Definição. Prisma- este é um poliedro, cujos vértices estão localizados em dois planos paralelos, e nos mesmos dois planos existem duas faces do prisma, que são polígonos iguais com lados respectivamente paralelos, e todas as arestas que não estão nesses planos são paralelos.

Duas faces iguais são chamadas bases de prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Todas as outras faces do prisma são chamadas faces laterais(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Todas as faces laterais formam superfície lateral do prisma .

Todas as faces laterais de um prisma são paralelogramos .

As arestas que não se encontram nas bases são chamadas arestas laterais do prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma Diagonal um segmento é chamado, cujas extremidades são dois vértices do prisma que não se encontram em uma de suas faces (AD 1).

O comprimento do segmento que liga as bases do prisma e perpendicular a ambas as bases ao mesmo tempo é chamado altura do prisma .

Designação:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Primeiro, na ordem do desvio, são indicados os vértices de uma base e, em seguida, na mesma ordem, os vértices da outra; as extremidades de cada aresta lateral são designadas pelas mesmas letras, apenas os vértices situados em uma base é indicada por letras sem índice e na outra - com índice)

O nome do prisma está associado ao número de ângulos na figura que se encontra em sua base, por exemplo, na Figura 1, a base é um pentágono, então o prisma é chamado prisma pentagonal. Mas desde tal prisma tem 7 faces, então ele heptaedro(2 faces são as bases do prisma, 5 faces são paralelogramos, são suas faces laterais)

Entre os prismas retos, um tipo específico se destaca: os prismas regulares.

Um prisma reto é chamado correto, se suas bases são polígonos regulares.

Paralelepípedo

cubóide- um paralelepípedo direito cuja base é um retângulo.

Propriedades e teoremas:

,

onde d é a diagonal do quadrado;
a - lado do quadrado.

A ideia de um prisma é dada por:

• várias estruturas arquitetônicas;
• Brinquedos para crianças;
• caixas de embalagem;
• itens de designer, etc.

Área de superfície total e lateral do prisma

S completo \u003d lado S + 2S principal,

Onde S cheio- área total da superfície, lado S- área de superfície lateral, S principal- área básica

A área da superfície lateral de um prisma reto é igual ao produto do perímetro da base e a altura do prisma.

lado S\u003d P principal * h,

Onde lado Sé a área da superfície lateral de um prisma reto,

P principal - o perímetro da base de um prisma reto,

h é a altura do prisma reto, igual à aresta lateral.

Volume do prisma

O volume de um prisma é igual ao produto da área da base pela altura.

A área da superfície lateral do prisma. Olá! Nesta publicação, analisaremos um conjunto de tarefas sobre estereometria. Considere uma combinação de corpos - um prisma e um cilindro. No momento, este artigo completa toda a série de artigos relacionados à consideração de tipos de tarefas em estereometria.

Se novas tarefas aparecerem no banco de tarefas, é claro que haverá adições ao blog no futuro. Mas o que já existe é suficiente para que você possa aprender a resolver todos os problemas com uma resposta curta como parte do exame. O material será suficiente para os próximos anos (o programa em matemática é estático).

As tarefas apresentadas estão relacionadas ao cálculo da área do prisma. Observo que abaixo consideramos um prisma reto (e, portanto, um cilindro reto).

Sem conhecer nenhuma fórmula, entendemos que a superfície lateral de um prisma são todas as suas faces laterais. Em um prisma reto, as faces laterais são retângulos.

A área de superfície lateral de tal prisma é igual à soma das áreas de todas as suas faces laterais (ou seja, retângulos). Se estamos falando de um prisma regular no qual está inscrito um cilindro, fica claro que todas as faces desse prisma são retângulos IGUAIS.

Formalmente, a área de superfície lateral de um prisma regular pode ser expressa da seguinte forma:

27064. Um prisma quadrangular regular é circunscrito em torno de um cilindro cujo raio da base e altura são iguais a 1. Encontre a área da superfície lateral do prisma.

