Para aprender a resolver equações com rapidez e sucesso, você precisa começar com as regras e exemplos mais simples. Antes de tudo, você precisa aprender a resolver equações, à esquerda das quais está a diferença, soma, quociente ou produto de alguns números com uma incógnita e à direita está outro número. Em outras palavras, nessas equações há um termo desconhecido e ou o minuendo com o subtraendo, ou o divisível com um divisor, etc. É sobre equações desse tipo que falaremos com você.

Este artigo é dedicado às regras básicas que permitem encontrar fatores, termos desconhecidos, etc. Explicaremos imediatamente todas as disposições teóricas com exemplos específicos.

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Encontrando o termo desconhecido

Digamos que temos um certo número de bolas em dois vasos, digamos 9 . Sabemos que há 4 bolas no segundo vaso. Como encontrar a quantidade no segundo? Vamos escrever este problema na forma matemática, denotando o número a ser encontrado como x. De acordo com a condição original, este número junto com 4 forma 9, então podemos escrever a equação 4 + x = 9. À esquerda, temos uma soma com um termo desconhecido, à direita, o valor dessa soma. Como encontrar x? Para fazer isso, você precisa usar a regra:

Definição 1

Para encontrar o termo desconhecido, subtraia o conhecido da soma.

Neste caso, damos à subtração um significado que é o oposto da adição. Em outras palavras, há uma certa conexão entre as operações de adição e subtração, que podem ser expressas na forma literal da seguinte forma: se a + b \u003d c, então c - a \u003d b e c - b \u003d a, e vice-versa, das expressões c - a \u003d b e c − b = a podemos deduzir que a + b = c .

Conhecendo essa regra, podemos encontrar um termo desconhecido usando o conhecido e a soma. Qual termo conhecemos, o primeiro ou o segundo, não é importante neste caso. Vamos ver como aplicar essa regra na prática.

Exemplo 1

Vamos pegar a equação que obtivemos acima: 4 + x = 9. De acordo com a regra, precisamos subtrair da soma conhecida, igual a 9, o termo conhecido, igual a 4. Subtraia um número natural de outro: 9 - 4 = 5 . Temos o termo que precisamos, igual a 5.

Normalmente, as soluções para tais equações são escritas da seguinte forma:

1. A equação original é escrita primeiro.
2. Em seguida, anotamos a equação que obtivemos após aplicarmos a regra para calcular o termo desconhecido.
3. Depois disso, escrevemos a equação que resultou depois de todas as ações com números.

Esta forma de escrita é necessária para ilustrar a substituição sucessiva da equação original por equivalentes e para mostrar o processo de encontrar a raiz. A solução para nossa equação simples acima seria escrita corretamente como:

4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .

Podemos verificar a exatidão da resposta recebida. Vamos substituir o que obtivemos na equação original e ver se a igualdade numérica correta sai dela. Substitua 5 em 4 + x = 9 e obtenha: 4 + 5 = 9 . A igualdade 9 = 9 está correta, o que significa que o termo desconhecido foi encontrado corretamente. Se a igualdade estiver errada, devemos voltar à solução e verificá-la novamente, pois isso é um sinal de erro. Como regra, na maioria das vezes isso é um erro computacional ou a aplicação de uma regra incorreta.

Encontrar o subtraendo ou minuendo desconhecido

Como mencionamos no primeiro parágrafo, existe uma certa relação entre os processos de adição e subtração. Com sua ajuda, você pode formular uma regra que o ajudará a encontrar o minuendo desconhecido quando conhecemos a diferença e o subtraendo, ou o subtraendo desconhecido através do minuendo ou da diferença. Escrevemos essas duas regras e mostramos como aplicá-las para resolver problemas.

Definição 2

Para encontrar o minuendo desconhecido, adicione o minuendo à diferença.

Exemplo 2

Por exemplo, temos uma equação x - 6 = 10 . Desconhecido reduzido. De acordo com a regra, precisamos adicionar o 6 subtraído à diferença 10, obtemos 16. Ou seja, o minuendo original é dezesseis. Vamos escrever a solução na íntegra:

x − 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 .

Vamos verificar o resultado adicionando o número resultante à equação original: 16 - 6 = 10. A igualdade 16 - 16 estará correta, o que significa que calculamos tudo corretamente.

Definição 3

Para encontrar o subtraendo desconhecido, subtraia a diferença do minuendo.

Exemplo 3

Vamos usar a regra para resolver a equação 10 - x = 8 . Não sabemos o que está sendo subtraído, então precisamos subtrair a diferença de 10, ou seja, 10 - 8 = 2. Portanto, o subtraendo necessário é igual a dois. Aqui está toda a entrada da solução:

10 - x = 8 , x = 10 - 8 , x = 2 .

Vamos verificar a correção substituindo um deuce na equação original. Vamos obter a igualdade correta 10 - 2 = 8 e ter certeza de que o valor encontrado estará correto.

Antes de passar para outras regras, notamos que existe uma regra para transferir quaisquer termos de uma parte da equação para outra com o sinal invertido. Todas as regras acima são totalmente consistentes com ele.

Encontrando o multiplicador desconhecido

Vejamos duas equações: x 2 = 20 e 3 x = 12. Em ambos, sabemos o valor do produto e de um dos fatores, precisamos encontrar o segundo. Para fazer isso, precisamos usar outra regra.

Definição 4

Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator conhecido.

Esta regra é baseada em um sentido que é o oposto da multiplicação. Existe a seguinte relação entre multiplicação e divisão: a b = c quando a e b não são iguais a 0, c: a = b, c: b = c e vice-versa.

Exemplo 4

Calcule o fator desconhecido na primeira equação dividindo o quociente conhecido 20 pelo fator conhecido 2 . Realizamos a divisão de números naturais e obtemos 10. Vamos escrever a sequência de igualdades:

x 2 = 20 x = 20: 2 x = 10 .

Substituímos o dez na igualdade original e obtemos 2 10 \u003d 20. O valor do multiplicador desconhecido foi feito corretamente.

Esclareçamos que se um dos fatores for zero, esta regra não pode ser aplicada. Portanto, não podemos resolver a equação x 0 = 11 com sua ajuda. Essa notação não faz sentido porque a solução é dividir 11 por 0 e a divisão por zero é indefinida. Falamos sobre esses casos com mais detalhes no artigo dedicado a equações lineares.

Quando aplicamos essa regra, estamos essencialmente dividindo ambos os lados da equação por um fator diferente de 0. Existe uma regra separada segundo a qual tal divisão pode ser realizada, e isso não afetará as raízes da equação, e o que escrevemos neste parágrafo é totalmente consistente com ela.

Encontrar um dividendo ou divisor desconhecido

Outro caso que precisamos considerar é encontrar o dividendo desconhecido se conhecermos o divisor e o quociente, e também encontrar o divisor quando o quociente e o dividendo forem conhecidos. Podemos formular essa regra com a ajuda da conexão entre multiplicação e divisão já mencionada aqui.

Definição 5

Para encontrar o dividendo desconhecido, multiplique o divisor pelo quociente.

Vamos ver como essa regra se aplica.

Exemplo 5

Vamos usá-lo para resolver a equação x: 3 = 5 . Multiplicamos o quociente conhecido e o divisor conhecido entre nós e obtemos 15, que será o divisível que precisamos.

Aqui está um resumo de toda a solução:

x: 3 = 5, x = 3 5, x = 15.

A verificação mostra que calculamos tudo corretamente, porque ao dividir 15 por 3, realmente resulta em 5. A verdadeira igualdade numérica é evidência da decisão correta.

Esta regra pode ser interpretada como a multiplicação dos lados direito e esquerdo da equação pelo mesmo número diferente de 0. Esta transformação não afeta as raízes da equação de forma alguma.

Vamos para a próxima regra.

Definição 6

Para encontrar o divisor desconhecido, você precisa dividir o dividendo pelo quociente.

Exemplo 6

Vamos dar um exemplo simples - Equação 21: x = 3 . Para resolvê-lo, dividimos o conhecido divisível 21 pelo quociente 3 e obtemos 7. Este será o divisor desejado. Agora tomamos a decisão corretamente:

21:x=3, x=21:3, x=7.

Vamos garantir que o resultado esteja correto substituindo o sete na equação original. 21: 7 = 3, então a raiz da equação foi calculada corretamente.

É importante notar que esta regra só se aplica quando o quociente for diferente de zero, caso contrário teríamos que dividir por 0 novamente. Se o quociente for zero, duas opções são possíveis. Se o dividendo também for zero e a equação se parecer com 0: x \u003d 0, o valor da variável será qualquer, ou seja, essa equação tem um número infinito de raízes. Mas uma equação com quociente igual a 0, com dividendo diferente de 0, não terá soluções, pois não existem tais valores divisores. Um exemplo seria a equação 5: x = 0, que não tem nenhuma raiz.

Aplicação consistente de regras

Muitas vezes, na prática, existem problemas mais complexos em que as regras para encontrar termos, minuendos, subtraendos, fatores, dividendos e quocientes devem ser aplicadas sequencialmente. Vamos dar um exemplo.

