Uma equação com uma incógnita, que, depois de abrir os colchetes e reduzir os termos semelhantes, assume a forma
ax + b = 0, onde a e b são números arbitrários, é chamado equação linear com um desconhecido. Hoje vamos descobrir como resolver essas equações lineares.
Por exemplo, todas as equações:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linear.
O valor da incógnita que transforma a equação em uma verdadeira igualdade é chamado decisão ou a raiz da equação .
Por exemplo, se na equação 3x + 7 \u003d 13 substituirmos o número 2 em vez da incógnita x, obteremos a igualdade correta 3 2 + 7 \u003d 13. Portanto, o valor x \u003d 2 é a solução ou a raiz da equação.
E o valor x \u003d 3 não transforma a equação 3x + 7 \u003d 13 em uma verdadeira igualdade, pois 3 2 + 7 ≠ 13. Portanto, o valor x \u003d 3 não é uma solução ou uma raiz da equação.
A solução de quaisquer equações lineares é reduzida à solução de equações da forma
ax + b = 0.
Transferimos o termo livre do lado esquerdo da equação para o direito, enquanto alteramos o sinal na frente de b para o oposto, obtemos
Se a ≠ 0, então x = – b/a .
Exemplo 1 Resolva a equação 3x + 2 =11.
Transferimos 2 do lado esquerdo da equação para o direito, enquanto alteramos o sinal na frente de 2 para o oposto, obtemos
3x \u003d 11 - 2.
Vamos fazer a subtração, então
3x = 9.
Para encontrar x, você precisa dividir o produto por um fator conhecido, ou seja,
x = 9:3.
Portanto, o valor x = 3 é a solução ou a raiz da equação.
Resposta: x = 3.
Se a = 0 e b = 0, então obtemos a equação 0x \u003d 0. Essa equação tem infinitas soluções, pois ao multiplicar qualquer número por 0, obtemos 0, mas b também é 0. A solução para essa equação é qualquer número.
Exemplo 2 Resolva a equação 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Vamos expandir os colchetes:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Aqui estão os membros semelhantes:
0x = 0.
Resposta: x é qualquer número.
Se a = 0 e b ≠ 0, então obtemos a equação 0x = - b. Esta equação não tem solução, pois ao multiplicar qualquer número por 0, obtemos 0, mas b ≠ 0.
Exemplo 3 Resolva a equação x + 8 = x + 5.
Vamos agrupar os termos contendo incógnitas no lado esquerdo e os termos livres no lado direito:
x - x \u003d 5 - 8.
Aqui estão os membros semelhantes:
0x = - 3.
Resposta: não há soluções.
No figura 1 o esquema para resolver a equação linear é mostrado
Vamos compor um esquema geral para resolver equações com uma variável. Considere a solução do exemplo 4.
Exemplo 4 Vamos resolver a equação
1) Multiplique todos os termos da equação pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores, igual a 12.
2) Após a redução, obtemos
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Para separar membros contendo membros desconhecidos e livres, abra os colchetes:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Agrupamos em uma parte os termos contendo incógnitas e na outra - termos livres:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Aqui estão os membros semelhantes:
- 22x = - 154.
6) Dividindo por - 22 , obtemos
x = 7.
Como você pode ver, a raiz da equação é sete.
Em geral, tal equações podem ser resolvidas da seguinte forma:
a) trazer a equação para a forma inteira;
b) colchetes abertos;
c) agrupar os termos contendo a incógnita em uma parte da equação e os termos livres na outra;
d) trazer sócios semelhantes;
e) resolva uma equação da forma aх = b, que foi obtida depois de trazer termos semelhantes.
No entanto, este esquema não é necessário para todas as equações. Ao resolver muitas equações mais simples, é preciso começar não da primeira, mas da segunda ( Exemplo. 2), terceiro ( Exemplo. 13) e mesmo da quinta etapa, como no exemplo 5.
Exemplo 5 Resolva a equação 2x = 1/4.
Encontramos o desconhecido x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .
Considere a solução de algumas equações lineares encontradas no exame de estado principal.
Exemplo 6 Resolva a equação 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Resposta: - 0,125
Exemplo 7 Resolva a equação - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Resposta: 2,3
Exemplo 8 Resolva a equação
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
Exemplo 9 Encontre f(6) se f (x + 2) = 3 7's
Solução
Como precisamos encontrar f(6), e sabemos que f (x + 2),
então x + 2 = 6.
Resolvemos a equação linear x + 2 = 6,
obtemos x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Se x = 4 então
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Resposta: 27.
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Resolvemos a equação racional fracionária 5/x = 100. Essa equação pode ser resolvida de duas maneiras. Vejamos cada um deles.
Plano para resolver a equação 5/x = 100
- encontre o intervalo de valores admissíveis para a equação dada;
- a primeira maneira de resolver uma equação é considerando-a como uma proporção;
- a segunda maneira de resolver a equação é encontrar o divisor desconhecido.
Encontrando o termo desconhecido da proporção
Primeiro, vamos encontrar a equação ODZ. Há um sinal de fração no lado esquerdo da equação e é equivalente ao sinal de divisão. Sabemos que não se pode dividir por zero. Portanto, da ODZ devemos excluir os valores que transformam o denominador em zero.
ODZ: x pertence a R\(0).
Agora vamos olhar para a nossa equação como uma proporção.
Propriedade básica da proporção.
O produto dos termos extremos de uma proporção é igual ao produto dos seus termos médios.
Por proporção a:b = c:d ou a/b = c/d a propriedade principal é escrita assim: ad = bc.
Vamos aplicá-lo e obter uma equação linear:
100 * x = 5 * 1;
Divida ambos os lados da equação por 100, eliminando assim o coeficiente na frente da variável x:
Encontrando o divisor desconhecido
Vamos olhar para a equação como privada. Onde o dividendo é 5, o divisor é x, e o resultado da divisão é o quociente é 100.
Lembre-se da regra de como encontrar um divisor desconhecido - você precisa dividir o dividendo pelo quociente.
A raiz encontrada pertence à equação ODZ.
Vamos verificar a solução encontrada da equação. Para fazer isso, substituímos a raiz encontrada na equação original e realizamos os cálculos:
A solução foi encontrada corretamente.
Uma das habilidades mais importantes em ingresso no 5º anoé a capacidade de resolver equações simples. Como a 5ª série não fica tão longe do ensino fundamental, não há tantos tipos de equações que um aluno possa resolver. Vamos apresentá-lo a todos os principais tipos de equações que você precisa para poder resolver se quiser matricular-se em uma escola de física e matemática.
1 tipo: "bulboso"
Estas são equações que você quase certamente encontrará quando ingresso em qualquer escola ou um círculo de 5ª série como uma tarefa separada. Eles são fáceis de distinguir dos outros: eles contêm uma variável apenas uma vez. Por exemplo, ou.
Eles são resolvidos de maneira muito simples: você só precisa "chegar" ao desconhecido, "removendo" gradualmente tudo o que é supérfluo que o cerca - como se estivesse descascando uma cebola - daí o nome. Para resolvê-lo, basta lembrar algumas regras da segunda aula. Vamos listar todos eles:
Adição
- termo1 + termo2 = soma
- termo1 = soma - termo2
- termo2 = soma - termo1
Subtração
- minuendo - subtraendo = diferença
- minuendo = subtraendo + diferença
- subtraendo = minuendo - diferença
Multiplicação
- multiplicador1 * multiplicador2 = produto
- multiplicador1 = produto: multiplicador2
- multiplicador2 = produto: multiplicador1
Divisão
- dividendo: divisor = quociente
- dividendo = divisor * quociente
- divisor = dividendo: quociente
Vejamos um exemplo de como aplicar essas regras.
Observe que compartilhamos em e obtemos . Nesta situação, conhecemos o divisor e o quociente. Para encontrar o dividendo, você precisa multiplicar o divisor pelo quociente:
Ficamos um pouco mais perto de nós mesmos. Agora vemos que para adicionado e obtido. Então, para encontrar um dos termos, você precisa subtrair o termo conhecido da soma:
E mais uma "camada" é removida do desconhecido! Agora vemos uma situação com um valor conhecido do produto () e um multiplicador conhecido ().
Agora a situação é "reduzida - subtraída = diferença"
E o último passo é o produto conhecido () e um dos fatores ()
2 tipo: equações com colchetes
Equações deste tipo são mais frequentemente encontradas em problemas - 90% de todos os problemas para ingresso no 5º ano. Diferente "equações da cebola" a variável aqui pode ocorrer várias vezes, portanto, é impossível resolvê-la usando os métodos do parágrafo anterior. Equações típicas: ou
A principal dificuldade é abrir corretamente os colchetes. Depois de conseguirmos fazer isso corretamente, devemos trazer termos semelhantes (números para números, variáveis para variáveis), e depois obter o mais simples "equação da cebola" que podemos resolver. Mas as primeiras coisas primeiro.
Expansão do suporte. Daremos algumas regras que devem ser usadas neste caso. Mas, como mostra a prática, o aluno começa a abrir corretamente os colchetes somente após 70 a 80 problemas resolvidos. A regra básica é esta: qualquer fator fora dos colchetes deve ser multiplicado por cada termo dentro dos colchetes. E o menos antes do colchete muda o sinal de todas as expressões que estão dentro. Assim, as regras básicas de divulgação:
Trazendo semelhante. Tudo é muito mais fácil aqui: transferindo os termos pelo sinal de igual, você precisa garantir que, por um lado, haja apenas termos com o desconhecido e, por outro, apenas números. A regra básica é esta: cada termo realizado muda de signo - se era com, então se tornará com, e vice-versa. Após uma transferência bem-sucedida, é necessário contar o número total de incógnitas, o número final do outro lado da igualdade que as variáveis, e resolver um simples "equação da cebola".