5207 tarefas do exame real 2.06 17. Preparação para o exame de matemática (nível de perfil): tarefas, soluções e explicações

Ensino médio geral

Linha UMK G.K. Muravina. Álgebra e os primórdios da análise matemática (10-11) (profundo)

Linha UMK Merzlyak. Álgebra e os primórdios da análise (10-11) (U)

Matemáticas

Preparação para o exame de matemática (nível de perfil): tarefas, soluções e explicações

Analisamos tarefas e resolvemos exemplos com o professor

O exame de nível de perfil dura 3 horas e 55 minutos (235 minutos).

Limite Mínimo- 27 pontos.

A prova de exame consiste em duas partes, que diferem em conteúdo, complexidade e número de tarefas.

A característica definidora de cada parte do trabalho é a forma de tarefas:

  • a parte 1 contém 8 tarefas (tarefas 1-8) com uma resposta curta na forma de um número inteiro ou uma fração decimal final;
  • A parte 2 contém 4 tarefas (tarefas 9-12) com uma resposta curta na forma de um número inteiro ou uma fração decimal final e 7 tarefas (tarefas 13-19) com uma resposta detalhada (registro completo da decisão com a justificativa para a ações realizadas).

Panova Svetlana Anatolievna, professor de matemática da categoria mais alta da escola, experiência profissional de 20 anos:

“Para obter um certificado escolar, o graduado deve passar em dois exames obrigatórios na forma do Exame Estadual Unificado, um dos quais é o de matemática. De acordo com o Conceito para o Desenvolvimento da Educação Matemática na Federação Russa, o Exame Estadual Unificado em matemática é dividido em dois níveis: básico e especializado. Hoje vamos considerar as opções para o nível do perfil.

Tarefa número 1- verifica a capacidade dos participantes do USE para aplicar as habilidades adquiridas no curso de 5-9 anos em matemática elementar em atividades práticas. O participante deve ter habilidades computacionais, ser capaz de trabalhar com números racionais, ser capaz de arredondar frações decimais, ser capaz de converter uma unidade de medida em outra.

Exemplo 1 No apartamento onde Petr mora, foi instalado um medidor de água fria (medidor). No dia 1º de maio, o medidor apresentava um consumo de 172 metros cúbicos. m de água, e no dia primeiro de junho - 177 metros cúbicos. m. Que quantia Pedro deve pagar pela água fria para maio, se o preço de 1 cu. m de água fria é 34 rublos 17 copeques? Dê sua resposta em rublos.

Solução:

1) Encontre a quantidade de água gasta por mês:

177 - 172 = 5 (m³)

2) Descubra quanto dinheiro será pago pela água gasta:

34,17 5 = 170,85 (esfregar)

Responda: 170,85.


Tarefa número 2- é uma das tarefas mais simples do exame. A maioria dos graduados lida com isso com sucesso, o que indica a posse da definição do conceito de função. O tipo de tarefa nº 2 de acordo com o codificador de requisitos é uma tarefa para usar os conhecimentos e habilidades adquiridos em atividades práticas e na vida cotidiana. A tarefa nº 2 consiste em descrever, usando funções, várias relações reais entre grandezas e interpretar seus gráficos. A tarefa número 2 testa a capacidade de extrair informações apresentadas em tabelas, diagramas, gráficos. Os graduados precisam ser capazes de determinar o valor de uma função pelo valor do argumento com várias maneiras de especificar a função e descrever o comportamento e as propriedades da função de acordo com seu gráfico. Também é necessário ser capaz de encontrar o maior ou menor valor do gráfico da função e construir gráficos das funções estudadas. Os erros cometidos são de natureza aleatória na leitura das condições do problema, lendo o diagrama.

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Exemplo 2 A figura mostra a variação do valor de troca de uma ação de uma mineradora na primeira quinzena de abril de 2017. Em 7 de abril, o empresário comprou 1.000 ações desta empresa. Em 10 de abril, ele vendeu três quartos das ações compradas e, em 13 de abril, vendeu todas as ações restantes. Quanto o empresário perdeu com essas operações?


Solução:

2) 1000 3/4 = 750 (ações) - compõem 3/4 de todas as ações compradas.

6) 247.500 + 77.500 = 325.000 (rublos) - o empresário recebeu após a venda de 1.000 ações.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (rublos) - o empresário perdeu como resultado de todas as operações.

Responda: 15000.

Tarefa número 3- é uma tarefa do nível básico da primeira parte, verifica a capacidade de realizar ações com formas geométricas de acordo com o conteúdo do curso "Planimetria". A tarefa 3 testa a capacidade de calcular a área de uma figura em papel quadriculado, a capacidade de calcular medidas de graus de ângulos, calcular perímetros, etc.

