Uma equação quadrática é uma equação da forma a*x^2 +b*x+c=0, onde a,b,c são alguns números reais arbitrários (reais) e x é uma variável. E o número a = 0.

Os números a,b,c são chamados de coeficientes. O número a - é chamado de coeficiente principal, o número b é o coeficiente em x e o número c é chamado de membro livre.

Resolvendo equações quadráticas

Resolver uma equação quadrática significa encontrar todas as suas raízes, ou estabelecer o fato de que a equação quadrática não tem raízes. A raiz da equação quadrática a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 é qualquer valor da variável x, de modo que o trinômio quadrado a * x ^ 2 + b * x + c se anule. Às vezes, esse valor de x é chamado de raiz de um trinômio quadrado.

Existem várias maneiras de resolver equações quadráticas. Considere um deles - o mais versátil. Ele pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática.

Fórmulas para resolver equações do segundo grau

A fórmula para as raízes da equação quadrática é a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), onde D =b^2-4*a*c.

Esta fórmula é obtida resolvendo a equação a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 na forma geral, destacando o quadrado do binômio.

Na fórmula das raízes de uma equação quadrática, a expressão D (b^2-4*a*c) é chamada de discriminante da equação quadrática a*x^2 +b*x+c=0. Este nome vem da língua latina, traduzida como "distinguir". Dependendo do valor do discriminante, a equação quadrática terá duas ou uma raiz, ou nenhuma raiz.

Se o discriminante for maior que zero, então a equação quadrática tem duas raízes. (x=(-b±√D)/(2*a))

Se o discriminante for zero, então a equação quadrática tem uma raiz. (x=(-b/(2*a)))

Se o discriminante for negativo, então a equação quadrática não tem raízes.

Algoritmo geral para resolver uma equação quadrática

Com base no exposto, formulamos um algoritmo geral para resolver a equação quadrática a*x^2 +b*x+c=0 usando a fórmula:

1. Encontre o valor do discriminante usando a fórmula D =b^2-4*a*c.

2. Dependendo do valor do discriminante, calcule as raízes usando as fórmulas:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Este algoritmo é universal e adequado para resolver quaisquer equações quadráticas. Completo e incompleto, citado e não citado.

Descrição bibliográfica: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Métodos para resolver equações quadráticas // Jovem cientista. 2016. №6.1. S. 17-20..04.2019).



Nosso projeto é dedicado às formas de resolver equações quadráticas. O objetivo do projeto: aprender a resolver equações quadráticas de maneiras que não estão incluídas no currículo escolar. Tarefa: encontre todas as maneiras possíveis de resolver equações do segundo grau e aprenda a usá-las você mesmo e apresente esses métodos aos colegas.

O que são "equações quadráticas"?

Equação quadrática- equação da forma machado2 + bx + c = 0, Onde uma, b, c- alguns números ( a ≠ 0), x- desconhecido.

Os números a, b, c são chamados de coeficientes da equação quadrática.

• a é chamado de primeiro coeficiente;
• b é chamado de segundo coeficiente;
• c - membro livre.

E quem foi o primeiro a "inventar" equações quadráticas?

Algumas técnicas algébricas para resolver equações lineares e quadráticas eram conhecidas há 4.000 anos na antiga Babilônia. As antigas tábuas de argila babilônicas encontradas, datadas em algum lugar entre 1800 e 1600 aC, são as primeiras evidências do estudo de equações quadráticas. As mesmas tabuinhas contêm métodos para resolver certos tipos de equações quadráticas.

A necessidade de resolver equações não só de primeiro, mas também de segundo grau na antiguidade foi provocada pela necessidade de resolver problemas relacionados com a localização das áreas de terra e terraplenagem de natureza militar, bem como o desenvolvimento da astronomia e matemática em si.

A regra para resolver essas equações, indicada nos textos babilônicos, coincide essencialmente com a moderna, mas não se sabe como os babilônios chegaram a essa regra. Quase todos os textos cuneiformes encontrados até agora dão apenas problemas com soluções enunciadas na forma de receitas, sem indicação de como foram encontradas. Apesar do alto nível de desenvolvimento da álgebra na Babilônia, os textos cuneiformes carecem do conceito de número negativo e métodos gerais para resolver equações quadráticas.

Matemáticos babilônicos do século IV a.C. usou o método do complemento quadrado para resolver equações com raízes positivas. Por volta de 300 a.C. Euclides surgiu com um método de solução geométrica mais geral. O primeiro matemático que encontrou soluções para uma equação com raízes negativas na forma de uma fórmula algébrica foi um cientista indiano. Brahmagupta(Índia, século VII d.C.).

Brahmagupta delineou uma regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica:

ax2 + bx = c, a>0

Nesta equação, os coeficientes podem ser negativos. O governo de Brahmagupta coincide essencialmente com o nosso.

