CAPÍTULO VIII.

PROPORCIONALIDADE DAS LINHAS. SEMELHANÇA DAS FIGURAS.

§ 93. CONSTRUÇÃO DE FIGURAS SEMELHANTES.

1. Construção de triângulos semelhantes.

Já sabemos que para construir um triângulo semelhante ao dado, basta traçar uma linha paralela ao lado do triângulo a partir de algum ponto tomado do lado do triângulo. Obtemos um triângulo semelhante a este (Fig. 382):

/\ DIA /\ A"C"B"

2. Construção de polígonos semelhantes.

Para construir um polígono semelhante ao dado, podemos proceder da seguinte forma: dividimos o polígono dado em triângulos por diagonais desenhadas de qualquer um de seus vértices (Fig. 383). Em algum lado do polígono ABCDE dado, por exemplo, no lado AE, tomamos algum ponto E" e traçamos uma linha paralela ao lado ED até cruzar a diagonal AD, por exemplo, no ponto D".

A partir do ponto D, desenhe uma linha paralela ao lado DC até cruzar a diagonal AC no ponto C. A partir do ponto C" desenhe uma linha paralela ao lado CB até cruzar com o lado AB no ponto B". O polígono resultante AB"C"D"E" é semelhante ao polígono ABCDE dado.

A validade desta afirmação é provada de forma independente.

Se for necessário construir um polígono semelhante ao dado com o coeficiente de semelhança especificado, o ponto inicial E" é tomado no lado AE ​​ou sua continuação, respectivamente, de acordo com o coeficiente de semelhança fornecido.

3. Filmar um plano do terreno.

a) A filmagem do plano é realizada por meio de um dispositivo especial chamado taça(desv. 384).

A menzula é uma placa quadrada colocada em um tripé. Ao desenhar um plano, o tabuleiro é colocado na posição horizontal, que é verificada usando um nível. Para traçar linhas retas na direção desejada, utiliza-se uma alidade equipada com dioptrias. Cada dioptria possui uma ranhura na qual o cabelo é esticado, o que permite direcionar com precisão a alidade na direção certa. Uma folha de papel branco é presa à escala com botões, nos quais o plano é desenhado.

Para fazer uma planta do terreno ABCDE, escolha algum ponto O dentro do terreno de forma que todos os topos do terreno sejam visíveis a partir dele (Fig. 385).

Com o auxílio de um garfo com fio de prumo (Fig. 386), a escala é ajustada de modo que o ponto O, marcado em uma folha de papel, caia sobre o ponto O escolhido no local.

Então, do ponto O em uma folha de papel presa ao béquer, são traçados raios com uma alidade em direção aos pontos A, B, C, D e E; medir distâncias
OA, OB, OS, OD e OE e coloque sobre esses raios nos segmentos de escala aceitos
OA", OB", OS, OD" e OE".

Os pontos A, B, C, D e E estão conectados. Acontece o polígono A "B" C "D" E, que é um plano do terreno dado na escala aceita.

O método de disparo em escala descrito por nós é chamado polar.

Existem outras maneiras de fotografar um avião com uma escala, sobre as quais você pode ler em guias especiais para fotografar em escala.

Em cada planta, geralmente é dada uma escala pela qual podem ser estabelecidas as verdadeiras dimensões da área removida, bem como sua área.

O plano também indica a direção dos pontos cardeais.

Trabalho prático.

a) Faça a maquete mais simples na oficina da escola e use-a para fazer um plano de algum pequeno terreno.

b) O levantamento da planta do terreno pode ser feito com a ajuda de um astrolábio.

Suponha que seja necessário remover a planta do terreno ABCDE. Vamos pegar um dos vértices da seção, por exemplo A, como o inicial e usar o astrolábio para medir os ângulos no vértice A, ou seja,
/ 1, / 2, / 3 (dev. 387).