Exemplo 3 Encontre a área de um retângulo desenhado em papel quadriculado com um tamanho de célula de 1 cm por 1 cm (veja a figura). Dê sua resposta em centímetros quadrados.

Solução: Para calcular a área desta figura, você pode usar a fórmula Peak:

Para calcular a área desse retângulo, usamos a fórmula Peak:

S= B +

 G
2
onde V = 10, G = 6, portanto

S = 18 +

 6
2
Responda: 20.

Veja também: Exame de Estado Unificado em Física: resolvendo problemas de vibração
Tarefa número 4- a tarefa do curso "Teoria e Estatística das Probabilidades". A capacidade de calcular a probabilidade de um evento na situação mais simples é testada.

Exemplo 4 Há 5 pontos vermelhos e 1 azul no círculo. Determine quais polígonos são maiores: aqueles com todos os vértices vermelhos ou aqueles com um dos vértices azuis. Na sua resposta, indique quantos mais de um do que o outro.

Solução: 1) Usamos a fórmula para o número de combinações de n elementos por k:

todos cujos vértices são vermelhos.

3) Um pentágono com todos os vértices vermelhos.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polígonos com todos os vértices vermelhos.

cujos vértices são vermelhos ou com um vértice azul.

cujos vértices são vermelhos ou com um vértice azul.

8) Um hexágono cujos vértices são vermelhos com um vértice azul.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polígonos que possuem todos os vértices vermelhos ou um vértice azul.

10) 42 - 16 = 26 polígonos que usam o ponto azul.

11) 26 - 16 = 10 polígonos - quantos polígonos, em que um dos vértices é um ponto azul, são mais do que polígonos, em que todos os vértices são apenas vermelhos.

Responda: 10.

Tarefa número 5- o nível básico da primeira parte testa a capacidade de resolver as equações mais simples (irracional, exponencial, trigonométrica, logarítmica).

Exemplo 5 Resolva a Equação 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Solução. Divida ambos os lados desta equação por 5 3 + X≠ 0, obtemos

2 3 + x = 0,4 ou 2 3 + X = 2 ,
5 3 + X 5 5

daí segue que 3 + x = 1, x = –2.

Responda: –2.

Tarefa número 6 em planimetria para encontrar grandezas geométricas (comprimentos, ângulos, áreas), modelando situações reais na linguagem da geometria. O estudo dos modelos construídos utilizando conceitos e teoremas geométricos. A fonte das dificuldades é, via de regra, o desconhecimento ou aplicação incorreta dos teoremas necessários da planimetria.

Área de um triângulo abcé igual a 129. DE- linha mediana paralela ao lado AB. Encontre a área do trapézio ABED.


Solução. Triângulo CDE semelhante a um triângulo TÁXI em dois vértices, pois o vértice no vértice C geral, ângulo CDE igual ao ângulo TÁXI como os ângulos correspondentes em DE || AB secante CA. Porque DEé a linha do meio do triângulo pela condição, então pela propriedade da linha do meio | DE = (1/2)AB. Portanto, o coeficiente de similaridade é 0,5. As áreas de figuras semelhantes são relacionadas como o quadrado do coeficiente de similaridade, então

Consequentemente, S ABED = S Δ abc – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tarefa número 7- verifica a aplicação da derivada ao estudo da função. Para uma implementação bem-sucedida, é necessária uma posse significativa e não formal do conceito de derivado.

Exemplo 7 Para o gráfico da função y = f(x) no ponto com a abcissa x 0 desenha-se uma tangente, que é perpendicular à reta que passa pelos pontos (4; 3) e (3; -1) deste gráfico. Achar f′( x 0).

Solução. 1) Vamos usar a equação de uma reta que passa por dois pontos dados e encontrar a equação de uma reta que passa pelos pontos (4; 3) e (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, onde k 1 = 4.

2) Encontre a inclinação da tangente k 2 que é perpendicular à linha y = 4x– 13, onde k 1 = 4, de acordo com a fórmula:

3) A inclinação da tangente é a derivada da função no ponto de contato. Significa, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Responda: –0,25.

Tarefa número 8- verifica o conhecimento de estereometria elementar entre os participantes do exame, a capacidade de aplicar fórmulas para encontrar áreas de superfície e volumes de figuras, ângulos diedros, comparar os volumes de figuras semelhantes, ser capaz de realizar ações com figuras geométricas, coordenadas e vetores, etc. .

