MBOU "Sidorskaya

escola compreensiva"

Desenvolvimento de um plano de esboço para uma aula aberta

em álgebra na 11ª série sobre o tema:

Preparado e conduzido

professor de matemática

Iskhakova E. F.

Esboço de uma aula aberta de álgebra no 11º ano.

Tema : "Grau com um expoente racional".

Tipo de lição : Aprendendo novo material

lições objetivas:

Familiarizar os alunos com o conceito de um grau com um indicador racional e as suas principais propriedades, com base em material previamente estudado (um grau com um indicador inteiro).

Desenvolver habilidades computacionais e a capacidade de converter e comparar números com um expoente racional.

Cultivar a alfabetização matemática e o interesse matemático nos alunos.

Equipamento : Cartões de tarefas, apresentação de um aluno em um grau com um indicador inteiro, apresentação de um professor em um grau com um indicador racional, um laptop, um projetor multimídia, uma tela.

Durante as aulas:

Organizando o tempo.

Verificar a assimilação do tema abordado por cartões de tarefas individuais.

Tarefa número 1.

=2;

B) = x + 5;

Resolva o sistema de equações irracionais: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Tarefa número 2.

Resolva a equação irracional: = - 3;

B) = x - 2;

Resolva um sistema de equações irracionais: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Apresentação do tema e objetivos da aula.

O tema da nossa lição de hoje Grau com expoente racional».

Explicação do novo material sobre o exemplo do estudado anteriormente.

Você já está familiarizado com o conceito de grau com um expoente inteiro. Quem pode me ajudar a lembrá-los?

Repetição com apresentação Grau com expoente inteiro».

Para quaisquer números a , b e quaisquer inteiros m e n igualdades são verdadeiras:

a m * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0);

a1 = a; a 0 = 1(a ≠ 0)

Hoje vamos generalizar o conceito de grau de um número e dar significado a expressões que possuem um expoente fracionário. Vamos apresentar definição graus com um indicador racional (Apresentação "Grau com um indicador racional"):

O grau de um > 0 com um expoente racional r = , Onde m é um número inteiro e n - natural ( n > 1), chamou o número m .

Então, por definição, obtemos que = m .

Vamos tentar aplicar essa definição ao realizar uma tarefa.

EXEMPLO 1

Expresso como raiz de um número a expressão:

MAS) B) NO) .

Agora vamos tentar aplicar esta definição ao contrário

II Expresse a expressão como uma potência com um expoente racional:

MAS) 2 B) NO) 5 .

A potência de 0 é definida apenas para expoentes positivos.

0 r= 0 para qualquer r> 0.

Usando esta definição, em casa você completará #428 e #429.

Vamos agora mostrar que a definição acima de um grau com um expoente racional retém as propriedades básicas dos graus que são verdadeiras para qualquer expoente.

Para quaisquer números racionais r e s e quaisquer a e b positivos, as igualdades são verdadeiras:

1 0 . uma r uma s =a r+s ;

EXEMPLO: *

vinte . a r: a s = a r-s ;

EXEMPLO: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

EXEMPLO: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = uma r b r ; 5 0 . ( = .

EXEMPLO: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

EXEMPLO sobre o uso de várias propriedades ao mesmo tempo: * : .

Fizkultminutka.

Colocamos as canetas na mesa, endireitamos as costas e agora estamos avançando, queremos tocar o quadro. E agora nós levantamos e nos inclinamos para a direita, para a esquerda, para frente, para trás. Eles me mostraram as canetas, e agora me mostram como seus dedos podem dançar.

Trabalhe no material

Notamos mais duas propriedades de potências com expoentes racionais:

60. Deixar r é um número racional e 0< a < b . Тогда

uma r < b r no r> 0,

uma r < b r no r< 0.

7 0 . Para quaisquer números racionaisr e s da desigualdade r> s segue que

uma r> um r para a > 1,

uma r < а r em 0< а < 1.

EXEMPLO: Comparar números:

E ; 2 300 e 3 200 .