Então, usando uma cadeia de medição, medimos as distâncias AE, AD, AC e AB. Dependendo do tamanho da plotagem e do tamanho da folha de papel na qual o plano é aplicado, a escala para desenhar o plano é selecionada.

No ponto A, que é tomado como vértice do polígono, construímos três ângulos, respectivamente iguais a / 1, / 2 e / 3; em seguida, na escala selecionada nas laterais desses cantos do ponto A "coloque os segmentos A "E", A "D", A "C" e A "B". Conectando os pontos A "e E", E "e D", D "e C, C" e B", B" e A", obtemos um polígono A"B"C"D"E", semelhante ao polígono ABCDE. Este será um plano de este terreno, desenhado na escala escolhida.

Ao resolver muitos problemas de construção, o método de semelhança é usado, cuja essência é a seguinte: primeiro, uma figura semelhante à dada é construída, depois essa figura aumenta (diminui) na proporção necessária (ou seja, uma figura semelhante é construído) que satisfaça a condição do problema.

O processo de aprender a aplicar a similaridade para resolver problemas de construção deve ser dividido em quatro etapas: preparatória, introdutória, formação de habilidades e aprimoramento de habilidades. Cada etapa tem seu próprio objetivo didático, que é alcançado quando os alunos concluem tarefas especialmente projetadas.

O objetivo didático do estágio preparatório é formar habilidades dos alunos: destacar os dados que determinam a forma da figura, muitos pares de figuras semelhantes entre si; construir uma figura de acordo com os dados que definem a forma; passar da figura construída para a desejada.

Depois de estudar o primeiro sinal de semelhança de triângulos, podemos propor o seguinte conjunto atribuições:

Construa um triângulo com dois vértices. Quantas soluções o problema tem? Que elementos determinam a forma dos triângulos construídos?

Nomeie triângulos semelhantes na Figura 35.

São conhecidos os seguintes elementos de um triângulo: a) ângulos de 75 e 25; b) altura 1,5 cm; c) ângulos de 75 e 25, altura 1,5 cm Qual desses dados determina a única figura da Fig. 35?

Que ângulos determinam a forma dos triângulos na Figura 35?

Será possível determinar as dimensões de um dos triângulos da Fig. 35 se forem conhecidos os seguintes dados: a) os ângulos na base do triângulo; b) a altura do triângulo; c) laterais e cantos na base?

Os triângulos ABC e ABC são semelhantes na Figura 36 se ACAC? se eles são semelhantes, qual é o seu coeficiente de semelhança?

Um conjunto de tarefas apresentadas aos alunos após estudar 2 e 3 sinais de semelhança de triângulos são compilados de maneira semelhante. No entanto, ao passar deste recurso para o seguinte, as questões tornam-se um pouco mais complicadas, a saber: a localização dos triângulos nas figuras muda, afastando-se do padrão, varia o conjunto do elemento que define a única figura. Tarefas, por exemplo, pode ser:

1. Os triângulos ABC e ABC são semelhantes se:

a) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, B=60º;

b) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, H=30º;

c) AB=3cm, BC=5cm, CA=7cm, AB=4,5cm, BC=7,5cm, CA=10,5cm;

d) AB=1,7cm, BC=3cm, SA=4,2cm, AB=34cm, BC=60cm, SA=84cm.

2. Em um triângulo ABC com um ângulo agudo C, as alturas AE e BD são desenhadas (Fig. 37). Prove que ABC é semelhante a EDC.

3. Prove que os perímetros de triângulos semelhantes estão relacionados como lados correspondentes.

O objetivo didático da etapa introdutória é explicar aos alunos a estrutura do processo de construção pelo método de similaridade.

A explicação começa com o problema.

Uma tarefa. Construa um triângulo dados dois ângulos dados ee uma bissetriz de comprimento d desenhada a partir do vértice do terceiro ângulo.

Analisando a tarefa com os alunos, o professor oferece tarefas - perguntas, cujas respostas são brevemente registradas no quadro. As perguntas podem ser:

1. Quais dados determinam a forma do triângulo desejado?

2. Quais dados determinam as dimensões do triângulo desejado?

3. Quantos triângulos podem ser construídos com dois vértices? Qual será a forma de construção de todos os triângulos construídos?

4. Qual segmento deve ser desenhado em um triângulo semelhante ao desejado?

5. Como construir o triângulo necessário?

As respostas às perguntas são acompanhadas por um desenho à mão livre no quadro (Fig. 38).

a) ABC: A=, B=;

b) construir a bissetriz do ângulo C no triângulo ABC,

c) construir СN=d, NCD;

d) traçar uma linha reta passando pelo ponto N, AB;

e) AC=A, BC=B;

f) ABC - desejado: A=, B= (desde ABC ABC por 1 traço) e CN=d por construção. A finalidade didática do estágio, que forma a capacidade de resolver problemas do tipo em consideração, já fica claro em seu nome. A principal forma de atuação nesta fase é a busca individual. Termina com uma conversa resumida.

Aqui estão alguns exemplos de tarefas que podem ser propostas nesta fase.

Uma tarefa. Um ponto F é dado dentro do ângulo AOB. Construir um ponto M no lado OA, igualmente distante de F e do lado OB

Solução.

1. Análise. Vamos voltar para a Figura 39. Construa o ponto M, então MF=MP. Isso significa que o ponto desejado M é o centro de um círculo de raio MF com centro M, tocando o lado OB no ponto P.

Se pegarmos um ponto arbitrário M em OA e soltar MP em CB e encontrar F a interseção do círculo com centro M de raio MP com a linha OF, então MFP será semelhante a MFP. A partir disso segue a construção necessária.

2. Construção. Desenhamos OF, pegamos um ponto arbitrário M em CA e abaixamos MP para CB. Traçamos um círculo de raio MP centrado no ponto M. Seja F o ponto de interseção deste círculo com OF. Desenhamos FM e depois traçamos uma linha reta passando pelo ponto FFM. O ponto M da intersecção desta linha com OA é o necessário.

3. Prova. É evidente a partir da análise realizada.

4. Pesquisa. O problema tem 2 soluções. Isso decorre do fato de que o círculo cruza com OF em 2 pontos.

Uma tarefa. Construir um triângulo com 2 vértices e um perímetro.

Solução.

1. Análise. Sejam e sejam dados ângulos e P o perímetro do triângulo desejado (Fig. 40). Vamos supor que o triângulo desejado seja construído, então, se considerarmos qualquer ABC semelhante ao desejado, a razão do perímetro P ABC para o perímetro P ABC é igual à razão dos lados AC e AC.

2. Construção. Vamos construir um ABC semelhante ao desejado. No raio AB, separe os segmentos AD=P e AD=P, então conecte os pontos D e C, e desenhe uma linha DC através do ponto D. Seja C o ponto de interseção da reta com o raio AC. Desenhe uma linha CB através do ponto C e denote o ponto de intersecção desta linha com AD, então ABC é o necessário.

3. Prova. Obviamente, ACD é semelhante a ACD, portanto. A proporção é igual à proporção dos perímetros de ABC e ABC semelhantes, portanto, o perímetro ABC \u003d P, portanto, ABC é o desejado.

4. Pesquisa. Como a soma de quaisquer dois ângulos de um triângulo<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Uma tarefa. Dado AOB e ponto M, localizado na região interna deste vértice. Construa um círculo passando pelo ponto A e tocando os lados do ângulo AOB.

Solução.

1. Análise. Sejam dados AOB e ponto M, localizado na região interna do vértice (Fig. 41).

Vamos desenhar outro círculo tocando os lados do AOB. Seja M o ponto de interseção do círculo com a reta OM e considere OMN e OMN (N e N centros do círculo e).

Esses triângulos são semelhantes em dois ângulos, então a construção do círculo desejado pode ser feita da seguinte forma:

2. Construção. Como o centro do círculo desejado está na bissetriz AOB, desenhamos a bissetriz do ângulo. Além disso, tomamos o ponto N aqui e construímos um círculo com centro N tocando AOB. Em seguida, desenhamos a linha SM e denotamos por M - o ponto de interseção da linha com o círculo (existem dois desses pontos - M e M - pegamos um deles). Traçamos a linha MN e sua linha passando pelo ponto M. Então N é a interseção da linha com a bissetriz do ângulo e é o centro do círculo desejado, e seu raio é igual a MN. Vamos fazê-la passar.

3. Prova. Por construção, o círculo é semelhante, O é o centro de semelhança. Isso decorre da semelhança dos triângulos OMN e OMN, portanto, como o círculo toca os lados do ângulo, o círculo também tocará os lados do ângulo.

4. Pesquisa. O problema tem duas soluções, porque OM intercepta o círculo em dois pontos M e M, cada um dos quais corresponderá ao seu próprio círculo passando pelo ponto M e tocando os lados de AOB.

O objetivo didático do estágio que melhora a capacidade de resolução de problemas do tipo considerado acima é a transferência da habilidade formada para problemas mais complexos, em particular para as seguintes situações: a figura desejada ocupa uma determinada posição em relação a determinados pontos ou linhas, enquanto a eliminação de uma das condições do problema leva a um sistema de figuras semelhantes ou homotéticas. Vamos dar um exemplo de tal tarefa.

Uma tarefa. Inscrever um quadrado em um determinado triângulo de modo que dois de seus vértices fiquem em um lado do triângulo e os outros dois fiquem nos outros dois lados.

As tarefas correspondentes aos objetivos desta etapa são excluídas das tarefas de nível obrigatório. Portanto, eles são oferecidos apenas para alunos com bom desempenho. Nesta fase, a atenção principal é dada à atividade de pesquisa individual dos alunos.

Como regra, dois triângulos são considerados semelhantes se tiverem a mesma forma, mesmo que sejam de tamanhos diferentes, girados ou mesmo de cabeça para baixo.

A representação matemática de dois triângulos semelhantes A 1 B 1 C 1 e A 2 B 2 C 2 mostrados na figura é escrita da seguinte forma:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Dois triângulos são semelhantes se:

1. Cada ângulo de um triângulo é igual ao ângulo correspondente de outro triângulo:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 e ∠C1 = ∠C2

2. As razões dos lados de um triângulo para os lados correspondentes de outro triângulo são iguais entre si:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relacionamentos dois lados de um triângulo aos lados correspondentes de outro triângulo são iguais entre si e ao mesmo tempo
os ângulos entre esses lados são iguais:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ e $\ângulo A_1 = \ângulo A_2$
ou
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ e $\ângulo B_1 = \ângulo B_2$
ou
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ e $\ângulo C_1 = \ângulo C_2$

Triângulos semelhantes não devem ser confundidos com triângulos iguais. Triângulos congruentes têm comprimentos de lado correspondentes. Então para triângulos iguais:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Segue-se que todos os triângulos iguais são semelhantes. No entanto, nem todos os triângulos semelhantes são iguais.

Embora a notação acima mostre que para descobrir se dois triângulos são semelhantes ou não, precisamos conhecer os valores dos três ângulos ou os comprimentos dos três lados de cada triângulo, para resolver problemas com triângulos semelhantes, é é suficiente saber quaisquer três valores acima para cada triângulo. Esses valores podem estar em várias combinações:

1) três ângulos de cada triângulo (os comprimentos dos lados dos triângulos não precisam ser conhecidos).

Ou pelo menos 2 ângulos de um triângulo devem ser iguais a 2 ângulos de outro triângulo.
Como se 2 ângulos são iguais, o terceiro ângulo também será igual. (O valor do terceiro ângulo é 180 - ângulo1 - ângulo2)

2) os comprimentos dos lados de cada triângulo (não é necessário conhecer os ângulos);

3) os comprimentos dos dois lados e o ângulo entre eles.

