Sejam dados dois planos

O primeiro plano tem um vetor normal (A 1; B 1; C 1), o segundo plano (A 2; B 2; C 2).

Se os planos são paralelos, então os vetores e são colineares, ou seja, = l para algum número l. É por isso

─ a condição de paralelismo do plano.

Condição de coincidência de planos:

,

pois neste caso, multiplicando a segunda equação por l = , obtemos a primeira equação.

Se a condição de paralelismo não for atendida, os planos se cruzam. Em particular, se os planos são perpendiculares, então os vetores também são perpendiculares. Portanto, seu produto escalar é igual a 0, ou seja, = 0, ou

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 \u003d 0.

Esta é uma condição necessária e suficiente para que os planos sejam perpendiculares.

Ângulo entre dois planos.

Ângulo entre dois planos

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

é o ângulo entre seus vetores normais e , então

cosj = =
.

linha reta no espaço.

Equação vetorial-paramétrica de uma linha reta.

Definição. Vetor de direção reto Qualquer vetor situado em uma linha ou paralelo a ela é chamado.

Componha a equação de uma reta que passa pelo ponto M 0 (x 0; y 0; z 0) e tem um vetor direcional = (a 1; a 2; a 3).

Separe do ponto M 0 o vetor . Seja M(x; y; z) um ponto arbitrário da reta dada, e ─ seu raio-vetor do ponto М 0 . Então , , é por isso . Essa equação é chamada equação vetorial-paramétrica de uma linha reta.

Equações paramétricas de uma reta.

Na equação vetorial-paramétrica da linha reta passará para as relações de coordenadas (x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + (a 1; a 2; a 3) t. Daqui obtemos equações paramétricas da reta

x \u003d x 0 + a 1 t,

y = y 0 + a 2 t, (4)

Equações canônicas de uma reta.

Das equações (4) expressamos t:

t = , t = , t = ,

onde chegamos equações canônicas da reta

= = (5)

Equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados.

Sejam dados dois pontos M 1 (x 1; y 1; z 1) e M 2 (x 2; y 2; z 2). Como o vetor diretor da linha reta, você pode tomar o vetor = (x 2 - x 1; y 2 ​​- y 1; z 2 - z 1). Como a reta passa pelo ponto M 1 (x 1; y 1; z 1), então suas equações canônicas de acordo com (5) serão escritas na forma

(6)

Ângulo entre duas linhas.

Considere duas linhas retas com vetores de direção = (a 1; a 2; a 3) e .

O ângulo entre as linhas é igual ao ângulo entre seus vetores de direção, então

cosj = =
(7)

A condição de perpendicularidade das linhas:

a 1 em 1 + a 2 em 2 + a 3 em 3 = 0.

Condição das linhas paralelas:

eu,

. (8)

Arranjo mútuo de linhas no espaço.

Sejam dadas duas linhas
e
.

Obviamente, as linhas estão no mesmo plano se e somente se os vetores , e coplanares, ou seja

= 0 (9)

Se em (9) as duas primeiras linhas são proporcionais, então as linhas são paralelas. Se todas as três linhas são proporcionais, então as linhas coincidem. Se a condição (9) for satisfeita e as duas primeiras linhas não forem proporcionais, então as linhas se cruzam.

Se
¹ 0, então as linhas são enviesadas.

Problemas em uma linha reta e um plano no espaço.

Uma linha reta é a interseção de dois planos.

Sejam dados dois planos

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

Se os planos não são paralelos, então a condição é violada

.

Seja, por exemplo, ¹ .

Vamos encontrar a equação da linha reta ao longo da qual os planos se cruzam.

Como o vetor de direção da linha reta desejada, podemos tomar o vetor

= × = =
.

Para encontrar um ponto pertencente à linha desejada, fixamos algum valor

z = z 0 e resolvendo o sistema

,

obtemos os valores \u200b\u200bx \u003d x 0, y \u003d y 0. Assim, o ponto desejado é M (x 0; y 0; z 0).

Equação obrigatória

.

Arranjo mútuo de uma linha reta e um plano.

Seja a reta x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

e avião

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0.

Para encontrar pontos comuns de uma reta e um plano, é necessário resolver o sistema de suas equações

A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Se A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 ¹ 0, então o sistema tem uma solução única

t = t 0 = -
.

