Convertendo uma fração para um decimal

Digamos que queremos converter a fração comum 11/4 para um decimal. A maneira mais fácil de fazer é esta:

						2∙2∙5∙5

Conseguimos porque, neste caso, a fatoração do denominador em fatores primos consiste apenas em dois. Suplementamos essa expansão com mais dois cincos, aproveitamos o fato de que 10 = 2∙5 e obtivemos uma fração decimal. Tal procedimento é obviamente possível se e somente se a fatoração do denominador em fatores primos contiver nada além de dois e cincos. Se qualquer outro número primo estiver presente na expansão do denominador, essa fração não poderá ser convertida em decimal. No entanto, tentaremos fazer isso, mas apenas de uma maneira diferente, que conheceremos no exemplo da mesma fração 11/4. Vamos dividir 11 por 4 "canto":

Na linha de resposta, obtivemos a parte inteira ( 2 ), e também temos o restante ( 3 ). Anteriormente, encerramos a divisão sobre isso, mas agora sabemos que uma vírgula e alguns zeros podem ser atribuídos ao dividendo ( 11 ) à direita, o que faremos mentalmente agora. Depois da vírgula vem a décima casa. Zero, que representa o dividendo nesta categoria, atribuiremos ao restante resultante ( 3 ):

Agora a divisão pode continuar como se nada tivesse acontecido. Você só precisa se lembrar de colocar uma vírgula após a parte inteira na linha de resposta:

Agora atribuímos ao resto ( 2 ) zero, que representa o dividendo na casa dos centésimos e encerramos a divisão:

Como resultado, obtemos, como antes,

Agora vamos tentar calcular exatamente da mesma forma que a fração 27/11 é igual a:

Recebemos o número 2,45 na linha de resposta e o número 5 na linha restante. Mas já vimos tal remanescente antes. Portanto, podemos dizer imediatamente que, se continuarmos nossa divisão pelo “canto”, o próximo dígito na linha de resposta será 4, então o número 5 irá, depois novamente 4 e novamente 5, e assim por diante, ad infinitum :

27 / 11 = 2,454545454545...

Recebemos o chamado periódico uma fração decimal com um período de 45. Para tais frações, é usada uma notação mais compacta, na qual o período é escrito apenas uma vez, mas ao mesmo tempo é colocado entre parênteses:

2,454545454545... = 2,(45).

De um modo geral, se dividirmos um número natural por um “canto”, escrevendo a resposta como uma fração decimal, então apenas dois resultados são possíveis: (1) mais cedo ou mais tarde teremos zero na linha de resto, (2) ou haverá tal resto, que já encontramos antes (o conjunto de possíveis resíduos é limitado, pois todos eles são obviamente menores que o divisor). No primeiro caso, o resultado da divisão é uma fração decimal final, no segundo caso, uma fração periódica.

Convertendo um Decimal Periódico em uma Fração Comum

Vamos receber uma fração decimal periódica positiva com uma parte inteira zero, por exemplo:

uma = 0,2(45).

Como posso converter essa fração de volta em uma fração comum?

Vamos multiplicar por 10 k, Onde ké o número de dígitos entre a vírgula e o parêntese de abertura que indica o início do ponto. Nesse caso k= 1 e 10 k = 10:

uma∙ 10 k = 2,(45).

Multiplique o resultado por 10 n, Onde n- "comprimento" do ponto, ou seja, o número de dígitos entre parênteses. Nesse caso n= 2 e 10 n = 100:

uma∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Agora vamos calcular a diferença

uma∙ 10 k ∙ 10 n − uma∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Como as partes fracionárias do minuendo e do subtraendo são as mesmas, então a parte fracionária da diferença é zero, e chegamos a uma equação simples para uma:

uma∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Esta equação é resolvida usando as seguintes transformações:

uma∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

uma∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Nós deliberadamente não terminamos os cálculos ainda, para que possa ser visto claramente como esse resultado pode ser escrito imediatamente, omitindo argumentos intermediários. Decrescente no numerador ( 245 ) é a parte fracionária do número

uma = 0,2(45)

se você excluir os colchetes em sua entrada. O subtraendo no numerador ( 2 ) é a parte não periódica do número uma, localizado entre a vírgula e o parêntese de abertura. O primeiro fator no denominador ( 10 ) é um, ao qual são atribuídos tantos zeros quantos dígitos na parte não periódica ( k). O segundo fator no denominador ( 99 ) é tantos noves quantos são os dígitos no período ( n).

