teorema de Pitágoras- um dos teoremas fundamentais da geometria euclidiana, estabelecendo a relação

entre os lados de um triângulo retângulo.

Acredita-se que foi provado pelo matemático grego Pitágoras, de quem recebeu o nome.

Formulação geométrica do teorema de Pitágoras.

O teorema foi originalmente formulado da seguinte forma:

Em um triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados,

construído em cateteres.

Formulação algébrica do teorema de Pitágoras.

Em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

Isto é, denotando o comprimento da hipotenusa do triângulo através de c, e os comprimentos das pernas através uma e b:

Ambas as formulações teoremas de Pitágoras são equivalentes, mas a segunda formulação é mais elementar, não

requer o conceito de área. Ou seja, a segunda afirmação pode ser verificada sem saber nada sobre a área e

medindo apenas os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo.

O teorema de Pitágoras inverso.

Se o quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, então

triângulo é retangular.

Ou, em outras palavras:

Para qualquer triplo de números positivos uma, b e c, de tal modo que

existe um triângulo retângulo com pernas uma e b e hipotenusa c.

O teorema de Pitágoras para um triângulo isósceles.

Teorema de Pitágoras para um triângulo equilátero.

Demonstrações do teorema de Pitágoras.

Até o momento, 367 provas deste teorema foram registradas na literatura científica. Provavelmente o teorema

Pitágoras é o único teorema com um número tão impressionante de provas. Tal diversidade

só pode ser explicado pelo significado fundamental do teorema para a geometria.

Claro, conceitualmente, todos eles podem ser divididos em um pequeno número de classes. O mais famoso deles:

prova de método de área, axiomático e evidência exótica(por exemplo,

usando equações diferenciais).

1. Demonstração do teorema de Pitágoras em termos de triângulos semelhantes.

A seguinte prova da formulação algébrica é a mais simples das provas construídas

diretamente dos axiomas. Em particular, não usa o conceito de área de uma figura.

Deixar abc existe um triângulo retângulo C. Vamos desenhar uma altura de C e denotar

sua fundação através H.

Triângulo ACH semelhante a um triângulo AB C em dois cantos. Da mesma forma, o triângulo CBH semelhante abc.

Introduzindo a notação:

Nós temos:

,

que combina -

Tendo dobrado uma 2 e b 2, obtemos:

ou , o que deveria ser provado.

2. Demonstração do teorema de Pitágoras pelo método das áreas.

As seguintes provas, apesar de sua aparente simplicidade, não são tão simples assim. Todos eles

use as propriedades da área, cuja demonstração é mais complicada do que a demonstração do próprio teorema de Pitágoras.

• Prova por equicomplementação.

Disponha quatro retângulos iguais

triângulo como mostrado na imagem

na direita.

Quadrilátero com lados c- quadrado,

pois a soma de dois ângulos agudos é 90°, e

o ângulo desenvolvido é de 180°.

A área de toda a figura é, por um lado,

área de um quadrado com lado ( a+b), e por outro lado, a soma das áreas de quatro triângulos e

Q.E.D.

3. Demonstração do teorema de Pitágoras pelo método infinitesimal.

​

Considerando o desenho mostrado na figura, e

vendo a mudança de ladouma, podemos

escreva a seguinte relação para infinito

pequena incrementos lateraisCom e uma(usando semelhança

triângulos):

Usando o método de separação de variáveis, encontramos:

Uma expressão mais geral para alterar a hipotenusa no caso de incrementos de ambas as pernas:

Integrando esta equação e usando as condições iniciais, obtemos:

Assim, chegamos à resposta desejada:

Como é fácil ver, a dependência quadrática na fórmula final aparece devido à linearidade

proporcionalidade entre os lados do triângulo e os incrementos, enquanto a soma está relacionada com o

contribuições do incremento de diferentes pernas.

Uma prova mais simples pode ser obtida se assumirmos que uma das pernas não experimenta um incremento

(neste caso, a perna b). Então para a constante de integração temos:

Nunca se esqueça do teorema de Pitágoras. O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados de seus catetos. Em outras palavras, em um triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre seus catetos.

