Valor esperado. expectativa matemática variável aleatória discreta X, que assume um número finito de valores Xeu com probabilidades Reu, é chamado de soma:

expectativa matemática variável aleatória contínua Xé chamado de integral do produto de seus valores X na densidade de distribuição de probabilidade f(x):

(6b)

Integral impróprio (6 b) é assumido como absolutamente convergente (caso contrário, dizemos que a expectativa M(X) não existe). A expectativa matemática caracteriza significa variável aleatória X. Sua dimensão coincide com a dimensão de uma variável aleatória.

Propriedades da esperança matemática:

Dispersão. dispersão variável aleatória X número é chamado:

A dispersão é característica de dispersão valores de uma variável aleatória X em relação ao seu valor médio M(X). A dimensão da variância é igual à dimensão da variável aleatória ao quadrado. Com base nas definições de variância (8) e expectativa matemática (5) para uma variável aleatória discreta e (6) para uma variável aleatória contínua, obtemos expressões semelhantes para a variância:

(9)

Aqui m = M(X).

Propriedades de dispersão:

Desvio padrão:

(11)

Como a dimensão do desvio padrão é a mesma de uma variável aleatória, é mais frequente que a variância usada como medida de dispersão.

momentos de distribuição. Os conceitos de expectativa matemática e variância são casos especiais de um conceito mais geral para as características numéricas de variáveis ​​aleatórias - momentos de distribuição. Os momentos de distribuição de uma variável aleatória são apresentados como expectativas matemáticas de algumas funções simples de uma variável aleatória. Assim, o momento da ordem k em relação ao ponto X 0 é chamado de expectativa M(X–X 0 )k. Momentos relativos à origem X= 0 são chamados momentos iniciais e estão marcados:

(12)

O momento inicial de primeira ordem é o centro de distribuição da variável aleatória considerada:

(13)

Momentos relativos ao centro de distribuição X= m chamado pontos centrais e estão marcados:

(14)

De (7) segue que o momento central de primeira ordem é sempre igual a zero:

Os momentos centrais não dependem da origem dos valores da variável aleatória, pois com um deslocamento por um valor constante A PARTIR DE seu centro de distribuição é deslocado pelo mesmo valor A PARTIR DE, e o desvio do centro não muda: X – m = (X – A PARTIR DE) – (m – A PARTIR DE).
Agora é óbvio que dispersão- isto é momento central de segunda ordem:

Assimetria. Momento central de terceira ordem:

(17)

serve para avaliar assimetria de distribuição. Se a distribuição é simétrica em relação ao ponto X= m, então o momento central da terceira ordem será igual a zero (assim como todos os momentos centrais das ordens ímpares). Portanto, se o momento central de terceira ordem for diferente de zero, então a distribuição não pode ser simétrica. A magnitude da assimetria é estimada usando um coeficiente de assimetria:

(18)

O sinal do coeficiente de assimetria (18) indica assimetria do lado direito ou do lado esquerdo (Fig. 2).

Arroz. 2. Tipos de assimetria de distribuições.

Excesso. Momento central da quarta ordem:

(19)

serve para avaliar os chamados curtose, que determina o grau de inclinação (pontuação) da curva de distribuição próxima ao centro de distribuição em relação à curva de distribuição normal. Uma vez que para uma distribuição normal, a quantidade tomada como curtose é:

(20)

Na fig. 3 mostra exemplos de curvas de distribuição com diferentes valores de curtose. Para uma distribuição normal E= 0. As curvas mais pontiagudas do que o normal têm curtose positiva e curvas com picos mais planos têm curtose negativa.

Arroz. 3. Curvas de distribuição com diferentes graus de inclinação (curtose).

Momentos de ordem superior em aplicações de engenharia de estatística matemática geralmente não são usados.

