Considere uma sequência de $n$ tentativas independentes, em cada uma das quais o evento $A$ pode acontecer com probabilidade $p$, ou não acontecer — com probabilidade $q=1-p$. Denotado por P n (k) a probabilidade de que o evento $A$ ocorra exatamente $k$ vezes entre $n$ possíveis.
Nesse caso, o valor P n(k ) pode ser encontrado usando o teorema de Bernoulli (veja a lição "Esquema de Bernoulli. Exemplos de resolução de problemas"):
Este teorema funciona muito bem, mas tem uma falha. Se $n$ for grande o suficiente, encontre o valor P n (k) torna-se irreal devido à enorme quantidade de computação. Neste caso funciona Teorema Local de Moivre-Laplace, que permite encontrar o valor aproximado da probabilidade:
Teorema local de Moivre-Laplace. Se no esquema de Bernoulli o número $n$ for grande e o número $p$ for diferente de 0 e 1, então:
Função φ ( x) é chamada de função gaussiana. Seus valores há muito são calculados e inseridos em uma tabela que pode ser utilizada até mesmo em provas e exames.
A função gaussiana tem duas propriedades a serem lembradas ao trabalhar com uma tabela de valores:
- φ (− x) = φ ( x) - função gaussiana - par;
- Para grandes valores x temos: φ ( x) ≈ 0.
O teorema de Moivre-Laplace local fornece uma excelente aproximação da fórmula de Bernoulli se o número de tentativas n grande o suficiente. É claro que a expressão "o número de tentativas é grande o suficiente" é muito arbitrária, e fontes diferentes fornecem números diferentes. Por exemplo:
- Um requisito comum é: n p q> 10. Talvez este seja o limite mínimo;
- Outros sugerem que esta fórmula só funciona para $n > 100$ e n p q > 20.
Na minha opinião, basta olhar para a condição do problema. Se você perceber que o teorema de Bernoulli padrão não funciona devido à grande quantidade de cálculos (por exemplo, ninguém contará o número 58! ou 45!), fique à vontade para usar o teorema de Moivre-Laplace Local.
Além disso, quanto mais próximos os valores das probabilidades $q$ e $p$ estiverem de 0,5, mais precisa será a fórmula. E, vice-versa, para valores limítrofes (quando $p$ está próximo de 0 ou 1), o teorema de Moivre-Laplace Local dá um erro grande, diferindo significativamente do teorema de Bernoulli real.
No entanto, tenha cuidado! Muitos professores de matemática avançada cometem erros nesses cálculos. O fato é que um número bastante complexo contendo uma raiz quadrada aritmética e uma fração é substituído na função gaussiana. Este número deve ser encontrado antes mesmo da substituição na função. Vamos considerar tudo em tarefas específicas:
Uma tarefa. A probabilidade de ter um menino é 0,512. Encontre a probabilidade de que entre 100 recém-nascidos haja exatamente 51 meninos.
Então, testes totais de acordo com o esquema de Bernoulli n= 100. Além disso, p = 0,512, q= 1 − p = 0,488.
Porque o n= 100 é um número suficientemente grande, trabalharemos de acordo com o teorema de Local de Moivre-Laplace. notar que n p q= 100 0,512 0,488 ≈ 25 > 20. Temos:
Como arredondamos o valor n p q para um inteiro, a resposta também pode ser arredondada: 0,07972 ≈ 0,08. Simplesmente não faz sentido levar em conta o resto dos números.
Uma tarefa. A central telefônica atende 200 assinantes. Para cada assinante, a probabilidade de ele ligar para a estação dentro de uma hora é de 0,02. Encontre a probabilidade de exatamente 5 assinantes ligarem dentro de uma hora.
