, a comparação dos vetores e dá uma ideia da magnitude do erro computacional

Melhoria da eliminação gaussiana

As modificações do método de Gauss consideradas abaixo permitem reduzir o erro do resultado.

Selecionando o elemento principal

O principal aumento do erro no método ocorre durante o movimento para frente, quando a primeira linha é multiplicada pelos coeficientes. Se os coeficientes forem 1%20" alt=" >1">, então os erros obtidos nas etapas anteriores são acumulado. Gaussiana com Escolha do Elemento Principal A cada passo, a escolha do elemento máximo por coluna é adicionada ao esquema usual da seguinte forma:

Seja obtido o seguinte sistema de equações ao eliminar as incógnitas:

, .

Encontre tal que e troque as equações -th e -th.

Tal transformação em muitos casos reduz significativamente a sensibilidade da solução a erros de arredondamento nos cálculos.

Melhoria do resultado iterativo

Se houver suspeita de que a solução obtida está fortemente distorcida, o resultado pode ser melhorado da seguinte forma. A quantidade é chamada de resíduo. O erro satisfaz o sistema de equações

.

Resolvendo este sistema, obtemos uma aproximação e definimos

.

Se a precisão dessa aproximação for insatisfatória, repetimos essa operação.

O processo pode ser continuado até que todos os componentes sejam pequenos o suficiente. Nesse caso, os cálculos não podem ser interrompidos apenas porque todos os componentes do vetor residual se tornaram suficientemente pequenos: isso pode ser resultado de uma má condicionalidade da matriz de coeficientes.

Exemplo numérico

Considere, por exemplo, uma matriz Vandermonde 7x7 e 2 lados direitos diferentes:

Esses sistemas foram resolvidos de duas maneiras. O tipo de dados é float. Como resultado, obtivemos os seguintes resultados:

Método convencional
1		2
1	2	1	2
0.999991	1	0.999996	1
1.00019	1	7.4774e-005	2.33e-008
0.998404	1	0.999375	1
1.00667	1	0.00263727	1.12e-006
0.985328	1	0.994149	1
1.01588	1	0.00637817	3.27e-006
0.993538	1	0.99739	1
0,045479	2.9826e-006	0,01818	8.8362e-006
0,006497	4.2608e-007	0,0045451	2.209e-006
0,040152	4.344e-005	0,083938	2.8654e-006

Com a escolha do elemento principal por linha
1		2
1	2	1	2
1	1	1	1
1	1	-3.57628e-005	1.836e-007
1.00001	1	1.00031	1
0.999942	1	-0.00133276	7.16e-006
1.00005	1	1.00302	0,99998
1.00009	1	-0.0033505	1.8e-005
0.99991	1	1.00139	0,99999
0,000298	4.3835e-007	0,009439	5.0683e-005
4.2571e-005	6.2622e-008	0,0023542	1.2671e-005
0,010622	9.8016e-007	0,29402	1.4768e-006

Uma das maneiras mais simples de resolver um sistema de equações lineares é um método baseado no cálculo dos determinantes ( Regra de Cramer). Sua vantagem é que permite registrar imediatamente a solução, é especialmente conveniente nos casos em que os coeficientes do sistema não são números, mas algum tipo de parâmetro. Sua desvantagem é a complexidade dos cálculos no caso de um grande número de equações, além disso, a regra de Cramer não é diretamente aplicável a sistemas em que o número de equações não coincide com o número de incógnitas. Nesses casos, geralmente é usado Método de Gauss.

Sistemas de equações lineares que têm o mesmo conjunto de soluções são chamados equivalente. É óbvio que o conjunto de soluções de um sistema linear não mudará se quaisquer equações forem trocadas, ou se uma das equações for multiplicada por algum número diferente de zero, ou se uma equação for adicionada a outra.

Método de Gauss (método de eliminação sucessiva de incógnitas) reside no fato de que, com a ajuda de transformações elementares, o sistema é reduzido a um sistema passo a passo equivalente. Primeiro, com a ajuda da 1ª equação, x 1 de todas as equações subsequentes do sistema. Então, usando a 2ª equação, eliminamos x 2 da 3ª e todas as equações subsequentes. Esse processo, chamado método de Gauss direto, continua até que apenas uma incógnita permaneça no lado esquerdo da última equação xn. Depois disso, é feito reverso gaussiano– resolvendo a última equação, encontramos xn; depois disso, usando esse valor, da penúltima equação calculamos xn-1 etc Último que encontramos x 1 da primeira equação.

É conveniente realizar transformações gaussianas realizando transformações não com as próprias equações, mas com as matrizes de seus coeficientes. Considere a matriz:

chamado sistema de matriz estendida, pois além da matriz principal do sistema, inclui uma coluna de membros livres. O método de Gauss é baseado em trazer a matriz principal do sistema para uma forma triangular (ou forma trapezoidal no caso de sistemas não quadrados) usando transformações elementares de linha (!) da matriz estendida do sistema.

