Matemática 1. De onde veio a palavra matemática 2. Quem inventou a matemática? 3. Temas principais. 4. Definição 5. Etimologia No último slide.

De onde veio a palavra (vá para o slide anterior) Matemática do grego - estudo, ciência) - a ciência das estruturas, ordem e relações, historicamente baseada nas operações de contar, medir e descrever a forma dos objetos. Objetos matemáticos são criados idealizando as propriedades de objetos matemáticos reais ou outros e escrevendo essas propriedades em uma linguagem formal.

Quem inventou a matemática (vá para o menu) O primeiro matemático é geralmente chamado de Tales de Mileto, que viveu no século VI. BC e. , um dos chamados Sete Sábios da Grécia. Seja como for, foi ele o primeiro a estruturar toda a base de conhecimento sobre esse assunto, que há muito se formou dentro do mundo conhecido por ele. No entanto, o autor do primeiro tratado de matemática que chegou até nós foi Euclides (século III aC). Ele também merece ser considerado o pai desta ciência.

Tópicos principais (vá para o menu) O campo da matemática inclui apenas as ciências em que a ordem ou a medida são consideradas, e não importa se são números, figuras, estrelas, sons ou qualquer outra coisa em que essa medida é encontrado. Assim, deve haver alguma ciência geral que explique tudo que diz respeito à ordem e à medida, sem entrar no estudo de nenhum assunto particular, e essa ciência deve ser chamada não pelo estrangeiro, mas pelo antigo nome já comum de Matemática Geral.

Definição (vá para o menu) A análise moderna é baseada na análise matemática clássica, que é considerada uma das três principais áreas da matemática (junto com a álgebra e a geometria). Ao mesmo tempo, o termo "análise matemática" no sentido clássico é usado principalmente em currículos e materiais. Na tradição anglo-americana, a análise matemática clássica corresponde aos programas do curso com o nome "cálculo"

Etimologia (vá para o menu) A palavra "matemática" vem de outro grego. , que significa estudo, conhecimento, ciência, etc. -Grego, originalmente significando receptivo, bem-sucedido, depois relacionado ao estudo, depois relacionado à matemática. Especificamente, em latim, significa a arte da matemática. O termo é outro -grego. no sentido moderno da palavra “matemática” já se encontra nas obras de Aristóteles (século IV a.C.), em "O Livro dos Selecionados Brevemente sobre as Nove Musas e sobre as Sete Artes Livres" (1672)

A matemática como ciência das relações quantitativas e das formas espaciais da realidade estuda o mundo ao nosso redor, os fenômenos naturais e sociais. Mas ao contrário de outras ciências, a matemática estuda suas propriedades especiais, abstraindo de outras. Assim, a geometria estuda a forma e o tamanho dos objetos, sem levar em conta suas outras propriedades: cor, massa, dureza, etc. Em geral, os objetos matemáticos (figura geométrica, número, valor) são criados pela mente humana e existem apenas no pensamento humano, em signos e símbolos que formam a linguagem matemática.

A abstração da matemática permite que ela seja aplicada em diversas áreas, é uma ferramenta poderosa para a compreensão da natureza.

As formas de conhecimento são divididas em dois grupos.

primeiro grupo constituem formas de cognição sensorial, realizadas com a ajuda de vários órgãos dos sentidos: visão, audição, olfato, tato, paladar.

Companhia segundo grupo incluem formas de pensamento abstrato, principalmente conceitos, declarações e inferências.

As formas de cognição sensorial são Sentir, percepção e representação.

Cada objeto tem não uma, mas muitas propriedades, e nós as conhecemos com a ajuda de sensações.

Sentimento- este é um reflexo de propriedades individuais de objetos ou fenômenos do mundo material, que afetam diretamente (ou seja, agora, no momento) nossos sentidos. São sensações de vermelho, quente, redondo, verde, doce, liso e outras propriedades individuais dos objetos [Getmanova, p. 7].

A partir de sensações individuais, a percepção de todo o objeto é formada. Por exemplo, a percepção de uma maçã é composta de tais sensações: esférica, vermelha, doce e azeda, perfumada, etc.

Percepçãoé um reflexo holístico de um objeto material externo que afeta diretamente nossos sentidos [Getmanova, p. oito]. Por exemplo, a imagem de um prato, xícara, colher, outros utensílios; a imagem do rio, se agora navegamos por ele ou estamos em suas margens; a imagem da floresta, se agora chegamos à floresta, etc.

As percepções, embora sejam um reflexo sensorial da realidade em nossas mentes, são amplamente dependentes da experiência humana. Por exemplo, um biólogo perceberá um prado de uma maneira (ele verá diferentes tipos de plantas), mas um turista ou um artista o perceberá de uma maneira completamente diferente.

atuação- esta é uma imagem sensual de um objeto que não é percebido atualmente por nós, mas que foi anteriormente percebido por nós de uma forma ou de outra [Getmanova, p. dez]. Por exemplo, podemos imaginar visualmente os rostos de conhecidos, nosso quarto na casa, uma bétula ou um cogumelo. Estes são exemplos reproduzindo representações, como vimos esses objetos.

A apresentação pode ser criativo, Incluindo fantástico. Apresentamos a bela Princesa Swan, ou o Czar Saltan, ou o Galo Dourado, e muitos outros personagens dos contos de fadas de A.S. Pushkin, a quem nunca vimos e nunca veremos. Estes são exemplos de apresentação criativa sobre a descrição verbal. Também imaginamos a Donzela da Neve, Papai Noel, uma sereia, etc.

Assim, as formas de conhecimento sensorial são sensações, percepções e representações. Com a ajuda deles, aprendemos os aspectos externos do objeto (seus recursos, incluindo propriedades).

Formas de pensamento abstrato são conceitos, declarações e conclusões.

Conceitos. Escopo e conteúdo dos conceitos

O termo "conceito" é geralmente usado para se referir a toda uma classe de objetos de natureza arbitrária que possuem uma certa propriedade característica (distintiva, essencial) ou um conjunto completo de tais propriedades, ou seja, propriedades que são exclusivas para membros dessa classe.

Do ponto de vista da lógica, o conceito é uma forma especial de pensamento, que se caracteriza pelo seguinte: 1) o conceito é produto de uma matéria altamente organizada; 2) o conceito reflete o mundo material; 3) o conceito aparece na consciência como meio de generalização; 4) o conceito significa atividade especificamente humana; 5) a formação de um conceito na mente de uma pessoa é inseparável de sua expressão por meio da fala, escrita ou símbolo.

Como surge em nossas mentes o conceito de qualquer objeto da realidade?

O processo de formação de um determinado conceito é um processo gradual em que várias etapas sucessivas podem ser vistas. Considere este processo usando o exemplo mais simples - a formação do conceito do número 3 em crianças.

1. No primeiro estágio da cognição, as crianças se familiarizam com vários conjuntos específicos, usando figuras de assuntos e mostrando vários conjuntos de três elementos (três maçãs, três livros, três lápis, etc.). As crianças não apenas veem cada um desses conjuntos, mas também podem tocar (tocar) os objetos que compõem esses conjuntos. Este processo de "ver" cria na mente da criança uma forma especial de reflexão da realidade, que é chamada percepção (sentimento).

2. Vamos retirar os objetos (objetos) que compõem cada conjunto e convidar as crianças a determinar se havia algo em comum que caracterize cada conjunto. O número de objetos em cada conjunto deveria ser impresso na mente das crianças, que havia “três” em todos os lugares. Se for assim, então uma nova forma foi criada nas mentes das crianças - ideia do número três.

3. No próximo estágio, com base em um experimento mental, as crianças devem ver que a propriedade expressa na palavra "três" caracteriza qualquer conjunto de diferentes elementos da forma (a; b; c). Assim, uma característica comum essencial de tais conjuntos será destacada: "ter três elementos". Agora podemos dizer que na mente das crianças formadas conceito de número 3.

conceito- esta é uma forma especial de pensamento, que reflete as propriedades essenciais (distintivas) de objetos ou objetos de estudo.

A forma linguística de um conceito é uma palavra ou um grupo de palavras. Por exemplo, “triângulo”, “número três”, “ponto”, “linha reta”, “triângulo isósceles”, “planta”, “árvore conífera”, “Rio Yenisei”, “mesa”, etc.

Os conceitos matemáticos têm várias características. A principal é que os objetos matemáticos sobre os quais é necessário formar um conceito não existem na realidade. Objetos matemáticos são criados pela mente humana. Estes são objetos ideais que refletem objetos ou fenômenos reais. Por exemplo, na geometria, estuda-se a forma e o tamanho dos objetos, sem levar em conta suas outras propriedades: cor, massa, dureza, etc. De tudo isso eles estão distraídos, abstraídos. Portanto, em geometria, em vez da palavra "objeto", eles dizem "figura geométrica". O resultado da abstração também são conceitos matemáticos como "número" e "valor".

