Equação de uma linha em um plano.

Como se sabe, qualquer ponto no plano é determinado por duas coordenadas em algum sistema de coordenadas. Os sistemas de coordenadas podem ser diferentes dependendo da escolha da base e da origem.

Definição. Equação de linhaé a relação y = f(x) entre as coordenadas dos pontos que compõem esta reta.

Observe que a equação da reta pode ser expressa de forma paramétrica, ou seja, cada coordenada de cada ponto é expressa através de algum parâmetro independente t.

Um exemplo típico é a trajetória de um ponto em movimento. Neste caso, o tempo desempenha o papel de parâmetro.

Equação de uma linha reta em um plano.

Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem

Ah + Wu + C = 0,

além disso, as constantes A, B não são iguais a zero ao mesmo tempo, ou seja, A 2 + B 2  0. Esta equação de primeira ordem é chamada a equação geral de uma reta.

Dependendo dos valores das constantes A, B e C, os seguintes casos especiais são possíveis:

C \u003d 0, A  0, B  0 - a linha passa pela origem

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - a linha reta coincide com o eixo Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - a linha reta coincide com o eixo Ox

A equação de uma linha reta pode ser apresentada de várias formas, dependendo de quaisquer condições iniciais.

Equação de uma reta por um ponto e um vetor normal.

Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B) é perpendicular à linha dada pela equação Ax + By + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto A (1, 2) perpendicular ao vetor (3, -1).

Vamos compor em A \u003d 3 e B \u003d -1 a equação da linha reta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar o coeficiente C, substituímos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante.

Obtemos: 3 - 2 + C \u003d 0, portanto C \u003d -1.

Total: a equação desejada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equação de uma linha reta que passa por dois pontos.

Sejam dois pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2) no espaço, então a equação de uma linha reta que passa por esses pontos:

Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero.

Em um plano, a equação de uma linha reta escrita acima é simplificada:

se x 1  x 2 e x \u003d x 1, se x 1 \u003d x 2.

Fração
=k é chamado fator de inclinação direto.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).

Aplicando a fórmula acima, obtemos:

Equação de uma linha reta por um ponto e uma inclinação.

Se a equação geral da reta Ax + Vy + C = 0 levar à forma:

e designar
, então a equação resultante é chamada equação de uma reta com inclinaçãok.

A equação de uma linha reta em um ponto e um vetor diretor.

Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através do vetor normal, você pode inserir a atribuição de uma linha reta através de um ponto e um vetor direcionador de uma linha reta.

Definição. Todo vetor diferente de zero ( 1 ,  2), cujos componentes satisfazem a condição A 1 + B 2 = 0 é chamado de vetor diretor da linha

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com um vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).

Procuraremos a equação da reta desejada na forma: Ax + By + C = 0. De acordo com a definição, os coeficientes devem satisfazer as condições:

1A + (-1)B = 0, ou seja A = B

Então a equação de uma reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C/A = 0.

em x = 1, y = 2 obtemos С/A = -3, ou seja equação desejada:

Equação de uma linha reta em segmentos.

Se na equação geral da reta Ah + Wu + C = 0 C 0, então, dividindo por –C, obtemos:
ou

, Onde

O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente umaé a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo x, e b- a coordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo Oy.

Exemplo. Dada a equação geral da reta x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta reta nos segmentos.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Equação normal de uma reta.

Se ambos os lados da equação Ax + Wy + C = 0 dividido pelo número
, que é chamado fator de normalização, então obtemos

xcos + ysin - p = 0 –

equação normal de uma reta.

O sinal  do fator de normalização deve ser escolhido de modo que С< 0.

p é o comprimento da perpendicular baixada da origem até a reta, e  é o ângulo formado por essa perpendicular com a direção positiva do eixo Ox.

Exemplo. Dada a equação geral da linha 12x - 5y - 65 = 0. É necessário escrever vários tipos de equações para esta linha.

a equação desta reta em segmentos:

a equação desta linha com a inclinação: (dividir por 5)

equação normal de uma reta:

; cos = 12/13; sen = -5/13; p=5.

Deve-se notar que nem toda reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, retas paralelas aos eixos ou passando pela origem.

Exemplo. A linha reta corta segmentos positivos iguais nos eixos coordenados. Escreva a equação de uma reta se a área do triângulo formado por esses segmentos for 8 cm 2.

A equação de uma reta tem a forma:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -quatro.

a = -4 não se enquadra na condição do problema.

Total:
ou x + y - 4 = 0.

Exemplo. Escreva a equação de uma reta que passa pelo ponto A (-2, -3) e pela origem.

A equação de uma reta tem a forma:
, onde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ângulo entre linhas em um plano.

Definição. Se duas linhas são dadas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , então o ângulo agudo entre essas linhas será definido como

.

