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Classe: 8
Lições objetivas:
1) apresentar aos alunos o conceito de linha média de um trapézio, considerar suas propriedades e demonstrá-las;
2) ensinar a construir a linha média do trapézio;
3) desenvolver a capacidade dos alunos de utilizar a definição da linha média do trapézio e as propriedades da linha média do trapézio na resolução de problemas;
4) continuar a desenvolver nos alunos a capacidade de falar corretamente, utilizando os termos matemáticos necessários; provar seu ponto de vista;
5) desenvolver o pensamento lógico, memória, atenção.
Durante as aulas
1. A verificação do dever de casa ocorre durante a aula. O dever de casa era oral, lembre-se:
a) definição de um trapézio; tipos de trapézio;
b) determinação da linha média do triângulo;
c) propriedade da linha média de um triângulo;
d) um sinal da linha média do triângulo.
2. Aprendendo novos materiais.
a) O trapézio ABCD é mostrado na placa.
b) O professor se oferece para lembrar a definição de trapézio. Cada mesa tem um diagrama de dicas que ajuda a lembrar os conceitos básicos do tópico “Trapézio” (ver Anexo 1). O Apêndice 1 é emitido para cada mesa.
Os alunos desenham o trapézio ABCD em seu caderno.
c) A professora sugere relembrar em qual tópico o conceito de linha do meio foi encontrado (“A linha do meio do triângulo”). Os alunos lembram a definição da linha média de um triângulo e sua propriedade.
e) Anote a definição da linha média do trapézio, descrevendo-a em um caderno.
linha do meio Um trapézio é chamado de segmento que liga os pontos médios de seus lados.
A propriedade da linha mediana do trapézio neste estágio ainda não foi provada, então a próxima etapa da lição envolve trabalhar na prova da propriedade da linha mediana do trapézio.
Teorema. A linha média de um trapézio é paralela às suas bases e igual à metade de sua soma.
Dado: ABCD - trapézio,
MN - linha média ABCD
Provar, o que:
1. BC || MN || DE ANÚNCIOS.
2. MN = (AD + BC).
Podemos escrever alguns corolários seguindo as condições do teorema:
AM=MB, CN=ND, BC || DE ANÚNCIOS.
É impossível provar o que é exigido apenas com base nas propriedades listadas. O sistema de perguntas e exercícios deve levar os alunos ao desejo de conectar a linha média de um trapézio com a linha média de algum triângulo, cujas propriedades eles já conhecem. Se não houver propostas, podemos fazer a pergunta: como construir um triângulo para o qual o segmento MN seria a linha média?
Vamos escrever uma construção adicional para um dos casos.
Tracemos uma linha BN intersectando a extensão do lado AD no ponto K.
Elementos adicionais aparecem - triângulos: ABD, BNM, DNK, BCN. Se provarmos que BN = NK, isso significará que MN é a linha média de ABD, e então podemos usar a propriedade da linha média de um triângulo e provar o necessário.
Prova:
1. Considere BNC e DNK, neles:
a) CNB =DNK (propriedade dos ângulos verticais);
b) BCN = NDK (propriedade dos ângulos internos cruzados);
c) CN = ND (pelo corolário da hipótese do teorema).
Então BNC = DNK (no lado e dois cantos adjacentes a ele).
Q.E.D.
A prova pode ser realizada oralmente na aula, e reposta e anotada em um caderno em casa (a critério do professor).
É necessário mencionar outras formas possíveis de provar este teorema:
1. Desenhe uma das diagonais do trapézio e use o sinal e a propriedade da linha do meio do triângulo.
2. Execute CF || BA e considere o paralelogramo ABCF e DCF.
3. Execute EF || BA e considere a igualdade de FND e ENC.
g) Nesta fase, é entregue o dever de casa: página 84, livro didático, ed. Atanasyan L.S. (prova da propriedade da linha média de um trapézio de forma vetorial), escreva em um caderno.
h) Resolvemos problemas para usar a definição e propriedades da linha média do trapézio de acordo com os desenhos acabados (ver Apêndice 2). O Apêndice 2 é entregue a cada aluno, e a solução dos problemas é redigida na mesma folha de forma resumida.