O volume de um cubo circunscrito a uma esfera é 216. Encontre o raio da esfera.


Solução. 1) V cubo = uma 3 (onde umaé o comprimento da aresta do cubo), então

uma 3 = 216

uma = 3 √216

2) Como a esfera está inscrita em um cubo, significa que o comprimento do diâmetro da esfera é igual ao comprimento da aresta do cubo, portanto d = uma, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tarefa número 9- exige que o graduado transforme e simplifique expressões algébricas. Tarefa nº 9 de um nível de complexidade aumentado com uma resposta curta. As tarefas da seção "Cálculos e transformações" no USE são divididas em vários tipos:

    transformações de expressões racionais numéricas;

    transformações de expressões algébricas e frações;

    transformações de expressões irracionais numéricas/letras;

    ações com graus;

    transformação de expressões logarítmicas;

  1. conversão de expressões trigonométricas numéricas/letras.

Exemplo 9 Calcule tgα se for conhecido que cos2α = 0,6 e

3π < α < π.
4

Solução. 1) Vamos usar a fórmula de duplo argumento: cos2α = 2 cos 2 α - 1 e encontrar

tan 2 α = 1 – 1 = 1 – 1 = 10 – 1 = 5 – 1 = 1 1 – 1 = 1 = 0,25.
cos 2 α 0,8 8 4 4 4

Assim, tan 2 α = ± 0,5.

3) Por condição

3π < α < π,
4

portanto α é o ângulo do segundo quarto e tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Responda: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tarefa número 10- verifica a capacidade dos alunos de usar os conhecimentos e habilidades adquiridos precocemente em atividades práticas e na vida cotidiana. Podemos dizer que esses são problemas de física, e não de matemática, mas todas as fórmulas e quantidades necessárias são dadas na condição. As tarefas são reduzidas a resolver uma equação linear ou quadrática, ou uma desigualdade linear ou quadrática. Portanto, é necessário ser capaz de resolver tais equações e desigualdades e determinar a resposta. A resposta deve ser na forma de um número inteiro ou uma fração decimal final.

Dois corpos de massa m= 2 kg cada, movendo-se com a mesma velocidade v= 10 m/s em um ângulo de 2α entre si. A energia (em joules) liberada durante sua colisão absolutamente inelástica é determinada pela expressão Q = mv 2 sen 2 α. Em que menor ângulo 2α (em graus) os corpos devem se mover para que pelo menos 50 joules sejam liberados como resultado da colisão?
Solução. Para resolver o problema, precisamos resolver a desigualdade Q ≥ 50, no intervalo 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sen 2 α ≥ 50

2 10 2 sen 2 α ≥ 50

200 sen2α ≥ 50

Como α ∈ (0°; 90°), vamos resolver apenas

Representamos a solução da inequação graficamente:


Uma vez que pela suposição α ∈ (0°; 90°), significa que 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tarefa número 11- é típico, mas acaba sendo difícil para os alunos. A principal fonte de dificuldades é a construção de um modelo matemático (elaboração de uma equação). A tarefa número 11 testa a capacidade de resolver problemas de palavras.

Exemplo 11. Durante as férias de primavera, Vasya, da 11ª série, teve que resolver 560 problemas de treinamento para se preparar para o exame. Em 18 de março, no último dia de aula, Vasya resolveu 5 problemas. Então, todos os dias ele resolveu o mesmo número de problemas mais do que no dia anterior. Determine quantos problemas Vasya resolveu em 2 de abril no último dia de férias.

Solução: Indicar uma 1 = 5 - o número de tarefas que Vasya resolveu em 18 de março de d– número diário de tarefas resolvidas por Vasya, n= 16 - o número de dias de 18 de março a 2 de abril inclusive, S 16 = 560 - o número total de tarefas, uma 16 - o número de tarefas que Vasya resolveu em 2 de abril. Sabendo que todos os dias Vasya resolveu o mesmo número de tarefas a mais do que no dia anterior, você pode usar as fórmulas para encontrar a soma de uma progressão aritmética:

560 = (5 + uma 16) 8,

5 + uma 16 = 560: 8,

5 + uma 16 = 70,

uma 16 = 70 – 5

uma 16 = 65.

Responda: 65.

Tarefa número 12- verificar a capacidade dos alunos para realizar ações com funções, ser capaz de aplicar a derivada ao estudo da função.

Encontrar o ponto de máximo de uma função y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Solução: 1) Encontre o domínio da função: x + 9 > 0, x> –9, ou seja, x ∈ (–9; ∞).