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2 .

Duas retas são perpendiculares se k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Retas Ax + Vy + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 são paralelos quando os coeficientes A são proporcionais 1 =  A, B 1 =  B. Se também C 1 =  C, então as linhas coincidem.

As coordenadas do ponto de interseção de duas retas são encontradas como solução para o sistema de equações dessas retas.

Equação de uma linha que passa por um ponto dado

perpendicular a esta linha.

Definição. A linha que passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y \u003d kx + b é representada pela equação:

A distância de um ponto a uma linha.

Teorema. Se um ponto M(x 0 , e 0 ), então a distância para a linha Ax + Vy + C = 0 é definida como

.

Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular baixada do ponto M até a reta dada. Então a distância entre os pontos M e M 1:

As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicular a uma linha reta dada.

Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, temos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

.

O teorema foi provado.

Exemplo. Determine o ângulo entre as linhas: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Exemplo. Mostre que as retas 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 são perpendiculares.

Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, portanto, as linhas são perpendiculares.

Exemplo. Os vértices do triângulo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) são dados. Encontre a equação para a altura tirada do vértice C.

Encontramos a equação do lado AB:
; 4x = 6a - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

A equação de altura desejada é: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b.

k = . Então y =
. Porque a altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação:
onde b = 17. Total:
.

Resposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Geometria analítica no espaço.

Equação de linha no espaço.

A equação de uma linha reta no espaço por um ponto e

vetor de direção.

Pegue uma linha arbitrária e um vetor (m, n, p) paralela à reta dada. Vetor chamado vetor de guia direto.

Vamos pegar dois pontos arbitrários M 0 (x 0 , y 0 , z 0) e M(x, y, z) na linha reta.

z

M1

Vamos denotar os vetores de raio desses pontos como e , é óbvio que - =
.

Porque vetores
e são colineares, então a relação é verdadeira
= t, onde t é algum parâmetro.

No total, podemos escrever: = + t.

Porque esta equação é satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto na linha, então a equação resultante é equação paramétrica de uma reta.

Esta equação vetorial pode ser representada na forma de coordenadas:

Transformando esse sistema e equacionando os valores do parâmetro t, obtemos as equações canônicas de uma reta no espaço:

.

Definição. Cossenos de direção diretos são os cossenos de direção do vetor , que pode ser calculado pelas fórmulas:

;

.

Daqui temos: m: n: p = cos : cos : cos.

Os números m, n, p são chamados fatores de inclinação direto. Porque é um vetor diferente de zero, m, n e p não podem ser zero ao mesmo tempo, mas um ou dois desses números podem ser zero. Neste caso, na equação de uma reta, os numeradores correspondentes devem ser igualados a zero.

Equação de uma linha reta no espaço passando

através de dois pontos.

Se dois pontos arbitrários M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2) são marcados em uma linha reta no espaço, então as coordenadas desses pontos devem satisfazer a equação do linha reta obtida acima:

.

Além disso, para o ponto M 1 podemos escrever:

.

Resolvendo essas equações juntas, obtemos:

.

Esta é a equação de uma linha reta que passa por dois pontos no espaço.

Equações gerais de uma reta no espaço.

A equação de uma reta pode ser considerada como a equação de uma reta de interseção de dois planos.

Como discutido acima, um plano na forma vetorial pode ser dado pela equação:

+ D = 0, onde

- plano normal; - raio-vetor de um ponto arbitrário do plano.

Lição da série "Algoritmos Geométricos"

Olá caro leitor!

Hoje vamos começar a aprender algoritmos relacionados à geometria. O fato é que existem muitos problemas olímpicos em ciência da computação relacionados à geometria computacional, e a solução de tais problemas geralmente causa dificuldades.

Em algumas lições, consideraremos vários subproblemas elementares nos quais se baseia a solução da maioria dos problemas de geometria computacional.

Nesta lição, vamos escrever um programa para encontrar a equação de uma reta passando pelo dado dois pontos. Para resolver problemas geométricos, precisamos de algum conhecimento de geometria computacional. Dedicaremos parte da aula para conhecê-los.

Informações da geometria computacional

A geometria computacional é um ramo da ciência da computação que estuda algoritmos para resolver problemas geométricos.

Os dados iniciais para tais problemas podem ser um conjunto de pontos no plano, um conjunto de segmentos, um polígono (dado, por exemplo, por uma lista de seus vértices no sentido horário), etc.

O resultado pode ser uma resposta a alguma pergunta (como um ponto pertence a um segmento, dois segmentos se cruzam, ...), ou algum objeto geométrico (por exemplo, o menor polígono convexo conectando pontos dados, a área de um polígono, etc.).