Moda discreto variável aleatória é seu valor mais provável. Moda contínuo uma variável aleatória é seu valor no qual a densidade de probabilidade é máxima (Fig. 2). Se a curva de distribuição tem um máximo, então a distribuição é chamada unimodal. Se a curva de distribuição tem mais de um máximo, então a distribuição é chamada de polimodal. Às vezes, existem distribuições cujas curvas não têm um máximo, mas um mínimo. Essas distribuições são chamadas antimodal. No caso geral, a moda e a expectativa matemática de uma variável aleatória não coincidem. Em um caso particular, por modal, ou seja tendo uma moda, uma distribuição simétrica, e desde que haja uma esperança matemática, esta coincide com a moda e o centro de simetria da distribuição.

Mediana variável aleatória Xé o seu significado Eu, para o qual a igualdade vale: i.e. é igualmente provável que a variável aleatória X será menos ou mais Eu. Geometricamente medianaé a abcissa do ponto em que a área sob a curva de distribuição é dividida pela metade (Fig. 2). No caso de uma distribuição modal simétrica, a mediana, a moda e a média são as mesmas.

Além da expectativa matemática e da dispersão, várias características numéricas são usadas na teoria da probabilidade, refletindo certas características da distribuição.

Definição. O modo Mo(X) de uma variável aleatória X é seu valor mais provável(para o qual a probabilidade r r ou densidade de probabilidade

Se a probabilidade ou densidade de probabilidade atinge um máximo não em um, mas em vários pontos, a distribuição é chamada polimodal(Fig. 3.13).

Moda Musgo), em que a probabilidade R ( ou a densidade de probabilidade (p(x) atinge um máximo global, é chamado valor mais provável variável aleatória (na Fig. 3.13 este Mo(X) 2).

Definição. A mediana Me(X) de uma variável aleatória contínua X é o seu valor, para qual

Essa. a probabilidade de que a variável aleatória X assume um valor menor que a mediana Pelagem) ou maior que ele, igual e igual a 1/2. Linha geometricamente vertical X = Pelagem) passando por um ponto de abcissa igual a Pelagem), divide a área da figura da curva de distribuição em duas partes iguais (Fig. 3.14). Obviamente, no ponto X = Pelagem) a função de distribuição é igual a 1/2, ou seja. P(Eu(X))= 1/2 (Fig. 3.15).

Observe uma propriedade importante da mediana de uma variável aleatória: a expectativa matemática do valor absoluto do desvio da variável aleatória X do valor constante C é mínima então, quando esta constante C é igual à mediana Me(X) = m, ou seja

(a propriedade é semelhante à propriedade (3,10") da minimalidade do quadrado médio do desvio de uma variável aleatória de sua expectativa matemática).

O Exemplo 3.15. Encontre a moda, a mediana e a média de uma variável aleatória Xs densidade de probabilidade φ(x) = 3x 2 para xx.

Solução. A curva de distribuição é mostrada na fig. 3.16. Obviamente, a densidade de probabilidade φ(x) é máxima em X= Mo(X) = 1.

mediana Pelagem) = b encontramos da condição (3.28):

Onde

A expectativa matemática é calculada pela fórmula (3.25):

Disposição mútua de pontos M(X) > Eu(X) e Musgo) em ordem crescente de abcissa é mostrado na fig. 3.16. ?

Juntamente com as características numéricas mencionadas acima, o conceito de quantis e pontos percentuais é usado para descrever uma variável aleatória.

Definição. Quantil de nível y-quantil )

é chamado tal valor x q de uma variável aleatória , em que sua função de distribuição assume um valor igual a d, ou seja

Alguns quantis receberam um nome especial. Obviamente, o acima mediana variável aleatória é o quantil de nível 0,5, ou seja, Eu (X) \u003d x 05. Os quantis dg 0 2 5 e x 075 são nomeados respectivamente mais baixo e quartil superior K

Intimamente relacionado com o conceito de um quantil é o conceito ponto percentual. Debaixo Ponto YuOuHo-noi quantil implícito x x (( , Essa. tal valor de uma variável aleatória x, sob as quais

0 Exemplo 3.16. De acordo com o exemplo 3.15 encontre o quantil x 03 e 30% de ponto variável aleatório x.

Solução. De acordo com a fórmula (3.23), a função de distribuição

Encontramos o quantil r 0 z da equação (3.29), i.e. x$ 3 \u003d 0,3, de onde L "oz -0,67. Encontre o ponto de 30% da variável aleatória x, ou quantil x 0 7, da equação x$ 7 = 0,7, de onde x 0 7 "0,89. ?