De acordo com o esquema de Bernoulli, n= 200, p = 0,02, q= 1 - p = 0,98. notar que n= 200 não é um número fraco, então usamos o teorema de De Moivre-Laplace Local. Primeiro, vamos encontrar n p q\u003d 200 0,02 0,98 ≈ 4. Claro, 4 é muito pequeno, então os resultados serão imprecisos. No entanto, temos:
Vamos arredondar a resposta para a segunda casa decimal: 0,17605 ≈ 0,18. Ainda não faz sentido levar em conta mais caracteres, já que arredondamos n p q= 3,92 ≈ 4 (até um quadrado exato).
Uma tarefa. A loja recebeu 1.000 garrafas de vodka. A probabilidade de uma garrafa quebrar em trânsito é 0,003. Encontre a probabilidade de que a loja receba exatamente duas garrafas quebradas.
De acordo com o esquema de Bernoulli, temos: n= 1000, p = 0,003, q= 0,997. Daqui n p q= 2,991 ≈ 1,73 2 (escolha o quadrado exato mais próximo). Desde o número n= 1000 é grande o suficiente, substituímos todos os números na fórmula do teorema de Moivre-Laplace Local:
Deixamos deliberadamente apenas uma casa decimal (na verdade, será 0,1949 ...), já que inicialmente usamos estimativas bastante aproximadas. Em particular: 2,991 ≈ 1,73 2 . O triplo no numerador dentro da função gaussiana surgiu da expressão n p = 1000 0,003 = 3.
Se a probabilidade de um evento ocorrer 
em cada teste é constante e satisfaz a dupla desigualdade 
, e o número de ensaios independentes 
grande o suficiente, então a probabilidade 
pode ser calculado usando a seguinte fórmula aproximada
(14) ,
onde os limites da integral são definidos pelas igualdades
A fórmula (14) é mais precisa, quanto maior o número de testes neste experimento.
Com base na igualdade (13), a fórmula (14) pode ser reescrita como
(15)
.
(16)
(N.F.L)
Observamos as propriedades mais simples da função 
:
A última propriedade está relacionada com as propriedades da função Gaussiana
.
Função 
ímpar. De fato, após a mudança de variáveis 
=
;
Para verificar a segunda propriedade, basta fazer um desenho. Analiticamente, está relacionado com a chamada integral de Poisson imprópria.
Segue-se diretamente disso que para todos os números 
pode-se supor que 
portanto, todos os valores desta função estão localizados no segmento [-0,5; 0,5], enquanto o menor é 
então a função cresce lentamente e desaparece, ou seja, 
e depois aumenta para 
Portanto, em toda a linha real é uma função estritamente crescente, ou seja, E se 
então 
Deve-se notar que as conclusões da propriedade 2 para a função 
é justificada com base na integral de Poisson imprópria.
Comente. Na resolução de problemas que requerem a aplicação do teorema integral de Moivre-Laplace, são utilizadas tabelas especiais. A tabela dá valores para argumentos positivos 
e para 
; para valores 
você deve usar a mesma tabela, levando em consideração a igualdade 
Além disso, para usar a tabela de funções 
, transformamos a igualdade (15), como segue:
E com base na propriedade 2 (ímpar 
), levando em conta a paridade do integrando, obtemos
=
.
Assim, a probabilidade de um evento 
aparecerá em 
testes independentes pelo menos 
uma vez e não mais 
vezes, é calculado pela fórmula:
(17)
;
Exemplo 12. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é 0,75. Encontre a probabilidade de que com 300 tiros o alvo seja atingido pelo menos 150 e no máximo 250 vezes.
Solução:
Aqui 
,
,
,
,
. Calcular
,
,
,
.
Substituindo na fórmula integral de Laplace, obtemos
Na prática, juntamente com a igualdade (16), é frequentemente utilizada outra fórmula chamada " integral de probabilidade» ou a função Laplace (veja mais detalhes no Capítulo 2., Seção 9., T.9.).
(4. ou F.L.)
Para esta função, as igualdades são verdadeiras:
Portanto, está relacionado com a função tabulada 
e, portanto, há também uma tabela de valores aproximados (veja o apêndice no final do livro).