2) Encontre a derivada da função:

4) O ponto encontrado pertence ao intervalo (–9; ∞). Definimos os sinais da derivada da função e descrevemos o comportamento da função na figura:


O ponto máximo desejado x = –8.

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Tarefa número 13- um nível de complexidade aumentado com uma resposta detalhada, que testa a capacidade de resolver equações, a mais bem-sucedida entre as tarefas com uma resposta detalhada de um nível de complexidade aumentado.

a) Resolva a equação 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Encontre todas as raízes desta equação que pertencem ao segmento.

Solução: a) Seja log 3 (2cos x) = t, então 2 t 2 – 5t + 2 = 0,


 log3(2cos x) = 2 ⇔
2cos x = 9 ⇔
porque x = 4,5 ⇔ porque |cos x| ≤ 1,
log3(2cos x) = 1 2cos x = √3 porque x = √3
2 2
então porque x = √3
2

x = π + 2π k
6
x = – π + 2π k, k ∈ Z
6

b) Encontre as raízes que se encontram no segmento .


Pode-se ver na figura que o segmento dado tem raízes

11π e 13π .
6 6
Responda: a) π + 2π k; – π + 2π k, k ∈ Z; b) 11π ; 13π .
6 6 6 6
Tarefa número 14- nível avançado refere-se às tarefas da segunda parte com uma resposta detalhada. A tarefa testa a capacidade de realizar ações com formas geométricas. A tarefa contém dois itens. No primeiro parágrafo, a tarefa deve ser comprovada e, no segundo parágrafo, deve ser calculada.

O diâmetro da circunferência da base do cilindro é 20, a geratriz do cilindro é 28. O plano intercepta suas bases ao longo de cordas de comprimento 12 e 16. A distância entre as cordas é 2√197.

a) Prove que os centros das bases do cilindro estão do mesmo lado desse plano.

b) Encontre o ângulo entre este plano e o plano da base do cilindro.

Solução: a) Uma corda de comprimento 12 está a uma distância = 8 do centro do círculo de base, e uma corda de comprimento 16, da mesma forma, está a uma distância de 6. Portanto, a distância entre suas projeções em um plano paralelo ao bases dos cilindros é 8 + 6 = 14, ou 8 − 6 = 2.

Então a distância entre as cordas é

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

De acordo com a condição, foi realizado o segundo caso, no qual as projeções das cordas se encontram em um lado do eixo do cilindro. Isso significa que o eixo não intercepta esse plano dentro do cilindro, ou seja, as bases ficam de um lado dele. O que precisava ser comprovado.

b) Vamos denotar os centros das bases como O 1 e O 2. Tracemos do centro da base com uma corda de comprimento 12 a mediatriz dessa corda (ela tem comprimento 8, como já notamos) e do centro da outra base para outra corda. Eles estão no mesmo plano β perpendicular a essas cordas. Vamos chamar o ponto médio da corda menor de B, maior que A, e a projeção de A na segunda base de H (H ∈ β). Então AB,AH ∈ β e, portanto, AB,AH são perpendiculares à corda, ou seja, a linha de interseção da base com o plano dado.

Então o ângulo necessário é

∠ABH = arctan AH = arco 28 = arctg14.
BH 8 – 6

Tarefa número 15- um nível de complexidade aumentado com uma resposta detalhada, verifica a capacidade de resolver as desigualdades, a mais bem-sucedida entre as tarefas com uma resposta detalhada de um nível de complexidade aumentado.

Exemplo 15 Resolva a desigualdade | x 2 – 3x| registro 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Solução: O domínio de definição desta desigualdade é o intervalo (–1; +∞). Considere três casos separadamente:

1) Deixe x 2 – 3x= 0, ou seja X= 0 ou X= 3. Nesse caso, essa desigualdade se torna verdadeira, portanto, esses valores são incluídos na solução.

2) Vamos agora x 2 – 3x> 0, ou seja x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Nesse caso, essa desigualdade pode ser reescrita na forma ( x 2 – 3x) registro 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 e divida por uma expressão positiva x 2 – 3x. Obtemos log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 ou x≤ -0,5. Levando em conta o domínio de definição, temos x ∈ (–1; –0,5].

3) Por fim, considere x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Neste caso, a desigualdade original será reescrita na forma (3 x – x 2) registro 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Depois de dividir por uma expressão positiva 3 x – x 2 , obtemos log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Levando em conta a área, temos x ∈ (0; 1].