O conceito da linha média do trapézio
Primeiro, vamos lembrar qual figura é chamada de trapézio.
Definição 1
Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados são paralelos e os outros dois não são paralelos.
Nesse caso, os lados paralelos são chamados de bases do trapézio e não paralelos - os lados do trapézio.
Definição 2
A linha média de um trapézio é um segmento de linha que conecta os pontos médios dos lados do trapézio.
Teorema da linha média do trapézio
Agora introduzimos o teorema da linha média de um trapézio e o provamos pelo método vetorial.
Teorema 1
A linha mediana do trapézio é paralela às bases e igual à metade de sua soma.
Prova.
Seja dado um trapézio $ABCD$ com bases $AD\ e\BC$. E seja $MN$ a linha média deste trapézio (Fig. 1).
Figura 1. A linha média do trapézio
Vamos provar que $MN||AD\ e\MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Considere o vetor $\overrightarrow(MN)$. Em seguida, usamos a regra do polígono para adição de vetores. Por um lado, obtemos que
Por outro lado
Somando as duas últimas igualdades, obtemos
Como $M$ e $N$ são os pontos médios dos lados do trapézio, temos
Nós temos:
Consequentemente
Da mesma igualdade (já que $\overrightarrow(BC)$ e $\overrightarrow(AD)$ são codirecionais e, portanto, colineares), obtemos que $MN||AD$.
O teorema foi provado.
Exemplos de tarefas sobre o conceito da linha média de um trapézio
Exemplo 1
Os lados do trapézio são $15\cm$ e $17\cm$, respectivamente. O perímetro do trapézio é $52\cm$. Encontre o comprimento da linha média do trapézio.
Solução.
Denote a linha média do trapézio por $n$.
A soma dos lados é
Portanto, como o perímetro é $52\cm$, a soma das bases é
Assim, pelo Teorema 1, obtemos
Responda:$10\cm$.
Exemplo 2
As extremidades do diâmetro do círculo são $ 9$ cm e $ 5$ cm respectivamente da sua tangente. Encontre o diâmetro deste círculo.
Solução.
Seja dado um círculo com centro $O$ e diâmetro $AB$. Desenhe a tangente $l$ e construa as distâncias $AD=9\ cm$ e $BC=5\ cm$. Vamos desenhar o raio $OH$ (Fig. 2).
Figura 2.
Como $AD$ e $BC$ são as distâncias à tangente, então $AD\bot l$ e $BC\bot l$ e como $OH$ é o raio, então $OH\bot l$, portanto $OH | \esquerda|AD\direita||BC$. De tudo isso, temos que $ABCD$ é um trapézio e $OH$ é sua linha média. Pelo Teorema 1, obtemos
O conceito da linha média do trapézio
Primeiro, vamos lembrar qual figura é chamada de trapézio.
Definição 1
Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados são paralelos e os outros dois não são paralelos.
Nesse caso, os lados paralelos são chamados de bases do trapézio e não paralelos - os lados do trapézio.
Definição 2
A linha média de um trapézio é um segmento de linha que conecta os pontos médios dos lados do trapézio.
Teorema da linha média do trapézio
Agora introduzimos o teorema da linha média de um trapézio e o provamos pelo método vetorial.
Teorema 1
A linha mediana do trapézio é paralela às bases e igual à metade de sua soma.
Prova.
Seja dado um trapézio $ABCD$ com bases $AD\ e\BC$. E seja $MN$ a linha média deste trapézio (Fig. 1).
Figura 1. A linha média do trapézio
Vamos provar que $MN||AD\ e\MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Considere o vetor $\overrightarrow(MN)$. Em seguida, usamos a regra do polígono para adição de vetores. Por um lado, obtemos que
Por outro lado
Somando as duas últimas igualdades, obtemos
Como $M$ e $N$ são os pontos médios dos lados do trapézio, temos
Nós temos:
Consequentemente
Da mesma igualdade (já que $\overrightarrow(BC)$ e $\overrightarrow(AD)$ são codirecionais e, portanto, colineares), obtemos que $MN||AD$.
O teorema foi provado.
