Sabe-se que o sinal da raiz é a raiz quadrada de algum número. No entanto, o sinal de raiz significa não apenas uma operação algébrica, mas também é usado em marcenaria - no cálculo de tamanhos relativos.

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Se você quer aprender a multiplicar raízes "com" ou "sem" fatores, então este artigo é para você. Nele, consideraremos métodos para multiplicar raízes:

• sem multiplicadores;
• com multiplicadores;
• com diferentes indicadores.

Método de multiplicação de raiz sem multiplicadores

Algoritmo de ação:

Certifique-se de que a raiz tenha os mesmos expoentes (graus). Lembre-se de que o grau está escrito à esquerda acima do sinal da raiz. Se não houver designação de grau, isso significa que a raiz é quadrada, ou seja, com grau 2, e pode ser multiplicado por outras raízes com grau 2.

Exemplo

Exemplo 1: 18 × 2 = ?

Exemplo 2: 10 × 5 = ?

Exemplo

Exemplo 1: 18 × 2 = 36

Exemplo 2: 10 × 5 = 50

Exemplo 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Simplifique as expressões de raiz. Quando multiplicamos as raízes entre si, podemos simplificar a expressão radical resultante para o produto de um número (ou expressão) por um quadrado ou cubo completo:

Exemplo

Exemplo 1: 36 = 6 . 36 é a raiz quadrada de seis (6 × 6 = 36).

Exemplo 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . Decompomos o número 50 no produto de 25 e 2. A raiz de 25 é 5, então tiramos 5 do sinal da raiz e simplificamos a expressão.

Exemplo 3: 27 3 = 3 . A raiz cúbica de 27 é 3: 3 × 3 × 3 = 27.

O método de multiplicar indicadores com multiplicadores

Algoritmo de ação:

Multiplique os multiplicadores. O multiplicador é o número que vem antes do sinal da raiz. Na ausência de um multiplicador, ele é, por padrão, considerado um. Em seguida, você precisa multiplicar os fatores:

Exemplo

Exemplo 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 x 1 = 3

Exemplo 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 x 3 = 12

Multiplique os números sob o sinal da raiz. Depois de multiplicar os fatores, sinta-se à vontade para multiplicar os números sob o sinal da raiz:

Exemplo

Exemplo 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Exemplo 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Simplifique a expressão raiz. Em seguida, você deve simplificar os valores que estão sob o sinal da raiz - você precisa tirar os números correspondentes do sinal da raiz. Depois disso, você precisa multiplicar os números e fatores que vêm antes do sinal da raiz:

Exemplo

Exemplo 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Exemplo 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Método de multiplicação de raízes com diferentes expoentes

Algoritmo de ação:

Encontre o mínimo múltiplo comum (MCM) dos expoentes. O mínimo múltiplo comum é o menor número divisível por ambos os expoentes.

Exemplo

É necessário encontrar o LCM dos indicadores para a seguinte expressão:

Os expoentes são 3 e 2 . Para esses dois números, o mínimo múltiplo comum é o número 6 (é divisível sem resto por 3 e 2). Para multiplicar as raízes, é necessário um expoente de 6.

Escreva cada expressão com um novo expoente:

Encontre os números pelos quais você precisa multiplicar os indicadores para obter o LCM.

Na expressão 5 3 você precisa multiplicar 3 por 2 para obter 6 . E na expressão 2 2 - pelo contrário, é necessário multiplicar por 3 para obter 6.

Eleve o número sob o sinal da raiz à potência igual ao número encontrado na etapa anterior. Para a primeira expressão, 5 precisa ser elevado à potência de 2 e a segunda - 2 à potência de 3:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Eleve à potência da expressão e escreva o resultado sob o sinal da raiz:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Multiplique os números abaixo da raiz:

(8×25) 6

Escreva o resultado:

(8 × 25) 6 = 200 6

Se possível, simplifique a expressão, mas neste caso não é simplificada.

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Olá gatinhos! Da última vez analisamos detalhadamente o que são raízes (se você não lembra, recomendo a leitura). A principal conclusão dessa lição: existe apenas uma definição universal de raízes, que você precisa conhecer. O resto é bobagem e perda de tempo.

Hoje vamos mais longe. Aprenderemos a multiplicar raízes, estudaremos alguns problemas associados à multiplicação (se esses problemas não forem resolvidos, podem se tornar fatais no exame) e praticaremos corretamente. Então, faça um estoque de pipoca, fique à vontade - e vamos começar. :)

Você ainda não fumou, não é?