Neste caso, a reta e o plano se cruzam em um único ponto M 1 (x 1; y 1; z 1), onde

x 1 \u003d x 0 + a 1 t 0, y 1 \u003d y 0 + a 2 t 0, z 1 \u003d z 0 + a 3 t 0.

Se A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, então a linha e o plano não têm pontos comuns , ou seja. são paralelos.

Se A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 \u003d 0, a linha pertence ao plano.

O ângulo entre uma linha e um plano.

Arranjo mútuo de aviões no espaço

Com o arranjo mútuo de dois planos no espaço, um dos dois casos mutuamente exclusivos é possível.

1. Dois planos têm um ponto comum. Então, pelo axioma da intersecção de dois planos, eles têm uma linha comum. O axioma R5 diz: se dois planos têm um ponto comum, então a interseção desses planos é sua linha comum. Deste axioma segue-se que para os planos Tais planos são chamados de interseção.

Os dois planos não têm um ponto comum.

3. Dois planos coincidem

3. Vetores no plano e no espaço

Um vetor é um segmento de linha direcionado. Seu comprimento é considerado o comprimento do segmento. Se dois pontos M1 (x1, y1, z1) e M2 (x2, y2, z2) são dados, então o vetor

Se dois vetores são dados e então

1. Comprimentos de vetores

2. Soma de vetores:

3. A soma de dois vetores aeb é a diagonal de um paralelogramo construído sobre esses vetores, proveniente de um ponto comum de sua aplicação (regra do paralelogramo); ou um vetor conectando o início do primeiro vetor com o final do último - de acordo com a regra do triângulo. A soma de três vetores a, b, c é a diagonal do paralelepípedo construído sobre esses vetores (a regra do paralelepípedo).

Considerar:

• 1. A origem das coordenadas está no ponto A;
• 2. O lado do cubo é um único segmento.
• 3. Direcionamos o eixo OX ao longo da aresta AB, OY ao longo da aresta AD e o eixo OZ ao longo da aresta AA1.

Para o plano inferior do cubo

Def. Dois planos no espaço são ditos paralelos se eles não se cruzam, caso contrário eles se cruzam.

Teorema 1: Se duas linhas de interseção de um plano são respectivamente paralelas a duas linhas de outro plano, então esses planos são paralelos.

Prova:

Sejam e dados planos, a1 e a2 - linhas no plano que se interceptam no ponto A, b1 e b2 - linhas paralelas a eles respectivamente em

aviões. Suponhamos que os planos e não sejam paralelos, ou seja, se cruzam ao longo de alguma linha. Pelo teorema, as linhas a1 e a2, sendo paralelas às linhas b1 e b2, são paralelas ao plano e, portanto, não são

intersectam a linha c que se encontra neste plano. Assim, duas retas (a1 e a2) passam pelo ponto A no plano, paralelas à reta c. Mas isso é impossível de acordo com o axioma das paralelas. Chegamos a uma contradição do CTD.

Planos perpendiculares: Dois planos de interseção são ditos perpendiculares se um terceiro plano, perpendicular à linha de interseção desses planos, os intercepta ao longo de linhas perpendiculares.

Teorema2: Se um plano passa por uma linha perpendicular a outro plano, esses planos são perpendiculares.

Prova:

Seja um plano, β uma linha perpendicular a ele, um plano que passa pela linha β, c uma linha ao longo da qual os planos E se interceptam. Vamos provar que os planos e são perpendiculares. Vamos desenhar no plano através do ponto de intersecção da linha com o plano a linha a,

perpendicular à reta. Vamos desenhar através das linhas a e entrar no plano. É perpendicular à linha c, porque a linha c é perpendicular às linhas a e b. Como as retas a e b são perpendiculares, os planos e são perpendiculares. h.t.d.

42. Equação normal do plano e suas propriedades

Equação de plano normal (normalizada)

em forma vetorial:

onde é um vetor unitário, é a distância de P. da origem. A equação (2) pode ser obtida da equação (1) multiplicando pelo fator de normalização

(sinais e opostos).

43. Equações de uma reta no espaço: Equações gerais, equações canônicas e paramétricas.

Equações canônicas:

Derivamos a equação de uma linha reta que passa por um determinado ponto e paralela a um determinado vetor de direção. Observe que um ponto está nessa linha se e somente se os vetores e são colineares. Isso significa que as coordenadas desses vetores são proporcionais:

Essas equações são chamadas de canônicas. Observe que uma ou duas das coordenadas do vetor de direção podem ser zero. Mas nós a percebemos como uma proporção: nós a entendemos como igualdade.

Equações Gerais:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

Onde os coeficientes A1-C1 não são proporcionais a A2-C2, o que equivale a defini-lo como uma linha de intersecção dos planos

Paramétrico:

Adiando dos vetores de ponto para valores diferentes, colineares ao vetor de direção, obteremos diferentes pontos de nossa linha reta no final dos vetores adiados. Da igualdade segue:

A variável é chamada de parâmetro. Como para qualquer ponto da linha existe um valor de parâmetro correspondente e como diferentes pontos da linha correspondem a diferentes valores do parâmetro, há uma correspondência um a um entre os valores dos parâmetros e os pontos da linha . Quando o parâmetro percorre todos os números reais de até, o ponto correspondente percorre toda a linha.

44. O conceito de espaço linear. Axiomas. Exemplos de Espaços Lineares

Um exemplo de um espaço linear é o conjunto de todos os vetores geométricos.

Linear, ou vetorespaço acima do campo P- este é um conjunto não vazio eu, em que as operações são introduzidas

adição, ou seja, cada par de elementos do conjunto está associado a um elemento do mesmo conjunto, denotado por

multiplicação por um escalar (isto é, um elemento do corpo P), ou seja, qualquer elemento e qualquer elemento será correspondido com o elemento de, denotado.

Nesse caso, as seguintes condições são impostas à operação:

Para qualquer ( comutatividade de adição);

Para qualquer ( associatividade de adição);

existe um elemento tal que para qualquer ( existência de um elemento neutro em relação à adição), em particular eu não está vazio;

para qualquer existe um elemento tal que (a existência de um elemento oposto).

(associatividade da multiplicação por um escalar);

(multiplicação por um elemento de campo neutro (por multiplicação)Psalva o vetor).

(distributividade da multiplicação por um vetor em relação à adição de escalares);

(distributividade da multiplicação por um escalar em relação à adição vetorial).

Definir elementos eu chamado vetores, e elementos de campo P-escalares. As propriedades 1-4 coincidem com os axiomas do grupo abeliano.

As propriedades mais simples

O espaço vetorial é um grupo abeliano por adição.

O elemento neutro é o único que resulta das propriedades do grupo.

para qualquer um.

Pois qualquer elemento oposto é o único que segue das propriedades do grupo.

para qualquer um.

para qualquer e

para qualquer um.

Os elementos de um espaço linear são chamados de vetores. Um espaço é chamado real se a operação de multiplicar vetores por um número nele é definida apenas para números reais, e complexo se essa operação é definida apenas para números complexos.

45. Base e dimensão de um espaço linear, conexão entre elas.

Soma final da visualização

é chamada de combinação linear de elementos com coeficientes.

Uma combinação linear é chamada não trivial se pelo menos um de seus coeficientes for diferente de zero.

Os elementos são chamados linearmente dependentes se houver uma combinação linear não trivial deles igual a θ. Caso contrário, esses elementos são chamados linearmente independentes.

Um subconjunto infinito de vetores de L é chamado linearmente dependente se algum subconjunto finito dele for linearmente dependente, e linearmente independente se algum de seus subconjuntos finitos for linearmente independente.

O número de elementos (potência) do subconjunto máximo linearmente independente do espaço não depende da escolha deste subconjunto e é chamado de posto, ou dimensão, do espaço, e este próprio subconjunto é chamado de base (a base de Hamel ou a base linear). Os elementos de uma base também são chamados de vetores de base. Propriedades básicas:

Quaisquer n elementos linearmente independentes de um espaço n-dimensional formam uma base desse espaço.

Qualquer vetor pode ser representado (exclusivamente) como uma combinação linear finita de elementos básicos:

46. ​​Coordenadas vetoriais em uma determinada base. Operações lineares com vetores em forma de coordenadas

artigo 4. Operações lineares com vetores emcoordenadaFormatoregistros.

Let Ser um espaço de base e ser seus dois vetores arbitrários. Seja e a representação desses vetores na forma de coordenadas. Seja, além disso, um número real arbitrário. Nessas notações, vale o seguinte teorema.

Teorema. (Em operações lineares com vetores em forma de coordenadas.)

Seja Ln um espaço n-dimensional arbitrário, B = (e1,….,en) uma base fixa nele. Então qualquer vetor x pertencente a Ln tem uma correspondência biunívoca com uma coluna de suas coordenadas nesta base.

O curso em vídeo "Get an A" inclui todos os tópicos necessários para a aprovação no exame de matemática por 60-65 pontos. Completamente todas as tarefas 1-13 do Perfil USE em matemática. Também adequado para passar o Basic USE em matemática. Se você quer passar no exame com 90-100 pontos, você precisa resolver a parte 1 em 30 minutos e sem erros!

Curso de preparação para o exame do 10º ao 11º ano, bem como para professores. Tudo o que você precisa para resolver a parte 1 do exame de matemática (os primeiros 12 problemas) e o problema 13 (trigonometria). E isso são mais de 70 pontos no Exame Estadual Unificado, e nem um estudante de cem pontos nem um humanista podem prescindir deles.

Toda a teoria necessária. Soluções rápidas, armadilhas e segredos do exame. Todas as tarefas relevantes da parte 1 das tarefas do Banco de FIPI foram analisadas. O curso está em total conformidade com os requisitos do USE-2018.

O curso contém 5 grandes tópicos, 2,5 horas cada. Cada tópico é dado do zero, de forma simples e clara.

Centenas de tarefas de exame. Problemas de texto e teoria das probabilidades. Algoritmos de resolução de problemas simples e fáceis de lembrar. Geometria. Teoria, material de referência, análise de todos os tipos de tarefas de USE. Estereometria. Truques astutos para resolver, dicas úteis, desenvolvimento da imaginação espacial. Trigonometria do zero - à tarefa 13. Compreender em vez de estudar. Explicação visual de conceitos complexos. Álgebra. Raízes, potências e logaritmos, função e derivada. Base para a resolução de problemas complexos da 2ª parte do exame.

Para dois planos, as seguintes variantes de arranjo mútuo são possíveis: eles são paralelos ou se cruzam em linha reta.

É conhecido pela estereometria que dois planos são paralelos se duas linhas de interseção de um plano são respectivamente paralelas a duas linhas de interseção de outro plano. Essa condição é chamada um sinal de planos paralelos.

Se dois planos são paralelos, então eles interceptam algum terceiro plano ao longo de linhas paralelas. Com base nisso, planos paralelos R e Q seus traços são linhas retas paralelas (Fig. 50).

Quando dois aviões R e Q paralela ao eixo X, seus traços horizontais e frontais com um arranjo mútuo arbitrário dos planos serão paralelos ao eixo x, ou seja, mutuamente paralelos. Conseqüentemente, em tais condições, o paralelismo de traços é sinal suficiente para caracterizar o paralelismo dos próprios planos. Para o paralelismo de tais planos, você precisa garantir que seus traços de perfil também sejam paralelos. P varinha Q W. aviões R e Q na figura 51 são paralelas e na figura 52 não são paralelas, apesar do fato de que P v || Q v, e P h y || Q h.

No caso em que os planos são paralelos, as horizontais de um plano são paralelas às horizontais do outro. Nesse caso, as frentes de um plano devem ser paralelas às frentes do outro, pois esses planos possuem traços paralelos de mesmo nome.

Para construir dois planos que se interceptam, é necessário encontrar a linha ao longo da qual os dois planos se interceptam. Para construir esta reta, basta encontrar dois pontos pertencentes a ela.

Às vezes, quando o plano é dado por traços, é fácil encontrar esses pontos usando um diagrama e sem construções adicionais. Aqui, a direção da reta definida é conhecida e sua construção é baseada no uso de um ponto no diagrama.

Fim do trabalho -

Este tópico pertence a:

Geometria Descritiva. Aula de notas de aula. Sobre projeções

Informações da palestra sobre projeções o conceito de projeções lendo um desenho .. projeção central .. uma ideia da projeção central pode ser obtida estudando a imagem que o olho humano fornece ..

Caso necessite de material adicional sobre este tema, ou não tenha encontrado o que procurava, recomendamos utilizar a busca em nosso banco de trabalhos:

O que faremos com o material recebido:

Se este material foi útil para você, você pode salvá-lo em sua página nas redes sociais:

tuitar

Todos os tópicos desta seção:

O conceito de projeções
A geometria descritiva é uma ciência que é a base teórica do desenho. Nesta ciência, são estudados métodos de representação de vários corpos e seus elementos em um plano.

Projeção paralela
A projeção paralela é um tipo de projeção que usa raios de projeção paralela. Ao construir projeções paralelas, você precisa definir

Projeções de um ponto em dois planos de projeção
Considere as projeções de pontos em dois planos, para os quais tomamos dois planos perpendiculares (Fig. 4), que chamaremos de planos horizontais e frontais. Linha de interseção de dados plana

Eixo de projeção ausente
Para explicar como obter no modelo projeções de um ponto sobre planos de projeção perpendiculares (Fig. 4), é necessário pegar um pedaço de papel grosso na forma de um retângulo alongado. Ele precisa ser dobrado entre

Projeções de um ponto em três planos de projeção
Considere o plano de perfil das projeções. As projeções em dois planos perpendiculares geralmente determinam a posição da figura e permitem descobrir suas dimensões e forma reais. Mas há momentos em que

Coordenadas do ponto
A posição de um ponto no espaço pode ser determinada usando três números, chamados suas coordenadas. Cada coordenada corresponde à distância de um ponto de algum plano pr

Projeção de uma linha reta
Dois pontos são necessários para definir uma linha. Um ponto é definido por duas projeções nos planos horizontal e frontal, ou seja, uma linha reta é determinada usando as projeções de seus dois pontos na horizontal

Traços retos
O traço de uma linha reta é o ponto de sua interseção com algum plano ou superfície (Fig. 20). O traço horizontal de uma linha é um ponto H

Várias posições da linha
Uma linha é chamada de linha em posição geral se não for nem paralela nem perpendicular a nenhum plano de projeção. As projeções de uma linha em posição geral também não são paralelas nem perpendiculares.

Arranjo mútuo de duas linhas retas
Três casos de arranjo de retas no espaço são possíveis: 1) as retas se cruzam, ou seja, têm um ponto comum; 2) as retas são paralelas, ou seja, não possuem um ponto comum, mas estão no mesmo plano

Linhas perpendiculares
Considere o teorema: se um lado de um ângulo reto é paralelo ao plano de projeção (ou está nele), então o ângulo reto é projetado neste plano sem distorção. Apresentamos uma prova para

Determinação da posição do avião
Para um plano de projeção localizado arbitrariamente, seus pontos preenchem todos os três planos de projeção. Portanto, não faz sentido falar sobre a projeção de todo o plano, você precisa considerar apenas as projeções

Traços de avião
O traço do plano P é a linha de sua interseção com um determinado plano ou superfície (Fig. 36). A linha de interseção do plano P com o plano horizontal é chamada

Contornos planos e frentes
Entre as linhas que se encontram em um determinado plano, podem ser distinguidas duas classes de linhas, que desempenham um papel importante na resolução de vários problemas. Estas são linhas retas, que são chamadas de horizontais.

Construção de traços de avião
Considere a construção de traços do plano P, que é dado por um par de linhas de interseção I e II (Fig. 45). Se uma linha está no plano P, então seus traços estão nos traços de mesmo nome

Várias posições do avião
Um plano em posição geral é um plano que não é nem paralelo nem perpendicular a nenhum dos planos de projeção. Os traços de tal plano também não são paralelos nem perpendiculares.

Reta paralela ao plano
Pode haver várias posições de uma linha reta em relação a um determinado plano. 1. A linha está em algum plano. 2. Uma linha é paralela a algum plano. 3. Transferência direta

Uma linha reta que intercepta um plano
Para encontrar o ponto de interseção de uma linha e um plano, é necessário construir linhas de interseção de dois planos. Considere a linha I e o plano P (Fig. 54).

Prisma e pirâmide
Considere um prisma reto que está em um plano horizontal (Fig. 56). Seus grãos laterais

Cilindro e cone
Um cilindro é uma figura cuja superfície é obtida pela rotação da reta m em torno do eixo i, localizada no mesmo plano desta reta. No caso em que a linha m

Bola, toro e anel
Quando algum eixo de rotação I é o diâmetro de um círculo, então uma superfície esférica é obtida (Fig. 66).

