O sistema de coordenadas retangulares no plano é dado por duas linhas perpendiculares entre si. As linhas retas são chamadas de eixos coordenados (ou eixos coordenados). O ponto de interseção dessas linhas é chamado de origem e é denotado pela letra O.
Normalmente uma das linhas é horizontal, a outra é vertical. A linha horizontal é designada como o eixo x (ou Ox) e é chamado de eixo de abcissas, a vertical é o eixo y (Oy), é chamado de eixo das ordenadas. Todo o sistema de coordenadas é denotado por xOy.
O ponto O divide cada um dos eixos em dois semieixos, um dos quais é considerado positivo (é indicado por uma seta), o outro é considerado negativo.
A cada ponto F do plano é atribuído um par de números (x;y) — suas coordenadas.
A coordenada x é chamada de abcissa. É igual a Ox tomado com o sinal apropriado.
A coordenada y é chamada de ordenada e é igual à distância do ponto F ao eixo Oy (com o sinal correspondente).
As distâncias dos eixos são geralmente (mas nem sempre) medidas na mesma unidade de comprimento.
Os pontos à direita do eixo y têm abcissas positivas. Para pontos que estão à esquerda do eixo y, as abcissas são negativas. Para qualquer ponto situado no eixo Oy, sua coordenada x é igual a zero.
Os pontos com ordenada positiva ficam acima do eixo x, aqueles com ordenada negativa ficam abaixo. Se um ponto está no eixo x, sua coordenada y é zero.
Os eixos de coordenadas dividem o plano em quatro partes, que são chamadas de quartos de coordenadas (ou ângulos de coordenadas ou quadrantes).
1 quarto coordenado localizado no canto superior direito do plano de coordenadas xOy. Ambas as coordenadas dos pontos localizados no quadrante I são positivas.
A transição de um quarto para outro é realizada no sentido anti-horário.
2º trimestre localizado no canto superior esquerdo. Os pontos situados no segundo quarto têm uma abcissa negativa e uma ordenada positiva.
3º trimestre situa-se no quadrante inferior esquerdo do plano xOy. Ambas as coordenadas dos pontos pertencentes ao ângulo de coordenadas III são negativas.
4º trimestre coordenadoé o canto inferior direito do plano de coordenadas. Qualquer ponto do quarto IV tem uma primeira coordenada positiva e uma segunda negativa.
Um exemplo da localização de pontos em um sistema de coordenadas retangulares:
A matemática é uma ciência bastante complexa. Ao estudá-lo, é preciso não apenas resolver exemplos e problemas, mas também trabalhar com várias figuras e até planos. Um dos mais usados na matemática é o sistema de coordenadas no plano. As crianças foram ensinadas a trabalhar com ele corretamente por mais de um ano. Portanto, é importante saber o que é e como trabalhar com ele corretamente.
Vamos descobrir o que é esse sistema, quais ações você pode realizar com ele e também descobrir suas principais características e recursos.
Definição do conceito
Um plano de coordenadas é um plano no qual um determinado sistema de coordenadas é definido. Tal plano é definido por duas linhas retas que se cruzam em um ângulo reto. O ponto de intersecção dessas linhas é a origem das coordenadas. Cada ponto no plano de coordenadas é dado por um par de números, que são chamados de coordenadas.
Em um curso de matemática escolar, os alunos têm que trabalhar muito de perto com um sistema de coordenadas - construir figuras e pontos nele, determinar a qual plano uma determinada coordenada pertence e também determinar as coordenadas de um ponto e escrevê-las ou nomeá-las. Portanto, vamos falar com mais detalhes sobre todos os recursos das coordenadas. Mas primeiro, vamos falar sobre a história da criação, e então vamos falar sobre como trabalhar no plano coordenado.
Referência do histórico
As idéias sobre a criação de um sistema de coordenadas estavam nos dias de Ptolomeu. Mesmo assim, astrônomos e matemáticos estavam pensando em como aprender a definir a posição de um ponto em um plano. Infelizmente, naquela época não havia nenhum sistema de coordenadas conhecido por nós, e os cientistas tiveram que usar outros sistemas.
Inicialmente, eles definem pontos especificando latitude e longitude. Durante muito tempo foi uma das formas mais utilizadas de mapear esta ou aquela informação. Mas em 1637, René Descartes criou seu próprio sistema de coordenadas, mais tarde nomeado em homenagem a "Cartesiano".