A lição ficou bem grande, então dividi em duas partes:

1. Primeiro, veremos as regras para multiplicação. A tampa parece indicar: é quando há duas raízes, há um sinal de “multiplicar” entre elas - e queremos fazer algo com isso.
2. Então vamos analisar a situação inversa: há uma grande raiz, e estávamos impacientes para apresentá-la como um produto de duas raízes de forma mais simples. Com que susto é necessário é uma questão separada. Analisaremos apenas o algoritmo.

Para aqueles que mal podem esperar para pular direto para a Parte 2, de nada. Vamos começar com o resto em ordem.

Regra básica de multiplicação

Vamos começar com o mais simples - raízes quadradas clássicas. Os que são denotados por $\sqrt(a)$ e $\sqrt(b)$. Para eles, tudo é geralmente claro:

regra de multiplicação. Para multiplicar uma raiz quadrada por outra, você só precisa multiplicar suas expressões radicais e escrever o resultado sob o radical comum:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Nenhuma restrição adicional é imposta aos números à direita ou à esquerda: se as raízes do multiplicador existirem, o produto também existirá.

Exemplos. Considere quatro exemplos com números de uma só vez:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(alinhar)\]

Como você pode ver, o principal significado desta regra é simplificar expressões irracionais. E se no primeiro exemplo tivéssemos extraído as raízes de 25 e 4 sem novas regras, então a lata começa: $\sqrt(32)$ e $\sqrt(2)$ não contam por si mesmos, mas seu produto acaba sendo um quadrado exato, então a raiz dele é igual a um número racional.

Separadamente, gostaria de observar a última linha. Lá, ambas as expressões radicais são frações. Graças ao produto, muitos fatores se cancelam e toda a expressão se transforma em um número adequado.

Claro, nem tudo será sempre tão bonito. Às vezes, haverá uma porcaria completa sob as raízes - não está claro o que fazer com isso e como transformar após a multiplicação. Um pouco mais tarde, quando você começar a estudar equações e desigualdades irracionais, haverá todo tipo de variáveis ​​e funções em geral. E muitas vezes, os compiladores dos problemas estão apenas contando com o fato de que você encontrará alguns termos ou fatores de contratação, após os quais a tarefa será bastante simplificada.

Além disso, não é necessário multiplicar exatamente duas raízes. Você pode multiplicar três de uma vez, quatro - sim, até dez! Isso não vai mudar a regra. Dê uma olhada:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(alinhar)\]

E novamente uma pequena observação sobre o segundo exemplo. Como você pode ver, no terceiro multiplicador, há uma fração decimal sob a raiz - no processo de cálculos, a substituímos por uma regular, após a qual tudo é facilmente reduzido. Então: eu recomendo se livrar das frações decimais em qualquer expressão irracional (ou seja, que contenha pelo menos um ícone de radical). Isso vai lhe poupar muito tempo e nervos no futuro.

Mas foi uma digressão lírica. Agora vamos considerar um caso mais geral - quando o expoente raiz contém um número arbitrário $n$, e não apenas os dois "clássicos".

O caso de um indicador arbitrário

Então, descobrimos as raízes quadradas. E o que fazer com cubos? Ou em geral com raízes de grau arbitrário $n$? Sim, tudo é igual. A regra continua a mesma:

Para multiplicar duas raízes de grau $n$, basta multiplicar suas expressões radicais, após o que o resultado é escrito sob um radical.

Em geral, nada complicado. A menos que o volume de cálculos possa ser maior. Vejamos alguns exemplos:

Exemplos. Calcular produtos:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(alinhar)\]

E novamente atenção para a segunda expressão. Multiplicamos as raízes cúbicas, eliminamos a fração decimal e, como resultado, obtemos o produto dos números 625 e 25 no denominador. Este é um número bastante grande - pessoalmente, não vou calcular imediatamente o que é igual para.

Portanto, simplesmente selecionamos o cubo exato no numerador e denominador e, em seguida, usamos uma das propriedades principais (ou, se você preferir, a definição) da raiz do $n$º grau:

\[\begin(alinhar) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\esquerda| a\direito|. \\ \end(alinhar)\]

Esses "golpes" podem economizar muito tempo em um exame ou teste, então lembre-se:

Não se apresse em multiplicar os números na expressão radical. Primeiro, verifique: e se o grau exato de qualquer expressão estiver “criptografado” lá?