A superfície lateral deste prisma consiste em quatro retângulos iguais em área. A altura da face é 1, a borda da base do prisma é 2 (são dois raios do cilindro), então a área da face lateral é:

Área de superfície lateral:

73023. Encontre a área da superfície lateral de um prisma triangular regular circunscrito a um cilindro cujo raio da base é √0,12 e cuja altura é 3.

A área da superfície lateral deste prisma é igual à soma das áreas das três faces laterais (retângulos). Para encontrar a área da face lateral, você precisa conhecer sua altura e o comprimento da borda da base. A altura é três. Encontre o comprimento da borda da base. Considere a projeção (vista superior):

Temos um triângulo regular no qual está inscrito um círculo de raio √0,12. Do triângulo retângulo AOC podemos encontrar AC. E então AD (AD=2AC). Por definição de tangente:

Então AD \u003d 2AC \u003d 1.2. Assim, a área da superfície lateral é igual a:

27066. Encontre a área da superfície lateral de um prisma hexagonal regular circunscrito a um cilindro cujo raio da base é √75 e cuja altura é 1.

A área desejada é igual à soma das áreas de todas as faces laterais. Para um prisma hexagonal regular, as faces laterais são retângulos iguais.

Para encontrar a área de uma face, você precisa saber sua altura e o comprimento da borda da base. A altura é conhecida, é igual a 1.

Encontre o comprimento da borda da base. Considere a projeção (vista superior):

Temos um hexágono regular no qual está inscrito um círculo de raio √75.

Considere um triângulo retângulo ABO. Conhecemos a perna OB (este é o raio do cilindro). podemos também determinar o ângulo AOB, que é igual a 300 (o triângulo AOC é equilátero, OB é uma bissetriz).

Vamos usar a definição da tangente em um triângulo retângulo:

AC \u003d 2AB, pois OB é uma mediana, ou seja, divide AC pela metade, o que significa AC \u003d 10.

Assim, a área da face lateral é 1∙10=10 e a área da superfície lateral é:

76485. Encontre a área da superfície lateral de um prisma triangular regular inscrito em um cilindro cujo raio da base é 8√3 e cuja altura é 6.

A área da superfície lateral do prisma especificado de três faces de tamanhos iguais (retângulos). Para encontrar a área, você precisa saber o comprimento da borda da base do prisma (conhecemos a altura). Se considerarmos a projeção (vista superior), temos um triângulo regular inscrito em um círculo. O lado deste triângulo é expresso em termos do raio como:

Detalhes desta relação. Então vai ser igual

Então a área da face lateral é igual a: 24∙6=144. E a área necessária:

245354. Um prisma quadrangular regular é circunscrito próximo a um cilindro cujo raio da base é 2. A área da superfície lateral do prisma é 48. Encontre a altura do cilindro.

Tudo é simples. Temos quatro faces laterais iguais em área, portanto a área de uma face é 48:4=12. Como o raio da base do cilindro é 2, a borda da base do prisma será inicial 4 - é igual ao diâmetro do cilindro (estes são dois raios). Conhecemos a área da face e uma borda, sendo a segunda a altura será igual a 12:4=3.

27065. Encontre a área da superfície lateral de um prisma triangular regular circunscrito a um cilindro cujo raio da base é √3 e cuja altura é 2.

Atenciosamente, Alexandre.

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Poliedro

O principal objeto de estudo da estereometria são os corpos tridimensionais. Corpoé uma parte do espaço limitada por alguma superfície.

poliedro Um corpo cuja superfície consiste em um número finito de polígonos planos é chamado. Um poliedro é chamado convexo se estiver em um lado do plano de cada polígono plano em sua superfície. A parte comum de tal plano e a superfície de um poliedro é chamada borda. As faces de um poliedro convexo são polígonos convexos planos. Os lados das faces são chamados bordas do poliedro, e os vértices vértices do poliedro.

Por exemplo, um cubo consiste em seis quadrados que são suas faces. Ele contém 12 arestas (lados dos quadrados) e 8 vértices (vértices dos quadrados).