Exemplos de tarefas sobre o conceito da linha média de um trapézio
Exemplo 1
Os lados do trapézio são $15\cm$ e $17\cm$, respectivamente. O perímetro do trapézio é $52\cm$. Encontre o comprimento da linha média do trapézio.
Solução.
Denote a linha média do trapézio por $n$.
A soma dos lados é
Portanto, como o perímetro é $52\cm$, a soma das bases é
Assim, pelo Teorema 1, obtemos
Responda:$10\cm$.
Exemplo 2
As extremidades do diâmetro do círculo são $ 9$ cm e $ 5$ cm respectivamente da sua tangente. Encontre o diâmetro deste círculo.
Solução.
Seja dado um círculo com centro $O$ e diâmetro $AB$. Desenhe a tangente $l$ e construa as distâncias $AD=9\ cm$ e $BC=5\ cm$. Vamos desenhar o raio $OH$ (Fig. 2).
Figura 2.
Como $AD$ e $BC$ são as distâncias à tangente, então $AD\bot l$ e $BC\bot l$ e como $OH$ é o raio, então $OH\bot l$, portanto $OH | \esquerda|AD\direita||BC$. De tudo isso, temos que $ABCD$ é um trapézio e $OH$ é sua linha média. Pelo Teorema 1, obtemos
linha do meio figuras em planimetria - um segmento que liga os pontos médios dos dois lados de uma determinada figura. O conceito é usado para as seguintes figuras: triângulo, quadrilátero, trapézio.
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✪ 8ª série, Lição 25, A linha do meio do triângulo
✪ geometria LINHA MÉDIA DO TRIÂNGULO Atanasyan Grau 8
✪ A linha do meio do triângulo | Geometria 7-9 grau #62 | lição de informação
Legendas
Linha do meio do triângulo
Propriedades
- a linha média de um triângulo é paralela à base e igual à metade dela.
- na intersecção de todas as três linhas do meio, são formados 4 triângulos iguais, semelhantes (mesmo homotéticos) ao original com um coeficiente de 1/2.
- a linha do meio corta um triângulo semelhante ao dado e sua área é igual a um quarto da área do triângulo original.
- Três triângulos de linhas do meio o dividem em 4 triângulos iguais (idênticos), semelhantes ao triângulo original. Todos os 4 triângulos idênticos são chamados de triângulos mediais. O central desses 4 triângulos idênticos é chamado de triângulo complementar.
sinais
- se o segmento é paralelo a um dos lados do triângulo e conecta o ponto médio de um lado do triângulo com um ponto situado no outro lado do triângulo, então esta é a linha média.
Linha média do quadrilátero
Linha média do quadrilátero Um segmento de linha que une os pontos médios de lados opostos de um quadrilátero.
Propriedades
A primeira linha conecta 2 lados opostos. O segundo conecta 2 outros lados opostos. A terceira liga os centros das duas diagonais (nem em todos os quadrângulos as diagonais são divididas ao meio pelo ponto de intersecção).
- Se em um quadrilátero convexo a linha média forma ângulos iguais com as diagonais do quadrilátero, então as diagonais são iguais.
- O comprimento da linha média de um quadrilátero é menor ou igual à metade da soma dos outros dois lados se esses lados forem paralelos, e somente neste caso.
- Os pontos médios dos lados de um quadrilátero arbitrário são os vértices de um paralelogramo. Sua área é igual à metade da área do quadrilátero e seu centro está no ponto de interseção das linhas medianas. Este paralelogramo é chamado de paralelogramo de Varignon;
- O último ponto significa o seguinte: Em um quadrilátero convexo, quatro linhas médias do segundo tipo. Linhas médias do segundo tipo- quatro segmentos dentro do quadrilátero passando pelos pontos médios de seus lados adjacentes paralelos às diagonais. Quatro linhas médias do segundo tipo quadrilátero convexo cortá-lo em quatro triângulos e um quadrilátero central. Este quadrilátero central é um paralelogramo de Varignon.
- O ponto de intersecção das linhas médias do quadrilátero é o seu ponto médio comum e bissecta o segmento que liga os pontos médios das diagonais. Além disso, ela é