Com toda a obviedade desta observação, devo admitir que a maioria dos alunos despreparados não vê os graus exatos. Em vez disso, eles multiplicam tudo à frente e depois se perguntam: por que eles conseguiram números tão brutais? :)

No entanto, tudo isso é brincadeira de criança comparado ao que estudaremos agora.

Multiplicação de raízes com expoentes diferentes

Bem, agora podemos multiplicar raízes com os mesmos expoentes. E se as pontuações forem diferentes? Diga, como você multiplica um $\sqrt(2)$ comum por alguma porcaria como $\sqrt(23)$? É mesmo possível fazer isso?

Sim, é claro que você pode. Tudo é feito de acordo com esta fórmula:

Regra de multiplicação de raízes. Para multiplicar $\sqrt[n](a)$ por $\sqrt[p](b)$, basta fazer a seguinte transformação:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

No entanto, esta fórmula só funciona se expressões radicais são não-negativas. Esta é uma observação muito importante, à qual retornaremos um pouco mais adiante.

Por enquanto, vejamos alguns exemplos:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(alinhar)\]

Como você pode ver, nada complicado. Agora vamos descobrir de onde veio o requisito de não negatividade e o que acontecerá se o violarmos. :)

É fácil multiplicar raízes.

Por que as expressões radicais têm que ser não negativas?

Claro, você pode se tornar um professor de escola e citar um livro com uma aparência inteligente:

A exigência de não negatividade está associada a diferentes definições de raízes de graus pares e ímpares (respectivamente, seus domínios de definição também são diferentes).

Bem, ficou mais claro? Pessoalmente, quando li esse absurdo na 8ª série, entendi por mim mesmo algo assim: “A exigência de não negatividade está ligada a *#&^@(*#@^#)~%” - em suma, eu não entendia merda nenhuma naquela época. :)

Então agora vou explicar tudo de uma forma normal.

Primeiro, vamos descobrir de onde vem a fórmula de multiplicação acima. Para fazer isso, deixe-me lembrá-lo de uma propriedade importante da raiz:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Em outras palavras, podemos elevar com segurança a expressão raiz para qualquer potência natural $k$ - neste caso, o índice raiz terá que ser multiplicado pela mesma potência. Portanto, podemos facilmente reduzir quaisquer raízes a um indicador comum, após o qual multiplicamos. É daí que vem a fórmula da multiplicação:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot((b)^(n)))\]

Mas há um problema que limita severamente a aplicação de todas essas fórmulas. Considere este número:

De acordo com a fórmula dada, podemos adicionar qualquer grau. Vamos tentar adicionar $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Removemos o menos precisamente porque o quadrado queima o menos (como qualquer outro grau par). E agora vamos fazer a transformação inversa: "reduzir" os dois no expoente e no grau. Afinal, qualquer igualdade pode ser lida tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](uma); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(alinhar)\]

Mas então algo louco acontece:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Isso não pode ser porque $\sqrt(-5) \lt 0$ e $\sqrt(5) \gt 0$. Isso significa que para potências pares e números negativos, nossa fórmula não funciona mais. Depois disso temos duas opções:

1. Lutar contra a parede para afirmar que a matemática é uma ciência estúpida, onde “há algumas regras, mas isso é impreciso”;
2. Introduza restrições adicionais sob as quais a fórmula se tornará 100% funcional.

Na primeira opção, teremos que capturar constantemente casos "não funcionais" - isso é difícil, longo e geralmente fu. Portanto, os matemáticos preferiram a segunda opção. :)

Mas não se preocupe! Na prática, essa restrição não afeta os cálculos de forma alguma, porque todos os problemas descritos dizem respeito apenas às raízes de um grau ímpar, e os menos podem ser retirados deles.

Portanto, formulamos outra regra que se aplica em geral a todas as ações com raízes:

Antes de multiplicar as raízes, certifique-se de que as expressões radicais sejam não negativas.