Resumo da lição:

Hoje na aula relembramos as propriedades de um grau com expoente inteiro, aprendemos a definição e propriedades básicas de um grau com expoente racional, consideramos a aplicação desse material teórico na prática ao realizar exercícios. Quero chamar sua atenção para o fato de que o tópico "Grau com um indicador racional" é obrigatório nas tarefas do exame. Ao preparar a lição de casa Nº 428 e Nº 429

De expoentes inteiros do número a, a transição para um expoente racional se sugere. Abaixo definimos um grau com um expoente racional, e faremos isso de forma que todas as propriedades de um grau com um expoente inteiro sejam preservadas. Isso é necessário porque os inteiros fazem parte dos números racionais.

Sabe-se que o conjunto dos números racionais é composto por números inteiros e fracionários, e cada número fracionário pode ser representado como uma fração ordinária positiva ou negativa. Definimos o grau com um expoente inteiro no parágrafo anterior, portanto, para completar a definição do grau com um expoente racional, precisamos dar um significado ao grau do número uma com uma fração s/n, Onde mé um número inteiro e n- naturais. Vamos fazer isso.

Considere um grau com um expoente fracionário da forma . Para que a propriedade de grau em um grau permaneça válida, a igualdade deve valer . Se levarmos em conta a igualdade resultante e como determinamos a raiz do enésimo grau, é lógico aceitar, desde que com os dados m, n e uma a expressão faz sentido.

É fácil verificar que todas as propriedades de um grau com um expoente inteiro são válidas para as (isso é feito na seção sobre as propriedades de um grau com um expoente racional).

O raciocínio acima nos permite fazer o seguinte conclusão: se for dado m, n e uma expressão faz sentido, então a potência do número uma com uma fração s/n chamado de raiz nº grau de uma na medida em que m.

Esta afirmação nos aproxima da definição de um grau com um expoente fracionário. Resta apenas descrever sob que m, n e uma a expressão faz sentido. Dependendo das restrições impostas m, n e uma existem duas abordagens principais.

1. A maneira mais fácil é impor uma restrição uma, aceitando a≥0 para positivo m e a>0 para negativo m(porque em m≤0 grau 0 m não determinado). Então obtemos a seguinte definição do grau com um expoente fracionário.

Definição.

Grau de um número positivo uma com uma fração s/n , Onde mé um todo e né um número natural, chamado de raiz n-º de entre uma na medida em que m, isso é, .

O grau fracionário de zero também é definido com a única ressalva de que o expoente deve ser positivo.

Definição.

Potência de zero com expoente positivo fracionário s/n , Onde mé um número inteiro positivo, e né um número natural, definido como .
Quando o grau não está definido, ou seja, o grau do número zero com um expoente negativo fracionário não faz sentido.

Deve-se notar que, com essa definição do grau com um expoente fracionário, há uma nuance: para alguns uma e alguns m e n a expressão faz sentido, e descartamos esses casos introduzindo a condição a≥0. Por exemplo, faz sentido escrever ou , e a definição acima nos obriga a dizer que graus com um expoente fracionário da forma não têm sentido, pois a base não deve ser negativa.

2. Outra abordagem para determinar o grau com um expoente fracionário s/n consiste na consideração separada de expoentes pares e ímpares da raiz. Essa abordagem requer uma condição adicional: a potência de um número uma, cujo indicador é uma fração ordinária reduzida, é considerada uma potência de um número uma, cujo indicador é a fração irredutível correspondente (a importância desta condição será explicada abaixo). Ou seja, se s/né uma fração irredutível, então para qualquer número natural k grau é substituído preliminarmente por .

Para mesmo n e positivo m expressão faz sentido para qualquer não negativo uma(a raiz de um grau par de um número negativo não faz sentido), com m número uma ainda deve ser diferente de zero (caso contrário, será uma divisão por zero). E por estranho n e positivo m número uma pode ser qualquer coisa (a raiz de um grau ímpar é definida para qualquer número real), e para negativo m número uma deve ser diferente de zero (para que não haja divisão por zero).

O raciocínio acima nos leva a tal definição do grau com um expoente fracionário.

Definição.