Consideraremos problemas de geometria computacional apenas no plano e apenas no sistema de coordenadas cartesianas.

Vetores e coordenadas

Para aplicar os métodos de geometria computacional, é necessário traduzir imagens geométricas para a linguagem dos números. Vamos supor que um sistema de coordenadas cartesianas é dado no plano, no qual o sentido de rotação no sentido anti-horário é chamado de positivo.

Agora os objetos geométricos recebem uma expressão analítica. Então, para definir um ponto, basta especificar suas coordenadas: um par de números (x; y). Um segmento pode ser especificado especificando as coordenadas de suas extremidades, uma linha reta pode ser especificada especificando as coordenadas de um par de seus pontos.

Mas a principal ferramenta para resolver problemas serão os vetores. Deixe-me lembrá-lo, portanto, de algumas informações sobre eles.

Segmento de linha AB, que tem um ponto MAS considerado o início (ponto de aplicação), e o ponto NO- a extremidade é chamada de vetor AB e denotado por , ou por uma letra minúscula em negrito, por exemplo uma .

Para denotar o comprimento de um vetor (ou seja, o comprimento do segmento correspondente), usaremos o símbolo do módulo (por exemplo, ).

Um vetor arbitrário terá coordenadas iguais à diferença entre as coordenadas correspondentes de seu final e início:

,

pontos aqui UMA e B tem coordenadas respectivamente.

Para os cálculos, usaremos o conceito ângulo orientado, ou seja, um ângulo que leva em conta a posição relativa dos vetores.

Ângulo orientado entre vetores uma e b positivo se a rotação estiver longe do vetor uma para o vetor b é feito no sentido positivo (anti-horário) e negativo no outro caso. Veja fig.1a, fig.1b. Diz-se também que um par de vetores uma e b positivamente (negativamente) orientado.

Assim, o valor do ângulo orientado depende da ordem de enumeração dos vetores e pode assumir valores no intervalo.

Muitos problemas de geometria computacional usam o conceito de produtos vetoriais (inclinados ou pseudoescalares) de vetores.

O produto vetorial dos vetores a e b é o produto dos comprimentos desses vetores e o seno do ângulo entre eles:

.

Produto vetorial de vetores em coordenadas:

A expressão à direita é um determinante de segunda ordem:

Ao contrário da definição dada na geometria analítica, este é um escalar.

O sinal do produto vetorial determina a posição dos vetores em relação um ao outro:

uma e b orientado positivamente.

Se o valor for , então o par de vetores uma e b orientado negativamente.

O produto vetorial de vetores diferentes de zero é zero se e somente se eles são colineares ( ). Isso significa que eles estão na mesma linha ou em linhas paralelas.

Vamos considerar algumas tarefas simples necessárias para resolver as mais complexas.

Vamos definir a equação de uma reta pelas coordenadas de dois pontos.

A equação de uma linha reta que passa por dois pontos diferentes dados por suas coordenadas.

Sejam dados na reta dois pontos não coincidentes: com coordenadas (x1;y1) e com coordenadas (x2;y2). Assim, o vetor com início no ponto e fim no ponto tem coordenadas (x2-x1, y2-y1). Se P(x, y) é um ponto arbitrário em nossa linha, então as coordenadas do vetor são (x-x1, y - y1).

Com a ajuda do produto vetorial, a condição para a colinearidade dos vetores e pode ser escrita da seguinte forma:

Aqueles. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Reescrevemos a última equação da seguinte forma:

ax + por + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Assim, a linha reta pode ser dada por uma equação da forma (1).

Tarefa 1. São dadas as coordenadas de dois pontos. Encontre sua representação na forma ax + by + c = 0.

Nesta lição, nos familiarizamos com algumas informações da geometria computacional. Resolvemos o problema de encontrar a equação da reta pelas coordenadas de dois pontos.

Na próxima lição, escreveremos um programa para encontrar o ponto de interseção de duas linhas dadas por nossas equações.

Propriedades de uma reta na geometria euclidiana.

Existem infinitas linhas que podem ser traçadas através de qualquer ponto.

Por quaisquer dois pontos não coincidentes, há apenas uma linha reta.

Duas linhas não coincidentes no plano se cruzam em um único ponto ou são

paralelo (segue do anterior).

No espaço tridimensional, existem três opções para a posição relativa de duas linhas:

• linhas se cruzam;

• linhas retas são paralelas;

• linhas retas se cruzam.

Em linha reta linha- curva algébrica de primeira ordem: no sistema de coordenadas cartesianas, uma linha reta

é dado no plano por uma equação de primeiro grau (equação linear).

Equação geral de uma reta.

Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem

Ah + Wu + C = 0,

e constante A, B não é igual a zero ao mesmo tempo. Essa equação de primeira ordem é chamada em geral

equação da reta. Dependendo dos valores das constantes A, B e A PARTIR DE Os seguintes casos especiais são possíveis:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- a linha passa pela origem

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- linha reta paralela ao eixo Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linha reta paralela ao eixo UO

. B = C = 0, A ≠ 0- a linha coincide com o eixo UO

. A = C = 0, B ≠ 0- a linha coincide com o eixo Oh

A equação de uma linha reta pode ser representada de várias formas, dependendo de qualquer

condições iniciais.

Equação de uma reta por um ponto e um vetor normal.

Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B)

perpendicular à reta dada pela equação

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma reta que passa por um ponto A(1, 2) perpendicular ao vetor (3, -1).

Solução. Vamos compor em A \u003d 3 e B \u003d -1 a equação da linha reta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar o coeficiente C

substituímos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. Obtemos: 3 - 2 + C = 0, portanto

C = -1. Total: a equação desejada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equação de uma linha reta que passa por dois pontos.

Sejam dados dois pontos no espaço M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M2 (x 2, y 2 , z 2), então equação de linha reta,

passando por estes pontos:

Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero. No

plano, a equação de uma linha reta escrita acima é simplificada:

E se x 1 ≠ x 2 e x = x 1, E se x 1 = x 2 .

Fração = k chamado fator de inclinação direto.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).

Solução. Aplicando a fórmula acima, obtemos:

Equação de uma linha reta por um ponto e uma inclinação.

Se a equação geral de uma reta Ah + Wu + C = 0 trazer para o formulário:

e designar , então a equação resultante é chamada

equação de uma linha reta com inclinação k.

A equação de uma linha reta em um ponto e um vetor diretor.

Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através do vetor normal, você pode entrar na tarefa

uma linha reta que passa por um ponto e um vetor direcional de uma linha reta.

Definição. Todo vetor diferente de zero (α 1 , α 2), cujos componentes satisfazem a condição

Aα 1 + Bα 2 = 0 chamado vetor de direção da reta.

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).

Solução. Vamos procurar a equação da linha reta desejada na forma: Ax + Por + C = 0. De acordo com a definição,

os coeficientes devem satisfazer as condições:

1 * A + (-1) * B = 0, ou seja A = B

Então a equação de uma reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0.

no x=1, y=2 Nós temos C/A = -3, ou seja equação desejada:

x + y - 3 = 0

Equação de uma linha reta em segmentos.

Se na equação geral da reta Ah + Wu + C = 0 C≠0, então, dividindo por -C, obtemos:

ou onde

O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente a é a coordenada do ponto de interseção

reta com eixo Oh, uma b- a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo UO.

Exemplo. A equação geral de uma reta é dada x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta linha reta em segmentos.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equação normal de uma reta.

Se ambos os lados da equação Ah + Wu + C = 0 dividir por número , que é chamado

fator de normalização, então obtemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 -equação normal de uma reta.

O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que µ * C< 0.

R- o comprimento da perpendicular baixada da origem até a linha,

uma φ - o ângulo formado por esta perpendicular com a direção positiva do eixo Oh.

Exemplo. Dada a equação geral de uma linha reta 12x - 5a - 65 = 0. Necessário para escrever vários tipos de equações

esta linha reta.

A equação desta linha reta em segmentos:

A equação desta linha com inclinação: (dividir por 5)

Equação de uma reta:

cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.

Deve-se notar que nem toda linha reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, linhas retas,

paralelas aos eixos ou passando pela origem.

Ângulo entre linhas em um plano.

Definição. Se duas linhas são dadas y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, então o ângulo agudo entre essas linhas

será definido como

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2. Duas retas são perpendiculares

E se k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direto Ah + Wu + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelos quando os coeficientes são proporcionais

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Se também С 1 \u003d λС, então as linhas coincidem. Coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas

são encontrados como uma solução para o sistema de equações dessas linhas.

A equação de uma reta que passa por um ponto dado é perpendicular a uma reta dada.

Definição. Uma linha que passa por um ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y = kx + b

representado pela equação:

A distância de um ponto a uma linha.

Teorema. Se for dado um ponto M(x 0, y 0), então a distância até a linha Ah + Wu + C = 0 definido como:

Prova. Deixe o ponto M 1 (x 1, y 1)- a base da perpendicular caiu do ponto M para um dado

direto. Então a distância entre os pontos M e M 1:

(1)

Coordenadas x 1 e 1 pode ser encontrada como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicularmente

dada linha. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, temos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

As equações canônicas de uma linha reta no espaço são equações que definem uma linha reta que passa por um determinado ponto colinearmente a um vetor de direção.

Sejam dados um ponto e um vetor direcional. Um ponto arbitrário está em uma linha eu somente se os vetores e são colineares, ou seja, eles satisfazem a condição:

.

As equações acima são as equações canônicas da linha.

Números m , n e p são projeções do vetor de direção nos eixos coordenados. Como o vetor é diferente de zero, então todos os números m , n e p não pode ser zero ao mesmo tempo. Mas um ou dois deles podem ser zero. Em geometria analítica, por exemplo, a seguinte notação é permitida:

,

o que significa que as projeções do vetor nos eixos Oi e Oz são iguais a zero. Portanto, tanto o vetor quanto a reta dada pelas equações canônicas são perpendiculares aos eixos Oi e Oz, ou seja, aviões yOz .

Exemplo 1 Compor equações de uma linha reta no espaço perpendicular a um plano e passando pelo ponto de intersecção deste plano com o eixo Oz .

Solução. Encontre o ponto de intersecção do plano dado com o eixo Oz. Como qualquer ponto do eixo Oz, tem coordenadas , então, assumindo na equação dada do plano x=y= 0, obtemos 4 z- 8 = 0 ou z= 2. Portanto, o ponto de intersecção do plano dado com o eixo Oz tem coordenadas (0; 0; 2) . Como a linha desejada é perpendicular ao plano, ela é paralela ao seu vetor normal. Portanto, o vetor normal pode servir como vetor diretor da linha reta dado plano.

Agora escrevemos as equações desejadas da linha reta que passa pelo ponto UMA= (0; 0; 2) na direção do vetor:

Equações de uma linha reta que passa por dois pontos dados

Uma linha reta pode ser definida por dois pontos sobre ela e Neste caso, o vetor diretor da linha reta pode ser o vetor . Então as equações canônicas da reta assumem a forma

.

As equações acima definem uma linha reta que passa por dois pontos dados.

Exemplo 2 Escreva a equação de uma linha reta no espaço que passa pelos pontos E .

Solução. Escrevemos as equações desejadas da linha reta na forma dada acima no referencial teórico:

.

Como , então a linha desejada é perpendicular ao eixo Oi .

Reta como uma linha de interseção de planos

Uma linha reta no espaço pode ser definida como uma linha de interseção de dois planos não paralelos e, ou seja, como um conjunto de pontos que satisfazem um sistema de duas equações lineares

As equações do sistema também são chamadas de equações gerais de uma linha reta no espaço.

Exemplo 3 Compor equações canônicas de uma linha reta no espaço dado por equações gerais

Solução. Para escrever as equações canônicas de uma reta ou, o que é o mesmo, a equação de uma reta que passa por dois pontos dados, você precisa encontrar as coordenadas de quaisquer dois pontos da reta. Eles podem ser os pontos de interseção de uma linha reta com quaisquer dois planos de coordenadas, por exemplo yOz e xOz .

Ponto de intersecção de uma linha com um plano yOz tem uma abscissa x= 0. Portanto, assumindo neste sistema de equações x= 0 , obtemos um sistema com duas variáveis:

A decisão dela y = 2 , z= 6 junto com x= 0 define um ponto UMA(0; 2; 6) da linha desejada. Assumindo então no sistema de equações dado y= 0, obtemos o sistema

A decisão dela x = -2 , z= 0 junto com y= 0 define um ponto B(-2; 0; 0) interseção de uma linha com um plano xOz .

Agora escrevemos as equações de uma linha reta que passa pelos pontos UMA(0; 2; 6) e B (-2; 0; 0) :

,

ou depois de dividir os denominadores por -2:

,

Este artigo continua o tópico da equação de uma linha reta em um plano: considere esse tipo de equação como a equação geral de uma linha reta. Vamos definir um teorema e dar sua prova; Vamos descobrir o que é uma equação geral incompleta de uma linha reta e como fazer transições de uma equação geral para outros tipos de equações de uma linha reta. Consolidaremos toda a teoria com ilustrações e resolução de problemas práticos.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Seja um sistema de coordenadas retangular O x y dado no plano.

Teorema 1

Qualquer equação do primeiro grau, com a forma A x + B y + C \u003d 0, onde A, B, C são alguns números reais (A e B não são iguais a zero ao mesmo tempo) define uma linha reta em um sistema de coordenadas retangulares em um plano. Por sua vez, qualquer linha em um sistema de coordenadas retangulares no plano é determinada por uma equação que tem a forma A x + B y + C = 0 para um determinado conjunto de valores A, B, C.

Prova

Este teorema consiste em dois pontos, vamos provar cada um deles.

1. Vamos provar que a equação A x + B y + C = 0 define uma linha no plano.

Seja algum ponto M 0 (x 0 , y 0) cujas coordenadas correspondem à equação A x + B y + C = 0 . Assim: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtraia dos lados esquerdo e direito das equações A x + B y + C \u003d 0 os lados esquerdo e direito da equação A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, obtemos uma nova equação que se parece com A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . É equivalente a A x + B y + C = 0 .

A equação resultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 é uma condição necessária e suficiente para a perpendicularidade dos vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Assim, o conjunto de pontos M (x, y) define em um sistema de coordenadas retangular uma linha reta perpendicular à direção do vetor n → = (A, B) . Podemos supor que não é assim, mas então os vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) não seriam perpendiculares, e a igualdade A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 não seria verdade.

Portanto, a equação A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 define alguma linha em um sistema de coordenadas retangulares no plano e, portanto, a equação equivalente A x + B y + C \u003d 0 define a mesma linha. Assim provamos a primeira parte do teorema.

1. Vamos provar que qualquer linha reta em um sistema de coordenadas retangulares em um plano pode ser dada por uma equação de primeiro grau A x + B y + C = 0 .

Vamos definir uma linha reta a em um sistema de coordenadas retangulares no plano; ponto M 0 (x 0 , y 0) por onde passa esta reta, assim como o vetor normal desta reta n → = (A , B) .

Deixe também existir algum ponto M (x , y) - um ponto flutuante da linha. Neste caso, os vetores n → = (A , B) e M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) são perpendiculares entre si, e seu produto escalar é zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Vamos reescrever a equação A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definir C: C = - A x 0 - B y 0 e finalmente obter a equação A x + B y + C = 0 .

Então, provamos a segunda parte do teorema e provamos o teorema inteiro como um todo.

Definição 1

Uma equação que parece A x + B y + C = 0 - isto é equação geral de uma reta em um plano em um sistema de coordenadas retangularesOxy.

Com base no teorema provado, podemos concluir que uma linha reta dada em um plano em um sistema de coordenadas retangulares fixo e sua equação geral estão inextricavelmente ligadas. Em outras palavras, a linha original corresponde à sua equação geral; a equação geral de uma linha reta corresponde a uma determinada linha reta.

Também segue da prova do teorema que os coeficientes A e B para as variáveis ​​x e y são as coordenadas do vetor normal da linha reta, que é dado pela equação geral da linha reta A x + B y + C = 0 .

Considere um exemplo específico da equação geral de uma linha reta.

Seja dada a equação 2 x + 3 y - 2 = 0, que corresponde a uma linha reta em um dado sistema de coordenadas retangulares. O vetor normal desta reta é o vetor n → = (2 , 3) ​​. Desenhe uma determinada linha reta no desenho.

Pode-se argumentar também o seguinte: a reta que vemos no desenho é determinada pela equação geral 2 x + 3 y - 2 = 0, pois as coordenadas de todos os pontos de uma determinada reta correspondem a essa equação.

Podemos obter a equação λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 multiplicando ambos os lados da equação geral da reta por um número diferente de zero λ. A equação resultante é equivalente à equação geral original, portanto, descreverá a mesma linha no plano.

Definição 2

Equação geral completa de uma linha reta- uma equação geral da linha A x + B y + C \u003d 0, na qual os números A, B, C são diferentes de zero. Caso contrário, a equação é incompleto.

Analisemos todas as variações da equação geral incompleta da reta.

1. Quando A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, a equação geral se torna B y + C \u003d 0. Tal equação geral incompleta define uma linha reta em um sistema de coordenadas retangulares O x y que é paralelo ao eixo O x, pois para qualquer valor real de x, a variável y assumirá o valor -C.B. Em outras palavras, a equação geral da linha A x + B y + C \u003d 0, quando A \u003d 0, B ≠ 0, define o lugar geométrico dos pontos (x, y) cujas coordenadas são iguais ao mesmo número -C.B.
2. Se A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, a equação geral se torna y \u003d 0. Tal equação incompleta define o eixo x O x .
3. Quando A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, obtemos uma equação geral incompleta A x + C \u003d 0, definindo uma linha reta paralela ao eixo y.
4. Seja A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, então a equação geral incompleta terá a forma x \u003d 0, e esta é a equação da linha de coordenadas O y.
5. Finalmente, quando A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, a equação geral incompleta assume a forma A x + B y \u003d 0. E esta equação descreve uma linha reta que passa pela origem. De fato, o par de números (0 , 0) corresponde à igualdade A x + B y = 0 , pois A · 0 + B · 0 = 0 .

Vamos ilustrar graficamente todos os tipos acima da equação geral incompleta de uma linha reta.

Exemplo 1

Sabe-se que a reta dada é paralela ao eixo y e passa pelo ponto 2 7 , - 11 . É necessário escrever a equação geral de uma dada reta.

Solução

Uma linha reta paralela ao eixo y é dada por uma equação da forma A x + C \u003d 0, na qual A ≠ 0. A condição também especifica as coordenadas do ponto através do qual a linha passa, e as coordenadas deste ponto correspondem às condições da equação geral incompleta A x + C = 0 , ou seja, a igualdade está correta:

A 2 7 + C = 0

É possível determinar C a partir dele dando a A algum valor diferente de zero, por exemplo, A = 7 . Nesse caso, obtemos: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Conhecemos ambos os coeficientes A e C, substituímos na equação A x + C = 0 e obtemos a equação necessária da reta: 7 x - 2 = 0

Responda: 7 x - 2 = 0

Exemplo 2

O desenho mostra uma linha reta, é necessário anotar sua equação.

Solução

O desenho dado nos permite obter facilmente os dados iniciais para resolver o problema. Vemos no desenho que a reta dada é paralela ao eixo O x e passa pelo ponto (0,3).

A linha reta, que é paralela à abcissa, é determinada pela equação geral incompleta B y + С = 0. Encontre os valores de B e C. As coordenadas do ponto (0, 3), uma vez que a linha reta dada passa por ele, satisfará a equação da linha reta B y + С = 0, então a igualdade é válida: В · 3 + С = 0. Vamos definir B para algum valor diferente de zero. Digamos B \u003d 1, neste caso, da igualdade B · 3 + C \u003d 0 podemos encontrar C: C \u003d - 3. Usando os valores conhecidos de B e C, obtemos a equação necessária da linha reta: y - 3 = 0.

Responda: y - 3 = 0 .

Equação geral de uma linha reta que passa por um ponto dado do plano

Deixe a linha dada passar pelo ponto M 0 (x 0, y 0), então suas coordenadas correspondem à equação geral da linha, ou seja. a igualdade é verdadeira: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtraia os lados esquerdo e direito desta equação dos lados esquerdo e direito da equação geral completa da linha reta. Obtemos: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, esta equação é equivalente à geral original, passa pelo ponto M 0 (x 0, y 0) e tem um vetor normal n → \u003d (A, B) .

O resultado que obtivemos permite escrever a equação geral de uma reta para as coordenadas conhecidas do vetor normal da reta e as coordenadas de um determinado ponto dessa reta.

Exemplo 3

Dado um ponto M 0 (- 3, 4) através do qual a linha passa, e o vetor normal desta linha n → = (1 , - 2) . É necessário escrever a equação de uma dada reta.

Solução

As condições iniciais nos permitem obter os dados necessários para compilar a equação: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Então:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

O problema poderia ter sido resolvido de outra forma. A equação geral de uma linha reta tem a forma A x + B y + C = 0 . O vetor normal dado permite obter os valores dos coeficientes A e B , então:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Agora vamos encontrar o valor de C, usando o ponto M 0 (- 3, 4) dado pela condição do problema, por onde passa a reta. As coordenadas deste ponto correspondem à equação x - 2 · y + C = 0 , ou seja. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Portanto C = 11. A equação de linha reta necessária assume a forma: x - 2 · y + 11 = 0 .

Responda: x - 2 y + 11 = 0 .

Exemplo 4

Dada uma linha 2 3 x - y - 1 2 = 0 e um ponto M 0 sobre esta linha. Apenas a abcissa deste ponto é conhecida e é igual a - 3. É necessário determinar a ordenada do ponto dado.

Solução

Vamos definir a designação das coordenadas do ponto M 0 como x 0 e y 0 . Os dados iniciais indicam que x 0 \u003d - 3. Como o ponto pertence a uma determinada reta, então suas coordenadas correspondem à equação geral dessa reta. Então a seguinte igualdade será verdadeira:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Defina y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Responda: - 5 2

Transição da equação geral de uma reta para outros tipos de equações de uma reta e vice-versa

Como sabemos, existem vários tipos de equação da mesma reta no plano. A escolha do tipo de equação depende das condições do problema; é possível escolher o que for mais conveniente para sua solução. É aqui que a habilidade de converter uma equação de um tipo em uma equação de outro tipo é muito útil.

Primeiro, considere a transição da equação geral da forma A x + B y + C = 0 para a equação canônica x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Se A ≠ 0, então transferimos o termo B y para o lado direito da equação geral. No lado esquerdo, tiramos A dos colchetes. Como resultado, obtemos: A x + C A = - B y .

Esta igualdade pode ser escrita como uma proporção: x + C A - B = y A .

Se B ≠ 0, deixamos apenas o termo A x no lado esquerdo da equação geral, transferimos os outros para o lado direito, obtemos: A x \u003d - B y - C. Tiramos - B dos colchetes, então: A x \u003d - B y + C B.

Vamos reescrever a igualdade como uma proporção: x - B = y + C B A .

Claro, não há necessidade de memorizar as fórmulas resultantes. Basta conhecer o algoritmo de ações durante a transição da equação geral para a canônica.

Exemplo 5

A equação geral da linha 3 y - 4 = 0 é dada. Ele precisa ser convertido em uma equação canônica.

Solução

Escrevemos a equação original como 3 y - 4 = 0 . Em seguida, agimos de acordo com o algoritmo: o termo 0 x permanece no lado esquerdo; e no lado direito tiramos - 3 entre colchetes; obtemos: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Vamos escrever a igualdade resultante como uma proporção: x - 3 = y - 4 3 0 . Assim, obtivemos uma equação da forma canônica.

Resposta: x - 3 = y - 4 3 0.

Para transformar a equação geral de uma linha reta em paramétricas, primeiro, é realizada a transição para a forma canônica e, em seguida, a transição da equação canônica da linha reta para equações paramétricas.

Exemplo 6

A linha reta é dada pela equação 2 x - 5 y - 1 = 0 . Escreva as equações paramétricas desta reta.

Solução

Vamos fazer a transição da equação geral para a canônica:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Agora vamos tomar ambas as partes da equação canônica resultante igual a λ, então:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Responda:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

A equação geral pode ser convertida em uma equação de linha reta com inclinação y = k x + b, mas somente quando B ≠ 0. Para a transição do lado esquerdo, deixamos o termo B y , o restante é transferido para a direita. Obtemos: B y = - A x - C . Vamos dividir ambas as partes da igualdade resultante por B , que é diferente de zero: y = - A B x - C B .

Exemplo 7

A equação geral de uma linha reta é dada: 2 x + 7 y = 0 . Você precisa converter essa equação em uma equação de inclinação.

Solução

Vamos realizar as ações necessárias de acordo com o algoritmo:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Responda: y = - 2 7 x .

A partir da equação geral de uma linha reta, basta obter uma equação em segmentos da forma x a + y b \u003d 1. Para fazer essa transição, transferimos o número C para o lado direito da igualdade, dividimos ambas as partes da igualdade resultante por - С e, finalmente, transferimos os coeficientes das variáveis ​​x e y para os denominadores:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exemplo 8

É necessário converter a equação geral da reta x - 7 y + 1 2 = 0 na equação da reta em segmentos.

Solução

Vamos mover 1 2 para o lado direito: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Divida por -1/2 ambos os lados da equação: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Responda: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Em geral, a transição inversa também é fácil: de outros tipos de equações para a geral.

A equação de uma reta em segmentos e a equação com inclinação podem ser facilmente convertidas em uma geral simplesmente coletando todos os termos do lado esquerdo da equação:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

A equação canônica é convertida para a geral de acordo com o seguinte esquema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Para passar do paramétrico, primeiro é realizada a transição para o canônico e depois para o geral:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplo 9

As equações paramétricas da reta x = - 1 + 2 · λ y = 4 são dadas. É necessário escrever a equação geral desta reta.

Solução

Vamos fazer a transição de equações paramétricas para canônicas:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Vamos passar de canônico para geral:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Responda: s - 4 = 0

Exemplo 10

A equação de uma linha reta nos segmentos x 3 + y 1 2 = 1 é dada. É necessário realizar a transição para a forma geral da equação.

Solução:

Vamos apenas reescrever a equação na forma necessária:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Responda: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Elaboração de uma equação geral de uma linha reta

Acima, dissemos que a equação geral pode ser escrita com as coordenadas conhecidas do vetor normal e as coordenadas do ponto pelo qual a reta passa. Tal linha reta é definida pela equação A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . No mesmo local analisamos o exemplo correspondente.

Agora vamos ver exemplos mais complexos nos quais, primeiro, é necessário determinar as coordenadas do vetor normal.

Exemplo 11

Dada uma reta paralela à reta 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Também conhecido é o ponto M 0 (4 , 1) através do qual passa a linha dada. É necessário escrever a equação de uma dada reta.

Solução

As condições iniciais nos dizem que as linhas são paralelas, enquanto que, como um vetor normal da linha cuja equação precisa ser escrita, tomamos o vetor diretor da linha n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Agora conhecemos todos os dados necessários para compor a equação geral de uma reta:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Responda: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Exemplo 12

A reta dada passa pela origem perpendicular à reta x - 2 3 = y + 4 5 . É necessário escrever a equação geral de uma dada reta.

Solução

O vetor normal da linha dada será o vetor diretor da linha x - 2 3 = y + 4 5 .

Então n → = (3 , 5) . A linha reta passa pela origem, ou seja, pelo ponto O (0, 0). Vamos compor a equação geral de uma dada reta:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Responda: 3 x + 5 y = 0 .

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