Denotando o comprimento da hipotenusa do triângulo por c, e os comprimentos dos catetos por a e b:

Hipotenusaé um dos lados de um triângulo retângulo. Também neste triângulo existem dois perna.

Neste caso, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. E as pernas são os lados que formam um determinado ângulo.

De acordo com o teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa será igual a soma dos quadrados dos catetos.

Ou seja, AB = AC + BC.

A recíproca também é verdadeira - se essa igualdade vale em um triângulo, então esse triângulo é retângulo.

Esta propriedade ajuda a resolver muitos problemas geométricos.

Há uma formulação ligeiramente diferente deste teorema: a área do quadrado, que é construída sobre a hipotenusa, é igual à soma das áreas dos quadrados, construída sobre os catetos.

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos... da escola de cor. Esta é uma daquelas regras que serão lembradas para sempre.)))

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos

Isso mesmo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Claro, isso nos foi ensinado, e que esse teorema de Pitágoras não deixa dúvidas, é tão bom lembrar o que foi ensinado há muito tempo entre a rotina usual.

Depende do comprimento desta hipotenusa. Se for igual a um metro, então e quadrado é um metro quadrado. E se, por exemplo, é igual a 39,37 polegadas, então e quadrado é igual a 1550 polegadas quadradas, nada pode ser feito a respeito.

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos - o teorema de Pitágoras (a propósito, o parágrafo mais fácil do livro de geometria)

Sim, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. É como se fôssemos ensinados na escola. Quantos anos se passaram, e ainda nos lembramos deste teorema, amado por nós. Provavelmente, forçar e provar que posso, como no currículo escolar.

Eles também disseram uma contagem calças pitagóricas, iguais em todas as direções;

O professor nos disse que se você está dormindo e de repente há um incêndio - você deve conhecer o teorema de Pitágoras))) É igual à soma dos quadrados das pernas

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados do triângulo (pernas).

Você pode se lembrar disso, ou pode entender de uma vez por todas por que é assim.

para começar, considere um triângulo retângulo com catetos idênticos e coloque-o dentro de um quadrado de lado igual à hipotenusa.

A área do quadrado grande será igual à área de quatro triângulos idênticos dentro dele.

Calculamos tudo rapidamente e obtemos o resultado que precisamos.



Caso as pernas não sejam as mesmas, tudo também é bastante simples:

a área do quadrado grande é igual à soma das áreas de quatro triângulos idênticos mais a área do quadrado no meio.



O que quer que se diga, sempre obtemos igualdade

a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Um dos mais famosos em geometria, o teorema de Pitágoras afirma:

Este teorema diz respeito a um triângulo retângulo, ou seja, aquele cujo ângulo é de 90 graus. Os lados de um ângulo reto são chamados de catetos e os lados oblíquos são chamados de hipotenusa. Então, se você desenhar três quadrados com uma base em cada lado do triângulo, então a área dos dois quadrados próximos ao cateto é igual à área do quadrado próximo à hipotenusa.

O potencial de criatividade geralmente é atribuído às humanidades, deixando a análise científica natural, a abordagem prática e a linguagem seca de fórmulas e números. A matemática não pode ser classificada como uma disciplina de humanidades. Mas sem criatividade na "rainha de todas as ciências", você não irá longe - as pessoas sabem disso há muito tempo. Desde o tempo de Pitágoras, por exemplo.

Os livros didáticos, infelizmente, geralmente não explicam que em matemática é importante não apenas empinar teoremas, axiomas e fórmulas. É importante compreender e sentir seus princípios fundamentais. E, ao mesmo tempo, tente libertar sua mente de clichês e verdades elementares - somente nessas condições nascem todas as grandes descobertas.

Tais descobertas incluem aquela que hoje conhecemos como o teorema de Pitágoras. Com sua ajuda, tentaremos mostrar que a matemática não apenas pode, mas deve ser divertida. E que esta aventura é adequada não apenas para nerds de óculos grossos, mas para todos que são fortes de mente e fortes de espírito.