Deixar s/n- fração irredutível mé um todo e n- número natural. Para qualquer fração ordinária redutível, o grau é substituído por . Grau de uma com expoente fracionário irredutível s/n- é para

o qualquer número real uma, um inteiro positivo m e estranho natural n, por exemplo, ;

o qualquer número real diferente de zero uma, um número inteiro negativo m e estranho n, por exemplo, ;

o qualquer número não negativo uma, um inteiro positivo m e até mesmo n, por exemplo, ;

o qualquer positivo uma, um número inteiro negativo m e até mesmo n, por exemplo, ;

o em outros casos, o grau com um expoente fracionário não é definido, como, por exemplo, os graus não são definidos .a entradas não anexamos nenhum significado, definimos o grau de zero para expoentes fracionários positivos s/n Como as , para expoentes fracionários negativos, o grau do número zero não é definido.

Para concluir este parágrafo, vamos prestar atenção ao fato de que um expoente fracionário pode ser escrito como uma fração decimal ou um número misto, por exemplo, . Para calcular os valores de expressões desse tipo, você precisa escrever o expoente como uma fração ordinária e, em seguida, usar a definição do grau com um expoente fracionário. Para esses exemplos, temos e

Neste artigo, vamos entender o que é grau de. Aqui daremos definições do grau de um número, considerando em detalhes todos os possíveis expoentes do grau, começando com um expoente natural, terminando com um irracional. No material você encontrará muitos exemplos de graus que cobrem todas as sutilezas que surgem.

Navegação da página.

Grau com expoente natural, quadrado de um número, cubo de um número

Vamos começar com . Olhando adiante, digamos que a definição do grau de a com expoente natural n seja dada para a , que chamaremos base de grau, e n , que chamaremos de expoente. Observe também que o grau com um indicador natural é determinado através do produto, portanto, para entender o material abaixo, você precisa ter uma ideia sobre a multiplicação de números.

Definição.

Potência do número a com expoente natural né uma expressão da forma a n , cujo valor é igual ao produto de n fatores, cada um dos quais é igual a a , ou seja, .
Em particular, o grau de um número a com expoente 1 é o próprio número a, ou seja, a 1 = a.

Imediatamente vale a pena mencionar as regras para a leitura de graus. A maneira universal de ler a entrada a n é: "a elevado a n". Em alguns casos, essas opções também são aceitáveis: "a elevado à enésima potência" e "nésima potência do número a". Por exemplo, vamos pegar a potência de 8 12, isto é "oito à potência de doze", ou "oito à décima segunda potência", ou "décima segunda potência de oito".

A segunda potência de um número, assim como a terceira potência de um número, têm seus próprios nomes. A segunda potência de um número chama-se o quadrado de um número, por exemplo, 7 2 é lido como "sete ao quadrado" ou "quadrado do número sete". A terceira potência de um número chama-se número do cubo, por exemplo, 5 3 pode ser lido como "cinco ao cubo" ou dizer "cubo do número 5".

É hora de trazer exemplos de graus com indicadores físicos. Vamos começar com a potência de 5 7 , onde 5 é a base da potência e 7 é o expoente. Vamos dar outro exemplo: 4,32 é a base, e o número natural 9 é o expoente (4,32) 9 .

Observe que no último exemplo, a base do grau 4,32 está escrita entre parênteses: para evitar discrepâncias, colocaremos entre parênteses todas as bases do grau que são diferentes dos números naturais. Como exemplo, damos os seguintes graus com indicadores naturais , suas bases não são números naturais, então eles são escritos entre parênteses. Bem, para maior clareza neste ponto, mostraremos a diferença contida nos registros da forma (−2) 3 e −2 3 . A expressão (−2) 3 é a potência de −2 com expoente natural 3, e a expressão −2 3 (pode ser escrita como −(2 3) ) corresponde ao número, o valor da potência 2 3 .

Observe que há uma notação para o grau de a com um expoente n da forma a^n . Além disso, se n é um número natural multivalorado, então o expoente é tomado entre parênteses. Por exemplo, 4^9 é outra notação para a potência de 4 9 . E aqui estão mais exemplos de como escrever graus usando o símbolo “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . No que segue, usaremos principalmente a notação do grau da forma a n .

Um dos problemas, o inverso da exponenciação com um expoente natural, é o problema de encontrar a base do grau a partir de um valor conhecido do grau e de um expoente conhecido. Esta tarefa leva a .