Dentre as características numéricas de uma variável aleatória, os momentos - inicial e central - são de particular importância.

Definição. Momento inicialk-ésima ordem de uma variável aleatória X é a expectativa matemática da k-ésima potência dessa variável :

Definição. Ponto centrala k-ésima ordem de uma variável aleatória X é a expectativa matemática do k-ésimo grau de desvio da variável aleatória X de sua expectativa matemática:

Fórmulas para calcular os momentos para variáveis ​​aleatórias discretas (tomando os valores x 1 com probabilidades p,) e contínua (com densidade de probabilidade cp(x)) são dadas na Tabela. 3.1.

Tabela 3.1

É fácil ver que quando k = 1 primeiro momento inicial da variável aleatória Xé a sua esperança matemática, ou seja, h x \u003d M [X) \u003d a, no para= 2 o segundo momento central é a dispersão, ou seja p 2 = T)(X).

Os momentos centrais p A podem ser expressos em termos dos momentos iniciais usando as fórmulas:

etc.

Por exemplo, c 3 \u003d M (X-a) * \u003d M (X * -ZaX 2 + Za 2 X-a-\u003e) \u003d M (X *) ~ -ZaM (X 2) + Za 2 M (X) ~ a3 \u003d y 3 -Zy ^ + Zy (y, -y ^ \u003d y 3 - Zy ^ + 2y ^ (ao derivar, levamos em consideração que uma = M(X)= V, - valor não aleatório). ?

Como observado acima, a expectativa matemática M(X), ou o primeiro momento inicial, caracteriza o valor médio ou posição, o centro de distribuição de uma variável aleatória X na reta numérica; dispersão OH), ou o segundo momento central p 2 , - s t s - espalhamento de distribuição X relativamente M(X). Momentos de ordem superior servem para uma descrição mais detalhada da distribuição.

Terceiro momento central p 3 serve para caracterizar a assimetria da distribuição (assimetria). Tem a dimensão de um cubo de uma variável aleatória. Para obter um valor adimensional, ele é dividido por cerca de 3, onde a é o desvio padrão da variável aleatória x. Valor recebido MAS chamado coeficiente de assimetria de uma variável aleatória.

Se a distribuição é simétrica em relação à expectativa matemática, então o coeficiente de assimetria é A = 0.

Na fig. 3.17 mostra duas curvas de distribuição: I e II. A curva I tem uma assimetria positiva (lado direito) (L > 0), e a curva II tem uma assimetria negativa (lado esquerdo) (L

Quarto momento central p 4 serve para caracterizar a inclinação (pico do topo ou topo plano - poste) da distribuição.

moda() variável aleatória contínua é seu valor, que corresponde ao valor máximo de sua densidade de probabilidade.

mediana() Uma variável aleatória contínua é seu valor, que é determinado pela igualdade:

B15. Lei de distribuição binomial e suas características numéricas. Distribuição binomial descreve experiências independentes repetidas. Esta lei determina a ocorrência de um evento vezes em tentativas independentes, se a probabilidade da ocorrência de um evento em cada um desses experimentos não mudar de experiência para experiência. Probabilidade:

,

onde: é a probabilidade conhecida da ocorrência de um evento no experimento, que não muda de experiência para experiência;

é a probabilidade do evento não aparecer no experimento;

é o número especificado de ocorrência do evento nos experimentos;

é o número de combinações de elementos por .

