Deixe a reta passar pelos pontos M 1 (x 1; y 1) e M 2 (x 2; y 2). A equação de uma linha reta que passa pelo ponto M 1 tem a forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

Onde k - coeficiente ainda desconhecido.

Como a linha reta passa pelo ponto M 2 (x 2 y 2), as coordenadas desse ponto devem satisfazer a equação (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

A partir daqui encontramos Substituindo o valor encontrado k na equação (10.6), obtemos a equação de uma reta que passa pelos pontos M 1 e M 2:

Supõe-se que nesta equação x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Se x 1 \u003d x 2, a linha reta que passa pelos pontos M 1 (x 1, y I) e M 2 (x 2, y 2) é paralela ao eixo y. Sua equação é x = x 1 .

Se y 2 \u003d y I, a equação da linha reta pode ser escrita como y \u003d y 1, a linha reta M 1 M 2 é paralela ao eixo x.

Equação de uma linha reta em segmentos

Deixe a linha reta interceptar o eixo Ox no ponto M 1 (a; 0), e o eixo Oy - no ponto M 2 (0; b). A equação terá a forma:
Essa.
. Essa equação é chamada a equação de uma linha reta em segmentos, porque os números a e b indicam quais segmentos a linha reta corta nos eixos coordenados.

Equação de uma linha reta que passa por um ponto dado perpendicular a um vetor dado

Vamos encontrar a equação de uma reta que passa por um dado ponto Mo (x O; y o) perpendicular a um dado vetor diferente de zero n = (A; B).

Pegue um ponto arbitrário M(x; y) na linha reta e considere o vetor M 0 M (x - x 0; y - y o) (veja a Fig. 1). Como os vetores n e M o M são perpendiculares, seu produto escalar é igual a zero: isto é,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

A equação (10.8) é chamada equação de uma reta que passa por um ponto dado perpendicular a um vetor dado .

O vetor n = (A; B) perpendicular à linha é chamado normal vetor normal desta linha .

A equação (10.8) pode ser reescrita como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

onde A e B são as coordenadas do vetor normal, C \u003d -Ax o - Vu o - membro livre. Equação (10,9) é a equação geral de uma reta(ver Fig.2).

Fig.1 Fig.2

Equações canônicas da reta

,

Onde
são as coordenadas do ponto pelo qual a linha passa, e
- vetor de direção.

Curvas do círculo de segunda ordem

Um círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto dado, que é chamado de centro.

Equação canônica de um círculo de raio R centrado em um ponto
:

Em particular, se o centro da estaca coincidir com a origem, a equação ficará assim:

Elipse

Uma elipse é um conjunto de pontos em um plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados e , que são chamados de focos, é um valor constante
, maior que a distância entre os focos
.

A equação canônica de uma elipse cujos focos estão no eixo Ox e cuja origem está no meio entre os focos tem a forma
G de uma o comprimento do semieixo maior; b é o comprimento do semieixo menor (Fig. 2).

Propriedades de uma reta na geometria euclidiana.

Existem infinitas linhas que podem ser traçadas através de qualquer ponto.

Por quaisquer dois pontos não coincidentes, há apenas uma linha reta.

Duas linhas não coincidentes no plano se cruzam em um único ponto ou são

paralelo (segue do anterior).

No espaço tridimensional, existem três opções para a posição relativa de duas linhas:

• linhas se cruzam;

• linhas retas são paralelas;

• linhas retas se cruzam.

Em linha reta linha- curva algébrica de primeira ordem: no sistema de coordenadas cartesianas, uma linha reta

é dado no plano por uma equação de primeiro grau (equação linear).

Equação geral de uma reta.

Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem

Ah + Wu + C = 0,

e constante A, B não é igual a zero ao mesmo tempo. Essa equação de primeira ordem é chamada em geral

equação da reta. Dependendo dos valores das constantes A, B e A PARTIR DE Os seguintes casos especiais são possíveis:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- a linha passa pela origem

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- linha reta paralela ao eixo Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linha reta paralela ao eixo UO

. B = C = 0, A ≠ 0- a linha coincide com o eixo UO

. A = C = 0, B ≠ 0- a linha coincide com o eixo Oh

A equação de uma linha reta pode ser representada de várias formas, dependendo de qualquer

condições iniciais.

Equação de uma reta por um ponto e um vetor normal.

Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B)

perpendicular à reta dada pela equação

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma reta que passa por um ponto A(1, 2) perpendicular ao vetor (3, -1).