Exemplo. No número $\sqrt(-5)$, você pode tirar o menos do sinal da raiz - então tudo ficará bem:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Sinta a diferença? Se você deixar um menos abaixo da raiz, quando a expressão radical for elevada ao quadrado, ela desaparecerá e a porcaria começará. E se você primeiro tirar um menos, pode até aumentar / remover um quadrado até ficar azul no rosto - o número permanecerá negativo. :)

Assim, a maneira mais correta e confiável de multiplicar as raízes é a seguinte:

1. Remova todos os pontos negativos sob os radicais. Os menos estão apenas nas raízes da multiplicidade ímpar - eles podem ser colocados na frente da raiz e, se necessário, reduzidos (por exemplo, se houver dois desses menos).
2. Realize a multiplicação de acordo com as regras discutidas acima na lição de hoje. Se os índices das raízes forem iguais, basta multiplicar as expressões das raízes. E se forem diferentes, usamos a fórmula maligna \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n)))\].
3. 3. Gostamos do resultado e das boas notas. :)

Nós iremos? Vamos praticar?

Exemplo 1. Simplifique a expressão:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(alinhar)\]

Esta é a opção mais simples: os indicadores das raízes são iguais e ímpares, o problema está apenas no menos do segundo multiplicador. Nós suportamos esse nafig negativo, após o qual tudo é facilmente considerado.

Exemplo 2. Simplifique a expressão:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( alinhar)\]

Aqui, muitos ficariam confusos com o fato de que a saída acabou sendo um número irracional. Sim, acontece: não conseguimos nos livrar completamente da raiz, mas pelo menos simplificamos significativamente a expressão.

Exemplo 3. Simplifique a expressão:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

É para isso que gostaria de chamar a sua atenção. Há dois pontos aqui:

1. Sob a raiz não está um número ou grau específico, mas a variável $a$. À primeira vista, isso é um pouco incomum, mas, na realidade, ao resolver problemas matemáticos, na maioria das vezes você terá que lidar com variáveis.
2. No final, conseguimos “reduzir” o expoente raiz e o grau na expressão radical. Isso acontece com bastante frequência. E isso significa que foi possível simplificar significativamente os cálculos se você não usar a fórmula principal.

Por exemplo, você poderia fazer isso:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(alinhar)\]

De fato, todas as transformações foram realizadas apenas com o segundo radical. E se você não pintar detalhadamente todas as etapas intermediárias, no final a quantidade de cálculos diminuirá significativamente.

Na verdade, já encontramos uma tarefa semelhante acima ao resolver o exemplo $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Agora pode ser escrito muito mais fácil:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(alinhar)\]

Bem, descobrimos a multiplicação das raízes. Agora considere a operação inversa: o que fazer quando há um trabalho sob a raiz?

Fórmulas de potência usado no processo de redução e simplificação de expressões complexas, na resolução de equações e desigualdades.

Número cé n-ésima potência de um número uma quando:

Operações com graus.

1. Multiplicando graus com a mesma base, seus indicadores somam:

soua n = a m + n .

2. Na divisão de graus com a mesma base, seus indicadores são subtraídos:

3. O grau do produto de 2 ou mais fatores é igual ao produto dos graus desses fatores:

(abc…) n = a n b n c n…

4. O grau de uma fração é igual à razão dos graus do dividendo e do divisor:

(a/b) n = a n / b n .

5. Elevando uma potência a uma potência, os expoentes são multiplicados:

(am) n = a m n .

Cada fórmula acima está correta nas direções da esquerda para a direita e vice-versa.

Por exemplo. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operações com raízes.

1. A raiz do produto de vários fatores é igual ao produto das raízes desses fatores:

2. A raiz da razão é igual à razão entre o dividendo e o divisor das raízes:

3. Ao elevar uma raiz a uma potência, basta elevar o número da raiz a esta potência:

4. Se aumentarmos o grau da raiz em n uma vez e ao mesmo tempo elevar para nª potência é um número raiz, então o valor da raiz não mudará:

5. Se diminuirmos o grau da raiz em n raiz ao mesmo tempo nº grau do número radical, então o valor da raiz não mudará:

Grau com expoente negativo. O grau de um certo número com um expoente não positivo (inteiro) é definido como um dividido pelo grau do mesmo número com um expoente igual ao valor absoluto do expoente não positivo:

Fórmula sou:a n = a m - n pode ser usado não só para m> n, mas também em m< n.

Por exemplo. uma4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Para formular sou:a n = a m - n tornou-se justo em m=n, você precisa da presença do grau zero.

Grau com expoente zero. A potência de qualquer número diferente de zero com um expoente zero é igual a um.

Por exemplo. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grau com expoente fracionário. Para aumentar um número real uma até certo ponto s/n, você precisa extrair a raiz nº grau de mª potência deste número uma.