Três crianças foram à floresta para comprar frutas. A filha mais velha encontrou 18 bagas, a filha do meio encontrou 15 e o irmão mais novo encontrou 3 bagas (ver Fig. 1). Eles trouxeram as frutas para minha mãe, que decidiu dividir as frutas igualmente. Quantas frutas cada criança recebeu?

Arroz. 1. Ilustração para o problema

Solução

(yag.) - as crianças coletaram tudo

2) Divida o número total de bagas pelo número de filhos:

(yag.) foi para todas as crianças

Responda: Cada criança receberá 12 berries.

No problema 1, o número recebido na resposta é a média aritmética.

média aritmética vários números é chamado o quociente da divisão da soma desses números pelo seu número.

Exemplo 1

Temos dois números: 10 e 12. Encontre sua média aritmética.

Solução

1) Vamos determinar a soma desses números: .

2) O número desses números é 2, portanto, a média aritmética desses números é: .

Responda: a média aritmética dos números 10 e 12 é o número 11.

Exemplo 2

Temos cinco números: 1, 2, 3, 4 e 5. Encontre sua média aritmética.

Solução

1) A soma desses números é: .

2) Por definição, a média aritmética é o quociente da divisão da soma dos números pelo seu número. Temos cinco números, então a média aritmética é:

Responda: A média aritmética dos dados na condição de números é 3.

Além de ser constantemente oferecido para encontrá-lo em sala de aula, encontrar a média aritmética é muito útil na vida cotidiana. Por exemplo, suponha que queremos ir de férias para a Grécia. Para escolher a roupa certa, olhamos para a temperatura neste país no momento. No entanto, não conhecemos o quadro geral do tempo. Portanto, é necessário descobrir a temperatura do ar na Grécia, por exemplo, por uma semana, e encontrar a média aritmética dessas temperaturas.

Exemplo 3

Temperatura na Grécia para a semana: Segunda-feira - ; Terça-feira - ; Quarta-feira -; Quinta-feira - ; Sexta-feira - ; Sábado - ; Domingo - . Calcule a temperatura média da semana.

Solução

1) Calcule a soma das temperaturas: .

2) Divida o valor recebido pelo número de dias: .

Responda: temperatura média semanal aprox.

A capacidade de encontrar a média aritmética também pode ser necessária para determinar a idade média dos jogadores de um time de futebol, ou seja, para estabelecer se o time é experiente ou não. É necessário somar a idade de todos os jogadores e dividir pelo seu número.

Tarefa 2

O comerciante estava vendendo maçãs. No início, ele os vendeu a um preço de 85 rublos por 1 kg. Então ele vendeu 12 kg. Em seguida, ele reduziu o preço para 65 rublos e vendeu os 4 kg restantes de maçãs. Qual foi o preço médio das maçãs?

Solução

1) Vamos calcular quanto dinheiro o comerciante ganhou no total. Ele vendeu 12 kg a um preço de 85 rublos por 1 kg: (esfregar.).

Ele vendeu 4 kg a um preço de 65 rublos por 1 kg: (rub.).

Portanto, a quantidade total de dinheiro ganho é: (rublos).

2) O peso total das maçãs vendidas é: .

3) Divida a quantidade de dinheiro recebida pelo peso total das maçãs vendidas e obtenha o preço médio de 1 kg de maçãs: (rublos).

Responda: o preço médio de 1 kg de maçãs vendidas é de 80 rublos.

A média aritmética ajuda a avaliar os dados como um todo, sem tomar cada valor individualmente.

No entanto, nem sempre é possível utilizar o conceito de média aritmética.

Exemplo 4

O atirador disparou dois tiros no alvo (veja a Fig. 2): a primeira vez ele atingiu um metro acima do alvo e o segundo - um metro abaixo. A média aritmética mostrará que ele acertou o centro exatamente, embora tenha errado as duas vezes.

Arroz. 2. Ilustração por exemplo

Nesta lição, nos familiarizamos com o conceito de média aritmética. Aprendemos a definição desse conceito, aprendemos a calcular a média aritmética de vários números. Também aprendemos a aplicação prática deste conceito.

1. N.Ya. Vilenkin. Matemática: livro didático. para 5 células. em geral const. - Edu. 17º. - M.: Mnemosine, 2005.
)
2. Igor tinha 45 rublos com ele, Andrey tinha 28 e Denis tinha 17.
3. Com todo o dinheiro, eles compraram 3 ingressos de cinema. Quanto custou um bilhete?