Solução. Vamos compor em A \u003d 3 e B \u003d -1 a equação da linha reta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar o coeficiente C

substituímos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. Obtemos: 3 - 2 + C = 0, portanto

C = -1. Total: a equação desejada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equação de uma linha reta que passa por dois pontos.

Sejam dados dois pontos no espaço M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M2 (x 2, y 2 , z 2), então equação de linha reta,

passando por estes pontos:

Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero. No

plano, a equação de uma linha reta escrita acima é simplificada:

E se x 1 ≠ x 2 e x = x 1, E se x 1 = x 2 .

Fração = k chamado fator de inclinação direto.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).

Solução. Aplicando a fórmula acima, obtemos:

Equação de uma linha reta por um ponto e uma inclinação.

Se a equação geral de uma reta Ah + Wu + C = 0 trazer para o formulário:

e designar , então a equação resultante é chamada

equação de uma linha reta com inclinação k.

A equação de uma linha reta em um ponto e um vetor diretor.

Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através do vetor normal, você pode entrar na tarefa

uma linha reta que passa por um ponto e um vetor direcional de uma linha reta.

Definição. Todo vetor diferente de zero (α 1 , α 2), cujos componentes satisfazem a condição

Aα 1 + Bα 2 = 0 chamado vetor de direção da reta.

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).

Solução. Vamos procurar a equação da linha reta desejada na forma: Ax + Por + C = 0. De acordo com a definição,

os coeficientes devem satisfazer as condições:

1 * A + (-1) * B = 0, ou seja A = B

Então a equação de uma reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0.

no x=1, y=2 Nós temos C/A = -3, ou seja equação desejada:

x + y - 3 = 0

Equação de uma linha reta em segmentos.

Se na equação geral da reta Ah + Wu + C = 0 C≠0, então, dividindo por -C, obtemos:

ou onde

O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente a é a coordenada do ponto de interseção

reta com eixo Oh, uma b- a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo UO.

Exemplo. A equação geral de uma reta é dada x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta linha reta em segmentos.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equação normal de uma reta.

Se ambos os lados da equação Ah + Wu + C = 0 dividir por número , que é chamado

fator de normalização, então obtemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 -equação normal de uma reta.

O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que µ * C< 0.

R- o comprimento da perpendicular baixada da origem até a linha,

uma φ - o ângulo formado por esta perpendicular com a direção positiva do eixo Oh.

Exemplo. Dada a equação geral de uma linha reta 12x - 5a - 65 = 0. Necessário para escrever vários tipos de equações

esta linha reta.

A equação desta linha reta em segmentos:

A equação desta linha com inclinação: (dividir por 5)

Equação de uma reta:

cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.

Deve-se notar que nem toda linha reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, linhas retas,

paralelas aos eixos ou passando pela origem.

Ângulo entre linhas em um plano.

Definição. Se duas linhas são dadas y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, então o ângulo agudo entre essas linhas

será definido como

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2. Duas retas são perpendiculares

E se k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direto Ah + Wu + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelos quando os coeficientes são proporcionais

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Se também С 1 \u003d λС, então as linhas coincidem. Coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas

são encontrados como uma solução para o sistema de equações dessas linhas.

A equação de uma reta que passa por um ponto dado é perpendicular a uma reta dada.

Definição. Uma linha que passa por um ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y = kx + b

representado pela equação:

A distância de um ponto a uma linha.

Teorema. Se for dado um ponto M(x 0, y 0), então a distância até a linha Ah + Wu + C = 0 definido como:

Prova. Deixe o ponto M 1 (x 1, y 1)- a base da perpendicular caiu do ponto M para um dado

direto. Então a distância entre os pontos M e M 1:

(1)

Coordenadas x 1 e 1 pode ser encontrada como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicularmente

dada linha. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, temos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Este artigo continua o tópico da equação de uma linha reta em um plano: considere esse tipo de equação como a equação geral de uma linha reta. Vamos definir um teorema e dar sua prova; Vamos descobrir o que é uma equação geral incompleta de uma linha reta e como fazer transições de uma equação geral para outros tipos de equações de uma linha reta. Consolidaremos toda a teoria com ilustrações e resolução de problemas práticos.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Seja um sistema de coordenadas retangular O x y dado no plano.

Teorema 1

Qualquer equação do primeiro grau, tendo a forma A x + B y + C \u003d 0, onde A, B, C são alguns números reais (A e B não são iguais a zero ao mesmo tempo) define uma linha reta em um sistema de coordenadas retangulares no plano. Por sua vez, qualquer linha em um sistema de coordenadas retangulares no plano é determinada por uma equação que tem a forma A x + B y + C = 0 para um determinado conjunto de valores A, B, C.

Prova

Este teorema consiste em dois pontos, vamos provar cada um deles.

1. Vamos provar que a equação A x + B y + C = 0 define uma linha no plano.

Seja algum ponto M 0 (x 0 , y 0) cujas coordenadas correspondem à equação A x + B y + C = 0 . Assim: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtraia dos lados esquerdo e direito das equações A x + B y + C \u003d 0 os lados esquerdo e direito da equação A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, obtemos uma nova equação que se parece com A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . É equivalente a A x + B y + C = 0 .

A equação resultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 é uma condição necessária e suficiente para a perpendicularidade dos vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Assim, o conjunto de pontos M (x, y) define em um sistema de coordenadas retangular uma linha reta perpendicular à direção do vetor n → = (A, B) . Podemos supor que não é assim, mas então os vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) não seriam perpendiculares, e a igualdade A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 não seria verdade.

Portanto, a equação A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 define uma certa linha em um sistema de coordenadas retangulares no plano e, portanto, a equação equivalente A x + B y + C \u003d 0 define a mesma linha. Assim provamos a primeira parte do teorema.

1. Vamos provar que qualquer linha reta em um sistema de coordenadas retangulares em um plano pode ser dada por uma equação de primeiro grau A x + B y + C = 0 .

Vamos definir uma linha reta a em um sistema de coordenadas retangulares no plano; ponto M 0 (x 0 , y 0) por onde passa esta reta, assim como o vetor normal desta reta n → = (A , B) .

Deixe também existir algum ponto M (x , y) - um ponto flutuante da linha. Neste caso, os vetores n → = (A , B) e M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) são perpendiculares entre si, e seu produto escalar é zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Vamos reescrever a equação A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definir C: C = - A x 0 - B y 0 e finalmente obter a equação A x + B y + C = 0 .

Então, provamos a segunda parte do teorema e provamos o teorema inteiro como um todo.

Definição 1

Uma equação que parece A x + B y + C = 0 - isto é equação geral de uma reta em um plano em um sistema de coordenadas retangularesOxy.

Com base no teorema provado, podemos concluir que uma linha reta dada em um plano em um sistema de coordenadas retangulares fixo e sua equação geral estão inextricavelmente ligadas. Em outras palavras, a linha original corresponde à sua equação geral; a equação geral de uma linha reta corresponde a uma determinada linha reta.

Também segue da prova do teorema que os coeficientes A e B para as variáveis ​​x e y são as coordenadas do vetor normal da reta, que é dado pela equação geral da reta A x + B y + C = 0 .

Considere um exemplo específico da equação geral de uma linha reta.

Seja dada a equação 2 x + 3 y - 2 = 0, que corresponde a uma linha reta em um dado sistema de coordenadas retangulares. O vetor normal desta reta é o vetor n → = (2 , 3) ​​. Desenhe uma determinada linha reta no desenho.

Pode-se argumentar também o seguinte: a reta que vemos no desenho é determinada pela equação geral 2 x + 3 y - 2 = 0, pois as coordenadas de todos os pontos de uma determinada reta correspondem a essa equação.

Podemos obter a equação λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 multiplicando ambos os lados da equação geral da reta por um número diferente de zero λ. A equação resultante é equivalente à equação geral original, portanto, descreverá a mesma linha no plano.

Definição 2

Equação geral completa de uma linha reta- uma equação geral da linha A x + B y + C \u003d 0, na qual os números A, B, C são diferentes de zero. Caso contrário, a equação é incompleto.

Analisemos todas as variações da equação geral incompleta da reta.

1. Quando A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, a equação geral se torna B y + C \u003d 0. Tal equação geral incompleta define uma linha reta em um sistema de coordenadas retangulares O x y que é paralelo ao eixo O x, pois para qualquer valor real de x, a variável y assumirá o valor -C.B. Em outras palavras, a equação geral da linha A x + B y + C \u003d 0, quando A \u003d 0, B ≠ 0, define o lugar geométrico dos pontos (x, y) cujas coordenadas são iguais ao mesmo número -C.B.
2. Se A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, a equação geral se torna y \u003d 0. Tal equação incompleta define o eixo x O x .
3. Quando A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, obtemos uma equação geral incompleta A x + C \u003d 0, definindo uma linha reta paralela ao eixo y.
4. Seja A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, então a equação geral incompleta terá a forma x \u003d 0, e esta é a equação da linha de coordenadas O y.
5. Finalmente, quando A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, a equação geral incompleta assume a forma A x + B y \u003d 0. E esta equação descreve uma linha reta que passa pela origem. De fato, o par de números (0 , 0) corresponde à igualdade A x + B y = 0 , pois A · 0 + B · 0 = 0 .

Vamos ilustrar graficamente todos os tipos acima da equação geral incompleta de uma linha reta.

Exemplo 1

Sabe-se que a reta dada é paralela ao eixo y e passa pelo ponto 2 7 , - 11 . É necessário escrever a equação geral de uma dada reta.

Solução

Uma linha reta paralela ao eixo y é dada por uma equação da forma A x + C \u003d 0, na qual A ≠ 0. A condição também especifica as coordenadas do ponto através do qual a linha passa, e as coordenadas deste ponto correspondem às condições da equação geral incompleta A x + C = 0 , ou seja, a igualdade está correta:

A 2 7 + C = 0

É possível determinar C a partir dele dando a A algum valor diferente de zero, por exemplo, A = 7 . Nesse caso, obtemos: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Conhecemos ambos os coeficientes A e C, substituímos na equação A x + C = 0 e obtemos a equação necessária da reta: 7 x - 2 = 0

Responda: 7 x - 2 = 0

Exemplo 2

O desenho mostra uma linha reta, é necessário anotar sua equação.

Solução

O desenho dado nos permite obter facilmente os dados iniciais para resolver o problema. Vemos no desenho que a reta dada é paralela ao eixo O x e passa pelo ponto (0,3).

A linha reta, que é paralela à abcissa, é determinada pela equação geral incompleta B y + С = 0. Encontre os valores de B e C. As coordenadas do ponto (0, 3), uma vez que uma determinada linha reta passa por ele, satisfará a equação da linha reta B y + С = 0, então a igualdade é válida: В · 3 + С = 0. Vamos definir B para algum valor diferente de zero. Digamos B \u003d 1, neste caso, da igualdade B · 3 + C \u003d 0 podemos encontrar C: C \u003d - 3. Usando os valores conhecidos de B e C, obtemos a equação necessária da linha reta: y - 3 = 0.

Responda: y - 3 = 0 .

Equação geral de uma linha reta que passa por um ponto dado do plano

Deixe a linha dada passar pelo ponto M 0 (x 0, y 0), então suas coordenadas correspondem à equação geral da linha, ou seja. a igualdade é verdadeira: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtraia os lados esquerdo e direito desta equação dos lados esquerdo e direito da equação geral completa da linha reta. Obtemos: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, esta equação é equivalente à geral original, passa pelo ponto M 0 (x 0, y 0) e tem um vetor normal n → \u003d (A, B) .

O resultado que obtivemos permite escrever a equação geral de uma reta com as coordenadas conhecidas do vetor normal da reta e as coordenadas de um determinado ponto dessa reta.

Exemplo 3

Dado um ponto M 0 (- 3, 4) através do qual a linha passa, e o vetor normal desta linha n → = (1 , - 2) . É necessário escrever a equação de uma dada reta.

Solução

As condições iniciais nos permitem obter os dados necessários para compilar a equação: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Então:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

O problema poderia ter sido resolvido de outra forma. A equação geral de uma linha reta tem a forma A x + B y + C = 0 . O vetor normal dado permite obter os valores dos coeficientes A e B , então:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Agora vamos encontrar o valor de C, usando o ponto M 0 (- 3, 4) dado pela condição do problema, por onde passa a reta. As coordenadas deste ponto correspondem à equação x - 2 · y + C = 0 , ou seja. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Portanto C = 11. A equação de linha reta necessária assume a forma: x - 2 · y + 11 = 0 .

Responda: x - 2 y + 11 = 0 .

Exemplo 4

Dada uma linha 2 3 x - y - 1 2 = 0 e um ponto M 0 sobre esta linha. Apenas a abcissa deste ponto é conhecida e é igual a - 3. É necessário determinar a ordenada do ponto dado.

Solução

Vamos definir a designação das coordenadas do ponto M 0 como x 0 e y 0 . Os dados iniciais indicam que x 0 \u003d - 3. Como o ponto pertence a uma determinada reta, então suas coordenadas correspondem à equação geral dessa reta. Então a seguinte igualdade será verdadeira:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Defina y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Responda: - 5 2

Transição da equação geral de uma reta para outros tipos de equações de uma reta e vice-versa

Como sabemos, existem vários tipos de equação da mesma reta no plano. A escolha do tipo de equação depende das condições do problema; é possível escolher o que for mais conveniente para sua solução. É aqui que a habilidade de converter uma equação de um tipo em uma equação de outro tipo é muito útil.

Primeiro, considere a transição da equação geral da forma A x + B y + C = 0 para a equação canônica x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Se A ≠ 0, então transferimos o termo B y para o lado direito da equação geral. No lado esquerdo, tiramos A dos colchetes. Como resultado, obtemos: A x + C A = - B y .

Esta igualdade pode ser escrita como uma proporção: x + C A - B = y A .

Se B ≠ 0, deixamos apenas o termo A x no lado esquerdo da equação geral, transferimos os outros para o lado direito, obtemos: A x \u003d - B y - C. Tiramos - B dos colchetes, então: A x \u003d - B y + C B.

Vamos reescrever a igualdade como uma proporção: x - B = y + C B A .

Claro, não há necessidade de memorizar as fórmulas resultantes. Basta conhecer o algoritmo de ações durante a transição da equação geral para a canônica.

Exemplo 5

A equação geral da linha 3 y - 4 = 0 é dada. Ele precisa ser convertido em uma equação canônica.

Solução

Escrevemos a equação original como 3 y - 4 = 0 . Em seguida, agimos de acordo com o algoritmo: o termo 0 x permanece no lado esquerdo; e no lado direito tiramos - 3 entre colchetes; obtemos: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Vamos escrever a igualdade resultante como uma proporção: x - 3 = y - 4 3 0 . Assim, obtivemos uma equação da forma canônica.

Resposta: x - 3 = y - 4 3 0.

Para transformar a equação geral de uma linha reta em paramétricas, primeiro, é realizada a transição para a forma canônica e, em seguida, a transição da equação canônica da linha reta para equações paramétricas.

Exemplo 6

A linha reta é dada pela equação 2 x - 5 y - 1 = 0 . Escreva as equações paramétricas desta reta.

Solução

Vamos fazer a transição da equação geral para a canônica:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Agora vamos tomar ambas as partes da equação canônica resultante igual a λ, então:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Responda:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

A equação geral pode ser convertida em uma equação de linha reta com inclinação y = k x + b, mas somente quando B ≠ 0. Para a transição do lado esquerdo, deixamos o termo B y , o restante é transferido para a direita. Obtemos: B y = - A x - C . Vamos dividir ambas as partes da igualdade resultante por B , que é diferente de zero: y = - A B x - C B .

Exemplo 7

A equação geral de uma linha reta é dada: 2 x + 7 y = 0 . Você precisa converter essa equação em uma equação de inclinação.

Solução

Vamos realizar as ações necessárias de acordo com o algoritmo:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Responda: y = - 2 7 x .

A partir da equação geral de uma linha reta, basta obter uma equação em segmentos da forma x a + y b \u003d 1. Para fazer essa transição, transferimos o número C para o lado direito da igualdade, dividimos ambas as partes da igualdade resultante por - С e, finalmente, transferimos os coeficientes das variáveis ​​x e y para os denominadores:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exemplo 8

É necessário converter a equação geral da reta x - 7 y + 1 2 = 0 na equação da reta em segmentos.

Solução

Vamos mover 1 2 para o lado direito: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Divida por -1/2 ambos os lados da equação: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Responda: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Em geral, a transição inversa também é fácil: de outros tipos de equações para a geral.

A equação de uma reta em segmentos e a equação com inclinação podem ser facilmente convertidas em uma geral simplesmente coletando todos os termos do lado esquerdo da equação:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

A equação canônica é convertida para a geral de acordo com o seguinte esquema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Para passar do paramétrico, primeiro é realizada a transição para o canônico e depois para o geral:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplo 9

As equações paramétricas da reta x = - 1 + 2 · λ y = 4 são dadas. É necessário escrever a equação geral desta reta.

Solução

Vamos fazer a transição de equações paramétricas para canônicas:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Vamos passar de canônico para geral:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Responda: s - 4 = 0

Exemplo 10

A equação de uma linha reta nos segmentos x 3 + y 1 2 = 1 é dada. É necessário realizar a transição para a forma geral da equação.

Solução:

Vamos apenas reescrever a equação na forma necessária:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Responda: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Elaboração de uma equação geral de uma linha reta

Acima, dissemos que a equação geral pode ser escrita com as coordenadas conhecidas do vetor normal e as coordenadas do ponto pelo qual a reta passa. Tal linha reta é definida pela equação A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . No mesmo local analisamos o exemplo correspondente.

Agora vamos ver exemplos mais complexos nos quais, primeiro, é necessário determinar as coordenadas do vetor normal.

Exemplo 11

Dada uma reta paralela à reta 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Também conhecido é o ponto M 0 (4 , 1) através do qual passa a linha dada. É necessário escrever a equação de uma dada reta.

Solução

As condições iniciais nos dizem que as retas são paralelas, então, como vetor normal da reta cuja equação precisa ser escrita, tomamos o vetor diretor da reta n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Agora conhecemos todos os dados necessários para compor a equação geral de uma reta:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Responda: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Exemplo 12

A reta dada passa pela origem perpendicular à reta x - 2 3 = y + 4 5 . É necessário escrever a equação geral de uma dada reta.

Solução

O vetor normal da linha dada será o vetor diretor da linha x - 2 3 = y + 4 5 .

Então n → = (3 , 5) . A linha reta passa pela origem, ou seja, pelo ponto O (0, 0). Vamos compor a equação geral de uma dada reta:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Responda: 3 x + 5 y = 0 .

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Este artigo revela a derivação da equação de uma reta que passa por dois pontos dados em um sistema de coordenadas retangulares localizado em um plano. Derivamos a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados em um sistema de coordenadas retangulares. Mostraremos e resolveremos visualmente vários exemplos relacionados ao material abordado.

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Antes de obter a equação de uma reta que passa por dois pontos dados, é necessário atentar para alguns fatos. Existe um axioma que diz que através de dois pontos não coincidentes em um plano é possível traçar uma reta e apenas uma. Em outras palavras, dois pontos dados do plano são determinados por uma linha reta que passa por esses pontos.

Se o plano é dado pelo sistema de coordenadas retangulares Oxy, então qualquer linha reta representada nele corresponderá à equação da linha reta no plano. Há também uma conexão com o vetor diretor da reta, dados estes suficientes para elaborar a equação de uma reta que passa por dois pontos dados.

Considere um exemplo de resolução de um problema semelhante. É necessário compor a equação de uma reta a passando por dois pontos desencontrados M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) localizados no sistema de coordenadas cartesianas.

Na equação canônica de uma linha reta em um plano, tendo a forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , um sistema de coordenadas retangulares O x y é especificado com uma linha reta que se cruza com ela em um ponto com coordenadas M 1 (x 1, y 1) com um vetor guia a → = (a x , a y) .

É necessário compor a equação canônica da reta a, que passará por dois pontos de coordenadas M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) .

A reta a tem um vetor diretor M 1 M 2 → com coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pois intercepta os pontos M 1 e M 2. Obtivemos os dados necessários para transformar a equação canônica com as coordenadas do vetor de direção M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) e as coordenadas dos pontos M 1 sobre eles (x 1, y 1) e M 2 (x 2 , y 2). Obtemos uma equação da forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Considere a figura abaixo.

Seguindo os cálculos, escrevemos as equações paramétricas de uma reta em um plano que passa por dois pontos com coordenadas M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) . Obtemos uma equação da forma x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ou x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Vejamos mais de perto alguns exemplos.

Exemplo 1

Escreva a equação de uma linha reta que passa por 2 pontos dados com coordenadas M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Solução

A equação canônica para uma linha reta que intercepta em dois pontos com coordenadas x 1 , y 1 e x 2 , y 2 assume a forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . De acordo com a condição do problema, temos que x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. É necessário substituir valores numéricos na equação x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . A partir daqui temos que a equação canônica terá a forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Resposta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Se for necessário resolver um problema com um tipo diferente de equação, para começar, você pode ir para o canônico, pois é mais fácil chegar a qualquer outro.

Exemplo 2

Componha a equação geral de uma reta que passa por pontos com coordenadas M 1 (1, 1) e M 2 (4, 2) no sistema de coordenadas O x y.

Solução

Primeiro você precisa escrever a equação canônica de uma dada reta que passa pelos dois pontos dados. Obtemos uma equação da forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Trazemos a equação canônica para a forma desejada, então obtemos:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Responda: x - 3 y + 2 = 0 .

Exemplos de tais tarefas foram considerados em livros escolares nas aulas de álgebra. As tarefas escolares diferiam porque a equação de uma linha reta com um coeficiente de inclinação era conhecida, tendo a forma y \u003d k x + b. Se você precisar encontrar o valor da inclinação ke o número b, no qual a equação y \u003d k x + b define uma linha no sistema O x y que passa pelos pontos M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) , onde x 1 ≠ x 2 . Quando x 1 = x 2 , então a inclinação assume o valor de infinito, e a linha reta M 1 M 2 é definida por uma equação geral incompleta da forma x - x 1 = 0 .

Porque os pontos M 1 e M 2 estão em uma linha reta, então suas coordenadas satisfazem a equação y 1 = k x 1 + b e y 2 = k x 2 + b. É necessário resolver o sistema de equações y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b em relação a ke b.

Para fazer isso, encontramos k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Com tais valores de k e b, a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados assume a seguinte forma y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Memorizar um número tão grande de fórmulas de uma só vez não funcionará. Para fazer isso, é necessário aumentar o número de repetições na resolução de problemas.

Exemplo 3

Escreva a equação de uma reta com inclinação que passa por pontos com coordenadas M 2 (2, 1) e y = k x + b.

Solução

Para resolver o problema, usamos uma fórmula com uma inclinação que tem a forma y \u003d k x + b. Os coeficientes k e b devem ter um valor tal que esta equação corresponda a uma recta que passa por dois pontos de coordenadas M 1 (- 7 , - 5) e M 2 (2 , 1) .

pontos M 1 e M 2 localizados em uma linha reta, então suas coordenadas devem inverter a equação y = k x + b a igualdade correta. Daqui temos que - 5 = k · (- 7) + b e 1 = k · 2 + b. Vamos combinar a equação no sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b e resolver.

Na substituição, obtemos que

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Agora os valores k = 2 3 e b = - 1 3 são substituídos na equação y = k x + b . Obtemos que a equação desejada passando pelos pontos dados será uma equação que tem a forma y = 2 3 x - 1 3 .

Esta forma de resolver predetermina o dispêndio de uma grande quantidade de tempo. Existe uma maneira pela qual a tarefa é resolvida literalmente em duas etapas.

Escrevemos a equação canônica de uma linha reta que passa por M 2 (2, 1) e M 1 (- 7, - 5) , tendo a forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Agora vamos passar para a equação da inclinação. Obtemos que: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Resposta: y = 2 3 x - 1 3 .

Se no espaço tridimensional existe um sistema de coordenadas retangulares O x y z com dois pontos dados não coincidentes com coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), o reta M passando por eles 1 M 2 , é necessário obter a equação desta reta.

Temos que equações canônicas da forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z e equações paramétricas x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ são capaz de definir uma linha no sistema de coordenadas O x y z passando por pontos com coordenadas (x 1, y 1, z 1) com um vetor de direção a → = (a x, a y, a z) .

Reta M 1 M 2 tem um vetor direcional da forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , onde a linha passa pelo ponto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), portanto, a equação canônica pode ser da forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, por sua vez, paramétrico x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ou x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Considere uma figura que mostra 2 pontos dados no espaço e a equação de uma linha reta.

Exemplo 4

Escreva a equação de uma linha reta definida em um sistema de coordenadas retangular O x y z do espaço tridimensional, passando pelos dois pontos dados com coordenadas M 1 (2, - 3, 0) e M 2 (1, - 3, - 5 ).

Solução

Precisamos encontrar a equação canônica. Como estamos falando de espaço tridimensional, isso significa que quando uma linha reta passa por pontos dados, a equação canônica desejada terá a forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Por condição, temos que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Segue-se que as equações necessárias podem ser escritas da seguinte forma:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Resposta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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Sejam dados dois pontos M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2). Escrevemos a equação de uma linha reta na forma (5), onde k coeficiente ainda desconhecido:

Desde o ponto M 2 pertence a uma dada linha, então suas coordenadas satisfazem a equação (5): . Expressando a partir daqui e substituindo na equação (5), obtemos a equação desejada:

Se um Esta equação pode ser reescrita de uma forma que seja mais fácil de lembrar:

(6)

Exemplo. Escreva a equação de uma linha reta que passa pelos pontos M 1 (1,2) e M 2 (-2,3)

Solução. . Usando a propriedade da proporção, e realizando as transformações necessárias, obtemos a equação geral de uma reta:

Ângulo entre duas linhas

Considere duas linhas l 1 e l 2:

l 1: , , e

l 2: , ,

φ é o ângulo entre eles (). A Figura 4 mostra: .

Daqui , ou

Usando a fórmula (7), um dos ângulos entre as linhas pode ser determinado. O segundo ângulo é .

Exemplo. Duas retas são dadas pelas equações y=2x+3 ey=-3x+2. encontre o ângulo entre essas linhas.

Solução. Pode ser visto nas equações que k 1 \u003d 2 e k 2 \u003d-3. substituindo esses valores na fórmula (7), encontramos

. Portanto, o ângulo entre essas linhas é .

Condições para paralelismo e perpendicularidade de duas linhas

Se em linha reta l 1 e l 2 são paralelas, então φ=0 e tgφ=0. da fórmula (7) segue que , de onde k 2 \u003d k 1. Assim, a condição para o paralelismo de duas linhas é a igualdade de suas inclinações.

Se em linha reta l 1 e l 2 perpendicular, então φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Assim, a condição para que duas retas sejam perpendiculares é que suas inclinações sejam recíprocas em magnitude e opostas em sinal.

Distância do ponto à linha

Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for fornecido, a distância até a linha Ax + Vy + C \u003d 0 será definida como

Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular baixada do ponto M até a reta dada. Então a distância entre os pontos M e M 1:

As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicular a uma linha reta dada.

Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, temos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Exemplo. Determine o ângulo entre as linhas: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tgj= ; j = p/4.

Exemplo. Mostre que as retas 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 são perpendiculares.

Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, portanto, as linhas são perpendiculares.

Exemplo. Os vértices do triângulo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) são dados. Encontre a equação para a altura tirada do vértice C.

Encontramos a equação do lado AB: ; 4x = 6a - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

A equação de altura desejada é: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b.

k= . Então y = . Porque altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação: de onde b \u003d 17. Total: .

Resposta: 3x + 2y - 34 = 0.

A distância de um ponto a uma linha é determinada pelo comprimento da perpendicular baixada do ponto à linha.

Se a linha é paralela ao plano de projeção (h | | P 1), então para determinar a distância do ponto MAS para em linha reta hé necessário soltar uma perpendicular do ponto MAS para a horizontal h.

Consideremos um exemplo mais complicado, quando a linha ocupa uma posição geral. Seja necessário determinar a distância do ponto M para em linha reta uma posição geral.

Tarefa de definição distâncias entre linhas paralelas resolvido da mesma forma que o anterior. Um ponto é tomado em uma linha, e uma perpendicular é traçada a partir dele para outra linha. O comprimento da perpendicular é igual à distância entre as linhas paralelas.

Curva de segunda ordemé uma linha definida por uma equação do segundo grau em relação às coordenadas cartesianas atuais. No caso geral, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

onde A, B, C, D, E, F são números reais e pelo menos um dos números A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Círculo

Centro do círculo- este é o lugar geométrico dos pontos no plano equidistantes do ponto do plano C (a, b).

A circunferência é dada pela seguinte equação:

Onde x, y são as coordenadas de um ponto arbitrário no círculo, R é o raio do círculo.

Sinal da equação do círculo

1. Não há termo com x, y

2. Coeficientes em x 2 e y 2 são iguais

Elipse

Elipse o lugar geométrico dos pontos em um plano é chamado, a soma das distâncias de cada um dos quais de dois pontos dados deste plano é chamada de focos (um valor constante).

Equação canônica de uma elipse:

X e y pertencem a uma elipse.

a é o semieixo maior da elipse

b é o semieixo menor da elipse

A elipse tem 2 eixos de simetria OX e OY. Os eixos de simetria da elipse são seus eixos, o ponto de sua interseção é o centro da elipse. O eixo no qual os focos estão localizados é chamado eixo focal. O ponto de intersecção da elipse com os eixos é o vértice da elipse.

Relação de compressão (alongamento): ε = c/a- excentricidade (caracteriza a forma da elipse), quanto menor, menos a elipse se estende ao longo do eixo focal.

Se os centros da elipse não estiverem no centro С(α, β)

Hipérbole

Hipérbole chamado lugar geométrico dos pontos em um plano, o valor absoluto da diferença de distâncias, cada um dos quais de dois pontos dados desse plano, chamados focos, é um valor constante diferente de zero.

Equação canônica de uma hipérbole

Uma hipérbole tem 2 eixos de simetria:

a - semieixo real de simetria

b - semieixo imaginário de simetria

Assíntotas de uma hipérbole:

Parábola

parábolaé o lugar geométrico dos pontos de um plano equidistantes de um dado ponto F, chamado foco, e de uma dada reta, chamada diretriz.

Equação da parábola canônica:

Y 2 \u003d 2px, onde p é a distância do foco até a diretriz (parâmetro de parábola)

Se o vértice da parábola é C (α, β), então a equação da parábola (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Se o eixo focal for considerado o eixo y, a equação da parábola terá a forma: x 2 \u003d 2qy