Da história do problema

Estritamente falando, embora o teorema seja chamado de "teorema de Pitágoras", o próprio Pitágoras não o descobriu. O triângulo retângulo e suas propriedades especiais foram estudados muito antes dele. Há dois pontos de vista polares sobre esta questão. De acordo com uma versão, Pitágoras foi o primeiro a encontrar uma prova completa do teorema. Segundo outro, a prova não é de autoria de Pitágoras.

Hoje você não pode mais verificar quem está certo e quem está errado. Sabe-se apenas que a prova de Pitágoras, se alguma vez existiu, não sobreviveu. No entanto, há sugestões de que a famosa prova dos Elementos de Euclides possa pertencer a Pitágoras, e Euclides apenas a registrou.

Também se sabe hoje que problemas sobre um triângulo retângulo são encontrados em fontes egípcias da época do faraó Amenemhet I, em tábuas de argila babilônicas do reinado do rei Hamurabi, no antigo tratado indiano Sulva Sutra e na antiga obra chinesa Zhou -bi suan jin.

Como você pode ver, o teorema de Pitágoras ocupa a mente dos matemáticos desde os tempos antigos. Aproximadamente 367 várias evidências que existem hoje servem como confirmação. Nenhum outro teorema pode competir com ele a esse respeito. Autores de evidências notáveis ​​incluem Leonardo da Vinci e o 20º Presidente dos Estados Unidos, James Garfield. Tudo isso fala da extrema importância desse teorema para a matemática: a maioria dos teoremas da geometria são derivados dele ou, de uma forma ou de outra, relacionados a ele.

Provas do Teorema de Pitágoras

Os livros escolares fornecem principalmente provas algébricas. Mas a essência do teorema está na geometria, então vamos primeiro considerar as provas do famoso teorema que se baseiam nessa ciência.

Prova 1

Para a demonstração mais simples do teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, você precisa definir condições ideais: deixe o triângulo não apenas ser retângulo, mas também isósceles. Há razões para acreditar que foi esse triângulo que foi originalmente considerado pelos matemáticos antigos.

Declaração "um quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados construídos sobre seus catetos" pode ser ilustrado com o seguinte desenho:

Olhe para o triângulo retângulo isósceles ABC: Na hipotenusa AC, você pode construir um quadrado composto por quatro triângulos iguais ao ABC original. E sobre os catetos AB e BC construídos sobre um quadrado, cada um contendo dois triângulos semelhantes.

Aliás, esse desenho serviu de base para inúmeras anedotas e caricaturas dedicadas ao teorema de Pitágoras. Talvez o mais famoso seja "As calças pitagóricas são iguais em todas as direções":

Prova 2

Este método combina álgebra e geometria e pode ser visto como uma variante da antiga prova indiana do matemático Bhaskari.

Construir um triângulo retângulo com lados a, b e c(Figura 1). Em seguida, construa dois quadrados com lados iguais à soma dos comprimentos das duas pernas - (a+b). Em cada um dos quadrados, faça construções, como nas figuras 2 e 3.

No primeiro quadrado, construa quatro dos mesmos triângulos da Figura 1. Como resultado, dois quadrados são obtidos: um com lado a, o segundo com lado b.

No segundo quadrado, quatro triângulos semelhantes construídos formam um quadrado com um lado igual à hipotenusa c.

A soma das áreas dos quadrados construídos na Fig. 2 é igual à área do quadrado que construímos com o lado c na Fig. 3. Isso pode ser facilmente verificado calculando as áreas dos quadrados na Fig. 2 de acordo com a fórmula. E a área do quadrado inscrito na Figura 3. subtraindo as áreas de quatro triângulos retângulos iguais inscritos no quadrado da área de um quadrado grande com um lado (a+b).

Colocando tudo isso para baixo, temos: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Expanda os colchetes, faça todos os cálculos algébricos necessários e obtenha isso a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Ao mesmo tempo, a área do inscrito na Fig.3. quadrado também pode ser calculado usando a fórmula tradicional S=c2. Aqueles. a2+b2=c2 Você provou o teorema de Pitágoras.