O tópico de média aritmética e geométrica está incluído no programa de matemática do 6º ao 7º ano. Como o parágrafo é bastante simples de entender, é rapidamente aprovado e, no final do ano letivo, os alunos o esquecem. Mas o conhecimento em estatística básica é necessário para passar no exame, bem como para os exames SAT internacionais. E para a vida cotidiana, o pensamento analítico desenvolvido nunca é demais.

Como calcular a média aritmética e geométrica dos números

Suponha que haja uma série de números: 11, 4 e 3. A média aritmética é a soma de todos os números dividida pelo número de números dados. Ou seja, no caso dos números 11, 4, 3, a resposta será 6. Como se obtém o 6?

Solução: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

O denominador deve conter um número igual ao número de números cuja média deve ser encontrada. A soma é divisível por 3, pois são três termos.

Agora precisamos lidar com a média geométrica. Digamos que há uma série de números: 4, 2 e 8.

A média geométrica é o produto de todos os números dados, que está sob uma raiz com grau igual ao número de números dados. Ou seja, no caso dos números 4, 2 e 8, a resposta é 4. Veja como aconteceu :

Solução: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Em ambas as opções foram obtidas respostas inteiras, uma vez que números especiais foram tomados como exemplo. Isso não é sempre o caso. Na maioria dos casos, a resposta deve ser arredondada ou deixada na raiz. Por exemplo, para os números 11, 7 e 20, a média aritmética é ≈ 12,67 e a média geométrica é ∛1540. E para os números 6 e 5, as respostas, respectivamente, serão 5,5 e √30.

Pode acontecer que a média aritmética se torne igual à média geométrica?

Claro que pode. Mas apenas em dois casos. Se houver uma série de números consistindo apenas de uns ou zeros. Ressalta-se também que a resposta não depende do seu número.

Prova com unidades: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (média aritmética).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (média geométrica).

Prova com zeros: (0 + 0) / 2=0 (média aritmética).

√(0 × 0) = 0 (média geométrica).

Não há outra opção e não pode haver.

O conceito de média aritmética significa o resultado de uma simples sequência de cálculos do valor médio para uma série de números determinados antecipadamente. Ressalta-se que este valor é atualmente amplamente utilizado por especialistas em diversos setores. Por exemplo, as fórmulas são conhecidas ao realizar cálculos por economistas ou funcionários da indústria estatística, onde é necessário ter um valor desse tipo. Além disso, este indicador é usado ativamente em vários outros setores relacionados ao acima.

Uma das características do cálculo desse valor é a simplicidade do procedimento. Faça os cálculos qualquer um pode. Você não precisa de nenhuma educação especial para isso. Muitas vezes não há necessidade de usar tecnologia de computador.

Como resposta à questão de como encontrar a média aritmética, considere várias situações.

A maneira mais simples de calcular esse valor é calculá-lo para dois números. O procedimento de cálculo neste caso é muito simples:

1. Inicialmente, é necessário realizar a operação de somar os números selecionados. Isso muitas vezes pode ser feito, como se costuma dizer, manualmente, sem o uso de equipamentos eletrônicos.
2. Depois que a adição é feita e seu resultado é obtido, é necessário dividir. Esta operação envolve a divisão da soma de dois números adicionados por dois - o número de números adicionados. É essa ação que permitirá que você obtenha o valor necessário.

Fórmula

Assim, a fórmula para calcular o valor exigido no caso de dois ficará assim:

(A+B)/2

Esta fórmula usa a seguinte notação:

A e B são números pré-selecionados para os quais você precisa encontrar um valor.

Encontrar um valor para três

O cálculo desse valor em uma situação em que três números são selecionados não será muito diferente da opção anterior:

1. Para fazer isso, selecione os números necessários no cálculo e adicione-os para obter o total.
2. Depois que essa soma de três for encontrada, é necessário realizar o procedimento de divisão novamente. Nesse caso, o valor resultante deve ser dividido por três, que corresponde ao número de números selecionados.

Fórmula

Assim, a fórmula necessária ao calcular os três aritméticos ficará assim:

(A+B+C)/3

Nesta fórmula foi adotada a seguinte notação:

A, B e C são os números para os quais será necessário encontrar a média aritmética.

Calculando a média aritmética de quatro

Como já visto por analogia com as opções anteriores, o cálculo deste valor para uma quantidade igual a quatro será da seguinte ordem:

1. Quatro dígitos são selecionados para os quais a média aritmética deve ser calculada. Em seguida, é realizado o somatório e a obtenção do resultado final deste procedimento.
2. Agora, para obter o resultado final, você deve pegar a soma resultante de quatro e dividi-la por quatro. Os dados recebidos serão o valor requerido.