Agora nossos cálculos podem ser concluídos:

Aqui há um ponto no numerador e tantos noves no denominador quantos dígitos no período. Após reduzir por 9, a fração resultante é igual a

Do mesmo jeito,

Um decimal tem duas partes separadas por vírgulas. A primeira parte é uma unidade inteira, a segunda parte é dezenas (se o número após o ponto decimal for um), centenas (dois números após o ponto decimal, como dois zeros em cem), milésimos, etc. Vejamos exemplos de decimais: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6,32; 0,5. Estes são todos os decimais. Como você converte um decimal em uma fração comum?

Exemplo um

Temos uma fração, por exemplo, 0,5. Como mencionado acima, é composto por duas partes. O primeiro número, 0, mostra quantas unidades inteiras a fração tem. No nosso caso, não são. O segundo número mostra dezenas. A fração ainda lê zero vírgula cinco décimos. Número decimal converter em fração agora não será difícil, escrevemos 5/10. Se você perceber que os números têm um divisor comum, você pode reduzir a fração. Temos este número 5, dividindo ambas as partes da fração por 5, obtemos - 1/2.

Exemplo dois

Vamos pegar uma fração mais complexa - 2,25. É lido assim - dois inteiros e vinte e cinco centésimos. Preste atenção - centésimos, pois há dois números após o ponto decimal. Agora você pode converter para uma fração comum. Nós anotamos - 2 25/100. A parte inteira é 2, a parte fracionária é 25/100. Como no primeiro exemplo, esta parte pode ser encurtada. O divisor comum para 25 e 100 é 25. Observe que sempre escolhemos o máximo divisor comum. Dividindo ambas as partes da fração por MDC, temos 1/4. Então 2, 25 é 2 1/4.

Exemplo três

E para consolidar o material, vamos pegar a fração decimal 4.112 - quatro inteiros e cento e doze milésimos. Por que milésimos, eu acho, é claro. Agora escrevemos 4 112/1000. De acordo com o algoritmo, encontramos o MDC dos números 112 e 1000. No nosso caso, este é o número 6. Obtemos 4 14/125.

Conclusão

1. Dividimos a fração em partes inteiras e fracionárias.
2. Nós olhamos quantos dígitos após o ponto decimal. Se um é dezenas, dois são centenas, três são milésimos, etc.
3. Escrevemos a fração na forma usual.
4. Reduzimos o numerador e o denominador da fração.
5. Escreva a fração resultante.
6. Realizamos uma verificação, dividimos a parte superior da fração pela inferior. Se houver uma parte inteira, adicione à fração decimal resultante. Acabou a versão original - ótimo, então você fez tudo certo.

Usando exemplos, mostrei como você pode converter uma fração decimal em uma ordinária. Como você pode ver, é muito fácil e simples de fazer isso.

Uma fração pode ser convertida em um inteiro ou decimal. Uma fração imprópria, cujo numerador é maior que o denominador e é divisível por ele sem deixar resto, é convertida em um inteiro, por exemplo: 20/5. Divida 20 por 5 e obtenha o número 4. Se a fração estiver correta, ou seja, o numerador for menor que o denominador, então converta para um número (fração decimal). Você pode aprender mais sobre frações em nossa seção -.