Na Índia, concursos públicos para resolver problemas difíceis eram comuns. Em um dos antigos livros indianos, diz-se o seguinte sobre tais competições: “Assim como o sol supera as estrelas com seu brilho, uma pessoa instruída ofuscará a glória em reuniões públicas, propondo e resolvendo problemas algébricos.” As tarefas eram muitas vezes vestidas de forma poética.

Em um tratado algébrico Al-Khwarizmi uma classificação de equações lineares e quadráticas é dada. O autor lista 6 tipos de equações, expressando-as da seguinte forma:

1) “Quadrados são iguais a raízes”, ou seja, ax2 = bx.

2) “Quadrados são iguais a número”, ou seja, ax2 = c.

3) "As raízes são iguais ao número", ou seja, ax2 = c.

4) “Quadrados e números são iguais a raízes”, ou seja, ax2 + c = bx.

5) “Quadrados e raízes são iguais ao número”, ou seja, ax2 + bx = c.

6) “Raízes e números são iguais a quadrados”, ou seja, bx + c == ax2.

Para Al-Khwarizmi, que evitou o uso de números negativos, os termos de cada uma dessas equações são adendos, não subtrações. Nesse caso, as equações que não possuem soluções positivas obviamente não são levadas em consideração. O autor descreve os métodos para resolver essas equações, usando os métodos de al-jabr e al-muqabala. A decisão dele, é claro, não coincide completamente com a nossa. Para não mencionar o fato de ser puramente retórico, deve-se notar, por exemplo, que ao resolver uma equação quadrática incompleta do primeiro tipo, Al-Khwarizmi, como todos os matemáticos antes do século XVII, não leva em consideração o zero solução, provavelmente porque em tarefas práticas específicas, isso não importa. Ao resolver equações quadráticas completas, Al-Khwarizmi estabelece as regras para resolvê-las usando exemplos numéricos específicos e, em seguida, suas provas geométricas.

Formas para resolver equações quadráticas no modelo de Al-Khwarizmi na Europa foram descritas pela primeira vez no "Livro do Ábaco", escrito em 1202. matemático italiano Leonard Fibonacci. O autor desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos de resolução de problemas e foi o primeiro na Europa a abordar a introdução de números negativos.

Este livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não só na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus. Muitas tarefas deste livro foram transferidas para quase todos os livros didáticos europeus dos séculos XIV-XVII. A regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica x2 + bx = c com todas as combinações possíveis de sinais e coeficientes b, c, foi formulada na Europa em 1544. M. Stiefel.

Vieta tem uma derivação geral da fórmula para resolver uma equação quadrática, mas Vieta reconheceu apenas raízes positivas. matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli entre os primeiros do século XVI. levar em conta, além de raízes positivas e negativas. Somente no século XVII. graças ao trabalho Girard, Descartes, Newton e outros cientistas, a forma de resolver equações quadráticas assume uma forma moderna.

Considere várias maneiras de resolver equações quadráticas.

Maneiras padrão de resolver equações quadráticas do currículo escolar:

1. Fatoração do lado esquerdo da equação.
2. Método de seleção de quadrados completos.
3. Solução de equações quadráticas por fórmula.
4. Solução gráfica de uma equação quadrática.
5. Solução de equações usando o teorema de Vieta.

Detenhamo-nos com mais detalhes na solução de equações quadráticas reduzidas e não reduzidas usando o teorema de Vieta.

Lembre-se de que, para resolver as equações do segundo grau dadas, basta encontrar dois números tais que o produto seja igual ao termo livre e a soma seja igual ao segundo coeficiente com o sinal oposto.

Exemplo.x 2 -5x+6=0

Você precisa encontrar números cujo produto seja 6 e a soma seja 5. Esses números serão 3 e 2.

Resposta: x 1 =2, x 2 =3.

Mas você pode usar esse método para equações com o primeiro coeficiente diferente de um.

Exemplo.3x 2 +2x-5=0

Pegamos o primeiro coeficiente e o multiplicamos pelo termo livre: x 2 +2x-15=0

As raízes desta equação serão números cujo produto é igual a - 15, e a soma é igual a - 2. Esses números são 5 e 3. Para encontrar as raízes da equação original, dividimos as raízes obtidas pelo primeiro coeficiente .

Resposta: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Solução de equações pelo método de "transferência".

Considere a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, onde a≠0.

Multiplicando ambas as partes por a, obtemos a equação a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Seja ax = y, de onde x = y/a; então chegamos à equação y 2 + by + ac = 0, que é equivalente à dada. Encontramos suas raízes em 1 e em 2 usando o teorema de Vieta.

Finalmente, obtemos x 1 = y 1 /a e x 2 = y 2 /a.

Com este método, o coeficiente a é multiplicado pelo termo livre, como se fosse "transferido" para ele, por isso é chamado de método de "transferência". Este método é usado quando é fácil encontrar as raízes de uma equação usando o teorema de Vieta e, mais importante, quando o discriminante é um quadrado exato.

