Definição 1 . Eixo numérico ( linha numérica, linha coordenada) Ox é chamado de linha reta na qual o ponto O é escolhido ponto de referência (origem das coordenadas)(fig.1), direção
O → x
listado como direção positiva e um segmento é marcado, cujo comprimento é tomado como unidade de comprimento.
Definição 2 . O segmento, cujo comprimento é tomado como uma unidade de comprimento, é chamado de escala.
Cada ponto do eixo numérico possui uma coordenada , que é um número real. A coordenada do ponto O é igual a zero. A coordenada de um ponto arbitrário A sobre o raio Ox é igual ao comprimento do segmento OA. A coordenada de um ponto arbitrário A do eixo numérico, que não está no raio Ox, é negativa, e em valor absoluto é igual ao comprimento do segmento OA.
Definição 3 . Sistema de coordenadas cartesianas retangulares Oxy no plano chamar os dois mutuamente perpendicular eixos numéricos Ox e Oy com a mesma escala e origem comum no ponto O, além disso, de modo que a rotação do raio Ox através de um ângulo de 90° até o raio Oy seja realizada na direção anti-horário(Figura 2).
Observação. O sistema de coordenadas cartesianas retangulares Oxy mostrado na Figura 2 é chamado sistema de coordenadas direita, Diferente sistemas de coordenadas esquerdas, em que a rotação do feixe Ox em um ângulo de 90° em relação ao feixe Oy é realizada no sentido horário. Neste guia, nós considere apenas sistemas de coordenadas direitas sem mencioná-lo em particular.
Se introduzirmos algum sistema de coordenadas cartesianas retangulares Oxy no plano, cada ponto do plano adquirirá duas coordenadas – abscissa e ordenado, que são calculados da seguinte forma. Seja A um ponto arbitrário do plano. Vamos soltar perpendiculares do ponto A AA 1 e AA 2 às linhas Ox e Oy, respectivamente (Fig. 3).
Definição 4 . A abcissa do ponto A é a coordenada do ponto UMA 1 no eixo numérico Ox, a ordenada do ponto A é a coordenada do ponto UMA 2 no eixo numérico Oy.
Designação . Coordenadas (abcissas e ordenadas) de um ponto A no sistema de coordenadas cartesianas retangulares Oxy (Fig. 4) é geralmente denotado UMA(x;y) ou UMA = (x; y).
Observação. Ponto O, chamado origem, tem coordenadas O(0 ; 0) .
Definição 5 . No sistema de coordenadas cartesianas retangulares Oxy, o eixo numérico Ox é chamado de eixo de abcissas, e o eixo numérico Oy é chamado de eixo das ordenadas (Fig. 5).
Definição 6 . Cada sistema de coordenadas cartesianas retangulares divide o plano em 4 quartos (quadrantes), cuja numeração é mostrada na Figura 5.
Definição 7 . Um plano no qual um sistema de coordenadas cartesianas retangular é dado é chamado plano de coordenadas.
Observação. O eixo de abcissas é dado no plano coordenado pela equação y= 0 , o eixo y é dado no plano coordenado pela equação x = 0.
Declaração 1 . Distância entre dois pontos plano de coordenadas
UMA 1 (x 1 ;y 1) e UMA 2 (x 2 ;y 2)
calculado de acordo com a fórmula
Prova . Considere a Figura 6.
| |UMA 1 UMA 2 | 2 = = (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 . | (1) |
Consequentemente,
Q.E.D.
Equação de um círculo no plano coordenado
Considere no plano coordenado Oxy (Fig. 7) um círculo de raio R centrado no ponto UMA 0 (x 0 ;y 0) .
Um sistema ordenado de dois ou três eixos perpendiculares entre si com uma origem comum (origem) e uma unidade de comprimento comum é chamado sistema de coordenadas cartesianas retangulares .
Sistema de coordenadas cartesianas gerais (sistema de coordenadas afins) também pode incluir eixos não necessariamente perpendiculares. Em homenagem ao matemático francês René Descartes (1596-1662), tal sistema de coordenadas é nomeado no qual uma unidade comum de comprimento é contada em todos os eixos e os eixos são retos.
Sistema de coordenadas cartesianas retangulares no plano tem dois eixos sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço - três eixos. Cada ponto em um plano ou no espaço é determinado por um conjunto ordenado de coordenadas - números de acordo com a unidade de comprimento do sistema de coordenadas.
Observe que, como segue da definição, existe um sistema de coordenadas cartesianas em uma linha reta, ou seja, em uma dimensão. A introdução de coordenadas cartesianas em uma linha reta é uma das maneiras pelas quais qualquer ponto de uma linha reta recebe um número real bem definido, ou seja, uma coordenada.
O método das coordenadas, que surgiu nas obras de René Descartes, marcou uma reestruturação revolucionária de toda a matemática. Tornou-se possível interpretar equações algébricas (ou desigualdades) na forma de imagens geométricas (gráficos) e, inversamente, buscar uma solução para problemas geométricos usando fórmulas analíticas, sistemas de equações. Sim, desigualdade z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy e localizado acima deste plano por 3 unidades.
Com a ajuda do sistema de coordenadas cartesianas, a pertença de um ponto a uma dada curva corresponde ao fato de que os números x e y satisfazer alguma equação. Assim, as coordenadas de um ponto de um círculo centrado em um ponto dado ( uma; b) satisfaz a equação (x - uma)² + ( y - b)² = R² .