Exemplo 13 A probabilidade de a peça não ter passado na verificação do Departamento de Controle de Qualidade é de 0,2. Encontre a probabilidade de que entre 400 peças selecionadas aleatoriamente de peças não verificadas haja de 70 a 100 peças.
Solução. De acordo com a tarefa 
,
,
.
,
. Vamos usar o teorema integral de Moivre-Laplace:
,
Vamos calcular os limites inferior e superior de integração:
Portanto, levando em consideração os valores tabulares da função 
;
obtemos a probabilidade desejada
.
Agora temos a oportunidade, como aplicação dos teoremas de limite considerados, de provar o bem conhecido teorema « lei dos grandes números na forma de Bernoulli »
Lei dos Grandes Números (LLN na forma de Bernoulli)
A primeira lei historicamente mais simples dos grandes números é o teorema
I. Bernoulli. O teorema de Bernoulli expressa a forma mais simples da manifestação da lei dos grandes números. Ele fundamenta a possibilidade teórica de um cálculo aproximado da probabilidade de um evento usando sua frequência relativa, ou seja, substancia a propriedade de estabilidade da frequência relativa.
Deixe-se segurar 
ensaios independentes, em cada um dos quais a probabilidade de um evento ocorrer 
é igual a 
e a frequência relativa em cada série de teste é 
Considere o problema:sob condições de teste de acordo com o esquema de Bernoulli e com um número suficientemente grande de testes independentes
encontre a probabilidade do desvio da frequência relativa 
de uma probabilidade constante 
ocorrência de um evento 
em valor absoluto não excede um determinado número 
Em outras palavras, encontre a probabilidade: 
com um número suficientemente grande de testes independentes.
Teorema (ZBCh J. Bernoulli 1713)Nas condições acima, para qualquer 
não importa quão pouco 
, temos a igualdade limite
(19)
.
Prova. Vamos provar esta importante afirmação com base no teorema integral de Moivre – Laplace. Por definição, a frequência relativa é
MAS 
a probabilidade de um evento ocorrer 
em um teste. Vamos primeiro estabelecer a seguinte igualdade para qualquer 
e grande o suficiente 
:
(20)
.
Com efeito, de acordo com a condição 
É fácil ver que há uma dupla desigualdade. Indicar
(21)
.
Então, teremos as desigualdades
Portanto, para a probabilidade desejada . Agora, para casos 
usamos a igualdade
;
e levando em conta a estranheza 
Nós temos
==
2
.
A igualdade (20) é obtida.
Segue diretamente da fórmula (20) que em 
(levando em conta 
onde), obtemos a igualdade limite (20).
Exemplo 14
. Encontre a probabilidade de que, entre 400 peças selecionadas aleatoriamente, a frequência relativa de ocorrência de peças não padronizadas se desvie da 
em valor absoluto não superior a 0,03.
Solução. De acordo com as condições do problema, é necessário encontrar
Pela fórmula (3) temos
=2
.
Levando em conta o valor tabular da função 
Nós temos
.
O significado do resultado obtido é o seguinte: se tomarmos um número suficientemente grande de amostras 
detalhes, então em cada amostra há aproximadamente um desvio da “frequência” relativa por
95,44% e valor 
essas amostras da probabilidade 
, módulo não superior a 0,03.
Considere outro exemplo em que você deseja encontrar um número 
.
Exemplo 15 A probabilidade de uma peça não ser padrão é 
. Quantas peças devem ser selecionadas para que, com uma probabilidade de 0,9999, se possa argumentar que a frequência relativa de peças não padronizadas (entre as selecionadas) se desvia da 
módulo não superior a 0,03. Encontre esta quantidade 
Solução. Aqui, de acordo com a condição 
.
Necessário para definir 
. Pela fórmula (13) temos
.
Porque o,
De acordo com a tabela, verificamos que este valor corresponde ao argumento 
. Daqui, 
. O significado deste resultado é que a frequência relativa será concluída
entre os números. Assim, o número de peças não padronizadas em 99,99% das amostras ficará entre 101,72 (7% do número 1444) e 187,72 (13% do número 1444).
