Uma das ciências mais importantes, cuja aplicação pode ser vista em disciplinas como química, física e até biologia, é a matemática. O estudo desta ciência permite desenvolver algumas qualidades mentais, melhorar a capacidade de concentração. Um dos tópicos que merecem atenção especial na disciplina "Matemática" é a adição e subtração de frações. Muitos alunos têm dificuldade para estudar. Talvez nosso artigo ajude a entender melhor esse tópico.

Como subtrair frações cujos denominadores são iguais

Frações são os mesmos números com os quais você pode realizar várias ações. Sua diferença dos inteiros está na presença de um denominador. É por isso que ao realizar ações com frações, você precisa estudar alguns de seus recursos e regras. O caso mais simples é a subtração de frações ordinárias, cujos denominadores são representados como o mesmo número. Não será difícil realizar esta ação se você conhecer uma regra simples:

• Para subtrair o segundo de uma fração, é necessário subtrair o numerador da fração a ser subtraída do numerador da fração reduzida. Escrevemos esse número no numerador da diferença e deixamos o denominador o mesmo: k / m - b / m = (k-b) / m.

Exemplos de subtração de frações cujos denominadores são iguais

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Do numerador da fração reduzida "7" subtrair o numerador da fração subtraída "3", obtemos "4". Escrevemos esse número no numerador da resposta e colocamos no denominador o mesmo número que estava nos denominadores da primeira e da segunda frações - "19".

A imagem abaixo mostra mais alguns exemplos desse tipo.

Considere um exemplo mais complexo onde frações com os mesmos denominadores são subtraídas:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Do numerador da fração reduzida "29", subtraindo, por sua vez, os numeradores de todas as frações subsequentes - "3", "8", "2", "7". Como resultado, obtemos o resultado "9", que escrevemos no numerador da resposta, e no denominador escrevemos o número que está nos denominadores de todas essas frações - "47".

Adição de frações com o mesmo denominador

A adição e a subtração de frações ordinárias são realizadas de acordo com o mesmo princípio.

• Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar os numeradores. O número resultante é o numerador da soma, e o denominador permanece o mesmo: k/m + b/m = (k + b)/m.

Vamos ver como fica em um exemplo:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Ao numerador do primeiro termo da fração - "1" - adicionamos o numerador do segundo termo da fração - "2". O resultado - "3" - é escrito no numerador da quantidade, e o denominador é deixado o mesmo que estava presente nas frações - "4".

Frações com denominadores diferentes e sua subtração

Já consideramos a ação com frações que têm o mesmo denominador. Como você pode ver, conhecer regras simples, resolver esses exemplos é bastante fácil. Mas e se você precisar realizar uma ação com frações com denominadores diferentes? Muitos estudantes do ensino médio ficam confusos com esses exemplos. Mas mesmo aqui, se você conhece o princípio da solução, os exemplos não serão mais difíceis para você. Há também uma regra aqui, sem a qual a solução de tais frações é simplesmente impossível.

Para subtrair frações com denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo denominador menor.



Falaremos com mais detalhes sobre como fazer isso.

Propriedade de fração

Para reduzir várias frações ao mesmo denominador, você precisa usar a propriedade principal da fração na solução: depois de dividir ou multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número, você obtém uma fração igual à dada.

Assim, por exemplo, a fração 2/3 pode ter denominadores como "6", "9", "12", etc., ou seja, pode se parecer com qualquer número que seja múltiplo de "3". Depois de multiplicarmos o numerador e o denominador por "2", obtemos uma fração de 4/6. Depois de multiplicarmos o numerador e o denominador da fração original por "3", obtemos 6/9 e, se realizarmos uma ação semelhante com o número "4", obtemos 8/12. Em uma equação, isso pode ser escrito como:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Como trazer várias frações para o mesmo denominador

Considere como reduzir várias frações ao mesmo denominador. Por exemplo, pegue as frações mostradas na figura abaixo. Primeiro você precisa determinar qual número pode se tornar o denominador de todos eles. Para facilitar, vamos decompor os denominadores disponíveis em fatores.

O denominador da fração 1/2 e a fração 2/3 não podem ser fatorados. O denominador de 7/9 tem dois fatores 7/9 = 7/(3 x 3), o denominador da fração 5/6 = 5/(2 x 3). Agora você precisa determinar quais fatores serão os menores para todas essas quatro frações. Como a primeira fração tem o número “2” no denominador, significa que ela deve estar presente em todos os denominadores, na fração 7/9 existem duas triplas, o que significa que elas também devem estar presentes no denominador. Diante do exposto, determinamos que o denominador consiste em três fatores: 3, 2, 3 e é igual a 3 x 2 x 3 = 18.



