Ao adicionar e subtrair frações algébricas com denominadores diferentes, as frações primeiro levam a denominador comum. Isso significa que eles encontram um denominador tão único, que é dividido pelo denominador original de cada fração algébrica que faz parte dessa expressão.

Como você sabe, se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados (ou divididos) pelo mesmo número diferente de zero, o valor da fração não será alterado. Esta é a principal propriedade de uma fração. Portanto, quando as frações levam a um denominador comum, de fato, o denominador original de cada fração é multiplicado pelo fator ausente para um denominador comum. Neste caso, é necessário multiplicar por este fator e pelo numerador da fração (é diferente para cada fração).

Por exemplo, dada a seguinte soma de frações algébricas:

É necessário simplificar a expressão, ou seja, adicionar duas frações algébricas. Para fazer isso, em primeiro lugar, é necessário reduzir os termos-frações a um denominador comum. O primeiro passo é encontrar um monômio que seja divisível por 3x e 2y. Neste caso, é desejável que seja o menor, ou seja, encontre o mínimo múltiplo comum (MCC) para 3x e 2y.

Para coeficientes e variáveis ​​numéricos, o LCM é pesquisado separadamente. LCM(3, 2) = 6 e LCM(x, y) = xy. Além disso, os valores encontrados são multiplicados: 6xy.

Agora precisamos determinar por qual fator precisamos multiplicar 3x para obter 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Isso significa que ao reduzir a primeira fração algébrica a um denominador comum, seu numerador deve ser multiplicado por 2y (o denominador já foi multiplicado quando reduzido a um denominador comum). O fator para o numerador da segunda fração também é procurado. Será igual a 3x.

Assim, obtemos:

Além disso, já é possível agir como com frações com os mesmos denominadores: os numeradores são somados e um comum é escrito no denominador:

Após as transformações, obtém-se uma expressão simplificada, que é uma fração algébrica, que é a soma de duas originais:

As frações algébricas na expressão original podem conter denominadores que são polinômios em vez de monômios (como no exemplo acima). Nesse caso, antes de encontrar um denominador comum, fatore os denominadores (se possível). Além disso, o denominador comum é coletado de diferentes fatores. Se o fator estiver em vários denominadores iniciais, ele será tomado uma vez. Se o fator tiver graus diferentes nos denominadores originais, ele será tomado com um maior. Por exemplo:

Aqui o polinômio a 2 - b 2 pode ser representado como um produto (a - b)(a + b). O fator 2a – 2b é expandido como 2(a – b). Assim, o denominador comum será igual a 2(a - b)(a + b).

Originalmente, eu queria incluir métodos de denominador comum no parágrafo "Adição e subtração de frações". Mas havia tanta informação, e sua importância é tão grande (afinal, não só frações numéricas têm denominadores comuns), que é melhor estudar essa questão separadamente.

Digamos que temos duas frações com denominadores diferentes. E queremos ter certeza de que os denominadores se tornem os mesmos. A propriedade principal de uma fração vem em socorro, que, deixe-me lembrá-lo, soa assim:

Uma fração não muda se seu numerador e denominador forem multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Assim, se você escolher os fatores certos, os denominadores das frações serão iguais - esse processo é chamado de redução a um denominador comum. E os números desejados, "nivelando" os denominadores, são chamados de fatores adicionais.

Por que você precisa trazer frações para um denominador comum? Aqui estão apenas alguns motivos:

1. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Não há outra maneira de realizar esta operação;
2. Comparação de frações. Às vezes, a redução a um denominador comum simplifica muito essa tarefa;
3. Resolução de problemas sobre ações e porcentagens. As porcentagens são, na verdade, expressões comuns que contêm frações.

Há muitas maneiras de encontrar números que tornam os denominadores iguais quando multiplicados. Consideraremos apenas três deles - em ordem crescente de complexidade e, de certa forma, eficiência.

Multiplicação "cruzada"

A maneira mais simples e confiável, que garante a equalização dos denominadores. Vamos agir "à frente": multiplicamos a primeira fração pelo denominador da segunda fração e a segunda pelo denominador da primeira. Como resultado, os denominadores de ambas as frações se tornarão iguais ao produto dos denominadores originais. Dê uma olhada:

Como fatores adicionais, considere os denominadores das frações vizinhas. Nós temos:

Sim, é tão simples. Se você está apenas começando a estudar frações, é melhor trabalhar com esse método - assim você se protegerá contra muitos erros e terá a garantia de obter o resultado.

A única desvantagem desse método é que você precisa contar muito, porque os denominadores são multiplicados "à frente" e, como resultado, podem ser obtidos números muito grandes. Esse é o preço da confiabilidade.

Método divisor comum

Essa técnica ajuda a reduzir bastante os cálculos, mas, infelizmente, raramente é usada. O método é o seguinte:

1. Olhe para os denominadores antes de ir "através" (ou seja, "cruzar"). Talvez um deles (o maior) seja divisível pelo outro.
2. O número resultante de tal divisão será um fator adicional para uma fração com um denominador menor.
3. Ao mesmo tempo, uma fração com um denominador grande não precisa ser multiplicada por nada - essa é a economia. Ao mesmo tempo, a probabilidade de erro é drasticamente reduzida.