Se tomarmos apenas uma amostra de 1444 peças, podemos esperar com grande confiança que o número de peças não padronizadas não seja inferior a 101 e não superior a 188, enquanto ao mesmo tempo é improvável que haja menos superior a 101 ou superior a 188.
Deve-se notar que o teorema de Bernoulli também afirma: com um aumento ilimitado no número de tentativas, a frequência de um evento aleatório 
converge em probabilidade para a verdadeira probabilidade do mesmo evento, ou seja, a estimativa abaixo é válida
(22)
;
,
desde que a probabilidade de um evento 
de teste para teste permanece inalterado e igual 
em que
.
A desigualdade (22) é uma consequência direta da conhecida desigualdade de Chebyshev (veja abaixo o tópico "Teoremas do limite da teoria da probabilidade" "Teorema de Chebyshev"). Voltaremos a este ZBC mais tarde. É conveniente obter estimativas de probabilidades abaixo e uma estimativa bilateral para o número necessário de ocorrências de um evento, de modo que a probabilidade do módulo da diferença entre a frequência relativa e a probabilidade real satisfaça a restrição dada do evento em consideração.
Exemplo 16 Uma moeda é lançada 1000 vezes. Estime a partir de baixo a probabilidade do desvio da frequência de ocorrência do "brasão" da probabilidade de sua ocorrência em menos de 0,1.
Solução. Por condição aqui
Com base na desigualdade (4), obtemos
Portanto, a desigualdade 
é equivalente a uma dupla desigualdade 
Portanto, podemos concluir que a probabilidade do número de acertos do "brasão" no intervalo (400; 600) é maior que 
Exemplo 17. Uma urna contém 1.000 bolas brancas e 2.000 pretas. Extraiu (com retorno) 300 bolas. Estime a partir de baixo a probabilidade de que o número de bolas retiradas m(e eles devem ser brancos) satisfaz a dupla desigualdade 80< m <120.
Solução. Dupla desigualdade para magnitude m reescreva na forma:
Assim, é necessário estimar a probabilidade de cumprimento da desigualdade
Consequentemente,
.
Teorema da integral de Laplace
Teorema. Se a probabilidade p da ocorrência do evento A em cada tentativa for constante e diferente de zero e um, então a probabilidade de que o número m da ocorrência do evento A em n tentativas independentes esteja dentro dos limites de a a b (inclusive) , com um número suficientemente grande de tentativas n, é aproximadamente igual a
A fórmula integral de Laplace, assim como a fórmula local de Moivre-Laplace, quanto mais precisa, mais n e quanto mais próximo de 0,5 os valores p e q. O cálculo por esta fórmula fornece um erro insignificante quando a condição é atendida npq≥ 20, embora a condição npq > 10.
Função F( x) é tabulado (ver Apêndice 2). Para usar esta tabela, você precisa conhecer as propriedades da função Ф( x):
1. Função Ô( x) é ímpar, ou seja F(- x) = – F( x).
2. Função Ô( x) é crescente monotonicamente, e como x → +∞ Ф( x) → 0,5 (na prática, podemos supor que já em x≥ 5 F( x) ≈ 0,5).
Exemplo 3.4. Usando as condições do Exemplo 3.3, calcule a probabilidade de que de 300 a 360 (inclusive) alunos sejam aprovados no exame na primeira tentativa.
Solução. Aplicamos o teorema da integral de Laplace ( npq≥ 20). Calculamos:
= –2,5; 
= 5,0;
P 400 (300 ≤ m≤ 360) = F(5,0) – F(–2,5).
Levando em conta as propriedades da função Ф( x) e usando a tabela de seus valores, encontramos: Ф(5,0) = 0,5; F(–2,5) = – F(2,5) = – 0,4938.
Nós temos P 400 (300 ≤ m ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄
Vamos escrever as consequências do teorema da integral de Laplace.