Exemplo 7

Temos uma equação como 3 x + 1 = 7 . Calculamos o termo desconhecido 3 x , subtraindo um de 7. Acabamos com 3 · x = 7 − 1 , então 3 · x = 6 . Esta equação é muito fácil de resolver: divida 6 por 3 e obtenha a raiz da equação original.

Aqui está uma abreviação para resolver outra equação (2 x − 7): 3 − 5 = 2:

(2 x - 7): 3 - 5 = 2 , (2 x - 7): 3 = 2 + 5 , (2 x - 7): 3 = 7 , 2 x - 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21 , 2 x = 21 + 7 , 2 x = 28 , x = 28: 2 , x = 14 .

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Primeiro nível

Equações lineares. Guia Completo (2019)

O que são "equações lineares"

ou verbalmente - três amigos receberam maçãs cada, com base no fato de que Vasya tem todas as maçãs.

E agora você decidiu equação linear
Agora vamos dar a este termo uma definição matemática.

Equação linear - é uma equação algébrica cujo grau total de seus polinômios constituintes é. Se parece com isso:

Onde e são quaisquer números e

Para o nosso caso com Vasya e maçãs, escreveremos:

- “se Vasya der a todos os três amigos o mesmo número de maçãs, ele não terá mais maçãs”

Equações lineares "ocultas", ou a importância de transformações idênticas

Apesar do fato de que, à primeira vista, tudo é extremamente simples, ao resolver equações, você precisa ter cuidado, porque as equações lineares são chamadas não apenas de equações da forma, mas também de quaisquer equações reduzidas a essa forma por transformações e simplificações. Por exemplo:

Vemos que está à direita, o que, em tese, já indica que a equação não é linear. Além disso, se abrirmos os colchetes, obteremos mais dois termos em que será, mas não tire conclusões precipitadas! Antes de julgar se a equação é linear, é necessário fazer todas as transformações e assim simplificar o exemplo original. Nesse caso, as transformações podem mudar a aparência, mas não a própria essência da equação.

Em outras palavras, essas transformações devem ser idêntico ou equivalente. Existem apenas duas dessas transformações, mas elas desempenham um papel muito, MUITO importante na resolução de problemas. Vamos considerar ambas as transformações em exemplos concretos.

Mover para a esquerda - direita.

Digamos que precisamos resolver a seguinte equação:

De volta à escola primária, nos disseram: "com X - à esquerda, sem X - à direita". Que expressão com x está à direita? Certo, não como não. E isso é importante, porque se essa pergunta aparentemente simples for mal compreendida, a resposta errada sai. E qual é a expressão com x à esquerda? Corretamente, .

Agora que tratamos disso, transferimos todos os termos com incógnitas para a esquerda, e tudo o que se conhece para a direita, lembrando que se não houver sinal na frente do número, por exemplo, então o número é positivo, que ou seja, é precedido pelo sinal " ".

Mudou-se? O que você conseguiu?

Tudo o que resta a ser feito é trazer termos semelhantes. Apresentamos:

Assim, analisamos com sucesso a primeira transformação idêntica, embora eu tenha certeza de que você já a conhecia e a usou ativamente sem mim. O principal - não se esqueça dos sinais dos números e altere-os para o oposto ao transferir pelo sinal de igual!

Multiplicação-divisão.

Vamos começar imediatamente com um exemplo

Olhamos e pensamos: o que não gostamos neste exemplo? O desconhecido está todo em uma parte, o conhecido está na outra, mas algo está nos parando... E isso é algo - um quatro, porque se não estivesse lá, tudo seria perfeito - x é igual a um número - exatamente como precisamos!

Como você pode se livrar dele? Não podemos transferir para a direita, porque aí precisamos transferir o multiplicador inteiro (não podemos pegar e arrancar dele), e transferir o multiplicador inteiro também não faz sentido...

É hora de lembrar sobre a divisão, em conexão com a qual dividiremos tudo! Todos - isso significa tanto o lado esquerdo quanto o direito. Assim e somente assim! O que obtemos?

Aqui está a resposta.

Vejamos agora outro exemplo:

Adivinha o que fazer neste caso? Isso mesmo, multiplique as partes esquerda e direita por! Que resposta você obteve? Corretamente. .

Certamente você já sabia tudo sobre transformações idênticas. Considere que acabamos de atualizar esse conhecimento em sua memória e é hora de algo mais - Por exemplo, para resolver nosso grande exemplo:

Como dissemos anteriormente, olhando para ela, você não pode dizer que essa equação é linear, mas precisamos abrir os colchetes e realizar transformações idênticas. Então vamos começar!

Para começar, lembramos as fórmulas da multiplicação abreviada, em particular, o quadrado da soma e o quadrado da diferença. Se você não lembra o que é e como os colchetes são abertos, recomendo fortemente a leitura do tópico, pois essas habilidades serão úteis para você resolver quase todos os exemplos encontrados na prova.
Revelado? Comparar:

Agora é hora de trazer termos semelhantes. Você se lembra como nos disseram nas mesmas aulas primárias “não colocamos moscas com costeletas”? Aqui estou eu te lembrando disso. Adicionamos tudo separadamente - fatores que possuem, fatores que possuem e outros fatores que não possuem incógnitas. Ao trazer termos semelhantes, mova todas as incógnitas para a esquerda e tudo o que for conhecido para a direita. O que você conseguiu?

Como você pode ver, o quadrado x desapareceu e vemos um equação linear. Resta apenas encontrar!

E, finalmente, direi mais uma coisa muito importante sobre transformações idênticas - transformações idênticas são aplicáveis ​​não apenas para equações lineares, mas também para quadrados, racionais fracionários e outros. Você só precisa lembrar que ao transferir fatores pelo sinal de igual, mudamos o sinal para o oposto, e ao dividir ou multiplicar por algum número, multiplicamos/dividimos os dois lados da equação pelo MESMO número.

O que mais você tirou desse exemplo? Que olhando para uma equação nem sempre é possível determinar direta e precisamente se ela é linear ou não. Você deve primeiro simplificar completamente a expressão e só então julgar o que é.

Equações lineares. Exemplos.

Aqui estão mais alguns exemplos para você praticar por conta própria - determine se a equação é linear e, em caso afirmativo, encontre suas raízes:

Respostas:

1. É.

2. não é.

Vamos abrir os colchetes e dar termos semelhantes:

Vamos fazer uma transformação idêntica - dividimos as partes esquerda e direita em:

Vemos que a equação não é linear, então não há necessidade de procurar suas raízes.

3. É.

Vamos fazer uma transformação idêntica - multiplique as partes esquerda e direita por para se livrar do denominador.

Pense por que é tão importante? Se você souber a resposta para essa pergunta, passamos a resolver ainda mais a equação, se não, não deixe de analisar o tópico para não cometer erros em exemplos mais complexos. By the way, como você pode ver, uma situação em que é impossível. Por quê?
Então vamos em frente e reorganizar a equação:

Se você lidou com tudo sem dificuldade, vamos falar sobre equações lineares com duas variáveis.

Equações lineares com duas variáveis

Agora vamos passar para um um pouco mais complicado - equações lineares com duas variáveis.

Equações lineares com duas variáveis ​​se parece com:

Onde, e são quaisquer números e.

Como você pode ver, a única diferença é que mais uma variável é adicionada à equação. E então tudo é o mesmo - não há x ao quadrado, não há divisão por uma variável, etc. etc.

Que exemplo de vida para lhe dar... Tomemos o mesmo Vasya. Suponha que ele decida dar a cada um de seus 3 amigos o mesmo número de maçãs e ficar com as maçãs para si. Quantas maçãs Vasya precisa comprar se der uma maçã a cada amigo? A respeito? E se por?

A dependência do número de maçãs que cada pessoa receberá do número total de maçãs que precisam ser compradas será expressa pela equação:

• - o número de maçãs que uma pessoa receberá (, ou, ou);
• - o número de maçãs que Vasya levará para si;
• - quantas maçãs Vasya precisa comprar, levando em consideração o número de maçãs por pessoa.

Resolvendo este problema, temos que se Vasya der uma maçã a um amigo, então ele precisa comprar pedaços, se ele der maçãs - e assim por diante.

E de um modo geral. Temos duas variáveis. Por que não plotar essa dependência em um gráfico? Construímos e marcamos o valor do nosso, ou seja, pontos, com coordenadas, e!

Como você pode ver, e dependem um do outro linearmente, daí o nome das equações - “ linear».

Abstraímos de maçãs e consideramos equações graficamente diferentes. Observe atentamente os dois gráficos construídos - uma linha reta e uma parábola, dados por funções arbitrárias:

Encontre e marque os pontos correspondentes em ambas as figuras.
O que você conseguiu?

Você pode ver que no gráfico da primeira função sozinho corresponde 1, ou seja, e linearmente dependem um do outro, o que não pode ser dito sobre a segunda função. Claro, você pode objetar que no segundo gráfico, x também corresponde a - , mas este é apenas um ponto, ou seja, um caso especial, pois você ainda pode encontrar um que corresponda a mais de um. E o gráfico construído não se assemelha a uma linha de forma alguma, mas é uma parábola.