Exemplo 5.1. Resolva o sistema usando o método de Gauss:

Solução. Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e, usando a primeira linha, depois disso, definiremos o restante dos elementos para zero:

obtemos zeros na 2ª, 3ª e 4ª linhas da primeira coluna:

Agora precisamos que todos os elementos na segunda coluna abaixo da 2ª linha sejam iguais a zero. Para fazer isso, você pode multiplicar a segunda linha por -4/7 e adicionar à 3ª linha. No entanto, para não lidar com frações, criaremos uma unidade na 2ª linha da segunda coluna e apenas

Agora, para obter uma matriz triangular, você precisa zerar o elemento da quarta linha da 3ª coluna, para isso você pode multiplicar a terceira linha por 8/54 e somar à quarta. No entanto, para não lidar com frações, trocaremos a 3ª e 4ª linhas e a 3ª e 4ª colunas, e somente depois disso redefiniremos o elemento especificado. Observe que quando as colunas são reorganizadas, as variáveis ​​correspondentes são trocadas, e isso deve ser lembrado; outras transformações elementares com colunas (adição e multiplicação por um número) não podem ser realizadas!

A última matriz simplificada corresponde a um sistema de equações equivalente ao original:

A partir daqui, usando o curso inverso do método de Gauss, encontramos da quarta equação x 3 = -1; do terceiro x 4 = -2, a partir do segundo x 2 = 2 e da primeira equação x 1 = 1. Em forma de matriz, a resposta é escrita como

Consideramos o caso em que o sistema é definido, ou seja, quando há apenas uma solução. Vamos ver o que acontece se o sistema for inconsistente ou indeterminado.

Exemplo 5.2. Explore o sistema usando o método gaussiano:

Solução. Escrevemos e transformamos a matriz aumentada do sistema

Escrevemos um sistema simplificado de equações:

Aqui, na última equação, descobriu-se que 0 = 4, ou seja. contradição. Portanto, o sistema não tem solução, ou seja, ela é incompatível. à

Exemplo 5.3. Explore e resolva o sistema usando o método gaussiano:

Solução. Escrevemos e transformamos a matriz estendida do sistema:

Como resultado das transformações, apenas zeros foram obtidos na última linha. Isso significa que o número de equações diminuiu em um:

Assim, após simplificações, restam duas equações e quatro incógnitas, ou seja, dois "extras" desconhecidos. Deixe "supérfluo", ou, como se costuma dizer, variáveis ​​livres, vai x 3 e x quatro. Então

Assumindo x 3 = 2uma e x 4 = b, Nós temos x 2 = 1–uma e x 1 = 2b–uma; ou em forma de matriz

Uma solução escrita desta forma é chamada em geral, uma vez que, dando os parâmetros uma e b valores diferentes, é possível descrever todas as soluções possíveis do sistema. uma

O método de Gauss, também chamado de método de eliminação sucessiva de incógnitas, consiste no seguinte. Usando transformações elementares, o sistema de equações lineares é levado a tal forma que sua matriz de coeficientes acaba sendo trapezoidal (o mesmo que triangular ou escalonado) ou perto de trapezoidal (o curso direto do método de Gauss, então - apenas um movimento direto). Um exemplo de tal sistema e sua solução é mostrado na figura acima.

Em tal sistema, a última equação contém apenas uma variável e seu valor pode ser encontrado exclusivamente. Então o valor desta variável é substituído na equação anterior ( reverso gaussiano , então - apenas um movimento inverso), a partir do qual a variável anterior é encontrada e assim por diante.

Em um sistema trapezoidal (triangular), como vemos, a terceira equação não contém mais variáveis y e x, e a segunda equação - variável x .

Depois que a matriz do sistema assume uma forma trapezoidal, não é mais difícil resolver a questão da compatibilidade do sistema, determinar o número de soluções e encontrar as próprias soluções.

Vantagens do método:

1. ao resolver sistemas de equações lineares com mais de três equações e incógnitas, o método de Gauss não é tão complicado quanto o método de Cramer, pois são necessários menos cálculos ao resolver o método de Gauss;
2. usando o método de Gauss, você pode resolver sistemas indefinidos de equações lineares, ou seja, tendo uma solução comum (e vamos analisá-los nesta lição), e usando o método de Cramer, você só pode afirmar que o sistema é incerto;
3. você pode resolver sistemas de equações lineares em que o número de incógnitas não é igual ao número de equações (também as analisaremos nesta lição);
4. o método é baseado em métodos elementares (escolares) - o método de substituição de incógnitas e o método de adição de equações, que abordamos no artigo correspondente.

Para que todos sejam imbuídos da simplicidade com que os sistemas trapezoidais (triangulares, em degraus) de equações lineares são resolvidos, apresentamos a solução de tal sistema usando o curso reverso. Uma solução rápida para este sistema foi mostrada na figura no início da lição.