Sabe-se que o conjunto dos números racionais é composto por números inteiros e fracionários, e cada número fracionário pode ser representado como uma fração ordinária positiva ou negativa. Definimos o grau com um expoente inteiro no parágrafo anterior, portanto, para completar a definição do grau com um expoente racional, precisamos dar o significado do grau do número a com um expoente fracionário m / n, onde m é um número inteiro e n é um número natural. Vamos fazer isso.

Considere um grau com um expoente fracionário da forma . Para que a propriedade de grau em um grau permaneça válida, a igualdade deve valer . Se levarmos em conta a igualdade resultante e a forma como definimos , então é lógico aceitar, desde que para dados m, n e a, a expressão faça sentido.

É fácil verificar que todas as propriedades de um grau com um expoente inteiro são válidas para as (isso é feito na seção sobre as propriedades de um grau com um expoente racional).

O raciocínio acima nos permite fazer o seguinte conclusão: se para dados m, n e a a expressão fizer sentido, então a potência do número a com um expoente fracionário m / n é a raiz do enésimo grau de a elevado à potência m.

Esta afirmação nos aproxima da definição de um grau com um expoente fracionário. Resta apenas descrever para quais m, n e a a expressão faz sentido. Dependendo das restrições impostas a m , n e a, existem duas abordagens principais.

A maneira mais fácil de restringir a é assumir a≥0 para m positivo e a>0 para m negativo (porque m≤0 não tem potência de 0 m). Então obtemos a seguinte definição do grau com um expoente fracionário.

Definição.

Potência de um número positivo a com expoente fracionário m/n, onde m é um número inteiro e n é um número natural, é chamado de raiz da n-ésima parte do número a elevado à potência de m, ou seja, .

O grau fracionário de zero também é definido com a única ressalva de que o expoente deve ser positivo.

Definição.

Potência de zero com expoente positivo fracionário m/n, onde m é um número inteiro positivo e n é um número natural, é definido como .
Quando o grau não está definido, ou seja, o grau do número zero com um expoente negativo fracionário não faz sentido.

Deve-se notar que com tal definição do grau com um expoente fracionário, há uma nuance: para alguns a negativos e alguns m e n, a expressão faz sentido, e descartamos esses casos introduzindo a condição a≥0 . Por exemplo, faz sentido escrever ou , e a definição acima nos obriga a dizer que graus com um expoente fracionário da forma não têm sentido, pois a base não deve ser negativa.

Outra abordagem para determinar o grau com um expoente fracionário m / n é considerar separadamente os expoentes pares e ímpares da raiz. Esta abordagem requer uma condição adicional: o grau do número a, cujo expoente é , é considerado o grau do número a, cujo expoente é a fração irredutível correspondente (a importância desta condição será explicada abaixo). Ou seja, se m/n é uma fração irredutível, então para qualquer número natural k o grau é primeiro substituído por .

Para n par e m positivo, a expressão faz sentido para qualquer a não negativo (a raiz de um grau par de um número negativo não faz sentido), para m negativo, o número a ainda deve ser diferente de zero (caso contrário, a divisão por zero ocorrerá). E para n ímpar e m positivo, o número a pode ser qualquer coisa (a raiz de um grau ímpar é definida para qualquer número real), e para m negativo, o número a deve ser diferente de zero (para que não haja divisão por zero).

O raciocínio acima nos leva a tal definição do grau com um expoente fracionário.

Definição.

Seja m/n uma fração irredutível, m um número inteiro e n um número natural. Para qualquer fração ordinária redutível, o grau é substituído por . A potência de a com um expoente fracionário irredutível m / n é para



Vamos explicar por que um grau com um expoente fracionário redutível é primeiro substituído por um grau com um expoente irredutível. Se simplesmente definissemos o grau como , e não fizéssemos uma ressalva sobre a irredutibilidade da fração m / n , encontraríamos situações semelhantes às seguintes: desde 6/10=3/5 , então a igualdade , mas , uma .