Já no final do século XVII. o conceito de "plano coordenado" tornou-se amplamente utilizado no mundo da matemática. Apesar de vários séculos terem se passado desde a criação desse sistema, ele ainda é amplamente utilizado na matemática e até na vida.
Exemplos de planos de coordenadas
Antes de falar sobre a teoria, daremos alguns exemplos ilustrativos do plano coordenado para que você possa imaginá-lo. O sistema de coordenadas é usado principalmente no xadrez. No tabuleiro, cada quadrado tem suas próprias coordenadas - uma coordenada de letra, a segunda - digital. Com sua ajuda, você pode determinar a posição de uma peça específica no tabuleiro.
O segundo exemplo mais marcante é o amado jogo "Battleship". Lembre-se de como, ao jogar, você nomeia uma coordenada, por exemplo, B3, indicando exatamente para onde você está mirando. Ao mesmo tempo, ao posicionar as naves, você define pontos no plano de coordenadas.
Este sistema de coordenadas é amplamente utilizado não apenas em matemática, jogos de lógica, mas também em assuntos militares, astronomia, física e muitas outras ciências.
Eixos de coordenadas
Como já mencionado, dois eixos são distinguidos no sistema de coordenadas. Vamos falar um pouco sobre eles, pois são de considerável importância.
O primeiro eixo - abcissa - é horizontal. É indicado como ( Boi). O segundo eixo é a ordenada, que passa verticalmente pelo ponto de referência e é denotada como ( Oi). São esses dois eixos que formam o sistema de coordenadas, dividindo o plano em quatro quartos. A origem está localizada no ponto de interseção desses dois eixos e assume o valor 0 . Somente se o plano for formado por dois eixos que se cruzam perpendicularmente e têm um ponto de referência, é um plano coordenado.
Observe também que cada um dos eixos tem sua própria direção. Normalmente, ao construir um sistema de coordenadas, costuma-se indicar a direção do eixo na forma de uma seta. Além disso, ao construir o plano de coordenadas, cada um dos eixos é assinado.
quartos
Agora vamos dizer algumas palavras sobre um conceito como quartos do plano coordenado. O plano é dividido por dois eixos em quatro quartos. Cada um deles tem seu próprio número, enquanto a numeração dos planos é anti-horária.
Cada um dos bairros tem suas próprias características. Assim, no primeiro trimestre, a abcissa e a ordenada são positivas, no segundo trimestre, a abcissa é negativa, a ordenada é positiva, no terceiro, tanto a abcissa quanto a ordenada são negativas, no quarto, a abcissa é positivo e a ordenada é negativa.
Ao lembrar desses recursos, você pode determinar facilmente a qual trimestre um determinado ponto pertence. Além disso, esta informação pode ser útil se você tiver que fazer cálculos usando o sistema cartesiano.
Trabalhando com o plano de coordenadas
Quando tivermos lidado com o conceito de um plano e falado sobre seus quartos, podemos passar para um problema como trabalhar com esse sistema e também falar sobre como colocar pontos, coordenadas de figuras nele. No plano de coordenadas, isso não é tão difícil quanto pode parecer à primeira vista.
Em primeiro lugar, o próprio sistema é construído, todas as designações importantes são aplicadas a ele. Depois, há trabalho diretamente com pontos ou figuras. Nesse caso, mesmo na construção de figuras, os pontos são aplicados primeiro ao plano e, em seguida, as figuras já são desenhadas.
Regras para construir um avião
Se você decidir começar a marcar formas e pontos no papel, precisará de um plano de coordenadas. As coordenadas dos pontos são plotadas nele. Para construir um plano de coordenadas, você só precisa de uma régua e uma caneta ou lápis. Primeiro desenha-se a abcissa horizontal, depois a vertical - ordenada. É importante lembrar que os eixos se cruzam em ângulos retos.
O próximo item obrigatório é a marcação. Os segmentos de unidades são marcados e assinados em cada um dos eixos em ambas as direções. Isso é feito para que você possa trabalhar com o avião com a máxima comodidade.
Marcando um ponto
Agora vamos falar sobre como plotar as coordenadas dos pontos no plano de coordenadas. Este é o básico que você precisa saber para colocar com sucesso uma variedade de formas no plano e até mesmo marcar equações.
