Sorokina Vika

Provas das propriedades da bissetriz de um triângulo são dadas e a aplicação da teoria para resolver problemas é considerada.

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Comissão de Educação da Administração de Saratov, Oktyabrsky District Municipal Autónoma Instituição Educacional Lyceum No. 3 em homenagem. A. S. Pushkin.

Municipal Científico e Prático

conferência

"Primeiros passos"

Tema: Bissetriz e suas propriedades.

O trabalho foi realizado por: um aluno do 8º ano

Sorokina VictoriaOrientador: Professor de matemática da mais alta categoriaPopova Nina Fiodorovna

Saratov 2011

1. Folha de rosto……………………………………………………………1
2. Conteúdo ………………………………………………………………… 2
3. Introdução e objetivos………………………………………………………… ..3
4. Consideração das propriedades da bissetriz

• Terceiro locus de pontos …………………………………….3
• Teorema 1……………………………………………………………….4
• Teorema 2…………………………………………………………………4
• A principal propriedade da bissetriz de um triângulo:

1. Teorema 3…………………………………………………………………4
2. Tarefa 1…………………………………………………………… ….7
3. Tarefa 2……………………………………………………………….8
4. Tarefa 3……………………………………………………………….9
5. Tarefa 4……………………………………………………………….9-10

• Teorema 4…………………………………………………………10-11
• Fórmulas para encontrar a bissetriz:

1. Teorema 5……………………………………………………………….11
2. Teorema 6……………………………………………………………….11
3. Teorema 7……………………………………………………………….12
4. Tarefa 5………………………………………………………… 12-13

• Teorema 8……………………………………………………………….13
• Tarefa 6……………………………………………………………….14
• Tarefa 7…………………………………………………………… 14-15
• Determinação usando a bissetriz dos pontos cardeais………………15

1. Conclusão e conclusão……………………………………………………..15
2. Lista de literatura usada ………………………………………..16

Bissetriz

Em uma aula de geometria, estudando o tópico de triângulos semelhantes, encontrei um problema sobre o teorema da razão entre a bissetriz e os lados opostos. Parece que poderia haver algo interessante no tópico da bissetriz, mas esse tópico me interessou e eu queria estudá-lo mais profundamente. Afinal, a bissetriz é muito rica em suas incríveis propriedades que ajudam a resolver diversos problemas.

Ao considerar este tópico, você pode ver que os livros didáticos de geometria dizem muito pouco sobre as propriedades da bissetriz e, nos exames, conhecendo-os, você pode resolver problemas com muito mais facilidade e rapidez. Além disso, para passar no GIA e no Exame Estadual Unificado, os alunos modernos precisam estudar materiais adicionais para o currículo escolar. É por isso que decidi estudar o tema da bissetriz com mais detalhes.

Bissetriz (do latim bi- “duplo”, e sectio “corte”) de um ângulo - um raio com início no ápice do ângulo, dividindo o ângulo em duas partes iguais. A bissetriz de um ângulo (junto com sua extensão) é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados do ângulo (ou suas extensões)

Terceiro locus de pontos

Figura F é o lugar geométrico dos pontos (o conjunto de pontos) que têm alguma propriedade MAS, se duas condições forem atendidas:

1. do fato de que o ponto pertence à figura F, segue que tem a propriedade MAS;
2. do fato de que o ponto satisfaz a propriedade MAS, segue que pertence à figura F.

O primeiro lugar geométrico dos pontos considerados na geometria é um círculo, ou seja, lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto fixo. A segunda é a mediatriz do segmento, ou seja, lugar geométrico dos pontos equidistantes da extremidade de um segmento. E, finalmente, a terceira - a bissetriz - o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados do ângulo

Teorema 1:

Os pontos da bissetriz estão igualmente distantes dos lados ele é um canto.

Prova:

Deixe P - ponto de bissetriz MAS. Descer do pontoR perpendiculares caravana e PC por canto lateral. Então VAR = SAR hipotenusa e ângulo agudo. Portanto, RV = PC

Teorema 2:

Se o ponto P é equidistante dos lados do ângulo A, então ele está na bissetriz.

Prova: РВ = PC => ВАР = СAP => BAP= CAP => АР é uma bissetriz.

Entre os fatos geométricos básicos deve ser atribuído o teorema de que a bissetriz divide o lado oposto em relação aos lados opostos. Este fato permaneceu nas sombras por muito tempo, mas em todos os lugares existem problemas que são muito mais fáceis de resolver se você conhecer este e outros fatos sobre a bissetriz. Fiquei interessado e decidi explorar mais a fundo essa propriedade da bissetriz.