A videoaula "Grau com um indicador racional" contém material educacional visual para ensinar uma lição sobre esse tópico. O tutorial em vídeo contém informações sobre o conceito de um grau com um expoente racional, propriedades de tais graus, bem como exemplos que descrevem o uso de material educacional para resolver problemas práticos. A tarefa desta videoaula é apresentar de forma visual e clara o material didático, para facilitar seu desenvolvimento e memorização pelos alunos, para formar a capacidade de resolver problemas utilizando os conceitos aprendidos.

As principais vantagens da videoaula são a capacidade de fazer transformações visuais e cálculos, a capacidade de usar efeitos de animação para melhorar a eficiência do aprendizado. O acompanhamento da voz ajuda a desenvolver a fala matemática correta e também possibilita substituir a explicação do professor, liberando-o para o trabalho individual.

O tutorial em vídeo começa apresentando o tópico. Ligando o estudo de um novo tópico com o material previamente estudado, sugere-se lembrar que n √a é denotado por a 1/n para n natural e a positivo. Essa representação da raiz n é exibida na tela. Além disso, propõe-se considerar o que significa a expressão a m / n, em que a é um número positivo e m / n é alguma fração. A definição do grau destacado na caixa é dada com um expoente racional como a m/n = n √ a m . Note-se que n pode ser um número natural e m - um número inteiro.

Após determinar o grau com um expoente racional, seu significado é revelado pelos exemplos: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Um exemplo também é mostrado onde uma potência representada por um decimal é convertida em uma fração comum para ser representada como uma raiz: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 e um exemplo com um expoente negativo: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Separadamente, uma característica de um caso particular é indicada quando a base do grau é zero. Note-se que este grau só faz sentido com um expoente fracionário positivo. Neste caso, seu valor é igual a zero: 0 m/n =0.

Outra característica do grau com um expoente racional é notada - que o grau com um expoente fracionário não pode ser considerado com um expoente fracionário. São dados exemplos de notação incorreta do grau: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Além disso, na videoaula, são consideradas as propriedades de um grau com um expoente racional. Note-se que as propriedades de um grau com expoente inteiro também serão válidas para um grau com expoente racional. Propõe-se recordar a lista de propriedades que também são válidas neste caso:

1. Ao multiplicar potências com as mesmas bases, seus indicadores são somados: a p a q \u003d a p + q.
2. A divisão de graus com as mesmas bases é reduzida a um grau com uma base dada e a diferença em expoentes: a p:a q =a p-q .
3. Se elevarmos a potência a uma certa potência, obteremos a potência com a base dada e o produto dos expoentes: (a p) q =a pq .

Todas essas propriedades são válidas para potências com expoentes racionais p, q e base positiva a>0. Além disso, as transformações de grau permanecem verdadeiras ao abrir parênteses:

1. (ab) p = a p b p - elevando um produto de dois números a uma certa potência com um expoente racional é reduzido a um produto de números, cada um dos quais é elevado a uma dada potência.
2. (a/b) p =a p /b p - a exponenciação com um expoente racional de uma fração é reduzida a uma fração cujo numerador e denominador são elevados à potência dada.

O tutorial em vídeo discute a solução de exemplos que usam as propriedades consideradas de graus com um expoente racional. No primeiro exemplo, propõe-se encontrar o valor de uma expressão que contém as variáveis ​​x elevado a uma potência fracionária: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Apesar da complexidade da expressão, usando as propriedades dos graus, ela é resolvida de maneira bastante simples. A solução da tarefa começa com uma simplificação da expressão, que usa a regra de elevar um grau com um expoente racional a uma potência, além de multiplicar potências de mesma base. Depois de substituir o valor dado x=8 na expressão simplificada x 1/3 +48, ​​é fácil obter o valor - 50.

No segundo exemplo, é necessário reduzir uma fração cujo numerador e denominador contenham potências com um expoente racional. Usando as propriedades do grau, selecionamos o fator x 1/3 da diferença, que é então reduzido no numerador e denominador, e usando a fórmula da diferença de quadrados, o numerador é decomposto em fatores, o que dá mais reduções do mesmos fatores no numerador e denominador. O resultado de tais transformações é uma pequena fração x 1/4 +3.

A videoaula "Grau com um indicador racional" pode ser usada em vez do professor explicar o novo tópico da aula. Além disso, este manual contém informações suficientes para auto-estudo pelo aluno. O material pode ser útil no ensino a distância.