Sistema de coordenadas cartesianas retangulares no plano
Dois eixos perpendiculares em um plano com origem comum e a mesma unidade de escala formam Sistema de coordenadas cartesianas no plano . Um desses eixos é chamado de eixo Boi, ou eixo x , o outro - o eixo Oi, ou eixo y . Esses eixos também são chamados de eixos coordenados. Denotado por Mx e My respectivamente a projeção de um ponto arbitrário M no eixo Boi e Oi. Como obter projeções? Passe pelo ponto M Boi. Esta linha cruza o eixo Boi no ponto Mx. Passe pelo ponto M reta perpendicular ao eixo Oi. Esta linha cruza o eixo Oi no ponto My. Isso é mostrado na figura abaixo.
x e y pontos M chamaremos respectivamente as magnitudes dos segmentos direcionados OMx e OMy. Os valores desses segmentos direcionais são calculados respectivamente como x = x0 - 0 e y = y0 - 0 . Coordenadas cartesianas x e y pontos M abscissa e ordenado . O fato de o ponto M tem coordenadas x e y, é indicado da seguinte forma: M(x, y) .
Os eixos coordenados dividem o plano em quatro quadrante , cuja numeração é mostrada na figura abaixo. Também indica a disposição dos sinais para as coordenadas dos pontos, dependendo de sua localização em um ou outro quadrante.
Além das coordenadas retangulares cartesianas no plano, o sistema de coordenadas polares também é frequentemente considerado. Sobre o método de transição de um sistema de coordenadas para outro - na lição sistema de coordenadas polares .
Sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço
As coordenadas cartesianas no espaço são introduzidas em completa analogia com as coordenadas cartesianas em um plano.
Três eixos mutuamente perpendiculares no espaço (eixos coordenados) com uma origem comum O e a mesma forma de unidade de escala Sistema de coordenadas retangulares cartesianas no espaço .
Um desses eixos é chamado de eixo Boi, ou eixo x , o outro - o eixo Oi, ou eixo y , terceiro eixo Oz, ou aplicar eixo . Deixar Mx, My Mz- projeções de um ponto arbitrário M espaços no eixo Boi , Oi e Oz respectivamente.
Passe pelo ponto M BoiBoi no ponto Mx. Passe pelo ponto M plano perpendicular ao eixo Oi. Este plano intercepta o eixo Oi no ponto My. Passe pelo ponto M plano perpendicular ao eixo Oz. Este plano intercepta o eixo Oz no ponto Mz.
Coordenadas retangulares cartesianas x , y e z pontos M chamaremos respectivamente as magnitudes dos segmentos direcionados OMx, OMy e OMz. Os valores desses segmentos direcionais são calculados respectivamente como x = x0 - 0 , y = y0 - 0 e z = z0 - 0 .
Coordenadas cartesianas x , y e z pontos M são nomeados de acordo abscissa , ordenado e aplique .
Tomados em pares, os eixos de coordenadas estão localizados nos planos de coordenadas xOy , yOz e zOx .
Problemas sobre pontos no sistema de coordenadas cartesianas
Exemplo 1
UMA(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Encontre as coordenadas das projeções desses pontos no eixo x.
Solução. Como segue da parte teórica desta lição, a projeção de um ponto no eixo x está localizada no próprio eixo x, ou seja, o eixo Boi, e, portanto, tem uma abcissa igual à abcissa do próprio ponto, e uma ordenada (coordenada no eixo Oi, que o eixo x intercepta no ponto 0), igual a zero. Assim, obtemos as seguintes coordenadas desses pontos no eixo x:
UMAx(2;0);
Bx(3;0);
Cx(-5;0).
Exemplo 2 Os pontos são dados no sistema de coordenadas cartesianas no plano
UMA(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Encontre as coordenadas das projeções desses pontos no eixo y.
Solução. Como segue da parte teórica desta lição, a projeção de um ponto no eixo y está localizada no próprio eixo y, ou seja, o eixo Oi, e, portanto, tem uma ordenada igual à ordenada do próprio ponto, e uma abcissa (a coordenada no eixo Boi, que o eixo y intercepta no ponto 0), igual a zero. Assim, obtemos as seguintes coordenadas desses pontos no eixo y:
UMAy(0; 2);
By (0; 1);
Cy(0;-2).
Exemplo 3 Os pontos são dados no sistema de coordenadas cartesianas no plano
UMA(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Boi .
Boi Boi Boi, terá a mesma abcissa que o ponto dado, e a ordenada igual em valor absoluto à ordenada do ponto dado, e oposta em sinal a ele. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos a esses pontos em torno do eixo Boi :
UMA"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Resolva você mesmo os problemas no sistema de coordenadas cartesianas e, em seguida, observe as soluções
Exemplo 4 Determine em quais quadrantes (quartos, figura com quadrantes - no final do parágrafo "Sistema de coordenadas cartesianas retangulares no plano") o ponto pode ser localizado M(x; y) , E se
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Exemplo 5 Os pontos são dados no sistema de coordenadas cartesianas no plano
UMA(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(uma; b) .
Encontre as coordenadas dos pontos simétricos a esses pontos em torno do eixo Oi .
Continuamos a resolver problemas juntos
Exemplo 6 Os pontos são dados no sistema de coordenadas cartesianas no plano
UMA(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Encontre as coordenadas dos pontos simétricos a esses pontos em torno do eixo Oi .