Combinando as soluções obtidas, obtemos x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Responda: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tarefa número 16- nível avançado refere-se às tarefas da segunda parte com uma resposta detalhada. A tarefa testa a capacidade de realizar ações com formas geométricas, coordenadas e vetores. A tarefa contém dois itens. No primeiro parágrafo, a tarefa deve ser comprovada e, no segundo parágrafo, deve ser calculada.

Em um triângulo isósceles ABC com um ângulo de 120° no vértice A, desenha-se uma bissetriz BD. O retângulo DEFH está inscrito no triângulo ABC de modo que o lado FH esteja no segmento BC e o vértice E no segmento AB. a) Prove que FH = 2DH. b) Encontre a área do retângulo DEFH se AB = 4.

Solução: a)


1) ΔBEF - retangular, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°): 2 = 30°, então EF = BE devido à propriedade da perna oposta ao ângulo de 30°.

2) Seja EF = DH = x, então BE = 2 x, BF = x√3 pelo teorema de Pitágoras.

3) Como ΔABC é isósceles, então ∠B = ∠C = 30˚.

BD é a bissetriz de ∠B, então ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Considere ΔDBH - retangular, pois DH⊥BC.

2x = 4 – 2x
2x(√3 + 1) 4
1 = 2 – x
√3 + 1 2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Responda: 24 – 12√3.


Tarefa número 17- uma tarefa com uma resposta detalhada, esta tarefa testa a aplicação de conhecimentos e habilidades em atividades práticas e na vida cotidiana, a capacidade de construir e explorar modelos matemáticos. Esta tarefa é uma tarefa de texto com conteúdo econômico.

Exemplo 17. O depósito no valor de 20 milhões de rublos está planejado para ser aberto por quatro anos. No final de cada ano, o banco aumenta o depósito em 10% em relação ao seu tamanho no início do ano. Além disso, no início do terceiro e quarto anos, o depositante reabastece anualmente o depósito por X milhões de rublos, onde X - todo número. Encontre o valor mais alto X, no qual o banco adicionará menos de 17 milhões de rublos ao depósito em quatro anos.

Solução: No final do primeiro ano, a contribuição será de 20 + 20 · 0,1 = 22 milhões de rublos, e no final do segundo - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milhões de rublos. No início do terceiro ano, a contribuição (em milhões de rublos) será (24,2 + X), e no final - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). No início do quarto ano, a contribuição será de (26,62 + 2,1 X), e no final - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Por condição, você precisa encontrar o maior inteiro x para o qual a desigualdade

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x < 7718
310
x < 3859
155
x < 24 139
155

A maior solução inteira para esta desigualdade é o número 24.

Responda: 24.


Tarefa número 18- uma tarefa de maior nível de complexidade com uma resposta detalhada. Esta tarefa destina-se à seleção competitiva para universidades com requisitos acrescidos para a preparação matemática dos candidatos. Uma tarefa de alto nível de complexidade não é uma tarefa de aplicação de um método de solução, mas de uma combinação de diferentes métodos. Para a conclusão bem-sucedida da tarefa 18, além de sólidos conhecimentos matemáticos, também é necessário um alto nível de cultura matemática.

Em que uma sistema de desigualdades

x 2 + y 2 ≤ 2ai – uma 2 + 1
y + uma ≤ |x| – uma

tem exatamente duas soluções?

Solução: Este sistema pode ser reescrito como

x 2 + (y– uma) 2 ≤ 1
y ≤ |x| – uma

Se desenharmos no plano o conjunto de soluções para a primeira inequação, obtemos o interior de um círculo (com um contorno) de raio 1 centrado no ponto (0, uma). O conjunto de soluções da segunda desigualdade é a parte do plano que está sob o gráfico da função y = | x| – uma, e o último é o gráfico da função
y = | x| , deslocado para baixo por uma. A solução deste sistema é a intersecção dos conjuntos solução de cada uma das desigualdades.

Consequentemente, este sistema terá duas soluções apenas no caso mostrado na Fig. 1.


Os pontos de contato entre o círculo e as linhas serão as duas soluções do sistema. Cada uma das linhas retas é inclinada em relação aos eixos em um ângulo de 45°. Então o triângulo PQR- retângulos isósceles. Ponto Q tem coordenadas (0, uma), e o ponto R– coordenadas (0, – uma). Além disso, cortes Relações Públicas e QP são iguais ao raio do círculo igual a 1. Portanto,

QR= 2uma = √2, uma = √2 .
2
Responda: uma = √2 .
2


Tarefa número 19- uma tarefa de maior nível de complexidade com uma resposta detalhada. Esta tarefa destina-se à seleção competitiva para universidades com requisitos acrescidos para a preparação matemática dos candidatos. Uma tarefa de alto nível de complexidade não é uma tarefa de aplicação de um método de solução, mas de uma combinação de diferentes métodos. Para a conclusão bem-sucedida da tarefa 19, é necessário ser capaz de buscar uma solução, escolhendo várias abordagens dentre as conhecidas, modificando os métodos estudados.