Exemplo 1 Resolva um sistema de equações lineares usando o movimento inverso:

Solução. Neste sistema trapezoidal, a variável zé encontrado exclusivamente a partir da terceira equação. Substituímos seu valor na segunda equação e obtemos o valor da variável y:

Agora sabemos os valores de duas variáveis ​​- z e y. Nós os substituímos na primeira equação e obtemos o valor da variável x:

Das etapas anteriores, escrevemos a solução do sistema de equações:

Para obter tal sistema trapezoidal de equações lineares, que resolvemos de forma muito simples, é necessário aplicar um movimento direto associado a transformações elementares do sistema de equações lineares. Também não é muito difícil.

Transformações elementares de um sistema de equações lineares

Repetindo o método escolar de adição algébrica das equações do sistema, descobrimos que outra equação do sistema pode ser adicionada a uma das equações do sistema, e cada uma das equações pode ser multiplicada por alguns números. Como resultado, obtemos um sistema de equações lineares equivalente ao dado. Nela, uma equação já continha apenas uma variável, substituindo o valor dela em outras equações, chegamos a uma solução. Tal adição é um dos tipos de transformação elementar do sistema. Ao usar o método de Gauss, podemos usar vários tipos de transformações.

A animação acima mostra como o sistema de equações gradualmente se transforma em trapezoidal. Ou seja, aquele que você viu na primeira animação e garantiu que seja fácil encontrar os valores de todas as incógnitas dela. Como realizar tal transformação e, claro, exemplos, serão discutidos mais adiante.

Ao resolver sistemas de equações lineares com qualquer número de equações e incógnitas no sistema de equações e na matriz expandida do sistema posso:

1. linhas de troca (isso foi mencionado no início deste artigo);
2. se como resultado de outras transformações apareceram linhas iguais ou proporcionais, elas podem ser excluídas, exceto uma;
3. delete as linhas "null", onde todos os coeficientes são iguais a zero;
4. multiplique ou divida qualquer string por algum número;
5. adicione a qualquer linha outra linha multiplicada por algum número.

Como resultado das transformações, obtemos um sistema de equações lineares equivalente ao dado.

Algoritmo e exemplos de resolução pelo método de Gauss de um sistema de equações lineares com uma matriz quadrada do sistema

Considere primeiro a solução de sistemas de equações lineares em que o número de incógnitas é igual ao número de equações. A matriz de tal sistema é quadrada, ou seja, o número de linhas nele é igual ao número de colunas.

Exemplo 2 Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss

Resolvendo sistemas de equações lineares usando métodos escolares, multiplicamos termo a termo uma das equações por um determinado número, de modo que os coeficientes da primeira variável nas duas equações fossem números opostos. Ao adicionar equações, esta variável é eliminada. O método de Gauss funciona de maneira semelhante.

Para simplificar a aparência da solução compor a matriz aumentada do sistema:

Nesta matriz, os coeficientes das incógnitas estão localizados à esquerda antes da barra vertical e os membros livres estão à direita após a barra vertical.

Para a conveniência de dividir os coeficientes das variáveis ​​(para obter uma divisão por um) troque a primeira e a segunda linha da matriz do sistema. Obtemos um sistema equivalente ao dado, pois no sistema de equações lineares pode-se rearranjar as equações:

Com a nova primeira equação elimine a variável x da segunda e de todas as equações subsequentes. Para fazer isso, adicione a primeira linha multiplicada por (no nosso caso por ) à segunda linha da matriz e a primeira linha multiplicada por (no nosso caso por ) à terceira linha.

Isso é possível porque

Se houver mais de três equações em nosso sistema, a primeira linha deve ser adicionada a todas as equações subsequentes, multiplicada pela razão dos coeficientes correspondentes, tomada com um sinal de menos.

Como resultado, obtemos uma matriz equivalente ao sistema dado de um novo sistema de equações, no qual todas as equações, a partir do segundo não contém uma variável x :

Para simplificar a segunda linha do sistema resultante, multiplicamos por e novamente obtemos a matriz do sistema de equações equivalente a este sistema:

Agora, mantendo a primeira equação do sistema resultante inalterada, usando a segunda equação, eliminamos a variável y de todas as equações subsequentes. Para fazer isso, adicione a segunda linha multiplicada por (no nosso caso, por ) à terceira linha da matriz do sistema.

Se houver mais de três equações em nosso sistema, a segunda linha deve ser adicionada a todas as equações subsequentes, multiplicada pela razão dos coeficientes correspondentes, tomada com um sinal de menos.

Como resultado, obtemos novamente a matriz do sistema equivalente ao sistema de equações lineares dado:

Obtivemos um sistema trapezoidal de equações lineares equivalente ao dado:

Se o número de equações e variáveis ​​for maior do que em nosso exemplo, então o processo de eliminação sequencial de variáveis ​​continua até que a matriz do sistema se torne trapezoidal, como em nosso exemplo de demonstração.