Propriedade básica da bissetriz de um triângulo

Teorema 3. A bissetriz divide o lado oposto do triângulo em relação aos lados adjacentes.

Prova 1:

Dado: AL- bissetriz do triângulo ABC

Provar:

Demonstração: Seja F - ponto de intersecção de uma linha AL e uma linha que passa por um ponto NO paralelo ao lado AC.

Então BFA = FAC = BAF. Portanto BAF isósceles e AB = BF. Da semelhança de triângulos ALC e FLB temos

Razão

Onde

Prova 2

Seja F o ponto interceptado pela reta AL e a reta que passa pelo ponto C paralela à base AB. Então você pode repetir o raciocínio.

Prova 3

Sejam K e M as bases das perpendiculares lançadas sobre a linha AL dos pontos B e C respectivamente. Os triângulos ABL e ACL são semelhantes em dois ângulos. É por isso
. E da semelhança de BKL e CML temos

Daqui

Prova 4

Vamos usar o método de área. Calcular as áreas dos triângulos ABL e ACL dois caminhos.

Daqui.

Prova 5

Seja α= BAC,φ= BLA. Pelo teorema do seno no triângulo ABL

E no triângulo ACL.

Porque ,

Então, dividindo ambas as partes da igualdade pelas partes correspondentes da outra, temos.

Tarefa 1

Dado: No triângulo ABC, VC é a bissetriz, BC=2, KS=1,

Solução:

Tarefa 2

Dado:

Encontre as bissetrizes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo com catetos 24 e 18

Solução:

Seja a perna AC = 18, perna BC = 24,

SOU é a bissetriz do triângulo.

Pelo teorema de Pitágoras, encontramos

que AB = 30.

Porque, então

Da mesma forma, encontramos a segunda bissetriz.

Responda:

Tarefa 3

Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto B bissetriz de ângulo UMA cruza o lado BC

No ponto D. Sabe-se que BD = 4, DC = 6.

Encontre a área de um triângulo ADC

Solução:

Pela propriedade da bissetriz de um triângulo

Denote AB = 2 x , AC = 3 x . Por teorema

Pitágoras BC 2 + AB 2 = AC 2, ou 100 + 4 x 2 = 9 x 2

A partir daqui encontramos que x = Então AB = , S ABC=

Consequentemente,

Tarefa 4

Dado:

Em um triângulo isósceles abc lado AB igual a 10, base CA é 12.

Bissetrizes de ângulo A e C cruzar em um ponto D. Encontre BD.

Solução:

Como as bissetrizes de um triângulo se interceptam em

Um ponto, então BD é a bissetriz de B. Vamos continuar BD ao cruzamento com AC no ponto M. Então M é o ponto médio de AC , BM AC . É por isso

Porque CD - bissetriz do triângulo BMC então

Consequentemente,.

Responda:

Teorema 4 . As três bissetrizes de um triângulo se cruzam em um ponto.

De fato, considere primeiro o ponto Р da interseção de duas bissetrizes, por exemplo, AK 1 e VC 2 . Este ponto está igualmente distante dos lados AB e AC, pois está na bissetrizA, e igualmente removidos dos lados AB e BC, como pertencentes à bissetrizB. Portanto, é igualmente removido dos lados AC e BC e, portanto, pertence à terceira bissetriz de SC 3 , ou seja, no ponto P, todas as três bissetrizes se cruzam.

Fórmulas para encontrar a bissetriz
Teorema 5: (a primeira fórmula para a bissetriz): Se no triângulo ABC o segmento AL é uma bissetriz A, então AL² = AB AC - LB LC.

Prova: Seja M o ponto de intersecção da linha AL com o círculo circunscrito ao triângulo ABC (Fig. 41). O ângulo BAM é igual ao ângulo MAC por convenção. Os ângulos BMA e BCA são iguais como ângulos inscritos com base na mesma corda. Portanto, os triângulos BAM e LAC são semelhantes em dois ângulos. Portanto, AL: AC = AB: AM. Então AL AM = AB AC AL (AL + LM) = AB AC AL² = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Q.E.D.