Ao construir pontos, deve-se lembrar como suas coordenadas são registradas corretamente. Então, geralmente definindo um ponto, dois números são escritos entre colchetes. O primeiro dígito indica a coordenada do ponto ao longo do eixo das abcissas, o segundo - ao longo do eixo das ordenadas.
O ponto deve ser construído desta forma. Marque primeiro no eixo Boi dado ponto, então marque um ponto no eixo Oi. Em seguida, desenhe linhas imaginárias dessas designações e encontre o local de sua interseção - este será o ponto dado.
Tudo que você tem a fazer é marcá-lo e assiná-lo. Como você pode ver, tudo é bastante simples e não requer habilidades especiais.
Colocando uma forma
Agora vamos passar para uma questão como a construção de figuras no plano coordenado. Para construir qualquer figura no plano de coordenadas, você deve saber como colocar pontos nele. Se você sabe como fazer isso, colocar uma figura em um avião não é tão difícil.
Em primeiro lugar, você precisará das coordenadas dos pontos da figura. É neles que vamos aplicar os que você escolheu ao nosso sistema de coordenadas.Vamos considerar desenhar um retângulo, um triângulo e um círculo.
Vamos começar com um retângulo. Aplicá-lo é bem fácil. Primeiro, quatro pontos são aplicados ao plano, indicando os cantos do retângulo. Então todos os pontos são sequencialmente conectados uns aos outros.
Desenhar um triângulo não é diferente. A única coisa é que ele tem três vértices, o que significa que três pontos são aplicados ao plano, denotando seus vértices.
Em relação ao círculo, aqui você deve saber as coordenadas de dois pontos. O primeiro ponto é o centro do círculo, o segundo é o ponto que denota seu raio. Esses dois pontos são plotados em um plano. Em seguida, uma bússola é tomada, a distância entre dois pontos é medida. A ponta da bússola é colocada em um ponto que denota o centro, e um círculo é descrito.
Como você pode ver, também não há nada complicado aqui, o principal é que sempre há uma régua e um compasso à mão.
Agora você sabe como plotar coordenadas de forma. No plano de coordenadas, isso não é tão difícil de fazer, como pode parecer à primeira vista.
conclusões
Então, consideramos com você um dos conceitos mais interessantes e básicos para a matemática com os quais todo aluno deve lidar.
Descobrimos que o plano coordenado é o plano formado pela intersecção de dois eixos. Com sua ajuda, você pode definir as coordenadas dos pontos, colocar formas nele. O avião é dividido em quartos, cada um com suas próprias características.
A principal habilidade que deve ser desenvolvida ao trabalhar com o plano de coordenadas é a capacidade de plotar corretamente determinados pontos nele. Para fazer isso, você deve conhecer a localização correta dos eixos, as características dos quartos, bem como as regras pelas quais as coordenadas dos pontos são definidas.
Esperamos que as informações fornecidas por nós tenham sido acessíveis e compreensíveis, e também tenham sido úteis para você e tenham ajudado a entender melhor este tema.
"Funções Grau 9" - Y \u003d x3. A função pode ser especificada usando uma fórmula, por exemplo: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. As funções elementares incluem quase todas as funções encontradas em um livro escolar. Chefe Kryuchkova Tatyana Borisovna professor, matemática. Índice: Apêndice 3. Y=x2 Y=3x2. Y=x2. Aplicação4. Y \u003d 0,3x2. Anexo 1.
"Propriedades da função" - 0. 1. Definição da função. 3. Escopo dos valores. y=0, x=0 6. Intervalos de sinal constante y > 0 em (0; +). 5.Função zero. Propriedades da função. 7. Intervalos de aumento e diminuição. y= x, n=2 2. Escopo D(y)=. Tais quantidades são respectivamente chamadas de constantes e variáveis. -p. T.y = f(x). -1. Mais longe.
"Pesquisa de função" - Usando o esquema de pesquisa de função, complete a tarefa: P. 24; Nº 296 (a; b), Nº 299 (a; b). Trabalho de verificação: Resposta: D (f) = R, ímpar, crescente. Realize verbalmente: Para a função f(x)=х3 determine D(f), paridade, aumento, diminuição. Prove que a função f(x)=x5+4x é crescente no conjunto R. 2) Um exemplo do estudo de uma função.
"Plano coordenado" - A equação de uma linha reta em. Formar a capacidade de resolver problemas no plano coordenado. Linha coordenada, ângulo coordenado. Tarefa número 1. Regra para leitura de coordenadas. coordenar quartos. Como os pontos são marcados em um plano. (2 maneiras). Equação de linha a. Plano de aula. Coordenadas dos pontos localizados nos eixos.
"Aumento da função" - Algoritmo para encontrar os extremos da função. A solução da inequação é realizada analiticamente ou pelo método intervalar. Encontramos f / (x) Determinamos os pontos críticos da função f(x), ou seja. pontos onde f / (x)=0 ou f / (x) não existe. Derivado. Contente. Tg(a)=k, fator k-toque. Tabela derivada.
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Se você colocar um círculo de número unitário no plano de coordenadas, poderá encontrar as coordenadas de seus pontos. O círculo numérico é posicionado de forma que seu centro coincida com a origem do plano, ou seja, o ponto O (0; 0).
Normalmente, em um círculo de número unitário, são marcados pontos correspondentes à origem no círculo
- quartos - 0 ou 2π, π/2, π, (2π)/3,
- quartos do meio - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- terceiros quartos - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
No plano de coordenadas, com o arranjo acima do círculo unitário, pode-se encontrar as coordenadas correspondentes a esses pontos do círculo.
É muito fácil encontrar as coordenadas das extremidades dos quarteirões. No ponto 0 do círculo, a coordenada x é 1 e y é 0. Podemos escrever A (0) = A (1; 0).
O final do primeiro trimestre estará localizado no eixo y positivo. Portanto, B (π/2) = B (0; 1).
O final do segundo trimestre está na abcissa negativa: C (π) = C (-1; 0).
Final do terceiro trimestre: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Mas como encontrar as coordenadas dos pontos médios dos quartos? Para fazer isso, construa um triângulo retângulo. Sua hipotenusa é um segmento do centro do círculo (ou origem) ao ponto médio do quarto de círculo. Este é o raio do círculo. Como o círculo é unitário, a hipotenusa é igual a 1. Em seguida, traça-se uma perpendicular de um ponto do círculo a qualquer eixo. Seja no eixo x. Acontece um triângulo retângulo, cujos comprimentos das pernas são as coordenadas xey do ponto do círculo.
Um quarto de círculo é 90º. E meio quarto é 45º. Como a hipotenusa está traçada no ponto médio do quarto, o ângulo entre a hipotenusa e o cateto que sai da origem é de 45º. Mas a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180º. Portanto, o ângulo entre a hipotenusa e a outra perna também permanece 45º. Acontece um triângulo retângulo isósceles.
Do teorema de Pitágoras obtemos a equação x 2 + y 2 = 1 2 . Como x = y e 1 2 = 1, a equação simplifica para x 2 + x 2 = 1. Resolvendo, obtemos x = √1 = 1/√2 = √2/2.
Assim, as coordenadas do ponto M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
Nas coordenadas dos pontos dos pontos médios de outros trimestres, apenas os sinais mudarão, e os módulos de valores permanecerão os mesmos, já que o triângulo retângulo só virará. Nós temos:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
Ao determinar as coordenadas das terceiras partes dos quartos do círculo, também é construído um triângulo retângulo. Se pegarmos o ponto π/6 e traçarmos uma perpendicular ao eixo x, então o ângulo entre a hipotenusa e o cateto sobre o eixo x será de 30º. Sabe-se que o cateto oposto a um ângulo de 30º é igual à metade da hipotenusa. Então encontramos a coordenada y, é igual a ½.
Conhecendo os comprimentos da hipotenusa e de um dos catetos, pelo teorema de Pitágoras encontramos o outro cateto:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x = √3/2
Assim T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Para o ponto do segundo terço do primeiro trimestre (π / 3), é melhor traçar uma perpendicular ao eixo ao eixo y. Então o ângulo na origem também será de 30º. Aqui, a coordenada x já será igual a ½, e y, respectivamente, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Para outros pontos do terceiro trimestre, os sinais e a ordem dos valores das coordenadas serão alterados. Todos os pontos mais próximos do eixo x terão um valor de módulo da coordenada x igual a √3/2. Os pontos mais próximos do eixo y terão um valor de módulo y igual a √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