Principais características algum conceitos são o seguinte: 1) volume; 2) contente; 3) relacionamentos entre conceitos.

Quando falam de um conceito matemático, geralmente se referem a todo o conjunto (conjunto) de objetos denotados por um termo (palavra ou grupo de palavras). Então, falando de um quadrado, eles significam todas as formas geométricas que são quadrados. Acredita-se que o conjunto de todos os quadrados seja o escopo do conceito de “quadrado”.

O alcance do conceito o conjunto de objetos ou objetos aos quais esse conceito é aplicável é chamado.

Por exemplo, 1) o escopo do conceito de "paralelogramo" é o conjunto de tais quadriláteros como paralelogramos propriamente ditos, losangos, retângulos e quadrados; 2) o escopo do conceito de "número natural de um dígito" será o conjunto - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Qualquer objeto matemático tem certas propriedades. Por exemplo, um quadrado tem quatro lados, quatro ângulos retos iguais às diagonais, as diagonais são bissetadas pelo ponto de interseção. Você pode especificar suas outras propriedades, mas entre as propriedades de um objeto existem essencial (distintivo) e não essencial.

A propriedade chama-se significativo (distintivo) para um objeto se for inerente a este objeto e sem ele não pode existir; propriedade é chamada insignificante para um objeto se ele pode existir sem ele.

Por exemplo, para um quadrado, todas as propriedades listadas acima são essenciais. A propriedade “lado AD é horizontal” será irrelevante para o quadrado ABCD (Fig. 1). Se este quadrado for girado, o lado AD será vertical.

Considere um exemplo para pré-escolares usando material visual (Fig. 2):

Descreva a figura.

Triângulo preto pequeno. Arroz. 2

Grande triângulo branco.

Como as figuras são semelhantes?

Como as figuras são diferentes?

Cor, tamanho.

O que tem um triângulo?

3 lados, 3 cantos.

Assim, as crianças descobrem as propriedades essenciais e não essenciais do conceito de "triângulo". Propriedades essenciais - "têm três lados e três ângulos", propriedades não essenciais - cor e tamanho.

A totalidade de todas as propriedades essenciais (distintivas) de um objeto ou objeto refletido neste conceito é chamada o conteúdo do conceito .

Por exemplo, para o conceito de "paralelogramo" o conteúdo é um conjunto de propriedades: tem quatro lados, tem quatro cantos, os lados opostos são paralelos aos pares, os lados opostos são iguais, os ângulos opostos são iguais, as diagonais nos pontos de interseção são divididos ao meio.

Há uma conexão entre o volume de um conceito e seu conteúdo: se o volume de um conceito aumenta, seu conteúdo diminui e vice-versa. Assim, por exemplo, o escopo do conceito "triângulo isósceles" faz parte do escopo do conceito "triângulo", e o conteúdo do conceito "triângulo isósceles" inclui mais propriedades do que o conteúdo do conceito "triângulo", pois um triângulo isósceles tem não apenas todas as propriedades de um triângulo, mas também outras inerentes apenas aos triângulos isósceles (“dois lados são iguais”, “dois ângulos são iguais”, “duas medianas são iguais”, etc.).

Os conceitos são divididos em único, comum e categorias.

Um conceito cujo volume é igual a 1 é chamado conceito único .

Por exemplo, os conceitos: "Rio Yenisei", "República de Tuva", "cidade de Moscou".

Conceitos cujo volume é maior que 1 são chamados em geral .

Por exemplo, os conceitos: "cidade", "rio", "quadrilátero", "número", "polígono", "equação".

No processo de estudar os fundamentos de qualquer ciência, as crianças geralmente formam conceitos gerais. Por exemplo, nas séries elementares, os alunos se familiarizam com conceitos como “número”, “número”, “números de um dígito”, “números de dois dígitos”, “números de vários dígitos”, “fração”, “compartilhar ”, “adição”, “termo”, “soma”, “subtração”, “subtração”, “redução”, “diferença”, “multiplicação”, “multiplicador”, “produto”, “divisão”, “divisível”, "divisor", "quociente", "bola, cilindro, cone, cubo, paralelepípedo, pirâmide, ângulo, triângulo, quadrilátero, quadrado, retângulo, polígono, círculo, "círculo", "curva", "polilinha", "segmento" , "comprimento do segmento", "raio", "reta", "ponto", "comprimento", "largura", "altura", "perímetro", "área da figura", "volume", "tempo", " velocidade", "massa", "preço", "custo" e muitos outros. Todos esses conceitos são conceitos gerais.

A matemática é a ciência das relações quantitativas e das formas espaciais do mundo real. Em estreita conexão com as demandas da ciência e da tecnologia, o estoque de relações quantitativas e formas espaciais estudadas pela matemática está em constante expansão, de modo que a definição acima deve ser entendida no sentido mais geral.

O objetivo de estudar matemática é aumentar a visão geral, a cultura do pensamento, a formação de uma visão de mundo científica.

Compreender a posição independente da matemática como uma ciência especial tornou-se possível após a acumulação de uma quantidade suficientemente grande de material factual e surgiu pela primeira vez na Grécia Antiga nos séculos VI e V aC. Este foi o início do período da matemática elementar.

Durante esse período, a pesquisa matemática lidava apenas com um estoque bastante limitado de conceitos básicos que surgiam com as demandas mais simples da vida econômica. Ao mesmo tempo, já está ocorrendo um aprimoramento qualitativo da matemática como ciência.

A matemática moderna é muitas vezes comparada a uma grande cidade. Esta é uma excelente comparação, pois em matemática, como em uma grande cidade, há um processo contínuo de crescimento e aperfeiçoamento. Novas áreas estão surgindo na matemática, novas teorias elegantes e profundas estão sendo construídas, como a construção de novos bairros e prédios. Mas o progresso da matemática não se limita a mudar a cara da cidade devido à construção de uma nova. Temos que mudar o velho. Velhas teorias são incluídas em novas, mais gerais; há necessidade de reforçar as fundações de edifícios antigos. Novas ruas precisam ser construídas para estabelecer conexões entre os bairros distantes da cidade matemática. Mas isso não é suficiente - o projeto arquitetônico exige um esforço considerável, pois a diversidade de estilos nas diferentes áreas da matemática não apenas estraga a impressão geral da ciência, mas também interfere na compreensão da ciência como um todo, estabelecendo vínculos entre suas várias partes.

Outra comparação é frequentemente usada: a matemática é comparada a uma grande árvore ramificada, que, sistematicamente, dá novos brotos. Cada galho da árvore é uma ou outra área da matemática. O número de ramos não permanece inalterado, à medida que novos ramos crescem, crescem juntos a princípio crescendo separadamente, alguns dos ramos secam, privados de sucos nutritivos. Ambas as comparações são bem sucedidas e transmitem muito bem o estado real das coisas.

Sem dúvida, a demanda pela beleza desempenha um papel importante na construção das teorias matemáticas. Escusado será dizer que a percepção da beleza é muito subjetiva e muitas vezes há ideias bastante feias sobre isso. E, no entanto, é de surpreender a unanimidade que os matemáticos colocam no conceito de "beleza": o resultado é considerado belo se, a partir de um pequeno número de condições, for possível obter uma conclusão geral relativa a uma ampla gama de objetos. Uma derivação matemática é considerada bela se for possível provar um fato matemático significativo nela por meio de um raciocínio simples e curto. A maturidade de um matemático, seu talento é adivinhado pelo quão desenvolvido é seu senso de beleza. Resultados esteticamente completos e matematicamente perfeitos são mais fáceis de entender, lembrar e usar; é mais fácil identificar sua relação com outras áreas do conhecimento.

A matemática em nosso tempo tornou-se uma disciplina científica com muitas áreas de pesquisa, um grande número de resultados e métodos. A matemática é agora tão grande que não é possível para uma pessoa cobri-la em todas as suas partes, não há possibilidade de ser um especialista universal nela. A perda de conexões entre suas direções separadas é certamente uma consequência negativa do rápido desenvolvimento desta ciência. No entanto, na base do desenvolvimento de todos os ramos da matemática há uma coisa comum - as origens do desenvolvimento, as raízes da árvore da matemática.

A geometria de Euclides como a primeira teoria das ciências naturais

• No século 3 aC, um livro de Euclides com o mesmo nome apareceu em Alexandria, na tradução russa de "Inícios". Do nome latino "Inícios" veio o termo "geometria elementar". Embora os escritos dos predecessores de Euclides não tenham chegado até nós, podemos formar alguma opinião sobre esses escritos a partir dos Elementos de Euclides. Nos "Inícios" existem seções que são logicamente muito pouco conectadas com outras seções. Sua aparência é explicada apenas pelo fato de terem sido introduzidas de acordo com a tradição e copiarem os "princípios" dos antecessores de Euclides.

