Os alunos aprendem a encontrar o perímetro na escola primária. Então, essa informação é constantemente usada ao longo do curso de matemática e geometria.
Teoria comum a todas as figuras
As partes são geralmente indicadas em letras latinas. Além disso, eles podem ser designados como segmentos. Então você vai precisar de duas letras para cada lado e escritas em letras grandes. Ou digite a designação com uma letra, que será necessariamente pequena.
As letras são sempre escolhidas em ordem alfabética. Para um triângulo, eles serão os três primeiros. O hexágono terá 6 deles - de a a f. Isso é útil para inserir fórmulas.
Agora sobre como encontrar o perímetro. É a soma dos comprimentos de todos os lados da figura. O número de termos depende do seu tipo. O perímetro é indicado pela letra latina P. As unidades de medida são as mesmas dadas para os lados.
Fórmulas de perímetro para diferentes formas
Para um triângulo: P \u003d a + b + c. Se for isósceles, a fórmula será convertida: P \u003d 2a + c. Como encontrar o perímetro de um triângulo se for equilátero? Isso ajudará: P \u003d 3a.
Para um quadrilátero arbitrário: P=a+b+c+d. Seu caso especial é o quadrado, a fórmula do perímetro: P=4a. Há também um retângulo, então é necessária a seguinte igualdade: P \u003d 2 (a + b).
E se você não souber o comprimento de um ou mais lados de um triângulo?
Use o teorema do cosseno se houver dois lados entre os dados e o ângulo entre eles, que é denotado pela letra A. Então, antes de encontrar o perímetro, você terá que calcular o terceiro lado. Para isso, a seguinte fórmula é útil: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).
Um caso especial deste teorema é o formulado por Pitágoras para um triângulo retângulo. Nele, o valor do cosseno do ângulo reto torna-se igual a zero, o que significa que o último termo simplesmente desaparece.
Há situações em que você pode descobrir como encontrar o perímetro de um triângulo de um lado. Mas, ao mesmo tempo, os ângulos da figura também são conhecidos. Aqui o teorema do seno vem em socorro, quando as razões dos comprimentos dos lados para os senos dos ângulos opostos correspondentes são iguais.
Em uma situação em que o perímetro de uma figura precisa ser encontrado por área, outras fórmulas serão úteis. Por exemplo, se o raio do círculo inscrito for conhecido, na questão de como encontrar o perímetro de um triângulo, a seguinte fórmula é útil: S \u003d p * r, aqui p é o semiperímetro. Deve ser derivado desta fórmula e multiplicado por dois.
Exemplos de tarefas
Primeira condição. Encontre o perímetro de um triângulo cujos lados medem 3, 4 e 5 cm.
Solução. Você precisa usar a igualdade indicada acima e simplesmente substituir os dados na tarefa de valor nele. Os cálculos são fáceis, eles levam ao número 12 cm.
Responda. O perímetro de um triângulo é 12 cm.
Segunda condição. Um lado do triângulo mede 10 cm, sabe-se que o segundo é 2 cm maior que o primeiro e o terceiro é 1,5 vezes maior que o primeiro. É necessário calcular seu perímetro.
Solução. Para descobrir, você precisa contar dois lados. O segundo é definido como a soma de 10 e 2, o terceiro é igual ao produto de 10 e 1,5. Resta então contar a soma de três valores: 10, 12 e 15. O resultado será 37 cm.
Responda. O perímetro é de 37 cm.
Terceira condição. Há um retângulo e um quadrado. Um lado do retângulo tem 4 cm e o outro é 3 cm mais comprido. É necessário calcular o valor do lado do quadrado se seu perímetro for 6 cm menor que o do retângulo.
Solução. O segundo lado do retângulo é 7. Sabendo disso, é fácil calcular seu perímetro. O cálculo dá 22 cm.
Para descobrir o lado do quadrado, você deve primeiro subtrair 6 do perímetro do retângulo e depois dividir o número resultante por 4. Como resultado, temos o número 4.
Responda. O lado do quadrado mede 4 cm.
A capacidade de encontrar o perímetro de um retângulo é muito importante para resolver muitos problemas geométricos. Abaixo está uma instrução detalhada sobre como encontrar o perímetro de diferentes retângulos.