Exemplo.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Vamos "transferir" o coeficiente 2 para o termo livre e fazendo a substituição obtemos a equação y 2 - 11y + 30 = 0.

De acordo com o teorema inverso de Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Resposta: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática.

Seja a equação quadrática ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Se a + b + c \u003d 0 (ou seja, a soma dos coeficientes da equação é zero), então x 1 \u003d 1.

2. Se a - b + c \u003d 0, ou b \u003d a + c, então x 1 \u003d - 1.

Exemplo.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Como a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), então x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Resposta: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Exemplo.132x 2 + 247x + 115 = 0

Porque a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), depois x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Resposta: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Existem outras propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática. mas seu uso é mais complicado.

8. Resolver equações quadráticas usando um nomograma.

Fig 1. Nomograma

Este é um método antigo e atualmente esquecido para resolver equações quadráticas, colocado na página 83 da coleção: Bradis V.M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. - M., Educação, 1990.

Tabela XXII. Nomograma para Resolução de Equações z2 + pz + q = 0. Este nomograma permite, sem resolver a equação quadrática, determinar as raízes da equação pelos seus coeficientes.

A escala curvilínea do nomograma é construída de acordo com as fórmulas (Fig. 1):

Assumindo OS = p, ED = q, OE = a(todos em cm), da Fig. 1 semelhança de triângulos SAN e CDF obtemos a proporção

de onde, após substituições e simplificações, a equação segue z 2 + pz + q = 0, e a carta z significa o rótulo de qualquer ponto na escala curva.

Arroz. 2 Resolvendo uma equação quadrática usando um nomograma

Exemplos.

1) Para a equação z 2 - 9z + 8 = 0 o nomograma dá as raízes z 1 = 8,0 e z 2 = 1,0

Resposta: 8,0; 1,0.

2) Resolva a equação usando o nomograma

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Divida os coeficientes desta equação por 2, obtemos a equação z 2 - 4,5z + 1 = 0.

O nomograma fornece as raízes z 1 = 4 e z 2 = 0,5.

Resposta: 4; 0,5.

9. Método geométrico de resolução de equações quadráticas.

Exemplo.X 2 + 10x = 39.

No original, esse problema é formulado da seguinte forma: "O quadrado e as dez raízes são iguais a 39".

Considere um quadrado de lado x, retângulos são construídos em seus lados de modo que o outro lado de cada um deles seja 2,5, portanto, a área de cada um é 2,5x. A figura resultante é então complementada com um novo quadrado ABCD, completando quatro quadrados iguais nos cantos, o lado de cada um deles é 2,5 e a área é 6,25

Arroz. 3 Forma gráfica de resolver a equação x 2 + 10x = 39

A área S do quadrado ABCD pode ser representada como a soma das áreas: o quadrado original x 2, quatro retângulos (4 ∙ 2,5x = 10x) e quatro quadrados anexados (6,25 ∙ 4 = 25), ou seja, S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Substituindo x 2 + 10x pelo número 39, obtemos S \u003d 39 + 25 \u003d 64, o que implica que o lado do quadrado ABCD, ou seja, segmento AB \u003d 8. Para o lado x desejado do quadrado original, obtemos

10. Solução de equações usando o teorema de Bezout.

Teorema de Bezout. O resto depois de dividir o polinômio P(x) pelo binômio x - α é igual a P(α) (ou seja, o valor de P(x) em x = α).

Se o número α é a raiz do polinômio P(x), então este polinômio é divisível por x -α sem resto.

Exemplo.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Divida P(x) por (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ou x-3=0, x=3; Resposta: x1 =2, x2 =3.

Conclusão: A capacidade de resolver equações quadráticas de forma rápida e racional é simplesmente necessária para resolver equações mais complexas, por exemplo, equações racionais fracionárias, equações de potências mais altas, equações biquadráticas e, no ensino médio, equações trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. Tendo estudado todos os métodos encontrados para resolver equações quadráticas, podemos aconselhar os colegas, além dos métodos padrão, a resolver pelo método de transferência (6) e resolver equações pela propriedade dos coeficientes (7), pois são mais acessíveis para compreensão .

Literatura:

1. Bradis V. M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. - M., Educação, 1990.
2. Álgebra 8ª série: livro didático para 8ª série. Educação geral instituições Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15ª ed., revisada. - M.: Iluminismo, 2015
3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. História da matemática na escola. Um guia para professores. /Ed. V.N. Mais jovem. - M.: Iluminismo, 1964.

1. Encontre o discriminante D de acordo com a fórmula D= -4ac.

2. Se D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. Se D=0, então a equação tem uma raiz:

4. Se D>0, então a equação tem duas raízes:

Agora vamos começar a resolver nossa equação 3 -10x+3=0,

onde =3, b=-10 ec=3.