Fórmula

Da sequência de ações descritas acima para encontrar a média aritmética para quatro, você pode obter a seguinte fórmula:

(A+B+C+E)/4

Nesta fórmula variáveis ​​têm o seguinte significado:

A, B, C e E são aqueles para os quais você precisa encontrar o valor da média aritmética.

Usando esta fórmula, sempre será possível calcular o valor necessário para um determinado número de números.

Calculando a média aritmética de cinco

A execução desta operação exigirá um determinado algoritmo de ações.

1. Antes de tudo, você precisa selecionar cinco números para os quais a média aritmética será calculada. Após essa seleção, esses números, como nas opções anteriores, você só precisa somar e obter o valor final.
2. O valor resultante precisará ser dividido pelo número deles por cinco, o que permitirá que você obtenha o valor necessário.

Fórmula

Assim, à semelhança das opções consideradas anteriormente, obtemos a seguinte fórmula para calcular a média aritmética:

(A+B+C+E+P)/5

Nesta fórmula, as variáveis ​​têm a seguinte notação:

A, B, C, E e P são os números para os quais você deseja obter a média aritmética.

Fórmula de cálculo universal

Levando em consideração várias variantes de fórmulas para calcular a média aritmética, você pode prestar atenção ao fato de que eles têm um padrão comum.

Portanto, será mais prático aplicar a fórmula geral para encontrar a média aritmética. Afinal, há situações em que o número e o tamanho dos cálculos podem ser muito grandes. Portanto, seria mais sensato usar uma fórmula universal e não deduzir uma tecnologia individual a cada vez para calcular esse valor.

O principal na determinação da fórmula é o princípio do cálculo da média aritmética cerca de.

Este princípio, como foi visto nos exemplos acima, se parece com isso:

1. O número de números que são especificados para obter o valor necessário é contado. Esta operação pode ser realizada manualmente com um pequeno número de números e com a ajuda da tecnologia do computador.
2. Os números selecionados são somados. Essa operação na maioria das situações é realizada por meio de tecnologia computacional, pois os números podem ser compostos por dois, três ou mais dígitos.
3. O valor obtido pela soma dos números selecionados deve ser dividido pelo número deles. Este valor é determinado na fase inicial do cálculo da média aritmética.

Assim, a fórmula geral para calcular a média aritmética de uma série de números selecionados ficará assim:

(À+Â+…+N)/N

Esta fórmula contém as seguintes variáveis:

A e B são números que são escolhidos antecipadamente para calcular sua média aritmética.

N é o número de números que foram obtidos para calcular o valor necessário.

Substituindo os números selecionados nesta fórmula a cada vez, sempre podemos obter o valor necessário da média aritmética.

Como visto, encontrar a média aritméticaé um procedimento fácil. No entanto, é preciso estar atento aos cálculos e verificar o resultado obtido. Essa abordagem é explicada pelo fato de que, mesmo nas situações mais simples, existe a possibilidade de obter um erro, o que pode afetar os cálculos posteriores. Nesse sentido, recomenda-se o uso de tecnologia computacional capaz de realizar cálculos de qualquer complexidade.

Qual é a média aritmética

A média aritmética de vários valores é a razão entre a soma desses valores e seu número.

A média aritmética de uma certa série de números é chamada de soma de todos esses números, dividida pelo número de termos. Assim, a média aritmética é o valor médio da série numérica.

Qual é a média aritmética de vários números? E eles são iguais à soma desses números, que é dividida pelo número de termos dessa soma.

Como encontrar a média aritmética

Não há nada difícil em calcular ou encontrar a média aritmética de vários números, basta somar todos os números apresentados e dividir o valor resultante pelo número de termos. O resultado obtido será a média aritmética desses números.

Vamos considerar esse processo com mais detalhes. O que precisamos fazer para calcular a média aritmética e obter o resultado final desse número.

Primeiro, para calculá-lo, você precisa determinar um conjunto de números ou o número deles. Esse conjunto pode incluir números grandes e pequenos, e seu número pode ser qualquer coisa.

Em segundo lugar, todos esses números precisam ser somados e obter sua soma. Naturalmente, se os números são simples e seu número é pequeno, os cálculos podem ser feitos à mão. E se o conjunto de números for impressionante, é melhor usar uma calculadora ou planilha.

E, em quarto lugar, a quantidade obtida da adição deve ser dividida pelo número de números. Como resultado, obtemos o resultado, que será a média aritmética desta série.

Para que serve a média aritmética?

A média aritmética pode ser útil não só para resolver exemplos e problemas nas aulas de matemática, mas para outros fins necessários na vida diária de uma pessoa. Tais metas podem ser o cálculo da média aritmética para calcular o gasto médio das finanças por mês, ou para calcular o tempo que você passa na estrada, também para saber assiduidade, produtividade, velocidade, produtividade e muito mais.

