Fórmulas básicas de identidade trigonométrica. Identidades trigonométricas

No início deste artigo, discutimos o conceito de funções trigonométricas. O principal objetivo de seu propósito é estudar os fundamentos da trigonometria e o estudo dos processos periódicos. E não desenhamos o círculo trigonométrico em vão, porque na maioria dos casos as funções trigonométricas são definidas como a razão dos lados de um triângulo ou seus certos segmentos em um círculo unitário. Mencionei também a inegavelmente grande importância da trigonometria na vida moderna. Mas a ciência não fica parada, como resultado, podemos expandir significativamente o escopo da trigonometria e transferir suas provisões para números reais e, às vezes, complexos.

Fórmulas de trigonometria existem vários tipos. Vamos considerá-los em ordem.

Relações de funções trigonométricas do mesmo ângulo

Aqui chegamos à consideração de um conceito como identidades trigonométricas básicas.

Uma identidade trigonométrica é uma igualdade que consiste em relações trigonométricas e que é verdadeira para todos os valores dos ângulos que estão incluídos nela.

Considere as identidades trigonométricas mais importantes e suas provas:

A primeira identidade decorre da própria definição de tangente.

Tome um triângulo retângulo com um ângulo agudo x no vértice A.

Para provar as identidades, é necessário usar o teorema de Pitágoras:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Agora dividimos por (AB) 2 ambas as partes da igualdade e lembrando das definições de sen e cos do ângulo, obtemos a segunda identidade:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sen x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sen 2 x + cos 2 x = 1

Para provar a terceira e quarta identidades, usamos a prova anterior.

Para fazer isso, dividimos ambas as partes da segunda identidade por cos 2 x:

sen 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sen 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Com base na primeira identidade tg x \u003d sin x / cos x obtemos a terceira:

1 + tg2x = 1/cos2x

Agora dividimos a segunda identidade por sen 2 x:

sen 2 x/ sen 2 x + cos 2 x/ sen 2 x = 1/ sen 2 x

1+ cos 2 x/ sen 2 x = 1/ sen 2 x

cos 2 x/ sin 2 x nada mais é do que 1/tg 2 x, então obtemos a quarta identidade:

1 + 1/tg2x = 1/sen2x

É hora de lembrar o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo, que diz que a soma dos ângulos de um triângulo \u003d 180 0. Acontece que no vértice B do triângulo existe um ângulo cujo valor é 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.

Lembre-se das definições para sin e cos novamente e obtemos a quinta e a sexta identidades:

sen x = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = sen x

Agora vamos fazer o seguinte:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = cos x

Como você pode ver, tudo é elementar aqui.

Existem outras identidades que são usadas na resolução de identidades matemáticas, eu as darei apenas como referência, porque todas derivam do exposto acima.

Expressões de funções trigonométricas entre si

(a escolha do sinal na frente da raiz é determinada por qual dos quartos do círculo o canto está localizado?)

A seguir estão as fórmulas para adicionar e subtrair ângulos:

Fórmulas de duplo, triplo e meio ângulo.

Observo que todos eles seguem das fórmulas anteriores.

sen 2x \u003d 2sen x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x

cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)

Fórmulas para converter expressões trigonométricas:

A solicitação "sin" é redirecionada aqui; veja também outros significados. A solicitação "sec" é redirecionada aqui; veja também outros significados. "Sine" redireciona aqui; veja também outros significados... Wikipedia

Arroz. 1 Gráficos de funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, secante, cossecante, cotangente As funções trigonométricas são um tipo de funções elementares. Geralmente eles incluem seno (sen x), cosseno (cos x), tangente (tg x), cotangente (ctg x), ... ... Wikipedia

Medições geodésicas (século XVII) ... Wikipedia

Em trigonometria, a fórmula para a tangente de um meio ângulo relaciona a tangente de um meio ângulo com as funções trigonométricas de um ângulo completo: Várias variações desta fórmula são as seguintes ... Wikipedia

- (do grego τρίγονο (triângulo) e do grego μετρειν (medida), ou seja, a medida de triângulos) um ramo da matemática que estuda as funções trigonométricas e suas aplicações à geometria. Este termo apareceu pela primeira vez em 1595 como ... ... Wikipedia