Encontrando o discriminante:

D= -4*3*3=64

Desde D>0, então esta equação tem duas raízes. Nós os encontramos:

; .

Assim, as raízes do polinômio f(x)=3 -10+3 serão os números 3 e .

O esquema de Horner

O esquema de Horner(ou regra de Horner, método de Horner) - um algoritmo para calcular o valor de um polinômio, escrito como uma soma de polinômios (monômios), para um determinado valor de uma variável . Ela, por sua vez, nos ajuda a descobrir se o número é a raiz de um determinado polinômio ou não.

Primeiro, considere como o polinômio é dividido f(x) em um binômio g(x).

Isso pode ser escrito da seguinte forma: f(x):g(x)=n(x), Onde f(x)- dividendo, g(x)- divisor a n(x)- privado.

Mas no caso em que f(x) não divisível por g(x) existe uma notação geral da expressão

Aqui, o grau r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Considere dividir um polinômio por um binômio. Deixar

,

Nós temos

Onde r é um número porque o grau de r deve ser menor que o grau de (x-c).

Vamos multiplicar s(x) em e obter

Assim, ao dividir por um binômio, é possível determinar os coeficientes do quociente a partir das fórmulas obtidas. Este método de determinação dos coeficientes é chamado de esquema de Horner.

				...
	+			...
c				...	r

Agora vamos ver alguns exemplos da aplicação do esquema de Horner.

Exemplo. Execute a divisão polinomial f(x)= no x+3.

Solução. No início é necessário escrever x+3) Como ( x-(-3)), pois exatamente -3 participará do esquema em si. Na linha superior escreveremos os coeficientes, na linha inferior - o resultado das ações.

f(x)=(x-2)(1)+16.

Encontrar raízes de acordo com o esquema de Horner. Tipos de raiz

De acordo com o esquema de Horner, pode-se encontrar raízes inteiras de um polinômio f(x). Vejamos isso com um exemplo.

Exemplo. Encontrar todas as raízes inteiras de um polinômio f(x)= , usando o esquema Horner.

Solução. Os coeficientes deste polinômio são inteiros. O coeficiente antes do grau mais alto (no nosso caso antes) é igual a um. Portanto, vamos procurar as raízes inteiras do polinômio entre os divisores do termo livre (temos 15), estes são números:

Vamos começar com o número 1.

Tabela 1

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38

A partir da tabela resultante, pode-se ver que para =1 o polinômio do polinômio f(x)= , temos o resto r=192, não 0, o que significa que a unidade não é uma raiz. Portanto, continuamos a verificação em =-1. Para fazer isso, não criaremos uma nova tabela, mas continuaremos na antiga e riscaremos os dados que não são mais necessários.

Tabela número 2

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22

Como podemos ver na tabela, a última célula acabou sendo zero, o que significa que r=0. Consequentemente? o número -1 é a raiz deste polinômio. Dividindo nosso polinômio polinômio f(x)= em ()=x+1 temos um polinômio

f(x)=(x+1)(),

os coeficientes para os quais tiramos da terceira linha da tabela nº 2.

Também podemos fazer a notação equivalente

(x+1)(). Marca ele (1)

Agora é necessário continuar a busca por raízes inteiras, mas só agora já vamos procurar as raízes do polinômio. Procuraremos essas raízes entre o termo livre do polinômio, o número 45.

Vamos verificar o número -1 novamente.

Tabela 3

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22

Assim, o número -1 é a raiz do polinômio, pode ser escrito como

Levando em conta a igualdade (2), podemos escrever a igualdade (1) da seguinte forma

Agora estamos procurando raízes para o polinômio, novamente entre os divisores do termo livre. Vamos verificar o número -1 novamente.

Tabela nº 4

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21

De acordo com a tabela, vemos que o número -1 é a raiz do polinômio.

Dado (3*), podemos reescrever a igualdade (2*) como:

Agora vamos procurar a raiz de . Novamente, olhamos para os divisores do termo livre. Vamos começar a verificar novamente com o número -1.

Tabela número 5

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19

Temos um resto que não é igual a zero, o que significa que o número -1 não é uma raiz para o polinômio. Vamos verificar o próximo número 1.

Tabela nº 6

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21

E vemos que novamente não se encaixa, o resto é r(x) = 24. Pegamos um novo número.

Vamos verificar o número 3.

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15

Tabela número 7

r(x)= 0, isso significa que o número 3 é a raiz do polinômio, podemos escrever este polinômio como:

=(x-3)( )

Dada a expressão resultante, podemos escrever a igualdade (5) da seguinte forma:

(x-3)( ) (6)

Vamos verificar agora o polinômio

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+

Tabela nº 8

Com base na tabela, vemos que o número 3 é a raiz do polinômio . Agora vamos escrever o seguinte:

Escrevemos a igualdade (5*), levando em consideração a expressão resultante, como segue:

(x-3)()= = .