Então, por exemplo, vamos tentar calcular quanto tempo você gasta indo para a escola. Indo para a escola ou voltando para casa, você gasta um tempo diferente na estrada a cada vez, porque quando você está com pressa, você vai mais rápido e, portanto, a estrada leva menos tempo. Mas, voltando para casa, você pode ir devagar, conversando com os colegas, admirando a natureza e, portanto, levará mais tempo para a estrada.

Portanto, você não poderá determinar com precisão o tempo gasto na estrada, mas, graças à média aritmética, poderá descobrir aproximadamente o tempo gasto na estrada.

Digamos que no primeiro dia depois do fim de semana você passou quinze minutos no caminho de casa para a escola, no segundo dia sua viagem levou vinte minutos, na quarta você percorreu a distância em vinte e cinco minutos, no mesmo tempo que você fez o seu caminho na quinta-feira, e na sexta você não estava com pressa e voltou por meia hora.

Vamos encontrar a média aritmética, somando o tempo, para todos os cinco dias. Então,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Agora divida esse valor pelo número de dias

Através deste método, você aprendeu que a viagem de casa para a escola leva aproximadamente vinte e três minutos do seu tempo.

Trabalho de casa

1. Usando cálculos simples, encontre a média aritmética da frequência dos alunos em sua aula por semana.

2. Encontre a média aritmética:

3. Resolva o problema:

No cálculo do valor médio é perdido.

Média significado conjunto de números é igual à soma dos números S dividido pelo número desses números. Ou seja, acontece que média significado igual: 19/4 = 4,75.

Nota

Se você precisar encontrar a média geométrica para apenas dois números, não precisará de uma calculadora de engenharia: você pode extrair a raiz de segundo grau (raiz quadrada) de qualquer número usando a calculadora mais comum.

Conselho útil

Ao contrário da média aritmética, a média geométrica não é tão fortemente influenciada por grandes desvios e flutuações entre valores individuais no conjunto de indicadores estudados.

Fontes:

• Calculadora online que calcula a média geométrica
• fórmula da média geométrica

Média valor é uma das características de um conjunto de números. Representa um número que não pode estar fora do intervalo definido pelos maiores e menores valores desse conjunto de números. Média valor aritmético - a variedade de médias mais comumente usada.

Instrução

Some todos os números do conjunto e divida-os pelo número de termos para obter a média aritmética. Dependendo das condições específicas do cálculo, às vezes é mais fácil dividir cada um dos números pelo número de valores no conjunto e somar o resultado.

Use, por exemplo, incluído no sistema operacional Windows, se não for possível calcular a média aritmética em sua mente. Você pode abri-lo usando a caixa de diálogo do iniciador do programa. Para fazer isso, pressione as "teclas de atalho" WIN + R ou clique no botão "Iniciar" e selecione o comando "Executar" no menu principal. Em seguida, digite calc no campo de entrada e pressione Enter ou clique no botão OK. O mesmo pode ser feito através do menu principal - abra-o, vá para a seção "Todos os Programas" e na seção "Padrão" e selecione a linha "Calculadora".

Insira todos os números do conjunto sucessivamente pressionando a tecla Mais após cada um deles (exceto o último) ou clicando no botão correspondente na interface da calculadora. Você também pode inserir números pelo teclado e clicando nos botões de interface correspondentes.

Pressione a tecla barra ou clique na interface da calculadora depois de inserir o último valor definido e imprima o número de números na sequência. Em seguida, pressione o sinal de igual e a calculadora calculará e exibirá a média aritmética.

Você pode usar o editor de planilhas Microsoft Excel para a mesma finalidade. Nesse caso, inicie o editor e insira todos os valores da sequência de números nas células adjacentes. Se depois de inserir cada número você pressionar Enter ou a tecla de seta para baixo ou para a direita, o próprio editor moverá o foco de entrada para a célula adjacente.

Clique na célula ao lado do último número digitado, se não quiser apenas ver a média aritmética. Expanda o menu suspenso sigma grego (Σ) dos comandos de edição na guia Início. Selecione a linha " Média” e o editor irá inserir a fórmula desejada para calcular a média aritmética na célula selecionada. Pressione a tecla Enter e o valor será calculado.

A média aritmética é uma das medidas de tendência central, amplamente utilizada em matemática e cálculos estatísticos. Encontrar a média aritmética para vários valores​​​é muito simples, mas cada tarefa tem suas próprias nuances, que são simplesmente necessárias para realizar cálculos corretos.

Qual é a média aritmética

A média aritmética determina o valor médio para toda a matriz original de números. Em outras palavras, de um certo conjunto de números, um valor comum a todos os elementos é selecionado, cuja comparação matemática com todos os elementos é aproximadamente igual. A média aritmética é usada principalmente na preparação de relatórios financeiros e estatísticos ou para calcular os resultados de experimentos semelhantes.

Como encontrar a média aritmética

A busca da média aritmética para uma matriz de números deve começar com a determinação da soma algébrica desses valores. Por exemplo, se a matriz contém os números 23, 43, 10, 74 e 34, sua soma algébrica será 184. Ao escrever, a média aritmética é denotada pela letra μ (mu) ou x (x com uma barra) . Em seguida, a soma algébrica deve ser dividida pelo número de números na matriz. Neste exemplo, havia cinco números, então a média aritmética será 184/5 e será 36,8.

Características de trabalhar com números negativos

Se houver números negativos na matriz, a média aritmética será encontrada usando um algoritmo semelhante. Há diferença apenas ao calcular no ambiente de programação, ou se houver condições adicionais na tarefa. Nesses casos, encontrar a média aritmética de números com sinais diferentes se resume a três etapas:

1. Encontrar a média aritmética comum pelo método padrão;
2. Encontrar a média aritmética de números negativos.
3. Cálculo da média aritmética de números positivos.

As respostas de cada uma das ações são escritas separadas por vírgulas.

Frações naturais e decimais

Se a matriz de números é representada por frações decimais, a solução ocorre de acordo com o método de cálculo da média aritmética de inteiros, mas o resultado é reduzido de acordo com os requisitos da tarefa para a precisão da resposta.

Ao trabalhar com frações naturais, elas devem ser reduzidas a um denominador comum, que é multiplicado pelo número de números na matriz. O numerador da resposta será a soma dos numeradores dados dos elementos fracionários originais.

• Calculadora de engenharia.

Instrução

Tenha em mente que, no caso geral, a média geométrica dos números é encontrada multiplicando esses números e extraindo deles a raiz do grau que corresponde ao número de números. Por exemplo, se você precisar encontrar a média geométrica de cinco números, precisará extrair a raiz do grau do produto.

Para encontrar a média geométrica de dois números, use a regra básica. Encontre o produto deles e, em seguida, extraia a raiz quadrada dele, pois os números são dois, o que corresponde ao grau da raiz. Por exemplo, para encontrar a média geométrica dos números 16 e 4, encontre seu produto 16 4=64. Do número resultante, extraia a raiz quadrada √64=8. Este será o valor desejado. Observe que a média aritmética desses dois números é maior e igual a 10. Se a raiz não for extraída completamente, arredonde o resultado para a ordem desejada.

Para encontrar a média geométrica de mais de dois números, use também a regra básica. Para fazer isso, encontre o produto de todos os números para os quais você deseja encontrar a média geométrica. Do produto resultante, extraia a raiz do grau igual ao número de números. Por exemplo, para encontrar a média geométrica dos números 2, 4 e 64, encontre seu produto. 2 4 64=512. Como você precisa encontrar o resultado da média geométrica de três números, extraia a raiz do terceiro grau do produto. É difícil fazer isso verbalmente, então use uma calculadora de engenharia. Para isso, tem um botão "x ^ y". Disque o número 512, pressione o botão "x^y", depois disque o número 3 e pressione o botão "1/x", para encontrar o valor 1/3, pressione o botão "=". Obtemos o resultado de elevar 512 à potência de 1/3, que corresponde à raiz do terceiro grau. Obtenha 512^1/3=8. Esta é a média geométrica dos números 2,4 e 64.

Usando uma calculadora de engenharia, você pode encontrar a média geométrica de outra maneira. Encontre o botão de log no seu teclado. Depois disso, pegue o logaritmo de cada um dos números, encontre sua soma e divida pelo número de números. Do número resultante, tire o antilogaritmo. Esta será a média geométrica dos números. Por exemplo, para encontrar a média geométrica dos mesmos números 2, 4 e 64, faça um conjunto de operações na calculadora. Digite o número 2, depois pressione o botão log, pressione o botão "+", digite o número 4 e pressione log e "+" novamente, digite 64, pressione log e "=". O resultado será um número igual à soma dos logaritmos decimais dos números 2, 4 e 64. Divida o número resultante por 3, pois este é o número de números pelo qual se busca a média geométrica. A partir do resultado, pegue o antilogaritmo alternando a chave de registro e use a mesma chave de log. O resultado é o número 8, esta é a média geométrica desejada.