Os poliedros mais simples são os prismas e as pirâmides, que estudaremos mais adiante.

Prisma

Definição e propriedades de um prisma

prismaé chamado de poliedro consistindo de dois polígonos planos dispostos em planos paralelos combinados por translação paralela e todos os segmentos conectando os pontos correspondentes desses polígonos. Os polígonos são chamados bases de prisma, e os segmentos que ligam os vértices correspondentes dos polígonos são bordas laterais do prisma.

Altura do prisma chamado de distância entre os planos de suas bases (). Um segmento que conecta dois vértices de um prisma que não pertencem à mesma face é chamado prisma diagonal(). O prisma é chamado n-carvão se sua base for um n-gon.

Qualquer prisma tem as seguintes propriedades, que decorrem do fato de que as bases do prisma são combinadas por tradução paralela:

1. As bases do prisma são iguais.

2. As arestas laterais do prisma são paralelas e iguais.

A superfície de um prisma é formada por bases e superfície lateral. A superfície lateral do prisma consiste em paralelogramos (isso decorre das propriedades do prisma). A área da superfície lateral de um prisma é a soma das áreas das faces laterais.

prisma reto

O prisma é chamado direto se suas arestas laterais são perpendiculares às bases. Caso contrário, o prisma é chamado oblíquo.

As faces de um prisma reto são retângulos. A altura de um prisma reto é igual a suas faces laterais.

superfície completa do prismaé a soma da área da superfície lateral e das áreas das bases.

Prisma corretoé chamado de prisma reto com um polígono regular na base.

Teorema 13.1. A área da superfície lateral de um prisma reto é igual ao produto do perímetro e a altura do prisma (ou, equivalentemente, à aresta lateral).

Prova. As faces laterais de um prisma reto são retângulos cujas bases são os lados dos polígonos nas bases do prisma e as alturas são as arestas laterais do prisma. Então, por definição, a área de superfície lateral é:

,

onde é o perímetro da base de um prisma reto.

Paralelepípedo

Se paralelogramos estão nas bases de um prisma, então ele é chamado paralelepípedo. Todas as faces de um paralelepípedo são paralelogramos. Neste caso, as faces opostas do paralelepípedo são paralelas e iguais.

Teorema 13.2. As diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e o ponto de interseção é dividido ao meio.

Prova. Considere duas diagonais arbitrárias, por exemplo, e . Porque as faces do paralelepípedo são paralelogramos, então e , o que significa que de acordo com T cerca de duas retas paralelas ao terceiro . Além disso, isso significa que as linhas e estão no mesmo plano (o plano). Este plano intercepta planos paralelos e ao longo de linhas paralelas e . Assim, um quadrilátero é um paralelogramo, e pela propriedade de um paralelogramo, suas diagonais e se cruzam e o ponto de interseção é dividido ao meio, o que precisava ser provado.

Um paralelepípedo reto cuja base é um retângulo é chamado cubóide. Todas as faces de um paralelepípedo são retângulos. Os comprimentos das arestas não paralelas de um paralelepípedo retangular são chamados de suas dimensões lineares (medidas). Existem três tamanhos (largura, altura, comprimento).

Teorema 13.3. Em um paralelepípedo, o quadrado de qualquer diagonal é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões (comprovado pela aplicação de T pitagórico duas vezes).

Um paralelepípedo retangular em que todas as arestas são iguais é chamado de cubo.

Tarefas

13.1 Quantas diagonais tem n- Prisma de carbono

13.2 Em um prisma triangular inclinado, as distâncias entre as arestas laterais são 37, 13 e 40. Encontre a distância entre a face lateral maior e a aresta do lado oposto.

13.3 Através do lado da base inferior de um prisma triangular regular, desenha-se um plano que intercepta as faces laterais ao longo de segmentos, cujo ângulo entre os quais é . Encontre o ângulo de inclinação deste plano para a base do prisma.

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