Solução. Girar 180 graus em torno do eixo Oi segmento de linha direcionado de um eixo Oi até este ponto. Na figura, onde estão indicados os quadrantes do plano, vemos que o ponto simétrico ao dado em relação ao eixo Oi, terá a mesma ordenada que o ponto dado, e uma abcissa igual em valor absoluto à abcissa do ponto dado, e oposta em sinal a ele. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos a esses pontos em torno do eixo Oi :
UMA"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Exemplo 7 Os pontos são dados no sistema de coordenadas cartesianas no plano
UMA(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Encontre as coordenadas dos pontos que são simétricos a esses pontos em relação à origem.
Solução. Giramos 180 graus em torno da origem do segmento direcionado que vai da origem ao ponto dado. Na figura, onde estão indicados os quadrantes do plano, vemos que um ponto simétrico a um dado em relação à origem das coordenadas terá uma abcissa e uma ordenada igual em valor absoluto à abcissa e ordenada do ponto dado , mas oposto em sinal para eles. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos a esses pontos em relação à origem:
UMA"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Exemplo 8
UMA(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Encontre as coordenadas das projeções desses pontos:
1) em um avião Oxi ;
2) para o avião Oxz ;
3) para o avião Oyz ;
4) no eixo das abcissas;
5) no eixo y;
6) no eixo do aplique.
1) Projeção de um ponto em um plano Oxi localizado neste próprio plano e, portanto, tem uma abcissa e ordenada igual a abcissa e ordenada do ponto dado, e um aplicado igual a zero. Assim, obtemos as seguintes coordenadas das projeções desses pontos sobre Oxi :
UMAxy(4;3;0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Projeção de um ponto em um plano Oxz localizado neste próprio plano e, portanto, tem uma abcissa e aplicação igual à abcissa e aplicação do ponto dado, e uma ordenada igual a zero. Assim, obtemos as seguintes coordenadas das projeções desses pontos sobre Oxz :
UMAxz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz(2;0;0).
3) Projeção de um ponto em um plano Oyz localizado neste próprio plano e, portanto, tem uma ordenada e uma ordenada igual à ordenada e aplicada de um ponto dado, e uma abcissa igual a zero. Assim, obtemos as seguintes coordenadas das projeções desses pontos sobre Oyz :
UMAyz (0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz(0;-3;0).
4) Como segue da parte teórica desta lição, a projeção de um ponto no eixo x está localizada no próprio eixo x, ou seja, o eixo Boi, e, portanto, tem uma abcissa igual à abcissa do próprio ponto, e a ordenada e aplicada da projeção são iguais a zero (já que os eixos ordenada e aplicada interceptam a abcissa no ponto 0). Obtemos as seguintes coordenadas das projeções desses pontos no eixo x:
UMAx(4;0;0);
Bx(-3;0;0);
Cx(2;0;0).
5) A projeção de um ponto no eixo y está localizada no próprio eixo y, ou seja, o eixo Oi, e, portanto, tem uma ordenada igual à ordenada do próprio ponto, e a abcissa e o aplicado da projeção são iguais a zero (já que os eixos de abcissa e aplicado interceptam o eixo das ordenadas no ponto 0). Obtemos as seguintes coordenadas das projeções desses pontos no eixo y:
UMAy(0;3;0);
By(0;2;0);
Cy(0;-3;0).
6) A projeção de um ponto no eixo aplicado está localizada no próprio eixo aplicado, ou seja, o eixo Oz, e portanto tem um aplicado igual ao aplicado do próprio ponto, e a abcissa e ordenada da projeção são iguais a zero (já que os eixos de abcissas e ordenadas interceptam o eixo aplicado no ponto 0). Obtemos as seguintes coordenadas das projeções desses pontos no eixo aplicado:
UMAz(0; 0; 5);
Bz(0;0;1);
Cz(0; 0; 0).
Exemplo 9 Os pontos são dados no sistema de coordenadas cartesianas no espaço
UMA(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Encontre as coordenadas dos pontos que são simétricos a esses pontos em relação a:
1) avião Oxi ;
2) avião Oxz ;
3) avião Oyz ;
4) eixo de abcissas;
5) eixo y;
6) eixo do aplique;
7) a origem das coordenadas.
1) "Avançar" o ponto do outro lado do eixo Oxi Oxi, terá uma abcissa e uma ordenada igual à abcissa e ordenada do ponto dado, e um aplicado igual em magnitude ao aplicado do ponto dado, mas oposto em sinal a ele. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados em relação ao plano Oxi :
UMA"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Avançar" o ponto do outro lado do eixo Oxz para a mesma distância. De acordo com a figura que mostra o espaço de coordenadas, vemos que o ponto simétrico ao dado em relação ao eixo Oxz, terá uma abcissa e aplicará igual à abcissa e aplicará do ponto dado, e uma ordenada igual em magnitude à ordenada do ponto dado, mas oposta em sinal a ele. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados em relação ao plano Oxz :
UMA"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Avançar" o ponto do outro lado do eixo Oyz para a mesma distância. De acordo com a figura que mostra o espaço de coordenadas, vemos que o ponto simétrico ao dado em relação ao eixo Oyz, terá uma ordenada e uma aplicada igual à ordenada e uma aplicada do ponto dado, e uma abcissa igual em magnitude à abcissa do ponto dado, mas de sinal oposto a ele. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados em relação ao plano Oyz :
UMA"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Por analogia com pontos simétricos no plano e pontos no espaço simétricos aos dados em relação aos planos, notamos que no caso de simetria em torno de algum eixo do sistema de coordenadas cartesianas no espaço, a coordenada no eixo sobre o qual a simetria é definida manterá seu sinal, e as coordenadas nos outros dois eixos serão as mesmas em valor absoluto que as coordenadas do ponto dado, mas opostas em sinal.
4) A abcissa manterá seu sinal, enquanto a ordenada e o aplicado mudarão de sinal. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados sobre o eixo x:
UMA"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) A ordenada manterá seu sinal, enquanto a abcissa e o aplicado mudarão de sinal. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados sobre o eixo y:
UMA"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) O pedido manterá seu sinal, e a abcissa e ordenada mudarão de sinal. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados sobre o eixo aplicado:
UMA"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Por analogia com a simetria no caso de pontos em um plano, no caso de simetria em torno da origem, todas as coordenadas de um ponto simétrico a um dado serão iguais em valor absoluto às coordenadas de um dado ponto, mas opostas em sinal para eles. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos que são simétricos aos dados em relação à origem.
Instrução
Anote as operações matemáticas em forma de texto e insira-as no campo de consulta de pesquisa na página principal do site do Google se você não puder usar uma calculadora, mas tiver acesso à Internet. Este mecanismo de pesquisa possui uma calculadora multifuncional integrada, muito mais fácil de usar do que qualquer outra. Não há interface com botões - todos os dados devem ser inseridos em forma de texto em um único campo. Por exemplo, se conhecido coordenadas pontos extremos segmento no sistema de coordenadas tridimensional A(51,34 17,2 13,02) e A(-11,82 7,46 33,5), então coordenadas ponto médio segmento C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Digitando (51,34-11,82) / 2 no campo de consulta de pesquisa, depois (17,2 + 7,46) / 2 e (13,02 + 33,5) / 2, você pode usar o Google para obter coordenadas C (19,76 12,33 23,26).
A equação padrão do círculo permite descobrir várias informações importantes sobre essa figura, por exemplo, as coordenadas de seu centro, o comprimento do raio. Em alguns problemas, pelo contrário, é necessário fazer uma equação para os parâmetros dados.
Instrução
Determine se você tem informações sobre o círculo, com base na tarefa que lhe foi dada. Lembre-se que o objetivo final é determinar as coordenadas do centro, bem como o diâmetro. Todas as suas ações devem ter como objetivo alcançar esse resultado específico.
Use os dados sobre a presença de pontos de interseção com linhas de coordenadas ou outras linhas. Observe que se o círculo passar pelo eixo das abcissas, o segundo terá a coordenada 0, e se passar pelo eixo das ordenadas, então o primeiro. Essas coordenadas permitirão que você encontre as coordenadas do centro do círculo e também calcule o raio.
Não se esqueça das propriedades básicas das secantes e tangentes. Em particular, o teorema mais útil é que, no ponto de contato, o raio e a tangente formam um ângulo reto. Mas note que você pode ser solicitado a provar todos os teoremas usados no curso.
Resolva os tipos mais comuns para aprender a ver imediatamente como usar determinados dados para uma equação de círculo. Assim, além dos problemas já indicados com coordenadas dadas diretamente e aqueles sob os quais são fornecidas informações sobre a presença de pontos de interseção, para compilar a equação de um círculo, você pode usar o conhecimento sobre o centro do círculo, o comprimento do acorde e no qual este acorde se encontra.
Para resolver, construa um triângulo isósceles, cuja base será a corda dada e os lados iguais serão os raios. Maquiagem, a partir da qual você pode encontrar facilmente os dados necessários. Para fazer isso, basta usar a fórmula para encontrar o comprimento de um segmento em um plano.
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Um círculo é entendido como uma figura que consiste em um conjunto de pontos em um plano equidistante do seu centro. Distância do centro aos pontos círculos chamado de raio.
Coordenadas polares
O número é chamado raio polar pontos ou primeira coordenada polar. A distância não pode ser negativa, então o raio polar de qualquer ponto é . A primeira coordenada polar também é denotada pela letra grega ("rho"), mas estou acostumado com a versão latina, e no futuro vou usá-la.
O número é chamado ângulo polar determinado ponto ou segunda coordenada polar. O ângulo polar é normalmente alterado dentro (o chamado valores principais do ângulo). No entanto, é bastante aceitável usar o intervalo, e em alguns casos há uma necessidade direta de considerar todos os valores de ângulos de zero a "mais infinito". A propósito, recomendo que se acostumem com a medida em radianos do ângulo, pois não é considerado comme il faut operar com graus em matemática superior.
O casal se chama coordenadas polares pontos . De fácil localização e seus significados específicos. A tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente: portanto, o próprio ângulo: 
. De acordo com o teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: portanto, o raio polar:
Nesse caminho, 
.
Um pinguim é bom, mas um bando é melhor: 
Cantos orientados negativamente 
apenas no caso, marquei com setas, de repente um dos leitores ainda não sabia dessa orientação. Se desejar, você pode “parafusar” 1 volta em cada um deles (rad. ou 360 graus) e ficar, por sinal, confortável valores da tabela:
Mas a desvantagem desses cantos orientados "tradicionalmente" é que eles estão muito longe (mais de 180 graus) "torcidos" no sentido anti-horário. Prevejo a pergunta: “por que a falta e por que precisamos de ângulos negativos?” Na matemática, os caminhos mais curtos e racionais são valorizados. Bem, do ponto de vista da física, a direção de rotação é muitas vezes de importância fundamental - cada um de nós tentou abrir a porta puxando a maçaneta na direção errada =)
A ordem e a técnica de construção de pontos em coordenadas polares
Belas fotos são belas, mas construir em um sistema de coordenadas polares é uma tarefa bastante árdua. Dificuldades não surgem com pontos cujos ângulos polares são 
, no nosso exemplo estes são os pontos 
; valores que são múltiplos de 45 graus também não causam muitos problemas: . Mas como construir de forma correta e competente, digamos, um ponto?
Você vai precisar de um pedaço de papel quadriculado, um lápis e as seguintes ferramentas de desenho: régua, compasso, transferidor. Em casos extremos, você pode se virar com uma régua, ou até... sem ela! Continue lendo e você terá mais uma prova de que este país é invencível =)
Exemplo 1
Construir um ponto no sistema de coordenadas polares.
Primeiro de tudo, você precisa descobrir a medida em graus do ângulo. Se o ângulo não for familiar ou você tiver dúvidas, é sempre melhor usar tabela ou a fórmula geral para converter radianos em graus. Então nosso ângulo é (ou ).
Vamos desenhar um sistema de coordenadas polares (veja o início da lição) e pegar um transferidor. Não será difícil para os proprietários de um instrumento redondo marcar 240 graus, mas com alta probabilidade você terá uma versão semicircular do dispositivo em suas mãos. O problema da completa ausência de um transferidor na presença de uma impressora e tesoura resolvido pelo bordado.
Existem duas maneiras: virar a folha e marcar 120 graus, ou “parafusar” meia volta e considerar o ângulo oposto. Vamos escolher o método adulto e fazer uma marca de 60 graus: 
Ou um transferidor anão, ou uma gaiola gigante =) No entanto, para medir o ângulo, a escala não é importante.
Desenhamos com um lápis uma linha reta fina passando pelo poste e a marca feita: 
Descobrimos o ângulo, o próximo passo é o raio polar. Pegamos uma bússola e por governante definimos sua solução para 3 unidades, na maioria das vezes, são, é claro, centímetros: 
Agora colocamos cuidadosamente a agulha no poste e, com um movimento de rotação, fazemos um pequeno entalhe (vermelho). O ponto desejado é construído: 
Você pode prescindir de uma bússola, anexando uma régua diretamente à linha construída e medindo 3 centímetros. Mas, como veremos mais adiante, em tarefas para construção no sistema de coordenadas polares uma situação típica é quando você precisa marcar dois ou mais pontos com o mesmo raio polar, então é mais eficiente endurecer o metal. Em particular, em nosso desenho, girando a perna da bússola em 180 graus, é fácil fazer um segundo entalhe e construir um ponto simétrico em relação ao pólo. Nele, vamos trabalhar o material do próximo parágrafo:
A relação de sistemas de coordenadas retangulares e polares
Obviamente Junte ao sistema de coordenadas polares da grade de coordenadas "normal" e desenhe um ponto no desenho: 
Esta conexão é sempre útil ter em mente ao desenhar em coordenadas polares. Embora, queira ou não, sugere-se sem muita dica.
Vamos estabelecer a relação entre coordenadas polares e cartesianas usando o exemplo de um ponto específico. Considere um triângulo retângulo em que a hipotenusa é igual ao raio polar: , e os catetos são as coordenadas "x" e "jogo" do ponto no sistema de coordenadas cartesianas: 
.
O seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa: 
O cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa: 
Ao mesmo tempo, eles repetiram as definições de seno, cosseno (e um pouco anterior tangente) do programa do 9º ano de uma escola abrangente.
Por favor, adicione fórmulas de trabalho ao seu livro de referência que expressem as coordenadas cartesianas de um ponto em termos de suas coordenadas polares - teremos que lidar com elas mais de uma vez e da próxima vez agora =)
Vamos encontrar as coordenadas de um ponto em um sistema de coordenadas retangulares: 
Nesse caminho:
As fórmulas resultantes abrem outra brecha no problema de construção, quando você pode ficar sem um transferidor: primeiro encontramos as coordenadas cartesianas do ponto (claro, no calado), depois encontramos mentalmente o lugar certo no desenho e marque este ponto. Na etapa final, traçamos uma linha reta fina que passa pelo ponto construído e pelo poste. Como resultado, verifica-se que o ângulo foi supostamente medido por um transferidor.
É engraçado que alunos absolutamente desesperados consigam até ficar sem uma régua, usando em vez disso a borda lisa de um livro didático, caderno ou caderneta de notas - afinal, os fabricantes de cadernos cuidaram da métrica, 1 célula = 5 milímetros.
Tudo isso me lembrou uma anedota bem conhecida, em que pilotos engenhosos traçaram um curso ao longo do pacote Belomor =) na Federação Russa, todos os dispositivos de navegação falharam no forro, e a tripulação pousou com sucesso a prancha usando um copo comum de água, que mostrou o ângulo de inclinação da aeronave em relação ao solo. E a pista de pouso - aqui está, visível do para-brisa.
Usando o teorema de Pitágoras citado no início da lição, é fácil obter fórmulas inversas: , portanto:
O próprio ângulo "phi" é expresso padrão através da tangente do arco - exatamente o mesmo que argumento de número complexo com todas as suas peculiaridades.
Também é aconselhável colocar o segundo grupo de fórmulas em sua bagagem de referência.
Após uma análise detalhada dos voos com pontos individuais, vamos para a continuação natural do tópico:
Equação de linha em coordenadas polares
Essencialmente, a equação de uma linha em um sistema de coordenadas polares é função do raio polar do ângulo polar (argumento). Neste caso, o ângulo polar é levado em consideração em radianos(!) e continuamente leva valores de a (às vezes deve ser considerado ad infinitum, ou em vários problemas por conveniência de até ). Cada valor do ângulo "phi", que está incluído na domínio função, corresponde a um único valor do raio polar.
A função polar pode ser comparada a uma espécie de radar - quando um feixe de luz que emana do pólo gira no sentido anti-horário e "detecta" (traça) uma linha.
Um exemplo comum de curva polar é Espiral de Arquimedes. A figura a seguir mostra ela primeiro turno– quando o raio polar seguindo o ângulo polar assume valores de 0 a : 
Além disso, cruzando o eixo polar no ponto , a espiral continuará a se desenrolar, infinitamente longe do pólo. Mas tais casos são bastante raros na prática; uma situação mais típica, quando em todas as revoluções subsequentes “andamos na mesma linha”, que é obtida na faixa .
No primeiro exemplo, encontramos também o conceito domínios função polar: como o raio polar é não negativo, ângulos negativos não podem ser considerados aqui.
! Observação : em alguns casos é costume usar coordenadas polares generalizadas, onde o raio pode ser negativo, e estudaremos brevemente essa abordagem um pouco mais tarde
Além da espiral de Arquimedes, existem muitas outras curvas conhecidas, mas, como dizem, você não estará cheio de arte, então peguei exemplos que são muito comuns em tarefas práticas reais.
Primeiro, as equações mais simples e as linhas mais simples:
Uma equação da forma especifica a saída do pólo Raio. De fato, pense nisso se o valor do ângulo sempre(o que quer que seja "er") constantemente, então qual é a linha?
Observação : no sistema de coordenadas polares generalizadas, esta equação define uma linha reta que passa pelo pólo
A equação da forma determina ... adivinhe na primeira vez - se para qualquer um canto "phi" raio permanece constante? Na verdade, essa definição círculos centrado no pólo de raio .
Por exemplo, . Para maior clareza, vamos encontrar a equação desta linha em um sistema de coordenadas retangulares. Utilizando a fórmula obtida no parágrafo anterior, realizaremos a substituição:
Vamos ao quadrado dos dois lados:
– equação do círculo centrado na origem das coordenadas de raio 2, que deveria ser verificada.
Desde a criação e lançamento do artigo sobre dependência linear e independência linear de vetores Recebi várias cartas de visitantes do site que fizeram uma pergunta no espírito: “aqui está um sistema de coordenadas retangulares simples e conveniente, por que precisamos de algum outro caso afim oblíquo?”. A resposta é simples: a matemática procura abranger tudo e tudo! Além disso, nesta ou naquela situação, a conveniência é importante - como você pode ver, é muito mais lucrativo trabalhar com um círculo em coordenadas polares devido à extrema simplicidade da equação.
E às vezes um modelo matemático antecipa descobertas científicas. Então, ao mesmo tempo, o reitor da Universidade de Kazan N.I. Lobachevsky rigorosamente provado, através de um ponto arbitrário do plano é possível desenhar número infinito de linhas paralelo ao dado. Como resultado, ele foi difamado por todo o mundo científico, mas... ninguém poderia refutar esse fato. Somente depois de um bom século, os astrônomos descobriram que a luz no espaço se propaga ao longo de trajetórias curvas, onde a geometria não euclidiana de Lobachevsky, formalmente desenvolvida por ele muito antes dessa descoberta, começa a funcionar. Supõe-se que esta seja uma propriedade do próprio espaço, cuja curvatura é invisível para nós devido a pequenas distâncias (por padrões astronômicos).
Considere tarefas de construção mais significativas:
Exemplo 2
construir uma linha
Solução: primeiro encontrar domínio. Como o raio polar é não negativo, a desigualdade deve valer. Você pode se lembrar das regras da escola para resolver desigualdades trigonométricas, mas em casos simples como este, aconselho um método de resolução mais rápido e visual:
Imagine um gráfico de cosseno. Se ele ainda não conseguiu ser depositado na memória, encontre-o na página Gráficos de funções elementares. O que a desigualdade nos diz? Ela nos diz que o gráfico cosseno deve ser localizado não menos eixo de abcissas. E isso acontece em um segmento. E, consequentemente, o intervalo não se encaixa.
Assim, o domínio da nossa função é: , ou seja, o gráfico está localizado à direita do pólo (segundo a terminologia do sistema cartesiano, no semiplano direito).
Em coordenadas polares, muitas vezes há uma vaga ideia de qual linha define esta ou aquela equação, então, para construí-la, você precisa encontrar os pontos pertencentes a ela - e quanto mais, melhor. Geralmente limitado a uma dúzia ou duas (ou até menos). A maneira mais fácil, é claro, é tomar valores de ângulos tabulares. Para maior clareza, vou “prender” uma volta a valores negativos: 
Devido à paridade do cosseno 
os valores positivos correspondentes podem ser omitidos novamente: 
Vamos representar o sistema de coordenadas polares e separar os pontos encontrados, enquanto é conveniente deixar de lado os mesmos valores de "er" de cada vez, fazendo serifas emparelhadas com uma bússola de acordo com a tecnologia discutida acima: 
Em princípio, a linha é claramente desenhada, mas para confirmar absolutamente a suposição, vamos encontrar sua equação no sistema de coordenadas cartesianas. Você pode aplicar fórmulas recém-derivadas 
, mas vou falar sobre um truque mais complicado. Multiplicamos artificialmente ambas as partes da equação por "er": e usamos fórmulas de transição mais compactas:
Selecionando o quadrado completo, trazemos a equação da reta para uma forma reconhecível: 
– equação do círculo centrado no ponto , raio 2.
Como, de acordo com a condição, era simplesmente necessário concluir a construção e pronto, conectamos suavemente os pontos encontrados com uma linha: 
Preparar. Tudo bem se ficar um pouco irregular, você não precisava saber que era um círculo ;-)
Por que não consideramos os valores dos ângulos fora do intervalo? A resposta é simples: não faz sentido. Em vista da periodicidade da função, estamos esperando uma corrida sem fim ao longo do círculo construído.
É fácil fazer uma análise simples e chegar à conclusão de que a equação da forma define um círculo de diâmetro com centro no ponto . Figurativamente falando, todos esses círculos "se sentam" no eixo polar e necessariamente passam pelo pólo. Se , a empresa alegre se moverá para a esquerda - para a continuação do eixo polar (pense por quê).
Um problema semelhante para uma solução independente:
Exemplo 3
Desenhe uma linha e encontre sua equação em um sistema de coordenadas retangulares.
Sistematizamos o procedimento para a resolução do problema:
Em primeiro lugar, encontramos o domínio da função, para isso é conveniente olhar para sinusóide para entender imediatamente onde o seno é não negativo.
Na segunda etapa, calculamos as coordenadas polares dos pontos usando valores tabulares de ângulos; analisar se é possível reduzir o número de cálculos?
Na terceira etapa, separamos os pontos no sistema de coordenadas polares e os conectamos cuidadosamente com uma linha.
E, finalmente, encontramos a equação da reta no sistema de coordenadas cartesianas.
Exemplo de solução no final da lição.
Detalhamos o algoritmo geral e a técnica para construir em coordenadas polares
e acelerar significativamente na segunda parte da palestra, mas antes disso, vamos nos familiarizar com mais uma linha comum:
rosa polar
Muito bem, estamos falando de uma flor com pétalas:
Exemplo 4
Traçar linhas dadas por equações em coordenadas polares
Existem duas abordagens para a construção de uma rosa polar. Primeiro, vamos seguir a trilha serrilhada, assumindo que o raio polar não pode ser negativo:
Solução:
a) Encontre o domínio da função: 
Essa desigualdade trigonométrica também é fácil de resolver graficamente: a partir dos materiais do artigo Transformações de plotagem geométrica Sabe-se que, se o argumento da função for duplicado, seu gráfico será reduzido para o eixo y em 2 vezes. Por favor, encontre o gráfico da função no primeiro exemplo da lição especificada. Onde esta senóide está localizada acima do eixo x? Nos intervalos 
. Portanto, os segmentos correspondentes satisfazem a desigualdade, e domínio nossa função: 
.
De um modo geral, a solução das desigualdades em consideração é a união de um número infinito de segmentos, mas, novamente, estamos interessados apenas em um período.
Talvez alguns leitores achem o método analítico de encontrar o domínio da definição mais fácil, eu o chamarei condicionalmente de “cortar uma torta redonda”. Nós vamos cortar em partes iguais e, antes de tudo, encontre os limites da primeira peça. Argumentamos da seguinte forma: seno é não negativo, quando seu argumento varia de 0 a rad. inclusivo. Em nosso exemplo: . Dividindo todas as partes da dupla desigualdade por 2, obtemos o intervalo necessário:
Agora começamos sequencialmente “cortar pedaços iguais de 90 graus” no sentido anti-horário:
- o segmento encontrado, é claro, está incluído na área de definição;
– próximo intervalo – não incluído;
- o próximo segmento - entra;
- e, finalmente, o intervalo - não está incluído.
Assim como uma camomila - "ama, não ama, ama, não ama" =) Com a diferença de que isso não é adivinhação. Sim, apenas algum tipo de amor em chinês acaba ....
Então, 
e a linha representa uma rosa com duas pétalas idênticas. É bem possível desenhar um desenho esquematicamente, mas é altamente desejável encontrar e marcar corretamente o topo das pétalas. Os vértices correspondem pontos médios de segmentos do domínio de definição, que neste exemplo tem coordenadas angulares óbvias 
. Em que comprimento da pétala são: 
Aqui está o resultado natural de um jardineiro atencioso: 
Deve-se notar que o comprimento da pétala é fácil de ver imediatamente a partir da equação - como o seno é limitado: , então o valor máximo de "er" certamente não excederá dois.
b) Vamos construir a reta dada pela equação. Obviamente, o comprimento da pétala desta rosa também é dois, mas, em primeiro lugar, estamos interessados no domínio da definição. Aplicamos o método analítico de "fatiar": seno é não negativo quando seu argumento está no intervalo de zero a "pi", inclusive, neste caso: . Dividimos todas as partes da inequação por 3 e obtemos o primeiro intervalo:
Em seguida, começamos a “cortar a torta em pedaços” de acordo com o rad. (60 graus):
– o segmento entrará na área de definição;
– intervalo – não entrará;
- segmento - entrará;
– intervalo – não entrará;
- segmento - entrará;
- intervalo - não entrará.
O processo foi concluído com sucesso na marca de 360 graus.
Então o escopo é: 
.
As ações realizadas no todo ou em parte são fáceis de realizar mentalmente.
Construção. Se no parágrafo anterior tudo correu bem com ângulos retos e ângulos de 45 graus, aqui você precisa mexer um pouco. Vamos encontrar o topo das pétalas. Seu comprimento era visível desde o início da tarefa, resta calcular as coordenadas angulares, que são iguais aos pontos médios dos segmentos do domínio de definição: 
Observe que entre os topos das pétalas você deve necessariamente obter lacunas iguais, neste caso 120 graus.
É desejável marcar o desenho em setores de 60 graus (delimitados por linhas verdes) e desenhar as direções dos topos das pétalas (linhas cinzas). É conveniente marcar os próprios vértices com a ajuda de uma bússola - uma vez que meça a distância de 2 unidades e aplique três entalhes nas direções desenhadas em 30, 150 e 270 graus: 
Preparar. Entendo que a tarefa seja problemática, mas se você quiser organizar tudo de maneira inteligente, terá que gastar tempo.
Formulamos a fórmula geral: uma equação da forma , é um número natural), define uma rosa de pétala polar cujo comprimento da pétala é .
Por exemplo, a equação especifica um quatrefoil com um comprimento de pétala de 5 unidades, a equação - uma rosa de 5 pétalas com um comprimento de pétala de 3 unidades. etc.
Um sistema de coordenadas retangulares em um plano é formado por dois eixos de coordenadas mutuamente perpendiculares X'X e Y'Y. Os eixos de coordenadas se cruzam no ponto O, que é chamado de origem das coordenadas, uma direção positiva é escolhida em cada eixo. A direção positiva dos eixos (no sistema de coordenadas à direita) é escolhida de modo que quando o eixo X'X é girado no sentido anti-horário em 90 °, sua direção positiva coincide com a direção positiva do eixo Y'Y. Os quatro ângulos (I, II, III, IV) formados pelos eixos coordenados X'X e Y'Y são chamados de ângulos coordenados (ver Fig. 1).
A posição do ponto A no plano é determinada por duas coordenadas x e y. A coordenada x é igual ao comprimento do segmento OB, a coordenada y é o comprimento do segmento OC nas unidades selecionadas. Os segmentos OB e OC são definidos por linhas traçadas a partir do ponto A paralelas aos eixos Y’Y e X’X, respectivamente. A coordenada x é chamada de abcissa do ponto A, a coordenada y é chamada de ordenada do ponto A. Eles escrevem assim: A (x, y).
Se o ponto A está no ângulo coordenado I, então o ponto A tem abcissas e ordenadas positivas. Se o ponto A está no ângulo coordenado II, então o ponto A tem uma abcissa negativa e uma ordenada positiva. Se o ponto A está no ângulo coordenado III, então o ponto A tem abcissas e ordenadas negativas. Se o ponto A está no ângulo coordenado IV, então o ponto A tem uma abcissa positiva e uma ordenada negativa.
Sistema de coordenadas retangulares no espaçoé formado por três eixos coordenados mutuamente perpendiculares OX, OY e OZ. Os eixos coordenados se cruzam no ponto O, que é chamado de origem, em cada eixo é escolhido o sentido positivo indicado pelas setas e a unidade de medida dos segmentos nos eixos. As unidades de medida são as mesmas para todos os eixos. OX - eixo de abcissas, OY - eixo de ordenadas, OZ - eixo de aplicação. A direção positiva dos eixos é escolhida de modo que quando o eixo OX é girado em 90° no sentido anti-horário, sua direção positiva coincide com a direção positiva do eixo OY, se esta rotação for observada do lado da direção positiva do eixo OZ . Tal sistema de coordenadas é chamado de direito. Se o polegar da mão direita for tomado na direção X, o dedo indicador na direção Y e o dedo médio na direção Z, então um sistema de coordenadas direita é formado. Dedos semelhantes da mão esquerda formam o sistema de coordenadas esquerdo. Os sistemas de coordenadas direito e esquerdo não podem ser combinados para que os eixos correspondentes coincidam (ver Fig. 2).
A posição do ponto A no espaço é determinada por três coordenadas x, y e z. A coordenada x é igual ao comprimento do segmento OB, a coordenada y é igual ao comprimento do segmento OC, a coordenada z é o comprimento do segmento OD nas unidades selecionadas. Os segmentos OB, OC e OD são definidos por planos traçados a partir do ponto A paralelos aos planos YOZ, XOZ e XOY, respectivamente. A coordenada x é chamada de abcissa do ponto A, a coordenada y é chamada de ordenada do ponto A, a coordenada z é chamada de aplicada do ponto A. Eles escrevem assim: A (a, b, c).
Horts
Um sistema de coordenadas retangulares (de qualquer dimensão) também é descrito por um conjunto de orts, co-dirigido com os eixos de coordenadas. O número de orts é igual à dimensão do sistema de coordenadas e todos são perpendiculares entre si.
No caso tridimensional, tais vetores são geralmente denotados eu j k ou e x e y e z. Neste caso, no caso do sistema de coordenadas à direita, as seguintes fórmulas com o produto vetorial de vetores são válidas:
- [eu j]=k ;
- [j k]=eu ;
- [k eu]=j .
História
René Descartes foi o primeiro a introduzir um sistema de coordenadas retangulares em seu Discurso sobre o Método em 1637. Portanto, o sistema de coordenadas retangulares também é chamado - Sistema de coordenada cartesiana. O método de coordenadas para descrever objetos geométricos lançou as bases para a geometria analítica. Pierre Fermat também contribuiu para o desenvolvimento do método de coordenadas, mas seu trabalho foi publicado pela primeira vez após sua morte. Descartes e Fermat usaram o método das coordenadas apenas no plano.
O método de coordenadas para o espaço tridimensional foi aplicado pela primeira vez por Leonhard Euler já no século XVIII.
Veja também
Links
Fundação Wikimedia. 2010.
- Sistema de coordenada cartesiana
- grau cartesiano
Veja o que são "coordenadas cartesianas" em outros dicionários:
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