Maneiras de converter uma fração em um número

• A primeira maneira de converter uma fração em um número é adequada para uma fração que pode ser convertida em um número que é uma fração decimal. Primeiro, vamos descobrir se é possível converter uma determinada fração em uma fração decimal. Para fazer isso, preste atenção no denominador (o número que está abaixo da linha ou à direita do oblíquo). Se o denominador puder ser decomposto em fatores (no nosso exemplo - 2 e 5), que podem ser repetidos, essa fração pode realmente ser convertida em uma fração decimal final. Por exemplo: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Esta fração comum será convertida em um número (fração decimal) com um número finito de casas decimais. Mas a fração 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) será traduzida em um número com um número infinito de casas decimais. Ou seja, ao calcular com precisão um valor numérico, é bastante difícil determinar o sinal final após o ponto decimal, pois há um número infinito desses sinais. Portanto, para resolver problemas, geralmente é necessário arredondar o valor para centésimos ou milésimos. Além disso, é necessário multiplicar o numerador e o denominador por um número tal que o denominador tenha os números 10, 100, 1000, etc. Por exemplo: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
• A segunda maneira de converter uma fração em um número é mais simples: você precisa dividir o numerador pelo denominador. Para aplicar este método, basta realizar a divisão, e o número resultante será a fração decimal desejada. Por exemplo, você precisa converter a fração 2/15 em um número. Dividimos 2 por 15. Obtemos 0, 1333 ... - uma fração infinita. Escrevemos assim: 0,13(3). Se a fração estiver incorreta, ou seja, o numerador for maior que o denominador (por exemplo, 345/100), como resultado da conversão para um número, um valor numérico inteiro ou uma fração decimal com uma parte fracionária inteira ser obtido. Em nosso exemplo, isso será 3,45. Para converter uma fração mista como 3 2 / 7 em um número, você deve primeiro convertê-la em uma fração imprópria: (3∙7+2)/7 =23/7. Em seguida, dividimos 23 por 7 e obtemos o número 3,2857143, que reduzimos para 3,29.

A maneira mais fácil de converter uma fração em um número é usar uma calculadora ou outro dispositivo de computação. Primeiro indicamos o numerador da fração, depois pressionamos o botão com o ícone "dividir" e digitamos o denominador. Após pressionar a tecla "=", obtemos o número desejado.

Números decimais como 0,2; 1,05; 3.017 etc como são ouvidas, assim são escritas. Zero ponto dois, temos uma fração. Um quinhentos inteiros, temos uma fração. Três inteiros dezessete milésimos, temos uma fração. Os dígitos antes do ponto decimal em um número decimal são a parte inteira da fração. O número após o ponto decimal é o numerador da fração futura. Se houver um número de um dígito após o ponto decimal, o denominador será 10, se dois dígitos - 100, três dígitos - 1000, etc. Algumas das frações resultantes podem ser reduzidas. Em nossos exemplos

Convertendo uma fração em um número decimal

Este é o inverso da transformação anterior. O que é uma fração decimal? Seu denominador é sempre 10, ou 100, ou 1.000, ou 10.000, e assim por diante. Se a sua fração habitual tiver esse denominador, não há problema. Por exemplo, ou

Se uma fração, por exemplo . Nesse caso, você precisa usar a propriedade básica da fração e converter o denominador para 10 ou 100, ou 1000... No nosso exemplo, se multiplicarmos o numerador e o denominador por 4, obtemos uma fração que pode ser escrita como um número decimal 0,12.