Teorema6: . (segunda fórmula para a bissetriz): No triângulo ABC com lados AB=a, AC=b eA, igual a 2α e a bissetriz de l, a igualdade ocorre:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Prova : Seja ABC um triângulo dado, AL sua bissetriz, a=AB, b=AC, l=AL. Então S ABC = S ALB + S ALC . Portanto, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. O teorema foi provado.

Teorema 7: Se a, b são os lados do triângulo, Y é o ângulo entre eles,é a bissetriz desse ângulo. Então.

Teorema. A bissetriz do ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em partes proporcionais aos lados adjacentes.

Prova. Considere o triângulo ABC (Fig. 259) e a bissetriz de seu ângulo B. Traçamos uma reta CM que passa pelo vértice C, paralela à bissetriz VC, até intersetar no ponto M com a continuação do lado AB. Como VC é a bissetriz do ângulo ABC, então . Além disso, como ângulos correspondentes em linhas paralelas e como ângulos transversais em linhas paralelas. A partir daqui e, portanto - isósceles, de onde. De acordo com o teorema das retas paralelas que interceptam os lados do ângulo, temos e em vista disso obtemos, o que precisava ser provado.

A bissetriz do ângulo externo B do triângulo ABC (Fig. 260) tem uma propriedade semelhante: os segmentos AL e CL dos vértices A e C até o ponto L da interseção da bissetriz com a continuação do lado AC são proporcional aos lados do triângulo:

Esta propriedade é provada da mesma forma que a anterior: na Fig. 260 desenha-se uma recta auxiliar SM, paralela à bissetriz BL. O próprio leitor ficará convencido da igualdade dos ângulos BMC e BCM e, portanto, dos lados BM e BC do triângulo BMC, após o que a proporção necessária será obtida imediatamente.

Podemos dizer que a bissetriz do ângulo externo também divide o lado oposto em partes proporcionais aos lados adjacentes; só é necessário concordar em permitir a "divisão externa" do segmento.

O ponto L, situado fora do segmento AC (em sua continuação), divide-o externamente em relação a Se Assim, as bissetrizes do ângulo do triângulo (interno e externo) dividem o lado oposto (interno e externo) em partes proporcionais a os lados adjacentes.

Problema 1. Os lados do trapézio são 12 e 15, as bases são 24 e 16. Encontre os lados do triângulo formado pela base maior do trapézio e seus lados estendidos.

Solução. Na notação da Fig. 261 temos para o segmento que serve de continuação do lado lateral a proporção da qual facilmente encontramos De maneira semelhante determinamos o segundo lado lateral do triângulo O terceiro lado coincide com a base maior: .

Tarefa 2. As bases do trapézio são 6 e 15. Qual é o comprimento do segmento paralelo às bases e dividindo os lados na razão 1:2, contando a partir dos vértices da base menor?

Solução. Vamos voltar para a Fig. 262 representando um trapézio. Pelo vértice C da pequena base traçamos uma linha paralela ao lado AB, cortando um paralelogramo do trapézio. Desde , então a partir daqui encontramos . Portanto, todo o segmento desconhecido KL é igual a Observe que, para resolver este problema, não precisamos conhecer os lados do trapézio.

Problema 3. A bissetriz do ângulo interno B do triângulo ABC corta o lado AC em segmentos a que distância dos vértices A e C a bissetriz do ângulo externo B intercepta a extensão AC?

Solução. Cada uma das bissetrizes do ângulo B divide AC na mesma razão, mas uma internamente e outra externamente. Denotamos por L o ponto de intersecção da continuação de AC e a bissetriz do ângulo externo B. Desde AK Denotamos a distância desconhecida AL até então e teremos a proporção cuja solução nos dá a distância necessária

Faça você mesmo o desenho.

Exercícios

1. Um trapézio de bases 8 e 18 é dividido por linhas retas, paralelas às bases, em seis tiras de igual largura. Encontre os comprimentos dos segmentos de linha que dividem o trapézio em tiras.

2. O perímetro do triângulo é 32. A bissetriz do ângulo A divide o lado BC em partes iguais a 5 e 3. Encontre os comprimentos dos lados do triângulo.

3. A base de um triângulo isósceles é a, o lado é b. Encontre o comprimento do segmento que liga os pontos de intersecção das bissetrizes dos cantos da base com os lados.