Repito, mais uma vez: o gráfico de uma equação linear deve ser uma linha RETA.

Com o fato de que a equação não será linear, se formos até certo ponto - isso é compreensível usando o exemplo de uma parábola, embora para você mesmo você possa construir mais alguns gráficos simples, por exemplo ou. Mas garanto a você - nenhum deles será uma LINHA RETA.

Não confie? Construa e compare com o que eu obtive:

E o que acontece se dividirmos algo por, por exemplo, algum número? Haverá uma dependência linear e? Não vamos discutir, mas vamos construir! Por exemplo, vamos traçar um gráfico de função.

De alguma forma, não parece uma linha reta construída ... consequentemente, a equação não é linear.
Vamos resumir:

1. Equação linear -é uma equação algébrica na qual o grau total de seus polinômios constituintes é igual.
2. Equação linear com uma variável se parece com:
   , onde e são quaisquer números;
   Equação linear com duas variáveis:
   , onde e são quaisquer números.
3. Nem sempre é possível determinar imediatamente se uma equação é linear ou não. Às vezes, para entender isso, é necessário realizar transformações idênticas, mover termos semelhantes para a esquerda/direita, não esquecendo de mudar o sinal, ou multiplicar/dividir ambas as partes da equação pelo mesmo número.

EQUAÇÕES LINEARES. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

1. Equação linear

Esta é uma equação algébrica na qual o grau total de seus polinômios constituintes é igual.

2. Equação linear com uma variável parece:

Onde e são quaisquer números;

3. Equação linear com duas variáveis parece:

Onde, e são quaisquer números.

4. Transformações de identidade

Para determinar se a equação é linear ou não, é necessário fazer transformações idênticas:

• mover termos semelhantes para a esquerda/direita, não esquecendo de mudar o sinal;
• multiplique/divida ambos os lados da equação pelo mesmo número.

Longo caminho para desenvolver habilidades resolvendo equações começa com a resolução das primeiras e relativamente simples equações. Por tais equações queremos dizer equações, no lado esquerdo das quais está a soma, diferença, produto ou quociente de dois números, um dos quais é desconhecido, e no lado direito há um número. Ou seja, essas equações contêm um termo desconhecido, minuendo, subtraendo, multiplicador, dividendo ou divisor. A solução de tais equações será discutida neste artigo.

Aqui daremos as regras que nos permitem encontrar um termo desconhecido, multiplicador, etc. Além disso, consideraremos imediatamente a aplicação dessas regras na prática, resolvendo equações características.

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Então, substituímos o número 5 em vez de x na equação original 3 + x = 8, obtemos 3 + 5 = 8 - essa igualdade está correta, portanto, encontramos corretamente o termo desconhecido. Se durante a verificação recebermos uma igualdade numérica incorreta, isso nos indicaria que resolvemos incorretamente a equação. As principais razões para isso podem ser a aplicação da regra errada ou erros computacionais.

Como encontrar o minuendo desconhecido, subtraendo?

A conexão entre adição e subtração de números, que já mencionamos no parágrafo anterior, nos permite obter uma regra para encontrar um minuendo desconhecido através de um subtraendo conhecido e diferença, bem como uma regra para encontrar um subtraendo desconhecido através de um minuendo conhecido e diferença. Vamos formulá-los por sua vez e fornecer imediatamente a solução das equações correspondentes.

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Por exemplo, considere a equação x−2=5 . Ele contém um minuendo desconhecido. A regra acima nos diz que para encontrá-lo, devemos adicionar o subtraendo conhecido 2 à diferença conhecida 5, temos 5+2=7. Assim, o minuendo necessário é igual a sete.

Se você omitir as explicações, a solução será escrita da seguinte forma:
x−2=5 ,
x=5+2,
x=7.

Para autocontrole, realizaremos uma verificação. Substituímos o encontrado reduzido na equação original e obtemos a igualdade numérica 7−2=5. É correto, portanto, podemos ter certeza de que determinamos corretamente o valor do minuendo desconhecido.

Você pode prosseguir para encontrar o subtraendo desconhecido. Ele é encontrado adicionando de acordo com a seguinte regra: para encontrar o subtraendo desconhecido, é necessário subtrair a diferença do minuendo.

Resolvemos uma equação da forma 9−x=4 usando a regra escrita. Nesta equação, a incógnita é o subtraendo. Para encontrá-lo, precisamos subtrair a diferença conhecida 4 do conhecido reduzido 9, temos 9−4=5. Assim, o subtraendo necessário é igual a cinco.

Aqui está uma versão curta da solução para esta equação:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5.

Resta apenas verificar a exatidão do subtraendo encontrado. Vamos fazer uma verificação, para a qual substituímos o valor encontrado 5 em vez de x na equação original, e obtemos a igualdade numérica 9−5=4. Está correto, portanto o valor do subtraendo que encontramos está correto.

E antes de passar para a próxima regra, notamos que no 6º ano, é considerada uma regra para resolver equações, que permite transferir qualquer termo de uma parte da equação para outra com o sinal oposto. Assim, todas as regras consideradas acima para encontrar um termo desconhecido, reduzido e subtraído, são totalmente consistentes com ele.

Para encontrar o fator desconhecido, você precisa...

Vamos dar uma olhada nas equações x 3=12 e 2 y=6 . Neles, o número desconhecido é o fator do lado esquerdo, e o produto e o segundo fator são conhecidos. Para encontrar o fator desconhecido, você pode usar a seguinte regra: para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator conhecido.

Essa regra se baseia no fato de que demos à divisão de números um significado oposto ao significado de multiplicação. Ou seja, há uma conexão entre multiplicação e divisão: da igualdade a b=c , em que a≠0 e b≠0, segue-se que c:a=b e c:b=c e vice-versa.

Por exemplo, vamos encontrar o fator desconhecido da equação x·3=12 . De acordo com a regra, precisamos dividir o produto conhecido 12 pelo fator conhecido 3. Vamos fazer: 12:3=4. Portanto, o fator desconhecido é 4.

Resumidamente, a solução da equação é escrita como uma sequência de igualdades:
x 3=12 ,
x=12:3 ,
x=4.

Também é desejável verificar o resultado: substituímos o valor encontrado em vez da letra na equação original, obtemos 4 3 \u003d 12 - a igualdade numérica correta, então encontramos corretamente o valor do fator desconhecido.

E mais uma coisa: agindo de acordo com a regra estudada, na verdade realizamos a divisão de ambas as partes da equação por um multiplicador conhecido diferente de zero. No grau 6, será dito que ambas as partes da equação podem ser multiplicadas e divididas pelo mesmo número diferente de zero, isso não afeta as raízes da equação.

Como encontrar o dividendo desconhecido, divisor?

Como parte do nosso tópico, resta descobrir como encontrar o dividendo desconhecido com um divisor e quociente conhecidos, bem como encontrar um divisor desconhecido com um dividendo e quociente conhecidos. A relação entre multiplicação e divisão já mencionada no parágrafo anterior permite responder a essas perguntas.

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Vamos considerar sua aplicação com um exemplo. Resolva a equação x:5=9 . Para encontrar a incógnita divisível desta equação, é necessário, de acordo com a regra, multiplicar o quociente conhecido 9 pelo divisor conhecido 5, ou seja, realizamos a multiplicação de números naturais: 9 5 \u003d 45. Assim, o dividendo desejado é 45.

Vamos mostrar uma pequena notação da solução:
x:5=9 ,
x=9 5 ,
x=45.

A verificação confirma que o valor do dividendo desconhecido foi encontrado corretamente. De fato, ao substituir o número 45 na equação original em vez da variável x, ele se transforma na igualdade numérica correta 45:5=9.

Observe que a regra analisada pode ser interpretada como a multiplicação de ambas as partes da equação por um divisor conhecido. Tal transformação não afeta as raízes da equação.

Vamos passar para a regra para encontrar o divisor desconhecido: para encontrar o divisor desconhecido, divida o dividendo pelo quociente.

Considere um exemplo. Encontre o divisor desconhecido da equação 18:x=3. Para fazer isso, precisamos dividir o dividendo conhecido 18 pelo quociente conhecido 3, temos 18:3=6. Assim, o divisor necessário é igual a seis.

A solução também pode ser formulada da seguinte forma:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6.

Vamos verificar a confiabilidade deste resultado: 18:6=3 é a igualdade numérica correta, portanto, a raiz da equação foi encontrada corretamente.

É claro que esta regra só pode ser aplicada quando o quociente for diferente de zero, para não encontrar divisão por zero. Quando o quociente é zero, dois casos são possíveis. Se neste caso o dividendo for igual a zero, ou seja, a equação tem a forma 0:x=0 , então esta equação satisfaz qualquer valor diferente de zero do divisor. Em outras palavras, as raízes de tal equação são quaisquer números que não sejam iguais a zero. Se, quando o quociente for igual a zero, o dividendo for diferente de zero, então para quaisquer valores​​do divisor, a equação original não se transforma em uma verdadeira igualdade numérica, ou seja, a equação não tem raízes. Para ilustrar, apresentamos a equação 5:x=0 , ela não tem soluções.

Regras de compartilhamento

A aplicação consistente das regras para encontrar o termo desconhecido, minuendo, subtraendo, multiplicador, dividendo e divisor permite resolver equações com uma única variável de forma mais complexa. Vamos lidar com isso com um exemplo.

Considere a equação 3 x+1=7 . Primeiro, podemos encontrar o termo desconhecido 3 x , para isso precisamos subtrair o termo conhecido 1 da soma 7, obtemos 3 x=7−1 e depois 3 x=6 . Agora resta encontrar o fator desconhecido dividindo o produto de 6 pelo fator conhecido 3 , temos x=6:3 , de onde x=2 . Assim, a raiz da equação original é encontrada.

Para consolidar o material, apresentamos uma breve solução de outra equação (2·x−7):3−5=2 .
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2x−7=21 ,
2x=21+7,
2x=28,
x=28:2,
x=14.

Bibliografia.

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As equações são um dos tópicos mais difíceis de dominar, mas são poderosas o suficiente para resolver a maioria dos problemas.

Com a ajuda de equações, vários processos que ocorrem na natureza são descritos. As equações são amplamente utilizadas em outras ciências: em economia, física, biologia e química.

Nesta lição, tentaremos entender a essência das equações mais simples, aprender a expressar incógnitas e resolver várias equações. À medida que você aprende novos materiais, as equações se tornam mais complexas, portanto, entender o básico é muito importante.

Habilidades preliminares Conteúdo da lição

O que é uma equação?

Uma equação é uma igualdade que contém uma variável cujo valor você deseja encontrar. Este valor deve ser tal que, ao ser substituído na equação original, seja obtida a igualdade numérica correta.

Por exemplo, a expressão 2 + 2 = 4 é uma igualdade. Ao calcular o lado esquerdo, a igualdade numérica correta é obtida 4 = 4 .

Mas a igualdade 2 + x= 4 é uma equação porque contém uma variável x, cujo valor pode ser encontrado. O valor deve ser tal que quando este valor for substituído na equação original, a igualdade numérica correta seja obtida.

Em outras palavras, precisamos encontrar um valor onde o sinal de igual justifique sua localização - o lado esquerdo deve ser igual ao lado direito.

Equação 2+ x= 4 é elementar. Valor da variável xé igual ao número 2. Qualquer outro valor não será igual

Diz-se que o número 2 é raiz ou solução da equação 2 + x = 4

Raiz ou solução da equaçãoé o valor da variável em que a equação se torna uma verdadeira igualdade numérica.

Pode haver várias raízes ou nenhuma. resolva a equação significa encontrar suas raízes ou provar que não há raízes.

A variável na equação também é conhecida como desconhecido. Você é livre para chamá-lo como quiser. Estes são sinônimos.

Observação. A frase "resolver a equação" fala por si. Resolver uma equação significa “igualar” uma equação – torná-la balanceada de modo que o lado esquerdo seja igual ao lado direito.

Expresse um em função do outro

O estudo de equações tradicionalmente começa com o aprendizado de expressar um número incluído na igualdade em termos de vários outros. Não vamos quebrar essa tradição e fazer o mesmo.

Considere a seguinte expressão:

8 + 2

Esta expressão é a soma dos números 8 e 2. O valor desta expressão é 10

8 + 2 = 10

Conseguimos igualdade. Agora você pode expressar qualquer número dessa igualdade em termos de outros números incluídos na mesma igualdade. Por exemplo, vamos expressar o número 2.

Para expressar o número 2, você precisa fazer a pergunta: "o que precisa ser feito com os números 10 e 8 para obter o número 2". É claro que para obter o número 2, você precisa subtrair o número 8 do número 10.

Então nós fazemos. Escrevemos o número 2 e através do sinal de igual dizemos que para obter este número 2, subtraímos o número 8 do número 10:

2 = 10 − 8

Expressamos o número 2 da equação 8 + 2 = 10 . Como você pode ver no exemplo, não há nada complicado nisso.

Ao resolver equações, em particular ao expressar um número em termos de outros, é conveniente substituir o sinal de igual pela palavra " há" . Isso deve ser feito mentalmente, e não na expressão em si.

Assim, expressando o número 2 a partir da igualdade 8 + 2 = 10, obtemos a igualdade 2 = 10 − 8 . Esta equação pode ser lida assim:

2 há 10 − 8

Ou seja, o sinal = substituído pela palavra "é". Além disso, a igualdade 2 = 10 − 8 pode ser traduzida da linguagem matemática para a linguagem humana completa. Então pode ser lido assim:

Número 2 há diferença entre 10 e 8

Número 2 há a diferença entre o número 10 e o número 8.

Mas nos limitaremos a substituir o sinal de igual pela palavra “é”, e nem sempre faremos isso. Expressões elementares podem ser entendidas sem traduzir a linguagem matemática para a linguagem humana.

Vamos retornar a igualdade resultante 2 = 10 − 8 ao seu estado original:

8 + 2 = 10

Desta vez, vamos expressar o número 8. O que deve ser feito com o resto dos números para obter o número 8? Isso mesmo, você precisa subtrair o número 2 do número 10

8 = 10 − 2

Vamos retornar a igualdade resultante 8 = 10 − 2 ao seu estado original:

8 + 2 = 10

Desta vez vamos expressar o número 10. Mas acontece que o dez não precisa ser expresso, pois já está expresso. Basta trocar as partes esquerda e direita, então obtemos o que precisamos:

10 = 8 + 2

Exemplo 2. Considere a igualdade 8 − 2 = 6

Expressamos o número 8 dessa igualdade. Para expressar o número 8, os outros dois números devem ser somados:

8 = 6 + 2

Vamos retornar a igualdade resultante 8 = 6 + 2 ao seu estado original:

8 − 2 = 6

Expressamos o número 2 dessa igualdade. Para expressar o número 2, precisamos subtrair 6 de 8

2 = 8 − 6

Exemplo 3. Considere a equação 3 × 2 = 6

Expresse o número 3. Para expressar o número 3, você precisa dividir 6 por 2

Vamos retornar a igualdade resultante ao seu estado original:

3 x 2 = 6

Vamos expressar o número 2 dessa igualdade. Para expressar o número 2, você precisa dividir 3 por 6

Exemplo 4. Considere a igualdade

Expressamos o número 15 dessa igualdade. Para expressar o número 15, você precisa multiplicar os números 3 e 5

15 = 3 x 5

Vamos retornar a igualdade resultante 15 = 3 × 5 ao seu estado original:

Expressamos o número 5 dessa igualdade. Para expressar o número 5, você precisa dividir 15 por 3

Regras para encontrar incógnitas

Considere várias regras para encontrar incógnitas. Talvez eles sejam familiares para você, mas não custa repeti-los novamente. No futuro, eles podem ser esquecidos, pois aprenderemos a resolver equações sem aplicar essas regras.

Voltemos ao primeiro exemplo, que consideramos no tópico anterior, onde na equação 8 + 2 = 10 era necessário expressar o número 2.

Na equação 8 + 2 = 10, os números 8 e 2 são termos, e o número 10 é a soma.

Para expressar o número 2, fizemos o seguinte:

2 = 10 − 8

Ou seja, subtraia 8 da soma de 10.

Agora imagine que na equação 8 + 2 = 10, em vez do número 2, existe uma variável x

8 + x = 10

Neste caso, a equação 8 + 2 = 10 torna-se a equação 8 + x= 10 e a variável x termo desconhecido

Nossa tarefa é encontrar esse termo desconhecido, ou seja, resolver a equação 8 + x= 10. Para encontrar o termo desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o termo desconhecido, subtraia o termo conhecido da soma.

Que é basicamente o que fizemos quando expressamos os dois na equação 8 + 2 = 10. Para expressar o termo 2, subtraímos outro termo 8 da soma 10

2 = 10 − 8

E agora para encontrar o termo desconhecido x, devemos subtrair o termo conhecido 8 da soma 10:

x = 10 − 8

Se você calcular o lado direito da igualdade resultante, poderá descobrir a que a variável é igual x

x = 2

Resolvemos a equação. Valor da variável x igual a 2. Para verificar o valor de uma variável x enviado para a equação original 8 + x= 10 e substitua por x.É desejável fazer isso com qualquer equação resolvida, pois você não pode ter certeza de que a equação foi resolvida corretamente:

Como resultado

A mesma regra se aplicaria se o termo desconhecido fosse o primeiro número 8.

x + 2 = 10

Nesta equação xé o termo desconhecido, 2 é o termo conhecido, 10 é a soma. Para encontrar o termo desconhecido x, você precisa subtrair o termo conhecido 2 da soma 10

x = 10 − 2

x = 8

Voltemos ao segundo exemplo do tópico anterior, onde na equação 8 − 2 = 6 era necessário expressar o número 8.

Na equação 8 − 2 = 6, o número 8 é o minuendo, o número 2 é o subtraendo, o número 6 é a diferença

Para expressar o número 8, fizemos o seguinte:

8 = 6 + 2

Ou seja, some a diferença de 6 e o ​​2 subtraído.

Agora imagine que na equação 8 − 2 = 6, em vez do número 8, existe uma variável x

x − 2 = 6

Neste caso, a variável x assume o papel do chamado minuendo desconhecido

Para encontrar o minuendo desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 8 na equação 8 − 2 = 6. Para expressar o minuendo 8, adicionamos o subtraendo 2 à diferença de 6.

E agora, para encontrar o minuendo desconhecido x, devemos adicionar o subtraendo 2 à diferença 6

x = 6 + 2

Se você calcular o lado direito, poderá descobrir a que a variável é igual x

x = 8

Agora imagine que na equação 8 − 2 = 6, em vez do número 2, existe uma variável x

8 − x = 6

Neste caso, a variável x assume um papel subtraendo desconhecido

Para encontrar o subtraendo desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o subtraendo desconhecido, você precisa subtrair a diferença do minuendo.

Foi o que fizemos quando expressamos o número 2 na equação 8 − 2 = 6. Para expressar o número 2, subtraímos a diferença 6 do 8 reduzido.

E agora, para encontrar o subtraendo desconhecido x, você deve subtrair novamente a diferença 6 do 8 reduzido

x = 8 − 6

Calcule o lado direito e encontre o valor x

x = 2

Vamos voltar ao terceiro exemplo do tópico anterior, onde na equação 3 × 2 = 6 tentamos expressar o número 3.

Na equação 3 × 2 = 6, o número 3 é o multiplicando, o número 2 é o multiplicador, o número 6 é o produto

Para expressar o número 3, fizemos o seguinte:

Ou seja, divida o produto de 6 por um fator de 2.

Agora imagine que na equação 3 × 2 = 6, em vez do número 3, existe uma variável x

x×2=6

Neste caso, a variável x assume um papel multiplicando desconhecido.

Para encontrar o multiplicador desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o multiplicando desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator.

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 3 da equação 3 × 2 = 6. Dividimos o produto de 6 por um fator de 2.

E agora para encontrar o multiplicador desconhecido x, você precisa dividir o produto de 6 por um fator de 2.

O cálculo do lado direito permite encontrar o valor da variável x

x = 3

A mesma regra se aplica se a variável x está localizado em vez do multiplicador, não o multiplicando. Imagine que na equação 3 × 2 = 6, em vez do número 2, existe uma variável x.

Neste caso, a variável x assume um papel multiplicador desconhecido. Para encontrar um fator desconhecido, é fornecido o mesmo que para encontrar um multiplicador desconhecido, ou seja, dividindo o produto por um fator conhecido:

Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo multiplicando.

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 2 da equação 3 × 2 = 6. Então, para obter o número 2, dividimos o produto de 6 pelo multiplicando 3.

E agora para encontrar o fator desconhecido x dividimos o produto de 6 pelo multiplicador de 3.

Calcular o lado direito da equação permite descobrir quanto x é igual a

x = 2

O multiplicando e o multiplicador juntos são chamados de fatores. Como as regras para encontrar um multiplicando e um fator são as mesmas, podemos formular uma regra geral para encontrar um fator desconhecido:

Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator conhecido.

Por exemplo, vamos resolver a equação 9 × x= 18. Variável xé um fator desconhecido. Para encontrar esse fator desconhecido, você precisa dividir o produto 18 pelo fator conhecido 9

Vamos resolver a equação x× 3 = 27 . Variável xé um fator desconhecido. Para encontrar esse fator desconhecido, você precisa dividir o produto 27 pelo fator conhecido 3

Voltemos ao quarto exemplo do tópico anterior, onde na igualdade era necessário expressar o número 15. Nesta igualdade, o número 15 é o dividendo, o número 5 é o divisor, o número 3 é o quociente.

Para expressar o número 15, fizemos o seguinte:

15 = 3 x 5

Ou seja, multiplique o quociente de 3 pelo divisor de 5.

Agora imagine que na igualdade, ao invés do número 15, existe uma variável x

Neste caso, a variável x assume um papel dividendo desconhecido.

Para encontrar um dividendo desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 15 da igualdade. Para expressar o número 15, multiplicamos o quociente de 3 pelo divisor de 5.

E agora, para encontrar o dividendo desconhecido x, você precisa multiplicar o quociente de 3 pelo divisor de 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Agora imagine que na igualdade, ao invés do número 5, existe uma variável x .

Neste caso, a variável x assume um papel divisor desconhecido.

Para encontrar o divisor desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 5 da igualdade. Para expressar o número 5, dividimos o dividendo 15 pelo quociente 3.

E agora para encontrar o divisor desconhecido x, você precisa dividir o dividendo 15 pelo quociente 3

Vamos calcular o lado direito da igualdade resultante. Então descobrimos o que a variável é igual a x .

x = 5

Então, para encontrar incógnitas, estudamos as seguintes regras:

• Para encontrar o termo desconhecido, você precisa subtrair o termo conhecido da soma;
• Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença;
• Para encontrar o subtraendo desconhecido, você precisa subtrair a diferença do minuendo;
• Para encontrar o multiplicando desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator;
• Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo multiplicando;
• Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor;
• Para encontrar um divisor desconhecido, você precisa dividir o dividendo pelo quociente.

Componentes

Componentes que chamaremos de números e variáveis ​​incluídos na igualdade

Assim, os componentes da adição são termos e soma

Os componentes de subtração são minuendo, subtraendo e diferença

Os componentes da multiplicação são multiplicando, fator e trabalhar

Os componentes da divisão são o dividendo, o divisor e o quociente.

Dependendo de quais componentes estamos lidando, as regras correspondentes para encontrar incógnitas serão aplicadas. Estudamos essas regras no tópico anterior. Ao resolver equações, é desejável saber essas regras de cor.

Exemplo 1. Encontre a raiz da equação 45+ x = 60

45 - prazo, xé o termo desconhecido, 60 é a soma. Estamos lidando com componentes de adição. Lembramos que para encontrar o termo desconhecido, você precisa subtrair o termo conhecido da soma:

x = 60 − 45

Calcule o lado direito, obtenha o valor x igual a 15

x = 15

Então a raiz da equação é 45 + x= 60 é igual a 15.

Na maioria das vezes, o termo desconhecido deve ser reduzido a uma forma na qual possa ser expresso.

Exemplo 2. resolva a equação

Aqui, ao contrário do exemplo anterior, o termo desconhecido não pode ser expresso imediatamente, pois contém o coeficiente 2. Nossa tarefa é trazer essa equação para a forma em que seria possível expressar x

Neste exemplo, estamos lidando com os componentes da adição - os termos e a soma. 2 xé o primeiro termo, 4 é o segundo termo, 8 é a soma.

Neste caso, o termo 2 x contém uma variável x. Depois de encontrar o valor da variável x termo 2 x assumirá uma forma diferente. Portanto, o termo 2 x pode ser completamente tomado para o termo desconhecido:

Agora aplicamos a regra para encontrar o termo desconhecido. Subtraia o termo conhecido da soma:

Vamos calcular o lado direito da equação resultante:

Temos uma nova equação. Agora estamos lidando com os componentes da multiplicação: multiplicando, multiplicador e produto. 2 - multiplicador, x- multiplicador, 4 - produto

Ao mesmo tempo, a variável x não é apenas um fator, mas um fator desconhecido

Para encontrar esse fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo multiplicando:

Calcule o lado direito, obtenha o valor da variável x

Para verificar a raiz encontrada, envie-a para a equação original e substitua x

Exemplo 3. resolva a equação 3x+ 9x+ 16x= 56

Expresse o desconhecido xé proibido. Primeiro você precisa trazer essa equação para a forma em que ela pode ser expressa.

Apresentamos no lado esquerdo desta equação:

Estamos lidando com os componentes da multiplicação. 28 - multiplicador, x- multiplicador, 56 - produto. Em que xé um fator desconhecido. Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo multiplicando:

Daqui xé 2

Equações equivalentes

No exemplo anterior, ao resolver a equação 3x + 9x + 16x = 56 , fornecemos termos semelhantes no lado esquerdo da equação. O resultado é uma nova equação 28 x= 56. equação antiga 3x + 9x + 16x = 56 e a nova equação resultante 28 x= 56 chamados equações equivalentes porque suas raízes são as mesmas.

As equações são ditas equivalentes se suas raízes são iguais.

Vamos verificar. Para a equação 3x+ 9x+ 16x= 56 encontramos a raiz igual a 2 . Substitua essa raiz primeiro na equação 3x+ 9x+ 16x= 56 , e então na Equação 28 x= 56 , que resultou da redução de termos semelhantes do lado esquerdo da equação anterior. Devemos obter as igualdades numéricas corretas

De acordo com a ordem das operações, a multiplicação é realizada primeiro:

Substitua a raiz de 2 na segunda equação 28 x= 56

Vemos que ambas as equações têm as mesmas raízes. Então as equações 3x+ 9x+ 16x= 6 e 28 x= 56 são de fato equivalentes.

Para resolver a equação 3x+ 9x+ 16x= 56 usamos um dos — redução de termos semelhantes. A transformação de identidade correta da equação nos permitiu obter uma equação equivalente 28 x= 56 , que é mais fácil de resolver.

Das transformações idênticas, no momento só podemos reduzir frações, trazer termos semelhantes, tirar o fator comum dos colchetes e também abrir colchetes. Existem outras transformações das quais você deve estar ciente. Mas para uma ideia geral de transformações idênticas de equações, os tópicos que estudamos são suficientes.

Considere algumas transformações que nos permitem obter uma equação equivalente

Se você adicionar o mesmo número a ambos os lados da equação, obterá uma equação equivalente à dada.

e da mesma forma:

Se o mesmo número for subtraído de ambos os lados da equação, então uma equação equivalente à dada será obtida.

Em outras palavras, a raiz da equação não muda se o mesmo número for adicionado (ou subtraído de ambos os lados) da equação.

Exemplo 1. resolva a equação

Subtraia o número 10 de ambos os lados da equação

Obteve a Equação 5 x= 10. Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Para encontrar o fator desconhecido x, você precisa dividir o produto de 10 pelo fator conhecido 5.

e substituir em vez x valor encontrado 2

Conseguimos o número correto. Então a equação está correta.

Resolvendo a equação subtraímos o número 10 de ambos os lados da equação. O resultado é uma equação equivalente. A raiz desta equação, como as equações também é igual a 2

Exemplo 2. Resolva a Equação 4( x+ 3) = 16

Subtraia o número 12 de ambos os lados da equação

Lado esquerdo será 4 x, e do lado direito o número 4

Obteve a Equação 4 x= 4. Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Para encontrar o fator desconhecido x, você precisa dividir o produto 4 pelo fator conhecido 4

Vamos voltar para a equação original 4( x+ 3) = 16 e substitua x valor encontrado 1

Conseguimos o número correto. Então a equação está correta.

Resolvendo a equação 4( x+ 3) = 16 subtraímos o número 12 de ambos os lados da equação. Como resultado, obtivemos uma equação equivalente 4 x= 4. A raiz desta equação, bem como as equações 4( x+ 3) = 16 também é igual a 1

Exemplo 3. resolva a equação

Vamos expandir os colchetes no lado esquerdo da equação:

Vamos adicionar o número 8 a ambos os lados da equação

Apresentamos termos semelhantes em ambas as partes da equação:

Lado esquerdo será 2 x, e do lado direito o número 9

Na equação 2 resultante x= 9 expressamos o termo desconhecido x

De volta à equação original e substituir em vez x valor encontrado 4,5

Conseguimos o número correto. Então a equação está correta.

Resolvendo a equação adicionamos o número 8 a ambos os lados da equação e, como resultado, obtivemos uma equação equivalente. A raiz desta equação, como as equações também é igual a 4,5

A próxima regra, que permite obter uma equação equivalente, é a seguinte

Se na equação transferimos o termo de uma parte para outra, mudando seu sinal, obtemos uma equação equivalente à dada.

Ou seja, a raiz da equação não mudará se transferirmos o termo de uma parte da equação para outra alterando seu sinal. Esta propriedade é uma das mais importantes e uma das mais utilizadas na resolução de equações.

Considere a seguinte equação:

A raiz desta equação é 2. Substitua em vez de x esta raiz e verifique se a igualdade numérica correta é obtida

Acontece a igualdade correta. Então o número 2 é realmente a raiz da equação.

Agora vamos tentar experimentar os termos desta equação, transferindo-os de uma parte para outra, mudando de sinal.

Por exemplo, o termo 3 x localizado no lado esquerdo da equação. Vamos movê-lo para o lado direito, mudando o sinal para o contrário:

Acabou a equação 12 = 9x − 3x . do lado direito desta equação:

xé um fator desconhecido. Vamos encontrar este fator conhecido:

Daqui x= 2. Como você pode ver, a raiz da equação não mudou. Então as equações 12 + 3 x = 9x e 12 = 9x − 3x são equivalentes.

Na verdade, esta transformação é um método simplificado da transformação anterior, onde o mesmo número foi adicionado (ou subtraído) a ambos os lados da equação.

Dissemos que na equação 12 + 3 x = 9x termo 3 x foi movido para o lado direito, alterando o sinal. Na realidade, aconteceu o seguinte: o termo 3 foi subtraído de ambos os lados da equação x

Em seguida, termos semelhantes foram dados no lado esquerdo e a equação foi obtida 12 = 9x − 3x. Em seguida, termos semelhantes foram dados novamente, mas do lado direito, e a equação 12 = 6 foi obtida x.

Mas a chamada "transferência" é mais conveniente para tais equações, razão pela qual se tornou tão difundida. Ao resolver equações, muitas vezes usaremos essa transformação específica.

As equações 12 + 3 também são equivalentes x= 9x e 3x- 9x= −12 . Desta vez na equação 12 + 3 x= 9x o termo 12 foi movido para o lado direito e o termo 9 x Para a esquerda. Não se deve esquecer que os sinais destes termos foram alterados durante a transferência

A próxima regra, que permite obter uma equação equivalente, é a seguinte:

Se ambas as partes da equação forem multiplicadas ou divididas pelo mesmo número que não é igual a zero, então uma equação equivalente à dada será obtida.

Em outras palavras, as raízes de uma equação não mudam se ambos os lados forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número. Essa ação é frequentemente usada quando você precisa resolver uma equação contendo expressões fracionárias.

Primeiro, considere exemplos em que ambos os lados da equação serão multiplicados pelo mesmo número.

Exemplo 1. resolva a equação

Ao resolver equações contendo expressões fracionárias, primeiro é costume simplificar essa equação.

Neste caso, estamos lidando apenas com essa equação. Para simplificar esta equação, ambos os lados podem ser multiplicados por 8:

Lembramos que para , você precisa multiplicar o numerador de uma dada fração por esse número. Temos duas frações e cada uma delas é multiplicada pelo número 8. Nossa tarefa é multiplicar os numeradores das frações por esse número 8

Agora acontece o mais interessante. Os numeradores e denominadores de ambas as frações contêm um fator de 8, que pode ser reduzido por 8. Isso nos permitirá livrar-nos da expressão fracionária:

Como resultado, a equação mais simples permanece

Bem, é fácil adivinhar que a raiz desta equação é 4

x valor encontrado 4

Acontece a igualdade numérica correta. Então a equação está correta.

Ao resolver esta equação, multiplicamos ambas as partes por 8. Como resultado, obtivemos a equação. A raiz desta equação, como as equações, é 4. Então essas equações são equivalentes.

O multiplicador pelo qual ambas as partes da equação são multiplicadas geralmente é escrito antes da parte da equação, e não depois dela. Então, resolvendo a equação, multiplicamos ambas as partes por um fator de 8 e obtivemos a seguinte entrada:

A partir disso, a raiz da equação não mudou, mas se tivéssemos feito isso na escola, teríamos sido notados, pois em álgebra é costume escrever o fator antes da expressão com a qual é multiplicado. Portanto, multiplicando ambos os lados da equação por um fator de 8 é desejável reescrever da seguinte forma:

Exemplo 2. resolva a equação

No lado esquerdo, os fatores 15 podem ser reduzidos em 15, e no lado direito, os fatores 15 e 5 podem ser reduzidos em 5

Vamos abrir os colchetes do lado direito da equação:

Vamos mover o termo x do lado esquerdo da equação para o lado direito mudando o sinal. E o termo 15 do lado direito da equação será transferido para o lado esquerdo, mudando novamente o sinal:

Trazemos termos semelhantes em ambas as partes, obtemos

Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Variável x

De volta à equação original e substituir em vez x valor encontrado 5

Acontece a igualdade numérica correta. Então a equação está correta. Ao resolver esta equação, multiplicamos ambos os lados por 15. Além disso, realizando transformações idênticas, obtivemos a equação 10 = 2 x. A raiz desta equação, como as equações igual a 5. Então essas equações são equivalentes.

Exemplo 3. resolva a equação

No lado esquerdo, dois triplos podem ser reduzidos, e o lado direito será igual a 18

A equação mais simples permanece. Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Variável xé um fator desconhecido. Vamos encontrar este fator conhecido:

Vamos voltar à equação original e substituir em vez de x valor encontrado 9

Acontece a igualdade numérica correta. Então a equação está correta.

Exemplo 4. resolva a equação

Multiplique os dois lados da equação por 6

Abra os colchetes do lado esquerdo da equação. No lado direito, o fator 6 pode ser elevado ao numerador:

Reduzimos em ambas as partes das equações o que pode ser reduzido:

Vamos reescrever o que nos resta:

Usamos a transferência de termos. Termos contendo o desconhecido x, agrupamos no lado esquerdo da equação, e os termos livres de incógnitas - no lado direito:

Apresentamos termos semelhantes em ambas as partes:

Agora vamos encontrar o valor da variável x. Para fazer isso, dividimos o produto 28 pelo fator conhecido 7

Daqui x= 4.

De volta à equação original e substituir em vez x valor encontrado 4

Descobriu-se a igualdade numérica correta. Então a equação está correta.

Exemplo 5. resolva a equação

Vamos abrir os colchetes em ambas as partes da equação sempre que possível:

Multiplique os dois lados da equação por 15

Vamos abrir os colchetes em ambas as partes da equação:

Vamos reduzir em ambas as partes da equação, o que pode ser reduzido:

Vamos reescrever o que nos resta:

Vamos abrir os colchetes sempre que possível:

Usamos a transferência de termos. Os termos que contêm a incógnita são agrupados no lado esquerdo da equação e os termos livres de incógnitas são agrupados no lado direito. Não esqueça que durante a transferência, os termos mudam seus sinais para o oposto:

Apresentamos termos semelhantes em ambas as partes da equação:

Vamos encontrar o valor x

Na resposta resultante, você pode selecionar a parte inteira:

Vamos voltar à equação original e substituir em vez de x valor encontrado

Acaba por ser uma expressão bastante complicada. Vamos usar variáveis. Colocamos o lado esquerdo da igualdade em uma variável UMA, e o lado direito da igualdade em uma variável B

Nossa tarefa é garantir que o lado esquerdo seja igual ao lado direito. Em outras palavras, prove a igualdade A = B

Encontre o valor da expressão na variável A.

Valor da variável MASé igual a . Agora vamos encontrar o valor da variável B. Ou seja, o valor do lado direito da nossa igualdade. Se for igual a , então a equação será resolvida corretamente

Vemos que o valor da variável B, assim como o valor da variável A é . Isso significa que o lado esquerdo é igual ao lado direito. A partir disso, concluímos que a equação está resolvida corretamente.

Agora vamos tentar não multiplicar ambos os lados da equação pelo mesmo número, mas dividir.

Considere a equação 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Resolvemos da maneira usual: agrupamos os termos contendo incógnitas no lado esquerdo da equação e os termos sem incógnitas no lado direito. Além disso, realizando as transformações idênticas conhecidas, encontramos o valor x

Substitua o valor encontrado 2 em vez de x na equação original:

Agora vamos tentar separar todos os termos da equação 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 por algum número. Notamos que todos os termos desta equação têm um fator comum 2. Dividimos cada termo por ele:

Vamos reduzir em cada termo:

Vamos reescrever o que nos resta:

Resolvemos esta equação usando as transformações idênticas conhecidas:

Temos a raiz 2 . Então as equações 15x+ 7x+ 7 = 35x- 20x+ 21 e 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 são equivalentes.

Dividir ambos os lados da equação pelo mesmo número permite liberar a incógnita do coeficiente. No exemplo anterior, quando obtivemos a equação 7 x= 14 , precisávamos dividir o produto 14 pelo fator conhecido 7. Mas se liberássemos a incógnita do coeficiente 7 do lado esquerdo, a raiz seria encontrada imediatamente. Para isso, bastava dividir as duas partes por 7

Também usaremos esse método com frequência.

Multiplicar por menos um

Se ambos os lados da equação são multiplicados por menos um, então uma equação equivalente à dada será obtida.

Esta regra decorre do fato de que ao multiplicar (ou dividir) ambas as partes da equação pelo mesmo número, a raiz desta equação não muda. Isso significa que a raiz não mudará se ambas as partes forem multiplicadas por -1.

Esta regra permite alterar os sinais de todos os componentes incluídos na equação. Para que serve? Novamente, para obter uma equação equivalente que seja mais fácil de resolver.

Considere a equação. Qual é a raiz dessa equação?

Vamos adicionar o número 5 a ambos os lados da equação

Aqui estão termos semelhantes:

E agora vamos lembrar sobre. Qual é o lado esquerdo da equação. Este é o produto de menos um e a variável x

Ou seja, o menos na frente da variável x não se refere à própria variável x, mas para a unidade, que não vemos, pois é costume não anotar o coeficiente 1. Isso significa que a equação realmente se parece com isso:

Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Encontrar X, você precisa dividir o produto −5 pelo fator conhecido −1 .

ou divida ambos os lados da equação por -1, o que é ainda mais fácil

Então a raiz da equação é 5. Para verificar, substituímos na equação original. Não esqueça que na equação original, o menos na frente da variável x refere-se a uma unidade invisível

Descobriu-se a igualdade numérica correta. Então a equação está correta.

Agora vamos tentar multiplicar ambos os lados da equação por menos um:

Após abrir os colchetes, a expressão é formada do lado esquerdo, e o lado direito será igual a 10

A raiz desta equação, como a equação, é 5

Portanto, as equações são equivalentes.

Exemplo 2. resolva a equação

Nesta equação, todos os componentes são negativos. É mais conveniente trabalhar com componentes positivos do que com negativos, então vamos mudar os sinais de todos os componentes incluídos na equação. Para fazer isso, multiplique ambos os lados desta equação por -1.

É claro que depois de multiplicar por -1, qualquer número mudará seu sinal para o oposto. Portanto, o próprio procedimento de multiplicar por -1 e abrir os colchetes não é descrito em detalhes, mas os componentes da equação com sinais opostos são imediatamente escritos.

Então, multiplicando uma equação por -1 pode ser escrito em detalhes como segue:

ou você pode apenas alterar os sinais de todos os componentes:

Acontecerá o mesmo, mas a diferença será que economizaremos tempo.

Então, multiplicando ambos os lados da equação por -1, obtemos a equação. Vamos resolver esta equação. Subtraia o número 4 de ambas as partes e divida ambas as partes por 3

Quando a raiz é encontrada, a variável geralmente é escrita no lado esquerdo e seu valor no lado direito, o que fizemos.

Exemplo 3. resolva a equação

Multiplique ambos os lados da equação por -1. Então todos os componentes mudarão seus sinais para opostos:

Subtraia 2 de ambos os lados da equação resultante x e adicione termos semelhantes:

Adicionamos a unidade a ambas as partes da equação e fornecemos termos semelhantes:

Equivale a Zero

Aprendemos recentemente que se em uma equação transferimos um termo de uma parte para outra mudando seu sinal, obtemos uma equação equivalente à dada.

E o que acontecerá se transferirmos de uma parte para outra não um termo, mas todos os termos? Isso mesmo, na parte de onde foram retirados todos os termos, o zero permanecerá. Em outras palavras, não sobrará nada.

Tomemos a equação como exemplo. Resolvemos esta equação, como de costume - agrupamos os termos contendo incógnitas em uma parte e deixamos os termos numéricos livres de incógnitas na outra. Além disso, realizando as transformações idênticas conhecidas, encontramos o valor da variável x

Agora vamos tentar resolver a mesma equação igualando todos os seus componentes a zero. Para fazer isso, transferimos todos os termos do lado direito para o esquerdo, alterando os sinais:

Aqui estão os termos semelhantes no lado esquerdo:

Vamos adicionar 77 a ambas as partes e dividir ambas as partes por 7

Uma alternativa às regras para encontrar incógnitas

Obviamente, conhecendo as transformações idênticas de equações, não se pode memorizar as regras para encontrar incógnitas.

Por exemplo, para encontrar a incógnita na equação, dividimos o produto 10 pelo fator conhecido 2

Mas se na equação ambas as partes forem divididas por 2, a raiz é imediatamente encontrada. No lado esquerdo da equação, o fator 2 no numerador e o fator 2 no denominador serão reduzidos em 2. E o lado direito será igual a 5

Resolvemos equações da forma expressando o termo desconhecido:

Mas você pode usar as transformações idênticas que estudamos hoje. Na equação, o termo 4 pode ser movido para o lado direito alterando o sinal:

No lado esquerdo da equação, dois dois serão reduzidos. O lado direito será igual a 2. Portanto .

Ou você pode subtrair 4 de ambos os lados da equação e obter o seguinte:

No caso de equações da forma, é mais conveniente dividir o produto por um fator conhecido. Vamos comparar as duas soluções:

A primeira solução é muito mais curta e organizada. A segunda solução pode ser significativamente reduzida se você fizer a divisão em sua cabeça.

No entanto, você precisa conhecer os dois métodos e só então usar o que mais gostar.

Quando existem várias raízes

Uma equação pode ter múltiplas raízes. Por exemplo equação x(x + 9) = 0 tem duas raízes: 0 e −9 .

Na equação x(x + 9) = 0 era necessário encontrar tal valor x para o qual o lado esquerdo seria igual a zero. O lado esquerdo desta equação contém as expressões x e (x + 9), que são fatores. Pelas leis do produto, sabemos que o produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero (o primeiro fator ou o segundo).

Ou seja, na equação x(x + 9) = 0 igualdade será alcançada se x será zero ou (x + 9) será nulo.

x= 0 ou x + 9 = 0

Igualando ambas as expressões a zero, podemos encontrar as raízes da equação x(x + 9) = 0. A primeira raiz, como pode ser visto no exemplo, foi encontrada imediatamente. Para encontrar a segunda raiz, você precisa resolver a equação elementar x+ 9 = 0 . É fácil adivinhar que a raiz desta equação é -9. A verificação mostra que a raiz está correta:

−9 + 9 = 0

Exemplo 2. resolva a equação

Esta equação tem duas raízes: 1 e 2. O lado esquerdo da equação é o produto de expressões ( x− 1) e ( x- 2) . E o produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero (ou o fator ( x− 1) ou fator ( x − 2) ).

Vamos encontrá-lo x em que as expressões ( x− 1) ou ( x− 2) desaparecer:

Substituímos os valores encontrados por sua vez na equação original e garantimos que com esses valores o lado esquerdo seja igual a zero:

Quando existem infinitas raízes

Uma equação pode ter infinitas raízes. Ou seja, substituindo qualquer número em tal equação, obtemos a igualdade numérica correta.

Exemplo 1. resolva a equação

A raiz desta equação é qualquer número. Se você abrir os colchetes no lado esquerdo da equação e trazer termos semelhantes, obterá a igualdade 14 \u003d 14. Essa igualdade será obtida para qualquer x

Exemplo 2. resolva a equação

A raiz desta equação é qualquer número. Se você abrir os colchetes no lado esquerdo da equação, você obtém a igualdade 10x + 12 = 10x + 12. Essa igualdade será obtida para qualquer x

Quando não há raízes

Acontece também que a equação não tem solução alguma, ou seja, não tem raízes. Por exemplo, a equação não tem raízes, porque para qualquer valor x, o lado esquerdo da equação não será igual ao lado direito. Por exemplo, deixe . Então a equação terá a seguinte forma

Exemplo 2. resolva a equação

Vamos expandir os colchetes no lado esquerdo da equação:

Aqui estão termos semelhantes:

Vemos que o lado esquerdo não é igual ao lado direito. E assim será para qualquer valor y. Por exemplo, deixe y = 3 .

Equações de letras

Uma equação pode conter não apenas números com variáveis, mas também letras.

Por exemplo, a fórmula para encontrar a velocidade é uma equação literal:

Esta equação descreve a velocidade do corpo em movimento uniformemente acelerado.

Uma habilidade útil é a capacidade de expressar qualquer componente incluído em uma equação de letras. Por exemplo, para determinar a distância de uma equação, você precisa expressar a variável s .

Multiplique os dois lados da equação por t

Variáveis ​​à direita t Reduzir por t

Na equação resultante, as partes esquerda e direita são trocadas:

Obtivemos a fórmula para encontrar a distância, que estudamos anteriormente.

Vamos tentar determinar o tempo a partir da equação. Para fazer isso, você precisa expressar a variável t .

Multiplique os dois lados da equação por t

Variáveis ​​à direita t Reduzir por t e reescrever o que nos resta:

Na equação resultante v × t = s dividir as duas partes em v

Variáveis ​​à esquerda v Reduzir por v e reescrever o que nos resta:

Obtivemos a fórmula para determinar o tempo, que estudamos anteriormente.

Suponha que a velocidade do trem seja 50 km/h

v= 50km/h

E a distância é de 100 km

s= 100km

Então a carta terá a seguinte forma

A partir desta equação você pode encontrar o tempo. Para fazer isso, você precisa ser capaz de expressar a variável t. Você pode usar a regra para encontrar um divisor desconhecido dividindo o dividendo pelo quociente e assim determinar o valor da variável t

ou você pode usar transformações idênticas. Primeiro multiplique ambos os lados da equação por t

Depois divida as duas partes por 50

Exemplo 2 x

Subtrair de ambos os lados da equação uma

Divida os dois lados da equação por b

a + bx = c, então teremos uma solução pronta. Será o suficiente para substituir os valores necessários nele. Aqueles valores que serão substituídos por letras a, b, c chamado parâmetros. E equações da forma a + bx = c chamado equação com parâmetros. Dependendo dos parâmetros, a raiz mudará.

Resolva a equação 2 + 4 x= 10. Parece uma equação literal a + bx = c. Em vez de realizar transformações idênticas, podemos usar uma solução pronta. Vamos comparar as duas soluções:

Vemos que a segunda solução é muito mais simples e curta.

Para a solução finalizada, você precisa fazer uma pequena observação. Parâmetro b não deve ser zero (b ≠ 0), pois a divisão por zero não é permitida.

Exemplo 3. Dada uma equação literal. Expresse desta equação x

Vamos abrir os colchetes em ambas as partes da equação

Usamos a transferência de termos. Parâmetros que contêm uma variável x, agrupamos no lado esquerdo da equação, e os parâmetros livres dessa variável - no lado direito.

No lado esquerdo, tiramos o fator x

Divida ambas as partes em uma expressão a-b

No lado esquerdo, o numerador e o denominador podem ser reduzidos por a-b. Então a variável é finalmente expressa x

Agora, se encontrarmos uma equação da forma a(x − c) = b(x + d), então teremos uma solução pronta. Será o suficiente para substituir os valores necessários nele.

Suponha que nos seja dada uma equação 4(x- 3) = 2(x+ 4) . Parece uma equação a(x − c) = b(x + d). Resolvemos de duas maneiras: usando transformações idênticas e usando uma solução pronta:

Por conveniência, extraímos da equação 4(x- 3) = 2(x+ 4) valores de parâmetro uma, b, c, d . Isso nos permitirá não cometer erros ao substituir:

Como no exemplo anterior, o denominador aqui não deve ser igual a zero ( a - b ≠ 0). Se encontrarmos uma equação da forma a(x − c) = b(x + d) em que os parâmetros uma e b são iguais, podemos dizer sem resolvê-la que esta equação não tem raízes, pois a diferença de números idênticos é zero.

Por exemplo, a equação 2(x − 3) = 2(x + 4)é uma equação da forma a(x − c) = b(x + d). Na equação 2(x − 3) = 2(x + 4) opções uma e b o mesmo. Se começarmos a resolvê-lo, chegaremos à conclusão de que o lado esquerdo não será igual ao lado direito:

Exemplo 4. Dada uma equação literal. Expresse desta equação x

Trazemos o lado esquerdo da equação para um denominador comum:

Multiplique os dois lados por uma

No lado esquerdo x tire-o dos parênteses

Dividimos ambas as partes pela expressão (1 − uma)

Equações lineares com uma incógnita

As equações consideradas nesta lição são chamadas equações lineares de primeiro grau com uma incógnita.

Se a equação é dada no primeiro grau, não contém divisão pela incógnita e também não contém raízes da incógnita, então ela pode ser chamada de linear. Ainda não estudamos graus e raízes, então para não complicar nossas vidas, vamos entender a palavra “linear” como “simples”.

A maioria das equações resolvidas nesta lição acabou sendo reduzida à equação mais simples em que o produto tinha que ser dividido por um fator conhecido. Por exemplo, a equação 2( x+ 3) = 16 . Vamos resolver.

Vamos abrir os colchetes do lado esquerdo da equação, temos 2 x+ 6 = 16. Vamos mover o termo 6 para o lado direito mudando o sinal. Então obtemos 2 x= 16 − 6. Calcule o lado direito, obtemos 2 x= 10. Para encontrar x, dividimos o produto 10 pelo fator conhecido 2. Portanto x = 5.

Equação 2( x+ 3) = 16 é linear. Reduziu para a equação 2 x= 10 , para encontrar a raiz da qual foi necessário dividir o produto por um fator conhecido. Essa equação simples é chamada equação linear do primeiro grau com uma incógnita na forma canônica. A palavra "canônico" é sinônimo das palavras "simples" ou "normal".

Uma equação linear de primeiro grau com uma incógnita na forma canônica é chamada de equação da forma ax = b.

Nossa Equação 2 x= 10 é uma equação linear de primeiro grau com uma incógnita na forma canônica. Esta equação tem o primeiro grau, uma incógnita, não contém divisão pela incógnita e não contém raízes da incógnita, e é apresentada na forma canônica, ou seja, na forma mais simples em que é fácil determinar o valor x. Em vez de parâmetros uma e b nossa equação contém os números 2 e 10. Mas uma equação semelhante pode conter outros números: positivo, negativo ou igual a zero.

Se em uma equação linear uma= 0 e b= 0 , então a equação tem infinitas raízes. Com efeito, se umaé zero e b igual a zero, então a equação linear machado= b toma a forma 0 x= 0. Para qualquer valor x o lado esquerdo será igual ao lado direito.

Se em uma equação linear uma= 0 e b≠ 0, então a equação não tem raízes. Com efeito, se umaé zero e bé igual a algum número diferente de zero, digamos o número 5, então a equação ax=b toma a forma 0 x= 5. O lado esquerdo será zero e o lado direito cinco. E zero não é igual a cinco.

Se em uma equação linear uma≠ 0 e bé igual a qualquer número, então a equação tem uma raiz. É determinado dividindo o parâmetro b por parâmetro uma

Com efeito, se umaé igual a algum número diferente de zero, digamos o número 3, e b for igual a algum número, digamos o número 6, então a equação terá a forma .
Daqui.

Existe outra forma de escrever uma equação linear de primeiro grau com uma incógnita. Se parece com isso: ax - b= 0. Esta é a mesma equação que ax=b

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