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Observe que 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Como em ambos os casos um denominador é divisível pelo outro sem deixar resto, usamos o método dos fatores comuns. Nós temos:

Observe que a segunda fração não foi multiplicada por nada. Na verdade, reduzimos a quantidade de cálculos pela metade!

A propósito, peguei as frações neste exemplo por um motivo. Se você estiver interessado, tente contá-los usando o método cruzado. Após a redução, as respostas serão as mesmas, mas haverá muito mais trabalho.

Esse é o ponto forte do método dos divisores comuns, mas, novamente, só pode ser aplicado quando um dos denominadores é dividido pelo outro sem deixar resto. O que acontece muito raramente.

Método múltiplo menos comum

Quando reduzimos frações a um denominador comum, estamos essencialmente tentando encontrar um número que seja divisível por cada um dos denominadores. Então trazemos os denominadores de ambas as frações para este número.

Existem muitos desses números, e o menor deles não será necessariamente igual ao produto direto dos denominadores das frações originais, como é assumido no método "cruzado".

Por exemplo, para os denominadores 8 e 12, o número 24 é bastante adequado, pois 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Este número é muito menor que o produto 8 12 = 96 .

O menor número que é divisível por cada um dos denominadores é chamado de mínimo múltiplo comum (MLC).

Notação: O mínimo múltiplo comum de aeb é denotado por LCM(a ; b ) . Por exemplo, LCM(16; 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Se você conseguir encontrar esse número, a quantidade total de cálculos será mínima. Olhe para os exemplos:

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Observe que 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Os fatores 2 e 3 são primos (não têm divisores comuns, exceto 1), e o fator 117 é comum. Portanto, LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Da mesma forma, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Os fatores 3 e 4 são relativamente primos, e o fator 5 é comum. Portanto, LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Agora vamos trazer as frações para denominadores comuns:

Observe como a fatoração dos denominadores originais acabou sendo útil:

1. Tendo encontrado os mesmos fatores, chegamos imediatamente ao mínimo múltiplo comum, o que, em geral, é um problema não trivial;
2. A partir da expansão resultante, você pode descobrir quais fatores estão “faltando” para cada uma das frações. Por exemplo, 234 3 \u003d 702, portanto, para a primeira fração, o fator adicional é 3.

Para ver quanto de vitória o método múltiplo menos comum dá, tente calcular os mesmos exemplos usando o método cruzado. Claro, sem calculadora. Acho que depois disso os comentários serão redundantes.

Não pense que tais frações complexas não estarão em exemplos reais. Eles se encontram o tempo todo, e as tarefas acima não são o limite!

O único problema é como encontrar este NOC. Às vezes tudo é encontrado em poucos segundos, literalmente “a olho”, mas em geral este é um problema computacional complexo que requer consideração separada. Aqui não vamos tocar nisso.

Para resolver exemplos com frações, você precisa encontrar o menor denominador comum. Abaixo está uma instrução detalhada.

Como encontrar o menor denominador comum - conceito

O mínimo denominador comum (LCD) em palavras simples é o número mínimo que é divisível pelos denominadores de todas as frações de um determinado exemplo. Em outras palavras, é chamado de Mínimo Múltiplo Comum (MLC). NOZ é usado apenas se os denominadores das frações forem diferentes.

Como encontrar o menor denominador comum - exemplos

Vamos considerar exemplos de encontrar NOZ.

Calcular: 3/5 + 2/15.

Solução (Sequência de ações):

• Observamos os denominadores das frações, certificamo-nos de que são diferentes e as expressões são reduzidas o máximo possível.
• Encontramos o menor número que é divisível por 5 e 15. Esse número será 15. Assim, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Descobrimos o denominador. O que vai estar no numerador? Um multiplicador adicional nos ajudará a descobrir isso. Um fator adicional é o número obtido pela divisão do NOZ pelo denominador de uma determinada fração. Para 3/5, o fator adicional é 3, pois 15/5 = 3. Para a segunda fração, o fator adicional é 1, pois 15/15 = 1.
• Tendo descoberto o fator adicional, nós o multiplicamos pelos numeradores das frações e somamos os valores resultantes. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Resposta: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Se no exemplo não 2, mas 3 ou mais frações forem adicionadas ou subtraídas, então o NOZ deve ser pesquisado por tantas frações quantas forem dadas.

Calcular: 1/2 - 5/12 + 3/6

Solução (sequência de ações):

• Encontrando o menor denominador comum. O número mínimo divisível por 2, 12 e 6 é 12.
• Obtemos: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Estamos à procura de multiplicadores adicionais. Para 1/2 - 6; para 12/05 - 1; para 3/6 - 2.
• Multiplicamos pelos numeradores e atribuímos os sinais correspondentes: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Resposta: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.