PROPRIEDADES DO BISSECTOR

Propriedade da bissetriz: Em um triângulo, a bissetriz divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Bissetriz de um ângulo externo A bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a extensão de seu lado em um ponto, cujas distâncias até as extremidades desse lado são proporcionais, respectivamente, aos lados adjacentes do triângulo. C B A D

Fórmulas de comprimento de bissetriz:

A fórmula para encontrar os comprimentos dos segmentos em que a bissetriz divide o lado oposto do triângulo

A fórmula para encontrar a razão entre os comprimentos dos segmentos em que a bissetriz é dividida pelo ponto de interseção das bissetrizes

Problema 1. Uma das mediatrizes de um triângulo é dividida pelo ponto de interseção das mediatrizes na razão de 3:2, contando a partir do vértice. Encontre o perímetro de um triângulo se o comprimento do lado do triângulo ao qual esta bissetriz é desenhada é 12 cm.

Solução Usamos a fórmula para encontrar a razão entre os comprimentos dos segmentos nos quais a bissetriz é dividida pelo ponto de interseção das bissetrizes no triângulo: 30. Resposta: P = 30cm.

Tarefa 2 . As bissetrizes BD e CE ∆ ABC se cruzam no ponto O. AB=14, BC=6, AC=10. Encontre O D .

Solução. Vamos usar a fórmula para encontrar o comprimento da bissetriz: Temos: BD = BD = = De acordo com a fórmula da razão dos segmentos em que a bissetriz é dividida pelo ponto de interseção das bissetrizes: l = . 2 + 1 = 3 partes de tudo.

esta é a parte 1  OD = Resposta: OD =

Problemas Em ∆ ABC, desenham-se as bissetrizes AL e BK. Encontre o comprimento do segmento KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5. Em ∆ ABC, a bissetriz AD é desenhada e através do ponto D é uma linha reta paralela a AC e cruzando AB no ponto E. Encontre a razão das áreas ∆ ABC e ∆ BDE , se AB = 5, AC = 7. Encontre as bissetrizes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo com catetos 24 cm e 18 cm. Em um triângulo retângulo, a bissetriz de um ângulo agudo divide a perna oposta em segmentos de 4 e 5 cm de comprimento. Determine a área do triângulo.

5. Em um triângulo isósceles, a base e o lado são 5 e 20 cm, respectivamente. Encontre a bissetriz do ângulo na base do triângulo. 6. Encontre a bissetriz do ângulo reto de um triângulo cujos catetos são iguais a e b. 7. Calcule o comprimento da bissetriz do ângulo A do triângulo ABC com comprimentos de lado a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. Encontre a razão na qual as bissetrizes dos ângulos internos se dividem no ponto de sua interseção.

Respostas: Resposta: Resposta: Resposta: Resposta: Resposta: Resposta: Resposta: Resposta: AP = 6 AP = 10 veja KL = CP =

Hoje vai ser uma lição muito fácil. Consideraremos apenas um objeto - a bissetriz do ângulo - e provaremos sua propriedade mais importante, que será muito útil para nós no futuro.

Só não relaxe: às vezes os alunos que querem obter uma pontuação alta no mesmo OGE ou USE, na primeira aula, não conseguem nem formular a definição exata da bissetriz.

E em vez de fazer tarefas realmente interessantes, gastamos tempo com coisas tão simples. Então leia, assista - e adote. :)

Para começar, uma pergunta um pouco estranha: o que é um ângulo? Isso mesmo: um ângulo são apenas dois raios saindo do mesmo ponto. Por exemplo:

Exemplos de ângulos: agudo, obtuso e reto

Como você pode ver na imagem, os cantos podem ser nítidos, obtusos, retos - não importa agora. Muitas vezes, por conveniência, um ponto adicional é marcado em cada raio e eles dizem, eles dizem, temos um ângulo $AOB$ (escrito como $\angle AOB$).

O capitão parece sugerir que além dos raios $OA$ e $OB$, sempre se pode desenhar um monte de raios do ponto $O$. Mas entre eles haverá um especial - é chamado de bissetriz.

Definição. A bissetriz de um ângulo é um raio que sai do vértice desse ângulo e corta o ângulo.

Para os ângulos acima, as bissetrizes ficarão assim:

Exemplos de bissetrizes para ângulos agudos, obtusos e retos

Como em desenhos reais está longe de ser sempre óbvio que um certo raio (no nosso caso, este é o raio $OM$) divide o ângulo inicial em dois iguais, é costume em geometria marcar ângulos iguais com o mesmo número de arcos (em nosso desenho é 1 arco para um ângulo agudo, dois para sem corte, três para reto).