B15. Lei de distribuição uniforme, gráficos da função de distribuição e densidade, características numéricas. Uma variável aleatória contínua é considerada distribuído uniformemente, se sua densidade de probabilidade tem a forma:

Valor esperado variável aleatória com distribuição uniforme:

Dispersão pode ser calculado da seguinte forma:

Desvio padrão vai parecer:

.

B17. A lei exponencial da distribuição, gráficos da função e densidade de distribuição, características numéricas. distribuição exponencial Uma variável aleatória contínua é uma distribuição que é descrita pela seguinte expressão para a densidade de probabilidade:

,

onde é um valor positivo constante.

A função de distribuição de probabilidade neste caso tem a forma:

A expectativa matemática de uma variável aleatória com distribuição exponencial é obtida com base na fórmula geral, levando em consideração o fato de que quando:

.

Integrando esta expressão por partes, encontramos: .

A variância para a distribuição exponencial pode ser obtida usando a expressão:

.

Substituindo a expressão para a densidade de probabilidade, encontramos:

Calculando a integral por partes, obtemos: .

B16. Lei de distribuição normal, gráficos da função e densidade de distribuição. Distribuição normal padrão. Função de distribuição normal refletida. Normal tal distribuição de uma variável aleatória é chamada, cuja densidade de probabilidade é descrita pela função Gaussiana:

onde é o desvio padrão;

é a esperança matemática de uma variável aleatória.

Um gráfico de densidade de distribuição normal é chamado de curva gaussiana normal.

B18. Desigualdade de Markov. Desigualdade de Chebyshev generalizada. Se para uma variável aleatória X existe, então para qualquer Desigualdade de Markov .

Ela decorre de desigualdade de Chebyshev generalizada: Seja a função monotonicamente crescente e não negativa em . Se para uma variável aleatória X existe, então para qualquer desigualdade .

B19. A lei dos grandes números na forma de Chebyshev. Seu significado. Consequência da lei dos grandes números na forma de Chebyshev. A lei dos grandes números na forma de Bernoulli. Debaixo lei dos grandes números na teoria das probabilidades, entende-se um certo número de teoremas, em cada um dos quais se estabelece o fato de uma aproximação assintótica do valor médio de um grande número de dados experimentais à expectativa matemática de uma variável aleatória. As provas desses teoremas são baseadas na desigualdade de Chebyshev. Essa desigualdade pode ser obtida considerando uma variável aleatória discreta com valores possíveis.

Teorema. Seja uma sequência finita variáveis ​​aleatórias independentes, com a mesma expectativa matemática e variâncias limitadas pela mesma constante:

Então, qualquer que seja o número , a probabilidade do evento

tende à unidade em .

O teorema de Chebyshev estabelece uma conexão entre a teoria da probabilidade, que considera as características médias de todo o conjunto de valores de uma variável aleatória, e a estatística matemática, que opera em um conjunto limitado de valores dessa variável. Mostra que, para um número suficientemente grande de medições de uma determinada variável aleatória, a média aritmética dos valores dessas medições se aproxima da expectativa matemática.

EM 20. Tema e tarefas de estatística matemática. Populações gerais e amostrais. Método de seleção. Estatísticas matemáticas- a ciência dos métodos matemáticos de sistematização e utilização de dados estatísticos para conclusões científicas e práticas, com base na teoria da probabilidade.

Os objetos de estudo da estatística matemática são eventos aleatórios, quantidades e funções que caracterizam o fenômeno aleatório considerado. Os seguintes eventos são aleatórios: ganhar um bilhete da loteria em dinheiro, conformidade do produto controlado com os requisitos estabelecidos, operação sem problemas do carro durante o primeiro mês de operação, cumprimento pelo contratado da jornada diária de trabalho.

conjunto de amostragemé uma coleção de objetos selecionados aleatoriamente.

População geral nomeie o conjunto de objetos a partir do qual a amostra é feita.

AT 21. Métodos de seleção.

Métodos de seleção: 1 Seleção que não requer a divisão da população geral em partes. Estes incluem a) seleção aleatória simples não repetitiva eb) resseleção aleatória simples. 2) Seleção, em que a população geral é dividida em partes. Estes incluem a) seleção do tipo, b) seleção mecânica ec) seleção serial.

Simples aleatório chamada seleção, na qual os objetos são extraídos um a um da população geral.

Típica chamada seleção, na qual os objetos são selecionados não de toda a população geral, mas de cada uma de suas partes “típicas”.

Mecânico chamada seleção, na qual a população geral é dividida mecanicamente em tantos grupos quantos os objetos a serem incluídos na amostra, e um objeto é selecionado de cada grupo.

Serial chamada seleção, na qual os objetos são selecionados da população geral não um a um, mas "séries", que são submetidos a um levantamento contínuo.

B22. Séries estatísticas e variacionais. Função de distribuição empírica e suas propriedades. Séries variacionais para variáveis ​​aleatórias discretas e contínuas. Seja uma amostra da população geral, e o valor do parâmetro em estudo foi observado uma vez, uma vez, etc. No entanto, o tamanho da amostra Os valores observados são chamados opções, e a sequência é uma variante escrita em ordem crescente - série variacional. O número de observações é chamado frequências, e sua relação com o tamanho da amostra - frequências relativas.Série de variação pode ser representado como uma tabela:

X			…..
n			….

A distribuição estatística da amostra ligue para a lista de opções e suas respectivas frequências relativas. A distribuição estatística pode ser representada como:

X			…..
W			….

onde são as frequências relativas.

Função de distribuição empírica chame a função que determina para cada valor x a frequência relativa do evento X

O objetivo da aula: formar a compreensão dos alunos sobre a mediana de um conjunto de números e a capacidade de calculá-la para conjuntos numéricos simples, fixando o conceito de conjunto de média aritmética de números.

Tipo de lição: explicação do novo material.

Equipamento: placa, livro, ed. Yu.N Tyurina “Teoria e estatística da probabilidade”, computador com projetor.

Durante as aulas

1. Momento organizacional.

Informar o tema da lição e formular seus objetivos.

2. Actualização de conhecimentos prévios.

Perguntas para os alunos:

• Qual é a média aritmética de um conjunto de números?
• Onde está localizada a média aritmética dentro de um conjunto de números?
• O que caracteriza a média aritmética de um conjunto de números?
• Onde a média aritmética de um conjunto de números é frequentemente usada?

Tarefas orais:

Encontre a média aritmética de um conjunto de números:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Verificando a lição de casa com um projetor ( Anexo 1):

Livro didático:: Nº 12 (b, d), Nº 18 (c, d)

3. Aprendendo novos materiais.

Na lição anterior, conhecemos uma característica estatística como a média aritmética de um conjunto de números. Hoje vamos dedicar uma aula a outra característica estatística - a mediana.

Não apenas a média aritmética mostra onde na reta numérica os números de qualquer conjunto estão localizados e onde está seu centro. Outro indicador é a mediana.

A mediana de um conjunto de números é o número que divide o conjunto em duas partes iguais. Em vez de "mediano" pode-se dizer "meio".

Primeiro, usando exemplos, analisaremos como encontrar a mediana e, em seguida, daremos uma definição estrita.

Considere o seguinte exemplo oral usando um projetor ( Apêndice 2)

No final do ano letivo, 11 alunos da 7ª série passaram o padrão de corrida de 100 metros. Os seguintes resultados foram registrados:

Depois que os caras correram a distância, Petya se aproximou do professor e perguntou qual foi o resultado dele.

“Mais média: 16,9 segundos”, respondeu o professor

"Por que?" Petya ficou surpreso. - Afinal, a média aritmética de todos os resultados é de cerca de 18,3 segundos, e eu corri um segundo ou mais melhor. E, em geral, o resultado de Katya (18,4) está muito mais próximo da média do que o meu.”

“Seu resultado é médio porque cinco pessoas correram melhor que você e cinco pior. Então você está bem no meio”, disse o professor. [2]

Escreva um algoritmo para encontrar a mediana de um conjunto de números:

1. Ordene o conjunto numérico (componha uma série classificada).
2. Ao mesmo tempo, riscamos os números “maior” e “menor” desse conjunto de números até restar um ou dois números.
3. Se houver apenas um número, então é a mediana.
4. Se houver dois números restantes, a mediana será a média aritmética dos dois números restantes.

Peça aos alunos que formulem independentemente a definição da mediana de um conjunto de números, depois leiam duas definições da mediana no livro didático (p. 50) e analisem os exemplos 4 e 5 do livro didático (pp. 50-52)

Comente:

Chame a atenção dos alunos para uma circunstância importante: a mediana é praticamente insensível a desvios significativos de valores extremos individuais de conjuntos de números. Em estatística, essa propriedade é chamada de estabilidade. A estabilidade de um indicador estatístico é uma propriedade muito importante, pois nos protege contra erros aleatórios e dados individuais não confiáveis.

4. Consolidação do material estudado.

A decisão dos números do livro didático para o item 11 "Mediana".

Conjunto de números: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Conjunto de números: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

a) Conjunto de números: 3,4,11,17,21

b) Conjunto de números: 17,18,19,25,28

c) Conjunto de números: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Conclusão: a mediana de um conjunto de números constituído por um número ímpar de membros é igual ao número do meio.

a) Conjunto de números: 2, 4, 8 , 9.

Eu = (4+8):2=12:2=6

b) Conjunto de números: 1,3, 5,7 ,8,9.

Eu = (5+7):2=12:2=6

A mediana de um conjunto de números contendo um número par de membros é metade da soma dos dois números do meio.

O aluno recebeu as seguintes notas em álgebra durante o trimestre:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Encontre a pontuação média e a mediana desse conjunto. [ 3 ]

Vamos ordenar um conjunto de números: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Apenas 10 números, para encontrar a mediana você precisa pegar dois números do meio e encontrar sua meia soma.

Eu = (5+5):2 = 5

Pergunta aos alunos: Se você fosse um professor, que nota você daria a esse aluno por um trimestre? Justifique a resposta.

O presidente da empresa recebe um salário de 300.000 rublos. três de seus deputados recebem 150.000 rublos cada, quarenta funcionários - 50.000 rublos cada. e o salário de um faxineiro é de 10.000 rublos. Encontre a média aritmética e a mediana dos salários da empresa. Qual dessas características é mais lucrativa para o presidente usar para fins publicitários?

= (300000+3 150000+40 50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (rublos)

Tarefa 3. (Peça aos alunos que resolvam sozinhos, projete a tarefa usando um projetor)

A tabela mostra o volume aproximado de água nos maiores lagos e reservatórios da Rússia em metros cúbicos. km. (Apêndice 3) [ 4 ]

A) Encontre o volume médio de água nesses reservatórios (média aritmética);

B) Encontre o volume de água no tamanho médio do reservatório (mediana dos dados);

C) Na sua opinião, qual dessas características - a média aritmética ou a mediana - melhor descreve o volume de um grande reservatório russo típico? Explique a resposta.

a) 2459 cu. km

b) 60 cu. km

c) Mediana, porque data contém valores que são muito diferentes de todos os outros.

Tarefa 4. Oralmente.

A) Quantos números há no conjunto se sua mediana for o nono termo?

B) Quantos números há no conjunto se sua mediana for a média aritmética dos 7º e 8º termos?

C) Em um conjunto de sete números, o maior número foi aumentado em 14. Isso mudará tanto a média aritmética quanto a mediana?

D) Cada um dos números do conjunto foi aumentado em 3. O que acontecerá com a média aritmética e a mediana?

Doces na loja são vendidos por peso. Para descobrir quantos doces estão contidos em um quilo, Masha decidiu encontrar o peso de um doce. Ela pesou vários doces e obteve os seguintes resultados:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Ambas as características são adequadas para estimar o peso de um doce, pois eles não são muito diferentes um do outro.

Assim, para caracterizar a informação estatística, utiliza-se a média aritmética e a mediana. Em muitos casos, algumas das características podem não ter nenhum significado significativo (por exemplo, tendo informações sobre o horário dos acidentes de trânsito, dificilmente faz sentido falar sobre a média aritmética desses dados).

1. Dever de casa: parágrafo 11, nº 3,4,9,11.
2. Resultados da lição. Reflexão.

Literatura:

1. Yu.N. Tyurin et al. “Teoria e Estatística da Probabilidade”, MCNMO Publishing House, JSC “Moscow Textbooks”, Moscou 2008.
2. E.A. Bunimovitch, V. A. Bulychev “Fundamentos de estatística e probabilidade”, DROFA, Moscou 2004.
3. Jornal “Matemática” nº 23, 2007.
4. Versão demo do teste de teoria da probabilidade e estatística para o 7º ano, conta 2007/2008. ano.

Moda- o valor no conjunto de observações que ocorre com mais frequência

Mo \u003d X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1): ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

aqui X Mo é a borda esquerda do intervalo modal, h Mo é o comprimento do intervalo modal, f Mo-1 é a frequência do intervalo pré-modal, f Mo é a frequência do intervalo modal, f Mo+1 é a frequência do intervalo pós-modal.

A moda de uma distribuição absolutamente contínua é qualquer ponto do máximo local da densidade de distribuição. Para distribuições discretas, uma moda é qualquer valor a i cuja probabilidade pi é maior que as probabilidades de valores vizinhos

mediana variável aleatória contínua X seu valor Me é chamado tal, para o qual é igualmente provável que a variável aleatória venha a ser menor ou maior Eu, ou seja

M e \u003d (n + 1) / 2 P(X < Eu) = P(X > Eu)

Distribuído uniformemente NOVO

Distribuição uniforme. Uma variável aleatória contínua é chamada uniformemente distribuída no segmento () se sua função densidade de distribuição (Fig. 1.6, uma) parece:

Designação: - SW é distribuído uniformemente em .

Assim, a função de distribuição no segmento (Fig. 1.6, b):

Arroz. 1.6. Funções de uma variável aleatória distribuída uniformemente em [ uma,b]: uma– densidades de probabilidade f(x); b– distribuições F(x)

A expectativa matemática e a variância deste RV são determinadas pelas expressões:

Devido à simetria da função densidade, ela coincide com a mediana. A moda não tem distribuição uniforme

Exemplo 4 O tempo de espera para atendimento de uma chamada telefônica é uma variável aleatória que obedece a uma lei de distribuição uniforme no intervalo de 0 a 2 minutos. Encontre as funções de distribuição integral e diferencial desta variável aleatória.

27. Lei normal da distribuição de probabilidade

Uma variável aleatória contínua x tem uma distribuição normal com parâmetros: m,s > 0, se a densidade da distribuição de probabilidade tiver a forma:

onde: m é a esperança matemática, s é o desvio padrão.

A distribuição normal também é chamada de gaussiana em homenagem ao matemático alemão Gauss. O fato de uma variável aleatória ter distribuição normal com parâmetros: m, , é denotado da seguinte forma: N (m, s), onde: m=a=M[X];

Muitas vezes, em fórmulas, a expectativa matemática é denotada por uma . Se uma variável aleatória é distribuída de acordo com a lei N(0,1), então ela é chamada de valor normal normalizado ou padronizado. A função de distribuição para ele tem a forma:

O gráfico da densidade da distribuição normal, que é chamada de curva normal ou curva gaussiana, é mostrado na Fig. 5.4.

Arroz. 5.4. Densidade de distribuição normal

propriedades uma variável aleatória com uma lei de distribuição normal.

1. Se , então para encontrar a probabilidade de que esse valor caia em um determinado intervalo ( x 1; x 2) a fórmula é usada:

2. A probabilidade de que o desvio de uma variável aleatória de sua expectativa matemática não exceda o valor (em valor absoluto) é igual a.