Considere a primeira fração - 1/2. Seu denominador contém "2", mas não há um único "3", mas deve haver dois. Para fazer isso, multiplicamos o denominador por dois triplos, mas, de acordo com a propriedade da fração, devemos multiplicar o numerador por dois triplos:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 18/09.

Da mesma forma, realizamos ações com as frações restantes.

• 2/3 - falta um três e um dois no denominador:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 18/12.
• 7/9 ou 7/(3 x 3) - faltam dois no denominador:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ou 5/(2 x 3) - falta um triplo no denominador:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Tudo junto fica assim:



Como subtrair e adicionar frações com denominadores diferentes

Como mencionado acima, para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo denominador, e então usar as regras para subtração de frações com o mesmo denominador, que já foram descritas.

Considere isso com um exemplo: 18/04 - 15/03.

Encontrando múltiplos de 18 e 15:

• O número 18 consiste em 3 x 2 x 3.
• O número 15 consiste em 5 x 3.
• O múltiplo comum consistirá dos seguintes fatores 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Depois de encontrado o denominador, é necessário calcular um fator que será diferente para cada fração, ou seja, o número pelo qual será necessário multiplicar não apenas o denominador, mas também o numerador. Para fazer isso, dividimos o número encontrado (múltiplo comum) pelo denominador da fração para a qual fatores adicionais precisam ser determinados.

• 90 dividido por 15. O número resultante "6" será um multiplicador para 3/15.
• 90 dividido por 18. O número resultante "5" será um multiplicador para 4/18.

O próximo passo em nossa solução é trazer cada fração para o denominador "90".

Já discutimos como isso é feito. Vamos ver como isso está escrito em um exemplo:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Se frações com números pequenos, você pode determinar o denominador comum, como no exemplo mostrado na imagem abaixo.



Produzidos de forma semelhante e com denominadores diferentes.

Subtração e tendo partes inteiras

Subtração de frações e sua adição, já analisamos em detalhes. Mas como subtrair se a fração tem uma parte inteira? Novamente, vamos usar algumas regras:

• Converta todas as frações que têm uma parte inteira em impróprias. Em palavras simples, remova a parte inteira. Para fazer isso, o número da parte inteira é multiplicado pelo denominador da fração, o produto resultante é adicionado ao numerador. O número que será obtido após essas ações é o numerador de uma fração imprópria. O denominador permanece inalterado.
• Se as frações tiverem denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo.
• Efetue adição ou subtração com os mesmos denominadores.
• Ao receber uma fração imprópria, selecione a parte inteira.



Existe outra maneira pela qual você pode adicionar e subtrair frações com partes inteiras. Para isso, as ações são realizadas separadamente com partes inteiras, e separadamente com frações, e os resultados são registrados em conjunto.



O exemplo acima consiste em frações que têm o mesmo denominador. Caso os denominadores sejam diferentes, eles devem ser reduzidos ao mesmo e, em seguida, seguir os passos mostrados no exemplo.

Subtraindo frações de um número inteiro

Outra das variedades de ações com frações é o caso em que a fração deve ser subtraída de À primeira vista, tal exemplo parece difícil de resolver. No entanto, tudo é muito simples aqui. Para resolvê-lo, é necessário converter um inteiro em uma fração, e com tal denominador, que está na fração a ser subtraída. Em seguida, realizamos uma subtração semelhante à subtração com os mesmos denominadores. Por exemplo, fica assim:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

A subtração de frações dadas neste artigo (6º ano) é a base para a resolução de exemplos mais complexos, que são considerados nas aulas subsequentes. O conhecimento deste tópico é usado posteriormente para resolver funções, derivadas e assim por diante. Portanto, é muito importante entender e entender as ações com frações discutidas acima.

As regras para somar frações com denominadores diferentes são muito simples.

Considere as regras para adicionar frações com denominadores diferentes em etapas:

1. Encontre o MMC (mínimo múltiplo comum) dos denominadores. O LCM resultante será o denominador comum das frações;

2. Traga frações a um denominador comum;

3. Adicione frações reduzidas a um denominador comum.

Usando um exemplo simples, aprenderemos como aplicar as regras para somar frações com denominadores diferentes.

Exemplo

Um exemplo de adição de frações com denominadores diferentes.

Adicione frações com denominadores diferentes:

1	+	5
6		12

Vamos decidir passo a passo.

1. Encontre o MMC (mínimo múltiplo comum) dos denominadores.

O número 12 é divisível por 6.

A partir disso, concluímos que 12 é o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 12.

Resposta: o nok dos números 6 e 12 é 12:

LCM(6, 12) = 12

O NOC resultante será o denominador comum das duas frações 1/6 e 5/12.

2. Traga frações para um denominador comum.

Em nosso exemplo, apenas a primeira fração precisa ser reduzida a um denominador comum de 12, pois a segunda fração já possui um denominador de 12.

Divida o denominador comum de 12 pelo denominador da primeira fração:

2 tem um multiplicador adicional.

Multiplique o numerador e o denominador da primeira fração (1/6) por um fator adicional de 2.

Nesta lição, consideraremos a adição e a subtração de frações algébricas com denominadores diferentes. Já sabemos como somar e subtrair frações comuns com denominadores diferentes. Para fazer isso, as frações devem ser reduzidas a um denominador comum. Acontece que as frações algébricas seguem as mesmas regras. Ao mesmo tempo, já sabemos como reduzir frações algébricas a um denominador comum. A adição e subtração de frações com denominadores diferentes é um dos tópicos mais importantes e difíceis do curso de 8º ano. Além disso, este tópico será encontrado em muitos tópicos do curso de álgebra, que você estudará no futuro. Como parte da lição, estudaremos as regras para somar e subtrair frações algébricas com denominadores diferentes, bem como analisar vários exemplos típicos.

Considere o exemplo mais simples para frações ordinárias.

Exemplo 1 Adicionar frações: .

Solução:

Lembre-se da regra para somar frações. Para começar, as frações devem ser reduzidas a um denominador comum. O denominador comum das frações ordinárias é mínimo múltiplo comum(LCM) dos denominadores originais.

Definição

O menor número natural que é divisível por ambos os números e .

Para encontrar o MMC, é necessário decompor os denominadores em fatores primos e, em seguida, selecionar todos os fatores primos incluídos na expansão de ambos os denominadores.

; . Em seguida, o LCM dos números deve incluir dois 2s e dois 3s: .

Depois de encontrar o denominador comum, é necessário que cada uma das frações encontre um fator adicional (na verdade, divida o denominador comum pelo denominador da fração correspondente).

Em seguida, cada fração é multiplicada pelo fator adicional resultante. Obtemos frações com os mesmos denominadores, que aprendemos a somar e subtrair nas lições anteriores.

Nós temos: .

Responda:.

Considere agora a adição de frações algébricas com denominadores diferentes. Primeiro considere frações cujos denominadores são números.

Exemplo 2 Adicionar frações: .

Solução:

O algoritmo de solução é absolutamente semelhante ao exemplo anterior. É fácil encontrar um denominador comum para essas frações: e fatores adicionais para cada uma delas.

.

Responda:.

Então vamos formular algoritmo para somar e subtrair frações algébricas com denominadores diferentes:

1. Encontre o menor denominador comum das frações.

2. Encontre fatores adicionais para cada uma das frações (dividindo o denominador comum pelo denominador dessa fração).

3. Multiplique os numeradores pelos fatores adicionais apropriados.

4. Adicione ou subtraia frações usando as regras para somar e subtrair frações com os mesmos denominadores.

Considere agora um exemplo com frações no denominador das quais existem expressões literais.

Exemplo 3 Adicionar frações: .

Solução:

Como as expressões literais em ambos os denominadores são as mesmas, você deve encontrar um denominador comum para os números. O denominador comum final será semelhante a: . Então a solução para este exemplo é:

Responda:.

Exemplo 4 Subtrair frações: .

Solução:

Se você não pode “enganar” ao escolher um denominador comum (você não pode fatorá-lo ou usar as fórmulas de multiplicação abreviadas), então você deve tomar o produto dos denominadores de ambas as frações como denominador comum.

Responda:.

Em geral, ao resolver tais exemplos, a tarefa mais difícil é encontrar um denominador comum.

Vejamos um exemplo mais complexo.

Exemplo 5 Simplificar: .

Solução:

Ao encontrar um denominador comum, você deve primeiro tentar fatorar os denominadores das frações originais (para simplificar o denominador comum).

Neste caso específico:

Então é fácil determinar o denominador comum: .

Determinamos fatores adicionais e resolvemos este exemplo:

Responda:.

Agora vamos corrigir as regras para adicionar e subtrair frações com denominadores diferentes.

Exemplo 6 Simplificar: .

Solução:

Responda:.

Exemplo 7 Simplificar: .

Solução:

.

Responda:.

Considere agora um exemplo em que não duas, mas três frações são adicionadas (afinal, as regras para adição e subtração para mais frações permanecem as mesmas).

Exemplo 8 Simplificar: .

Considere a fração $\frac63$. Seu valor é 2, pois $\frac63 =6:3 = 2$. O que acontece se o numerador e o denominador forem multiplicados por 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Obviamente, o valor da fração não mudou, então $\frac(12)(6)$ também é igual a 2 como y. multiplique o numerador e o denominador por 3 e obtenha $\frac(18)(9)$, ou por 27 e obtenha $\frac(162)(81)$ ou por 101 e obtenha $\frac(606)(303)$. Em cada um desses casos, o valor da fração que obtemos dividindo o numerador pelo denominador é 2. Isso significa que não mudou.

O mesmo padrão é observado no caso de outras frações. Se o numerador e denominador da fração $\frac(120)(60)$ (igual a 2) for dividido por 2 (resultado de $\frac(60)(30)$), ou por 3 (resultado de $\ frac(40)(20) $), ou por 4 (o resultado de $\frac(30)(15)$) e assim por diante, então em cada caso o valor da fração permanece inalterado e igual a 2.

Esta regra também se aplica a frações que não são iguais. número inteiro.

Se o numerador e o denominador da fração $\frac(1)(3)$ forem multiplicados por 2, obtemos $\frac(2)(6)$, ou seja, o valor da fração não mudou. E, de fato, se você dividir o bolo em 3 partes e pegar uma delas, ou dividir em 6 partes e pegar 2 partes, terá a mesma quantidade de torta nos dois casos. Portanto, os números $\frac(1)(3)$ e $\frac(2)(6)$ são idênticos. Vamos formular uma regra geral.

O numerador e o denominador de qualquer fração podem ser multiplicados ou divididos pelo mesmo número, e o valor da fração não muda.

Esta regra é muito útil. Por exemplo, permite em alguns casos, mas nem sempre, evitar operações com grandes números.

Por exemplo, podemos dividir o numerador e o denominador da fração $\frac(126)(189)$ por 63 e obter a fração $\frac(2)(3)$ que é muito mais fácil de calcular. Mais um exemplo. Podemos dividir o numerador e o denominador da fração $\frac(155)(31)$ por 31 e obter a fração $\frac(5)(1)$ ou 5, pois 5:1=5.

Neste exemplo, encontramos pela primeira vez uma fração cujo denominador é 1. Essas frações desempenham um papel importante nos cálculos. Deve-se lembrar que qualquer número pode ser dividido por 1 e seu valor não será alterado. Ou seja, $\frac(273)(1)$ é igual a 273; $\frac(509993)(1)$ é igual a 509993 e assim por diante. Portanto, não precisamos dividir números por , pois todo número inteiro pode ser representado como uma fração com denominador 1.

Com essas frações, cujo denominador é igual a 1, você pode realizar as mesmas operações aritméticas que com todas as outras frações: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \vezes \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Você pode perguntar qual é a utilidade de representar um inteiro como uma fração, que terá uma unidade sob a linha, porque é mais conveniente trabalhar com um inteiro. Mas o fato é que a representação de um inteiro como uma fração nos dá a oportunidade de realizar várias ações de forma mais eficiente quando estamos lidando com números inteiros e fracionários ao mesmo tempo. Por exemplo, para aprender adicionar frações com denominadores diferentes. Suponha que precisamos adicionar $\frac(1)(3)$ e $\frac(1)(5)$.

Sabemos que você só pode somar frações cujos denominadores são iguais. Então, precisamos aprender como trazer frações para tal forma quando seus denominadores são iguais. Nesse caso, precisamos novamente do fato de que você pode multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número sem alterar seu valor.

Primeiro, multiplicamos o numerador e o denominador da fração $\frac(1)(3)$ por 5. Obtemos $\frac(5)(15)$, o valor da fração não mudou. Em seguida, multiplicamos o numerador e denominador da fração $\frac(1)(5)$ por 3. Obtemos $\frac(3)(15)$, novamente o valor da fração não mudou. Portanto, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Agora vamos tentar aplicar este sistema à adição de números contendo partes inteiras e fracionárias.

Precisamos somar $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Primeiro, convertemos todos os termos em frações e obtemos: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Agora precisamos trazer todas as frações para um denominador comum, para isso multiplicamos o numerador e o denominador da primeira fração por 12, a segunda por 4 e a terceira por 3. Como resultado, obtemos $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, que é igual a $\frac(55)(12)$. Se você quer se livrar Fração imprópria, ele pode ser transformado em um número que consiste em um inteiro e uma parte fracionária: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ou $4\frac( 7)(12)$.

Todas as regras que permitem operações com frações, que acabamos de estudar, também são válidos no caso de números negativos. Assim, -1: 3 pode ser escrito como $\frac(-1)(3)$, e 1: (-3) como $\frac(1)(-3)$.

Como tanto a divisão de um número negativo por um número positivo quanto a divisão de um número positivo por um negativo resultam em números negativos, em ambos os casos obteremos a resposta na forma de um número negativo. Aquilo é

$(-1): 3 = \frac(1)(3)$ ou $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. O sinal de menos quando escrito desta forma refere-se à fração inteira como um todo, e não separadamente ao numerador ou denominador.

Por outro lado, (-1): (-3) pode ser escrito como $\frac(-1)(-3)$, e como dividir um número negativo por um número negativo dá um número positivo, então $\frac (-1 )(-3)$ pode ser escrito como $+\frac(1)(3)$.

A adição e subtração de frações negativas é realizada da mesma forma que a adição e subtração de frações positivas. Por exemplo, o que é $1- 1\frac13$? Vamos representar ambos os números como frações e obter $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Vamos reduzir as frações a um denominador comum e obter $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, ou seja, $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, ou $-\frac(1)(3)$.

Adição e subtração de frações com os mesmos denominadores
Adição e subtração de frações com denominadores diferentes
O conceito de NOC
Trazendo frações para o mesmo denominador
Como adicionar um número inteiro e uma fração

1 Adição e subtração de frações com os mesmos denominadores

Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador igual, por exemplo:

Para subtrair frações com denominadores iguais, subtraia o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixe o denominador igual, por exemplo:

Para adicionar frações mistas, você deve adicionar separadamente suas partes inteiras e, em seguida, adicionar suas partes fracionárias e escrever o resultado como uma fração mista,

Se, ao somar as partes fracionárias, for obtida uma fração imprópria, selecionamos a parte inteira dela e a somamos à parte inteira, por exemplo:

2 Adicionando e subtraindo frações com denominadores diferentes

Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, você deve primeiro trazê-las para o mesmo denominador e, em seguida, proceder conforme indicado no início deste artigo. O denominador comum de várias frações é o MMC (mínimo múltiplo comum). Para o numerador de cada uma das frações, são encontrados fatores adicionais dividindo o MMC pelo denominador dessa fração. Veremos um exemplo mais tarde, depois de descobrirmos o que é um LCM.

3 Mínimo múltiplo comum (MMC)

O mínimo múltiplo comum de dois números (LCM) é o menor número natural que é divisível por ambos os números sem deixar resto. Às vezes, o LCM pode ser encontrado oralmente, mas com mais frequência, especialmente ao trabalhar com números grandes, você precisa encontrar o LCM por escrito, usando o seguinte algoritmo:

Para encontrar o LCM de vários números, você precisa:

1. Decomponha esses números em fatores primos
2. Pegue a maior expansão e escreva esses números como um produto
3. Selecione em outras expansões os números que não ocorrem na maior expansão (ou ocorrem nela um número menor de vezes), e adicione-os ao produto.
4. Multiplique todos os números do produto, este será o LCM.

Por exemplo, vamos encontrar o LCM dos números 28 e 21:

4Reduzindo frações ao mesmo denominador

Vamos voltar a somar frações com denominadores diferentes.

Quando reduzimos frações ao mesmo denominador, igual ao MMC de ambos os denominadores, devemos multiplicar os numeradores dessas frações por multiplicadores adicionais. Você pode encontrá-los dividindo o MMC pelo denominador da fração correspondente, por exemplo:

Assim, para trazer frações para um indicador, você deve primeiro encontrar o MMC (ou seja, o menor número que é divisível por ambos os denominadores) dos denominadores dessas frações, depois colocar fatores adicionais nos numeradores das frações. Você pode encontrá-los dividindo o denominador comum (LCD) pelo denominador da fração correspondente. Então você precisa multiplicar o numerador de cada fração por um fator adicional e colocar o MMC como denominador.

5Como adicionar um número inteiro e uma fração

Para somar um número inteiro e uma fração, basta somar esse número na frente da fração e obterá uma fração mista, por exemplo.