Deixar sn soma P membros de uma progressão aritmética ( um p). Sabe-se que S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Dê a fórmula Pº membro desta progressão.

b) Encontre a menor soma de módulo S n.

c) Encontre o menor P, em qual S n será o quadrado de um inteiro.

Solução: a) Obviamente, um = S n – S n- 1 . Usando esta fórmula, obtemos:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

significa, um = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) porque S n = 2n 2 – 25n, então considere a função S(x) = | 2x 2 – 25x|. Seu gráfico pode ser visto na figura.


É óbvio que o menor valor é alcançado nos pontos inteiros localizados mais próximos dos zeros da função. Obviamente são pontos. X= 1, X= 12 e X= 13. Uma vez que, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, então o menor valor é 12.

c) Decorre do número anterior que sn positivo desde n= 13. Desde S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), então o caso óbvio quando esta expressão é um quadrado perfeito é realizado quando n = 2n- 25, ou seja, com P= 25.

Resta verificar os valores de 13 a 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Acontece que para valores menores P quadrado completo não é alcançado.

Responda: a) um = 4n- 27; b) 12; c) 25.

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*Desde maio de 2017, o grupo editorial conjunto DROFA-VENTANA faz parte da Russian Textbook Corporation. A corporação também incluiu a editora Astrel e a plataforma educacional digital LECTA. Alexander Brychkin, graduado pela Academia Financeira sob o governo da Federação Russa, candidato a ciências econômicas, chefe de projetos inovadores da editora DROFA no campo da educação digital (formas eletrônicas de livros didáticos, Russian Electronic School, LECTA digital education plataforma) foi nomeado Diretor Geral. Antes de ingressar na editora DROFA, ele ocupou o cargo de vice-presidente de desenvolvimento estratégico e investimentos da holding editorial EKSMO-AST. Hoje, a Russian Textbook Publishing Corporation possui o maior portfólio de livros didáticos incluídos na Lista Federal - 485 títulos (aproximadamente 40%, excluindo livros didáticos para escolas correcionais). As editoras da corporação possuem os conjuntos de livros didáticos de física, desenho, biologia, química, tecnologia, geografia, astronomia, os mais procurados pelas escolas russas - as áreas de conhecimento necessárias para desenvolver o potencial produtivo do país. O portfólio da corporação inclui livros didáticos e auxiliares de ensino para escolas primárias que receberam o Prêmio do Presidente em Educação. Estes são livros e manuais sobre áreas temáticas que são necessárias para o desenvolvimento do potencial científico, técnico e industrial da Rússia.

Grau 11

Condições da tarefa

  1. O preço de uma chaleira elétrica aumentou 14% e chegou a 1.596 rublos. Quanto valia a chaleira antes do aumento de preço?
  2. O gráfico mostra a dependência do torque do motor em relação ao número de rotações por minuto. O número de revoluções por minuto é plotado no eixo das abcissas e o torque em N∙m é plotado no eixo das ordenadas. A velocidade do veículo (em km/h) é aproximada pela fórmula onde n é o número de rotações do motor por minuto. Qual é a velocidade mínima que o carro deve estar se movendo para que o torque seja 120 N∙m? Dê sua resposta em quilômetros por hora.
  3. Um triângulo ABC é representado em papel quadriculado com tamanho de célula x. Encontre o comprimento de sua altura caída para o lado BC.
  4. A conferência científica é realizada em 5 dias. Estão previstos um total de 75 relatórios - os três primeiros dias, 17 relatórios cada, os restantes são distribuídos igualmente entre o quarto e o quinto dia. Na conferência está previsto um relatório do Professor M. A ordem dos relatórios é determinada por sorteio. Qual é a probabilidade de que o relatório do professor M. seja agendado para o último dia da conferência?
  5. Encontre a raiz da equação
  6. O quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo. O ângulo ABC é igual a 105 o , o ângulo CAD é igual a 35 o . Encontre o ângulo ABD. Dê sua resposta em graus.
  7. A figura mostra um gráfico da derivada de uma função definida no intervalo . Encontre o número de pontos de máximo da função que pertencem ao segmento .
  8. A bola está inscrita em um cilindro. A área da superfície da esfera é 111. Encontre a área total da superfície do cilindro.
  9. Encontrar o valor de uma expressão
  10. Para obter uma imagem ampliada de uma lâmpada na tela, uma lente convergente com distância focal principal cm é usada em laboratório. A distância da lente à lâmpada pode variar de 30 a 50 cm, e a distância da lente à tela pode variar de 150 a 180 cm. a tela ficará clara se a proporção for atendida. Indique a menor distância da lente que uma lâmpada pode ser colocada para que sua imagem na tela fique nítida. Expresse sua resposta em centímetros.
  11. A distância entre os cais A e B é de 120 km. Uma jangada partiu de A para B ao longo do rio, e uma hora depois partiu atrás dela um iate que, chegando ao ponto B, voltou imediatamente e retornou a A. A essa altura, a jangada havia percorrido 24 km. Encontre a velocidade do iate em águas paradas se a velocidade do rio for 2 km/h. Dê sua resposta em km/h.
  12. Encontre o ponto de máximo da função.
  13. a) Resolva a equação ; b) Indique as raízes desta equação que pertencem ao segmento.
  14. Os pontos M e N são marcados nas arestas AB e BC da pirâmide triangular ABCD, respectivamente, com AM:MB = CN:NB = 3:1. Os pontos P e Q são os pontos médios das arestas DA e DC, respectivamente.
    a) Prove que os pontos P,Q,M e N estão no mesmo plano;
    b) Encontre em que razão este plano divide o volume da pirâmide.
  15. Resolva a desigualdade
  16. O ponto E é o ponto médio do lado lateral CD do trapézio ABCD. De seu lado, AB tomou um ponto K de modo que as retas SC e AE são paralelas. Os segmentos SK e BE se cruzam no ponto O.
    a) Prove que CO=CO.
    b) Encontre a razão das bases do trapézio BC:AD, se a área do triângulo BCK for 9/64 da área de todo o trapézio ABCD.
  17. Em julho, está previsto um empréstimo de um banco por um determinado valor. As condições para a sua devolução são as seguintes:
    - a cada janeiro a dívida aumenta em r% em relação ao final do ano anterior;
    - De fevereiro a junho de cada ano, parte da dívida deve ser quitada.
    Encontre r se for conhecido que se você pagar 777.600 rublos cada um, o empréstimo será pago em 4 anos, e se você pagar 1.317.600 rublos por ano, o empréstimo será totalmente reembolsado em 2 anos?
  18. Encontre todos os valores do parâmetro para cada um dos quais a equação tem exatamente uma raiz no intervalo.
  19. Cada um dos 32 alunos escreveu um dos dois testes ou escreveu ambos os testes. Para cada trabalho foi possível obter um número inteiro de pontos de 0 a 20 inclusive. Para cada uma das duas provas separadamente, a pontuação média foi 14. Em seguida, cada aluno nomeou a pontuação mais alta (se o aluno escreveu uma prova, ele nomeou a pontuação para ela). A média aritmética dos escores nomeados foi igual a S.
    a) Dê um exemplo quando S<14
    b) O valor de S pode ser igual a 17?
    c) Qual é o menor valor que S poderia assumir se ambos os testes fossem escritos por 12 alunos?

A aprovação no exame estadual unificado não é apenas uma necessidade no final do ensino médio geral, mas também faz parte dos exames de admissão às universidades. Os escolares que decidem ingressar em especialidades com viés matemático ou técnico passam não apenas no nível básico de matemática, mas também no de perfil. Considere suas características, tempo e verificação, e alguns pontos relacionados aos resultados.

O procedimento para a realização do exame é estabelecido pela Lei Federal nº 273 "Sobre a Educação na Federação Russa".

Quando serão conhecidos os resultados dos exames?

O calendário oficial determinou a rendição USE em matemática 2018 direção de perfil na sexta-feira, 1 de junho. Como dia de reserva a data é destacada no loop principal 25 de junho, e 2 de julho continua sendo um dia livre para a entrega de todos os itens.

Separação prova de matemática nos níveis aconteceu no ano passado. Eles diferem por vários motivos:

  • Sistema de classificação. O nível básico de conhecimento do assunto é avaliado em uma escala de cinco pontos (3 pontos são definidos como mínimo). A avaliação na disciplina de perfil é avaliada numa escala de 100 pontos;
  • A próxima diferença está na admissão de exames de nível básico e de perfil para admissão em instituições de ensino nível profissional superior e médio. Então, o nível básico é suficiente para faculdades, escolas, universidades de artes liberais. A presença de matemática nos vestibulares para especialidades técnicas exige que o candidato seja aprovado no nível de perfil;
  • Diferenciar estruturas de exame. A base é composta por 20 problemas com respostas curtas. O exame de perfil é muito mais difícil e consiste em 2 partes.