Em seguida, consideramos a solução de alguns problemas com triângulos semelhantes. Primeiro, veremos problemas que podem ser resolvidos usando as regras acima diretamente e, em seguida, discutiremos alguns problemas práticos que podem ser resolvidos usando o método de triângulos semelhantes.

Problemas práticos com triângulos semelhantes

Exemplo 1: Mostre que os dois triângulos da figura abaixo são semelhantes.

Solução:
Como os comprimentos dos lados de ambos os triângulos são conhecidos, a segunda regra pode ser aplicada aqui:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Exemplo #2: Mostre que dois triângulos dados são semelhantes e encontre os comprimentos dos lados QP e RP.

Solução:
∠A = ∠P e ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(porque ∠C = 180 - ∠A - ∠B e ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Segue-se que os triângulos ∆ABC e ∆PQR são semelhantes. Consequentemente:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ e
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Exemplo nº 3: Determine o comprimento AB neste triângulo.

Solução:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED e ∠A comum => triângulos ΔABC e ΔADE são similares.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Exemplo #4: Determinar o comprimento AD(x) figura geométrica na figura.

Os triângulos ∆ABC e ∆CDE são semelhantes porque AB || DE e eles têm um canto superior comum C.
Vemos que um triângulo é uma versão em escala do outro. No entanto, precisamos provar isso matematicamente.

AB || DE, CD || AC e BC || UE
∠BAC = ∠EDC e ∠ABC = ∠DEC

Com base no exposto e levando em consideração a presença de um ângulo comum C, podemos afirmar que os triângulos ∆ABC e ∆CDE são semelhantes.

Consequentemente:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = $ 23,57
x = CA - CC = 23,57 - 15 = 8,57

Exemplos práticos

Exemplo nº 5: A fábrica utiliza uma esteira inclinada para transportar os produtos do nível 1 para o nível 2, que fica 3 metros acima do nível 1, conforme mostra a figura. O transportador inclinado é atendido de uma extremidade ao nível 1 e da outra extremidade a uma estação de trabalho localizada a uma distância de 8 metros do ponto de operação do nível 1.

A fábrica quer atualizar o transportador para acessar o novo nível, que fica 9 metros acima do nível 1, mantendo o ângulo do transportador.

Determine a distância na qual você precisa configurar uma nova estação de trabalho para garantir que o transportador funcione em sua nova extremidade no nível 2. Calcule também a distância adicional que o produto percorrerá ao passar para um novo nível.

Solução:

Primeiro, vamos rotular cada ponto de interseção com uma letra específica, conforme mostrado na figura.

Com base no raciocínio dado acima nos exemplos anteriores, podemos concluir que os triângulos ∆ABC e ∆ADE são semelhantes. Consequentemente,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Assim, o novo ponto deve ser instalado a uma distância de 16 metros do ponto existente.

E como a estrutura é composta de triângulos retângulos, podemos calcular a distância de viagem do produto da seguinte forma:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Da mesma forma, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
que é a distância que o produto percorre no momento em que atinge o nível existente.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Esta é a distância extra que um produto deve percorrer para atingir um novo nível.

Exemplo #6: Steve quer visitar seu amigo que se mudou recentemente para uma nova casa. O roteiro para chegar à casa de Steve e seu amigo, juntamente com as distâncias conhecidas por Steve, é mostrado na figura. Ajude Steve a chegar na casa de seu amigo pelo caminho mais curto.

Solução:

O roadmap pode ser representado geometricamente da seguinte forma, conforme mostrado na figura.

Vemos que os triângulos ∆ABC e ∆CDE são semelhantes, portanto:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

A declaração de tarefa afirma que:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km e DE = 5 km

Usando essas informações, podemos calcular as seguintes distâncias:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve pode chegar à casa de seu amigo usando as seguintes rotas:

A -> B -> C -> E -> G, a distância total é 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, a distância total é 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, a distância total é 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, a distância total é 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Portanto, a rota nº 3 é a mais curta e pode ser oferecida a Steve.