Encontre a raiz do binômio entre os divisores do termo livre.

Vamos pegar o número 5

Tabela nº 9

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+
	+	-5
-5

r(x)=0, então 5 é a raiz do binômio.

Assim, podemos escrever

A solução para este exemplo será a tabela número 8.

Como pode ser visto na tabela, os números -1; 3; 5 são as raízes do polinômio.

Agora vamos direto para tipos de raízes.

1 é a raiz do terceiro grau, pois o colchete (x + 1) está no terceiro grau;

3- raiz do segundo grau, colchete (x-3) no segundo grau;

5 é a raiz do primeiro grau ou, em outras palavras, simples.

As equações quadráticas geralmente aparecem em vários problemas de matemática e física, portanto, todos os alunos devem ser capazes de resolvê-los. Este artigo discute em detalhes os principais métodos para resolver equações quadráticas e também fornece exemplos de seu uso.

Que equação é chamada de quadrática

Antes de tudo, responderemos à pergunta deste parágrafo para entender melhor o que será discutido no artigo. Portanto, a equação quadrática tem a seguinte forma geral: c + b * x + a * x 2 \u003d 0, onde a, b, c são alguns números, chamados de coeficientes. Aqui a≠0 é uma condição obrigatória, caso contrário a equação indicada degenera em linear. Os coeficientes restantes (b, c) podem assumir absolutamente quaisquer valores, incluindo zero. Então, expressões como a*x 2 =0, onde b=0 e c=0 ou c+a*x 2 =0, onde b=0, ou b*x+a*x 2 =0, onde c=0 - essas também são equações quadráticas, que são chamadas de incompletas, pois nelas o coeficiente linear b é igual a zero, ou o termo constante c é zero, ou ambos se anulam.

Uma equação na qual um \u003d 1 é chamado de reduzido, ou seja, tem a forma: x 2 + c / a + (b / a) * x \u003d 0.

A solução de uma equação quadrática é encontrar tais valores de x que satisfaçam sua igualdade. Esses valores são chamados de raízes. Como a equação considerada é uma expressão do segundo grau, isso significa que o número máximo de suas raízes não pode exceder dois.

Quais métodos para resolver equações quadradas existem

Em geral, existem 4 métodos de solução. Seus nomes estão listados abaixo:

1. Fatoração.
2. Complemento ao quadrado.
3. Usando uma fórmula bem conhecida (através do discriminante).
4. A solução é geométrica.

Como fica claro na lista acima, os três primeiros métodos são algébricos, então eles são usados ​​com mais frequência do que o último, que envolve a plotagem de um gráfico de função.

Existe outra maneira de resolver equações quadradas usando o teorema de Vieta. Poderia ser incluído o 5º na lista acima, porém, isso não é feito, pois o teorema de Vieta é uma simples consequência do 3º método.

Método número 1. Fatoração

Existe um belo nome para esse método na matemática das equações quadráticas: fatoração. A essência deste método é a seguinte: é necessário apresentar a equação quadrática como um produto de dois termos (expressões), que devem ser iguais a zero. Após tal representação, pode-se utilizar a propriedade do produto, que será igual a zero somente quando um ou mais (todos) de seus membros forem zero.

Agora considere a sequência de ações específicas que precisam ser executadas para encontrar as raízes da equação:

1. Transfira todos os membros para uma parte da expressão (por exemplo, para a esquerda) para que apenas 0 permaneça em sua outra parte (direita).
2. Expresse a soma dos termos em uma parte da equação como um produto de duas equações lineares.
3. Iguale cada uma das expressões lineares a zero e resolva-as.

Como você pode ver, o algoritmo de fatoração é bastante simples, no entanto, a maioria dos alunos tem dificuldades durante a implementação do 2º ponto, então vamos explicá-lo com mais detalhes.

Para adivinhar quais 2 expressões lineares, quando multiplicadas entre si, darão a equação quadrática desejada, você precisa se lembrar de duas regras simples:

• Os coeficientes lineares de duas expressões lineares, quando multiplicados entre si, devem dar o primeiro coeficiente da equação quadrática, ou seja, o número a.
• Os termos livres das expressões lineares, ao serem multiplicados, devem dar o número c da equação desejada.

Depois que todos os números de fatores foram selecionados, eles devem ser multiplicados e, se fornecerem a equação desejada, vá para a etapa 3 no algoritmo acima, caso contrário, os fatores devem ser alterados, mas isso deve ser feito para que as regras acima são sempre cumpridas.

Um exemplo de solução de fatoração

Mostraremos claramente como compor um algoritmo para resolver uma equação quadrática e encontrar raízes desconhecidas. Seja dada uma expressão arbitrária, por exemplo, 2*x-5+5*x 2 -2*x 2 = x 2 +2+x 2 +1. Passemos à sua solução, observando a sequência de pontos de 1 a 3, que consta do parágrafo anterior do artigo.