Linhas usadas no desenho
Três tipos principais de linhas (sólidas, tracejadas e pontilhadas) de várias espessuras são usadas no desenho (Fig. 76).

Localização das vistas (projeções)
No desenho, são utilizados seis tipos, que são mostrados na Figura 85. A figura mostra as projeções da letra "L".

Desvio das regras acima para o arranjo de pontos de vista
Em alguns casos, são permitidos desvios das regras de construção das projeções. Dentre esses casos, destacam-se: vistas parciais e vistas localizadas sem conexão de projeção com outras vistas.

Número de projeções que definem este corpo
A posição dos corpos no espaço, a forma e o tamanho são geralmente determinados por um pequeno número de pontos adequadamente selecionados. Se, ao retratar a projeção de um corpo, preste atenção

Rotação de um ponto em torno de um eixo perpendicular ao plano de projeções
A Figura 91 mostra o eixo de rotação I, que é perpendicular ao plano horizontal, e um ponto A localizado arbitrariamente no espaço. Ao girar em torno do eixo I, este ponto descreve

Determinação do comprimento natural de um segmento por rotação
Um segmento paralelo a qualquer plano de projeção é projetado nele sem distorção. Se você girar o segmento para que fique paralelo a um dos planos de projeção, poderá definir

A construção das projeções da figura da seção pode ser feita de duas maneiras
1. Você pode encontrar os pontos de encontro das arestas do poliedro com o plano de corte e, em seguida, conectar as projeções dos pontos encontrados. Como resultado disso, serão obtidas projeções do polígono desejado. Nesse caso,

Pirâmide
A Figura 98 mostra a intersecção da superfície da pirâmide com o plano de projeção frontal P. A Figura 98b mostra a projeção frontal a do ponto de encontro da nervura KS com o plano

seções oblíquas
Seções oblíquas são entendidas como um conjunto de tarefas para a construção de tipos naturais de seções do corpo em consideração pelo plano projetado. Para realizar um corte oblíquo, é necessário desmembrar

Hipérbole como uma seção da superfície de um cone pelo plano frontal
Seja necessário construir uma seção da superfície de um cone apoiado em um plano horizontal pelo plano P, que é paralelo ao plano V. A Figura 103 mostra o plano frontal

Seção da superfície do cilindro
Existem os seguintes casos de uma seção da superfície de um cilindro circular reto por um plano: 1) um círculo, se o plano secante P é perpendicular ao eixo do cilindro e é paralelo às bases

Seção da superfície do cone
No caso geral, uma superfície cônica circular inclui duas cavidades completamente idênticas que possuem um vértice comum (Fig. 107c). Os geradores de uma cavidade são uma continuação do

Seção da superfície da bola
Qualquer seção da superfície da bola por um plano é um círculo, que é projetado sem distorção apenas se o plano de corte for paralelo ao plano de projeções. No caso geral, temos

seções oblíquas
Que seja necessário construir uma vista natural da seção pelo plano que se projeta frontalmente do corpo. A Figura 110a considera um corpo limitado por três superfícies cilíndricas (1, 3 e 6), a superfície

Pirâmide
Para encontrar traços de uma linha reta na superfície de algum corpo geométrico, você precisa traçar um plano auxiliar reto e, em seguida, encontrar a seção da superfície do corpo por esse plano. O desejado será

Hélice cilíndrica
Formação de uma hélice. Considere a Figura 113a onde o ponto M se move uniformemente ao longo de um certo círculo, que é uma seção de um cilindro circular pelo plano P. Aqui este plano

Dois corpos de revolução
O método de desenhar planos auxiliares é usado ao construir uma linha de interseção das superfícies de dois corpos de revolução. A essência deste método é a seguinte. Executar um plano auxiliar

Seções
Existem algumas definições e regras que se aplicam às seções. Uma seção é uma figura plana que foi obtida como resultado da interseção de um determinado corpo com algum

cortes
Definições e regras aplicáveis ​​aos cortes. Um corte é uma imagem tão condicional de um objeto quando sua parte, localizada entre o olho do observador e o plano de corte

Corte parcial ou rasgo
O corte é chamado de completo se o objeto representado for cortado em sua totalidade, os cortes restantes são chamados de parciais ou cortes. Na Figura 120, na vista esquerda e na planta, são feitos cortes completos. Penteado