Como encontrar o perímetro de um retângulo regular
Um retângulo regular é um quadrilátero cujos lados paralelos são iguais e todos os ângulos = 90º. Existem 2 maneiras de encontrar seu perímetro:
Some todos os lados.
Calcule o perímetro do retângulo, se sua largura é 3 cm e seu comprimento é 6.
Solução (sequência de ações e raciocínio):
- Como conhecemos a largura e o comprimento do retângulo, não é difícil encontrar seu perímetro. A largura é paralela à largura e o comprimento é o comprimento. Assim, em um retângulo regular, existem 2 larguras e 2 comprimentos.
- Some todos os lados (3 + 3 + 6 + 6) = 18 cm.
Resposta: P = 18 cm.
A segunda forma é a seguinte:
Você precisa adicionar a largura e o comprimento e multiplicar por 2. A fórmula para este método é a seguinte: 2 × (a + b), onde a é a largura, b é o comprimento.
Como parte desta tarefa, obtemos a seguinte solução:
2x(3 + 6) = 2x9 = 18.
Resposta: P = 18.
Como encontrar o perímetro de um retângulo - quadrado
Um quadrado é um quadrilátero regular. Correto porque todos os seus lados e ângulos são iguais. Existem duas maneiras de encontrar seu perímetro:
- Some todos os seus lados.
- Multiplique seu lado por 4.
Exemplo: Encontre o perímetro de um quadrado se seu lado = 5 cm.
Como conhecemos o lado do quadrado, podemos encontrar seu perímetro.
Some todos os lados: 5 + 5 + 5 + 5 = 20.
Resposta: P = 20 cm.
Multiplique o lado do quadrado por 4 (porque todos são iguais): 4x5 = 20.
Resposta: P = 20 cm.
Como encontrar o perímetro de um retângulo - Recursos on-line
Embora as etapas acima sejam fáceis de entender e dominar, existem várias calculadoras on-line que podem ajudá-lo a calcular os perímetros (área, volume) de diferentes formas. Basta digitar os valores necessários e o miniprograma calculará o perímetro da forma que você precisa. Abaixo está uma pequena lista.
Construindo uma lição:
- Organização e motivação dos alunos para as atividades em sala de aula.
- Organização da percepção de novo material com base em material visual
- Organização da compreensão.
- Verificação primária da compreensão do novo material.
- Organização de consolidação primária e análise independente de informações educacionais.
- Aplicação dos conhecimentos adquiridos no workshop.
Lições objetivas:
- Educacional. Assegurar que os alunos aprendam a encontrar a área e o perímetro das formas geométricas;
percepção visual do material da aula; Entenda o que são área e perímetro.
2. Desenvolvimento. Use exercícios de desenvolvimento na lição, ative
atividade mental dos alunos.
3. Educacional. Assegurar o desenvolvimento da cultura valor-semântica dos alunos;
motivação para a capacidade de atingir corretamente o objetivo -
coincidência de expectativa e resultado.
Equipamento:
- M.I.Moro e outros. “Matemática” - um livro didático para a 3ª série do ensino fundamental, parte 1.
- Caderno de matemática.
- Caneta, régua, lápis simples, triângulo, tesoura.
- Modelos de figuras geométricas para encontrar a área.
- Acima do quadro estão cartazes com fórmulas para encontrar área e perímetro.
Meios de educação:
- material didático.
- Auxiliares visuais.
Métodos de ensino:
- Comparação de itens.
- Comparação de métodos para encontrar a área da mesma figura.
Durante as aulas.
1. Momento organizacional e mensagem do tema da aula.
Professor: Olá pessoal. Hoje continuaremos nosso estudo de um grande tópico chamado “Área e Perímetro”. O tema da nossa aula de hoje: “A capacidade de aplicar o conhecimento para encontrar o perímetro e a área de uma figura complexa.” Uma figura complexa é uma figura geométrica que consiste em várias figuras simples. Primeiro, vamos repetir o que aprendemos nas lições anteriores.
II. Contagem verbal.
Tarefas de desenvolvimento.
Professor: Encontre a área desta figura se o lado do quadrado é 1 cm.
A figura é mostrada na placa.
Aluno: Se 1 quadrado tem uma área de 1 cm 2 e 5 quadrados são mostrados, então a área desta figura é de 5 cm 2.
Professora: Certo. Próxima tarefa. Remova 3 varetas para deixar 3 desses quadrados.
O aluno vai até o quadro-negro e retira 3 gravetos.
Professor: Remova 4 varetas para que 3 dos mesmos quadrados permaneçam.
O aluno vai ao quadro-negro e retira 4 gravetos. Solução.
III. Trabalhe o tema da aula
Professora: Que formas geométricas você já conhece?
Aluno: Retângulo.
Aluno: Quadrado.
Professora: Certo. O que sabemos sobre a praça?
Aluno: Um quadrado tem 4 lados e 4 cantos.
Professora: Certo. Quais são as propriedades dos lados de um quadrado?
Aluno: Eles são iguais.
Professora: Certo. Quais são os ângulos de um quadrado?
Aluno: Eles são heterossexuais.
Professor: Como podemos construir um ângulo reto?
Aluno: Com a ajuda de um triângulo.
Professora: Vamos construir um quadrado com 4 cm de lado em seu caderno. Que ferramentas usaremos para desenhar um quadrado?
Aluno: Com uma régua, um lápis e um triângulo.
Os alunos em cadernos constroem um quadrado e colorem-no.
Professor: Esta é uma figura geométrica. Como encontrar o perímetro e a área deste quadrado?
Aluno: O perímetro é a soma de todos os seus lados. O quadrado tem 4 lados, então some 4 4 vezes.
Professora: Como escrever?
Os alunos escrevem em seus cadernos: Encontre a área da figura F1”.
O aluno é chamado ao quadro e escreve: P \u003d 4 + 4 + 4 + 4 \u003d 16 (cm)
Os alunos escrevem em cadernos.
Professor: Em que unidades o perímetro ainda é medido?
Aluno: Em centímetros, em milímetros, em metros, em decímetros, em quilômetros.
Professora: Muito bem! De que outra forma você pode escrever o perímetro?
Aluno: Por multiplicação.
O aluno escreve no quadro: P \u003d 4 4 \u003d 16 (cm)
Os alunos escrevem em cadernos.
Professor: Qual é a área do quadrado?
Aluno: Multiplique o comprimento do quadrado pela sua largura. Como os lados de um quadrado são iguais, então
S \u003d 4 4 \u003d 16 (cm 2)
Os alunos fazem uma anotação em um caderno e anotam - “ Resposta: S = 16 cm 2”.
Professora: Que outras unidades de área você conhece?
Aluno: centímetro quadrado, decímetro quadrado, metro quadrado, milímetro quadrado.
Mestre: E agora vamos complicar a tarefa. Há um cartão na sua frente.
Este cartão mostra um quadrado igual ao do seu caderno. No meio deste quadrado há outro quadrado com 2 cm de lado. Agora você vai pegar uma tesoura e recortar cuidadosamente este pequeno quadrado.
Os alunos fazem este trabalho e escrevem em um caderno: “ Encontre a área da figura F2”.
Professora: Temos uma figura “com janela” - F2. Como você pode encontrar a área dessa figura interessante? A área do quadrado já é conhecida e é igual a 16 cm 2.
Aluno: Você precisa encontrar a área de um pequeno quadrado com um lado de 2 cm.
O aluno vai até a lousa e escreve - S2 = 2 2 = 4 (cm 2)
Os alunos escrevem no caderno
Aluno: Subtraia a área do quadrado pequeno da área do quadrado grande.
Professora: Certo.
O aluno escreve no quadro - S = S1 - S2 = 16 - 4 = 12 (cm2)
Os alunos fazem anotações em seus cadernos.
Professor: Olhe atentamente para esta figura e diga-me, de que outra forma você pode medir a área? É possível de alguma forma cortar essa figura para obter as formas que você já conhece?
Os alunos pensam e dizem opções diferentes.
Uma das opções acabou por ser muito interessante.
Aluno: Você pode cortá-lo para obter retângulos e mostrar no quadro como isso pode ser feito. 
Os alunos recortaram a figura conforme mostrado no quadro.
Professor: Qual é a área de um retângulo?
Aluno: Você precisa multiplicar o comprimento pela largura.
Professor: Você tem quatro figuras. O que pode ser dito sobre eles?
Aluno: Duas figuras, como gêmeos, são iguais, e as outras duas também são iguais.
Você pode encontrar a área de uma figura e multiplicar por 2.
O aluno decide no quadro: S1 = 1 4 = 4 (cm 2)
S2 = 1 2 = 2 (cm2)
S \u003d 2 S1 + 2 S2 \u003d 2 4 + 2 2 \u003d 8 + 4 \u003d 12 (cm 2)
Professora: Muito bem! Temos o mesmo valor de área de antes.
Os alunos escrevem em um caderno - " Resposta: S = 12 cm2.”
Professor: Você está cansado?
É hora de descansar.
sugerir fadiga
Decole com um minuto físico.
4. Fizkultminutka.
Todos os dias de manhã
Fazemos exercícios (caminhando no lugar).
Nós gostamos de fazê-lo em ordem:
É divertido andar (andar),
Mãos para cima (mãos para cima)
Agache-se e levante-se (agachamento 4-6 vezes),
Salte e pule (10 saltos).
Professora: E agora sente-se nas mesas e
veja o próximo modelo. Figura F3
Como encontrar a área desta figura interessante?
Aluno: Um triângulo que se projeta
pode ser cortado e substituído na parte onde
o triângulo "vai" para dentro.
Professora: Vamos pegar uma tesoura, cortar um triângulo e recolocá-lo na parte superior.
Que tipo de figura temos?
Aluno: Retângulo!
Professor: Como encontrar a área deste retângulo,
Se as partes são desconhecidas para nós.
Aluno: Podemos pegar uma régua e medir
o comprimento e a largura do retângulo.
Os alunos escrevem - Encontre a área da figura F3”.
Os alunos medem o comprimento e a largura com uma régua. Acontece que o comprimento, a \u003d 6 cm, largura b \u003d 2 cm.
Aluno: A área desta figura é S = 6 2 = 12 (cm 2).
Os alunos fazem uma anotação em um caderno e escrevem - “ Resposta: S \u003d 12 cm 2.
Mestre: Mas isso não é tudo. Aqui está a próxima figura. Precisamos encontrar sua área.
Qual é a figura à sua frente?
Aluna: Triângulo. Mas a área do triângulo
não podemos encontrá-lo!
Professora: É verdade. A partir deste triângulo
vamos fazer um retângulo. Eu vou te dar uma dica. Figura F4
Primeiro, vamos dobrar este triângulo ao meio
Alunos: Conseguimos! certo
vire o lado.
Pegue um retângulo.
Aluno: Meça com uma régua
comprimento a e largura b, e por S = a b,
encontre a área.
Mestre: Se estamos medindo,
temos que o comprimento
será expressa em mm e a largura em cm,
o que deveríamos fazer?
Aluno: Certifique-se de converter o comprimento e a largura em uma unidade de medida.
Os alunos escrevem em seus cadernos: Encontre a área da figura F4”.
V. Trabalhe em pares.
Professora: E agora proponho trabalhar em duplas. Há dois de vocês na mesa. Um aluno (Opção I) encontra o perímetro desta figura e o segundo (Opção II) encontra a área.
Para fazer isso, desenhe esta figura em um caderno. Depois de concluir a tarefa, troque os cadernos e verifique os resultados uns com os outros. 
Os alunos concluem a tarefa e os resultados
anote em um caderno.
Professor: O que você conseguiu?
Aluno: Um quadrado com um lado de 3 cm. P \u003d 3 4 \u003d 12 (cm)
S \u003d 3 3 \u003d 9 (cm 2) 3 cm
Os alunos anotam: Resposta: P = 12 cm, S = 9 cm 2.
Professora: Muito bem! E agora sugiro que você trabalhe por conta própria.
Encontre a área da próxima figura. Ela está na sua frente.
VI. Trabalho independente para consolidar o material estudado.
O professor distribui figuras pré-preparadas.
Os alunos de forma independente, sem a ajuda de um professor, cortam esta figura, obtêm três retângulos. 
Os alunos anotam: Encontre a área da figura F5”.
Os alunos encontram S1 = 4 3 = 12 (cm 2), S2 = 2 1 = 2 (cm 2), depois encontram a área desta figura: S = S1 + S2 + S2 = 12 + 2 + 2 = 16 ( cm 2 ) e faça uma anotação em um caderno, depois
Escreva: " Resposta: S = 16 cm 2”.
Professora: Você gostou da aula?
Alunos: Sim.
Professor: O que você aprendeu nesta lição?
Aluno: Aprendemos a encontrar a área e o perímetro de formas complexas. Acabou sendo muito simples. Você precisa pensar um pouco e reconstruir ou refazer essa figura em um, o perímetro e a área, que já sabemos encontrar.
Professora: Fico muito feliz que tenha gostado. Em casa, repita as fórmulas para encontrar o perímetro e a área de um quadrado e retângulo; lembre-se de como traduzir uma unidade
para outro. Os seguintes alunos responderam bem hoje. . .
O professor dá notas.
VII. Lição de casa: livro didático p. 77 No. 8.
Basta encontrar o comprimento de todos os seus lados e encontrar sua soma. O perímetro é o comprimento total dos limites de uma figura plana. Em outras palavras, é a soma dos comprimentos de seus lados. A unidade de medida do perímetro deve corresponder à unidade de medida de seus lados. A fórmula para o perímetro de um polígono é P \u003d a + b + c ... + n, onde P é o perímetro, mas a, b, c e n são o comprimento de cada lado. Caso contrário, (ou o perímetro de um círculo) é calculado: a fórmula p \u003d 2 * π * r é usada, onde r é o raio e π é um número constante, aproximadamente igual a 3,14. Vejamos alguns exemplos simples que demonstram claramente como encontrar o perímetro. Como exemplo, tomamos figuras como um quadrado, um paralelogramo e um círculo.
Como encontrar o perímetro de um quadrado
Um quadrado é um quadrilátero regular em que todos os lados e ângulos são iguais. Como todos os lados de um quadrado são iguais, a soma dos comprimentos de seus lados pode ser calculada usando a fórmula P = 4 * a, onde a é o comprimento de um dos lados. Assim, com um lado de 16,5 cm, é igual a P \u003d 4 * 16,5 \u003d 66 cm. Você também pode calcular o perímetro de um losango equilátero.
Como encontrar o perímetro de um retângulo
Um retângulo é um quadrilátero com todos os ângulos iguais a 90 graus. Sabe-se que em uma figura como um retângulo, os comprimentos dos lados são iguais em pares. Se a largura e a altura de um retângulo têm o mesmo comprimento, ele é chamado de quadrado. Normalmente, o comprimento de um retângulo é chamado o maior dos lados, e a largura é o menor. Assim, para obter o perímetro de um retângulo, você precisa dobrar a soma de sua largura e altura: P = 2 * (a + b), onde a é a altura e b é a largura. Dado um retângulo com um lado de 15 cm de comprimento e o outro lado com 5 cm de largura, obtemos um perímetro igual a P = 2 * (15 + 5) = 40 cm.
Como encontrar o perímetro de um triângulo
Um triângulo é formado por três segmentos de reta que se unem em pontos (vértices do triângulo) que não estão na mesma reta. Um triângulo é chamado equilátero se todos os seus três lados forem iguais, e isósceles se houver dois lados iguais. Para descobrir o perímetro, você precisa multiplicar o comprimento de seu lado por 3: P \u003d 3 * a, onde a é um de seus lados. Se os lados do triângulo não forem iguais entre si, é necessário realizar a operação de adição: P \u003d a + b + c. O perímetro de um triângulo isósceles com lados 33, 33 e 44, respectivamente, será igual a: P \u003d 33 + 33 + 44 \u003d 110 cm.
Como encontrar o perímetro de um paralelogramo
Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos paralelos em pares. Quadrado, losango e retângulo são casos especiais da figura. Os lados opostos de qualquer paralelogramo são iguais, portanto, para calcular seu perímetro, usamos a fórmula P \u003d 2 (a + b). Em um paralelogramo com lados de 16 cm e 17 cm, a soma dos lados, ou perímetro, é igual a P \u003d 2 * (16 + 17) \u003d 66 cm.
Como encontrar a circunferência de um círculo
O círculo é uma linha reta fechada, cujos pontos estão localizados a uma distância igual do centro. A circunferência de um círculo e seu diâmetro têm sempre a mesma razão. Essa razão é expressa como uma constante, escrita com a letra π, e equivale a aproximadamente 3,14159. Você pode encontrar o perímetro de um círculo multiplicando o raio vezes 2 vezes π. Acontece que a circunferência de um círculo com um raio de 15 cm será igual a P \u003d 2 * 3,14159 * 15 \u003d 94,2477
Nas tarefas de teste a seguir, você precisa encontrar o perímetro da figura mostrada na figura.
Há muitas maneiras de encontrar o perímetro de uma forma. Você pode transformar a forma original de forma que o perímetro da nova forma possa ser facilmente calculado (por exemplo, mude para um retângulo).
Outra solução é procurar o perímetro da figura diretamente (como a soma dos comprimentos de todos os seus lados). Mas, neste caso, não se pode confiar apenas no desenho, mas encontrar os comprimentos dos segmentos com base nos dados do problema.
Quero avisá-lo: em uma das tarefas, entre as respostas propostas, não encontrei a que resultou para mim.
c) .
Vamos mover os lados dos pequenos retângulos da área interna para a externa. Como resultado, o retângulo grande é fechado. Fórmula para encontrar o perímetro de um retângulo
Neste caso, a=9a, b=3a+a=4a. Assim P=2(9a+4a)=26a. Ao perímetro do retângulo grande adicionamos a soma dos comprimentos de quatro segmentos, cada um dos quais é igual a 3a. Como resultado, P=26a+4∙3a= 38a .
c) .
Depois de transferir os lados internos dos pequenos retângulos para a área externa, obtemos um retângulo grande, cujo perímetro é P=2(10x+6x)=32x, e quatro segmentos, dois de comprimento x, dois de comprimento 2x.
Total, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .
?) .
Vamos mover 6 "passos" horizontais de dentro para fora. O perímetro do retângulo grande resultante é P=2(6y+8y)=28y. Resta encontrar a soma dos comprimentos dos segmentos dentro do retângulo 4y+6∙y=10y. Assim, o perímetro da figura é P=28y+10y= 38 anos .
D) .
Vamos mover os segmentos verticais da área interna da figura para a esquerda, para a área externa. Para obter um retângulo grande, mova um dos comprimentos 4x para o canto inferior esquerdo.
Encontramos o perímetro da figura original como a soma do perímetro desse retângulo grande e os comprimentos dos três segmentos restantes P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .
e) .
Movendo os lados internos dos pequenos retângulos para a área externa, obtemos um grande quadrado. Seu perímetro é P=4∙10x=40x. Para obter o perímetro da figura original, você precisa adicionar a soma dos comprimentos de oito segmentos, cada um com 3x de comprimento, ao perímetro do quadrado. Total, P=40x+8∙3x= 64x .
b) .
Vamos mover todos os "passos" horizontais e segmentos superiores verticais para a área externa. O perímetro do retângulo resultante é P=2(7y+4y)=22y. Para encontrar o perímetro da figura original, você precisa adicionar ao perímetro do retângulo a soma dos comprimentos de quatro segmentos, cada um com um comprimento de y: P=22y+4∙y= 26 anos .
D) .
Mova todas as linhas horizontais da área interna para a área externa e mova as duas linhas externas verticais nos cantos esquerdo e direito, respectivamente, z para a esquerda e para a direita. Como resultado, obtemos um retângulo grande, cujo perímetro é P=2(11z+3z)=28z.
O perímetro da figura original é igual à soma do perímetro do retângulo grande e os comprimentos de seis segmentos em z: P=28z+6∙z= 34z .
b) .
A solução é completamente semelhante à solução do exemplo anterior. Depois de transformar a figura, encontramos o perímetro do retângulo grande:
P=2(5z+3z)=16z. Ao perímetro do retângulo adicionamos a soma dos comprimentos dos seis segmentos restantes, cada um dos quais é igual a z: P=16z+6∙z= 22z .