Ponto 1. Vamos mover todos os termos para o lado esquerdo e construí-los na sequência clássica para uma equação quadrática. Temos a seguinte igualdade: 2*x+(-8)+x 2 =0.

Ponto 2. Nós dividimos em um produto de equações lineares. Como a=1 e c=-8, selecionaremos, por exemplo, tal produto (x-2)*(x+4). Satisfaz as regras para encontrar os fatores esperados estabelecidos no parágrafo acima. Se abrirmos os colchetes, obtemos: -8+2*x+x 2 , ou seja, obtemos exatamente a mesma expressão do lado esquerdo da equação. Isso significa que adivinhamos corretamente os multiplicadores e podemos prosseguir para a 3ª etapa do algoritmo.

Item 3. Igualando cada fator a zero, obtemos: x=-4 e x=2.

Se houver dúvidas sobre o resultado obtido, recomenda-se verificar substituindo as raízes encontradas na equação original. Neste caso, temos: 2*2+2 2 -8=0 e 2*(-4)+(-4) 2 -8=0. Raízes encontradas corretamente.

Assim, pelo método de fatoração, descobrimos que a equação dada possui duas raízes diferentes: 2 e -4.

Método #2. Complemento ao quadrado completo

Na álgebra de equações quadradas, o método do multiplicador nem sempre pode ser usado, pois no caso de valores fracionários dos coeficientes da equação quadrática, surgem dificuldades na implementação do parágrafo 2 do algoritmo.

O método do quadrado completo, por sua vez, é universal e pode ser aplicado a equações quadráticas de qualquer tipo. Sua essência é realizar as seguintes operações:

1. Os termos da equação contendo os coeficientes aeb devem ser transferidos para uma parte da igualdade e o termo livre c para a outra.
2. Além disso, as partes da igualdade (direita e esquerda) devem ser divididas pelo coeficiente a, ou seja, a equação deve ser apresentada na forma reduzida (a=1).
3. A soma dos termos com coeficientes aeb é representada como um quadrado de uma equação linear. Como a=1, então o coeficiente linear será igual a 1, já para o termo livre da equação linear, deve ser igual à metade do coeficiente linear da equação quadrática reduzida. Depois de traçado o quadrado da expressão linear, é necessário somar o número correspondente ao lado direito da igualdade, onde se encontra o termo livre, que se obtém abrindo o quadrado.
4. Extraia a raiz quadrada com os sinais "+" e "-" e resolva a equação linear já obtida.

O algoritmo descrito pode, à primeira vista, ser percebido como bastante complicado, no entanto, na prática, é mais fácil de implementar do que o método de fatoração.

Um exemplo de solução usando o complemento do quadrado completo

Damos um exemplo de uma equação quadrática para treinar sua solução pelo método descrito no parágrafo anterior. Seja dada a equação quadrática -10 - 6*x+5*x 2 = 0. Começamos a resolvê-la, seguindo o algoritmo descrito acima.

Ponto 1. Usamos o método de transferência ao resolver equações quadradas, obtemos: - 6 * x + 5 * x 2 = 10.

Ponto 2. A forma reduzida desta equação é obtida dividindo-se pelo número 5 de cada um de seus membros (se as igualdades são ambas as partes divididas ou multiplicadas pelo mesmo número, então a igualdade será preservada). Como resultado das transformações, obtemos: x 2 - 6/5 * x = 2.

Item 3. Metade do coeficiente - 6/5 é igual a -6/10 = -3/5, usamos esse número para fazer um quadrado completo, temos: (-3/5 + x) 2 . Nós o expandimos e o termo livre resultante deve ser subtraído do lado esquerdo da igualdade para satisfazer a forma original da equação quadrática, que é equivalente a adicioná-lo ao lado direito. Como resultado, obtemos: (-3/5+x) 2 = 59/25.

Ponto 4. Calculamos a raiz quadrada com sinais positivos e negativos e encontramos as raízes: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. As duas raízes encontradas têm os seguintes valores: x 1 = (√59+3)/5 e x 1 = (3-√59)/5.

Como os cálculos realizados estão relacionados às raízes, há uma alta probabilidade de cometer um erro. Portanto, recomenda-se verificar a correção das raízes x 2 e x 1 . Obtemos para x 1: 5*((3+√59)/5) 2 -6*(3+√59)/5 - 10 = (9+59+6*√59)/5 - 18/5 - 6 *√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. Agora substitua x 2: 5*((3-√59)/5) 2 -6*(3-√59)/5 - 10 = (9+59-6*√59)/5 - 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.

Assim, mostramos que as raízes encontradas da equação são verdadeiras.