Consequência 1. Se a probabilidade p da ocorrência do evento A em cada tentativa for constante e diferente de zero e um, então para um número suficientemente grande n de tentativas independentes, a probabilidade de que o número m da ocorrência do evento A seja diferente do produto np por não mais que ε > 0
 .
| (3.8) |
Exemplo 3.5. Usando as condições do Exemplo 3.3, encontre a probabilidade de 280 a 360 alunos passarem com sucesso no exame de teoria das probabilidades na primeira tentativa.
Solução. Calcular Probabilidade R 400 (280 ≤ m≤ 360) pode ser semelhante ao exemplo anterior usando a fórmula integral de Laplace principal. Mas é mais fácil fazer isso se você notar que os limites do intervalo 280 e 360 são simétricos em relação ao valor np=320. Então, com base no Corolário 1, obtemos
= = ≈
≈ 
= 2Ф(5,0) ≈ 2 0,5 ≈ 1,
Essa. é quase certo que entre 280 e 360 alunos passarão no exame na primeira tentativa. ◄
Consequência 2. Se a probabilidade p da ocorrência do evento A em cada tentativa for constante e diferente de zero e um, então para um número suficientemente grande n de tentativas independentes, a probabilidade de que a frequência m/n do evento A esteja dentro do intervalo de α para β (inclusive) é igual a
 ,
| (3.9) |
| Onde | , . | (3.10) |
Exemplo 3.6. Segundo as estatísticas, em média, 87% dos recém-nascidos vivem até os 50 anos. Encontre a probabilidade de que em 1000 recém-nascidos a proporção (frequência) daqueles que sobreviveram até 50 anos esteja na faixa de 0,9 a 0,95.
Solução. A probabilidade de um recém-nascido viver até os 50 anos é R= 0,87. Porque n= 1000 é grande (ou seja, a condição npq= 1000 0,87 0,13 = 113,1 ≥ 20 for satisfeito), então usamos o corolário 2 do teorema da integral de Laplace. Nós achamos:
2,82, = 7,52.
= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄
Consequência 3. Se a probabilidade p da ocorrência do evento A em cada tentativa for constante e diferente de zero e um, então para um número suficientemente grande n de tentativas independentes, a probabilidade de que a frequência m/n do evento A difere de sua probabilidade p por não mais queΔ > 0 (em valor absoluto) é igual a
 .
| (3.11) |
Exemplo 3.7. Nas condições do problema anterior, encontre a probabilidade de que, em 1.000 recém-nascidos, a proporção (frequência) daqueles que sobreviveram até 50 anos diferirá da probabilidade desse evento em não mais que 0,04 (em valor absoluto).
Solução. Usando o corolário 3 do teorema integral de Laplace, encontramos:
= 2F(3,76) = 2 0,4999 = 0,9998.
Como a desigualdade equivale à desigualdade , o resultado significa que é praticamente certo que de 83 a 91% dos recém-nascidos em cada 1000 viverão até 50 anos. ◄
Estabelecemos anteriormente que, para tentativas independentes, a probabilidade de um número m ocorrências de eventos MAS dentro n teste é encontrado pela fórmula de Bernoulli. Se né grande, então a fórmula assintótica de Laplace é usada. No entanto, esta fórmula não é adequada se a probabilidade do evento for pequena ( R≤ 0,1). Nesse caso ( n excelente, R pequeno) aplique o teorema de Poisson
Fórmula de Poisson
Teorema. Se a probabilidade p da ocorrência do evento A em cada tentativa tende a zero (p → 0) com um aumento ilimitado no número n de tentativas (n → ∞), e o produto np tende a um número constante λ (np → λ), então a probabilidade P n (m) de que o evento A apareça m vezes em n tentativas independentes satisfazem a igualdade limite
A probabilidade de que em n tentativas independentes, em cada uma das quais a probabilidade de ocorrência de um evento seja igual a p (0< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Tabela de valores da função φ(x); para valores negativos de x, a mesma tabela é usada (a função φ (x) é par: φ (-x) = φ (x)).