Encontraremos a solução "do fim" - reverso. Por esta da última equação determinamos z:
.
Substituindo esse valor na equação anterior, achar y:

Da primeira equação achar x:

Resposta: a solução deste sistema de equações - .

: neste caso, a mesma resposta será dada se o sistema tiver uma solução única. Se o sistema tem um número infinito de soluções, então a resposta também terá, e este é o assunto da quinta parte desta lição.

Resolva você mesmo um sistema de equações lineares usando o método de Gauss e, em seguida, observe a solução

Diante de nós está novamente um exemplo de um sistema consistente e definido de equações lineares, no qual o número de equações é igual ao número de incógnitas. A diferença do nosso exemplo de demonstração do algoritmo é que já existem quatro equações e quatro incógnitas.

Exemplo 4 Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss:

Agora você precisa usar a segunda equação para excluir a variável das equações subsequentes. Vamos fazer algum trabalho preparatório. Para torná-lo mais conveniente com a proporção de coeficientes, você precisa obter uma unidade na segunda coluna da segunda linha. Para fazer isso, subtraia a terceira linha da segunda linha e multiplique a segunda linha resultante por -1.

Vamos agora realizar a eliminação real da variável da terceira e quarta equações. Para fazer isso, adicione o segundo, multiplicado por , à terceira linha, e o segundo, multiplicado por , à quarta.

Agora, usando a terceira equação, eliminamos a variável da quarta equação. Para fazer isso, à quarta linha, adicione a terceira, multiplicada por . Obtemos uma matriz expandida de forma trapezoidal.

Obtivemos um sistema de equações, que é equivalente ao sistema dado:

Portanto, os sistemas resultantes e dados são consistentes e definidos. Encontramos a solução final "do fim". A partir da quarta equação, podemos expressar diretamente o valor da variável "x quarto":

Substituímos este valor na terceira equação do sistema e obtemos

,

,

Por fim, a substituição de valor

Na primeira equação dá

,

onde encontramos "x primeiro":

Resposta: Este sistema de equações tem uma solução única. .

Você também pode verificar a solução do sistema em uma calculadora que resolve pelo método de Cramer: neste caso, a mesma resposta será dada se o sistema tiver uma solução única.

Solução pelo método de Gauss de problemas aplicados no exemplo de um problema para ligas

Sistemas de equações lineares são usados ​​para modelar objetos reais do mundo físico. Vamos resolver um desses problemas - para ligas. Tarefas semelhantes - tarefas para misturas, o custo ou gravidade específica de mercadorias individuais em um grupo de mercadorias e similares.

Exemplo 5 Três peças de liga têm uma massa total de 150 kg. A primeira liga contém 60% de cobre, a segunda - 30%, a terceira - 10%. Ao mesmo tempo, na segunda e terceira ligas em conjunto, o cobre é 28,4 kg a menos que na primeira liga, e na terceira liga, o cobre é 6,2 kg a menos que na segunda. Encontre a massa de cada peça de liga.

Solução. Nós compomos um sistema de equações lineares:

Multiplicando a segunda e a terceira equações por 10, obtemos um sistema equivalente de equações lineares:

Compomos a matriz estendida do sistema:

Atenção, movimento direto. Adicionando (no nosso caso, subtraindo) uma linha, multiplicada por um número (aplicamos duas vezes), as seguintes transformações ocorrem com a matriz expandida do sistema:

A corrida direta acabou. Obtivemos uma matriz expandida de forma trapezoidal.

Vamos usar o inverso. Encontramos uma solução a partir do final. Nós vemos que .

Da segunda equação encontramos

Da terceira equação -

Você também pode verificar a solução do sistema em uma calculadora que resolve pelo método de Cramer: neste caso, a mesma resposta será dada se o sistema tiver uma solução única.

A simplicidade do método de Gauss é evidenciada pelo fato de que o matemático alemão Carl Friedrich Gauss levou apenas 15 minutos para inventá-lo. Além do método de seu nome, da obra de Gauss, a máxima “Não devemos confundir o que nos parece incrível e antinatural com o absolutamente impossível” é uma espécie de breve instrução para fazer descobertas.

Em muitos problemas aplicados, pode não haver uma terceira restrição, ou seja, uma terceira equação, então é necessário resolver um sistema de duas equações com três incógnitas usando o método de Gauss, ou, inversamente, há menos incógnitas do que equações. Começamos agora a resolver tais sistemas de equações.

Usando o método de Gauss, você pode determinar se algum sistema é consistente ou inconsistente n equações lineares com n variáveis.

Método de Gauss e sistemas de equações lineares com um número infinito de soluções

O próximo exemplo é um sistema de equações lineares consistente, mas indefinido, ou seja, tem um número infinito de soluções.

Depois de realizar transformações na matriz expandida do sistema (permutar linhas, multiplicar e dividir linhas por um determinado número, adicionar uma linha a outra), linhas do formulário

Se em todas as equações da forma

Os membros livres são iguais a zero, isso significa que o sistema é indefinido, ou seja, possui um número infinito de soluções, e equações desse tipo são “supérfluas” e são excluídas do sistema.