Algumas frações são mais fáceis de dividir do que converter o denominador. Por exemplo,

Algumas frações não podem ser convertidas em números decimais!
Por exemplo,

Convertendo uma fração mista em uma imprópria

Uma fração mista, como , é facilmente convertida em uma fração imprópria. Para fazer isso, você precisa multiplicar a parte inteira pelo denominador (parte inferior) e adicioná-la ao numerador (parte superior), deixando o denominador (parte inferior) inalterado. Aquilo é

Ao converter uma fração mista em uma imprópria, lembre-se de que pode usar a adição de frações

Convertendo uma fração imprópria em uma mista (destacando a parte inteira)

Uma fração imprópria pode ser convertida em uma fração mista, destacando a parte inteira. Considere um exemplo, . Determine quantos inteiros vezes "3" cabem em "23". Ou dividimos 23 por 3 na calculadora, o número inteiro até a vírgula é o desejado. Este é "7". Em seguida, determinamos o numerador da fração futura: multiplicamos o resultado "7" pelo denominador "3" e subtraímos o resultado do numerador "23". Como encontraríamos o excesso que resta do numerador "23", se retirarmos o número máximo de "3". O denominador permanece inalterado. Tudo está feito, anote o resultado

Todas as frações são divididas em dois tipos: ordinárias e decimais. Frações deste tipo são chamadas ordinárias: 9 / 8,3 / 4,1 / 2,1 3/4. Eles distinguem o número superior (numerador) e o número inferior (denominador). Quando o numerador é menor que o denominador, a fração é chamada própria, caso contrário, a fração é imprópria. Frações como 1 7/8 consistem em uma parte inteira (1) e uma parte fracionária (7/8) e são chamadas de mistas.

Então as frações são:

1. Ordinário
   1. Correto
   2. Errado
   3. misturado
2. Decimal

Como converter uma fração comum em um decimal

Como converter uma fração ordinária em um decimal, ensina um curso básico de matemática escolar. Tudo é extremamente simples: você precisa dividir o numerador pelo denominador "manualmente" ou, se for completamente preguiçoso, em uma microcalculadora. Aqui está um exemplo: 2/5=0,4; 3/4=0,75; 1/2=0,5. Não é muito mais difícil converter para uma fração imprópria decimal. Exemplo: 1 3/4= 7/4= 1,75. O último resultado pode ser obtido sem divisão, se levarmos em conta que 3/4 = 0,75 e somarmos um: 1 + 0,75 = 1,75.

No entanto, nem todas as frações ordinárias são tão simples. Por exemplo, vamos tentar converter 1/3 de frações comuns para decimais. Mesmo aqueles que tiveram um triplo em matemática (de acordo com um sistema de cinco pontos) perceberão que não importa quanto tempo a divisão continue, após zero e uma vírgula haverá um número infinito de triplos 1/3 = 0,3333 .... . Costuma-se ler da seguinte forma: zero inteiros, três em um ponto. Ele é escrito da seguinte forma: 1/3=0,(3). Uma situação semelhante ocorrerá se você tentar converter 5/6 em uma fração decimal: 5/6=0,8(3). Tais frações são chamadas de periódicas infinitas. Aqui está um exemplo para a fração 3/7: 3/7= 0,42857142857142857142857142857143…, ou seja, 3/7=0,(428571).

Assim, como resultado da transformação de uma fração ordinária em um decimal, pode-se obter:

1. decimal não periódico;
2. decimal periódico.

Deve-se notar que também existem infinitas frações não periódicas, que são obtidas executando tais ações: tirando a raiz do n-ésimo grau, tirando logaritmos, potencializando. Por exemplo, √3= 1,732050807568877…. O famoso número π≈ 3.1415926535897932384626433832795…. .

Vamos agora multiplicar 3 por 0,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. Acontece que 0,(9) é uma forma diferente de escrever a unidade. Da mesma forma, 9=9/9,16=16,0, etc.

Também é legítima a pergunta oposta à apresentada no título deste artigo: “como converter uma fração decimal em uma fração regular”. A resposta a esta pergunta dá um exemplo: 0,5= 5/10=1/2. No último exemplo, reduzimos o numerador e o denominador da fração 5/10 em 5. Ou seja, para transformar uma fração decimal em ordinária, você precisa representá-la como uma fração com denominador 10.

Será interessante assistir a um vídeo sobre o que são frações em geral:

Para aprender a converter um decimal em uma fração comum, veja aqui: