Introdução

Em sua atividade, uma pessoa em todos os lugares tem que enfrentar a necessidade de estudar a forma, o tamanho e a posição relativa das figuras espaciais. Problemas semelhantes são resolvidos por astrônomos que lidam com as maiores escalas e por físicos que estudam a estrutura de átomos e moléculas. A seção da geometria em que tais problemas são estudados é chamada de estereometria (do grego "stereos" - volumétrico, espacial).

1.1. Axiomas básicos da estereometria

Na estereometria, mais uma coisa é adicionada aos conceitos de planimetria - um plano, e com ele - axiomas que regulam as "relações" dos planos com outros objetos da geometria. Existem três desses axiomas.

1) Axioma 1 – Por quaisquer três pontos no espaço que não estejam na mesma linha reta, há apenas um plano. (Figura 1)

Imagem 1.

2) Axioma 2 - por quaisquer dois pontos no espaço há apenas uma linha. (Figura 2)

Figura 2.

3) Axioma 3 - se dois planos têm um ponto comum, então eles têm uma linha comum na qual todos os pontos comuns desses planos estão. (fig.3)

Figura 3. 1

O terceiro axioma desempenha um papel muito significativo na estereometria: torna o espaço exatamente tridimensional, porque em espaços de quatro dimensões e acima, os planos podem se cruzar em um ponto. Os axiomas planimétricos também são adicionados aos três indicados, repensados, levando em consideração o fato de que agora não estamos lidando com um, mas com vários planos. Por exemplo, o axioma de uma linha reta - uma e apenas uma linha reta pode ser traçada por dois pontos diferentes - é transferido para a estereometria literalmente, mas só que já se estende a dois pontos no espaço.

Como corolário, derivamos um corolário útil diretamente dos axiomas:uma linha que tem pelo menos dois pontos em comum com um plano está inteiramente nesse plano.

Esses axiomas são amplamente utilizados na construção de figuras em estereometria.

1.2. Plano de coordenadas em estereometria.

Ao contrário da planimetria, em que o plano é determinado por apenas 2 eixos - o eixo x (abcissa) e y (ordenada), o 3º eixo é adicionado à estereometria - o eixo z (aplicativo) . Este eixo vai para frente, conforme mostrado na Fig.4. Mas por conveniência de construção, os eixos coordenados começaram a ser representados como mostrado na Fig. 5.

Figura 4. Figura 5.

Em estereometria de coordenadas de um ponto no espaço 3: abcissa de um ponto, ordenada de um ponto, aplicação de um ponto.

Vejamos isso com um exemplo específico. Os segmentos OB, OS, OD na Fig. 6 são iguais a 1. Então a abcissa do ponto A é 1, a ordenada do ponto A é 1 e a aplicação do ponto A é 1. Simbolicamente, isso é escrito da seguinte forma:

ou vincule um registro de coordenadas a um ponto específico usando um índice:

Figura 6

Cada eixo é considerado como uma reta numérica, ou seja, tem uma direção positiva, e os valores negativos da coordenada de distância são atribuídos aos pontos situados no raio negativo (a distância é tomada com um sinal de menos). Ou seja, se, por exemplo, o ponto B não estava, como na figura, no raio OX, mas em sua continuação na direção oposta do ponto O (na parte negativa do eixo OX), então a abcissa X ponto A seria negativo (menos a distância OB). Da mesma forma para os outros dois eixos.

Todos os sistemas de coordenadas retangulares no espaço tridimensional são divididos em duas classes - direita (positiva, termos padrão também são usados) e esquerda. Normalmente, por padrão, eles tentam usar sistemas de coordenadas destros e, quando são exibidos graficamente, também os colocam, se possível, em uma das várias posições usuais (tradicionais). (A Figura 6 mostra o sistema de coordenadas à direita). Os sistemas de coordenadas direita e esquerda não podem ser combinados por rotações para que os eixos correspondentes (e suas direções) coincidam. Você pode determinar a qual classe um determinado sistema de coordenadas pertence usando a regra da mão direita, a regra do parafuso, etc. com o sentido positivo do eixo OY, se esta rotação for observada do lado do sentido positivo do eixo OZ).

Para representar, por exemplo, um cubo em um sistema de coordenadas tridimensional, você precisa conhecer os comprimentos dos lados desse quadrado. Por exemplo, vamos construir um cubo com lado 1 e vértices O, C, T, B, D, R, A, S (Fig. 7). Então as coordenadas dos vértices deste cubo:

Figura 7

Conclusão

Graças à existência de um sistema de coordenadas tridimensional, você pode construir qualquer figura tridimensional, como um paralelepípedo, pirâmide, prisma, etc. Este sistema de coordenadas é usado em física, astronomia e outras ciências que exigem precisão de construção.

Bibliografia:

A. V. Pogorelov, Geometria para as séries 7-11, Livro didático para instituições educacionais.

A. L. Estereometria de Werner. Grade 7-9, livro didático para professores de geometria.

Atanasyan L. Geometria Grau 10-11,

E.V. Potoskuev, L.I. Zvavich Geometria Grau 11,Livro didático para instituições de ensino.

Capítulo IV. Linhas e planos no espaço. Poliedros

§ 45. Axiomas básicos de estereometria

As figuras espaciais mais simples (corpos): um cubo, um prisma, uma pirâmide, uma bola, um cone, um cilindro, etc., e suas propriedades foram estudadas no curso de geometria da escola de oito anos. Observe que algumas propriedades das figuras espaciais foram usadas no estudo de vetores no Capítulo I deste livro.

Neste capítulo, com mais detalhes do que foi feito antes, é estudada a seção de geometria relacionada ao arranjo de linhas e planos no espaço. O ramo da geometria que trata das figuras dispostas no espaço chama-se estereometria.

Os conceitos básicos da estereometria são ponto, linha e plano. O espaço é composto por um número infinito de pontos. Linhas e planos consistem em um número infinito de pontos no espaço e não coincidem com todo o espaço.

Vamos formular os principais axiomas de estereometria. Lembre-se de que os axiomas são proposições aceitas sem prova. Os axiomas da geometria são uma abstração das propriedades correspondentes do mundo real ao nosso redor.

Vamos supor que para qualquer plano do espaço todos os axiomas, definições e teoremas da planimetria são satisfeitos. Além disso, assumimos que os seguintes axiomas de estereometria são válidos:

1. Há apenas uma linha reta passando por quaisquer dois pontos distintos.

2. Se dois pontos distintos de uma linha pertencem a um plano, então todos os pontos da linha pertencem a esse plano.

3. Por quaisquer três pontos que não estejam na mesma linha, há um e apenas um plano.

4. Se dois planos diferentes se cruzam, então eles se cruzam em uma linha reta.

Usando esses axiomas, provamos as seguintes afirmações:

1. Um único plano passa por uma linha e um ponto que não pertence a ela.

2. Há apenas um plano através de duas linhas que se cruzam.

1. Nesta linha reta eu vamos pegar dois pontos A e B (Fig. 128). Então, de acordo com o axioma 3, um único plano passa pelo ponto dado M e pelos pontos A e B R e todos os pontos da linha eu pertence ao avião R.

Portanto, o avião R passa por uma linha reta eu e um ponto M que não pertence a ele. Não existe outro plano semelhante, pois ele deve passar por três pontos A, B, M que não estão em uma linha reta e, portanto, devem coincidir com o plano R.

2. De fato, deixe linhas retas 1 1 e 1 2 se cruzam no ponto M (Fig. 129). Em linhas retas 1 1 e 1 2 pegue alguns pontos A e B, diferentes do ponto M. Então pelos três pontos A, B, M passa o único plano R. Em virtude do axioma 2, o plano R passa pelas linhas dadas 1 1 e 1 2 .

Neste artigo, trataremos do conceito de linha reta no espaço tridimensional, consideraremos opções para a posição relativa das linhas retas e nos deteremos nas principais formas de definir uma linha reta no espaço. Para uma melhor apresentação, apresentamos ilustrações gráficas.

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Uma linha no espaço é um conceito.

Depois de ter dado a definição de linhas paralelas no espaço, deve-se dizer sobre os vetores diretores de uma linha reta por causa de sua importância. Qualquer vetor diferente de zero que se encontre nesta linha ou em uma linha paralela à dada será chamado de vetor diretor da linha. O vetor de direção de uma linha reta é muito usado na resolução de problemas relacionados a uma linha reta no espaço.

Finalmente, duas linhas no espaço tridimensional podem ser enviesadas. Diz-se que duas linhas no espaço se cruzam se não estiverem no mesmo plano. Esse arranjo mútuo de duas linhas no espaço nos leva ao conceito de ângulo entre linhas oblíquas.

Métodos para definir uma linha reta no espaço.

Existem várias maneiras de definir exclusivamente uma linha reta no espaço. Vamos listar os principais.

Sabemos pelo axioma que uma linha reta passa por dois pontos e apenas um. Assim, se marcarmos dois pontos no espaço, isso nos permitirá determinar de maneira única a linha reta que passa por eles.

Se um sistema de coordenadas retangulares é introduzido no espaço tridimensional e uma linha reta é dada especificando as coordenadas de seus dois pontos, então temos a oportunidade de compor a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados.

A segunda maneira de especificar uma linha no espaço é baseada no teorema: por qualquer ponto no espaço que não esteja em uma determinada linha, passa uma linha paralela à dada, e apenas uma.

Assim, se especificarmos uma linha (ou um segmento dessa linha) e um ponto que não está sobre ela, determinamos exclusivamente a linha paralela à dada e passando pelo ponto dado.

Você pode especificar o ponto pelo qual a linha passa e seu vetor de direção. Isso também permitirá que você identifique exclusivamente a linha.

Se uma linha reta é definida dessa maneira em relação a um sistema de coordenadas retangulares fixo, podemos escrever imediatamente suas equações canônicas de uma linha reta no espaço e equações paramétricas de uma linha reta no espaço.

A próxima maneira de especificar uma linha reta no espaço é baseada no axioma da estereometria: se dois planos têm um ponto comum, então eles têm uma linha reta comum na qual estão todos os pontos comuns desses planos.

Assim, definindo dois planos de interseção, definimos exclusivamente uma linha reta no espaço.

Outra maneira de especificar uma linha no espaço segue do teorema (você pode encontrar sua demonstração nos livros listados no final deste artigo): se um plano e um ponto que não está nele são dados, então há uma única linha passando por este ponto e perpendicular ao plano dado.

Assim, para determinar uma linha reta, você pode especificar o plano ao qual a linha desejada é perpendicular e o ponto pelo qual essa linha passa.

Se a linha reta é definida dessa maneira em relação ao sistema de coordenadas retangulares introduzido, será útil possuir o material do artigo da equação de uma linha reta que passa por um determinado ponto perpendicular a um determinado plano.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Grades 7 - 9: um livro para instituições de ensino.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Livro didático para 10-11 anos do ensino médio.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matemática Superior. Volume Um: Elementos de Álgebra Linear e Geometria Analítica.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analítica.

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Apresentação sobre o tema "Axiomas da estereometria" sobre geometria em formato powerpoint. Na apresentação para crianças em idade escolar, são listados 7 axiomas de estereometria, as tarefas são dadas usando esses axiomas. Autor da apresentação: Sukhorukova E.V.

Fragmentos da apresentação

• Há apenas uma linha reta passando por dois pontos quaisquer no espaço.
• Por quaisquer três pontos no espaço que não pertencem à mesma linha, há apenas um plano
• Se dois planos têm um ponto comum, então eles se cruzam em uma linha reta
• Existem pelo menos quatro pontos que não pertencem ao mesmo plano
• Se uma reta tem dois pontos em comum com um plano, então ela está nesse plano.
• Por uma reta e um ponto não pertencente a ela existe apenas um plano
• Há apenas um plano através de duas linhas que se cruzam.

QUESTÃO 1

Encontre o erro nos desenhos se:

opções de resposta aqui.

Responda: a) Os pontos A, B, C devem pertencer à mesma linha; b) os pontos K, L, M devem pertencer a uma linha.

QUESTÃO 2

Determine a partir da figura os planos a que pertence o ponto M do plano.

Questão 3

Encontre o erro no desenho. Dê uma explicação

Responda: ponto M não pertence a AC

Pergunta 4

Como os planos α e β estão localizados em relação um ao outro na figura? Explique a resposta. Complete o desenho se necessário.

Responda: Porque planos têm um ponto comum, então eles se cruzam em uma linha reta

Pergunta 5

Quantos planos podem ser desenhados através de uma linha?

Responda: infinitamente muitos

Linhas paralelas no espaço

• As linhas no espaço são chamadas paralelo se eles estiverem no mesmo plano e não se cruzarem
• As linhas que não se cruzam e não estão no mesmo plano são chamadas cruzamento

• No paralelepípedo A…D1 indique as linhas paralelas e enviesadas
• Na pirâmide ABCD, indique todos os pares de linhas que se cruzam