Método número 3. Aplicação da conhecida fórmula

Este método de resolução de equações quadráticas é talvez o mais simples, pois consiste em substituir os coeficientes em uma fórmula conhecida. Para usá-lo, você não precisa pensar em compilar algoritmos de solução, basta lembrar apenas uma fórmula. Ele é mostrado na figura acima.

Nesta fórmula, a expressão raiz (b 2 -4*a*c) é chamada de discriminante (D). De seu valor depende de quais raízes são obtidas. 3 casos são possíveis:

• D>0, então a equação da raiz de dois tem reais e diferentes.
• D=0, então uma raiz é obtida, que pode ser calculada a partir da expressão x = -b / (a ​​* 2).
• D<0, тогда получается два различных мнимых корня, которые представляются в виде комплексных чисел. Например, число 3-5*i является комплексным, при этом мнимая единица i удовлетворяет свойству: i 2 =-1.

Um exemplo de solução através do cálculo do discriminante

Aqui está um exemplo de uma equação quadrática para praticar usando a fórmula acima. Encontre as raízes para -3*x 2 -6+3*x+4*x = 0. Primeiro, calcule o valor do discriminante, obtemos: D = b 2 -4*a*c = 7 2 -4* (-3)* (-6) = -23.

Desde que recebeu D<0, значит, корни рассматриваемого уравнения являются числами комплексными. Найдем их, подставив найденное значение D в приведенную в предыдущем пункте формулу (она также представлена на фото выше). Получим: x = 7/6±√(-23)/(-6) = (7±i*√23)/6.

Método número 4. Usando o gráfico de uma função

Também é chamado de método gráfico para resolver equações quadráticas. Deve-se dizer que ele é usado, via de regra, não para uma análise quantitativa, mas qualitativa da equação em consideração.

A essência do método é traçar uma função quadrática y = f(x), que é uma parábola. Então, é necessário determinar em quais pontos o eixo das abcissas (X) da parábola se cruza, eles serão as raízes da equação correspondente.

Para saber se uma parábola cruzará o eixo x, basta saber a posição de seu mínimo (máximo) e a direção de seus ramos (eles podem aumentar ou diminuir). Há duas propriedades desta curva para lembrar:

• Se a>0 - as parábolas do ramo são direcionadas para cima, vice-versa, se a<0, то они идут вниз.
• A coordenada do mínimo (máximo) da parábola é sempre x = -b/(2*a).

Por exemplo, é necessário determinar se a equação -4*x+5*x 2 +10 = 0. A parábola correspondente será direcionada para cima, pois a=5>0. Seu extremo tem coordenadas: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5) 2 +10 = 9,2. Como o mínimo da curva está acima do eixo x (y = 9,2), ele não cruza o último para nenhum valor de x. Ou seja, a equação dada não tem raízes reais.

Teorema de Vieta

Como observado acima, este teorema é uma consequência do método nº 3, que se baseia na aplicação de uma fórmula com um discriminante. A essência do teorema de Vieta é que ele permite conectar os coeficientes da equação e suas raízes na igualdade. Obtemos as igualdades correspondentes.

Vamos usar a fórmula para calcular as raízes através do discriminante. Vamos adicionar duas raízes, obtemos: x 1 + x 2 \u003d -b / a. Agora multiplicamos as raízes uma pela outra: x 1 * x 2, após uma série de simplificações, obtemos o número c / a.

Assim, para resolver as equações quadráticas pelo teorema de Vieta, você pode usar as duas igualdades obtidas. Se todos os três coeficientes de uma equação são conhecidos, então as raízes podem ser encontradas resolvendo o sistema apropriado dessas duas equações.

Um exemplo de uso do teorema de Vieta

É necessário elaborar uma equação quadrática se souber que ela tem a forma x 2 + c \u003d -b * x e suas raízes são 3 e -4.

Como na equação em consideração é \u003d 1, as fórmulas Vieta terão a seguinte aparência: x 2 + x 1 \u003d -b e x 2 * x 1 \u003d c. Substituindo os valores conhecidos das raízes, obtemos: b = 1 e c = -12. Como resultado, a equação quadrática restaurada terá a seguinte aparência: x 2 -12 = -1*x. Você pode substituir o valor das raízes nele e garantir que a igualdade seja válida.

A aplicação inversa do teorema de Vieta, ou seja, o cálculo das raízes de acordo com a forma conhecida da equação, permite encontrar rapidamente (intuitivamente) soluções para pequenos inteiros a, b e c.

Equações quadráticas são estudadas na 8ª série, então não há nada complicado aqui. A capacidade de resolvê-los é essencial.

Uma equação quadrática é uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a , b e c são números arbitrários e a ≠ 0.

Antes de estudar métodos de solução específicos, notamos que todas as equações quadráticas podem ser divididas em três classes:

1. Não têm raízes;
2. Eles têm exatamente uma raiz;
3. Eles têm duas raízes diferentes.

Esta é uma diferença importante entre equações quadráticas e lineares, onde a raiz sempre existe e é única. Como determinar quantas raízes uma equação tem? Há uma coisa maravilhosa para isso - discriminante.