Ok, descobrimos a definição. Agora você precisa entender quais propriedades a bissetriz tem.

Propriedade básica da bissetriz do ângulo

Na verdade, a bissetriz tem muitas propriedades. E nós definitivamente os consideraremos na próxima lição. Mas há um truque que você precisa entender agora:

Teorema. A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados do ângulo dado.

Traduzido da matemática para o russo, isso significa dois fatos ao mesmo tempo:

1. Todo ponto situado na bissetriz de um ângulo está à mesma distância dos lados desse ângulo.
2. E vice-versa: se um ponto estiver à mesma distância dos lados de um determinado ângulo, é garantido que ele esteja na bissetriz desse ângulo.

Antes de provar essas afirmações, vamos esclarecer um ponto: o que, de fato, é chamado de distância de um ponto a um lado de um ângulo? A boa e velha definição da distância de um ponto a uma linha nos ajudará aqui:

Definição. A distância de um ponto a uma linha é o comprimento da perpendicular traçada desse ponto a essa linha.

Por exemplo, considere uma linha $l$ e um ponto $A$ que não está nessa linha. Desenhe uma perpendicular $AH$, onde $H\in l$. Então o comprimento dessa perpendicular será a distância do ponto $A$ até a reta $l$.

Representação gráfica da distância de um ponto a uma linha

Como um ângulo são apenas dois raios, e cada raio é um pedaço de uma linha, é fácil determinar a distância de um ponto aos lados do ângulo. São apenas duas perpendiculares:

Determine a distância de um ponto aos lados de um ângulo

Isso é tudo! Agora sabemos o que é distância e o que é uma bissetriz. Portanto, podemos provar a propriedade principal.

Como prometido, dividimos a prova em duas partes:

1. As distâncias de um ponto na bissetriz aos lados do ângulo são as mesmas

Considere um ângulo arbitrário com vértice $O$ e bissetriz $OM$:

Vamos provar que esse mesmo ponto $M$ está à mesma distância dos lados do ângulo.

Prova. Vamos desenhar perpendiculares do ponto $M$ aos lados do ângulo. Vamos chamá-los de $M((H)_(1))$ e $M((H)_(2))$:

Desenhe perpendiculares aos lados do canto

Temos dois triângulos retângulos: $\vartriangle OM((H)_(1))$ e $\vartriangle OM((H)_(2))$. Eles têm uma hipotenusa comum $OM$ e ângulos iguais:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ por suposição (já que $OM$ é uma bissetriz);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ por construção;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ porque a soma ângulos agudos de um triângulo retângulo é sempre igual a 90 graus.

Portanto, os triângulos são iguais em lado e dois ângulos adjacentes (ver sinais de igualdade de triângulos). Portanto, em particular, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, ou seja, as distâncias do ponto $O$ aos lados do ângulo são realmente iguais. Q.E.D. :)

2. Se as distâncias são iguais, então o ponto está na bissetriz

Agora a situação se inverteu. Seja um ângulo $O$ e um ponto $M$ equidistante dos lados desse ângulo:

Vamos provar que o raio $OM$ é uma bissetriz, ou seja, $\ângulo MO((H)_(1))=\ângulo MO((H)_(2))$.

Prova. Para começar, vamos desenhar esse mesmo raio $OM$, caso contrário não haverá nada para provar:

Passou o feixe $OM$ dentro do canto

Temos dois triângulos retângulos novamente: $\vartriangle OM((H)_(1))$ e $\vartriangle OM((H)_(2))$. Obviamente eles são iguais porque:

1. A hipotenusa $OM$ é comum;
2. As pernas $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ por condição (porque o ponto $M$ é equidistante dos lados do canto);
3. As pernas restantes também são iguais, porque pelo teorema de Pitágoras $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Portanto, os triângulos $\vartriangle OM((H)_(1))$ e $\vartriangle OM((H)_(2))$ em três lados. Em particular, seus ângulos são iguais: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. E isso significa apenas que $OM$ é uma bissetriz.

Na conclusão da prova, marcamos os ângulos iguais formados com arcos vermelhos:

A bissetriz divide o ângulo $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ em dois

Como você pode ver, nada complicado. Provamos que a bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes aos lados desse ângulo. :)

Agora que já decidimos mais ou menos a terminologia, é hora de passar para um novo nível. Na próxima lição, analisaremos propriedades mais complexas da bissetriz e aprenderemos como aplicá-las para resolver problemas reais.