Exemplo 6

Solução. Vamos compor a matriz estendida do sistema. Então, usando a primeira equação, eliminamos a variável das equações subsequentes. Para fazer isso, na segunda, terceira e quarta linhas, some a primeira, multiplicada por , respectivamente:

Agora vamos adicionar a segunda linha à terceira e quarta.

Com isso, chegamos ao sistema

As duas últimas equações tornaram-se equações da forma . Essas equações são satisfeitas para quaisquer valores das incógnitas e podem ser descartadas.

Para satisfazer a segunda equação, podemos escolher valores arbitrários para e , então o valor para será determinado de forma inequívoca: . Da primeira equação, o valor para também é encontrado de forma única: .

Tanto o sistema dado como o último são compatíveis, mas indefinidos, e as fórmulas

para arbitrário e nos dê todas as soluções do sistema dado.

Método de Gauss e sistemas de equações lineares que não têm soluções

O exemplo a seguir é um sistema inconsistente de equações lineares, ou seja, não possui soluções. A resposta para tais problemas é formulada da seguinte forma: o sistema não tem soluções.

Como já mencionado em relação ao primeiro exemplo, após realizar transformações na matriz expandida do sistema, linhas do formulário

correspondente a uma equação da forma

Se entre eles houver pelo menos uma equação com um termo livre diferente de zero (ou seja, ), então esse sistema de equações é inconsistente, ou seja, não tem soluções, e isso completa sua solução.

Exemplo 7 Resolva o sistema de equações lineares usando o método de Gauss:

Solução. Compomos a matriz estendida do sistema. Usando a primeira equação, excluímos a variável das equações subsequentes. Para fazer isso, adicione o primeiro multiplicado por à segunda linha, o primeiro multiplicado pela terceira linha e o primeiro multiplicado pela quarta linha.

Agora você precisa usar a segunda equação para excluir a variável das equações subsequentes. Para obter razões inteiras dos coeficientes, trocamos a segunda e a terceira linhas da matriz estendida do sistema.

Para excluir da terceira e quarta equações, adicione a segunda, multiplicada por , à terceira linha, e a segunda, multiplicada por , à quarta.

Agora, usando a terceira equação, eliminamos a variável da quarta equação. Para fazer isso, à quarta linha, adicione a terceira, multiplicada por .

O sistema dado é, portanto, equivalente ao seguinte:

O sistema resultante é inconsistente, pois sua última equação não pode ser satisfeita por nenhum valor das incógnitas. Portanto, este sistema não tem soluções.

Método de Gaussótimo para resolver sistemas de equações algébricas lineares (SLAE). Tem várias vantagens sobre outros métodos:

• em primeiro lugar, não há necessidade de pré-investigar o sistema de equações para compatibilidade;
• em segundo lugar, o método de Gauss pode ser usado para resolver não apenas SLAEs em que o número de equações coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas e a matriz principal do sistema é não degenerada, mas também sistemas de equações em que o número de equações não não coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas ou o determinante da matriz principal é igual a zero;
• em terceiro lugar, o método de Gauss leva a um resultado com um número relativamente pequeno de operações computacionais.

Breve revisão do artigo.

Primeiro, damos as definições necessárias e introduzimos algumas notações.

A seguir, descrevemos o algoritmo do método de Gauss para o caso mais simples, ou seja, para sistemas de equações algébricas lineares, o número de equações em que coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas e o determinante da matriz principal do sistema não é igual a zero. Ao resolver tais sistemas de equações, a essência do método de Gauss é mais claramente visível, que consiste na eliminação sucessiva de variáveis ​​desconhecidas. Portanto, o método gaussiano também é chamado de método de eliminação sucessiva de incógnitas. Vamos mostrar soluções detalhadas de vários exemplos.

Em conclusão, consideramos a solução gaussiana de sistemas de equações algébricas lineares cuja matriz principal é retangular ou degenerada. A solução de tais sistemas possui algumas características, que analisaremos detalhadamente por meio de exemplos.

Navegação da página.

Definições básicas e notação.

Considere um sistema de p equações lineares com n incógnitas (p pode ser igual a n):

Onde são variáveis ​​desconhecidas, são números (reais ou complexos), são membros livres.

Se um , então o sistema de equações algébricas lineares é chamado homogêneo, por outro lado - heterogêneo.

O conjunto de valores de variáveis ​​desconhecidas, no qual todas as equações do sistema se transformam em identidades, é chamado Decisão SLAU.

Se houver pelo menos uma solução para um sistema de equações algébricas lineares, então ele é chamado articulação, por outro lado - incompatível.

Se um SLAE tem uma solução única, então é chamado certo. Se houver mais de uma solução, o sistema é chamado de incerto.