Exemplo 1. Em cada uma das 700 tentativas independentes, o evento A ocorre com uma probabilidade constante de 0,35. Encontre a probabilidade de que o evento A ocorra: a) exatamente 270 vezes; b) menos de 270 e mais de 230 vezes; c) mais de 270 vezes.
Solução. Como o número de experimentos n = 700 é bastante grande, usamos as fórmulas de Laplace.
a) Dado: n = 700, p = 0,35, k = 270.
Encontre P 700 (270). Usamos o teorema de Laplace local.
Nós achamos:
Encontramos o valor da função φ(x) na tabela:
b) Dado: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
Encontre P 700 (230< k < 270).
Usamos o teorema integral de Laplace (23), (24). Nós achamos: 
Encontramos o valor da função Ф (x) da tabela:
c) Dado: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
Encontre P 700 (k > 270).
Nós temos:
Exemplo #2. Em um processo de estado estacionário em uma tecelagem, há 10 quebras de fio por 100 fusos por hora. Determine: a) a probabilidade de ocorrerem 7 quebras de rosca em 80 fusos em uma hora; b) o número mais provável de quebras de rosca em 80 fusos por hora.
Solução. A probabilidade estatística de um fio quebrar em uma hora é p = 10/100 = 0,1 e, portanto, q = 1 - 0,1 = 0,9; n = 80; k = 7.
Como n é grande, o teorema de Laplace local (23) é usado. Calculamos: 
Vamos usar a propriedade φ(-x) = φ(x), encontrar φ(0,37) ≈ 0,3726, e então calcular a probabilidade desejada: 
Assim, a probabilidade de ocorrerem 7 quebras de rosca em 80 fusos em uma hora é de aproximadamente 0,139.
O número k 0 mais provável da ocorrência de um evento durante testes repetidos é determinado pela fórmula (14). Achado: 7.1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.
Exemplo #3. A probabilidade de que uma parte da primeira série seja de 0,4. Feito 150 peças. Encontre a probabilidade de que entre eles haja 68 partes da primeira série.
Exemplo #4. A probabilidade de um evento ocorrer em cada uma das tentativas independentes é p.
Encontre a probabilidade de que um evento ocorra n vezes se m tentativas forem realizadas.
Dê sua resposta com os três algarismos significativos mais próximos.
p=0,75, n=87, m=120
Teorema integral de Moivre-Laplace . Se a probabilidade p da ocorrência do evento A em cada tentativa for constante e diferente de 0 e 1, então a probabilidade de que o número m da ocorrência do evento A em n tentativas independentes esteja dentro dos limites de a a b (inclusive) , com um número suficientemente grande n, é aproximadamente igual a
Onde 
- função (ou integral de probabilidades) de Laplace;
,
.
A fórmula é chamada de fórmula integral de Moivre-Laplace. Quanto maior n, mais precisa essa fórmula. Sob a condição npq ≥ 20, a fórmula integral 
, assim como local, dá, via de regra, um erro no cálculo de probabilidades que é satisfatório para a prática.
A função Ô(х) é tabulada (ver tabela). Para usar esta tabela, você precisa saber propriedades da função :
A função Ф(х) é ímpar, ou seja. F(-x) = -F(x).
A função Ф(х) é crescente monotonicamente, além disso, como x → +∞ Ф(х) → 1 (na prática, podemos supor que já para x > 4 Ф(х) ≈ 1).
Exemplo . Em algumas áreas, de cada 100 famílias, 80 têm geladeiras. Calcule a probabilidade de que de 300 a 360 (inclusive) famílias em 400 tenham geladeiras.
Solução. Aplicamos o teorema integral de Moivre-Laplace (npq = 64 ≥ 20). Vamos primeiro definir:
,
.
Agora pela fórmula 
, levando em conta as propriedades de Ф(х), obtemos
(de acordo com a tabela F(2,50) = 0,9876, F(5,0) ≈ 1)
Consequências do teorema integral de Moivre-Laplace (com derivação). Exemplos.
Considere uma consequência do teorema integral de Moivre-Laplace.