  Os Elementos de Euclides consiste em 13 livros. Os livros de 1 a 6 são dedicados à planimetria, os livros de 7 a 10 são sobre aritmética e grandezas incomensuráveis ​​que podem ser construídas com compasso e régua. Os livros 11 a 13 foram dedicados à estereometria.

  Os "Inícios" começam com uma apresentação de 23 definições e 10 axiomas. Os primeiros cinco axiomas são "conceitos gerais", os demais são chamados de "postulados". Os dois primeiros postulados determinam ações com a ajuda de uma régua ideal, o terceiro - com a ajuda de uma bússola ideal. O quarto, "todos os ângulos retos são iguais entre si", é redundante, pois pode ser deduzido do resto dos axiomas. O último, quinto postulado dizia: "Se uma linha cai sobre duas linhas e forma ângulos laterais internos na soma de menos de duas linhas, então, com uma continuação ilimitada dessas duas linhas, elas se cruzarão no lado onde o ângulos são menores que duas linhas."

  Os cinco "conceitos gerais" de Euclides são os princípios de medição de comprimentos, ângulos, áreas, volumes: "iguais são iguais entre si", "se iguais se somam a iguais, as somas são iguais entre si", "se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais entre si", "combinando entre si são iguais entre si", "o todo é maior que a parte".

  Depois veio a crítica à geometria de Euclides. Euclides foi criticado por três motivos: pelo fato de considerar apenas as grandezas geométricas que podem ser construídas com compasso e régua; para quebrar geometria e aritmética e provar para números inteiros o que ele já havia provado para quantidades geométricas e, finalmente, para os axiomas de Euclides. O quinto postulado, o postulado mais difícil de Euclides, foi o mais fortemente criticado. Muitos o consideraram supérfluo, e que pode e deve ser deduzido de outros axiomas. Outros acreditavam que deveria ser substituída por uma mais simples e ilustrativa, equivalente a ela: "Por um ponto fora de uma linha reta, não se pode traçar mais do que uma linha reta em seu plano que não intercepte essa linha reta".

  A crítica da lacuna entre geometria e aritmética levou à extensão do conceito de número para um número real. As disputas sobre o quinto postulado levaram ao fato de que no início do século XIX N.I. Lobachevsky, J. Bolyai e K.F. Gauss construíram uma nova geometria na qual todos os axiomas da geometria de Euclides foram cumpridos, com exceção do quinto postulado. Foi substituído pela declaração oposta: "Em um plano através de um ponto fora de uma linha, mais de uma linha pode ser desenhada que não intercepta a dada." Essa geometria era tão consistente quanto a geometria de Euclides.

  O modelo de planimetria de Lobachevsky no plano euclidiano foi construído pelo matemático francês Henri Poincaré em 1882.

  Desenhe uma linha horizontal no plano euclidiano. Essa linha é chamada de absoluto (x). Os pontos do plano euclidiano situados acima do absoluto são os pontos do plano de Lobachevsky. O plano de Lobachevsky é um semiplano aberto acima do absoluto. Segmentos não euclidianos no modelo de Poincaré são arcos de círculos centrados no absoluto ou segmentos de reta perpendiculares ao absoluto (AB, CD). A figura no plano de Lobachevsky é a figura de um semiplano aberto acima do absoluto (F). O movimento não euclidiano é uma composição de um número finito de inversões centradas nas simetrias absoluta e axial cujos eixos são perpendiculares ao absoluto. Dois segmentos não euclidianos são iguais se um deles pode ser traduzido no outro por um movimento não euclidiano. Esses são os conceitos básicos da axiomática da planimetria de Lobachevsky.

  Todos os axiomas da planimetria de Lobachevsky são consistentes. "Uma linha não-euclidiana é um semicírculo com extremidades no absoluto, ou um raio com origem no absoluto e perpendicular ao absoluto." Assim, a afirmação do axioma do paralelismo de Lobachevsky vale não apenas para alguma linha a e um ponto A que não esteja nessa linha, mas também para qualquer linha a e qualquer ponto A que não esteja nela.

  Por trás da geometria de Lobachevsky, outras geometrias consistentes também surgiram: a geometria projetiva separada da euclidiana, a geometria euclidiana multidimensional desenvolvida, a geometria riemanniana surgiu (uma teoria geral dos espaços com uma lei arbitrária de medir comprimentos), etc. espaço euclidiano dimensional, a geometria por 40 - 50 anos se transformou em um conjunto de várias teorias, apenas um pouco semelhantes ao seu progenitor - a geometria de Euclides.

  As principais etapas da formação da matemática moderna. Estrutura da matemática moderna

• O acadêmico A.N. Kolmogorov identifica quatro períodos no desenvolvimento da matemática Kolmogorov A.N. - Matemática, Dicionário Enciclopédico de Matemática, Moscou, Enciclopédia Soviética, 1988: o nascimento da matemática, matemática elementar, matemática de variáveis, matemática moderna.

  Durante o desenvolvimento da matemática elementar, a teoria dos números cresce gradualmente a partir da aritmética. A álgebra é criada como um cálculo literal. E o sistema de apresentação da geometria elementar criado pelos antigos gregos - a geometria de Euclides - por dois milênios à frente tornou-se um modelo da construção dedutiva da teoria matemática.

  No século XVII, as exigências das ciências naturais e da tecnologia levaram à criação de métodos que permitem estudar matematicamente o movimento, os processos de mudança de quantidades e a transformação de figuras geométricas. Com o uso de variáveis ​​na geometria analítica e a criação do cálculo diferencial e integral, inicia-se o período da matemática das variáveis. As grandes descobertas do século XVII são o conceito de quantidade infinitesimal introduzido por Newton e Leibniz, a criação das bases para a análise de quantidades infinitesimais (análise matemática).

  O conceito de função vem à tona. A função torna-se o principal assunto de estudo. O estudo de uma função leva aos conceitos básicos da análise matemática: limite, derivada, diferencial, integral.

  O aparecimento da brilhante ideia de R. Descartes sobre o método das coordenadas também pertence a este tempo. É criada a geometria analítica, que permite estudar objetos geométricos por métodos de álgebra e análise. Por outro lado, o método das coordenadas abriu a possibilidade de uma interpretação geométrica de fatos algébricos e analíticos.

  O desenvolvimento posterior da matemática levou no início do século XIX à formulação do problema de estudar possíveis tipos de relações quantitativas e formas espaciais de um ponto de vista bastante geral.

  A conexão entre matemática e ciências naturais está se tornando cada vez mais complexa. Novas teorias surgem e surgem não apenas como resultado das demandas da ciência natural e da tecnologia, mas também como resultado da necessidade interna da matemática. Um exemplo notável de tal teoria é a geometria imaginária de N.I. Lobachevsky. O desenvolvimento da matemática nos séculos XIX e XX nos permite atribuí-la ao período da matemática moderna. O desenvolvimento da própria matemática, a matematização de vários campos da ciência, a penetração de métodos matemáticos em muitas áreas de atividade prática, o progresso da tecnologia da computação levaram ao surgimento de novas disciplinas matemáticas, por exemplo, pesquisa operacional, teoria dos jogos, economia matemática e outros.

  Os principais métodos na pesquisa matemática são as provas matemáticas - raciocínio lógico rigoroso. O pensamento matemático não se limita ao raciocínio lógico. A intuição matemática é necessária para a correta formulação do problema, para avaliar a escolha do método para resolvê-lo.

  Na matemática, os modelos matemáticos de objetos são estudados. O mesmo modelo matemático pode descrever as propriedades de fenômenos reais que estão distantes uns dos outros. Assim, a mesma equação diferencial pode descrever os processos de crescimento populacional e o decaimento de material radioativo. Para um matemático, não é a natureza dos objetos em consideração que é importante, mas as relações existentes entre eles.

  Existem dois tipos de raciocínio em matemática: dedução e indução.

  A indução é um método de pesquisa no qual uma conclusão geral é construída com base em premissas particulares.

  A dedução é um método de raciocínio por meio do qual uma conclusão de uma natureza particular segue de premissas gerais.

  A matemática desempenha um papel importante na pesquisa em ciências naturais, engenharia e humanidades. A razão para a penetração da matemática em vários ramos do conhecimento é que ela oferece modelos muito claros para estudar a realidade circundante, em contraste com os modelos menos gerais e mais vagos oferecidos por outras ciências. Sem a matemática moderna, com seu aparato lógico e computacional desenvolvido, o progresso em várias áreas da atividade humana seria impossível.

  A matemática não é apenas uma ferramenta poderosa para resolver problemas aplicados e uma linguagem universal da ciência, mas também um elemento de uma cultura comum.

  Características básicas do pensamento matemático

• Sobre esta questão, de particular interesse é a característica do pensamento matemático dada por A.Ya Khinchin, ou melhor, sua forma histórica específica - o estilo do pensamento matemático. Revelando a essência do estilo de pensamento matemático, ele destaca quatro características comuns a todas as épocas que distinguem visivelmente esse estilo dos estilos de pensamento de outras ciências.

  Em primeiro lugar, o matemático é caracterizado pelo domínio do esquema lógico de raciocínio levado ao limite. Um matemático que perde de vista esse esquema, pelo menos temporariamente, perde completamente a capacidade de pensar cientificamente. Essa característica peculiar do estilo de pensamento matemático tem muito valor em si mesma. Obviamente, ao máximo, permite monitorar a correção do fluxo de pensamento e garante contra erros; por outro lado, obriga o pensador a ter diante de seus olhos a totalidade das possibilidades disponíveis durante a análise e o obriga a levar em conta cada uma delas sem perder uma única (tais omissões são bem possíveis e, de fato, são muitas vezes observadas em outros estilos de pensamento).

  Em segundo lugar, a concisão, ou seja, o desejo consciente de encontrar sempre o caminho lógico mais curto que conduza a um determinado objetivo, a rejeição impiedosa de tudo o que é absolutamente necessário para a validade impecável do argumento. Um ensaio matemático de bom estilo, não tolera nenhuma “água”, nenhum embelezamento, enfraquecendo a tensão lógica do desabafo, distração para o lado; extrema mesquinhez, rigor severo de pensamento e sua apresentação são uma característica integral do pensamento matemático. Esse recurso é de grande valor não apenas para matemática, mas também para qualquer outro raciocínio sério. O laconismo, o desejo de não permitir nada supérfluo, ajuda tanto o pensador quanto seu leitor ou ouvinte a se concentrarem totalmente em uma determinada linha de pensamento, sem se distrair com idéias secundárias e sem perder o contato direto com a linha principal de raciocínio.

  Os luminares da ciência, via de regra, pensam e se expressam sucintamente em todos os campos do conhecimento, mesmo quando seu pensamento cria e expõe ideias fundamentalmente novas. Que impressão majestosa, por exemplo, a nobre mesquinhez do pensamento e da fala dos maiores criadores da física: Newton, Einstein, Niels Bohr! Talvez seja difícil encontrar um exemplo mais marcante do efeito profundo que o estilo de pensamento de seus criadores pode ter no desenvolvimento da ciência.

  Para a matemática, a concisão do pensamento é uma lei indiscutível, canonizada há séculos. Qualquer tentativa de sobrecarregar a apresentação com imagens não necessariamente necessárias (mesmo que agradáveis ​​e excitantes para os ouvintes), distrações, oratória é colocada sob suspeita legítima antecipadamente e automaticamente causa alerta crítico.

  Em terceiro lugar, uma dissecção clara do curso do raciocínio. Se, por exemplo, ao provar uma proposição, devemos considerar quatro casos possíveis, cada um dos quais pode ser dividido em um ou outro número de subcasos, então, em cada momento de raciocínio, o matemático deve lembrar claramente em qual caso e subcaso seu pensamento está agora sendo adquirido e quais casos e subcasos ele ainda deve considerar. Com todos os tipos de enumerações ramificadas, o matemático deve a cada momento estar ciente do conceito genérico para o qual ele enumera seus conceitos de espécies componentes. No pensamento comum, não científico, muitas vezes observamos confusão e saltos em tais casos, levando a confusão e erros de raciocínio. Muitas vezes acontece que uma pessoa começa a enumerar as espécies de um dos gêneros, e então imperceptivelmente para os ouvintes (e muitas vezes para si mesmo), usando a insuficiente distinção lógica do raciocínio, saltou para outro gênero e termina com a afirmação de que ambos os gêneros são agora classificados; e os ouvintes ou leitores não sabem onde está a fronteira entre as espécies do primeiro e do segundo tipo.

  Para tornar impossíveis tais confusões e saltos, os matemáticos há muito fazem uso extensivo de métodos externos simples de numeração de conceitos e julgamentos, às vezes (mas muito menos frequentemente) usados ​​em outras ciências. Aqueles casos possíveis ou aqueles conceitos genéricos que devem ser considerados neste raciocínio são renumerados antecipadamente; dentro de cada um desses casos, os subcasos a serem considerados que ele contém também são renumerados (às vezes, para distinção, usando algum outro sistema de numeração). Antes de cada parágrafo, onde se inicia a consideração de um novo subcaso, é colocada a designação aceita para este subcaso (por exemplo: II 3 - isso significa que começa aqui a consideração do terceiro subcaso do segundo caso, ou a descrição do terceiro tipo do segundo tipo, se estamos falando de classificação). E o leitor sabe que até se deparar com uma nova rubrica numérica, tudo o que é apresentado se aplica apenas a este caso e subcaso. Escusado será dizer que tal numeração é apenas um dispositivo externo, muito útil, mas de forma alguma obrigatório, e que a essência da questão não está nela, mas naquela divisão distinta de argumentação ou classificação, que ela tanto estimula quanto marca por si próprio.

  Em quarto lugar, precisão escrupulosa de símbolos, fórmulas, equações. Ou seja, “cada símbolo matemático tem um significado estritamente definido: substituí-lo por outro símbolo ou rearranjá-lo para outro lugar, como regra, acarreta uma distorção e, às vezes, destruição completa do significado dessa afirmação”.

  Tendo destacado as principais características do estilo matemático de pensamento, A.Ya Khinchin observa que a matemática (especialmente a matemática das variáveis) por sua natureza tem um caráter dialético e, portanto, contribui para o desenvolvimento do pensamento dialético. De fato, no processo de pensamento matemático há uma interação entre visual (concreto) e conceitual (abstrato). “Não podemos pensar em linhas”, escreveu Kant, “sem desenhá-las mentalmente, não podemos pensar em três dimensões para nós mesmos sem desenhar três linhas perpendiculares entre si a partir de um ponto”.

  A interação do concreto e do abstrato “levou” o pensamento matemático ao desenvolvimento de novos e novos conceitos e categorias filosóficas. Na matemática antiga (matemática das constantes), estes eram “número” e “espaço”, que foram originalmente refletidos na aritmética e na geometria euclidiana, e mais tarde na álgebra e em vários sistemas geométricos. A matemática das variáveis ​​foi “baseada” nos conceitos que refletiam o movimento da matéria – “finito”, “infinito”, “continuidade”, “discreto”, “infinitamente pequeno”, “derivado”, etc.

  Se falarmos sobre o atual estágio histórico no desenvolvimento do conhecimento matemático, então ele vai de acordo com o desenvolvimento posterior das categorias filosóficas: a teoria da probabilidade “domina” as categorias do possível e do aleatório; topologia - categorias de relação e continuidade; teoria da catástrofe - categoria de salto; teoria dos grupos - categorias de simetria e harmonia, etc.

  No pensamento matemático, os principais padrões de construção de conexões lógicas semelhantes em forma são expressos. Com sua ajuda, é realizada a transição do singular (digamos, de certos métodos matemáticos - axiomáticos, algorítmicos, construtivos, teóricos dos conjuntos e outros) para o especial e geral, para construções dedutivas generalizadas. A unidade dos métodos e do assunto da matemática determina as especificidades do pensamento matemático, nos permite falar de uma linguagem matemática especial que não apenas reflete a realidade, mas também sintetiza, generaliza e prevê o conhecimento científico. O poder e a beleza do pensamento matemático residem na maior clareza de sua lógica, na elegância das construções e na hábil construção das abstrações.

  Fundamentalmente novas possibilidades de atividade mental se abriram com a invenção do computador, com a criação da matemática da máquina. Mudanças significativas ocorreram na linguagem da matemática. Se a linguagem da matemática computacional clássica consistia em fórmulas de álgebra, geometria e análise, focada na descrição dos processos contínuos da natureza, estudados principalmente em mecânica, astronomia, física, então sua linguagem moderna é a linguagem de algoritmos e programas, incluindo a velha linguagem das fórmulas como um caso particular.

  A linguagem da matemática computacional moderna está se tornando cada vez mais universal, capaz de descrever sistemas complexos (multiparâmetros). Ao mesmo tempo, gostaria de enfatizar que, por mais perfeita que seja a linguagem matemática, aprimorada pela tecnologia da computação eletrônica, ela não rompe com a diversa linguagem natural “viva”. Além disso, a linguagem falada é a base de uma linguagem artificial. A este respeito, a recente descoberta de cientistas é de interesse. A questão é que a antiga língua dos índios aimarás, que é falada por cerca de 2,5 milhões de pessoas na Bolívia e no Peru, revelou-se extremamente conveniente para a informática. Já em 1610, o missionário jesuíta italiano Ludovico Bertoni, que compilou o primeiro dicionário aimará, notou a genialidade de seus criadores, que alcançaram alta pureza lógica. Em aimará, por exemplo, não há verbos irregulares nem exceções às poucas regras gramaticais claras. Essas características da língua aimará permitiram ao matemático boliviano Ivan Guzmán de Rojas criar um sistema de tradução simultânea por computador de qualquer uma das cinco línguas europeias incluídas no programa, cuja “ponte” entre as quais é a língua aimará. O computador "Aymara", criado por um cientista boliviano, foi muito apreciado por especialistas. Resumindo esta parte da pergunta sobre a essência do estilo matemático de pensamento, deve-se notar que seu conteúdo principal é a compreensão da natureza.

  Método Axiomático

• A axiomática é a principal forma de construção de uma teoria, desde a antiguidade até os dias atuais, confirmando sua universalidade e toda aplicabilidade.

  A construção de uma teoria matemática é baseada no método axiomático. A teoria científica é baseada em algumas provisões iniciais, chamadas axiomas, e todas as outras provisões da teoria são obtidas como consequências lógicas dos axiomas.

  O método axiomático surgiu na Grécia antiga, e atualmente é utilizado em quase todas as ciências teóricas e, sobretudo, na matemática.

  Comparando três geometrias, em certo sentido, complementares: Euclidiana (parabólica), Lobachevsky (hiperbólica) e Riemanniana (elíptica), deve-se notar que, além de algumas semelhanças, há uma grande diferença entre a geometria esférica, por um lado lado, e as geometrias de Euclides e Lobachevsky - por outro.

  A diferença fundamental entre a geometria moderna é que ela agora abrange as "geometrias" de um número infinito de diferentes espaços imaginários. No entanto, deve-se notar que todas essas geometrias são interpretações da geometria euclidiana e são baseadas no método axiomático usado pela primeira vez por Euclides.

  Com base em pesquisas, o método axiomático foi desenvolvido e amplamente utilizado. Como caso especial de aplicação deste método está o método de traços em estereometria, que permite resolver problemas de construção de seções em poliedros e alguns outros problemas posicionais.

  O método axiomático, desenvolvido pela primeira vez na geometria, tornou-se agora uma importante ferramenta de estudo em outros ramos da matemática, física e mecânica. Atualmente, o trabalho está em andamento para melhorar e estudar o método axiomático de construção de uma teoria com mais profundidade.

  O método axiomático de construção de uma teoria científica consiste em destacar os conceitos básicos, formular os axiomas das teorias, e todas as outras afirmações são derivadas de forma lógica, com base neles. Sabe-se que um conceito deve ser explicado com o auxílio de outros, que, por sua vez, também são definidos com o auxílio de alguns conceitos conhecidos. Assim, chegamos a conceitos elementares que não podem ser definidos em termos de outros. Esses conceitos são chamados de básicos.

  Quando provamos uma afirmação, um teorema, contamos com premissas que já são consideradas provadas. Mas essas premissas também foram provadas, tiveram que ser fundamentadas. No final, chegamos a declarações improváveis ​​e as aceitamos sem provas. Essas afirmações são chamadas de axiomas. O conjunto de axiomas deve ser tal que, confiando nele, se possa provar outras afirmações.

  Tendo destacado os principais conceitos e formulado os axiomas, então derivamos teoremas e outros conceitos de maneira lógica. Esta é a estrutura lógica da geometria. Axiomas e conceitos básicos formam as bases da planimetria.

  Uma vez que é impossível dar uma única definição dos conceitos básicos para todas as geometrias, os conceitos básicos da geometria devem ser definidos como objetos de qualquer natureza que satisfaçam os axiomas dessa geometria. Assim, na construção axiomática de um sistema geométrico, partimos de um certo sistema de axiomas, ou axiomática. Esses axiomas descrevem as propriedades dos conceitos básicos de um sistema geométrico, e podemos representar os conceitos básicos na forma de objetos de qualquer natureza que tenham as propriedades especificadas nos axiomas.

  Após formular e provar as primeiras afirmações geométricas, torna-se possível provar algumas afirmações (teoremas) com a ajuda de outras. As provas de muitos teoremas são atribuídas a Pitágoras e Demócrito.

  Hipócrates de Quios é creditado com a compilação do primeiro curso sistemático de geometria baseado em definições e axiomas. Este curso e seus processamentos posteriores foram chamados de "Elementos".

  Método axiomático de construção de uma teoria científica

• A criação de um método dedutivo ou axiomático de construção da ciência é uma das maiores conquistas do pensamento matemático. Exigiu o trabalho de muitas gerações de cientistas.

  Uma característica marcante do sistema dedutivo de apresentação é a simplicidade dessa construção, que permite descrevê-la em poucas palavras.

  O sistema dedutivo de apresentação se reduz a:

  1) à lista de conceitos básicos,

  2) à apresentação de definições,

  3) à apresentação dos axiomas,

  4) à apresentação de teoremas,

  5) para a prova destes teoremas.

  Um axioma é uma afirmação aceita sem prova.

  Um teorema é uma afirmação que segue de axiomas.

  A prova é parte integrante do sistema dedutivo, é o raciocínio que mostra que a verdade de uma afirmação segue logicamente da verdade de teoremas ou axiomas anteriores.

  Dentro de um sistema dedutivo, duas questões não podem ser resolvidas: 1) sobre o significado dos conceitos básicos, 2) sobre a verdade dos axiomas. Mas isso não significa que essas questões sejam geralmente insolúveis.

  A história das ciências naturais mostra que a possibilidade de uma construção axiomática de uma determinada ciência só aparece em um nível bastante elevado de desenvolvimento dessa ciência, com base em uma grande quantidade de material factual, o que permite identificar claramente os principais conexões e relações que existem entre os objetos estudados por esta ciência.

  Um exemplo da construção axiomática da ciência matemática é a geometria elementar. O sistema de axiomas da geometria foi exposto por Euclides (cerca de 300 aC) na obra "Começos" insuperável em seu significado. Este sistema sobreviveu em grande parte até hoje.

  Conceitos básicos: imagens básicas de ponto, linha, plano; deitar entre, pertencer, mover.

  A geometria elementar tem 13 axiomas, que são divididos em cinco grupos. No quinto grupo, há um axioma sobre as paralelas (postulado V de Euclides): através de um ponto de um plano, pode-se traçar apenas uma linha reta que não intercepta essa linha reta. Este é o único axioma que causou a necessidade de prova. As tentativas de provar o quinto postulado ocuparam os matemáticos por mais de 2 milênios, até a primeira metade do século XIX, ou seja, até o momento em que Nikolai Ivanovich Lobachevsky provou em seus escritos a completa desesperança dessas tentativas. Atualmente, a improbabilidade do quinto postulado é um fato matemático estritamente comprovado.

  Axioma sobre paralelo N.I. Lobachevsky substituiu o axioma: Seja uma linha reta e um ponto fora da linha reta dados em um determinado plano. Através deste ponto, pelo menos duas linhas paralelas podem ser desenhadas para a linha dada.

  Do novo sistema de axiomas N.I. Lobachevsky, com impecável rigor lógico, deduziu um sistema coerente de teoremas que constituem o conteúdo da geometria não-euclidiana. Ambas as geometrias de Euclides e Lobachevsky são iguais como sistemas lógicos.

  Três grandes matemáticos do século XIX quase simultaneamente, independentemente um do outro, chegaram aos mesmos resultados da improbabilidade do quinto postulado e da criação de uma geometria não-euclidiana.

  Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856)

  Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

  Janos Bolyai (1802-1860)

  Prova matemática

• O principal método na pesquisa matemática é a prova matemática - raciocínio lógico rigoroso. Em virtude da necessidade objetiva, aponta Membro Correspondente da Academia Russa de Ciências L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - A matemática moderna e seu ensino, Moscou, Nauka, 1985, o raciocínio lógico (que por sua natureza, se correto, também é rigoroso) é um método de matemática, a matemática é impensável sem eles. Deve-se notar que o pensamento matemático não se limita ao raciocínio lógico. Para a correta formulação do problema, para a avaliação de seus dados, para a seleção de significativos deles e para a escolha de um método para resolvê-lo, também é necessária a intuição matemática, que possibilita prever o resultado desejado antes obtém-se, para traçar o caminho da pesquisa com a ajuda de um raciocínio plausível. Mas a validade do fato em consideração é provada não pela verificação de vários exemplos, nem pela realização de vários experimentos (o que em si desempenha um grande papel na pesquisa matemática), mas de uma maneira puramente lógica, de acordo com o leis da lógica formal.

  Acredita-se que a prova matemática é a verdade última. Uma decisão baseada na lógica pura simplesmente não pode estar errada. Mas com o desenvolvimento da ciência e as tarefas diante dos matemáticos são colocadas cada vez mais complexas.

  “Entramos em uma era em que o aparato matemático se tornou tão complexo e pesado que, à primeira vista, não é mais possível dizer se o problema encontrado é verdadeiro ou não”, acredita Keith Devlin, da Universidade de Stanford, Califórnia, EUA. Ele cita como exemplo a “classificação de grupos finitos simples”, que foi formulada em 1980, mas uma prova exata completa ainda não foi dada. Muito provavelmente, o teorema é verdadeiro, mas é impossível dizer com certeza sobre isso.

  Uma solução de computador também não pode ser chamada de exata, porque tais cálculos sempre contêm um erro. Em 1998, Hales propôs uma solução assistida por computador para o teorema de Kepler, formulado em 1611. Este teorema descreve o empacotamento mais denso de bolas no espaço. A prova foi apresentada em 300 páginas e continha 40.000 linhas de código de máquina. 12 revisores verificaram a solução por um ano, mas nunca alcançaram 100% de confiança na correção da prova, e o estudo foi enviado para revisão. Como resultado, foi publicado apenas após quatro anos e sem a plena certificação dos revisores.

  Todos os cálculos mais recentes para problemas aplicados são feitos em um computador, mas os cientistas acreditam que, para maior confiabilidade, os cálculos matemáticos devem ser apresentados sem erros.

  A teoria da prova é desenvolvida em lógica e inclui três componentes estruturais: tese (o que deve ser provado), argumentos (um conjunto de fatos, conceitos geralmente aceitos, leis, etc. da ciência relevante) e demonstração (o procedimento para desdobrando a própria evidência; uma cadeia consistente de inferências quando A n-ésima inferência se torna uma das premissas da n+1ª inferência). As regras de prova são distinguidas, possíveis erros lógicos são indicados.

  A prova matemática tem muito em comum com os princípios estabelecidos pela lógica formal. Além disso, as regras matemáticas de raciocínio e operações obviamente serviram como um dos fundamentos no desenvolvimento do procedimento de prova em lógica. Em particular, pesquisadores da história da formação da lógica formal acreditam que uma vez, quando Aristóteles deu os primeiros passos para criar leis e regras de lógica, ele se voltou para a matemática e para a prática da atividade jurídica. Nessas fontes, ele encontrou material para as construções lógicas da teoria concebida.

  No século XX, o conceito de prova perdeu seu sentido estrito, o que aconteceu em conexão com a descoberta de paradoxos lógicos ocultos na teoria dos conjuntos e especialmente em conexão com os resultados que trouxeram os teoremas de K. Gödel sobre a incompletude da formalização.

  Em primeiro lugar, isso afetou a própria matemática, em relação à qual se acreditava que o termo "prova" não tem uma definição precisa. Mas se tal opinião (que ainda vale hoje) afeta a própria matemática, então eles chegam à conclusão de que a prova deve ser aceita não no sentido lógico-matemático, mas no psicológico. Além disso, uma visão semelhante é encontrada no próprio Aristóteles, que acreditava que provar significa conduzir um raciocínio que nos convenceria a tal ponto que, usando-o, convencemos os outros da correção de algo. Encontramos um certo tom da abordagem psicológica em A.E. Yesenin-Volpin. Ele se opõe fortemente à aceitação da verdade sem prova, ligando-a a um ato de fé, e ainda escreve: "Eu chamo a prova de um julgamento um método honesto que torna esse julgamento inegável". Yesenin-Volpin relata que sua definição ainda precisa ser esclarecida. Ao mesmo tempo, a própria caracterização da evidência como um “método honesto” não trai um apelo a uma avaliação moral-psicológica?

  Ao mesmo tempo, a descoberta dos paradoxos da teoria dos conjuntos e o surgimento dos teoremas de Gõdel apenas contribuíram para o desenvolvimento da teoria da prova matemática empreendida pelos intuicionistas, especialmente a direção construtivista, e D. Hilbert.

  Às vezes, acredita-se que a prova matemática é universal e representa uma versão ideal da prova científica. No entanto, não é o único método; existem outros métodos de procedimentos e operações baseados em evidências. Só é verdade que a prova matemática tem muito em comum com a prova lógico-formal implementada nas ciências naturais, e que a prova matemática tem certas especificidades, assim como o conjunto de técnicas-operações. É aqui que vamos parar, omitindo o geral que o torna relacionado a outras formas de evidência, ou seja, sem expandir o algoritmo, regras, erros, etc. em todas as etapas (mesmo as principais). processo de prova.

  A prova matemática é um raciocínio que tem a tarefa de substanciar a verdade (claro, no sentido matemático, isto é, como dedutibilidade, sentido) de uma afirmação.

  O conjunto de regras usadas na prova foi formado junto com o advento das construções axiomáticas da teoria matemática. Isso foi realizado de forma mais clara e completa na geometria de Euclides. Seus "Princípios" tornaram-se uma espécie de modelo padrão para a organização axiomática do conhecimento matemático, e por muito tempo assim permaneceu para os matemáticos.

  As declarações apresentadas na forma de uma determinada sequência devem garantir uma conclusão, que, observadas as regras de operação lógica, é considerada provada. Deve-se enfatizar que um certo raciocínio é uma prova apenas em relação a algum sistema axiomático.

  Ao caracterizar uma prova matemática, distinguem-se duas características principais. Em primeiro lugar, o fato de que a prova matemática exclui qualquer referência à evidência empírica. Todo o procedimento para fundamentar a verdade da conclusão é realizado dentro da estrutura da axiomática aceita. O acadêmico A.D. Aleksandrov enfatiza a esse respeito. Você pode medir os ângulos de um triângulo milhares de vezes e certificar-se de que eles são iguais a 2d. Mas a matemática não prova nada. Você provará isso a ele se deduzir a afirmação acima dos axiomas. Vamos repetir. Aqui a matemática está próxima dos métodos da escolástica, que também rejeita fundamentalmente a argumentação por fatos dados experimentalmente.

  Por exemplo, quando se descobriu a incomensurabilidade dos segmentos, ao provar esse teorema, excluiu-se o apelo a um experimento físico, pois, em primeiro lugar, o próprio conceito de "incomensurabilidade" é desprovido de significado físico e, em segundo lugar, os matemáticos não podiam, ao lidar com a abstração, trazer em auxílio extensões material-concreto, mensuráveis ​​por um dispositivo sensório-visual. A incomensurabilidade, em particular, do lado e da diagonal de um quadrado, é provada com base na propriedade dos inteiros usando o teorema de Pitágoras sobre a igualdade do quadrado da hipotenusa (respectivamente, a diagonal) à soma dos quadrados da pernas (dois lados de um triângulo retângulo). Ou quando Lobachevsky estava procurando confirmação para sua geometria, referindo-se aos resultados de observações astronômicas, então essa confirmação foi realizada por ele por meio de uma natureza puramente especulativa. As interpretações de Cayley-Klein e Beltrami da geometria não-euclidiana também apresentavam objetos tipicamente matemáticos em vez de físicos.

  A segunda característica da prova matemática é sua mais alta abstração, na qual difere dos procedimentos de prova de outras ciências. E novamente, como no caso do conceito de objeto matemático, não se trata apenas do grau de abstração, mas de sua natureza. O fato é que a prova atinge um alto nível de abstração em várias outras ciências, por exemplo, na física, na cosmologia e, claro, na filosofia, já que os problemas últimos do ser e do pensar se tornam o assunto desta última. A matemática, por outro lado, se distingue pelo fato de que as variáveis ​​funcionam aqui, cujo significado está em abstração de quaisquer propriedades específicas. Lembre-se que, por definição, variáveis ​​são signos que em si mesmos não têm significado e adquirem este último apenas quando os nomes de certos objetos são substituídos por eles (variáveis ​​individuais) ou quando propriedades e relações específicas são indicadas (variáveis ​​predicadas), ou, finalmente, , nos casos de substituição de uma variável por uma declaração significativa (variável proposicional).

  A característica notada determina a natureza da extrema abstração dos sinais utilizados na prova matemática, bem como das afirmações, que, pela inclusão de variáveis ​​em sua estrutura, se transformam em afirmações.

  O próprio procedimento da prova, definido na lógica como demonstração, procede com base nas regras de inferência, a partir das quais se realiza a transição de uma afirmação comprovada para outra, formando uma cadeia consistente de inferências. As mais comuns são as duas regras (substituição e derivação de conclusões) e o teorema da dedução.

  regra de substituição. Em matemática, a substituição é definida como a substituição de cada um dos elementos a de um determinado conjunto por algum outro elemento F(a) do mesmo conjunto. Na lógica matemática, a regra de substituição é formulada da seguinte forma. Se uma fórmula verdadeira M no cálculo proposicional contém uma letra, digamos A, então, substituindo-a onde quer que ela ocorra por uma letra arbitrária D, obtemos uma fórmula que também é verdadeira como a original. Isso é possível, e admissível justamente porque no cálculo das proposições se abstrai do significado das proposições (fórmulas)... Apenas os valores "verdadeiro" ou "falso" são levados em consideração. Por exemplo, na fórmula M: A--> (BUA) substituímos a expressão (AUB) no lugar de A, como resultado obtemos uma nova fórmula (AUB) -->[(BU(AUB) ].

  A regra para inferir conclusões corresponde à estrutura do silogismo condicionalmente categórico modus ponens (modo afirmativo) na lógica formal. Se parece com isso:

  uma .

  Dada uma proposição (a-> b) e também dada a. Segue b.

  Por exemplo: Se está chovendo, então o pavimento está molhado, está chovendo (a), portanto, o pavimento está molhado (b). Na lógica matemática, este silogismo é escrito da seguinte forma (a-> b) a-> b.

  A inferência é determinada, via de regra, separando por implicação. Se uma implicação (a-> b) e seu antecedente (a) são dados, então temos o direito de adicionar ao raciocínio (prova) também o consequente dessa implicação (b). O silogismo é coercitivo, constituindo um arsenal de meios dedutivos de prova, ou seja, atendendo absolutamente aos requisitos do raciocínio matemático.

  Um papel importante na prova matemática é desempenhado pelo teorema da dedução - o nome geral de vários teoremas, cujo procedimento permite estabelecer a demonstrabilidade da implicação: A-> B, quando há uma derivação lógica da fórmula B da fórmula A. Na versão mais comum do cálculo proposicional (no clássico, intuicionista e outros tipos de matemática), o teorema da dedução afirma o seguinte. Se um sistema de premissas G e uma premissa A são dados, a partir do qual, de acordo com as regras, B G, A B (- sinal de derivabilidade) pode ser deduzido, então segue-se que somente das premissas de G pode-se obter a sentença A --> B

  Consideramos o tipo, que é uma prova direta. Ao mesmo tempo, a chamada evidência indireta também é usada na lógica; existem provas não diretas que são implantadas de acordo com o esquema a seguir. Não tendo, por uma série de razões (inacessibilidade do objeto de estudo, perda da realidade de sua existência, etc.) a oportunidade de realizar uma prova direta da veracidade de qualquer afirmação, tese, constroem uma antítese. Eles estão convencidos de que a antítese leva a contradições e, portanto, é falsa. Então, do fato da falsidade da antítese se tira - com base na lei do terceiro excluído (a v) - a conclusão sobre a verdade da tese.

  Em matemática, uma das formas de prova indireta é amplamente utilizada - prova por contradição. É especialmente valioso e, de fato, indispensável na aceitação de conceitos e disposições fundamentais da matemática, por exemplo, o conceito de infinito real, que não pode ser introduzido de outra forma.

  A operação de prova por contradição é representada na lógica matemática como segue. Dada uma sequência de fórmulas G e a negação de A (G , A). Se isso implica B e sua negação (G , A B, não-B), então podemos concluir que a verdade de A segue da sequência de fórmulas G. Em outras palavras, a verdade da tese segue da falsidade da antítese .

  Referências:

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  7. Rede mundial Enternet.

A MATEMÁTICA é a ciência das relações quantitativas e formas espaciais do mundo real; A palavra grega (mathematice) vem da palavra grega (mathema), que significa "conhecimento", "ciência".

A matemática surgiu nos tempos antigos a partir das necessidades práticas das pessoas. Seu conteúdo e caráter mudaram ao longo da história e continuam a mudar agora. Das ideias do assunto primário sobre um inteiro positivo, bem como da ideia de um segmento de linha reta como a menor distância entre dois pontos, a matemática percorreu um longo caminho de desenvolvimento antes de se tornar uma ciência abstrata com métodos de pesquisa específicos.

A compreensão moderna das formas espaciais é muito ampla. Inclui, juntamente com objetos geométricos do espaço tridimensional (linha, círculo, triângulo, cone, cilindro, bola, etc.), também inúmeras generalizações - os conceitos de espaço multidimensional e de dimensão infinita, bem como objetos geométricos neles , e muito mais. Da mesma forma, as relações quantitativas são agora expressas não apenas por números inteiros positivos ou números racionais, mas também por meio de números complexos, vetores, funções etc. O desenvolvimento da ciência e da tecnologia força a matemática a expandir continuamente suas idéias sobre formas espaciais e relações quantitativas.

Os conceitos da matemática são abstraídos de fenômenos e objetos específicos; eles são obtidos como resultado da abstração de características qualitativas específicas de uma dada gama de fenômenos e objetos. Esta circunstância é extremamente importante para as aplicações da matemática. O número 2 não está intrinsecamente ligado a nenhum conteúdo de assunto específico. Pode referir-se a duas maçãs, ou dois livros, ou dois pensamentos. Aplica-se igualmente bem a todos esses e inúmeros outros objetos. Da mesma forma, as propriedades geométricas de uma bola não mudam porque ela é feita de vidro, aço ou estearina. É claro que abstrair as propriedades de um objeto empobrece nosso conhecimento sobre o objeto dado, sobre suas características materiais características. Ao mesmo tempo, é essa abstração das propriedades especiais de objetos individuais que confere semelhança aos conceitos, torna possível aplicar a matemática aos mais diversos fenômenos em sua natureza material. Assim, as mesmas leis da matemática, o mesmo aparato matemático podem ser aplicados de maneira bastante satisfatória à descrição de fenômenos naturais, técnicos, bem como de processos econômicos e sociais.

A abstração dos conceitos não é uma característica exclusiva da matemática; quaisquer conceitos científicos e gerais carregam um elemento de abstração das propriedades de coisas específicas. Mas na matemática o processo de abstração vai mais longe do que nas ciências naturais; em matemática, o processo de construção de uma abstração de diferentes níveis é amplamente utilizado. Sim, o conceito grupos surgiu abstraindo de algumas propriedades da totalidade dos números e outros conceitos abstratos. A matemática também se caracteriza pelo método de obtenção de seus resultados. Se o cientista natural recorre constantemente à experiência para provar suas posições, então o matemático prova seus resultados apenas por meio do raciocínio lógico. Em matemática, nenhum resultado pode ser considerado comprovado até que precise de uma prova lógica, e isso mesmo que experimentos especiais confirmassem esse resultado. Ao mesmo tempo, a verdade das teorias matemáticas também está sendo testada pela prática, mas essa verificação é de natureza especial: os conceitos básicos da matemática são formados como resultado de sua cristalização de longo prazo a partir de solicitações práticas particulares; as próprias regras da lógica foram desenvolvidas somente após milênios de observação do curso dos processos na natureza; a formulação de teoremas e a formulação de problemas em matemática também surgem das exigências da prática. A matemática surgiu de necessidades práticas, e suas conexões com a prática tornaram-se cada vez mais diversificadas e profundas ao longo do tempo.

Em princípio, a matemática pode ser aplicada ao estudo de qualquer tipo de movimento, uma grande variedade de fenômenos. Na realidade, seu papel em vários campos da atividade científica e prática não é o mesmo. Especialmente grande é o papel da matemática no desenvolvimento da física moderna, química e muitos campos da tecnologia, em geral, no estudo daqueles fenômenos em que mesmo uma abstração significativa de suas características qualitativas específicas torna possível capturar com bastante precisão o quantitativo. e padrões espaciais inerentes a eles. Por exemplo, o estudo matemático do movimento dos corpos celestes, baseado em abstrações significativas de suas características reais (corpos, por exemplo, são considerados pontos materiais), levou e leva a uma perfeita correspondência com seu movimento real. Com base nisso, é possível não apenas pré-calcular fenômenos celestes (eclipses, posições de planetas, etc.), mas também prever a existência de planetas que não foram observados antes (dessa forma, Plutão foi descoberto em 1930). , Netuno em 1846). Um lugar menor, mas ainda significativo, é ocupado pela matemática em ciências como economia, biologia e medicina. A originalidade qualitativa dos fenômenos estudados nessas ciências é tão grande e influencia a natureza de seu curso tão fortemente que a análise matemática pode até agora desempenhar apenas um papel secundário. De particular importância para as ciências sociais e biológicas é estatísticas matemáticas. A própria matemática também se desenvolve sob a influência dos requisitos das ciências naturais, tecnologia e economia. Mesmo nos últimos anos, surgiram várias disciplinas matemáticas que surgiram com base em solicitações práticas: teoria da informação, teoria dos jogos e etc

É claro que a transição de um estágio de cognição dos fenômenos para outro, mais preciso, impõe novas demandas à matemática e leva à criação de novos conceitos, novos métodos de pesquisa. Assim, as exigências da astronomia, passando do conhecimento puramente descritivo para o conhecimento exato, levaram ao desenvolvimento de conceitos básicos. trigonometria: no século 2 aC o antigo cientista grego Hiparco compilou tabelas de acordes correspondentes às modernas tabelas de senos; cientistas gregos antigos no século I Menelau e no século II Cláudio Ptolomeu criaram as bases trigonometria esférica. Um interesse crescente no estudo do movimento, trazido à vida pelo desenvolvimento da manufatura, navegação, artilharia, etc., levou no século XVII à criação de conceitos analise matemática, o desenvolvimento de uma nova matemática. A introdução generalizada de métodos matemáticos no estudo dos fenômenos naturais (principalmente astronômicos e físicos) e o desenvolvimento da tecnologia (especialmente a engenharia mecânica) levaram nos séculos XVIII e XIX ao rápido desenvolvimento da mecânica teórica e da teoria equações diferenciais. O desenvolvimento de idéias da estrutura molecular da matéria causou o rápido desenvolvimento teoria da probabilidade. Atualmente, podemos traçar o surgimento de novas áreas de pesquisa matemática através de muitos exemplos. Particularmente dignas de nota são as conquistas matemática computacional e informática e as transformações que produzem em muitos ramos da matemática.

Ensaio histórico. Na história da matemática, quatro períodos com diferenças essencialmente qualitativas podem ser delineados. É difícil separar esses períodos com precisão, pois cada um subsequente se desenvolveu dentro do anterior e, portanto, houve estágios de transição bastante significativos, quando novas ideias estavam surgindo e ainda não haviam se tornado norteadoras nem na própria matemática nem em suas aplicações.

1) O período do nascimento da matemática como disciplina científica independente; o início deste período se perde nas profundezas da história; Continuou até aproximadamente 6-5 séculos aC. e.

2) Período de matemática elementar, matemática de constantes; durou aproximadamente até o final do século XVII, quando o desenvolvimento de uma nova matemática "superior" foi bem longe.

3) Período de matemática de variáveis; caracterizada pela criação e desenvolvimento de análise matemática, o estudo de processos em seu movimento, desenvolvimento.

4) O período da matemática moderna; caracterizada por um estudo consciente e sistemático de possíveis tipos de relações quantitativas e formas espaciais. Na geometria, não apenas o espaço tridimensional real é estudado, mas também formas espaciais semelhantes a ele. Na análise matemática, são consideradas variáveis ​​que dependem não apenas de um argumento numérico, mas também de alguma linha (função), o que leva aos conceitos funcionalidade e operador. Álgebra transformada em uma teoria de operações algébricas sobre elementos de natureza arbitrária. Se ao menos fosse possível realizar essas operações neles. O início deste período pode naturalmente ser atribuído à primeira metade do século XIX.

No mundo antigo, a informação matemática era originalmente parte integrante do conhecimento dos sacerdotes e funcionários do governo. O estoque dessas informações, como pode ser julgado pelas já decifradas tábuas de argila babilônicas e egípcias papiros matemáticos, era relativamente grande. Há evidências de que mil anos antes do antigo cientista grego Pitágoras na Mesopotâmia, não apenas a teoria de Pitágoras era conhecida, mas o problema de encontrar todos os triângulos retângulos com lados inteiros também foi resolvido. No entanto, a grande maioria dos documentos da época são coleções de regras para realizar as operações aritméticas mais simples, bem como para calcular as áreas de figuras e volumes de corpos. Várias tabelas também foram preservadas para facilitar esses cálculos. Em todos os manuais, as regras não são formuladas, mas são explicadas com exemplos frequentes. A transformação da matemática em uma ciência formalizada com um método de construção dedutivo bem formado ocorreu na Grécia Antiga. No mesmo lugar, a criatividade matemática deixou de ser anônima. Prático aritmética e geometria na Grécia antiga teve um alto nível de desenvolvimento. O início da geometria grega está associado ao nome de Tales de Mileto (final do século VII aC - início do século VI aC), que trouxe conhecimento primário do Egito. Na escola de Pitágoras de Samos (século VI aC) estudava-se a divisibilidade dos números, somavam-se as progressões mais simples, estudavam-se os números perfeitos, introduziam-se em consideração vários tipos de médias (aritméticas, geométricas, harmónicas), os números pitagóricos foram encontrados novamente (triplos de inteiros, que podem ser lados de um triângulo retângulo). Nos séculos 5 e 6 aC. surgiram os famosos problemas da antiguidade - a quadratura de um círculo, a trissecção de um ângulo, a duplicação de um cubo, os primeiros números irracionais foram construídos. O primeiro livro sistemático de geometria é atribuído a Hipócrates de Quios (2ª metade do século V aC). Ao mesmo tempo, o sucesso significativo da escola platônica, associado às tentativas de explicar racionalmente a estrutura da matéria do Universo, pertence à busca de todos os poliedros regulares. Na fronteira dos séculos 5 e 4 aC. Demócrito, baseado em ideias atomísticas, propôs um método para determinar os volumes dos corpos. Este método pode ser considerado um protótipo do método infinitesimal. No século 4 aC. Eudoxo de Cnido desenvolveu a teoria das proporções. O século 3 aC é caracterizado pela maior intensidade de criatividade matemática. (1º século da chamada era alexandrina). No século 3 aC. matemáticos como Euclides, Arquimedes, Apolônio de Perga, Eratóstenes trabalharam; mais tarde - Heron (século I dC) Diofanto (século III). Em seus "Elementos" Euclides recolheu e submeteu ao processamento lógico final das realizações no campo da geometria; ao mesmo tempo, ele lançou as bases da teoria dos números. O principal mérito de Arquimedes na geometria foi a determinação de várias áreas e volumes. Diofanto estudou principalmente a solução de equações em números racionais positivos. A partir do final do século III, começou o declínio da matemática grega.

A matemática alcançou um desenvolvimento significativo na China e na Índia antigas. Os matemáticos chineses são caracterizados por uma alta técnica para realizar cálculos e um interesse no desenvolvimento de métodos algébricos gerais. Nos séculos II e I aC. Matemática em Nove Livros foi escrito. Ele contém as mesmas técnicas para extrair a raiz quadrada, que também são apresentadas na escola moderna: métodos para resolver sistemas de equações algébricas lineares, uma formulação aritmética do teorema de Pitágoras.

A matemática indiana, cujo apogeu remonta aos séculos 5 e 12, é creditada com o uso da numeração decimal moderna, bem como zero para indicar a ausência de unidades desta categoria, e o mérito de um desenvolvimento muito mais amplo da álgebra do que isso de Diofanto, que opera não apenas com números racionais positivos, mas também com números negativos e irracionais.

As conquistas árabes levaram ao fato de que da Ásia Central à Península Ibérica, os cientistas usaram a língua árabe durante os séculos IX e XV. No século IX, o cientista da Ásia Central al-Khwarizmi estabeleceu pela primeira vez a álgebra como uma ciência independente. Durante este período, muitos problemas geométricos receberam uma formulação algébrica. O sírio al-Battani introduziu as funções trigonométricas seno, tangente e cotangente.O cientista de Samarcanda al-Kashi (século 15) introduziu frações decimais e fez uma apresentação sistemática, formulou a fórmula binomial de Newton.

Um período essencialmente novo no desenvolvimento da matemática começou no século XVII, quando a ideia de movimento, mudança, entrou claramente na matemática. A consideração das variáveis ​​e das relações entre elas levou aos conceitos de funções, derivadas e integrais Cálculo diferencial, Cálculo integral, ao surgimento de uma nova disciplina matemática - a análise matemática.

Do final do século 18 ao início do século 19, uma série de características essencialmente novas foram observadas no desenvolvimento da matemática. A mais característica delas foi o interesse em uma revisão crítica de uma série de questões na fundamentação da matemática. As vagas noções de infinitesimais foram substituídas por formulações precisas associadas ao conceito de limite.

Na álgebra do século XIX, a questão da possibilidade de resolver equações algébricas em radicais foi esclarecida (cientista norueguês N. Abel, cientista francês E. Galois).

Nos séculos 19 e 20, os métodos numéricos da matemática cresceram em um ramo independente - a matemática computacional. Aplicações importantes para a nova tecnologia computacional foram encontradas por um ramo da matemática que se desenvolveu nos séculos 19 e 20 - a lógica matemática.

O material foi preparado por Leshchenko O.V., professor de matemática.