Diz-se que o sistema está escrito em formulário de coordenadas se tem a forma
.

Este sistema em forma de matriz registros tem o formato , onde - a matriz principal do SLAE, - a matriz da coluna de variáveis ​​desconhecidas, - a matriz de membros livres.

Se adicionarmos à matriz A como a (n + 1)-ésima coluna a coluna-matriz de termos livres, obtemos o chamado matriz expandida sistemas de equações lineares. Normalmente, a matriz aumentada é denotada pela letra T, e a coluna de membros livres é separada por uma linha vertical do restante das colunas, ou seja,

A matriz quadrada A é chamada degenerar se seu determinante for zero. Se , então a matriz A é chamada não degenerado.

O seguinte ponto deve ser observado.

Se as seguintes ações forem executadas com um sistema de equações algébricas lineares

• troque duas equações,
• multiplique ambos os lados de qualquer equação por um número real (ou complexo) arbitrário e diferente de zero k,
• a ambas as partes de qualquer equação adicione as partes correspondentes da outra equação, multiplicada por um número arbitrário k,

então obtemos um sistema equivalente que tem as mesmas soluções (ou, como o original, não tem soluções).

Para uma matriz estendida de um sistema de equações algébricas lineares, essas ações significarão transformações elementares com linhas:

• trocando duas cordas
• multiplicação de todos os elementos de qualquer linha da matriz T por um número diferente de zero k ,
• somando aos elementos de qualquer linha da matriz os elementos correspondentes de outra linha, multiplicados por um número arbitrário k .

Agora podemos prosseguir para a descrição do método de Gauss.

Resolução de sistemas de equações algébricas lineares, em que o número de equações é igual ao número de incógnitas e a matriz principal do sistema é não degenerada, pelo método de Gauss.

O que faríamos na escola se tivéssemos a tarefa de encontrar uma solução para um sistema de equações .

Alguns o fariam.

Observe que, adicionando o lado esquerdo da primeira equação ao lado esquerdo da segunda equação e o lado direito ao lado direito, você pode se livrar das variáveis ​​desconhecidas x 2 e x 3 e imediatamente encontrar x 1:

Substituímos o valor encontrado x 1 \u003d 1 na primeira e terceira equações do sistema:

Se multiplicarmos ambas as partes da terceira equação do sistema por -1 e as somarmos às partes correspondentes da primeira equação, nos livraremos da variável desconhecida x 3 e podemos encontrar x 2:

Substituímos o valor obtido x 2 \u003d 2 na terceira equação e encontramos a variável desconhecida restante x 3:

Outros teriam feito o contrário.

Vamos resolver a primeira equação do sistema em relação à variável desconhecida x 1 e substituir a expressão resultante na segunda e terceira equações do sistema para excluir essa variável delas:

Agora vamos resolver a segunda equação do sistema em relação a x 2 e substituir o resultado obtido na terceira equação para excluir a variável desconhecida x 2 dela:

Pode-se ver pela terceira equação do sistema que x 3 = 3. Da segunda equação encontramos , e da primeira equação obtemos .

Soluções familiares, certo?

O mais interessante aqui é que o segundo método de solução é essencialmente o método de eliminação sequencial de incógnitas, ou seja, o método de Gauss. Quando expressamos variáveis ​​desconhecidas (primeiro x 1 , próximo x 2 ) e as substituímos no restante das equações do sistema, nós as excluímos. Realizamos a exceção até o momento em que a última equação deixou apenas uma variável desconhecida. O processo de eliminação sequencial de incógnitas é chamado método de Gauss direto. Após a conclusão do movimento para frente, temos a oportunidade de calcular a variável desconhecida na última equação. Com sua ajuda, da penúltima equação, encontramos a próxima variável desconhecida e assim por diante. O processo de encontrar sucessivamente variáveis ​​desconhecidas enquanto se move da última equação para a primeira é chamado método de Gauss reverso.

Deve-se notar que quando expressamos x 1 em termos de x 2 e x 3 na primeira equação e, em seguida, substituímos a expressão resultante na segunda e na terceira equações, as seguintes ações levam ao mesmo resultado:

De fato, tal procedimento também nos permite excluir a variável desconhecida x 1 da segunda e terceira equações do sistema:

Nuances com a eliminação de variáveis ​​desconhecidas pelo método de Gauss surgem quando as equações do sistema não contêm algumas variáveis.

Por exemplo, no SLAU na primeira equação, não há variável desconhecida x 1 (em outras palavras, o coeficiente na frente dela é zero). Portanto, não podemos resolver a primeira equação do sistema em relação a x 1 para excluir essa variável desconhecida do restante das equações. A saída para esta situação é trocar as equações do sistema. Como estamos considerando sistemas de equações lineares cujos determinantes das matrizes principais são diferentes de zero, sempre há uma equação na qual a variável que precisamos está presente, e podemos rearranjar essa equação para a posição que precisamos. Para o nosso exemplo, basta trocar a primeira e a segunda equações do sistema , então você pode resolver a primeira equação para x 1 e excluí-la do resto das equações do sistema (embora x 1 já esteja ausente na segunda equação).