Consequência. Se a probabilidade p da ocorrência do evento A em cada tentativa for constante e diferente de 0 e 1, então com um número n suficientemente grande de tentativas independentes, a probabilidade de que:
a) o número m de ocorrências do evento A difere do produto np por não mais que ε > 
;
b) frequência 
o evento A está dentro do intervalo de α a β (inclusive), ou seja, 
, Onde 
,
.
c) frequência 
o evento A difere de sua probabilidade p por não mais que Δ > 0 (em valor absoluto), ou seja 
.
□ 1) Desigualdade 
é equivalente à dupla desigualdade pr - E ~ m ~ pr + E. Portanto, pela fórmula integral 
:
.
2) Desigualdade 
é equivalente à desigualdade a ≤ m ≤ b para a = nα e b = nβ. Substituindo em fórmulas 
e 
,
valores a e b pelas expressões obtidas, obtemos as fórmulas a serem provadas 
e 
,
.
3) Desigualdade 
é equivalente à desigualdade 
. Substituindo na fórmula 
, obtemos a fórmula a ser provada 
.
Exemplo . Segundo as estatísticas, em média, 87% dos recém-nascidos vivem até os 50 anos. Encontre a probabilidade de que, em 1.000 recém-nascidos, a proporção (frequência) dos que sobreviveram até os 50 anos seja: a) na faixa de 0,9 a 0,95; b) diferirá da probabilidade desse evento em não mais que 0,04 (em valor absoluto)?
Solução. a) A probabilidade p de um recém-nascido viver até os 50 anos é 0,87. Porque n = 1000 é grande (a condição npq = 1000 0,87 0,13 = 113,1 ≥ 20 é satisfeita), então usamos o corolário do teorema integral de Moivre-Laplace. Vamos primeiro definir:
,
. Agora pela fórmula 
:
B) Pela fórmula 
:
Porque a desigualdade 
é equivalente à desigualdade 
, o resultado obtido significa que é quase certo que de 0,83 a 0,91 do número de recém-nascidos em cada 1000 viverão até 50 anos.
O conceito de "variável aleatória" e sua descrição. Discreto variável aleatória e sua lei de distribuição (série). Independente variáveis aleatórias. Exemplos.
Debaixo variável aleatória é entendida como uma variável que, no resultado dos testes, dependendo do caso, assume um dos possíveis conjuntos de seus valores (o qual não é conhecido antecipadamente).
Exemplos de variáveis aleatórias : 1) o número de crianças nascidas durante o dia em Moscou; 2) o número de produtos defeituosos em um determinado lote; 3) o número de tiros disparados antes do primeiro acerto; 4) alcance de voo de um projétil de artilharia; 5) consumo de eletricidade por pr-ção por mês.
A variável aleatória é chamada discreto (descontínuo) , se o conjunto de seus valores for finito, ou infinito, mas contável.
Debaixo variável aleatória contínua entenderemos uma quantidade cujo conjunto infinito incontável de valores é um determinado intervalo (finito ou infinito) do eixo numérico.
Assim, nos exemplos 1-3 acima temos variáveis aleatórias discretas (nos exemplos 1 e 2 - com um conjunto finito de valores; no exemplo 3 - com um conjunto infinito, mas contável de valores); e nos exemplos 4 e 5 - variáveis aleatórias contínuas.
Por variável aleatória discreta vários 
valores possíveis de uma variável aleatória, ou seja, funções 
, finita ou contável, para contínuo- infinito e incontável.
Variáveis aleatórias são denotadas por letras maiúsculas do alfabeto latino X, Y, Z, ..., e seus valores - pelas letras minúsculas correspondentes x, y, z, ....
Diz-se que uma variável aleatória é "distribuída" de acordo com uma determinada lei de distribuição ou "subordinada" a essa lei de distribuição.
Para uma variável aleatória discreta lei de distribuição m.b. dado na forma de uma tabela, analiticamente (na forma de uma fórmula) e graficamente.