Prova 3

A mesma antiga prova indiana é descrita no século XII no tratado “A Coroa do Conhecimento” (“Siddhanta Shiromani”), e como argumento principal o autor usa um apelo dirigido aos talentos matemáticos e poderes de observação dos alunos e seguidores: “Olha!”.

Mas vamos analisar essa prova com mais detalhes:

Dentro do quadrado, construa quatro triângulos retângulos conforme indicado no desenho. O lado do quadrado grande, que também é a hipotenusa, é denotado Com. Vamos chamar as pernas do triângulo uma e b. De acordo com o desenho, o lado do quadrado interno é (a-b).

Use a fórmula da área quadrada S=c2 para calcular a área do quadrado externo. E, ao mesmo tempo, calcule o mesmo valor adicionando a área do quadrado interno e a área de quatro triângulos retângulos: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Você pode usar as duas opções para calcular a área de um quadrado para garantir que elas dêem o mesmo resultado. E isso lhe dá o direito de escrever isso c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Como resultado da solução, você obterá a fórmula do teorema de Pitágoras c2=a2+b2. O teorema foi provado.

Prova 4

Esta curiosa prova chinesa antiga é chamada de "Cadeira da Noiva" - por causa da figura semelhante a uma cadeira que resulta de todas as construções:

Ele usa o desenho que já vimos na Figura 3 na segunda prova. E o quadrado interno com lado c é construído da mesma maneira que na antiga demonstração indiana dada acima.

Se você cortar mentalmente dois triângulos retângulos verdes do desenho da Fig. 1, transferi-los para lados opostos do quadrado com lado c e anexar as hipotenusas às hipotenusas dos triângulos lilás, você obterá uma figura chamada "noiva cadeira” (Fig. 2). Para maior clareza, você pode fazer o mesmo com quadrados e triângulos de papel. Você verá que a "cadeira da noiva" é formada por dois quadrados: pequenos com um lado b e grande com um lado uma.

Essas construções permitiram que os antigos matemáticos chineses e nós que os seguimos chegássemos à conclusão de que c2=a2+b2.

Prova 5

Esta é outra maneira de encontrar uma solução para o teorema de Pitágoras com base na geometria. Chama-se Método Garfield.

Construir um triângulo retângulo abc. Precisamos provar que BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Para fazer isso, continue a perna CA e construir um segmento CD, que é igual à perna AB. Perpendicular Inferior DE ANÚNCIOS segmento de linha ED. Segmentos ED e CA são iguais. ligue os pontos E e NO, assim como E e A PARTIR DE e obter um desenho como a imagem abaixo:

Para provar a torre, recorremos novamente ao método que já testamos: encontramos a área da figura resultante de duas maneiras e igualamos as expressões entre si.

Encontrar a área de um polígono ABED pode ser feito somando as áreas dos três triângulos que o formam. E um deles URE, não é apenas retangular, mas também isósceles. Também não vamos esquecer que AB=CD, AC=ED e BC=CE- isso nos permitirá simplificar a gravação e não sobrecarregá-la. Então, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Ao mesmo tempo, é óbvio que ABEDé um trapézio. Portanto, calculamos sua área usando a fórmula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Para nossos cálculos, é mais conveniente e claro representar o segmento DE ANÚNCIOS como a soma dos segmentos CA e CD.

Vamos escrever as duas formas de calcular a área de uma figura colocando um sinal de igual entre elas: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Usamos a igualdade de segmentos já conhecida por nós e descrita acima para simplificar o lado direito da notação: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. E agora abrimos os colchetes e transformamos a igualdade: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Tendo terminado todas as transformações, obtemos exatamente o que precisamos: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Provamos o teorema.

Claro, esta lista de evidências está longe de ser completa. O teorema de Pitágoras também pode ser provado usando vetores, números complexos, equações diferenciais, estereometria, etc. E até físicos: se, por exemplo, o líquido for derramado em volumes quadrados e triangulares semelhantes aos mostrados nos desenhos. Derramando líquido, é possível provar a igualdade de áreas e o próprio teorema como resultado.

Algumas palavras sobre trigêmeos pitagóricos

Esse tema é pouco ou pouco estudado no currículo escolar. Entretanto, é muito interessante e de grande importância na geometria. As triplas pitagóricas são usadas para resolver muitos problemas matemáticos. A ideia deles pode ser útil para você na educação superior.

Então, o que são trigêmeos pitagóricos? Os chamados números naturais, reunidos em três, cuja soma dos quadrados de dois é igual ao terceiro número ao quadrado.

Os triplos pitagóricos podem ser:

• primitivo (todos os três números são relativamente primos);
• não primitivo (se cada número de um triplo é multiplicado pelo mesmo número, você obtém um novo triplo que não é primitivo).

Mesmo antes de nossa era, os antigos egípcios eram fascinados pela mania dos números de triplos pitagóricos: nas tarefas eles consideravam um triângulo retângulo com lados de 3,4 e 5 unidades. A propósito, qualquer triângulo cujos lados são iguais aos números da tríplice pitagórica é, por padrão, retangular.

Exemplos de triplos pitagóricos: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20)), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) etc.

Aplicação prática do teorema

O teorema de Pitágoras encontra aplicação não apenas na matemática, mas também na arquitetura e construção, astronomia e até literatura.

Primeiro, sobre construção: o teorema de Pitágoras encontra ampla aplicação nele em problemas de diferentes níveis de complexidade. Por exemplo, olhe para a janela românica:

Vamos denotar a largura da janela como b, então o raio do grande semicírculo pode ser denotado como R e expressar através b: R=b/2. O raio de semicírculos menores também pode ser expresso em termos de b: r=b/4. Neste problema, estamos interessados ​​no raio do círculo interno da janela (vamos chamá-lo de p).

O teorema de Pitágoras é útil para calcular R. Para fazer isso, usamos um triângulo retângulo, indicado por uma linha pontilhada na figura. A hipotenusa de um triângulo consiste em dois raios: b/4+p. Uma perna é um raio b/4, outro b/2-p. Usando o teorema de Pitágoras, escrevemos: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Em seguida, abrimos os colchetes e obtemos b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Vamos transformar essa expressão em pb/2=b 2 /4-pb. E então dividimos todos os termos em b, damos semelhantes para obter 3/2*p=b/4. E no final descobrimos que p=b/6- que é o que precisávamos.

Usando o teorema, você pode calcular o comprimento das vigas de um telhado de duas águas. Determine a altura necessária de uma torre móvel para que o sinal alcance um determinado assentamento. E até mesmo instalar uma árvore de Natal na praça da cidade. Como você pode ver, esse teorema vive não apenas nas páginas dos livros didáticos, mas muitas vezes é útil na vida real.

No que diz respeito à literatura, o teorema de Pitágoras inspirou escritores desde a antiguidade e continua a fazê-lo hoje. Por exemplo, o escritor alemão do século XIX Adelbert von Chamisso inspirou-se nela para escrever um soneto:

A luz da verdade não se dissipará tão cedo,
Mas, tendo brilhado, é improvável que se dissipe
E, como há milhares de anos,
Não causará dúvidas e disputas.

O mais sábio quando toca o olho
Luz da verdade, graças aos deuses;
E cem touros, esfaqueados, mentem -
O presente de retorno do sortudo Pitágoras.

Desde então, os touros têm rugido desesperadamente:
Para sempre despertou a tribo do touro
evento aqui mencionado.

Eles acham que está na hora
E novamente eles serão sacrificados
Algum grande teorema.

(traduzido por Victor Toporov)

E no século XX, o escritor soviético Yevgeny Veltistov em seu livro "As Aventuras da Eletrônica" dedicou um capítulo inteiro às provas do teorema de Pitágoras. E meio capítulo de uma história sobre um mundo bidimensional que poderia existir se o teorema de Pitágoras se tornasse a lei fundamental e até mesmo a religião de um único mundo. Seria muito mais fácil viver nele, mas também muito mais chato: por exemplo, ninguém lá entende o significado das palavras “redondo” e “fofo”.

E no livro “As Aventuras da Eletrônica”, o autor, pela boca da professora de matemática Taratara, diz: “O principal na matemática é o movimento do pensamento, as novas ideias”. É esse vôo criativo do pensamento que gera o teorema de Pitágoras - não é à toa que ele tem tantas provas diversas. Ajuda a ir além do habitual e olhar para as coisas familiares de uma nova maneira.

Conclusão

Este artigo foi criado para que você possa olhar além do currículo escolar em matemática e aprender não apenas aquelas provas do teorema de Pitágoras que são dadas nos livros didáticos "Geometria 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) e "Geometria 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), mas também outras formas curiosas de provar o famoso teorema. E veja também exemplos de como o teorema de Pitágoras pode ser aplicado na vida cotidiana.

Em primeiro lugar, essas informações permitirão que você obtenha pontuações mais altas nas aulas de matemática - informações sobre o assunto de fontes adicionais são sempre muito apreciadas.

Em segundo lugar, queríamos ajudá-lo a ter uma ideia de como a matemática é interessante. Ser convencido por exemplos concretos de que há sempre um lugar para a criatividade. Esperamos que o teorema de Pitágoras e este artigo o inspirem a fazer suas próprias pesquisas e descobertas emocionantes em matemática e outras ciências.

Conte-nos nos comentários se você achou as evidências apresentadas no artigo interessantes. Você achou essas informações úteis em seus estudos? Deixe-nos saber o que você pensa sobre o teorema de Pitágoras e este artigo - ficaremos felizes em discutir tudo isso com você.

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A geometria não é uma ciência fácil. Pode ser útil tanto para o currículo escolar quanto na vida real. O conhecimento de muitas fórmulas e teoremas simplificará os cálculos geométricos. Uma das formas mais simples da geometria é o triângulo. Uma das variedades de triângulos, equilátero, tem características próprias.

Características de um triângulo equilátero

Por definição, um triângulo é um poliedro que tem três ângulos e três lados. Esta é uma figura bidimensional plana, suas propriedades são estudadas no ensino médio. De acordo com o tipo de ângulo, distinguem-se os triângulos de ângulo agudo, de ângulo obtuso e de ângulo reto. Um triângulo retângulo é uma figura geométrica em que um dos ângulos mede 90º. Tal triângulo tem dois catetos (eles criam um ângulo reto) e uma hipotenusa (é oposta ao ângulo reto). Dependendo de quais quantidades são conhecidas, existem três maneiras fáceis de calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo.

A primeira maneira é encontrar a hipotenusa de um triângulo retângulo. teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é a maneira mais antiga de calcular qualquer um dos lados de um triângulo retângulo. Soa assim: “Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Assim, para calcular a hipotenusa, deve-se derivar a raiz quadrada da soma dos dois catetos ao quadrado. Para maior clareza, fórmulas e um diagrama são fornecidos.

A segunda maneira. Cálculo da hipotenusa usando 2 valores conhecidos: a perna e o ângulo adjacente

Uma das propriedades de um triângulo retângulo diz que a razão entre o comprimento do cateto e o comprimento da hipotenusa é equivalente ao cosseno do ângulo entre esse cateto e a hipotenusa. Vamos chamar o ângulo conhecido por nós de α. Agora, graças à definição bem conhecida, podemos formular facilmente uma fórmula para calcular a hipotenusa: Hipotenusa = leg/cos(α)

A terceira via. Calculando a hipotenusa usando 2 valores conhecidos: a perna e o ângulo oposto

Se o ângulo oposto for conhecido, é possível usar novamente as propriedades de um triângulo retângulo. A razão entre o comprimento do cateto e a hipotenusa é equivalente ao seno do ângulo oposto. Vamos chamar o ângulo conhecido de α novamente. Agora, para os cálculos, aplicamos uma fórmula um pouco diferente:
Hipotenusa = perna/pecado (α)

Exemplos para ajudá-lo a entender fórmulas

Para uma compreensão mais profunda de cada uma das fórmulas, você deve considerar exemplos ilustrativos. Então, suponha que um triângulo retângulo seja dado, onde existem tais dados:

• Perna - 8 cm.
• O ângulo adjacente cosα1 é 0,8.
• O ângulo oposto sinα2 é 0,8.

De acordo com o teorema de Pitágoras: Hipotenusa \u003d raiz quadrada de (36 + 64) \u003d 10 cm.
Pelo tamanho da perna e o ângulo incluído: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
Pelo tamanho da perna e o ângulo oposto: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.

Tendo entendido a fórmula, você pode calcular facilmente a hipotenusa com qualquer dado.

Vídeo: Teorema de Pitágoras

Certifique-se de que o triângulo que você recebeu é um triângulo retângulo, pois o teorema de Pitágoras só se aplica a triângulos retângulos. Nos triângulos retângulos, um dos três ângulos é sempre 90 graus.

• Um ângulo reto em um triângulo retângulo é indicado por um quadrado em vez de uma curva, que representa ângulos não retos.

Rotule os lados do triângulo. Designe os catetos como "a" e "b" (os catetos são lados que se cruzam em ângulos retos) e a hipotenusa como "c" (a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo que fica em frente ao ângulo reto).

Determine qual lado do triângulo você deseja encontrar. O teorema de Pitágoras permite encontrar qualquer lado de um triângulo retângulo (se os outros dois lados forem conhecidos). Determine qual lado (a, b, c) precisa ser encontrado.

• Por exemplo, dada uma hipotenusa igual a 5 e dada uma perna igual a 3. Neste caso, você precisa encontrar a segunda perna. Voltaremos a este exemplo mais adiante.
• Se os outros dois lados são desconhecidos, o comprimento de um dos lados desconhecidos deve ser encontrado para poder aplicar o teorema de Pitágoras. Para fazer isso, use as funções trigonométricas básicas (se você receber o valor de um dos ângulos não retos).

Substitua na fórmula a 2 + b 2 \u003d c 2 os valores dados a você (ou os valores encontrados por você). Lembre-se que a e b são catetos e c é a hipotenusa.

• Em nosso exemplo, escreva: 3² + b² = 5².

Esquadre cada lado conhecido. Ou deixe os graus - você pode elevar os números mais tarde.

• Em nosso exemplo, escreva: 9 + b² = 25.

Isole o lado desconhecido em um lado da equação. Para fazer isso, transfira os valores conhecidos para o outro lado da equação. Se você encontrar a hipotenusa, então no teorema de Pitágoras ela já está isolada em um lado da equação (portanto, nada precisa ser feito).

• Em nosso exemplo, mova 9 para o lado direito da equação para isolar a incógnita b². Você obterá b² = 16.

Tire a raiz quadrada de ambos os lados da equação depois que houver uma incógnita (quadrado) em um lado da equação e uma interceptação (número) no outro lado.

• Em nosso exemplo, b² = 16. Tire a raiz quadrada de ambos os lados da equação e obtenha b = 4. Então a segunda perna é 4.

Use o teorema de Pitágoras na vida cotidiana, pois ele pode ser aplicado em um grande número de situações práticas. Para fazer isso, aprenda a reconhecer triângulos retângulos na vida cotidiana - em qualquer situação em que dois objetos (ou linhas) se cruzam em ângulos retos e um terceiro objeto (ou linha) conecta (na diagonal) os topos dos dois primeiros objetos (ou linhas), você pode usar o teorema de Pitágoras para encontrar o lado desconhecido (se os outros dois lados forem conhecidos).

• Exemplo: Dada uma escada encostada em um prédio. A parte inferior da escada fica a 5 metros da base da parede. O topo da escada fica a 20 metros do chão (na parede). Qual o comprimento da escada?
  • "5 metros da base da parede" significa que a = 5; "está a 20 metros do solo" significa que b = 20 (ou seja, você recebe dois catetos de um triângulo retângulo, pois a parede do prédio e a superfície da Terra se cruzam em ângulos retos). O comprimento da escada é o comprimento da hipotenusa, que é desconhecida.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Assim, o comprimento aproximado das escadas é de 20,6 metros.