Esperamos que você entenda a essência.

Vamos descrever Algoritmo do método de Gauss.

Vamos precisar resolver um sistema de n equações algébricas lineares com n variáveis ​​desconhecidas da forma , e seja o determinante de sua matriz principal diferente de zero.

Vamos supor que , já que sempre podemos conseguir isso reorganizando as equações do sistema. Excluímos a variável desconhecida x 1 de todas as equações do sistema, começando pela segunda. Para fazer isso, adicione a primeira equação multiplicada por à segunda equação do sistema, adicione a primeira multiplicada por à terceira equação e assim por diante, adicione a primeira multiplicada por à enésima equação. O sistema de equações após tais transformações terá a forma

onde um .

Chegaríamos ao mesmo resultado se expressássemos x 1 em termos de outras variáveis ​​desconhecidas na primeira equação do sistema e substituíssemos a expressão resultante em todas as outras equações. Assim, a variável x 1 é excluída de todas as equações, a partir da segunda.

Em seguida, agimos de forma semelhante, mas apenas com uma parte do sistema resultante, que está marcado na figura

Para fazer isso, adicione o segundo multiplicado por à terceira equação do sistema, adicione o segundo multiplicado por à quarta equação e assim por diante, adicione o segundo multiplicado por à enésima equação. O sistema de equações após tais transformações terá a forma

onde um . Assim, a variável x 2 é excluída de todas as equações, a partir da terceira.

Em seguida, procedemos à eliminação da incógnita x 3, agindo de forma semelhante com a parte do sistema marcada na figura

Então continuamos o curso direto do método de Gauss até que o sistema tome a forma

A partir deste momento, começamos o curso inverso do método de Gauss: calculamos x n da última equação como , usando o valor obtido x n encontramos x n-1 da penúltima equação, e assim por diante, encontramos x 1 da primeira equação.

Vamos analisar o algoritmo com um exemplo.

Exemplo.

Método Gaussiano.

Solução.

O coeficiente a 11 é diferente de zero, então vamos ao curso direto do método de Gauss, ou seja, à eliminação da variável desconhecida x 1 de todas as equações do sistema, exceto a primeira. Para fazer isso, às partes esquerda e direita da segunda, terceira e quarta equações, some as partes esquerda e direita da primeira equação, multiplicadas por , respectivamente, e :

A variável desconhecida x 1 foi eliminada, vamos para a exclusão x 2 . Às partes esquerda e direita da terceira e quarta equações do sistema, adicionamos as partes esquerda e direita da segunda equação, multiplicadas por e :

Para completar o curso direto do método de Gauss, precisamos excluir a variável desconhecida x 3 da última equação do sistema. Adicione aos lados esquerdo e direito da quarta equação, respectivamente, os lados esquerdo e direito da terceira equação, multiplicado por :

Você pode iniciar o curso inverso do método de Gauss.

Da última equação temos ,
da terceira equação obtemos ,
a partir do segundo
desde o primeiro.

Para verificar, você pode substituir os valores obtidos de variáveis ​​desconhecidas no sistema de equações original. Todas as equações se transformam em identidades, o que significa que a solução pelo método de Gauss foi encontrada corretamente.

Responda:

E agora vamos dar a solução do mesmo exemplo pelo método de Gauss em forma de matriz.

Exemplo.

Encontrar uma solução para o sistema de equações Método Gaussiano.

Solução.

A matriz estendida do sistema tem a forma . Acima de cada coluna, são escritas as variáveis ​​desconhecidas, que correspondem aos elementos da matriz.

O curso direto do método de Gauss aqui envolve trazer a matriz estendida do sistema para uma forma trapezoidal usando transformações elementares. Este processo é semelhante à exclusão de variáveis ​​desconhecidas que fizemos com o sistema em forma de coordenadas. Agora você estará convencido disso.

Vamos transformar a matriz para que todos os elementos da primeira coluna, começando pela segunda, se tornem zero. Para fazer isso, aos elementos da segunda, terceira e quarta linhas, adicione os elementos correspondentes da primeira linha multiplicados por , e respectivamente:

Em seguida, transformamos a matriz resultante para que, na segunda coluna, todos os elementos, a partir da terceira, se tornem zero. Isso corresponderia a excluir a variável desconhecida x 2 . Para fazer isso, adicione aos elementos da terceira e quarta linhas os elementos correspondentes da primeira linha da matriz, multiplicados por e :

Resta excluir a variável desconhecida x 3 da última equação do sistema. Para fazer isso, aos elementos da última linha da matriz resultante, adicionamos os elementos correspondentes da penúltima linha, multiplicados por :

Note-se que esta matriz corresponde ao sistema de equações lineares

que foi obtido anteriormente após o movimento direto.