A forma mais simples de especificar a lei de distribuição de uma variável aleatória discreta X é uma tabela (matriz), que lista em ordem crescente todos os valores possíveis da variável aleatória e suas probabilidades correspondentes, ou seja,
.Tal tabela é chamada perto da distribuição de uma variável aleatória discreta .
Os eventos X=x 1 , X=x 2 ,…,X=x n , consistindo no fato de que, como resultado do teste, a variável aleatória X assumirá os valores x 1 , x 2 , ... , x n, respectivamente, são incompatíveis e os únicos possíveis (pois na tabela lista todos os valores possíveis de uma variável aleatória), ou seja, formar um grupo completo. Portanto, a soma de suas probabilidades é igual a 1. Assim, para qualquer variável aleatória discreta 
.
A série de distribuição pode ser é representado graficamente, se os valores de uma variável aleatória são plotados ao longo do eixo das abcissas e suas probabilidades correspondentes ao longo do eixo das ordenadas. A conexão dos pontos obtidos forma uma linha quebrada, chamada polígono ou polígono da distribuição de probabilidade .
Duas variáveis aleatórias são chamadas independente , se a lei de distribuição de um deles não mudar dependendo de quais valores possíveis o outro valor tomou. Então, se uma variável aleatória discreta X pode assumir os valores x i (i = 1, 2, ..., n), e uma variável aleatória Y pode assumir os valores y j (j = 1, 2, ..., m), então a independência dos valores de variáveis aleatórias discretas X e Y significa independência dos eventos X = xi e Y = y para qualquer i = 1, 2, ... , n e j = 1, 2 , ..., M. Caso contrário, as variáveis aleatórias são chamadas dependente .
Por exemplo , se houver bilhetes para duas loterias monetárias diferentes, então as variáveis aleatórias X e Y, que expressam os ganhos de cada bilhete (em unidades monetárias), respectivamente, serão independente, Porque para qualquer ganho em um bilhete de uma loteria (por exemplo, quando X = x i), a lei de distribuição de ganhos em outro bilhete (Y) não será alterada.
Se as variáveis aleatórias X e Y expressam os ganhos nos bilhetes da mesma loteria de dinheiro, então neste caso X e Y são dependentes, porque qualquer ganho em um bilhete (X = x i) leva a uma mudança nas probabilidades de ganhar no outro bilhete (Y), ou seja, e. a uma mudança na lei de distribuição de W.
Operações matemáticas em variáveis aleatórias discretas máscaras e exemplos de construção de leis de distribuição para KH, X" 1 , X +K, XV de acordo com distribuições dadas de casos independentes valores X e VOCÊ.
Vamos definir operações matemáticas sobre variáveis aleatórias discretas.
Sejam dadas duas variáveis aleatórias:
O produto kX de uma variável aleatória X por um valor constante k é uma variável aleatória que assume os valores kx i com as mesmas probabilidades р i (i = 1,2,...,n).
m
ª potência da variável aleatória X, ou seja. 
, é chamada de variável aleatória que recebe os valores 
com as mesmas probabilidades pi (i = 1,2,...,n).
A soma (diferença ou produto) das variáveis aleatórias X e Y é chamada de variável aleatória que assume todos os valores possíveis da forma хi+уj (хj-уj ou хj yj), onde i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, com probabilidades pij de que a variável aleatória X assuma o valor xi e y o valor yj:
Se as variáveis aleatórias X e Y forem independentes, ou seja, quaisquer eventos X=хi, Y=yj são independentes, então pelo teorema da multiplicação de probabilidades para eventos independentes
3nota
. As definições acima de operações em variáveis aleatórias discretas precisam ser esclarecidas: uma vez que em vários casos os mesmos valores 
,
,
pode ser obtido de diferentes maneiras para diferentes xi, yj com probabilidades pi, pij, então as probabilidades de tais valores repetidos são encontradas adicionando as probabilidades obtidas pi ou pij.
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Tipo de operação |
Valor da expressão S/V |
Valor exv |
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não mude
não mude