Discriminante

Seja dada a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0. Então o discriminante é simplesmente o número D = b 2 − 4ac .

Esta fórmula deve ser conhecida de cor. De onde vem não é importante agora. Outra coisa é importante: pelo sinal do discriminante, você pode determinar quantas raízes tem uma equação quadrática. Nomeadamente:

1. Se D< 0, корней нет;
2. Se D = 0, há exatamente uma raiz;
3. Se D > 0, haverá duas raízes.

Por favor, note: o discriminante indica o número de raízes, e não seus sinais, como por algum motivo muitas pessoas pensam. Dê uma olhada nos exemplos e você entenderá tudo sozinho:

Uma tarefa. Quantas raízes as equações quadráticas têm:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Escrevemos os coeficientes para a primeira equação e encontramos o discriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Então, o discriminante é positivo, então a equação tem duas raízes diferentes. Analisamos a segunda equação da mesma maneira:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

O discriminante é negativo, não há raízes. A última equação permanece:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

O discriminante é igual a zero - a raiz será um.

Observe que os coeficientes foram escritos para cada equação. Sim, é longo, sim, é tedioso - mas você não vai misturar as probabilidades e não cometer erros estúpidos. Escolha você mesmo: velocidade ou qualidade.

A propósito, se você “encher sua mão”, depois de um tempo você não precisará mais escrever todos os coeficientes. Você realizará tais operações em sua cabeça. A maioria das pessoas começa a fazer isso em algum lugar depois de 50-70 equações resolvidas - em geral, nem tanto.

As raízes de uma equação quadrática

Agora vamos para a solução. Se o discriminante D > 0, as raízes podem ser encontradas usando as fórmulas:

A fórmula básica para as raízes de uma equação quadrática

Quando D = 0, você pode usar qualquer uma dessas fórmulas - você obtém o mesmo número, que será a resposta. Finalmente, se D.< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Primeira equação:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ a equação tem duas raízes. Vamos encontrá-los:

Segunda equação:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ a equação novamente tem duas raízes. Vamos encontrá-los

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(alinhar)\]

Por fim, a terceira equação:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ a equação tem uma raiz. Qualquer fórmula pode ser usada. Por exemplo, o primeiro:

Como você pode ver pelos exemplos, tudo é muito simples. Se você conhece as fórmulas e consegue contar, não haverá problemas. Na maioria das vezes, os erros ocorrem quando os coeficientes negativos são substituídos na fórmula. Aqui, novamente, a técnica descrita acima ajudará: olhe para a fórmula literalmente, pinte cada etapa - e se livre dos erros muito em breve.

Equações quadráticas incompletas

Acontece que a equação quadrática é um pouco diferente do que é dado na definição. Por exemplo:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

É fácil ver que um dos termos está faltando nessas equações. Essas equações quadráticas são ainda mais fáceis de resolver do que as padrão: elas nem precisam calcular o discriminante. Então vamos introduzir um novo conceito:

A equação ax 2 + bx + c = 0 é chamada de equação quadrática incompleta se b = 0 ou c = 0, ou seja. o coeficiente da variável x ou do elemento livre é igual a zero.

Obviamente, um caso muito difícil é possível quando ambos os coeficientes são iguais a zero: b \u003d c \u003d 0. Nesse caso, a equação assume a forma ax 2 \u003d 0. Obviamente, essa equação tem um único raiz: x \u003d 0.

Vamos considerar outros casos. Seja b \u003d 0, então obtemos uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c \u003d 0. Vamos transformá-la levemente:

Como a raiz quadrada aritmética existe apenas a partir de um número não negativo, a última igualdade só faz sentido quando (−c / a ) ≥ 0. Conclusão:

1. Se uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0 satisfaz a desigualdade (−c / a ) ≥ 0, haverá duas raízes. A fórmula é dada acima;
2. Se (−c/a)< 0, корней нет.

Como você pode ver, o discriminante não era necessário - não há cálculos complexos em equações quadráticas incompletas. Na verdade, nem é necessário lembrar a desigualdade (−c / a ) ≥ 0. Basta expressar o valor de x 2 e ver o que está do outro lado do sinal de igual. Se houver um número positivo, haverá duas raízes. Se negativo, não haverá raízes.

Agora vamos lidar com equações da forma ax 2 + bx = 0, nas quais o elemento livre é igual a zero. Tudo é simples aqui: sempre haverá duas raízes. Basta fatorar o polinômio:

Tirando o fator comum dos colchetes

O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero. É daí que vêm as raízes. Em conclusão, vamos analisar várias dessas equações:

Uma tarefa. Resolva equações do segundo grau:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Não há raízes, porque o quadrado não pode ser igual a um número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.