É hora de voltar. Na forma matricial da notação, o curso inverso do método de Gauss envolve tal transformação da matriz resultante de modo que a matriz marcada na figura

tornou-se diagonal, ou seja, tomou a forma

onde estão alguns números.

Essas transformações são semelhantes às do método de Gauss, mas são realizadas não da primeira à última linha, mas da última à primeira.

Adicione aos elementos da terceira, segunda e primeira linhas os elementos correspondentes da última linha, multiplicado por , e assim por diante respectivamente:

Agora vamos adicionar aos elementos da segunda e primeira linha os elementos correspondentes da terceira linha, multiplicados por e por, respectivamente:

Na última etapa do movimento reverso do método gaussiano, adicionamos os elementos correspondentes da segunda linha, multiplicados por , aos elementos da primeira linha:

A matriz resultante corresponde ao sistema de equações , a partir do qual encontramos as variáveis ​​desconhecidas.

Responda:

NOTA.

Ao usar o método de Gauss para resolver sistemas de equações algébricas lineares, cálculos aproximados devem ser evitados, pois isso pode levar a resultados absolutamente incorretos. Recomendamos que você não arredonde decimais. É melhor passar de frações decimais para frações ordinárias.

Exemplo.

Resolva o Sistema de Três Equações pelo Método Gaussiano .

Solução.

Observe que neste exemplo, as variáveis ​​desconhecidas têm uma designação diferente (não x 1 , x 2 , x 3 , mas x, y, z ). Vamos para frações ordinárias:

Elimine a incógnita x da segunda e terceira equações do sistema:

No sistema resultante, não há variável desconhecida y na segunda equação, e y está presente na terceira equação, portanto, trocamos a segunda e a terceira equações:

Neste ponto, o curso direto do método de Gauss acabou (você não precisa excluir y da terceira equação, pois essa variável desconhecida não existe mais).

Vamos voltar.

Da última equação encontramos ,
do penúltimo


da primeira equação temos

Responda:

X=10, y=5, z=-20.

A solução de sistemas de equações algébricas lineares, em que o número de equações não coincide com o número de incógnitas, ou a matriz principal do sistema é degenerada, pelo método de Gauss.

Sistemas de equações cuja matriz principal é retangular ou quadrada degenerada podem não ter soluções, podem ter uma única solução ou podem ter um número infinito de soluções.

Agora vamos entender como o método de Gauss permite estabelecer a compatibilidade ou inconsistência de um sistema de equações lineares e, no caso de sua compatibilidade, determinar todas as soluções (ou uma única solução).

Em princípio, o processo de eliminação de variáveis ​​desconhecidas no caso de tais SLAEs permanece o mesmo. No entanto, vale a pena se deter em detalhes sobre algumas situações que podem surgir.

Vamos para o passo mais importante.

Então, vamos supor que o sistema de equações algébricas lineares após a conclusão da execução do método de Gauss toma a forma e nenhuma das equações reduzida a (neste caso, concluiríamos que o sistema é inconsistente). Surge uma pergunta lógica: "O que fazer a seguir"?

Escrevemos as variáveis ​​desconhecidas que estão em primeiro lugar de todas as equações do sistema resultante:

Em nosso exemplo, são x 1 , x 4 e x 5 . Nas partes esquerdas das equações do sistema, deixamos apenas os termos que contêm as variáveis ​​desconhecidas escritas x 1, x 4 e x 5, transferimos os termos restantes para o lado direito das equações com o sinal oposto:

Vamos atribuir valores arbitrários às variáveis ​​desconhecidas que estão do lado direito das equações, onde - números arbitrários:

Depois disso, os números são encontrados nas partes certas de todas as equações do nosso SLAE e podemos proceder ao curso inverso do método de Gauss.

Da última equação do sistema temos , da penúltima equação encontramos , da primeira equação temos

A solução do sistema de equações é o conjunto de valores de variáveis ​​desconhecidas

Dando números valores diferentes, obteremos soluções diferentes para o sistema de equações. Ou seja, nosso sistema de equações tem infinitas soluções.

Responda:

Onde - números arbitrários.

Para consolidar o material, analisaremos detalhadamente as soluções de vários outros exemplos.

Exemplo.

Resolver Sistema Homogêneo de Equações Algébricas Lineares Método Gaussiano.

Solução.

Vamos excluir a variável desconhecida x da segunda e terceira equações do sistema. Para fazer isso, adicione às partes esquerda e direita da segunda equação, respectivamente, as partes esquerda e direita da primeira equação, multiplicadas por , e às partes esquerda e direita da terceira equação - as partes esquerda e direita da equação primeira equação, multiplicada por:

Agora excluímos y da terceira equação do sistema de equações resultante:

O SLAE resultante é equivalente ao sistema .

Deixamos apenas os termos contendo as variáveis ​​desconhecidas x e y no lado esquerdo das equações do sistema e transferimos os termos com a variável desconhecida z para o lado direito: