canal contínuo

Canais, quando um sinal contínuo é recebido na entrada do qual, em sua saída, o sinal também será contínuo, são chamados contínuo. Eles sempre fazem parte de um canal discreto. Canais contínuos são, por exemplo, canais de comunicação telefônica padrão (canais de frequência de tom - FC) com largura de banda de 0,3 ... 3,4 kHz, canais de banda larga padrão com largura de banda de 60 ... 108 kHz, circuitos físicos, etc. O canal modelo pode ser representado na forma de um quadripolo linear (Figura 3.4)

Figura 3.4 - Modelo de um canal linear contínuo

Canal discreto

Para combinar o codificador e o decodificador do canal com um canal de comunicação contínuo, são utilizados dispositivos de conversão de sinal (SCD), que são ligados durante a transmissão e recepção. Em um caso particular, este é um modulador e um demodulador. Juntamente com o formulário UPS do canal de comunicação canal discreto (DC), ou seja um canal projetado para transmitir apenas sinais discretos.

Um canal discreto é caracterizado pela taxa de transferência de informações, medida em bits por segundo (bps). Outra característica de um canal discreto é a taxa de modulação, medida em bauds. É determinado pelo número de elementos transferidos por segundo.

Canal balanceado binário . Canal balanceado binário(canal simétrico binário - BSC) é um caso especial de um canal discreto sem memória cujos alfabetos de entrada e saída consistem em elementos binários (0 e I). As probabilidades condicionais são simétricas.

A equação (3.6) expressa o chamado probabilidades de transição.

Modelos de Markov de DC. Os estados do canal podem ser distinguidos pela probabilidade de erro em cada um dos estados. Mudanças na probabilidade de erro podem, por sua vez, estar associadas a causas físicas - aparecimento de interrupções, ruído de impulso, desvanecimento, etc. A sequência de estados é uma cadeia de Markov simples. Uma cadeia de Markov simples é uma sequência aleatória de estados quando a probabilidade de um estado particular em eu- esse ponto no tempo é completamente determinado pelo estado c i-1 dentro ( eu- 1) º momento. O circuito equivalente de tal canal é mostrado na Figura 3.5.

Figura 3.5 - Circuito equivalente de um canal discreto simétrico quando descrito por um modelo baseado em cadeias de Markov

modelo Hilbert. O modelo mais simples baseado no uso do aparato matemático das cadeias de Markov é o modelo de fonte de erro proposto por Hilbert. De acordo com este modelo, o canal pode estar em dois estados - bom (estado 1) e ruim (estado 2). O primeiro estado é caracterizado pela ausência de erros. No segundo estado, os erros aparecem com probabilidade p osh (2) .

Interferência nos canais de comunicação

Em um canal real, o sinal é distorcido durante a transmissão e a mensagem é reproduzida com algum erro. A causa de tais erros é a distorção introduzida pelo próprio canal e o ruído que afeta o sinal. As distorções devem ser claramente separadas de interferências de natureza aleatória. A interferência não é conhecida antecipadamente e, portanto, não pode ser completamente eliminada.

Debaixo obstáculo refere-se a qualquer efeito que se sobrepõe ao sinal útil e dificulta a sua recepção. As interferências são diversas em sua origem: trovoadas, interferência de veículos elétricos, motores elétricos, sistemas de ignição de motores, etc.

Em praticamente qualquer faixa de frequência, existem ruídos internos do equipamento devido ao movimento caótico dos portadores de carga nos dispositivos amplificadores, o chamado ruído térmico.

Classificação de interferência. Interferência harmônica- são um sinal modulado de banda estreita. As razões para a ocorrência de tal interferência são a redução da atenuação da diafonia entre os circuitos do cabo, a influência das estações de rádio. Interferência de impulso são interferências concentradas no tempo. Eles são uma sequência aleatória de pulsos com intervalos de tempo aleatórios, e os transientes causados ​​por eles não se sobrepõem no tempo.

São dadas declarações dos principais teoremas e propriedades de sequências numéricas com limites. Contém a definição de uma sequência e seu limite. São consideradas operações aritméticas com sequências, propriedades relacionadas a desigualdades, critérios de convergência, propriedades de sequências infinitamente pequenas e infinitamente grandes.

Contente

Propriedades de limites finitos de sequências

Propriedades básicas

Um ponto a é o limite de uma sequência se e somente se fora de qualquer vizinhança deste ponto é número finito de elementos sequências ou o conjunto vazio.

Se o número a não é o limite da sequência, então existe tal vizinhança do ponto a, fora do qual é número infinito de elementos de sequência.

Teorema da unicidade para o limite de uma sequência numérica. Se uma sequência tem um limite, então ela é única.

Se uma sequência tem um limite finito, então ela limitado.

Se cada elemento da sequência é igual ao mesmo número C : , então esta sequência tem um limite igual ao número C .

Se a sequência adicione, solte ou altere os primeiros m elementos, isso não afetará sua convergência.

Provas de propriedades básicas dado na página
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Aritmética com limites

Sejam limites finitos e sequências e . E seja C uma constante, ou seja, um número dado. Então
;
;
;
, E se .
No caso do quociente, assume-se que para todo n .

Se então .

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Propriedades associadas a desigualdades

Se os elementos da sequência, a partir de algum número, satisfazem a desigualdade , então o limite a dessa sequência também satisfaz a desigualdade .

Se os elementos da sequência, a partir de um determinado número, pertencem a um intervalo fechado (segmento), então o limite a também pertence a este intervalo: .

Se e elementos de sequências, a partir de algum número, satisfazem a desigualdade , então .

Se e, a partir de algum número, , então .
Em particular, se, a partir de algum número, , então
se então ;
se então .

Se e , então .

Deixe e. Se um < b , então existe um número natural N tal que para todo n > N a desigualdade é satisfeita.

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Sequências infinitesimais e infinitesimais

Sequência infinitesimal

Uma sequência infinitesimal é uma sequência cujo limite é zero:
.

Soma e Diferença número finito de sequências infinitesimais é uma sequência infinitesimal.

Produto de uma sequência limitada para um infinitesimal é uma sequência infinitesimal.

Produto de um número finito seqüências infinitesimais é uma seqüência infinitesimal.

Para que uma sequência tenha um limite a , é necessário e suficiente que , onde é uma sequência infinitesimal.

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Sequência infinitamente grande

Uma sequência infinitamente grande é uma sequência que tem um limite infinitamente grande. Isto é, se para qualquer número positivo existe tal número natural N , dependendo de , que para todos os números naturais a desigualdade
.
Neste caso, escreva
.
Ou em.
Dizem que tende ao infinito.

Se , a partir de algum número N , então
.
Se então
.

Se as sequências são infinitamente grandes, então a partir de algum número N , uma sequência é definida que é infinitamente pequena. Se for uma sequência infinitesimal com elementos diferentes de zero, então a sequência é infinitamente grande.

Se a sequência é infinitamente grande e a sequência é limitada, então
.

Se os valores absolutos dos elementos da sequência são limitados a partir de baixo por um número positivo () e são infinitamente pequenos com elementos diferentes de zero, então
.

Em detalhes definição de uma sequência infinitamente grande com exemplos dado na página
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Critérios de Convergência de Sequência

Sequências monotônicas

Uma sequência estritamente crescente é uma sequência para a qual todos os elementos satisfazem as seguintes desigualdades:
.

Desigualdades semelhantes definem outras sequências monótonas.

Sequência estritamente decrescente:
.
Sequência não decrescente:
.
Sequência não crescente:
.

Segue-se que uma sequência estritamente crescente também é não decrescente. Uma sequência estritamente decrescente também é não crescente.

Uma sequência monotônica é uma sequência não decrescente ou não crescente.

Uma sequência monotônica é limitada em pelo menos um lado por . Uma sequência não decrescente é limitada a partir de abaixo: . Uma sequência não crescente é limitada a partir de cima: .

Teorema de Weierstrass. Para que uma sequência não decrescente (não crescente) tenha um limite finito, é necessário e suficiente que ela seja limitada por cima (por baixo). Aqui M é algum número.

Como qualquer sequência não decrescente (não crescente) é limitada por baixo (por cima), o teorema de Weierstrass pode ser reformulado da seguinte forma:

Para que uma sequência monótona tenha um limite finito, é necessário e suficiente que ela seja limitada: .

Sequência ilimitada monótona tem um limite infinito, igual para sequências não decrescentes e não crescentes.

Prova do teorema de Weierstrass dado na página
Teorema de Weierstrass sobre o limite de uma sequência monótona >>>.

Critério de Cauchy para convergência de sequência

Condição Cauchy
A consistência satisfaz Condição Cauchy, se para algum existe um número natural tal que para todos os números naturais n e m satisfazendo a condição , a desigualdade
.

Uma sequência fundamental é uma sequência que satisfaz a condição de Cauchy.

Critério de Cauchy para convergência de sequência. Para que uma sequência tenha um limite finito, é necessário e suficiente que ela satisfaça a condição de Cauchy.

Prova do Critério de Convergência de Cauchy dado na página
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Subsequências

Teorema de Bolzano-Weierstrass. De qualquer sequência limitada, uma subsequência convergente pode ser distinguida. E de qualquer sequência ilimitada - uma subsequência infinitamente grande convergindo para ou para .

Prova do teorema de Bolzano-Weierstrass dado na página
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Definições, teoremas e propriedades de subsequências e limites parciais são discutidos na página
Subsequências e limites parciais de sequências >>>.

Referências:
CM. Nikolsky. Curso de análise matemática. Volume 1. Moscou, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Curso de análise matemática. Volume 1. Moscou, 2003.
V.A. Zorich. Analise matemática. Parte 1. Moscou, 1997.
V.A. Ilin, E. G. Poznyak. Fundamentos de análise matemática. Parte 1. Moscou, 2005.

Veja também:

Definição de limites de sequência e função, propriedades de limites, primeiro e segundo limites notáveis, exemplos.

número constante uma chamado limite sequências(x n) se para qualquer número positivo arbitrariamente pequeno ε > 0 existe um número N tal que todos os valores xn, para o qual n>N, satisfaz a desigualdade

Escreva da seguinte forma: ou x n → a.

A desigualdade (6.1) é equivalente à dupla desigualdade

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки xn, a partir de algum número n>N, estão dentro do intervalo (a-ε, a+ε), ou seja. cair em qualquer pequena vizinhança ε do ponto uma.

Uma sequência que tem um limite é chamada convergente, por outro lado - divergente.

O conceito de limite de uma função é uma generalização do conceito de limite de uma sequência, pois o limite de uma sequência pode ser considerado como o limite da função x n = f(n) de um argumento inteiro n.

Seja dada uma função f(x) e seja uma - ponto limite o domínio de definição desta função D(f), i.e. tal ponto, qualquer vizinhança que contém pontos do conjunto D(f) diferentes de uma. Ponto uma pode ou não pertencer ao conjunto D(f).

Definição 1. O número constante A é chamado limite funções f(x) no x→ a se para qualquer sequência (x n ) de valores de argumentos tendendo a uma, as sequências correspondentes (f(x n)) têm o mesmo limite A.

Essa definição é chamada definindo o limite de uma função de acordo com Heine, ou " na linguagem das sequências”.

Definição 2. O número constante A é chamado limite funções f(x) no x→a se, dado um número positivo arbitrário e arbitrariamente pequeno ε, pode-se encontrar δ >0 (dependendo de ε) tal que para todo x, situado na vizinhança ε do número uma, ou seja por x satisfazendo a desigualdade
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Essa definição é chamada definindo o limite de uma função de acordo com Cauchy, ou “na linguagem ε - δ"

As definições 1 e 2 são equivalentes. Se a função f(x) como x → a tem limite igual a A, isso é escrito como

No caso de a sequência (f(x n)) aumentar (ou diminuir) indefinidamente para qualquer método de aproximação x ao seu limite uma, então diremos que a função f(x) tem limite infinito, e escreva como:

Uma variável (ou seja, uma sequência ou função) cujo limite é zero é chamada infinitamente pequeno.

Uma variável cujo limite é igual ao infinito é chamada infinitamente grande.

Para encontrar o limite na prática, use os seguintes teoremas.

Teorema 1 . Se todo limite existe

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Comente. Expressões da forma 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ são indefinidas, por exemplo, a razão de duas quantidades infinitesimais ou infinitamente grandes, e encontrar um limite desse tipo é chamado de “divulgação de incerteza”.

Teorema 2.

Essa. é possível passar ao limite na base do grau em um expoente constante, em particular,

Teorema 3.

(6.11)

Onde e» 2.7 é a base do logaritmo natural. As fórmulas (6.10) e (6.11) são chamadas de primeiro limite notável e segundo limite notável.

Os corolários da fórmula (6.11) também são usados ​​na prática:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

nomeadamente o limite

Se x → a e ao mesmo tempo x > a, então escreva x →a + 0. Se, em particular, a = 0, então escreva +0 em vez do símbolo 0+0. Da mesma forma, se x→a e ao mesmo tempo x e são nomeados de acordo. limite certo e limite esquerdo funções f(x) no ponto uma. Para que o limite da função f(x) exista como x→ a, é necessário e suficiente que . A função f(x) é chamada contínuo no ponto x 0 se limite

(6.15)

A condição (6.15) pode ser reescrita como:

isto é, a passagem ao limite sob o sinal de uma função é possível se ela for contínua em um dado ponto.

Se a igualdade (6.15) for violada, dizemos que no x = x função f(x) Tem Gap = Vão. Considere a função y = 1/x. O domínio desta função é o conjunto R, exceto para x = 0. O ponto x = 0 é um ponto limite do conjunto D(f), pois em qualquer uma de suas vizinhanças, ou seja, qualquer intervalo aberto contendo o ponto 0 contém pontos de D(f), mas ele próprio não pertence a este conjunto. O valor f(x o)= f(0) não está definido, então a função tem uma descontinuidade no ponto x o = 0.

A função f(x) é chamada contínua à direita em um ponto x o se limite

e contínua à esquerda em um ponto x o se limite

Continuidade de uma função em um ponto x oé equivalente à sua continuidade neste ponto tanto à direita como à esquerda.

Para que uma função seja contínua em um ponto x o, por exemplo, à direita, é necessário, em primeiro lugar, que haja um limite finito , e em segundo lugar, que esse limite seja igual a f(x o). Portanto, se pelo menos uma dessas duas condições não for atendida, a função terá uma lacuna.

1. Se o limite existe e não é igual a f(x o), então eles dizem que função f(x) no ponto xo tem ruptura do primeiro tipo, ou pular.

2. Se o limite é +∞ ou -∞ ou não existe, então eles dizem que em ponto x o a função tem uma pausa segundo tipo.

Por exemplo, a função y = ctg x como x → +0 tem um limite igual a +∞ , o que significa que no ponto x=0 tem uma descontinuidade do segundo tipo. Função y = E(x) (parte inteira de x) em pontos com abcissas inteiras tem descontinuidades do primeiro tipo, ou saltos.

Uma função que é contínua em todos os pontos do intervalo é chamada contínuo dentro . Uma função contínua é representada por uma curva sólida.

Muitos problemas associados ao crescimento contínuo de alguma quantidade levam ao segundo limite notável. Tais tarefas, por exemplo, incluem: o crescimento da contribuição de acordo com a lei dos juros compostos, o crescimento da população do país, a decomposição de uma substância radioativa, a multiplicação de bactérias, etc.

Considerar exemplo de Ya. I. Perelman, que dá a interpretação do número e no problema dos juros compostos. Número e existe um limite . Nos bancos de poupança, o dinheiro dos juros é adicionado ao capital fixo anualmente. Se a conexão for feita com mais frequência, o capital crescerá mais rapidamente, pois uma grande quantidade está envolvida na formação de juros. Tomemos um exemplo puramente teórico e altamente simplificado. Deixe o banco colocar 100 den. unidades à taxa de 100% ao ano. Se o dinheiro com juros for adicionado ao capital fixo somente após um ano, então, a essa altura, 100 den. unidades vai se transformar em 200 den. Agora vamos ver no que 100 den vai se transformar. unidades, se juros são adicionados ao capital fixo a cada seis meses. Depois de meio ano 100 den. unidades crescerá 100 × 1,5 = 150, e em mais seis meses - 150 × 1,5 = 225 (unidades monetárias). Se a adesão for feita a cada 1/3 do ano, depois de um ano 100 den. unidades se transformará em 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (unidades den.). Aumentaremos o prazo para adicionar dinheiro de juros para 0,1 ano, 0,01 ano, 0,001 ano e assim por diante. Em seguida, de 100 den. unidades um ano depois:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (unidades den.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (unidades de densidade),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (unidades den.).

Com uma redução ilimitada nos prazos de adesão, o capital acumulado não cresce indefinidamente, mas aproxima-se de um certo limite igual a aproximadamente 271. O capital colocado a 100% ao ano não pode aumentar mais de 2,71 vezes, mesmo que os juros acumulados fossem adicionado ao capital a cada segundo porque o limite

Exemplo 3.1. Usando a definição do limite de uma sequência numérica, prove que a sequência x n =(n-1)/n tem um limite igual a 1.

Solução. Precisamos provar que qualquer que seja ε > 0, há um número natural N para ele, tal que para todo n > N a desigualdade |x n -1|< ε

Tome qualquer ε > 0. Como x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, então para encontrar N é suficiente resolver a inequação 1/n<ε. Отсюда n>1/ε e, portanto, N pode ser tomado como a parte inteira de 1/ε N = E(1/ε). Provamos assim que o limite .

Exemplo 3.2. Encontre o limite de uma sequência dada por um termo comum .

Solução. Aplique o teorema da soma limite e encontre o limite de cada termo. Como n → ∞, o numerador e denominador de cada termo tende ao infinito, e não podemos aplicar o teorema do quociente limite diretamente. Portanto, primeiro transformamos xn, dividindo o numerador e denominador do primeiro termo por nº 2, e o segundo n. Então, aplicando o teorema do limite do quociente e o teorema do limite da soma, encontramos:

Exemplo 3.3. . Achar .

Solução.

Aqui usamos o teorema do limite de grau: o limite de um grau é igual ao grau do limite da base.

Exemplo 3.4. Achar ( ).

Solução. É impossível aplicar o teorema do limite da diferença, pois temos uma incerteza da forma ∞-∞. Vamos transformar a fórmula do termo geral:

Exemplo 3.5. Dada uma função f(x)=2 1/x . Prove que o limite não existe.

Solução. Usamos a definição 1 do limite de uma função em termos de uma sequência. Tome uma sequência ( x n ) convergindo para 0, i.e. Vamos mostrar que o valor f(x n)= se comporta de maneira diferente para diferentes sequências. Seja x n = 1/n. Obviamente, então o limite Vamos escolher agora como xn uma sequência com um termo comum x n = -1/n, também tendendo a zero. Portanto, não há limite.

Exemplo 3.6. Prove que o limite não existe.

Solução. Seja x 1 , x 2 ,..., x n ,... uma sequência para a qual
. Como a sequência (f(x n)) = (sen x n ) se comporta para diferentes x n → ∞

Se x n \u003d p n, então sin x n \u003d sin (p n) = 0 para todos n e limite Se
xn=2 p n + p /2, então sen x n = sen(2 p n+ p /2) = sen p /2 = 1 para todos n e, portanto, o limite. Assim não existe.

A matemática é a ciência que constrói o mundo. Tanto o cientista quanto o homem comum - ninguém pode prescindir dele. Primeiro, as crianças pequenas são ensinadas a contar, depois somar, subtrair, multiplicar e dividir, no ensino médio, as designações de letras entram em jogo, e no mais velho não podem mais ser dispensadas.

Mas hoje vamos falar sobre em que se baseia toda a matemática conhecida. Sobre a comunidade de números chamada "limites de sequência".

O que são sequências e onde está o seu limite?

O significado da palavra "sequência" não é difícil de interpretar. Esta é uma construção de coisas, onde alguém ou algo está localizado em uma determinada ordem ou fila. Por exemplo, a fila de ingressos para o zoológico é uma sequência. E só pode haver um! Se, por exemplo, você olhar para a fila para a loja, esta é uma sequência. E se uma pessoa de repente sai dessa fila, então essa é uma fila diferente, uma ordem diferente.

A palavra "limite" também é facilmente interpretada - este é o fim de algo. No entanto, em matemática, os limites das sequências são aqueles valores na reta numérica que uma sequência de números tende. Por que se esforça e não termina? É simples, a reta numérica não tem fim, e a maioria das sequências, como raios, tem apenas um começo e se parece com isso:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Portanto, a definição de uma sequência é uma função do argumento natural. Em palavras mais simples, é uma série de membros de algum conjunto.

Como uma sequência numérica é construída?

O exemplo mais simples de uma sequência numérica pode ser assim: 1, 2, 3, 4, …n…

Na maioria dos casos, para fins práticos, as sequências são construídas a partir de números, e cada próximo membro da série, vamos denotar por X, tem seu próprio nome. Por exemplo:

x 1 - o primeiro membro da sequência;

x 2 - o segundo membro da sequência;

x 3 - o terceiro membro;

x n é o enésimo membro.

Nos métodos práticos, a sequência é dada por uma fórmula geral na qual existe alguma variável. Por exemplo:

X n \u003d 3n, a própria série de números ficará assim:

Vale lembrar que na notação geral de sequências, você pode usar qualquer letra latina, e não apenas X. Por exemplo: y, z, k, etc.

Progressão aritmética como parte de sequências

Antes de procurar os limites das sequências, convém aprofundar o próprio conceito de tal série numérica, que todos encontraram quando estavam na classe média. Uma progressão aritmética é uma série de números em que a diferença entre termos adjacentes é constante.

Tarefa: “Deixe um 1 \u003d 15 e o passo da progressão da série numérica d \u003d 4. Construa os primeiros 4 membros desta linha"

Solução: a 1 = 15 (por condição) é o primeiro membro da progressão (série numérica).

e 2 = 15+4=19 é o segundo membro da progressão.

e 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 é o terceiro termo.

e 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 é o quarto termo.

No entanto, com este método é difícil atingir grandes valores, por exemplo, até 125. . Especialmente para esses casos, foi derivada uma fórmula conveniente para a prática: a n \u003d a 1 + d (n-1). Nesse caso, um 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Tipos de sequência

A maioria das sequências são infinitas, vale a pena lembrar por toda a vida. Existem dois tipos interessantes de séries numéricas. A primeira é dada pela fórmula a n =(-1) n . Os matemáticos costumam se referir a essas sequências de pisca-pisca. Por quê? Vamos verificar seus números.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, etc. Com este exemplo, fica claro que os números em sequências podem ser facilmente repetidos.

sequência fatorial. É fácil adivinhar que existe um fatorial na fórmula que define a sequência. Por exemplo: e n = (n+1)!

Então a sequência ficará assim:

e 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

e 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, etc.

Uma sequência dada por uma progressão aritmética é chamada infinitamente decrescente se a desigualdade -1 for observada para todos os seus membros

e 3 \u003d - 1/8, etc.

Existe até uma sequência que consiste no mesmo número. Então, e n \u003d 6 consiste em um número infinito de seis.

Determinando o limite de uma sequência

Os limites de sequência existem há muito tempo na matemática. Claro, eles merecem seu próprio design competente. Então, hora de aprender a definição de limites de sequência. Primeiro, considere o limite para uma função linear em detalhes:

1. Todos os limites são abreviados como lim.
2. A entrada de limite consiste na abreviatura lim, alguma variável tendendo a um determinado número, zero ou infinito, assim como a própria função.

É fácil entender que a definição do limite de uma sequência pode ser formulada da seguinte forma: é um certo número, do qual todos os membros da sequência se aproximam infinitamente. Exemplo simples: e x = 4x+1. Então a própria sequência ficará assim.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Assim, essa sequência aumentará indefinidamente, o que significa que seu limite é igual ao infinito como x→∞, e isso deve ser escrito da seguinte forma:

Se tomarmos uma sequência semelhante, mas x tende a 1, obtemos:

E a série de números ficará assim: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, etc. Cada vez você precisa substituir o número mais e mais próximo de um (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Pode-se ver nesta série que o limite da função é cinco.

A partir desta parte, vale lembrar qual é o limite de uma sequência numérica, a definição e o método para resolver tarefas simples.

Notação geral para o limite de sequências

Tendo analisado o limite da sequência numérica, sua definição e exemplos, podemos avançar para um tópico mais complexo. Absolutamente todos os limites de sequências podem ser formulados por uma fórmula, que geralmente é analisada no primeiro semestre.

Então, o que significa esse conjunto de letras, módulos e sinais de desigualdade?

∀ é um quantificador universal, substituindo as frases “para todos”, “para tudo”, etc.

∃ é um quantificador de existência, neste caso significa que existe algum valor N pertencente ao conjunto dos números naturais.

Uma longa vara vertical seguindo N significa que o dado conjunto N é "tal que". Na prática, pode significar "tal que", "tal que", etc.

Para consolidar o material, leia a fórmula em voz alta.

Incerteza e certeza do limite

O método de encontrar o limite de sequências, discutido acima, embora simples de usar, não é tão racional na prática. Tente encontrar o limite para esta função:

Se substituirmos diferentes valores de x (aumentando a cada vez: 10, 100, 1000, etc.), obtemos ∞ no numerador, mas também ∞ no denominador. Acontece uma fração bastante estranha:

Mas é realmente assim? Calcular o limite da sequência numérica neste caso parece bastante fácil. Seria possível deixar tudo como está, porque a resposta está pronta, e foi recebida em termos razoáveis, mas existe outra forma específica para esses casos.

Primeiro, vamos encontrar o grau mais alto no numerador da fração - este é 1, já que x pode ser representado como x 1.

Agora vamos encontrar o grau mais alto no denominador. Também 1.

Divida o numerador e o denominador pela variável até o grau mais alto. Nesse caso, dividimos a fração por x 1.

Em seguida, vamos descobrir a que valor cada termo que contém a variável tende. Neste caso, as frações são consideradas. Como x→∞, o valor de cada uma das frações tende a zero. Ao fazer um trabalho por escrito, vale a pena fazer as seguintes notas de rodapé:

Obtém-se a seguinte expressão:

É claro que as frações contendo x não se tornaram zeros! Mas seu valor é tão pequeno que é perfeitamente permitido não levá-lo em consideração nos cálculos. Na verdade, x nunca será igual a 0 neste caso, porque você não pode dividir por zero.

O que é um bairro?

Suponhamos que o professor tenha à sua disposição uma sequência complexa, dada, obviamente, por uma fórmula não menos complexa. O professor encontrou a resposta, mas será que ela se encaixa? Afinal, todas as pessoas cometem erros.

Auguste Cauchy surgiu com uma ótima maneira de provar os limites das sequências. Seu método foi chamado de operação de vizinhança.

Suponha que haja algum ponto a, sua vizinhança em ambas as direções na reta real é igual a ε ("épsilon"). Como a última variável é a distância, seu valor é sempre positivo.

Agora vamos definir alguma sequência x n e supor que o décimo membro da sequência (x 10) esteja incluído na vizinhança de a. Como escrever esse fato em linguagem matemática?

Suponha que x 10 esteja à direita do ponto a, então a distância x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Agora é hora de explicar na prática a fórmula mencionada acima. É justo chamar algum número a de ponto final de uma sequência se a desigualdade ε>0 vale para qualquer um de seus limites, e toda a vizinhança tem seu próprio número natural N, tal que todos os membros da sequência com números mais altos serão dentro da sequência |x n - a|< ε.

Com tal conhecimento, é fácil resolver os limites de uma sequência, provar ou refutar uma resposta pronta.

Teoremas

Teoremas sobre os limites das sequências são um componente importante da teoria, sem os quais a prática é impossível. Existem apenas quatro teoremas principais, lembrando quais, você pode facilitar significativamente o processo de resolver ou provar:

1. Unicidade do limite de uma sequência. Qualquer sequência pode ter apenas um limite ou não ter nenhum. O mesmo exemplo com uma fila que só pode ter uma extremidade.
2. Se uma série de números tiver um limite, a sequência desses números será limitada.
3. O limite da soma (diferença, produto) das sequências é igual à soma (diferença, produto) de seus limites.
4. O limite quociente de duas sequências é igual ao quociente dos limites se e somente se o denominador não se anular.

Prova de Sequência

Às vezes é necessário resolver um problema inverso, para provar um dado limite de uma sequência numérica. Vejamos um exemplo.

Prove que o limite da sequência dada pela fórmula é igual a zero.

De acordo com a regra acima, para qualquer sequência a desigualdade |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Vamos expressar n em termos de "épsilon" para mostrar a existência de um certo número e provar a existência de um limite de sequência.

Nesta fase, é importante lembrar que "epsilon" e "en" são números positivos e não iguais a zero. Agora você pode dar continuidade a outras transformações usando o conhecimento sobre desigualdades adquirido no ensino médio.

Daí resulta que n > -3 + 1/ε. Como vale lembrar que estamos falando de números naturais, o resultado pode ser arredondado colocando-o entre colchetes. Assim, provou-se que para qualquer valor da vizinhança “épsilon” do ponto a = 0, foi encontrado um valor tal que a desigualdade inicial é satisfeita. A partir disso, podemos afirmar com segurança que o número a é o limite da sequência dada. Q.E.D.

Com um método tão conveniente, você pode provar o limite de uma sequência numérica, por mais complicado que possa parecer à primeira vista. O principal é não entrar em pânico com a visão da tarefa.

Ou talvez ele não exista?

A existência de um limite de sequência não é necessária na prática. É fácil encontrar essas séries de números que realmente não têm fim. Por exemplo, o mesmo pisca-pisca x n = (-1) n . é óbvio que uma sequência consistindo de apenas dois dígitos repetindo ciclicamente não pode ter um limite.

A mesma história é repetida com sequências constituídas por um único número, fracionário, tendo no decorrer dos cálculos uma incerteza de qualquer ordem (0/0, ∞/∞, ∞/0, etc.). No entanto, deve ser lembrado que o cálculo incorreto também ocorre. Às vezes, verificar novamente sua própria solução o ajudará a encontrar o limite de sucessões.

sequência monotônica

Acima, consideramos vários exemplos de sequências, métodos para resolvê-los, e agora vamos tentar pegar um caso mais específico e chamá-lo de "sequência monótona".

Definição: é justo chamar qualquer sequência monotonicamente crescente se ela satisfaz a desigualdade estrita x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1.

Juntamente com essas duas condições, existem também desigualdades não estritas semelhantes. Assim, x n ≤ x n +1 (sequência não decrescente) e x n ≥ x n +1 (sequência não crescente).

Mas é mais fácil entender isso com exemplos.

A sequência dada pela fórmula x n \u003d 2 + n forma a seguinte série de números: 4, 5, 6, etc. Esta é uma sequência monotonicamente crescente.

E se pegarmos x n \u003d 1 / n, obtemos uma série: 1/3, ¼, 1/5, etc. Esta é uma sequência monotonicamente decrescente.

Limite da sequência convergente e limitada

Uma sequência limitada é uma sequência que tem um limite. Uma sequência convergente é uma série de números que tem um limite infinitesimal.

Assim, o limite de uma sequência limitada é qualquer número real ou complexo. Lembre-se que só pode haver um limite.

O limite de uma sequência convergente é uma quantidade infinitesimal (real ou complexa). Se você desenhar um diagrama de sequência, em um certo ponto ele irá, por assim dizer, convergir, tenderá a se transformar em um determinado valor. Daí o nome - sequência convergente.

Limite de sequência monotônica

Tal sequência pode ou não ter um limite. Primeiro, é útil entender quando é, a partir daqui você pode começar a provar a ausência de um limite.

Entre as sequências monotônicas, distinguem-se as convergentes e divergentes. Convergente - esta é uma sequência que é formada pelo conjunto x e tem um limite real ou complexo neste conjunto. Divergente - uma sequência que não tem limite em seu conjunto (nem real nem complexa).

Além disso, a sequência converge se seus limites superior e inferior convergem em uma representação geométrica.

O limite de uma sequência convergente pode, em muitos casos, ser igual a zero, pois qualquer sequência infinitesimal tem um limite conhecido (zero).

Qualquer que seja a sequência convergente que você tomar, elas são todas limitadas, mas longe de todas as sequências limitadas convergem.

A soma, diferença, produto de duas sequências convergentes também é uma sequência convergente. No entanto, o quociente também pode convergir se for definido!

Várias ações com limites

Limites de sequência são tão significativos (na maioria dos casos) quanto números e números: 1, 2, 15, 24, 362, etc. Acontece que algumas operações podem ser realizadas com limites.

Primeiro, assim como dígitos e números, os limites de qualquer sequência podem ser somados e subtraídos. Com base no terceiro teorema sobre os limites das sequências, a seguinte igualdade é verdadeira: o limite da soma das sequências é igual à soma de seus limites.

Em segundo lugar, com base no quarto teorema sobre os limites das sequências, a seguinte igualdade é verdadeira: o limite do produto do enésimo número de sequências é igual ao produto de seus limites. O mesmo vale para a divisão: o limite do quociente de duas sequências é igual ao quociente de seus limites, desde que o limite não seja igual a zero. Afinal, se o limite de sequências for igual a zero, a divisão por zero resultará, o que é impossível.

Propriedades do valor de sequência

Parece que o limite da sequência numérica já foi analisado com algum detalhe, mas frases como números “infinitamente pequenos” e “infinitamente grandes” são mencionadas mais de uma vez. Obviamente, se existe uma sequência 1/x, onde x→∞, então tal fração é infinitamente pequena, e se a mesma sequência, mas o limite tende a zero (x→0), então a fração se torna um valor infinitamente grande . E tais valores têm características próprias. As propriedades do limite de uma sequência com valores pequenos ou grandes arbitrários são as seguintes:

1. A soma de qualquer número de quantidades arbitrariamente pequenas também será uma quantidade pequena.
2. A soma de qualquer número de valores grandes será um valor infinitamente grande.
3. O produto de quantidades arbitrariamente pequenas é infinitamente pequeno.
4. O produto de números arbitrariamente grandes é uma quantidade infinitamente grande.
5. Se a sequência original tende a um número infinito, então a recíproca dela será infinitesimal e tenderá a zero.

Na verdade, calcular o limite de uma sequência não é uma tarefa tão difícil se você conhece um algoritmo simples. Mas os limites das sequências são um tema que exige atenção e perseverança máximas. Claro, é suficiente simplesmente entender a essência da solução de tais expressões. Começando pequeno, com o tempo, você pode alcançar grandes alturas.