- (lat. solutio triangulorum) um termo histórico que significa a solução do principal problema trigonométrico: usando dados conhecidos sobre um triângulo (lados, ângulos, etc.), encontre o resto de suas características. O triângulo pode ser localizado em ... ... Wikipedia

Livros

Um conjunto de mesas. Álgebra e os primórdios da análise. Grau 10. 17 tabelas + metodologia, . As mesas são impressas em cartão poligráfico grosso de 680 x 980 mm. O kit inclui um folheto com recomendações metodológicas para professores. Álbum de estudos de 17 folhas.…
Tabelas de integrais e outras fórmulas matemáticas, G. B. Dwight. A décima edição do famoso livro de referência contém tabelas muito detalhadas de integrais indefinidas e definidas, bem como um grande número de outras fórmulas matemáticas: expansões em série, ...

No século V aC, o antigo filósofo grego Zenão de Elea formulou suas famosas aporias, das quais a mais famosa é a aporia "Aquiles e a tartaruga". Aqui está como soa:

Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo em que Aquiles percorre essa distância, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Quando Aquiles tiver dado cem passos, a tartaruga rastejará outros dez passos, e assim por diante. O processo continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.

Esse raciocínio se tornou um choque lógico para todas as gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos eles, de uma forma ou de outra, consideravam as aporias de Zenão. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam na atualidade, a comunidade científica ainda não conseguiu chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo do assunto ; nenhum deles se tornou uma solução universalmente aceita para o problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende qual é o engano.

Do ponto de vista da matemática, Zenão em sua aporia demonstrou claramente a transição do valor para. Esta transição implica aplicar em vez de constantes. Tanto quanto eu entendo, o aparato matemático para aplicar unidades de medida variáveis ainda não foi desenvolvido ou não foi aplicado à aporia de Zenão. A aplicação de nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, pela inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao recíproco. Do ponto de vista físico, parece que o tempo desacelera até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não pode mais ultrapassar a tartaruga.

Se virarmos a lógica a que estamos acostumados, tudo se encaixa. Aquiles corre a uma velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de "infinito" nessa situação, seria correto dizer "Aquiles ultrapassará a tartaruga infinitamente rapidamente".

Como evitar essa armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para valores recíprocos. Na linguagem de Zeno, fica assim:

No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo, igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.

Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a intransponibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão "Aquiles e a tartaruga". Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução deve ser buscada não em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.

Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:

Uma flecha voadora é imóvel, pois em cada momento está em repouso, e como está em repouso em todos os momentos, está sempre em repouso.

Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento a flecha voadora repousa em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Há outro ponto a ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar o fato do movimento do carro, são necessárias duas fotografias tiradas do mesmo ponto em pontos diferentes no tempo, mas não podem ser usadas para determinar a distância. Para determinar a distância até o carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos no espaço ao mesmo tempo, mas não pode determinar o fato do movimento delas (naturalmente, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria o ajudará). O que quero salientar em particular é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são duas coisas diferentes que não devem ser confundidas, pois oferecem diferentes oportunidades de exploração.

quarta-feira, 4 de julho de 2018

Muito bem as diferenças entre set e multiset estão descritas na Wikipedia. Nós olhamos.

Como você pode ver, "o conjunto não pode ter dois elementos idênticos", mas se houver elementos idênticos no conjunto, esse conjunto é chamado de "multiconjunto". Os seres racionais jamais compreenderão tal lógica do absurdo. Este é o nível de papagaios falantes e macacos treinados, no qual a mente está ausente da palavra "completamente". Os matemáticos agem como treinadores comuns, pregando suas ideias absurdas para nós.

Era uma vez, os engenheiros que construíram a ponte estavam em um barco debaixo da ponte durante os testes da ponte. Se a ponte desabasse, o engenheiro medíocre morria sob os escombros de sua criação. Se a ponte pudesse suportar a carga, o talentoso engenheiro construiu outras pontes.

Por mais que os matemáticos se escondam por trás da frase "cuidado comigo, estou em casa", ou melhor, "a matemática estuda conceitos abstratos", há um cordão umbilical que os conecta inextricavelmente com a realidade. Este cordão umbilical é dinheiro. Vamos aplicar a teoria dos conjuntos matemáticos aos próprios matemáticos.

Estudamos matemática muito bem e agora estamos sentados no caixa, pagando salários. Aqui um matemático vem até nós por seu dinheiro. Contamos o valor total para ele e o colocamos em nossa mesa em pilhas diferentes, nas quais colocamos notas do mesmo valor. Em seguida, pegamos uma nota de cada pilha e damos ao matemático seu "conjunto de salários matemáticos". Explicamos a matemática que ele só receberá o restante das contas quando provar que o conjunto sem elementos idênticos não é igual ao conjunto com elementos idênticos. Isto é onde a diversão começa.

Em primeiro lugar, a lógica dos deputados funcionará: "você pode aplicar aos outros, mas não a mim!" Além disso, começarão as garantias de que existem números de notas diferentes nas notas da mesma denominação, o que significa que não podem ser considerados elementos idênticos. Bem, contamos o salário em moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático lembrará freneticamente da física: moedas diferentes têm quantidades diferentes de sujeira, a estrutura cristalina e o arranjo dos átomos para cada moeda são únicos ...

E agora eu tenho a pergunta mais interessante: onde está o limite além do qual elementos de um multiconjunto se transformam em elementos de um conjunto e vice-versa? Tal linha não existe - tudo é decidido pelos xamãs, a ciência aqui não está nem perto.

Olhe aqui. Selecionamos estádios de futebol com a mesma área de campo. A área dos campos é a mesma, o que significa que temos um multiset. Mas se considerarmos os nomes dos mesmos estádios, conseguimos muito, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é um conjunto e um multiconjunto ao mesmo tempo. Como certo? E aqui o matemático-xamã-shuller tira um ás de trunfo da manga e começa a nos contar sobre um conjunto ou um multiconjunto. De qualquer forma, ele nos convencerá de que está certo.

Para entender como os xamãs modernos operam com a teoria dos conjuntos, atrelando-a à realidade, basta responder a uma pergunta: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Vou lhe mostrar, sem nenhum "concebível como um todo" ou "não concebível como um todo".

domingo, 18 de março de 2018

A soma dos dígitos de um número é uma dança de xamãs com um pandeiro, que nada tem a ver com matemática. Sim, nas aulas de matemática somos ensinados a encontrar a soma dos dígitos de um número e usá-la, mas eles são xamãs para isso, para ensinar seus descendentes suas habilidades e sabedoria, caso contrário os xamãs simplesmente morrerão.

Você precisa de provas? Abra a Wikipedia e tente encontrar a página "Soma de dígitos de um número". Ela não existe. Não existe uma fórmula em matemática pela qual você possa encontrar a soma dos dígitos de qualquer número. Afinal, os números são símbolos gráficos com os quais escrevemos números e, na linguagem da matemática, a tarefa soa assim: "Encontre a soma dos símbolos gráficos que representam qualquer número". Os matemáticos não podem resolver este problema, mas os xamãs podem fazê-lo de forma elementar.

Vamos descobrir o que e como fazemos para encontrar a soma dos dígitos de um determinado número. E assim, digamos que temos o número 12345. O que precisa ser feito para encontrar a soma dos dígitos desse número? Vamos considerar todas as etapas em ordem.

1. Anote o número em um pedaço de papel. O que nos fizemos? Convertemos o número em um símbolo gráfico numérico. Esta não é uma operação matemática.

2. Cortamos uma foto recebida em várias fotos contendo números separados. Cortar uma imagem não é uma operação matemática.

3. Converta caracteres gráficos individuais em números. Esta não é uma operação matemática.

4. Some os números resultantes. Agora isso é matemática.

A soma dos dígitos do número 12345 é 15. São os "cursos de corte e costura" dos xamãs usados pelos matemáticos. Mas isso não é tudo.

Do ponto de vista da matemática, não importa em qual sistema numérico escrevemos o número. Assim, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número será diferente. Em matemática, o sistema numérico é indicado como um subscrito à direita do número. Com um grande número de 12345, não quero enganar minha cabeça, considere o número 26 do artigo sobre. Vamos escrever este número em sistemas numéricos binários, octais, decimais e hexadecimais. Não consideraremos cada etapa sob um microscópio, já fizemos isso. Vejamos o resultado.

Como você pode ver, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número é diferente. Este resultado não tem nada a ver com matemática. É como encontrar a área de um retângulo em metros e centímetros lhe daria resultados completamente diferentes.

Zero em todos os sistemas numéricos parece o mesmo e não tem soma de dígitos. Este é outro argumento a favor do fato de que . Uma pergunta para os matemáticos: como se denota em matemática aquilo que não é um número? O que, para os matemáticos, nada além de números existe? Para os xamãs, posso permitir isso, mas para os cientistas, não. A realidade não é apenas sobre números.

O resultado obtido deve ser considerado como prova de que os sistemas numéricos são unidades de medida dos números. Afinal, não podemos comparar números com unidades de medida diferentes. Se as mesmas ações com diferentes unidades de medida da mesma quantidade levam a resultados diferentes depois de compará-las, isso não tem nada a ver com matemática.

O que é matemática de verdade? É quando o resultado de uma ação matemática não depende do valor do número, da unidade de medida utilizada e de quem realiza essa ação.

Sinal na porta Abre a porta e diz:

Ai! Este não é o banheiro feminino?
- Jovem! Este é um laboratório para estudar a santidade indefinida das almas após a ascensão ao céu! Nimbus no topo e seta para cima. Que outro banheiro?

Feminino... Uma auréola em cima e uma seta para baixo é masculina.

Se você tem uma obra de arte de design piscando diante de seus olhos várias vezes ao dia,

Então não é de surpreender que de repente você encontre um ícone estranho em seu carro:

Pessoalmente, eu me esforço para ver menos quatro graus em uma pessoa fazendo cocô (uma foto) (composição de várias fotos: sinal de menos, número quatro, designação de graus). E eu não considero essa garota uma tola que não sabe física. Ela só tem um estereótipo de arco de percepção de imagens gráficas. E os matemáticos nos ensinam isso o tempo todo. Aqui está um exemplo.

1A não é "menos quatro graus" ou "um a". Isso é "pooping man" ou o número "vinte e seis" no sistema numérico hexadecimal. As pessoas que trabalham constantemente nesse sistema numérico percebem automaticamente o número e a letra como um símbolo gráfico.

Você pode pedir uma solução detalhada para o seu problema!!!

Uma igualdade contendo uma incógnita sob o sinal de uma função trigonométrica (`sen x, cos x, tg x` ou `ctg x`) é chamada de equação trigonométrica, e consideraremos suas fórmulas mais adiante.

As equações mais simples são `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, onde `x` é o ângulo a ser encontrado, `a` é qualquer número. Vamos escrever as fórmulas de raiz para cada um deles.

1. Equação `sen x=a`.

Para `|a|>1` não tem soluções.

Com `|a| \leq 1` tem um número infinito de soluções.

Fórmula raiz: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Equação `cos x=a`

Para `|a|>1` - como no caso do seno, não há soluções entre números reais.

Com `|a| \leq 1` tem um número infinito de soluções.

Fórmula raiz: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Casos especiais para seno e cosseno em gráficos.

3. Equação `tg x=a`

Tem um número infinito de soluções para quaisquer valores de `a`.

Fórmula raiz: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Equação `ctg x=a`

Ele também possui um número infinito de soluções para quaisquer valores de `a`.

Fórmula raiz: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Fórmulas para as raízes das equações trigonométricas na tabela

Para sinusite:
Para cosseno:
Para tangente e cotangente:
Fórmulas para resolver equações contendo funções trigonométricas inversas:

Métodos para resolver equações trigonométricas

A solução de qualquer equação trigonométrica consiste em duas etapas:

usando para convertê-lo para o mais simples;
resolva a equação simples resultante usando as fórmulas acima para as raízes e tabelas.

Vamos considerar os principais métodos de solução usando exemplos.

método algébrico.

Neste método, é feita a substituição de uma variável e sua substituição em igualdade.

Exemplo. Resolva a equação: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faça uma substituição: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, então `2y^2-3y+1=0`,

encontramos as raízes: `y_1=1, y_2=1/2`, das quais seguem dois casos:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Resposta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Fatoração.

Exemplo. Resolva a equação: `sen x+cos x=1`.