Exemplo 7:
Trisha quer medir a altura da casa, mas não tem as ferramentas certas. Ela percebeu que uma árvore estava crescendo na frente da casa e decidiu usar sua desenvoltura e conhecimento de geometria recebido na escola para determinar a altura do prédio. Ela mediu a distância da árvore até a casa, o resultado foi de 30 m. Então ela ficou na frente da árvore e começou a recuar até que a borda superior do prédio ficasse visível acima do topo da árvore. Trisha marcou o local e mediu a distância dele até a árvore. Essa distância foi de 5 m.

A altura da árvore é de 2,8 m e a altura dos olhos de Trisha é de 1,6 m. Ajude Trisha a determinar a altura do prédio.

Solução:

A representação geométrica do problema é mostrada na figura.

Primeiro usamos a similaridade dos triângulos ∆ABC e ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \vezes AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Podemos então usar a similaridade dos triângulos ∆ACB e ∆AFG ou ∆ADE e ∆AFG. Vamos escolher a primeira opção.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \Rightarrow H = \frac(1,6) )(0,16) = 10 m$

Tarefa 1. Construa um triângulo, conhecendo seus dois ângulos e seu perímetro.

Solução. Conhecer os ângulos de um triângulo já o determina até uma transformação de similaridade. Portanto, para resolver o problema, construímos qualquer triângulo LS, com os ângulos dados (Fig. 277). Resta transformar similarmente o triângulo para que seu perímetro se torne igual ao valor dado.

Para fazer isso, reserve seus lados nas extensões do lado, o segmento será igual ao perímetro do triângulo. Pegue qualquer segmento KL paralelo ao segmento, mas igual ao perímetro dado. Conectamos as extremidades de ambos os segmentos paralelos e tomamos o ponto O da interseção das linhas como o centro de semelhança. A construção dos vértices A e C do triângulo desejado pode ser vista na Fig. 277, seus lados AB e CB são paralelos aos lados correspondentes do triângulo.

No caso de um triângulo - já desejado.

Tarefa 2. Dado o ângulo formado pelos raios OA e OB, e o ponto N dentro deste ângulo. Construa um círculo tangente aos lados do canto e passando pelo ponto dado N (Fig. 278).

Solução. Um círculo tangente aos lados de um ângulo deve ser centrado na bissetriz desse ângulo. Vamos pegar um ponto arbitrário nesta bissetriz e construir um círculo centrado nos lados do canto (seu raio é simplesmente igual à distância do ponto aos lados do canto). Se agora transformarmos esse círculo de maneira semelhante com o centro de semelhança no vértice do ângulo O, obteremos novamente um círculo centrado na bissetriz; tal círculo tocará novamente os lados do canto, pois seu raio que conduz ao ponto de contato, em virtude da conservação dos ângulos, passará para um raio perpendicular ao lado do canto. Resta garantir o cumprimento da segunda condição: o círculo transformado deve passar pelo ponto N. Isso implica a solução do problema. Desenhe o raio ON para a interseção com o círculo em pontos e construa seus raios que levam a esses pontos. Por um dado ponto N traçamos as linhas NC e NC paralelas a esses raios; os pontos de sua interseção C, C com a bissetriz e dar as posições possíveis do centro do círculo desejado. O problema tem duas soluções. Como a solução mudará se o ponto N estiver na bissetriz do ângulo?

Exercícios

1. O perímetro de um triângulo é 10 cm, e sua área Qual é o perímetro de um triângulo semelhante se sua área é?

2. Prove que triângulos isósceles com ângulos de vértice iguais são semelhantes.

3. Construir um triângulo semelhante ao dado e inscrito em um círculo de raio dado.

4. Inscrever um quadrado em um determinado triângulo ABC de modo que um de seus lados esteja no lado BC do triângulo e dois vértices estejam nos outros dois lados do triângulo.