O sistema USE permite que os graduados da escola façam a parte básica e de perfil do assunto sem restrições. Isso aumenta significativamente as chances de entrar em universidades.

Processando os resultados do exame tem um certo período de tempo e ordem:

  • Digitalização e processamento de formulários nas regiões - até 4 dias;
  • Processamento de resultados em nível federal - até 7 dias;
  • Envio de resultados para as regiões - 1 dia;
  • Confirmação dos resultados pelo comitê de exame estadual - não mais que 1 dia;
  • Anúncio dos resultados - 1 dia.

Assim, o período de verificação e publicação dos resultados não é superior a 2 semanas. Os resultados do USE 2018 em matemática no nível do perfil serão conhecidos até 17 de junho.

Como saber seu resultado?

Saiba os resultados do último exame pode ser feito de várias maneiras:

  • Portal oficial do Exame Estadual Unificado www.ege.edu.ru;
  • Em postos de informação nas escolas ou outras instituições onde foi realizado o exame;
  • Em departamentos ou comitês regionais de educação;
  • Várias regiões criam sites ou linhas diretas especializadas.

Confira seu resultado disponível se disponível:

  • Nome completo do assunto;
  • Número do passaporte ou outro documento utilizado no exame de identidade;
  • Um código de identificação atribuído a cada participante no exame.

As informações sobre os resultados do exame são gratuitas e fornecidas gratuitamente aos participantes do USE e seus pais.

Exame USE pré-termo em matemática

Vários alunos já passaram no USE em matemática no chamado Período inicial. A participação é permitida se o aluno não puder participar do palco principal. Os motivos podem ser:

  • Tratamento planejado;
  • Descansar em estabelecimentos de melhoria da saúde;
  • Participação em competições, olimpíadas e outros eventos educativos ou criativos.

Em 2017, ocorreu a entrega antecipada de matemática 31 de março e 14 de abril(dia de reserva). 4,8 mil escolares passaram do nível básico e cerca de 17 mil especializados.

De acordo com o plano, os resultados do USE inicial em matemática 2017 deveriam estar disponíveis em 11 de abril, mas foram divulgados muito antes - no dia 7.

Onde ver seu trabalho

Você pode visualizar seu trabalho depois de passar no exame em formato eletrônico. A digitalização dela está disponível em sua conta pessoal no portal USE. O acesso a ele é concedido quando:

  • A presença do código de identificação do participante do exame estadual unificado;
  • Nome completo e número do passaporte.

Se, após o anúncio dos resultados, o participante não concordar com os pontos atribuídos, então ele 2 dias para interpor recursoà Comissão Examinadora. A candidatura é redigida em 2 vias e submetida à apreciação da comissão. Até 5 de junho, as soluções para os problemas serão revisadas novamente e será tomada a decisão de alterar a avaliação ou confirmá-la.

Como é avaliado o exame? O sistema USE para avaliação de resultados usa pontuações primárias e de testes, bem como uma escala especial para traduzi-los entre si. As soluções de KIMs (materiais de controle e medição) são avaliadas em pontos primários e depois transferidas de acordo com a tabela para os de teste. O resultado final do exame é o número de pontos de teste marcados.

O desenvolvimento de uma escala para conversão de notas primárias em notas de testes é realizado todos os anos e leva em consideração o nível geral de preparação dos escolares.

Para sucesso passando perfil matemática em 2018 você precisa digitar o mínimo:

  • 6 pontos principais;
  • 27 pontos de teste.

Data de refazer o exame de matemática em 2018

Há um número prazos adicionais para passar no exame. Eles estão disponíveis se, por um bom motivo, o aluno não conseguiu passar na disciplina no dia principal. Para matemática de perfil, isto é:

  • 25 de junho– reserva de dia no âmbito do palco principal;
  • 2 de julho- um dia de reserva da parte principal do exame, quando você pode passar em qualquer disciplina.

A oportunidade de retomar a matemática de perfil em setembro tem várias condições:

  • Se um aluno foi aprovado em matemática básica, ele não poderá refazer o nível de perfil este ano. A oportunidade de refazer o exame só surgirá no ano que vem;
  • Se ambos os exames de matemática (básico e de perfil) forem reprovados, o aluno pode decidir qual vai refazer.

Retomar matemática nomeado em setembro 07 de setembro. 15 de setembro é listado como um dia de reserva.

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