Solução. Mova para a esquerda todos os termos de igualdade: `sin x+cos x-1=0`. Usando , transformamos e fatoramos o lado esquerdo:

`sen x - 2sen^2 x/2=0`,

`2sen x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sen x/2 (cos x/2-sen x/2)=0`,

`sen x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sen x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Resposta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redução a uma equação homogênea

Primeiro, você precisa trazer essa equação trigonométrica para uma das duas formas:

`a sin x+b cos x=0` (equação homogênea do primeiro grau) ou `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (equação homogênea do segundo grau).

Em seguida, divida ambas as partes por `cos x \ne 0` para o primeiro caso e por `cos^2 x \ne 0` para o segundo. Obtemos equações para `tg x`: `a tg x+b=0` e `a tg^2 x + b tg x +c =0`, que devem ser resolvidas usando métodos conhecidos.

Exemplo. Resolva a equação: `2 sen^2 x+sen x cos x - cos^2 x=1`.

Solução. Vamos escrever o lado direito como `1=sen^2 x+cos^2 x`:

`2 sen^2 x+sen x cos x — cos^2 x=` `sen^2 x+cos^2 x`,

`2 sen^2 x+sen x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sen^2 x+sen x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Esta é uma equação trigonométrica homogênea de segundo grau, dividindo seus lados esquerdo e direito por `cos^2 x \ne 0`, temos:

`\frac (sen^2 x)(cos^2 x)+\frac(sen x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Vamos introduzir a substituição `tg x=t`, como resultado `t^2 + t - 2=0`. As raízes desta equação são `t_1=-2` e `t_2=1`. Então:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Responda. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Ir para o meio canto

Exemplo. Resolva a equação: `11 sen x - 2 cos x = 10`.

Solução. Aplicando as fórmulas de ângulo duplo, o resultado é: `22 sen (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sen^2 x/2=` `10 sen^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Aplicando o método algébrico descrito acima, obtemos:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Responda. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introdução de um ângulo auxiliar

Na equação trigonométrica `a sin x + b cos x =c`, onde a,b,c são coeficientes e x é uma variável, dividimos ambas as partes por `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Os coeficientes do lado esquerdo têm as propriedades de seno e cosseno, ou seja, a soma de seus quadrados é igual a 1 e seu módulo não é maior que 1. Denote-os como segue: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C', então:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Vejamos mais de perto o seguinte exemplo:

Exemplo. Resolva a equação: `3 sen x+4 cos x=2`.

Solução. Dividindo ambos os lados da equação por `sqrt (3^2+4^2)`, obtemos:

`\frac (3 sen x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sen x+4/5 cos x=2/5`.

Denote `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Como `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tomamos `\varphi=arcsin 4/5` como um ângulo auxiliar. Então escrevemos nossa igualdade na forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicando a fórmula da soma dos ângulos para o seno, escrevemos nossa igualdade na seguinte forma:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Responda. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Equações trigonométricas fracionárias-racionais

São igualdades com frações, nos numeradores e denominadores das quais existem funções trigonométricas.

Exemplo. Resolva a equação. `\frac (sen x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solução. Multiplique e divida o lado direito da equação por `(1+cos x)`. Como resultado, obtemos:

`\frac (sen x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)=` `\frac (sen^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)-` `\frac (sen^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sen x-sen^2 x)(1+cos x)=0`

Dado que o denominador não pode ser zero, obtemos `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Iguale o numerador da fração a zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Então `sen x=0` ou `1-sen x=0`.

`sen x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dado que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, as soluções são `x=2\pi n, n \in Z` e `x=\pi /2+2\pi n` , `n \em Z`.

Responda. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

A trigonometria e as equações trigonométricas em particular são usadas em quase todas as áreas da geometria, física e engenharia. O estudo começa na 10ª série, sempre há tarefas para o exame, então tente se lembrar de todas as fórmulas das equações trigonométricas - elas definitivamente serão úteis para você!

No entanto, você nem precisa memorizá-los, o principal é entender a essência e ser capaz de deduzir. Não é tão difícil quanto parece. Veja você mesmo assistindo ao vídeo.

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Relações de funções trigonométricas do mesmo ângulo

Expressões de funções trigonométricas entre si

A seguir estão as fórmulas para adicionar e subtrair ângulos:

Fórmulas de duplo, triplo e meio ângulo.

Fórmulas para converter expressões trigonométricas: