Exemplos de resolução de problemas sobre o tema "Variáveis ​​aleatórias".

Uma tarefa 1 . Existem 100 bilhetes emitidos na loteria. Uma vitória de 50 USD foi disputada. e dez vitórias de $ 10 cada. Encontre a lei de distribuição do valor X - o custo de um ganho possível.

Solução. Possíveis valores de X: x 1 = 0; x 2 = 10 e x 3 = 50. Como existem 89 bilhetes “vazios”, então p 1 = 0,89, a probabilidade de ganhar é de 10 u. (10 bilhetes) – p 2 = 0,10 e para uma vitória de 50 c.u. –p 3 = 0,01. Nesse caminho:

	0,89	0,10	0,01

Fácil de controlar: .

Uma tarefa 2. A probabilidade de o comprador ter se familiarizado com a propaganda do produto com antecedência é de 0,6 (p = 0,6). O controle de qualidade seletivo da publicidade é realizado por meio de pesquisas de compradores antes do primeiro que estudou o anúncio com antecedência. Faça uma série de distribuição do número de compradores entrevistados.

Solução. De acordo com a condição do problema p = 0,6. De: q=1 -p = 0,4. Substituindo esses valores, obtemos: e construa uma série de distribuição:

pi		0,24

Uma tarefa 3. Um computador consiste em três elementos operacionais independentes: uma unidade de sistema, um monitor e um teclado. Com um único aumento acentuado na tensão, a probabilidade de falha de cada elemento é de 0,1. Com base na distribuição de Bernoulli, elabore a lei de distribuição para o número de elementos com falha durante uma oscilação de energia na rede.

Solução. Considerar distribuição de Bernoulli(ou binômio): a probabilidade de que em n testes, o evento A aparecerá exatamente k uma vez: , ou:

	q n					p n

NO vamos voltar à tarefa.

Possíveis valores de X (número de falhas):

x 0 =0 - nenhum dos elementos falhou;

x 1 =1 - falha de um elemento;

x 2 =2 - falha de dois elementos;

x 3 =3 - falha de todos os elementos.

Visto que, por condição, p = 0,1, então q = 1 – p = 0,9. Usando a fórmula de Bernoulli, obtemos

, ,

, .

Ao controle: .

Portanto, a lei de distribuição desejada:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Tarefa 4. Produziu 5.000 rodadas. A probabilidade de um cartucho estar com defeito . Qual é a probabilidade de haver exatamente 3 cartuchos defeituosos em todo o lote?

Solução. Aplicável Distribuição de veneno: esta distribuição é usada para determinar a probabilidade de que, dada uma grande

número de tentativas (provas em massa), em cada uma das quais a probabilidade do evento A é muito pequena, o evento A ocorrerá k vezes: , Onde .

Aqui n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Encontramos , então a probabilidade desejada: .

Tarefa 5. Ao atirar antes do primeiro acerto com a probabilidade de acertar p = 0,6 para um tiro, você precisa encontrar a probabilidade de que o acerto ocorra no terceiro tiro.

Solução. Apliquemos a distribuição geométrica: sejam feitas tentativas independentes, em cada uma das quais o evento A tenha probabilidade de ocorrência p (e de não ocorrência q = 1 - p). As tentativas terminam assim que o evento A ocorre.

Nessas condições, a probabilidade de ocorrência do evento A no k-ésimo teste é determinada pela fórmula: . Aqui p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Portanto, .

Tarefa 6. Seja dada a lei de distribuição de uma variável aleatória X:

Encontre a esperança matemática.

Solução. .

Observe que o significado probabilístico da expectativa matemática é o valor médio de uma variável aleatória.

Tarefa 7. Encontre a variância de uma variável aleatória X com a seguinte lei de distribuição:

Solução. Aqui .

A lei da distribuição do quadrado de X 2 :

x 2

Variância necessária: .

A dispersão caracteriza o grau de desvio (dispersão) de uma variável aleatória de sua expectativa matemática.

Tarefa 8. Seja a variável aleatória dada pela distribuição:

			10m

Encontre suas características numéricas.

Solução: m, m 2 ,

M 2 , m.

Sobre uma variável aleatória X, pode-se dizer - sua expectativa matemática é de 6,4 m com uma variância de 13,04 m 2 , ou - sua expectativa matemática é de 6,4 m com um desvio de m. A segunda formulação é obviamente mais clara.

Uma tarefa 9. valor aleatório x dada pela função de distribuição:
.

Encontre a probabilidade de que, como resultado do teste, o valor X assuma um valor contido no intervalo .

Solução. A probabilidade de X assumir um valor em um determinado intervalo é igual ao incremento da função integral nesse intervalo, ou seja, . No nosso caso e , portanto

.

Uma tarefa 10. Variável aleatória discreta x dada pela lei da distribuição:

Encontrar função de distribuição F(x ) e construa seu gráfico.

Solução. Como a função de distribuição

por , então

no ;

no ;

no ;

no ;

Gráfico relevante:

Tarefa 11. Variável aleatória contínua x dada pela função de distribuição diferencial: .

Encontre a probabilidade de acertar X para intervalo

Solução. Observe que este é um caso especial da lei de distribuição exponencial.

Vamos usar a fórmula: .

Uma tarefa 12. Encontre as características numéricas de uma variável aleatória discreta X dada pela lei de distribuição:

	–5
	X 2 : x2 . , Onde é a função de Laplace. Os valores desta função são encontrados por meio de uma tabela. No nosso caso: . De acordo com a tabela encontramos:, portanto:

Como é sabido, variável aleatória é chamada de variável que pode assumir determinados valores dependendo do caso. Variáveis ​​​​aleatórias são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto latino (X, Y, Z) e seus valores - pelas letras minúsculas correspondentes (x, y, z). As variáveis ​​aleatórias são divididas em descontínuas (discretas) e contínuas.

Variável aleatória discreta é chamada de variável aleatória que leva apenas um conjunto finito ou infinito (contável) de valores com certas probabilidades diferentes de zero.

A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta é uma função que conecta os valores de uma variável aleatória com suas probabilidades correspondentes. A lei de distribuição pode ser especificada de uma das seguintes maneiras.

1 . A lei de distribuição pode ser dada pela tabela:

onde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

dentro) usando função de distribuição F(x) , que determina para cada valor x a probabilidade de que a variável aleatória X assuma um valor menor que x, ou seja, F(x) = P(X< x).

Propriedades da função F(x)

3 . A lei de distribuição pode ser definida graficamente – polígono de distribuição (polígono) (ver problema 3).

Observe que, para resolver alguns problemas, não é necessário conhecer a lei de distribuição. Em alguns casos, basta conhecer um ou mais números que refletem as características mais importantes da lei de distribuição. Pode ser um número que tem o significado de "valor médio" de uma variável aleatória ou um número que mostra o tamanho médio do desvio de uma variável aleatória de seu valor médio. Números desse tipo são chamados de características numéricas de uma variável aleatória.

Características numéricas básicas de uma variável aleatória discreta :

• Expectativa matemática (valor médio) de uma variável aleatória discreta M(X)=Σ x i p i.
  Para distribuição binomial M(X)=np, para distribuição de Poisson M(X)=λ
• Dispersão variável aleatória discreta D(X)=M2 ou D(X) = M(X 2) − 2. A diferença X–M(X) é chamada de desvio de uma variável aleatória de sua expectativa matemática.
  Para distribuição binomial D(X)=npq, para distribuição de Poisson D(X)=λ
• Desvio padrão (desvio padrão) σ(X)=√D(X).

Exemplos de resolução de problemas sobre o tema "A lei da distribuição de uma variável aleatória discreta"

Tarefa 1.

1.000 bilhetes de loteria foram emitidos: 5 deles ganharão 500 rublos, 10 ganharão 100 rublos, 20 ganharão 50 rublos e 50 ganharão 10 rublos. Determine a lei da distribuição de probabilidade da variável aleatória X - ganhos por bilhete.

Solução. De acordo com a condição do problema, são possíveis os seguintes valores da variável aleatória X: 0, 10, 50, 100 e 500.

O número de bilhetes sem ganhar é 1000 - (5+10+20+50) = 915, então P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Da mesma forma, encontramos todas as outras probabilidades: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Apresentamos a lei resultante na forma de uma tabela:

Encontre a expectativa matemática de X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tarefa 3.

O dispositivo consiste em três elementos de operação independente. A probabilidade de falha de cada elemento em um experimento é 0,1. Desenhe uma lei de distribuição para o número de elementos com falha em um experimento, construa um polígono de distribuição. Encontre a função de distribuição F(x) e desenhe-a. Encontre a expectativa matemática, variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta.

Solução. 1. A variável aleatória discreta X=(número de elementos com falha em um experimento) tem os seguintes valores possíveis: x 1 =0 (nenhum dos elementos do dispositivo falhou), x 2 =1 (um elemento falhou), x 3 =2 ( dois elementos falharam ) e x 4 \u003d 3 (três elementos falharam).

As falhas dos elementos são independentes entre si, as probabilidades de falha de cada elemento são iguais entre si, portanto, é aplicável fórmula de Bernoulli . Dado que, por condição, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinamos as probabilidades dos valores:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verifique: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Assim, a lei de distribuição binomial desejada X tem a forma:

No eixo das abcissas, traçamos os valores possíveis x i, e no eixo das ordenadas, as probabilidades correspondentes р i . Vamos construir os pontos M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Conectando esses pontos com segmentos de reta, obtemos o polígono de distribuição desejado.

3. Encontre a função de distribuição F(x) = P(X

Para x ≤ 0 temos F(x) = P(X<0) = 0;
para 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
por 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para x > 3 será F(x) = 1, porque o evento é certo.

Gráfico da função F(x)

4. Para a distribuição binomial X:
- expectativa matemática M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersão D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- desvio padrão σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Atribuição de serviço. A calculadora online é usada para construir uma tabela da distribuição de uma variável aleatória X - o número de experimentos realizados e calcular todas as características da série: expectativa matemática, variância e desvio padrão. O relatório com a decisão é elaborado em formato Word. Exemplo 1. Três moedas são lançadas. A probabilidade de um brasão cair em uma jogada é de 0,5. Faça uma lei de distribuição para uma variável aleatória X - o número de brasões que caíram.
Solução.
A probabilidade de nenhum brasão cair: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
A probabilidade de três brasões caírem: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Lei de distribuição de uma variável aleatória X:

x	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Verifique: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Exemplo #2. A probabilidade de acertar o alvo por um atirador com um tiro para o primeiro atirador é de 0,8, para o segundo atirador - 0,85. Os atiradores dispararam um tiro no alvo. Supondo acertar o alvo para atiradores individuais como eventos independentes, encontre a probabilidade do evento A - exatamente um acerto no alvo.
Solução.
Considere o evento A - um acerto no alvo. As possíveis ocorrências deste evento são as seguintes:

1. Acerto do primeiro arremessador, erro do segundo arremesso: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. O primeiro arremessador errou, o segundo acertou o alvo: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
3. O primeiro e o segundo atirador acertaram o alvo independentemente: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Então a probabilidade do evento A - exatamente um acerto no alvo, será igual a: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Podemos destacar as leis mais comuns de distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas:

• Lei de distribuição binomial
• lei de distribuição de Poisson
• Lei de distribuição geométrica
• Lei de distribuição hipergeométrica

Para distribuições dadas de variáveis ​​aleatórias discretas, o cálculo das probabilidades de seus valores, bem como das características numéricas (expectativa matemática, variância, etc.) é realizado de acordo com certas "fórmulas". Portanto, é muito importante conhecer esses tipos de distribuições e suas propriedades básicas.

1. Lei da distribuição binomial.

Uma variável aleatória discreta $X$ está sujeita à distribuição de probabilidade binomial se ela assume os valores $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ com probabilidades $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. De fato, a variável aleatória $X$ é o número de ocorrências do evento $A$ em $n$ tentativas independentes. Lei de distribuição de probabilidade para a variável aleatória $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \pontos & n \\
\hline
p_i & P_n\esquerda(0\direita) & P_n\esquerda(1\direita) & \dots & P_n\esquerda(n\direita) \\
\hline
\end(array)$

Para tal variável aleatória, a expectativa é $M\left(X\right)=np$, a variância é $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Exemplo . Há dois filhos na família. Supondo que as probabilidades de nascimento de um menino e uma menina sejam iguais a $ 0,5$, encontre a lei de distribuição da variável aleatória $\xi $ - o número de meninos na família.

Seja a variável aleatória $\xi $ o número de meninos na família. Os valores que $\xi:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$ podem assumir. As probabilidades desses valores podem ser encontradas pela fórmula $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, onde $n =2$ - número de tentativas independentes, $p=0,5$ - probabilidade de ocorrência de um evento em uma série de $n$ tentativas. Nós temos:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Então a lei de distribuição da variável aleatória $\xi $ é a correspondência entre os valores $0,\1,\2$ e suas probabilidades, ou seja:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$

A soma das probabilidades na lei de distribuição deve ser igual a $1$, ou seja, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = $ 1.

Expectativa $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, variância $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, desvio padrão $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\aprox $0.707.

2. Lei de distribuição de Poisson.

Se uma variável aleatória discreta $X$ pode assumir apenas valores inteiros não negativos $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\n$ com probabilidades $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Comente. A peculiaridade dessa distribuição é que, com base em dados experimentais, encontramos as estimativas $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, se as estimativas obtidas forem próximas umas das outras, então temos razão para afirmar que a variável aleatória está sujeita à lei de distribuição de Poisson.

Exemplo . Exemplos de variáveis ​​aleatórias sujeitas à lei de distribuição de Poisson podem ser: o número de carros que serão atendidos amanhã por um posto de gasolina; o número de itens defeituosos no produto fabricado.

Exemplo . A fábrica enviou $ 500$ em produtos para a base. A probabilidade de danos ao produto durante o transporte é de $0,002$. Encontre a lei de distribuição da variável aleatória $X$ igual ao número de produtos danificados; que é igual a $M\esquerda(X\direita),\ D\esquerda(X\direita)$.

Seja uma variável aleatória discreta $X$ o número de produtos danificados. Tal variável aleatória está sujeita à lei de distribuição de Poisson com o parâmetro $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. As probabilidades dos valores são $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\esquerda(X=0\direita)=((1^0)\sobre (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\esquerda(X=1\direita)=((1^1)\sobre (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\esquerda(X=2\direita)=((1^2)\sobre (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\esquerda(X=3\direita)=((1^3)\sobre (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\esquerda(X=4\direita)=((1^4)\sobre (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\esquerda(X=5\direita)=((1^5)\acima (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\esquerda(X=6\direita)=((1^6)\sobre (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\esquerda(X=k\direita)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

A lei de distribuição da variável aleatória $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$

Para tal variável aleatória, a expectativa matemática e a variância são iguais entre si e iguais ao parâmetro $\lambda $, ou seja, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Lei geométrica da distribuição.

Se uma variável aleatória discreta $X$ pode assumir apenas valores naturais $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ com probabilidades $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ direita)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, então dizemos que tal variável aleatória $X$ está sujeita à lei geométrica da distribuição de probabilidade. Na verdade, a distribuição geométrica parece ser as tentativas de Bernoulli para o primeiro sucesso.

Exemplo . Exemplos de variáveis ​​aleatórias que possuem distribuição geométrica podem ser: o número de tiros antes do primeiro acerto no alvo; número de testes do dispositivo antes da primeira falha; o número de lançamentos de moedas antes do primeiro cara, e assim por diante.

A expectativa matemática e a variância de uma variável aleatória sujeita a uma distribuição geométrica são respectivamente $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^2$.

Exemplo . No caminho do movimento dos peixes até o local de desova, há uma trava de $4$. A probabilidade de um peixe passar por cada eclusa é $p=3/5$. Construa uma série de distribuição da variável aleatória $X$ - o número de eclusas passadas pelo peixe antes da primeira parada na eclusa. Encontre $M\esquerda(X\direita),\ D\esquerda(X\direita),\ \sigma \esquerda(X\direita)$.

Seja a variável aleatória $X$ o número de eclusas passadas pelo peixe antes da primeira parada na eclusa. Essa variável aleatória está sujeita à lei geométrica da distribuição de probabilidade. Os valores que a variável aleatória $X pode assumir são: 1, 2, 3, 4. As probabilidades desses valores são calculadas pela fórmula: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, onde: $ p=2/5$ - probabilidade de peixes serem pegos pela eclusa, $q=1-p=3/5$ - probabilidade de peixes passarem pela eclusa, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ sobre(5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ mais (5))\cdot ((9)\mais (25))=((18)\mais (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\acima (5))\direita))^4=((27)\acima (125))=0.216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\esquerda(X_i\direita) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$

Valor esperado:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Dispersão:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ esquerda(1-2,176\direita))^2+0,24\cdot (\esquerda(2-2,176\direita))^2+0,144\cdot (\esquerda(3-2,176\direita))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\left(4-2.176\right))^2\approx 1.377.$

Desvio padrão:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$

4. Lei da distribuição hipergeométrica.

Se houver $N$ objetos, entre os quais objetos $m$ tenham a propriedade dada. Aleatoriamente, sem reposição, são extraídos $n$ objetos, dentre os quais existem $k$ objetos que possuem uma determinada propriedade. A distribuição hipergeométrica permite estimar a probabilidade de que exatamente $k$ objetos em uma amostra tenham uma determinada propriedade. Seja a variável aleatória $X$ o número de objetos na amostra que possuem uma determinada propriedade. Então as probabilidades dos valores da variável aleatória $X$:

$P\esquerda(X=k\direita)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Comente. A função estatística HYPERGEOMET do Excel $f_x$ Function Wizard permite determinar a probabilidade de um certo número de tentativas ser bem-sucedida.

$f_x\para $ estatístico$\para $ HIPERGEOMETO$\para $ OK. Aparecerá uma caixa de diálogo que você precisa preencher. no gráfico Number_of_successes_in_sample especifique o valor de $k$. sample_sizeé igual a $n$. no gráfico Number_of_successes_in_population especifique o valor de $m$. Tamanho da populaçãoé igual a $N$.

A expectativa matemática e a variância de uma variável aleatória discreta $X$ sujeita a uma lei de distribuição geométrica são $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\sobre (N))\direita)\esquerda(1-((n)\sobre (N))\direita))\sobre (N-1))$.

Exemplo . O departamento de crédito do banco emprega 5 especialistas com formação financeira superior e 3 especialistas com formação jurídica superior. A administração do banco decidiu enviar 3 especialistas para treinamento avançado, selecionando-os aleatoriamente.

a) Fazer uma série de distribuição do número de especialistas com formação financeira superior que podem ser encaminhados para formação avançada;

b) Encontre as características numéricas desta distribuição.

Seja a variável aleatória $X$ o número de especialistas com maior formação financeira entre os três selecionados. Valores que $X:0,\1,\2,\3$ podem assumir. Esta variável aleatória $X$ é distribuída de acordo com a distribuição hipergeométrica com os seguintes parâmetros: $N=8$ - tamanho da população, $m=5$ - número de sucessos na população, $n=3$ - tamanho da amostra, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - número de sucessos na amostra. Então as probabilidades $P\left(X=k\right)$ podem ser calculadas usando a fórmula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ sobre C_(N)^(n)) $. Nós temos:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\approx 0.179.$

Então a série de distribuição da variável aleatória $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$

Calculemos as características numéricas da variável aleatória $X$ usando as fórmulas gerais da distribuição hipergeométrica.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1.875.$

$D\esquerda(X\direita)=((nm\esquerda(1-((m)\sobre (N))\direita)\esquerda(1-((n)\sobre (N))\direita)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\à direita))\acima de (8-1))=((225)\acima de (448))\aprox 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\approx 0.7085.$

LEI DE DISTRIBUIÇÃO E CARACTERÍSTICAS

VALORES ALEATÓRIOS

Variáveis ​​aleatórias, sua classificação e métodos de descrição.

Um valor aleatório é uma quantidade que, como resultado de um experimento, pode assumir um ou outro valor, mas que não é conhecido antecipadamente. Para uma variável aleatória, portanto, apenas valores podem ser especificados, um dos quais ela necessariamente assumirá como resultado do experimento. Esses valores serão referidos como possíveis valores da variável aleatória. Como uma variável aleatória caracteriza quantitativamente o resultado aleatório de um experimento, ela pode ser considerada como uma característica quantitativa de um evento aleatório.

As variáveis ​​aleatórias são geralmente denotadas por letras maiúsculas do alfabeto latino, por exemplo, X..Y..Z, e seus valores possíveis pelas letras minúsculas correspondentes.

Existem três tipos de variáveis ​​aleatórias:

discreto; Contínuo; Misturado.

Discreto essa variável aleatória é chamada, cujo número de valores possíveis forma um conjunto contável. Por sua vez, um conjunto contável é um conjunto cujos elementos podem ser numerados. A palavra "discreto" vem do latim discreto, que significa "descontínuo, constituído por partes separadas".

Exemplo 1. Uma variável aleatória discreta é o número de peças defeituosas X em um lote de nfl. De fato, os valores possíveis dessa variável aleatória são uma série de números inteiros de 0 a n.

Exemplo 2. Uma variável aleatória discreta é o número de tiros antes do primeiro acerto no alvo. Aqui, como no Exemplo 1, os valores possíveis podem ser numerados, embora no caso limite o valor possível seja um número infinitamente grande.

Contínuoé chamada de variável aleatória, cujos valores possíveis preenchem continuamente um determinado intervalo do eixo numérico, às vezes chamado de intervalo de existência dessa variável aleatória. Assim, em qualquer intervalo finito de existência, o número de valores possíveis de uma variável aleatória contínua é infinitamente grande.

Exemplo 3. Uma variável aleatória contínua é o consumo de energia elétrica da empresa durante um mês.

Exemplo 4. Uma variável aleatória contínua é o erro na medição da altura usando um altímetro. Que seja conhecido pelo princípio de operação do altímetro que o erro está na faixa de 0 a 2 m. Portanto, o intervalo de existência dessa variável aleatória é o intervalo de 0 a 2 m.

Lei de distribuição de variáveis ​​aleatórias.

Uma variável aleatória é considerada completamente especificada se seus possíveis valores forem indicados no eixo numérico e a lei de distribuição for estabelecida.

A lei da distribuição de uma variável aleatória é chamada de relação que estabelece uma relação entre os valores possíveis de uma variável aleatória e as probabilidades correspondentes.

Diz-se que uma variável aleatória é distribuída de acordo com uma determinada lei, ou sujeita a uma determinada lei de distribuição. Um número de probabilidades, uma função de distribuição, uma densidade de probabilidade, uma função característica são usados ​​como leis de distribuição.

A lei de distribuição fornece uma descrição provável completa de uma variável aleatória. De acordo com a lei de distribuição, é possível julgar antes da experiência quais valores possíveis de uma variável aleatória aparecerão com mais frequência e quais com menos frequência.

Para uma variável aleatória discreta, a lei de distribuição pode ser dada na forma de uma tabela, analiticamente (na forma de uma fórmula) e graficamente.

A forma mais simples de especificar a lei de distribuição de uma variável aleatória discreta é uma tabela (matriz), que lista em ordem crescente todos os valores possíveis de uma variável aleatória e suas probabilidades correspondentes, ou seja,

Essa tabela é chamada de série de distribuição de uma variável aleatória discreta. 1

Os eventos X 1 , X 2 ,..., X n , consistindo no fato de que, como resultado do teste, a variável aleatória X assumirá os valores x 1 , x 2 ,... x n, respectivamente , são inconsistentes e os únicos possíveis (porque a tabela lista todos os valores possíveis de uma variável aleatória), ou seja, formar um grupo completo. Portanto, a soma de suas probabilidades é igual a 1. Assim, para qualquer variável aleatória discreta

(Esta unidade é de alguma forma distribuída entre os valores da variável aleatória, daí o termo "distribuição").

Uma série de distribuição pode ser exibida graficamente se os valores de uma variável aleatória forem plotados ao longo do eixo das abcissas e suas probabilidades correspondentes ao longo do eixo das ordenadas. A conexão dos pontos obtidos forma uma linha quebrada, chamada de polígono ou polígono da distribuição de probabilidade (Fig. 1).

Exemplo A loteria é jogada: um carro no valor de 5000 den. unidades, 4 TVs no valor de 250 den. unidade, 5 videocassetes no valor de 200 den. unidades No total, 1000 ingressos são vendidos por 7 den. unidades Elaborar a lei de distribuição dos ganhos líquidos recebidos pelo participante da loteria que comprou um bilhete.

Solução. Os valores possíveis da variável aleatória X - ganhos líquidos por bilhete - são 0-7 = -7 den. unidades (se o bilhete não ganhou), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unidades (se o bilhete ganhou o videocassete, TV ou carro, respectivamente). Dado que de 1000 bilhetes o número de não-vencedores é 990, e os ganhos indicados são 5, 4 e 1, respectivamente, e usando a definição clássica de probabilidade, obtemos.